Üçbucağın sahəsini təyin etmək üçün müxtəlif düsturlardan istifadə edə bilərsiniz. Bütün üsullardan ən asan və tez-tez istifadə olunan hündürlüyü bazanın uzunluğuna vurmaq və sonra nəticəni ikiyə bölməkdir. Ancaq bu üsul yeganə üsuldan uzaqdır. Aşağıda müxtəlif düsturlardan istifadə edərək üçbucağın sahəsini necə tapacağınızı oxuya bilərsiniz.

Ayrı-ayrılıqda, üçbucaqların xüsusi növlərinin sahəsini hesablamaq yollarına baxacağıq - düzbucaqlı, ikitərəfli və bərabərtərəfli. Hər bir formulun mahiyyətini anlamağa kömək edəcək qısa izahatla müşayiət edirik.

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün universal üsullar

Aşağıdakı düsturlar xüsusi qeydlərdən istifadə edir. Onların hər birini deşifrə edəcəyik:

• a, b, c – nəzərdən keçirdiyimiz fiqurun üç tərəfinin uzunluqları;
• r - üçbucağımıza daxil edilə bilən dairənin radiusu;
• R onun ətrafında təsvir edilə bilən dairənin radiusudur;
• α - b və c tərəflərinin əmələ gətirdiyi bucağın böyüklüyü;
• β - a və c arasındakı bucağın böyüklüyü;
• γ - a və b tərəflərinin əmələ gətirdiyi bucağın böyüklüyü;
• h üçbucağımızın hündürlüyüdür, α bucağından a tərəfinə endirilir;
• p – a, b və c tərəflərinin cəminin yarısı.

Üçbucağın sahəsini niyə bu şəkildə tapa biləcəyiniz məntiqi olaraq aydındır. Üçbucaq asanlıqla üçbucağın bir tərəfinin diaqonal rolunu oynayacağı bir paraleloqrama tamamlana bilər. Paraleloqramın sahəsi onun tərəflərindən birinin uzunluğunu ona çəkilmiş hündürlüyün dəyərinə vurmaqla tapılır. Diaqonal bu şərti paraleloqramı 2 eyni üçbucağa bölür. Buna görə də, ilkin üçbucağın sahəsinin bu köməkçi paraleloqramın sahəsinin yarısına bərabər olması tamamilə aydındır.

S=½ a b sin γ

Bu düstura görə, üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin uzunluğunu, yəni a və b-ni onların yaratdığı bucağın sinusuna vurmaqla tapılır. Bu düstur məntiqi olaraq əvvəlkindən götürülüb. Əgər hündürlüyü β bucağından b tərəfinə endirsək, onda düzbucaqlı üçbucağın xassələrinə uyğun olaraq a tərəfinin uzunluğunu γ bucağın sinusuna vurduqda üçbucağın hündürlüyünü, yəni h alırıq. .

Sözügedən fiqurun sahəsi onun perimetri ilə daxil edilə bilən dairənin radiusunun yarısını vurmaqla tapılır. Başqa sözlə, qeyd olunan dairənin yarımperimetri ilə radiusunun hasilini tapırıq.

S= a b c/4R

Bu düstura görə bizə lazım olan dəyəri fiqurun tərəflərinin hasilini onun ətrafında təsvir olunan çevrənin 4 radiusuna bölməklə tapmaq olar.

Bu düsturlar universaldır, çünki hər hansı üçbucağın (miqyaslı, ikitərəfli, bərabərtərəfli, düzbucaqlı) sahəsini təyin etməyə imkan verir. Bu, daha ətraflı şəkildə dayanmayacağımız daha mürəkkəb hesablamalardan istifadə etməklə edilə bilər.

Xüsusi xassələri olan üçbucaqların sahələri

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Bu fiqurun özəlliyi ondan ibarətdir ki, onun iki tərəfi eyni zamanda onun hündürlüyüdür. Əgər a və b ayaqdırsa və c hipotenuza çevrilirsə, onda sahəni belə tapırıq:

İkitərəfli üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Uzunluğu a olan iki tərəfi və b uzunluğu olan bir tərəfi var. Nəticə etibarilə, onun sahəsi a tərəfinin kvadratının hasilini γ bucağının sinusuna 2-yə bölmək yolu ilə müəyyən edilə bilər.

