Elementar funksiyalar nəzəriyyəsi. Əsas elementar funksiyalar

Bilik əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri vurma cədvəllərini bilməkdən az əhəmiyyətli deyil. Onlar bünövrə kimidirlər, hər şey onlara əsaslanır, hər şey onlardan qurulur və hər şey onların üzərinə düşür.

Bu yazıda biz bütün əsas elementar funksiyaları sadalayacağıq, onların qrafiklərini təqdim edəcəyik və nəticə və sübut olmadan verəcəyik. əsas elementar funksiyaların xassələri sxemə görə:

• funksiyanın təyinetmə sahəsinin, şaquli asimptotların sərhədlərində davranışı (zəruri olduqda, funksiyanın kəsilmə nöqtələrinin məqalə təsnifatına baxın);
• cüt və tək;
• qabarıqlıq (yuxarı qabarıqlıq) və qabarıqlıq (aşağıya doğru qabarıqlıq), əyilmə nöqtələri (lazım olduqda, funksiyanın qabarıqlığına, qabarıqlığın istiqamətinə, əyilmə nöqtələrinə, qabarıqlıq və əyilmə şərtlərinə baxın);
• əyri və üfüqi asimptotlar;
• funksiyaların tək nöqtələri;
• bəzi funksiyaların xüsusi xassələri (məsələn, triqonometrik funksiyaların ən kiçik müsbət dövrü).

Əgər maraqlanırsınızsa və ya, onda nəzəriyyənin bu bölmələrinə keçə bilərsiniz.

Əsas elementar funksiyalar bunlardır: sabit funksiya (sabit), n-ci kök, güc funksiyası, eksponensial, loqarifmik funksiya, triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalar.

Səhifə naviqasiyası.

Daimi funksiya.

Sabit funksiya bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda düsturla müəyyən edilir, burada C bəzi həqiqi ədəddir. Sabit funksiya x müstəqil dəyişənin hər bir real qiymətini y asılı dəyişənin eyni qiyməti ilə - C dəyəri ilə əlaqələndirir. Sabit funksiyaya sabit də deyilir.

Sabit funksiyanın qrafiki x oxuna paralel və koordinatları (0,C) olan nöqtədən keçən düz xəttdir. Məsələn, aşağıdakı şəkildə qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğun gələn y=5, y=-2 və sabit funksiyalarının qrafiklərini göstərək.

Sabit funksiyanın xassələri.

• Domen: real ədədlərin bütün dəsti.
• Sabit funksiya cütdür.
• Dəyərlər diapazonu: tək C ədədindən ibarət çoxluq.
• Daimi funksiya artan və azalmayandır (buna görə də daimidir).
• Sabitin qabarıqlığı və qabarıqlığı haqqında danışmağın mənası yoxdur.
• Asimptotlar yoxdur.
• Funksiya koordinat müstəvisinin (0,C) nöqtəsindən keçir.

n-ci kök.

Düsturu ilə verilən əsas elementar funksiyanı nəzərdən keçirək, burada n birdən böyük natural ədəddir.

n-ci dərəcəli kök, n cüt ədəddir.

N kök göstəricisinin cüt dəyərləri üçün n-ci kök funksiyasından başlayaq.

Nümunə olaraq, burada funksiya qrafiklərinin təsvirləri olan bir şəkil var və , onlar qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Cüt dərəcəli kök funksiyalarının qrafikləri eksponentin digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malikdir.

Cüt n üçün n-ci kök funksiyasının xassələri.

n-ci dərəcəli kök, n tək ədəddir.

Tək kök göstəricisi n olan n-ci kök funksiyası bütün həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilir. Məsələn, burada funksiya qrafikləri var və , onlar qara, qırmızı və mavi əyrilərə uyğundur.

Kök eksponentin digər tək dəyərləri üçün funksiya qrafikləri oxşar görünüşə sahib olacaq.

Tək n üçün n-ci kök funksiyasının xassələri.

Güc funksiyası.

Güc funksiyası formanın düsturu ilə verilir.

Qüdrət funksiyasının qrafiklərinin formasını və eksponentin qiymətindən asılı olaraq güc funksiyasının xassələrini nəzərdən keçirək.

