sinx x funksiyasının qrafiki. Mövzu üzrə cəbr dərsi (10-cu sinif) üçün y=sin x və y=cos x funksiyaları və onların qrafiklərinin təqdimatı

"Y=sin(x) funksiyası. Təriflər və xassələr" mövzusunda dərs və təqdimat.

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

1C-dən 10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında dərsliklər və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. 7-10-cu siniflər üçün interaktiv tikinti tapşırıqları
Proqram mühiti "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:

• Y=sin(X) funksiyasının xassələri.
• Funksiya qrafiki.
• Qrafik və onun miqyasını necə qurmaq olar.
• Nümunələr.

Sinusun xüsusiyyətləri. Y=günah(X)

Uşaqlar, biz artıq ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları ilə tanış olmuşuq. Onları xatırlayırsan?

Y=sin(X) funksiyasına daha yaxından nəzər salaq.

Bu funksiyanın bəzi xüsusiyyətlərini yazaq:
1) Tərif sahəsi həqiqi ədədlər toplusudur.
2) Funksiya təkdir. Tək funksiyanın tərifini xatırlayaq. Bərabərlik yerinə yetirildikdə funksiya tək adlanır: y(-x)=-y(x). Xəyal düsturlarından xatırladığımız kimi: sin(-x)=-sin(x). Tərif yerinə yetirildi, yəni Y=sin(X) tək funksiyadır.
3) Y=sin(X) funksiyası seqmentdə artır, seqmentdə isə azalır [π/2; π]. Birinci rüb boyunca (saat əqrəbinin əksinə) hərəkət etdikdə ordinat artır, ikinci rübdən keçəndə isə azalır.

4) Y=sin(X) funksiyası aşağıdan və yuxarıdan məhduddur. Bu əmlak ondan irəli gəlir ki
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funksiyanın ən kiçik qiyməti -1-dir (x = - π/2+ πk-da). Funksiyanın ən böyük qiyməti 1-dir (x = π/2+ πk-da).

Y=sin(X) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün 1-5 xassələrindən istifadə edək. Xassələrimizi tətbiq edərək qrafikimizi ardıcıl olaraq quracağıq. Seqmentdə qrafik qurmağa başlayaq.

Ölçəyə xüsusi diqqət yetirilməlidir. Ordinat oxunda 2 xanaya bərabər vahid seqment, absis oxunda isə π/3-ə bərabər vahid seqment (iki xana) götürmək daha rahatdır (şəklə bax).

X, y=sin(x) sinus funksiyasının qrafiki

Seqmentimizdə funksiyanın dəyərlərini hesablayaq:

Üçüncü xüsusiyyəti nəzərə alaraq nöqtələrimizdən istifadə edərək bir qrafik quraq.

Xəyal düsturları üçün çevrilmə cədvəli

İkinci xassədən istifadə edək ki, funksiyamız təkdir, yəni mənşəyə görə simmetrik şəkildə əks oluna bilər:

Biz bilirik ki, sin(x+ 2π) = sin(x). Bu o deməkdir ki, [- π intervalında; π] qrafik [π] seqmentindəki kimi görünür; 3π] və ya [-3π; - π] və s. Etməli olduğumuz tək şey əvvəlki şəkildəki qrafiki bütün x oxu boyunca diqqətlə yenidən çəkməkdir.

Y=sin(X) funksiyasının qrafiki sinusoid adlanır.

Qurulmuş qrafikə uyğun olaraq daha bir neçə xassə yazaq:
6) Y=sin(X) funksiyası formanın istənilən seqmentində artır: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k tam ədəddir və formanın istənilən seqmentində azalır: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – tam ədəd.
7) Y=sin(X) funksiyası fasiləsiz funksiyadır. Gəlin funksiyanın qrafikinə baxaq və əmin edək ki, funksiyamızda fasilə yoxdur, bu, davamlılıq deməkdir.
8) Qiymətlər diapazonu: seqment [- 1; 1]. Bu funksiyanın qrafikindən də aydın görünür.
9) Y=sin(X) funksiyası - dövri funksiya. Qrafikə yenidən baxaq və görək ki, funksiya müəyyən intervallarda eyni dəyərləri alır.

Sinus ilə bağlı problemlərə nümunələr

1. sin(x)= x-π tənliyini həll edin

Həlli: Funksiyanın 2 qrafikini quraq: y=sin(x) və y=x-π (şəklə bax).
Qrafiklərimiz bir A(π;0) nöqtəsində kəsişir, cavab budur: x = π

2. y=sin(π/6+x)-1 funksiyasının qrafikini çəkin

Həlli: y=sin(x) π/6 funksiyasının qrafikini sola və 1 vahid aşağıya köçürməklə istənilən qrafik alınacaq.