Bərabər üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Orada bütün tərəflərin uzunluğu a-ya bərabərdir və bütün bucaqların böyüklüyü α-dır. Onun hündürlüyü a tərəfinin uzunluğunun və 3-ün kvadrat kökünün hasilinin yarısına bərabərdir. Düzgün üçbucağın sahəsini tapmaq üçün a tərəfinin kvadratını 3-ün kvadrat kökünə vurub bölmək lazımdır. 4.

Üçbucaq hər kəsə tanış olan bir fiqurdur. Və bu, formalarının zəngin müxtəlifliyinə baxmayaraq. Düzbucaqlı, bərabərtərəfli, iti, ikitərəfli, küt. Onların hər biri müəyyən mənada fərqlidir. Ancaq hər kəs üçün üçbucağın sahəsini tapmaq lazımdır.

Tərəflərin uzunluqlarını və ya yüksəkliklərini istifadə edən bütün üçbucaqlar üçün ümumi düsturlar

Onlarda qəbul edilmiş təyinatlar: tərəflər - a, b, c; a, n in, n ilə müvafiq tərəflərdə yüksəkliklər.

1. Üçbucağın sahəsi ½, tərəfi və ondan çıxarılan hündürlüyün məhsulu kimi hesablanır. S = ½ * a * n a. Digər iki tərəf üçün düsturlar eyni şəkildə yazılmalıdır.

2. Yarım perimetrin göründüyü Heron düsturu (tam perimetrdən fərqli olaraq adətən kiçik p hərfi ilə işarələnir). Yarım perimetri aşağıdakı kimi hesablamaq lazımdır: bütün tərəfləri toplayıb 2-yə bölün. Yarım perimetr üçün düstur belədir: p = (a+b+c) / 2. Sonra ​ sahəsi üçün bərabərlik ​​şəkil belə görünür: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Yarım perimetrdən istifadə etmək istəmirsinizsə, onda yalnız tərəflərin uzunluqlarını ehtiva edən düstur faydalı olacaq: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bu, əvvəlkindən bir qədər uzundur, ancaq yarım perimetri necə tapmağı unutmusunuzsa, kömək edəcəkdir.

Üçbucağın bucaqlarını əhatə edən ümumi düsturlar

Düsturları oxumaq üçün lazım olan qeydlər: α, β, γ - bucaqlar. Onlar müvafiq olaraq a, b, c tərəflərinin əks tərəfində yerləşirlər.

1. Buna görə iki tərəfin hasilinin yarısı və aralarındakı bucağın sinusu üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Yəni: S = ½ a * b * sin γ. Digər iki hal üçün düsturlar oxşar şəkildə yazılmalıdır.

2. Üçbucağın sahəsi bir tərəfdən və üç məlum bucaqdan hesablana bilər. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Bir tərəfi məlum və iki bitişik bucağı olan düstur da var. Bu belə görünür: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Son iki düstur ən sadə deyil. Onları xatırlamaq olduqca çətindir.

Yazılı və ya məhdud dairələrin radiuslarının məlum olduğu vəziyyətlər üçün ümumi düsturlar

Əlavə təyinatlar: r, R - radiuslar. Birincisi, yazılmış dairənin radiusu üçün istifadə olunur. İkincisi təsvir olunan üçün.

1. Üçbucağın sahəsinin hesablandığı ilk düstur yarım perimetrlə bağlıdır. S = r * r. Onu yazmağın başqa bir yolu: S = ½ r * (a + b + c).

2. İkinci halda, üçbucağın bütün tərəflərini çoxaltmalı və onları əhatə olunmuş dairənin radiusunu dörd dəfə bölmək lazımdır. Hərfi ifadədə belə görünür: S = (a * b * c) / (4R).

3. Üçüncü vəziyyət, tərəfləri bilmədən etməyə imkan verir, lakin hər üç açının dəyərinə ehtiyacınız olacaq. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Xüsusi hal: düz üçbucaq

Bu, ən sadə vəziyyətdir, çünki yalnız hər iki ayağın uzunluğu tələb olunur. Onlar latın a və b hərfləri ilə təyin olunur. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi ona əlavə edilən düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir.