Tam göstəricisi a olan güc funksiyasından başlayaq. Bu zaman güc funksiyalarının qrafiklərinin görünüşü və funksiyaların xassələri eksponentin bərabər və ya təkliyindən, həmçinin işarəsindən asılıdır. Buna görə də, əvvəlcə a eksponentinin tək müsbət qiymətləri, sonra cüt müsbət göstəricilər, sonra tək mənfi eksponentlər və nəhayət, hətta mənfi a üçün güc funksiyalarını nəzərdən keçirəcəyik.

Kəsrə və irrasional göstəricilərə malik güc funksiyalarının xassələri (həmçinin belə güc funksiyalarının qrafiklərinin növü) a eksponentinin qiymətindən asılıdır. Onları, birincisi, sıfırdan birə, ikincisi, birdən böyük üçün, üçüncüsü, mənfi birdən sıfıra qədər, dördüncü, mənfi birdən kiçik üçün nəzərdən keçirəcəyik.

Bu bölmənin sonunda tamlıq üçün sıfır eksponentli güc funksiyasını təsvir edəcəyik.

Tək müsbət eksponentli güc funksiyası.

Tək müsbət göstəricili, yəni a = 1,3,5,... olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

Aşağıdakı şəkildə güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt, – yaşıl xətt. a=1 üçün bizdə var xətti funksiya y=x.

Tək müsbət eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Hətta müsbət göstərici ilə güc funksiyası.

Cüt müsbət göstəricili güc funksiyasını nəzərdən keçirək, yəni a = 2,4,6,... üçün.

Nümunə olaraq güc funksiyalarının qrafiklərini veririk – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt. a=2 üçün qrafiki olan kvadratik funksiyamız var kvadratik parabola.

Cüt müsbət eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Tək mənfi eksponentli güc funksiyası.

Eksponentin tək mənfi qiymətləri üçün güc funksiyasının qrafiklərinə baxın, yəni a = -1, -3, -5,....

Şəkildə misal olaraq güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir - qara xətt, - mavi xətt, - qırmızı xətt, - yaşıl xətt. a=-1 üçün bizdə var tərs mütənasiblik, kimin qrafiki hiperbola.

Tək mənfi eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Hətta mənfi eksponentli güc funksiyası.

a=-2,-4,-6,…-da güc funksiyasına keçək.

Şəkildə güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt.

Cüt mənfi eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Qiyməti sıfırdan böyük və birdən kiçik olan rasional və ya irrasional eksponentli güc funksiyası.

Qeyd!Əgər a tək məxrəcli müsbət kəsrdirsə, onda bəzi müəlliflər güc funksiyasının təyinetmə sahəsini interval hesab edirlər. Müəyyən edilmişdir ki, a eksponenti azalmayan kəsrdir. İndi cəbr və təhlil prinsipləri üzrə bir çox dərsliklərin müəllifləri arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını TƏYİD ETMİR. Biz məhz bu fikrə əməl edəcəyik, yəni çoxluğu kəsr müsbət göstəriciləri olan güc funksiyalarının təyini sahələri hesab edəcəyik. Tələbələrə fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin bu incə məqamla bağlı fikrini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Rasional və ya irrasional göstəricisi a olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

a=11/12 (qara xətt), a=5/7 (qırmızı xətt), (mavi xətt), a=2/5 (yaşıl xətt) üçün güc funksiyalarının qrafiklərini təqdim edək.

Tam olmayan rasional və ya irrasional eksponenti birdən böyük olan güc funksiyası.

Tam ədədi olmayan rasional və ya irrasional göstəricisi a olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

Düsturlarla verilmiş güc funksiyalarının qrafiklərini təqdim edək (müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl xətlər).

a eksponentinin digər qiymətləri üçün funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaqdır.

-də güc funksiyasının xassələri.

Həqiqi eksponenti mənfi birdən böyük və sıfırdan kiçik olan güc funksiyası.