Həlli: Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək və seqmentimizi nəzərdən keçirək [π/2; 5π/4].
Funksiya qrafiki göstərir ki, ən böyük və ən kiçik qiymətlər seqmentin uclarında müvafiq olaraq π/2 və 5π/4 nöqtələrində əldə edilir.
Cavab: sin(π/2) = 1 – ən böyük dəyər, sin(5π/4) = ən kiçik qiymət.

Müstəqil həll üçün sinus problemləri

• Tənliyi həll edin: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• y=sin(π/3+x)-2 funksiyasının qrafikini çəkin
• y=sin(-2π/3+x)+1 funksiyasının qrafikini çəkin
• y=sin(x) funksiyasının seqmentdə ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın
• [- π/3 intervalında y=sin(x) funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın; 5π/6]

Bir nöqtədə mərkəzləşdirilmişdir A.
α - radyanla ifadə olunan bucaq.

Tərif
Sinus (sin α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq qarşı tərəfin uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |BC| hipotenuzanın uzunluğuna |AC|.

Kosinus (cos α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| hipotenuzanın uzunluğuna |AC|.

Qəbul edilmiş qeydlər

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiyasının qrafiki, y = sin x

Kosinus funksiyasının qrafiki, y = cos x

Sinus və kosinusun xassələri

Dövrilik

Funksiyalar y = günah x və y = cos x dövri ilə dövri 2π.

Paritet

Sinus funksiyası qəribədir. Kosinus funksiyası cütdür.

Tərif və dəyərlər sahəsi, ekstremal, artım, azalma

Sinus və kosinus funksiyaları öz tərif sahəsində davamlıdır, yəni bütün x üçün (davamlılığın sübutuna bax). Onların əsas xassələri cədvəldə verilmişdir (n - tam ədəd).

Əsas düsturlar

Sinus və kosinusun kvadratlarının cəmi

Cəm və fərqdən sinus və kosinus üçün düsturlar

;
;

Sinusların və kosinusların hasilinin düsturları

Cəm və fərq düsturları

Kosinus vasitəsilə sinus ifadəsi

;
;
;
.

Kosinusu sinus vasitəsilə ifadə etmək

;
;
;
.

Tangens vasitəsilə ifadə

; .

Nə vaxt, bizdə:
; .

Burada:
; .

Sinuslar və kosinuslar, tangenslər və kotangentlər cədvəli

Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün sinus və kosinusların dəyərlərini göstərir.

Mürəkkəb dəyişənlər vasitəsilə ifadələr

;

Eyler düsturu

Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

;
;

Törəmələri

; . Düsturların alınması > > >

n-ci dərəcəli törəmələr:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Tərs funksiyalar

Sinus və kosinusun tərs funksiyaları müvafiq olaraq arksinüs və arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

FUNKSİYA QRAFİKASI

Sinus funksiyası

- bir dəstə R bütün real ədədlər.

Çox Funksiya Dəyərləri— seqment [-1; 1], yəni. sinus funksiyası - məhduddur.

Qəribə funksiya: sin(−x)=−sin x bütün x ∈ üçün R.

Funksiya dövri xarakter daşıyır

sin(x+2π k) = sin x, burada k ∈ Z bütün x ∈ üçün R.

sin x = 0 x = π·k, k ∈ üçün Z.

sin x > 0(müsbət) bütün x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ üçün Z.

günah x< 0 (mənfi) bütün x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ üçün Z.

Kosinus funksiyası

Funksiya Domeni- bir dəstə R bütün real ədədlər.

Çox Funksiya Dəyərləri— seqment [-1; 1], yəni. kosinus funksiyası - məhduddur.

Hətta funksiyası: cos(−x)=cos x bütün x ∈ üçün R.

Funksiya dövri xarakter daşıyırən kiçik müsbət dövr 2π ilə:

cos(x+2π k) = cos x, harada k ∈ Z bütün x ∈ üçün R.

cos x = 0 saat
cos x > 0 hamı üçün
cos x< 0 hamı üçün
Funksiya artır−1-dən 1-ə qədər fasilələrlə:
Funksiya azalır−1-dən 1-ə qədər fasilələrlə:
sin x = 1 funksiyasının ən böyük qiyməti nöqtələrdə:
sin x = −1 funksiyasının ən kiçik qiyməti nöqtələrdə:

Tangens funksiyası

Çox Funksiya Dəyərləri— bütün ədəd xətti, yəni. tangens - funksiya limitsiz.

Qəribə funksiya: tg(−x)=−tg x
Funksiyanın qrafiki OY oxuna görə simmetrikdir.

Funksiya dövri xarakter daşıyırən kiçik müsbət dövr π ilə, yəni. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z tərif sahəsindən bütün x üçün.