Riyazi olaraq belə görünür: S = ½ a * b. Xatırlamaq ən asandır. Düzbucaqlının sahəsi üçün düstur kimi göründüyü üçün yarısını göstərən yalnız bir hissə görünür.

Xüsusi hal: ikitərəfli üçbucaq

Onun iki bərabər tərəfi olduğundan onun sahəsi üçün bəzi düsturlar bir qədər sadələşdirilmiş görünür. Məsələn, ikitərəfli üçbucağın sahəsini hesablayan Heron düsturu aşağıdakı formanı alır:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Onu çevirsəniz, qısalacaq. Bu halda, ikitərəfli üçbucaq üçün Heronun düsturu aşağıdakı kimi yazılır:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Tərəflər və aralarındakı bucaq məlumdursa, sahə düsturu ixtiyari üçbucaqdan bir qədər sadə görünür. S = ½ a 2 * sin β.

Xüsusi hal: bərabərtərəfli üçbucaq

Adətən problemlərdə bunun tərəfi məlum olur və ya hansısa yolla aşkarlana bilir. Sonra belə bir üçbucağın sahəsini tapmaq üçün formula aşağıdakı kimidir:

S = (a 2 √3) / 4.

Damalı kağızda üçbucaq təsvir edilərsə, sahəni tapmaqda problemlər

Ən sadə vəziyyət, düz üçbucağın ayaqları kağızın xətləri ilə üst-üstə düşməsi üçün çəkildiyi zamandır. Sonra yalnız ayaqlara uyğun olan hüceyrələrin sayını hesablamaq lazımdır. Sonra onları çoxaldın və ikiyə bölün.

Üçbucaq iti və ya küt olduqda, onu düzbucaqlıya çəkmək lazımdır. Sonra alınan rəqəm 3 üçbucaq olacaq. Biri problemdə verilmişdir. Digər ikisi isə köməkçi və düzbucaqlıdır. Son ikisinin sahələri yuxarıda təsvir edilən üsulla müəyyən edilməlidir. Sonra düzbucaqlının sahəsini hesablayın və ondan köməkçi olanlar üçün hesablananları çıxarın. Üçbucağın sahəsi müəyyən edilir.

Üçbucağın tərəflərindən heç birinin kağızın xətləri ilə üst-üstə düşmədiyi vəziyyət daha mürəkkəbdir. Sonra onu düzbucaqlıya yazmaq lazımdır ki, orijinal fiqurun təpələri yanlarında olsun. Bu halda, üç köməkçi düzbucaqlı üçbucaq olacaq.

Heron düsturundan istifadə edən problem nümunəsi

Vəziyyət. Bəzi üçbucağın məlum tərəfləri var. Onlar 3, 5 və 6 sm-ə bərabərdir, onun sahəsini tapmaq lazımdır.

İndi yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək üçbucağın sahəsini hesablaya bilərsiniz. Kvadrat kökün altında dörd ədədin hasili var: 7, 4, 2 və 1. Yəni sahə √(4 * 14) = 2 √(14)-dir.

Daha böyük dəqiqlik tələb olunmursa, onda siz 14-ün kvadrat kökünü götürə bilərsiniz. Bu, 3.74-ə bərabərdir. Onda sahə 7.48 olacaq.

Cavab verin. S = 2 √14 sm 2 və ya 7,48 sm 2.

Düzbucaqlı üçbucaqla bağlı problem nümunəsi

Vəziyyət. Düzbucaqlı üçbucağın bir ayağı ikincisindən 31 sm böyükdür.Üçbucağın sahəsi 180 sm 2-dirsə, onların uzunluqlarını tapmaq lazımdır.
Həll. İki tənlik sistemini həll etməli olacağıq. Birincisi ərazi ilə bağlıdır. İkincisi, problemdə verilən ayaqların nisbəti ilə.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Birincisi, “a” dəyəri birinci tənlikdə əvəz edilməlidir. Belə çıxır: 180 = ½ (+ 31-də) * in. Onun yalnız bir naməlum kəmiyyəti var, ona görə də onu həll etmək asandır. Mötərizələr açıldıqdan sonra kvadrat tənlik alınır: 2 + 31 360 = 0. Bu, "in" üçün iki qiymət verir: 9 və - 40. İkinci nömrə cavab olaraq uyğun deyil, çünki tərəfin uzunluğu üçbucağın mənfi qiyməti ola bilməz.