Qeyd!Əgər a tək məxrəcli mənfi kəsrdirsə, onda bəzi müəlliflər güc funksiyasının tərif sahəsini interval hesab edirlər. . Müəyyən edilmişdir ki, a eksponenti azalmayan kəsrdir. İndi cəbr və təhlil prinsipləri üzrə bir çox dərsliklərin müəllifləri arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını TƏYİD ETMİR. Biz məhz bu fikrə sadiq qalacağıq, yəni kəsr mənfi göstəriciləri olan dərəcə funksiyalarının təyini sahələrini müvafiq olaraq çoxluq hesab edəcəyik. Tələbələrə fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin bu incə məqamla bağlı fikrini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Gəlin güc funksiyasına keçək, kgod.

Güc funksiyalarının qrafiklərinin forması haqqında yaxşı təsəvvürə malik olmaq üçün funksiyaların qrafiklərinə nümunələr veririk. (müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl əyrilər).

a, eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Tam olmayan real eksponenti mənfi birdən kiçik olan güc funksiyası.

üçün güc funksiyalarının qrafiklərinə nümunələr verək , onlar müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl xətlərlə təsvir edilmişdir.

Tam olmayan mənfi eksponenti mənfi birdən kiçik olan güc funksiyasının xassələri.

a = 0 olduqda, funksiyamız var - bu, (0;1) nöqtəsinin xaric edildiyi düz xəttdir (0 0 ifadəsinə heç bir əhəmiyyət verməmək razılaşdırıldı).

Eksponensial funksiya.

Əsas elementar funksiyalardan biri eksponensial funksiyadır.

Eksponensial funksiyanın qrafiki, burada və əsasın qiymətindən asılı olaraq müxtəlif formalar alır a. Gəlin bunu anlayaq.

Birincisi, eksponensial funksiyanın əsasının sıfırdan 1-ə qədər qiymət alması halını nəzərdən keçirək, yəni.

Nümunə olaraq a = 1/2 – mavi xətt, a = 5/6 – qırmızı xətt üçün eksponensial funksiyanın qrafiklərini təqdim edirik. Eksponensial funksiyanın qrafikləri bazanın digər qiymətləri üçün intervaldan oxşar görünüşə malikdir.

Əsası birdən kiçik olan eksponensial funksiyanın xassələri.

Eksponensial funksiyanın əsasının birdən böyük olması halına keçək, yəni .

Bir illüstrasiya olaraq, eksponensial funksiyaların qrafiklərini təqdim edirik - mavi xətt və - qırmızı xətt. Bazanın birdən böyük digər qiymətləri üçün eksponensial funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaq.

Əsası birdən böyük olan eksponensial funksiyanın xassələri.

Loqarifmik funksiya.

Növbəti əsas elementar funksiya loqarifmik funksiyadır, burada , . Loqarifmik funksiya yalnız arqumentin müsbət qiymətləri üçün, yəni üçün müəyyən edilir.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki a əsasının qiymətindən asılı olaraq müxtəlif formalar alır.

Əsas elementar funksiyaların tam siyahısı

Əsas elementar funksiyalar sinfinə aşağıdakılar daxildir:

1. Sabit funksiya $y=C$, burada $C$ sabitdir. Belə bir funksiya istənilən $x$ üçün eyni $C$ dəyərini alır.
2. Güc funksiyası $y=x^(a) $, burada $a$ eksponenti həqiqi ədəddir.
3. $y=a^(x) $ eksponensial funksiyası, burada baza dərəcəsi $a>0$, $a\ne 1$-dır.
4. Loqarifmik funksiya $y=\log _(a) x$, burada loqarifmin əsası $a>0$, $a\ne 1$-dır.
5. Triqonometrik funksiyalar $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\san x$, $y=A>\ san\,x$.
6. Tərs triqonometrik funksiyalar $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Güc funksiyaları

Biz $y=x^(a) $ güc funksiyasının davranışını onun eksponentinin tam eksponentasiya və kök çıxarılmasını təyin etdiyi ən sadə hallar üçün nəzərdən keçirəcəyik.

İş 1

$y=x^(a) $ funksiyasının göstəricisi natural ədəddir, yəni N$-da $y=x^(n) $, $n\.

