Mühazirə: Vektor koordinatları; vektorların nöqtə hasili; vektorlar arasındakı bucaq

Vektor koordinatları

Beləliklə, əvvəllər qeyd edildiyi kimi, vektor öz başlanğıcı və sonu olan istiqamətlənmiş seqmentdir. Əgər başlanğıc və son bəzi nöqtələrlə təmsil olunursa, o zaman onların müstəvidə və ya fəzada öz koordinatları olur.

Əgər hər bir nöqtənin öz koordinatları varsa, onda biz bütün vektorun koordinatlarını ala bilərik.

Tutaq ki, vektorun başlanğıcı və sonu aşağıdakı təyinatlara və koordinatlara malik olan vektorumuz var: A(A x ; Ay) və B(B x ; By)

Bu vektorun koordinatlarını əldə etmək üçün vektorun sonunun koordinatlarından müvafiq başlanğıc koordinatlarını çıxmaq lazımdır:

Kosmosda vektorun koordinatını təyin etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:

Vektorların nöqtə hasili

Nöqtə məhsulu anlayışını təyin etməyin iki yolu var:

• Həndəsi yol. Onun fikrincə, skalyar hasil bu modulların qiymətlərinin hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.

• cəbri məna. Cəbr nöqteyi-nəzərindən iki vektorun skalyar hasili müvafiq vektorların hasillərinin cəmindən yaranan müəyyən qiymətdir.

Vektorlar kosmosda verilmişdirsə, onda oxşar düsturdan istifadə etməlisiniz:

Xüsusiyyətlər:

• İki eyni vektoru skalyar şəkildə çoxaltsanız, onların skalyar hasilatı mənfi olmayacaq:

• İki eyni vektorun skalyar məhsulu sıfıra bərabər olarsa, bu vektorlar sıfır hesab olunur:

• Müəyyən bir vektor özünə vurularsa, skalyar məhsul onun modulunun kvadratına bərabər olacaqdır:

• Skayar məhsulun kommunikativ xüsusiyyəti var, yəni skalyar məhsul vektorların dəyişdirilməsindən dəyişməyəcək:

• Sıfırdan fərqli vektorların skalyar hasili yalnız vektorlar bir-birinə perpendikulyar olduqda sıfır ola bilər:

• Vektorların skalyar hasili üçün vektorlardan birinin ədədə vurulması halında kommutativ qanun etibarlıdır:

• Nöqtə məhsulu ilə vurmanın paylayıcı xüsusiyyətindən də istifadə edə bilərsiniz:

Vektorlar arasındakı bucaq

Tərif 1

Vektorların skalyar hasilinə bu vektorların dinlərinin hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər ədəd deyilir.

a → və b → vektorlarının hasilinin qeydi a → , b → formasına malikdir. Formula çevirək:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → və b → vektorların uzunluqlarını, a → , b → ^ verilmiş vektorlar arasındakı bucağı göstərir. Əgər ən azı bir vektor sıfırdırsa, yəni 0 dəyərinə malikdirsə, nəticə sıfır olacaq, a → , b → = 0

Bir vektoru özünə vuranda onun dininin kvadratını alırıq:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Tərif 2

Bir vektorun özünə skalyar vurulmasına skalyar kvadrat deyilir.

Formula uyğun olaraq hesablanır:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → yazsaq, n p b → a → a → b → , n p a üzərinə ədədi proyeksiyası olduğunu göstərir. → a → - müvafiq olaraq b → a → üzərinə proyeksiyası.

Məhsulun tərifini iki vektor üçün tərtib edirik:

İki a → b → vektorunun skalyar hasilinə a → vektorunun uzunluğunun b → a → istiqamətinə proyeksiyasına və ya b → uzunluğunun a → proyeksiyasına hasilinə deyilir. müvafiq olaraq.

Koordinatlarda nöqtə məhsulu

Skayar hasilin hesablanması vektorların verilmiş müstəvidə və ya fəzada koordinatları vasitəsilə həyata keçirilə bilər.

Müstəvidə, üçölçülü fəzada iki vektorun skalyar hasilinə verilmiş a → və b → vektorlarının koordinatlarının cəmi deyilir.

Kartezian sistemində verilmiş a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) vektorlarının nöqtə hasili müstəvisində hesablayarkən istifadə edin:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

üçölçülü fəza üçün ifadə tətbiq olunur:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Əslində, bu, nöqtə məhsulunun üçüncü tərifidir.

Gəlin bunu sübut edək.

Sübut 1

Bunu sübut etmək üçün kartezian sistemində a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) vektorları üçün a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y -dən istifadə edirik.

Vektorlar təxirə salınmalıdır

O A → = a → = a x , a y və O B → = b → = b x , b y .

Onda A B → vektorunun uzunluğu bərabər olacaq A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

O A B üçbucağını nəzərdən keçirək.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) doğrudur, kosinus teoreminə əsaslanır.