İkinci ayağı hesablamaq qalır: alınan ədədə 31 əlavə edin.Məlum olur ki, 40. Məsələdə axtarılan kəmiyyətlər bunlardır.

Cavab verin. Üçbucağın ayaqları 9 və 40 sm-dir.

Üçbucağın sahəsi, tərəfi və bucağından keçən tərəfin tapılması məsələsi

Vəziyyət. Müəyyən bir üçbucağın sahəsi 60 sm 2-dir. İkinci tərəfi 15 sm və aralarındakı bucaq 30º olarsa, onun tərəflərindən birini hesablamaq lazımdır.

Həll. Qəbul edilmiş qeydə əsasən, istənilən tərəf “a”, məlum tərəf “b”, verilmiş bucaq “γ”dır. Sonra sahə düsturu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

60 = ½ a * 15 * günah 30º. Burada 30 dərəcə sinus 0,5-dir.

Dönüşümlərdən sonra "a" 60 / (0,5 * 0,5 * 15) bərabər olur. Yəni 16.

Cavab verin. Tələb olunan tərəf 16 sm-dir.

Düzbucaqlı üçbucağa yazılmış kvadratla bağlı məsələ

Vəziyyət. Yan tərəfi 24 sm olan kvadratın təpəsi üçbucağın düz bucağı ilə üst-üstə düşür. Qalan ikisi yanlarda yatır. Üçüncüsü hipotenuzaya aiddir. Ayaqlardan birinin uzunluğu 42 sm-dir.Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi nə qədərdir?

Həll. İki düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək. Birincisi, tapşırıqda göstəriləndir. İkincisi orijinal üçbucağın məlum ayağına əsaslanır. Onlar oxşardırlar, çünki ümumi bir bucaq var və paralel xətlərdən əmələ gəlir.

Sonra ayaqlarının nisbətləri bərabərdir. Kiçik üçbucağın ayaqları 24 sm (kvadratın tərəfi) və 18 sm-ə bərabərdir (verilmiş ayaq 42 sm kvadratın tərəfini 24 sm çıxarır). Böyük üçbucağın uyğun ayaqları 42 sm və x sm-dir.Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün bu "x" lazımdır.

18/42 = 24/x, yəni x = 24 * 42 / 18 = 56 (sm).

Onda sahə 56 və 42-nin ikiyə bölünməsi hasilinə, yəni 1176 sm 2-ə bərabərdir.

Cavab verin. Tələb olunan sahə 1176 sm 2-dir.

Üçbucaq ibtidai məktəbdə tanış olduğumuz ən çox yayılmış həndəsi fiqurlardan biridir. Hər bir şagird həndəsə dərslərində üçbucağın sahəsini necə tapmaq sualı ilə qarşılaşır. Beləliklə, verilmiş bir fiqurun sahəsini tapmağın hansı xüsusiyyətləri müəyyən edilə bilər? Bu yazıda belə bir tapşırığı yerinə yetirmək üçün lazım olan əsas düsturlara baxacağıq, həmçinin üçbucaq növlərini təhlil edəcəyik.

Üçbucaq növləri

Üçbucağın sahəsini tamamilə fərqli yollarla tapa bilərsiniz, çünki həndəsədə üç bucaqdan ibarət birdən çox fiqur növü var. Bu növlərə aşağıdakılar daxildir:

• küt.
• Bərabərtərəfli (düzgün).
• Sağ üçbucaq.
• İzoskellər.

Mövcud üçbucaq növlərinin hər birinə daha yaxından nəzər salaq.

Bu həndəsi fiqur həndəsi məsələləri həll edərkən ən çox yayılmış hesab olunur. İxtiyari bir üçbucaq çəkmək zərurəti yarandıqda, bu seçim köməyə gəlir.

Kəskin üçbucaqda, adından da göründüyü kimi, bütün bucaqlar kəskindir və 180°-ə qədər toplanır.

