Müxtəlif arqumentləri olan sinusların və tangenslərin cəmi. Sinusların və kosinusların cəmi və fərqi: düsturların alınması, nümunələr
İki α və β bucaqları üçün sinus və kosinusların cəmi və fərqi üçün düsturlar bu bucaqların cəmindən α + β 2 və α - β 2 bucaqlarının hasilinə keçməyə imkan verir. Dərhal qeyd edək ki, sinusların və kosinusların cəmi və fərqi üçün düsturları cəm və fərqin sinus və kosinus düsturları ilə qarışdırmamalısınız. Aşağıda bu düsturları sadalayır, onların törəmələrini veririk və konkret problemlər üçün tətbiq nümunələrini göstəririk.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sinusların və kosinusların cəmi və fərqi üçün düsturlar
Cəm və fərq düsturlarının sinuslar və kosinuslar üçün necə göründüyünü yazaq
Sinuslar üçün cəmi və fərq düsturları
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Kosinuslar üçün cəmi və fərq düsturları
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Bu düsturlar istənilən α və β bucaqları üçün etibarlıdır. α + β 2 və α - β 2 bucaqları müvafiq olaraq alfa və beta bucaqlarının yarım cəmi və yarım fərqi adlanır. Hər bir düstur üçün formula verək.
Sinus və kosinusların cəmi və fərqləri üçün düsturların tərifləri
İki bucağın sinuslarının cəmi bu bucaqların yarım cəminin sinusunun və yarım fərqin kosinusunun hasilinin iki qatına bərabərdir.
İki bucağın sinuslarının fərqi bu bucaqların yarı fərqinin sinusunun və yarım cəminin kosinusunun ikiqat hasilinə bərabərdir.
İki bucağın kosinuslarının cəmi bu bucaqların yarım cəminin kosinusunun və yarım fərqinin kosinusunun ikiqat hasilinə bərabərdir.
İki bucağın kosinuslarının fərqi mənfi işarə ilə qəbul edilən bu bucaqların yarım cəminin sinusunun və yarım fərqinin kosinusunun ikiqat hasilinə bərabərdir.
Sinusların və kosinusların cəmi və fərqi üçün düsturların alınması
İki bucağın sinusunun və kosinusunun cəmi və fərqi üçün düsturlar əldə etmək üçün əlavə düsturlarından istifadə olunur. Gəlin onları aşağıda sadalayaq
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - günah α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Gəlin bucaqların özlərini də yarım cəmlərin və yarım fərqlərin cəmi kimi təsəvvür edək.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Biz birbaşa sin və cos üçün cəmi və fərq düsturlarının əldə edilməsinə keçirik.
Sinusların cəmi üçün düsturun çıxarılması
sin α + sin β cəmində α və β-nı yuxarıda verilmiş bu bucaqlar üçün ifadələrlə əvəz edirik. alırıq
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
İndi birinci ifadəyə əlavə düsturunu, ikinciyə isə bucaq fərqlərinin sinusunun düsturunu tətbiq edirik (yuxarıdakı düsturlara baxın)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Mötərizələri açın, oxşar şərtləri əlavə edin və tələb olunan düstur alın
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Qalan düsturları əldə etmək üçün addımlar oxşardır.
Sinusların fərqinin düsturunun çıxarılması
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = günah α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Kosinusların cəmi üçün düsturun çıxarılması
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Kosinusların fərqi üçün düsturun çıxarılması
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Praktik məsələlərin həlli nümunələri
Əvvəlcə düsturlardan birini ona xüsusi bucaq dəyərləri qoyaraq yoxlayaq. α = π 2, β = π 6 olsun. Bu bucaqların sinuslarının cəminin qiymətini hesablayaq. Əvvəlcə triqonometrik funksiyaların əsas dəyərlərinin cədvəlindən istifadə edəcəyik, sonra sinusların cəmi üçün düstur tətbiq edəcəyik.