Əgər $n=2\cdot k$ cüt ədəddirsə, onda $y=x^(2\cdot k) $ funksiyası cütdür və sanki $\left(x\to +\infty \ right) arqumenti kimi qeyri-müəyyən artır. )$ və qeyri-məhdud azalması ilə $\left(x\to -\infty \right)$. Funksiyanın bu davranışını $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ və $\mathop(\lim )\ ifadələri ilə təsvir etmək olar. limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, bu o deməkdir ki, hər iki halda funksiya limitsiz artır ($\lim $ limitdir). Misal: $y=x^(2) $ funksiyasının qrafiki.

Əgər $n=2\cdot k-1$ tək ədəddirsə, onda $y=x^(2\cdot k-1) $ funksiyası təkdir, arqument qeyri-müəyyən artdıqca qeyri-müəyyən artır və arqument kimi qeyri-müəyyən azalır. qeyri-müəyyən müddətə azalır. Funksiyanın bu davranışı $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ və $\mathop(\lim) ifadələri ilə təsvir edilə bilər. )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Misal: $y=x^(3) $ funksiyasının qrafiki.

İş 2

$y=x^(a) $ funksiyasının göstəricisi mənfi tam ədəddir, yəni N$-da $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\.

Əgər $n=2\cdot k$ cüt ədəddirsə, onda $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ funksiyası cütdür və qeyri-məhdud artım arqumentində olduğu kimi asimptotik (tədricən) sıfıra yaxınlaşır. , və onun qeyri-məhdud azalması ilə. Funksiyanın bu davranışı bir ifadə ilə təsvir edilə bilər $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, bu o deməkdir ki, mütləq dəyərdə arqumentin qeyri-məhdud artması ilə funksiyanın həddi sıfırdır. Bundan əlavə, arqument həm solda $\left(x\to 0-0\right)$, həm də sağda $\left(x\to 0+0\right)$-da sıfıra meylləndiyindən, funksiya olmadan artır. limit. Buna görə də $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ və $\mathop(\lim )\ ifadələri limitlər_ etibarlıdır (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, yəni $y=\frac(1)(x^(2) funksiyası \cdot k ) ) $ hər iki halda $+\infty $-a bərabər sonsuz limitə malikdir. Misal: $y=\frac(1)(x^(2) ) $ funksiyasının qrafiki.

Əgər $n=2\cdot k-1$ tək ədəddirsə, onda $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ funksiyası təkdir və asimptotik olaraq sıfıra yaxınlaşır. arqument artır və limitsiz azaldıqda. Funksiyanın bu davranışı bir ifadə ilə təsvir edilə bilər $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Bundan əlavə, arqument solda sıfıra yaxınlaşdıqca funksiya limitsiz azalır, sağda isə arqument sıfıra yaxınlaşdıqca funksiya limitsiz artır, yəni $\mathop(\lim )\limits_(x\to) 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ və $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Misal: $y=\frac(1)(x) $ funksiyasının qrafiki.

İş 3

$y=x^(a) $ funksiyasının göstəricisi natural ədədin tərsidir, yəni N$-da $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\.

Əgər $n=2\cdot k$ cüt ədəddirsə, onda $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ funksiyası ikiqiymətlidir və yalnız $x\ge 0 üçün müəyyən edilir. $. Arqumentin qeyri-məhdud artması ilə $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ funksiyasının qiyməti qeyri-məhdud, $y=-\sqrt[(2\) funksiyasının qiyməti qeyri-məhdud artır. cdot k)](x) $ limitsiz azalır , yəni $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ və $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Misal: $y=\pm \sqrt(x) $ funksiyasının qrafiki.

Əgər $n=2\cdot k-1$ tək ədəddirsə, onda $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ funksiyası təkdir, arqumentin qeyri-məhdud artması ilə qeyri-məhdud artır. və limitsiz olduqda qeyri-məhdud azalır, azalır, yəni $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ və $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Nümunə: $y=\sqrt[(3)](x) $ funksiyasının qrafiki.

Eksponensial və loqarifmik funksiyalar

Eksponensial $y=a^(x) $ və loqarifmik $y=\log _(a) x$ funksiyaları qarşılıqlı tərsdir. Onların qrafikləri birinci və üçüncü koordinat bucaqlarının ümumi bissektrisasına görə simmetrikdir.