Bu tip üçbucaq da çox yayılmışdır, lakin kəskin üçbucaqdan bir qədər az yayılmışdır. Məsələn, üçbucaqları həll edərkən (yəni onun bir neçə tərəfi və bucaqları məlumdur və qalan elementləri tapmaq lazımdır) bəzən bucağın küt olub olmadığını müəyyən etmək lazımdır. Kosinus mənfi ədəddir.

B, bucaqlardan birinin dəyəri 90 ° -dən çoxdur, buna görə qalan iki bucaq kiçik dəyərlər qəbul edə bilər (məsələn, 15 ° və ya hətta 3 °).

Bu tip bir üçbucağın sahəsini tapmaq üçün daha sonra danışacağımız bəzi nüansları bilməlisiniz.

Düzgün və ikitərəfli üçbucaqlar

Müntəzəm çoxbucaqlı, n bucaqdan ibarət olan və tərəfləri və bucaqları bərabər olan fiqurdur. Normal üçbucaq budur. Üçbucağın bütün bucaqlarının cəmi 180° olduğundan, üç bucağın hər biri 60°-dir.

Müntəzəm üçbucağa xassəsinə görə bərabərtərəfli fiqur da deyilir.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, nizamlı üçbucaqda yalnız bir dairə yazıla bilər və onun ətrafında yalnız bir dairə təsvir edilə bilər və onların mərkəzləri eyni nöqtədə yerləşir.

Bərabər tərəfli tipə əlavə olaraq, ondan bir qədər fərqli olan ikitərəfli üçbucağı da ayırd etmək olar. Belə bir üçbucaqda iki tərəf və iki bucaq bir-birinə bərabərdir və üçüncü tərəf (bərabər açıların bitişik olduğu) əsasdır.

Şəkildə D və F bucaqları bərabər olan və DF əsas olan DEF ikitərəfli üçbucağını göstərir.

Sağ üçbucaq

Düzbucaqlı üçbucaq bucaqlarından biri düz, yəni 90°-yə bərabər olduğu üçün belə adlandırılmışdır. Digər iki bucaq 90°-ə qədər toplanır.

Belə üçbucağın 90° bucağın qarşısında uzanan ən böyük tərəfi hipotenuza, qalan iki tərəfi isə ayaqlarıdır. Bu tip üçbucaq üçün Pifaqor teoremi tətbiq olunur:

Ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəmi hipotenuzanın uzunluğunun kvadratına bərabərdir.

Şəkildə AC hipotenuzası və ayaqları AB və BC olan BAC düzbucaqlı üçbucağı göstərilir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapmaq üçün onun ayaqlarının ədədi dəyərlərini bilmək lazımdır.

Verilmiş fiqurun sahəsini tapmaq üçün düsturlara keçək.

Sahənin tapılması üçün əsas düsturlar

Həndəsədə əksər üçbucaq növlərinin sahəsini tapmaq üçün uyğun olan iki düstur var, yəni kəskin, küt, müntəzəm və ikitərəfli üçbucaqlar üçün. Gəlin onların hər birinə nəzər salaq.

Yan və hündürlükdə

Bu düstur nəzərdən keçirdiyimiz fiqurun sahəsini tapmaq üçün universaldır. Bunun üçün tərəfin uzunluğunu və ona çəkilmiş hündürlüyün uzunluğunu bilmək kifayətdir. Düsturun özü (əsas və hündürlüyün məhsulunun yarısı) aşağıdakı kimidir:

burada A verilmiş üçbucağın tərəfi, H isə üçbucağın hündürlüyüdür.

Məsələn, kəskin ACB üçbucağının sahəsini tapmaq üçün onun AB tərəfini CD hündürlüyünə vurmalı və alınan dəyəri ikiyə bölmək lazımdır.

Ancaq bu şəkildə üçbucağın sahəsini tapmaq həmişə asan olmur. Məsələn, küt üçbucaq üçün bu düsturdan istifadə etmək üçün onun tərəflərindən birini uzatmalı və yalnız bundan sonra ona hündürlük çəkməlisiniz.

Praktikada bu düstur digərlərindən daha çox istifadə olunur.