Nümunə 1. İki bucağın sinuslarının cəmi üçün düsturun yoxlanılması
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
İndi bucaq dəyərlərinin cədvəldə təqdim olunan əsas dəyərlərdən fərqli olduğu halı nəzərdən keçirək. α = 165°, β = 75° olsun. Bu bucaqların sinusları arasındakı fərqi hesablayaq.
Nümunə 2. Sinusların fərqi düsturunun tətbiqi
α = 165 °, β = 75 ° sin α - günah β = günah 165 ° - günah 75 ° günah 165 - günah 75 = 2 günah 165 ° - günah 75 ° 2 cos 165 ° + günah 75 ° 2 = = 2 günah 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Sinusların və kosinusların cəmi və fərqi üçün düsturlardan istifadə edərək, cəmi və ya fərqdən triqonometrik funksiyaların hasilinə keçə bilərsiniz. Çox vaxt bu düsturlara cəmdən məhsula keçmək üçün düsturlar deyilir. Sinusların və kosinusların cəmi və fərqi üçün düsturlar triqonometrik tənliklərin həllində və triqonometrik ifadələrin çevrilməsində geniş istifadə olunur.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Bu elektron resurs müasir məktəblərdə interaktiv təlimin aparılması üçün əla materialdır. Düzgün yazılmışdır, aydın struktura malikdir və məktəb proqramına uyğundur. Ətraflı izahatlar sayəsində video dərsdə təqdim olunan mövzu sinifdə mümkün qədər çox şagirdə aydın olacaq. Müəllimlər yadda saxlamalıdırlar ki, bütün tələbələr eyni dərəcədə qavrayış, anlama sürəti və ya bazaya malik deyillər. Bu cür materiallar çətinliklərin öhdəsindən gəlməyə və həmyaşıdlarınızla görüşməyə, akademik performansınızı yaxşılaşdırmağa kömək edəcəkdir. Onların köməyi ilə sakit bir ev şəraitində, müstəqil və ya repetitorla birlikdə tələbə müəyyən bir mövzunu başa düşə, nəzəriyyəni öyrənə və müəyyən bir formulun praktiki tətbiqi nümunələrinə baxa və s.
Bu video dərs “Arqumentlər fərqinin sinusu və kosinusu” mövzusuna həsr olunub. Tələbələrin artıq triqonometriyanın əsaslarını öyrəndikləri, əsas funksiyalar və onların xassələri, xəyal düsturları və triqonometrik qiymət cədvəlləri ilə tanış olduqları güman edilir.
Həmçinin, bu mövzunun öyrənilməsinə keçməzdən əvvəl arqumentlər cəminin sinus və kosinusu haqqında anlayışınız olmalı, iki əsas düstur bilməli və onlardan istifadə etməyi bacarmalısınız.
Video dərsin əvvəlində diktor tələbələrə bu iki formulun xatırladılması ilə çıxış edir. Sonra, birinci düstur nümayiş etdirilir - arqumentlər fərqinin sinüsü. Düsturun özünün necə alındığı ilə yanaşı, digərindən necə alındığı da göstərilir. Beləliklə, şagird yeni düsturu başa düşmədən əzbərləmək məcburiyyətində qalmayacaq ki, bu da ümumi səhvdir. Bu, bu sinifdəki tələbələr üçün çox vacibdir. Həmişə yadda saxlamalısınız ki, mənfi işarənin önünə + işarəsi əlavə edə bilərsiniz və artı işarəsindəki bir mənfi nəticədə mənfiyə çevriləcəkdir. Bu sadə addımla siz cəmin sinusu üçün düsturdan istifadə edə və arqumentlər fərqinin sinusunun düsturunu əldə edə bilərsiniz.
Fərqin kosinusunun düsturu arqumentlərin cəminin kosinusu düsturundan oxşar şəkildə alınır.
Natiq hər şeyi addım-addım izah edir və nəticədə arqumentlərin və sinusun cəminin və fərqinin kosinusunun ümumi düsturu da eyni şəkildə alınır.