Kotangent funksiyası

Çox Funksiya Dəyərləri— bütün ədəd xətti, yəni. kotangent - funksiya limitsiz.

Funksiya dövri xarakter daşıyırən kiçik müsbət dövr π ilə, yəni. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z tərif sahəsindən bütün x üçün.

Arksinus funksiyası

Funksiya Domeni— seqment [-1; 1]

Çox Funksiya Dəyərləri- seqment -π /2 arcsin x π /2, yəni. arcsine - funksiya məhduddur.

Qəribə funksiya: arcsin(−x)=−arcsin x bütün x ∈ üçün R.
Funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.

Bütün tərif sahəsi boyunca.

Qövs kosinus funksiyası

Funksiya Domeni— seqment [-1; 1]

Çox Funksiya Dəyərləri— seqment 0 arccos x π, yəni. arkkosin - funksiya məhduddur.

Funksiya artır bütün tərif sahəsi üzərində.

Arktangens funksiyası

Funksiya Domeni- bir dəstə R bütün real ədədlər.

Çox Funksiya Dəyərləri— seqment 0 π, yəni. arktangent - funksiya məhduddur.

Qəribə funksiya: arctg(−x)=−arctg x bütün x ∈ üçün R.
Funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.

Funksiya artır bütün tərif sahəsi üzərində.

Qövs tangensi funksiyası

Funksiya Domeni- bir dəstə R bütün real ədədlər.

Çox Funksiya Dəyərləri— seqment 0 π, yəni. arkkotangent - funksiya məhduddur.

Funksiya nə cüt, nə də tək deyil.
Funksiyanın qrafiki nə mənşəyə, nə də Oy oxuna görə asimmetrikdir.

Funksiya azalır bütün tərif sahəsi üzərində.

Bu dərsdə y = sin x funksiyasını, onun əsas xassələrini və qrafikini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik. Dərsin əvvəlində koordinat çevrəsində y = sin t triqonometrik funksiyasının tərifini verəcəyik və funksiyanın çevrə və xətt üzərində qrafikini nəzərdən keçirəcəyik. Qrafikdə bu funksiyanın dövriliyini göstərək və funksiyanın əsas xassələrini nəzərdən keçirək. Dərsin sonunda funksiyanın qrafikindən və onun xassələrindən istifadə etməklə bir neçə sadə məsələni həll edəcəyik.

Mövzu: Triqonometrik funksiyalar

Dərs: y=sinx funksiyası, onun əsas xassələri və qrafiki

Bir funksiyanı nəzərdən keçirərkən, hər bir arqument dəyərini bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirmək vacibdir. Bu yazışma qanunu və funksiya adlanır.

üçün yazışma qanununu müəyyən edək.

İstənilən real ədəd vahid çevrənin tək nöqtəsinə uyğun gəlir.Nöqtənin vahid ordinatı var ki, bu da ədədin sinusu adlanır (şək. 1).

Hər bir arqument dəyəri bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirilir.

Aşkar xüsusiyyətlər sinusun tərifindən irəli gəlir.

Şəkil bunu göstərir çünki vahid çevrəsindəki nöqtənin ordinatıdır.

Funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək. Arqumentin həndəsi şərhini xatırlayaq. Arqument radyanla ölçülən mərkəzi bucaqdır. Ox boyunca həqiqi ədədləri və ya bucaqları radyanla, ox boyunca funksiyanın müvafiq dəyərlərini çəkəcəyik.

Məsələn, vahid dairədəki bucaq qrafikdəki nöqtəyə uyğun gəlir (şək. 2).

Biz sahədə funksiyanın qrafikini əldə etdik.Lakin sinusun dövrünü bilməklə funksiyanın qrafikini bütün təyinetmə oblastı üzərində təsvir edə bilərik (şək. 3).

Funksiyanın əsas dövrü o deməkdir ki, qrafiki seqment üzrə əldə etmək və sonra bütün tərif sahəsi boyunca davam etdirmək olar.

Funksiyanın xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:

1) Tərifin əhatə dairəsi:

2) Dəyərlər diapazonu:

3) Tək funksiya:

4) Ən kiçik müsbət dövr:

5) Qrafikin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları:

6) Qrafikin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatları:

7) Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervallar:

8) Funksiyanın mənfi qiymətlər aldığı intervallar:

9) Artan intervallar:

10) azalan intervallar:

11) Minimum ballar:

12) Minimum funksiyalar:

13) Maksimum xallar:

14) Maksimum funksiyalar:

Biz funksiyanın xassələrinə və onun qrafikinə baxdıq. Problemlərin həlli zamanı xassələrdən təkrar istifadə olunacaq.