Hər iki tərəfdə və küncdə

Bu düstur, əvvəlki kimi, əksər üçbucaqlar üçün uyğundur və mənasına görə üçbucağın yan-yana sahəsini və hündürlüyünü tapmaq üçün düsturun nəticəsidir. Yəni sözügedən düstur əvvəlkindən asanlıqla əldə edilə bilər. Onun forması belə görünür:

S = ½*sinO*A*B,

burada A və B üçbucağın tərəfləri, O isə A və B tərəfləri arasındakı bucaqdır.

Yada salaq ki, bucağın sinusuna görkəmli sovet riyaziyyatçısı V. M. Bradisin adını daşıyan xüsusi cədvəldə baxmaq olar.

İndi yalnız üçbucaqların müstəsna növləri üçün uyğun olan digər düsturlara keçək.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Üçbucağın hündürlüyünü tapmaq ehtiyacını ehtiva edən universal düstura əlavə olaraq, düz bucağı olan üçbucağın sahəsi onun ayaqlarından tapıla bilər.

Beləliklə, düz bucağı olan üçbucağın sahəsi onun ayaqlarının məhsulunun yarısıdır və ya:

burada a və b düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarıdır.

Daimi üçbucaq

Bu tip həndəsi fiqur fərqlidir ki, onun sahəsi yalnız tərəflərindən birinin göstərilən dəyəri ilə tapıla bilər (çünki müntəzəm üçbucağın bütün tərəfləri bərabərdir). Beləliklə, "tərəflər bərabər olduqda üçbucağın sahəsini tapmaq" vəzifəsi ilə qarşılaşdıqda, aşağıdakı düsturdan istifadə etməlisiniz:

S = A 2 *√3 / 4,

burada A bərabərtərəfli üçbucağın tərəfidir.

Heron düsturu

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün son variant Heron düsturudur. Onu istifadə etmək üçün fiqurun üç tərəfinin uzunluğunu bilmək lazımdır. Heronun düsturu belə görünür:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

burada a, b və c verilmiş üçbucağın tərəfləridir.

Bəzən problem verilir: "müntəzəm üçbucağın sahəsi onun tərəfinin uzunluğunu tapmaqdır." Bu halda, müntəzəm üçbucağın sahəsini tapmaq üçün artıq bildiyimiz düsturdan istifadə etməli və ondan tərəfinin (və ya kvadratının) qiymətini çıxarmalıyıq:

A 2 = 4S / √3.

İmtahan tapşırıqları

Riyaziyyatda GİA məsələlərində çoxlu düsturlar var. Bundan əlavə, çox vaxt damalı kağızda üçbucağın sahəsini tapmaq lazımdır.

Bu vəziyyətdə hündürlüyü rəqəmin tərəflərindən birinə çəkmək, uzunluğunu hüceyrələrdən müəyyən etmək və sahəni tapmaq üçün universal düsturdan istifadə etmək ən əlverişlidir:

Beləliklə, məqalədə təqdim olunan düsturları öyrəndikdən sonra hər hansı bir üçbucağın sahəsini tapmaqda problem olmayacaq.

Üçbucağın sahəsi - düsturlar və problemin həlli nümunələri

Aşağıda ixtiyari üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düsturlar xassələrindən, bucaqlarından və ölçülərindən asılı olmayaraq istənilən üçbucağın sahəsini tapmaq üçün uyğundur. Düsturlar onların tətbiqi üçün izahatlar və ya düzgünlüyünün əsaslandırılması ilə şəkil şəklində təqdim olunur. Həmçinin, ayrıca rəqəm formullardakı hərf simvolları ilə rəsmdəki qrafik simvollar arasındakı uyğunluğu göstərir.

Qeyd . Üçbucağın xüsusi xassələri varsa (ikitərəfli, düzbucaqlı, bərabərtərəfli), siz aşağıda verilmiş düsturlardan, həmçinin yalnız bu xüsusiyyətlərə malik üçbucaqlar üçün etibarlı olan əlavə xüsusi düsturlardan istifadə edə bilərsiniz:

• "Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düstur"

Üçbucaq sahəsi düsturları

Düsturlar üçün izahatlar:
a, b, c- sahəsini tapmaq istədiyimiz üçbucağın tərəflərinin uzunluqları
r- üçbucağa yazılmış dairənin radiusu
R- üçbucağın ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu
h- yan tərəfə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü
səh- üçbucağın yarım perimetri, tərəflərinin cəminin 1/2 hissəsi (perimetri)
α - üçbucağın a tərəfinə əks olan bucaq
β - üçbucağın b tərəfinə əks olan bucaq
γ - üçbucağın c tərəfinə əks olan bucaq
h a, h b , h c- a, b, c tərəflərinə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü

Nəzərə alın ki, verilmiş qeydlər yuxarıdakı şəklə uyğundur ki, həqiqi həndəsə problemini həll edərkən düsturun lazımi yerlərdə düzgün dəyərləri əvəz etmək vizual olaraq daha asan olsun.