Şərtə görə görmək olar ki, O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , ona görə də vektorlar arasında bucağı tapmaq üçün düsturu fərqli yazırıq.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Onda birinci tərifdən belə çıxır ki, b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , deməli (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b →) 2 - b → - a → 2) .

Vektorların uzunluğunu hesablamaq üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Gəlin bərabərlikləri sübut edək:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– müvafiq olaraq üçölçülü fəzanın vektorları üçün.

Koordinatları olan vektorların skalyar hasili deyir ki, vektorun skalyar kvadratı müvafiq olaraq fəzada və müstəvidə onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) və (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Nöqtə məhsulu və onun xassələri

a → , b → və c → üçün tətbiq olunan nöqtə məhsul xüsusiyyətləri var:

1. kommutativlik (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. paylanma (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. assosiativ xassə (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - istənilən ədəd;
4. skalyar kvadrat həmişə sıfırdan böyükdür (a → , a →) ≥ 0 , burada a → sıfır olduqda (a → , a →) = 0 olur.

Xassələr müstəvidə nöqtə hasilinin tərifi və həqiqi ədədlərin toplanması və vurulması xassələri ilə izah olunur.

Kommutativlik xassəsini sübut edin (a → , b →) = (b → , a →) . Tərifdən belə çıxır ki, (a → , b →) = a y b y + a y b y və (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Kommutativlik xassəsinə görə a x · b x = b x · a x və a y · b y = b y · a y bərabərlikləri doğrudur, ona görə də a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Buradan belə nəticə çıxır ki, (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Paylanma istənilən nömrələr üçün etibarlıdır:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

və (a → , b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

deməli bizdə var

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a () 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Nümunələr və həllər ilə nöqtəli məhsul

Belə bir planın hər hansı bir problemi skalyar məhsula aid xüsusiyyətlər və düsturlardan istifadə etməklə həll edilir:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y və ya (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Bəzi həllər nümunələrinə baxaq.

Misal 2

a → uzunluğu 3, b → uzunluğu 7. Bucaq 60 dərəcə olarsa, nöqtə hasilini tapın.

Qərar

Şərtlə, bütün məlumatlarımız var, ona görə də düsturla hesablayırıq:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Cavab: (a → , b →) = 21 2 .

Misal 3

Verilmiş vektorlar a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Skayar məhsul nədir.

Qərar

Bu misalda koordinatların hesablanması düsturu nəzərdən keçirilir, çünki onlar problem bəyanatında göstərilmişdir:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Cavab: (a → , b →) = - 9

Misal 4

A B → və A C → daxili hasilini tapın. Koordinat müstəvisində A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) nöqtələri verilmişdir.

Qərar

Başlamaq üçün vektorların koordinatları hesablanır, çünki nöqtələrin koordinatları şərtlə verilir:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Koordinatlardan istifadə edərək düsturda əvəz etsək, əldə edirik:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Cavab: (A B → , A C →) = 28 .

Misal 5

a → = 7 m → + 3 n → və b → = 5 m → + 8 n → vektorları verilmiş, onların hasilini tapın. m → 3-ə və n → 2 vahidə bərabərdir, onlar perpendikulyardır.

Qərar

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Dağıtım xassəsini tətbiq edərək, əldə edirik:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Məhsulun işarəsindən kənar əmsalı götürürük və alırıq:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Kommutativlik xüsusiyyətinə görə çeviririk:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Nəticədə alırıq:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

İndi şərtlə müəyyən edilmiş bucaq ilə skalyar məhsul üçün düstur tətbiq edirik:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →) , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Cavab: (a → , b →) = 411

Əgər ədədi proyeksiya varsa.

Misal 6

a → və b → -nin daxili hasilini tapın. a → vektorunun a → = (9 , 3 , - 3) koordinatları, b → proyeksiyasının koordinatları (- 3 , - 1 , 1) var.

Qərar

Şərtə görə a → və b → proyeksiyası əks istiqamətə yönəldilmişdir, çünki a → = - 1 3 n p a → b → → , ona görə də b → proyeksiyası n p a → b → → uzunluğa uyğundur və “-” işarəsi ilə işarə:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Formula əvəz edərək, ifadəni alırıq:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Cavab: (a → , b →) = - 33 .

Vektorun və ya ədədi proyeksiyanın uzunluğunu tapmaq lazım olan məlum skalyar hasillə bağlı problemlər.

Misal 7

Verilmiş skalyar məhsul üçün λ hansı dəyər almalıdır a → \u003d (1, 0, λ + 1) və b → \u003d (λ, 1, λ) -1-ə bərabər olacaqdır.

Qərar

Düsturdan görmək olar ki, koordinatların hasillərinin cəmini tapmaq lazımdır:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Verilmiş halda (a → , b →) = - 1 olur.

λ tapmaq üçün tənliyi hesablayırıq:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , deməli λ = - 1 .

Cavab: λ = - 1 .

Skayar məhsulun fiziki mənası

Mexanika nöqtə məhsulunun tətbiqini nəzərdən keçirir.