$\left(x\to +\infty \right)$ arqumenti qeyri-müəyyən artdıqda, eksponensial funksiya və ya $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ qeyri-müəyyən artır , əgər $a>1$ və ya asimptotik olaraq sıfıra yaxınlaşır $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, əgər $a1$ və ya $\mathop limitsiz artır (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, əgər $a

$y=a^(x) $ funksiyası üçün xarakterik qiymət $x=0$ dəyəridir. Bu halda, $a$-dan asılı olmayaraq bütün eksponensial funksiyalar $Oy$ oxunu mütləq $y=1$ nöqtəsində kəsir. Nümunələr: $y=2^(x) $ və $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $ funksiyalarının qrafikləri.

$y=\log _(a) x$ loqarifmik funksiyası yalnız $x > 0$ üçün müəyyən edilir.

$\left(x\to +\infty \right)$ arqumenti qeyri-müəyyən artdıqca, loqarifmik funksiya və ya $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ qeyri-müəyyən müddətə infty $ artırır, əgər $a>1$ olarsa və ya məhdudiyyətsiz azalır $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, əgər $a1 $, və ya məhdudiyyətsiz $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ artarsa, $a

$y=\log _(a) x$ funksiyası üçün xarakterik qiymət $y=0$ dəyəridir. Bu halda $a$-dan asılı olmayaraq bütün loqarifmik funksiyalar $Ox$ oxunu mütləq $x=1$ nöqtəsində kəsir. Nümunələr: $y=\log _(2) x$ və $y=\log _(1/2) x$ funksiyalarının qrafikləri.

Bəzi loqarifmik funksiyalar xüsusi qeydlərə malikdir. Xüsusilə loqarifmin əsası $a=10$ olarsa, belə loqarifma onluq adlanır və ona uyğun funksiya $y=\lg x$ kimi yazılır. Və əgər loqarifmin əsası kimi $e=2,7182818\ldots $ irrasional ədədi seçilirsə, belə loqarifmə natural deyilir və ona uyğun funksiya $y=\ln x$ kimi yazılır. Onun tərsi eksponent adlanan $y=e^(x) $ funksiyasıdır.

Bölmədə əsas elementar funksiyalar və onların xassələri haqqında istinad materialı var. Elementar funksiyaların təsnifatı verilmişdir. Aşağıda xüsusi funksiyaların xassələrini - qrafiklər, düsturlar, törəmələr, antitörəmələr (inteqrallar), sıraların genişləndirilməsi, mürəkkəb dəyişənlər vasitəsilə ifadələr haqqında danışan alt bölmələrə keçidlər verilmişdir.

Əsas funksiyalar üçün istinad səhifələri

Elementar funksiyaların təsnifatı

Cəbri funksiya tənliyi təmin edən funksiyadır:
,
burada asılı dəyişən y və müstəqil x dəyişənində çoxhədlidir. Bunu belə yazmaq olar:
,
polinomlar haradadır.

Cəbri funksiyalar çoxhədlilərə (bütün rasional funksiyalar), rasional funksiyalara və irrasional funksiyalara bölünür.

Bütün rasional funksiya, buna da deyilir polinom və ya polinom, x dəyişənindən və sonlu sayda ədədlərdən toplama (çıxma) və vurma arifmetik əməliyyatlarından istifadə etməklə alınır. Mötərizələr açıldıqdan sonra polinom kanonik formaya çevrilir:
.

Kəsrə rasional funksiya, və ya sadəcə rasional funksiya, x dəyişənindən və sonlu sayda ədədlərdən toplama (çıxma), vurma və bölmənin arifmetik əməllərindən istifadə etməklə alınır. Rasional funksiya formaya endirilə bilər
,
burada və çoxhədlidirlər.

İrrasional funksiya rasional olmayan cəbri funksiyadır. Bir qayda olaraq, irrasional funksiya dedikdə köklər və onların rasional funksiyalı tərkibləri başa düşülür. n dərəcəli kök tənliyin həlli kimi müəyyən edilir
.
Aşağıdakı kimi təyin edilir:
.