• Üçbucağın sahəsi üçbucağın hündürlüyünün məhsulunun yarısı və bu hündürlüyün aşağı salındığı tərəfin uzunluğu(Formula 1). Bu formulun düzgünlüyünü məntiqlə başa düşmək olar. Baza endirilən hündürlük ixtiyari üçbucağı iki düzbucaqlıya böləcək. Əgər onların hər birini b və h ölçüləri olan düzbucaqlı halına gətirsəniz, bu üçbucaqların sahəsi düzbucaqlının tam yarısına bərabər olacaqdır (Spr = bh)
• Üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin yarısı və aralarındakı bucağın sinusunun hasilidir(Formula 2) (aşağıda bu düsturdan istifadə etməklə problemin həlli nümunəsinə baxın). Əvvəlkidən fərqli görünsə də, asanlıqla ona çevrilə bilər. Hündürlüyü B bucağından b tərəfinə endirsək, düzgün üçbucaqdakı sinusun xüsusiyyətlərinə görə a tərəfinin və γ bucağının sinusunun hasilinin çəkdiyimiz üçbucağın hündürlüyünə bərabər olduğu ortaya çıxır. , bu bizə əvvəlki düsturu verir
• İxtiyari üçbucağın sahəsi tapıla bilər vasitəsilə iş bütün tərəflərinin uzunluqlarının cəmi ilə daxil edilmiş dairənin radiusunun yarısı(Formula 3), sadəcə olaraq, üçbucağın yarım perimetrini yazılmış dairənin radiusuna vurmaq lazımdır (bunu xatırlamaq daha asandır)
• İxtiyari üçbucağın sahəsi onun bütün tərəflərinin hasilini onun ətrafında çəkilmiş dairənin 4 radiusuna bölmək yolu ilə tapıla bilər (Formula 4)
• Formula 5 üçbucağın sahəsini tərəflərinin uzunluqları və yarım perimetri (bütün tərəflərinin cəminin yarısı) vasitəsilə tapmaqdır.
• Heron düsturu(6) eyni formulun yarımperimetr anlayışından istifadə etmədən, yalnız tərəflərin uzunluqları vasitəsilə təsviridir.
• İxtiyari üçbucağın sahəsi üçbucağın tərəfinin kvadratının və bu tərəfə bitişik bucaqların sinuslarının bu tərəfə qarşı olan bucağın ikiqat sinusuna bölünməsinə bərabərdir (Formula 7)
• İxtiyari üçbucağın sahəsi, hər bucağının sinusları ilə ətrafına çəkilmiş dairənin iki kvadratının məhsulu kimi tapıla bilər. (Formula 8)
• Bir tərəfin uzunluğu və iki bitişik bucağın dəyərləri məlumdursa, üçbucağın sahəsi bu tərəfin kvadratının bu bucaqların kotangentlərinin ikiqat cəminə bölünməsi kimi tapıla bilər (Formula 9)
• Yalnız üçbucağın hər hündürlüyünün uzunluğu məlumdursa (Formula 10), onda belə üçbucağın sahəsi Heron düsturuna görə bu hündürlüklərin uzunluqlarına tərs mütənasibdir.
• Formula 11 hesablamağa imkan verir təpələrinin koordinatlarına əsaslanan üçbucağın sahəsi təpələrin hər biri üçün (x;y) dəyərlər kimi müəyyən edilir. Nəzərə alın ki, nəticədə alınan dəyər modul olaraq qəbul edilməlidir, çünki ayrı-ayrı (və ya hətta bütün) təpələrin koordinatları mənfi dəyərlər bölgəsində ola bilər.