Bu video dərsin praktik hissəsindən ilk nümunə Pi/12 kosinusunu tapmağı təklif edir. Bu dəyərin müəyyən bir fərq şəklində təqdim edilməsi təklif olunur ki, burada minuend və çıxarış cədvəlli qiymətlər olacaqdır. Sonra arqumentlərin fərqi üçün kosinus düsturu tətbiq olunacaq. İfadəni əvəz etməklə, yaranan dəyərləri əvəz edə və cavab ala bilərsiniz. Diktor nümunənin sonunda göstərilən cavabı oxuyur.
İkinci misal tənlikdir. Həm sağ, həm də sol tərəfdə arqumentlərin fərqlərinin kosinuslarını görürük. Natiq bu ifadələri əvəz etmək və sadələşdirmək üçün istifadə olunan tökmə düsturlarına bənzəyir. Bu düsturlar sağ tərəfdə yazılmışdır ki, tələbələr müəyyən dəyişikliklərin haradan gəldiyini başa düşə bilsinlər.
Başqa bir misal, üçüncüsü, müəyyən bir kəsrdir, burada həm payda, həm də məxrəcdə triqonometrik ifadələr, yəni məhsulların fərqləri var.
Burada da həll edərkən azalma düsturlarından istifadə olunur. Beləliklə, məktəblilər triqonometriyada bir mövzunu qaçırsalar, qalanlarını başa düşmək getdikcə çətinləşəcəyini görə bilərlər.
Və nəhayət, dördüncü nümunə. Bu həm də yeni öyrənilmiş və köhnə düsturları həll edərkən istifadə etmək lazım olan bir tənlikdir.
Video dərslikdə verilən nümunələrə daha ətraflı baxıb, özünüz həll etməyə cəhd edə bilərsiniz. Onlar məktəblilərə ev tapşırığı kimi verilə bilər.
MƏTNİN KODU:
Dərsin mövzusu “Arqumentlər fərqinin sinus və kosinusu”dur.
Əvvəlki kursda biz iki triqonometrik düsturla tanış olduq: arqumentlər cəminin sinüsü və kosinusu.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
iki bucağın cəminin sinusu birinci bucağın sinusu ilə ikinci bucağın kosinusu ilə birinci bucağın kosinusu ilə ikinci bucağın sinusunun hasilinin cəminə bərabərdir;
İki bucağın cəminin kosinusu bu bucaqların kosinuslarının hasili ilə bu bucaqların cəminin hasilinin fərqinə bərabərdir.
Bu düsturlardan istifadə edərək arqumentlər fərqinin sinus və kosinus düsturlarını əldə edəcəyik.
Arqumentlər fərqinin sinüsü sin(x-y)
İki düstur (cəmin sinusu və fərqin sinusu) belə yazıla bilər:
günah (xy) = sin x cos ycos x sin y.
Eynilə, fərqin kosinusu üçün düstur alırıq:
Arqumentlər arasındakı fərqin kosinusunu cəmi kimi yenidən yazaq və cəminin kosinusu üçün artıq məlum olan düsturu tətbiq edək: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.
yalnız x və -y arqumentləri üçün. Bu arqumentləri düsturda əvəz edərək cosxcos(- y) - sinxsin(- y) alırıq.
sin(- y)= - siny). və biz son ifadəni alırıq cosxcosy + sinxsiny.
cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.
Bu cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y deməkdir.
İki bucaq fərqinin kosinusu bu bucaqların kosinuslarının hasili ilə bu bucaqların sinuslarının hasilinin cəminə bərabərdir.
İki düsturu (cəmin kosinusu və fərqin kosinusu) birinə birləşdirərək yazırıq
cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.
Unutmayaq ki, praktikada düsturlar həm soldan sağa, həm də əksinə tətbiq oluna bilər.
Nümunələrə baxaq.
NÜMUNƏ 1. cos hesablayın (pi-nin kosinusu on ikiyə bölünür).