Transsendental funksiyalar qeyri-cəbr funksiyaları adlanır. Bunlar eksponensial, triqonometrik, hiperbolik və onların tərs funksiyalarıdır.

Əsas elementar funksiyaların icmalı

Bütün elementar funksiyalar formanın ifadəsi üzərində yerinə yetirilən sonlu sayda toplama, çıxma, vurma və bölmə əməliyyatları kimi təqdim edilə bilər:
z t .
Tərs funksiyaları loqarifmlərlə də ifadə etmək olar. Əsas elementar funksiyalar aşağıda verilmişdir.

Güc funksiyası:
y(x) = x p ,
burada p göstəricidir. Bu x dərəcəsinin əsasından asılıdır.
Güc funksiyasının tərsi də güc funksiyasıdır:
.
p eksponentinin tam qeyri-mənfi qiyməti üçün o, çoxhədlidir. Tam dəyəri üçün p - rasional funksiya. Rasional məna ilə - irrasional funksiya.

Transsendental funksiyalar

Eksponensial funksiya:
y(x) = a x ,
burada a dərəcənin əsasıdır. Bu x eksponentindən asılıdır.
Tərs funksiya a əsasında loqarifmdir:
x = log a y.

Eksponent, e üçün x gücü:
y(x) = e x ,
Bu, törəməsi funksiyanın özünə bərabər olan eksponensial funksiyadır:
.
Eksponentin əsası e ədədidir:
≈ 2,718281828459045... .
Tərs funksiya - natural loqarifm - e bazasına loqarifm:
x = ln y ≡ log e y.

Triqonometrik funksiyalar:
Sine: ;
Kosinus: ;
Tangens: ;
Kotangent: ;
Burada i xəyali vahiddir, i 2 = -1.

Tərs triqonometrik funksiyalar:
Arksinüs: x = arcsin y, ;
Qövs kosinusu: x = arccos y, ;
Arktangent: x = arktan y, ;
Qövs tangensi: x = arcctg y, .

Əsas elementar funksiyalar bunlardır: sabit funksiya (sabit), kök n-ci dərəcə, güc funksiyası, eksponensial, loqarifmik funksiya, triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalar.

Daimi funksiya.

Sabit funksiya bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda düsturla verilir, burada C- bəzi real rəqəm. Sabit funksiya müstəqil dəyişənin hər bir faktiki dəyərini təyin edir x asılı dəyişənin eyni dəyəri y- məna İLƏ. Sabit funksiyaya sabit də deyilir.

Sabit funksiyanın qrafiki x oxuna paralel və koordinatları olan nöqtədən keçən düz xəttdir. (0,C). Məsələn, sabit funksiyaların qrafiklərini göstərək y=5,y=-2 və , aşağıdakı şəkildəki müvafiq olaraq qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Sabit funksiyanın xassələri.

Domen: real ədədlərin bütün dəsti.

Sabit funksiya cütdür.

Dəyərlər diapazonu: tək ədəddən ibarət çoxluq İLƏ.

Daimi funksiya artan və azalmayandır (buna görə də daimidir).

Sabitin qabarıqlığı və qabarıqlığı haqqında danışmağın mənası yoxdur.

Asimptotlar yoxdur.

Funksiya nöqtədən keçir (0,C) koordinat müstəvisi.

n-ci dərəcəli kök.

Burada düsturla verilən əsas elementar funksiyanı nəzərdən keçirək n– birdən böyük natural ədəd.

n-ci kök, n cüt ədəddir.

Kök funksiyasından başlayaq n-kök eksponentin cüt dəyərləri üçün güc n.

Nümunə olaraq, burada funksiya qrafiklərinin təsvirləri olan bir şəkil var və , onlar qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Cüt dərəcəli kök funksiyalarının qrafikləri eksponentin digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malikdir.

Kök funksiyasının xassələrin - hətta üçün gücn .

n-ci kök, n tək ədəddir.

Kök funksiyası n-tək kök eksponenti ilə -inci güc n bütün həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilir. Məsələn, burada funksiya qrafikləri var və , onlar qara, qırmızı və mavi əyrilərə uyğundur.