Qeyd. Aşağıda üçbucağın sahəsini tapmaq üçün həndəsə məsələlərinin həlli nümunələri verilmişdir. Əgər burada oxşar olmayan həndəsə məsələsini həll etmək lazımdırsa, bu barədə forumda yazın. Həlllərdə "kvadrat kök" simvolu əvəzinə sqrt () funksiyasından istifadə edilə bilər, burada sqrt kvadrat kök simvoludur və radikal ifadə mötərizədə göstərilir..Bəzən sadə radikal ifadələr üçün simvoldan istifadə edilə bilər √

Tapşırıq. Verilmiş iki tərəfin sahəsini və onların arasındakı bucağı tapın

Üçbucağın tərəfləri 5 və 6 sm, aralarındakı bucaq 60 dərəcədir. Üçbucağın sahəsini tapın.

Həll.

Bu problemi həll etmək üçün dərsin nəzəri hissəsindən ikinci düsturdan istifadə edirik.
Üçbucağın sahəsi iki tərəfin uzunluqları və aralarındakı bucağın sinusu ilə tapıla bilər və ona bərabər olacaqdır.
S=1/2 ab sin γ

Həll üçün bütün lazımi məlumatlara malik olduğumuz üçün (düstura görə), biz yalnız problem şərtlərindəki dəyərləri düstura əvəz edə bilərik:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəlində 60 dərəcə sinusun dəyərini tapıb ifadəyə əvəz edəcəyik. Üç dəfə ikinin kökünə bərabər olacaq.
S = 15 √3 / 2

Cavab verin: 7.5 √3 (müəllimin tələblərindən asılı olaraq, yəqin ki, 15 √3/2 buraxa bilərsiniz)

Tapşırıq. Bərabər üçbucağın sahəsini tapın

Tərəfi 3 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapın.

Həll .

Üçbucağın sahəsini Heron düsturu ilə tapmaq olar:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c olduğundan, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düstur aşağıdakı formanı alır:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cavab verin: 9 √3 / 4.

Tapşırıq. Tərəflərin uzunluğunu dəyişdirərkən sahəni dəyişdirin

Tərəfləri 4 dəfə artırsa, üçbucağın sahəsi neçə dəfə artar?

Həll.

Üçbucağın tərəflərinin ölçüləri bizə məlum olmadığı üçün məsələni həll etmək üçün tərəflərin uzunluqlarının müvafiq olaraq a, b, c ixtiyari ədədlərinə bərabər olduğunu qəbul edəcəyik. Sonra məsələnin sualına cavab vermək üçün verilmiş üçbucağın sahəsini tapacağıq, sonra tərəfləri dörd dəfə böyük olan üçbucağın sahəsini tapacağıq. Bu üçbucaqların sahələrinin nisbəti bizə məsələnin cavabını verəcəkdir.

Aşağıda problemin həllinin addım-addım mətn izahını təqdim edirik. Bununla belə, ən sonunda, eyni həll daha rahat qrafik formada təqdim olunur. Maraqlananlar dərhal həll yollarına gedə bilərlər.

Həll etmək üçün Heron düsturundan istifadə edirik (yuxarıda dərsin nəzəri hissəsində baxın). Bu belə görünür:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdakı şəklin ilk sətirinə baxın)

İxtiyari üçbucağın tərəflərinin uzunluqları a, b, c dəyişənləri ilə müəyyən edilir.
Tərəflər 4 dəfə artırılarsa, yeni c üçbucağının sahəsi:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdakı şəkildəki ikinci sətirə baxın)

Gördüyünüz kimi, 4 ümumi riyaziyyat qaydalarına uyğun olaraq dörd ifadənin hamısından mötərizədən çıxarıla bilən ümumi bir amildir.
Sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - şəklin üçüncü sətirində
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü xətt

256 rəqəminin kvadrat kökü mükəmməl şəkildə çıxarılıb, ona görə də kökün altından çıxaraq
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdakı şəklin beşinci sətrinə baxın)

Problemdə verilən suala cavab vermək üçün ortaya çıxan üçbucağın sahəsini orijinalın sahəsinə bölmək kifayətdir.
İfadələri bir-birinə bölmək və yaranan kəsri azaltmaqla sahə nisbətlərini təyin edək.