Biblioqrafiya

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., İvaşev-Musatov O.S., Şvartsburd S.İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz (riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün dərslik).- M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Qalitski M.L., Moşkoviç M.M., Şvartsburd S.İ. Cəbr və riyazi analizin dərindən öyrənilməsi.-M.: Təhsil, 1997.

5. Ali məktəblərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu (red. M.İ.Skanavi).- M.: Ali məktəb, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbri simulyator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Qoldman A.M., Denisov D.V. Cəbr və təhlilin prinsipləri üzrə problemlər (ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərs vəsaiti).- M.: Prosveşchenie, 2003.

8. Karp A.P. Cəbr və təhlil prinsipləri üzrə problemlər toplusu: dərslik. 10-11-ci siniflər üçün müavinət. dərinliyi ilə oxudu Riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.

Ev tapşırığı

Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red.

A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Əlavə veb resursları

3. İmtahana hazırlıq üçün təhsil portalı ().

Bu dərsdə y = sin x funksiyasını, onun əsas xassələrini və qrafikini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik. Dərsin əvvəlində koordinat çevrəsində y = sin t triqonometrik funksiyasının tərifini verəcəyik və funksiyanın çevrə və xətt üzərində qrafikini nəzərdən keçirəcəyik. Qrafikdə bu funksiyanın dövriliyini göstərək və funksiyanın əsas xassələrini nəzərdən keçirək. Dərsin sonunda funksiyanın qrafikindən və onun xassələrindən istifadə etməklə bir neçə sadə məsələni həll edəcəyik.

Mövzu: Triqonometrik funksiyalar

Dərs: y=sinx funksiyası, onun əsas xassələri və qrafiki

Bir funksiyanı nəzərdən keçirərkən, hər bir arqument dəyərini bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirmək vacibdir. Bu yazışma qanunu və funksiya adlanır.

üçün yazışma qanununu müəyyən edək.

İstənilən real ədəd vahid çevrənin tək nöqtəsinə uyğun gəlir.Nöqtənin vahid ordinatı var ki, bu da ədədin sinusu adlanır (şək. 1).

Hər bir arqument dəyəri bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirilir.

Aşkar xüsusiyyətlər sinusun tərifindən irəli gəlir.

Şəkil bunu göstərir çünki vahid çevrəsindəki nöqtənin ordinatıdır.

Funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək. Arqumentin həndəsi şərhini xatırlayaq. Arqument radyanla ölçülən mərkəzi bucaqdır. Ox boyunca həqiqi ədədləri və ya bucaqları radyanla, ox boyunca funksiyanın müvafiq dəyərlərini çəkəcəyik.

Məsələn, vahid dairədəki bucaq qrafikdəki nöqtəyə uyğun gəlir (şək. 2).

Biz sahədə funksiyanın qrafikini əldə etdik.Lakin sinusun dövrünü bilməklə funksiyanın qrafikini bütün təyinetmə oblastı üzərində təsvir edə bilərik (şək. 3).

Funksiyanın əsas dövrü o deməkdir ki, qrafiki seqment üzrə əldə etmək və sonra bütün tərif sahəsi boyunca davam etdirmək olar.

Funksiyanın xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:

1) Tərifin əhatə dairəsi:

2) Dəyərlər diapazonu:

3) Tək funksiya:

4) Ən kiçik müsbət dövr:

5) Qrafikin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları:

6) Qrafikin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatları:

7) Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervallar:

8) Funksiyanın mənfi qiymətlər aldığı intervallar:

9) Artan intervallar:

10) azalan intervallar:

11) Minimum ballar:

12) Minimum funksiyalar:

13) Maksimum xallar:

14) Maksimum funksiyalar:

Biz funksiyanın xassələrinə və onun qrafikinə baxdıq. Problemlərin həlli zamanı xassələrdən təkrar istifadə olunacaq.

Biblioqrafiya

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., İvaşev-Musatov O.S., Şvartsburd S.İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz (riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün dərslik).- M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Qalitski M.L., Moşkoviç M.M., Şvartsburd S.İ. Cəbr və riyazi analizin dərindən öyrənilməsi.-M.: Təhsil, 1997.

5. Ali məktəblərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu (red. M.İ.Skanavi).- M.: Ali məktəb, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbri simulyator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Qoldman A.M., Denisov D.V. Cəbr və təhlilin prinsipləri üzrə problemlər (ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərs vəsaiti).- M.: Prosveşchenie, 2003.

8. Karp A.P. Cəbr və təhlil prinsipləri üzrə problemlər toplusu: dərslik. 10-11-ci siniflər üçün müavinət. dərinliyi ilə oxudu Riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.

Ev tapşırığı

Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red.

A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Əlavə veb resursları

3. İmtahana hazırlıq üçün təhsil portalı ().