Həll. On ikiyə bölünən pini üçə və dördə bölünən pi fərqi kimi yazaq: = - .
Dəyərləri fərq kosinus düsturu ilə əvəz edək: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, beləliklə cos = cos (-) = cos cos + sin sin
Biz bilirik ki, cos =, cos = sin=, sin =. Dəyərlər cədvəlini göstərin.
Sinus və kosinusun dəyərini ədədi dəyərlərlə əvəz edirik və kəsri kəsrə vurarkən ∙ + ∙ alırıq, say və məxrəcləri çoxalırıq, alırıq
cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.
Cavab: cos =.
NÜMUNƏ 2. cos(2π - 5x) = cos(- 5x) tənliyini həll edin (iki pi minus beş x kosinusu pi kosinusuna iki minus beş x bərabərdir).
Həll. Tənliyin sol və sağ tərəflərinə cos(2π - cos (iki pi minus alfanın kosinusu alfanın kosinusuna bərabərdir)) və cos(- = sin (pi-nin kosinusu iki mənfi alfaya bərabərdir) azaltma düsturlarını tətbiq edirik. alfanın sinüsü), cos 5x = sin 5x alırıq, onu birinci dərəcəli bircinsli tənlik formasına veririk və cos 5x - sin 5x = 0 alırıq. Bu, birinci dərəcəli bircins tənlikdir. tənliyin hər iki tərəfini cos 5x-ə bölün.
cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, çünki cos 5x: cos 5x = 1 və sin 5x: cos 5x = tan 5x, onda alırıq:
Artıq tgt = a tənliyinin t = arctga + πn həlli olduğunu bildiyimizdən və t = 5x, a = 1 olduğuna görə alırıq.
5x = arktan 1 + πn,
və arctg-nin qiyməti 1-dir, onda tg 1= Cədvəl göstərin
Dəyəri tənliyə əvəz edin və həll edin:
Cavab: x = +.
NÜMUNƏ 3. Kəsrin qiymətini tapın. (sayda yetmiş beş dərəcə ilə altmış beş dərəcə kosinusların hasilinin və yetmiş beş dərəcə və altmış beş dərəcə sinusların hasilinin fərqi, məxrəcdə isə sinusun hasilinin fərqidir. səksən beş dərəcə və otuz beş dərəcə kosinusu və səksən beş dərəcə kosinusu ilə otuz beş dərəcə sinusun hasili).
Həll. Bu kəsrin sayında fərq 75° və 65° arqumentlərin cəminin kosinusuna, məxrəcdə isə fərq arqumentlər arasındakı fərqin sinusuna «yıxıla» bilər. 85° və 35°. alırıq
Cavab: - 1.
NÜMUNƏ 4. Tənliyi həll edin: cos(-x) + sin(-x) = 1(pi-nin dörd fərqinin kosinusu və x üstəgəl pi-nin dörd və x fərqinin sinusu birə bərabərdir).
Həll. Kosinus fərqi və sinus fərqi düsturlarını tətbiq edək.
Ümumi fərq kosinus düsturunu göstərin
Onda cos (-x) = cos cos x + sinsinх
Sinus fərqinin ümumi düsturunu göstərin
və sin (-х)= sin cosх - cos sinх
Bu ifadələri cos(-x) + sin(-x) = 1 tənliyində əvəz edin və alın:
cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,
cos= və sin= olduğundan sine və kosinusun mənasını cədvəldə göstərin
∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1 alırıq,
ikinci və dördüncü şərtlər əksdir, buna görə də bir-birini ləğv edərək, tərk edirlər:
∙ cos + ∙ cos = 1,
Gəlin bu tənliyi həll edək və onu əldə edək
2∙ ∙ cos x= 1,
Biz artıq bildiyimiz üçün cos = a tənliyinin həlli var t = arcosa+ 2πk, və biz t=x, a = olduğundan, alırıq
x = arccos + 2πn,
və dəyər arccos olduğundan, cos =