M nöqtəsindən N nöqtəsinə qədər hərəkət edən cismi F → sabit qüvvə ilə işləyərkən, F → və M N → vektorlarının uzunluqlarının onların arasındakı bucağın kosinusu ilə hasilini tapmaq olar ki, bu da işin bərabər olması deməkdir. qüvvə və yerdəyişmə vektorlarının hasilinə:

A = (F → , M N →) .

Misal 8

5 Ntona bərabər olan qüvvənin təsiri altında maddi nöqtənin 3 metr yerdəyişməsi oxa nisbətən 45 dərəcə bucaqla yönəldilir. A tapın.

Qərar

İş qüvvə vektorunun və yerdəyişmənin məhsulu olduğundan, F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° şərtinə əsasən A = (F → , S →) alırıq. ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Cavab: A = 15 2 2 .

Misal 9

F → = (3, 1, 2) qüvvəsi altında M (2, - 1, - 3) nöqtəsindən N (5, 3 λ - 2, 4) nöqtəsinə hərəkət edən maddi nöqtə 13 J-ə bərabər iş gördü. Hesablayın hərəkətin uzunluğu.

Qərar

M N → vektorunun verilmiş koordinatları üçün bizdə M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

F → = (3 , 1 , 2) və M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) vektorları ilə işi tapmaq düsturu ilə biz A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3) alırıq. λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Şərtlə verilir ki, A \u003d 13 J, 22 + 3 λ \u003d 13 deməkdir. Bu, λ = - 3 deməkdir, deməli, M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Səyahət uzunluğunu tapmaq üçün M N → düsturunu tətbiq edirik və dəyərləri əvəz edirik:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Cavab: 158.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Vektor və nöqtə məhsulu vektorlar arasındakı bucağı hesablamağı asanlaşdırır. $\overline(a)$ və $\overline(b)$ iki vektoru verilsin, onların arasında yönəlmiş bucaq $\varphi$-a bərabərdir. $x = (\overline(a),\overline(b))$ və $y = [\overline(a),\overline(b)]$ dəyərlərini hesablayaq. Sonra $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, burada $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ və $\varphi$ arzu edilir bucaq, yəni $(x, y)$ nöqtəsi $\varphi$-a bərabər qütb bucağına malikdir və buna görə də $\varphi$ atan2(y, x) kimi tapıla bilər.

Üçbucağın sahəsi

Vektor məhsulu iki vektor uzunluğunun məhsulunu və aralarındakı bucağın kosinusunu ehtiva etdiyi üçün vektor məhsulu ABC üçbucağının sahəsini hesablamaq üçün istifadə edilə bilər:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Xəttə aid olan nöqtə

$P$ nöqtəsi və $AB$ xətti ($A$ və $B$ iki nöqtəsi ilə verilmiş) verilsin. Nöqtənin $AB$ xəttinə aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

$AP$ və $AB$ vektorları kollinear olduqda, yəni $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $ olduqda nöqtə $AB$ xəttinə aiddir.

Bir nöqtənin şüaya aid olması

$P$ nöqtəsi və $AB$ şüası (iki nöqtə ilə verilir - $A$ şüasının başlanğıcı və $B$ şüasının üzərindəki nöqtə) verilsin. Nöqtənin $AB$ şüasına aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

$P$ nöqtəsinin $AB$ xəttinə aid olması şərtinə əlavə şərt əlavə edilməlidir - $AP$ və $AB$ vektorları koordinatlıdır, yəni kollineardır və onların skalyar hasilatı mənfi deyildir, yəni $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Seqmentə aid nöqtə

$P$ nöqtəsi və $AB$ seqmenti verilsin. Nöqtənin $AB$ seqmentinə aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Bu halda nöqtə həm $AB$ şüasına, həm də $BA$ şüasına aid olmalıdır, ona görə də aşağıdakı şərtlər yoxlanılmalıdır:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

$P$ nöqtəsi və $AB$ xətti ($A$ və $B$ iki nöqtəsi ilə verilmiş) verilsin. $AB$ düz xəttinin nöqtəsindən məsafəni tapmaq lazımdır.

ABP üçbucağını nəzərdən keçirək. Bir tərəfdən onun sahəsi $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$-dır.

Digər tərəfdən, onun sahəsi $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, burada $h$ $P$-dan hündürlükdür, yəni $P$-dan $AB-ə qədər olan məsafədir. $. Buradan $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Nöqtədən şüaya qədər olan məsafə

$P$ nöqtəsi və $AB$ şüası (iki nöqtə ilə verilir - $A$ şüasının başlanğıcı və $B$ şüasının üzərindəki nöqtə) verilsin. Nöqtədən şüaya qədər olan məsafəni, yəni $P$ nöqtəsindən şüanın istənilən nöqtəsinə qədər olan ən qısa seqmentin uzunluğunu tapmaq lazımdır.

Bu məsafə ya $AP$ uzunluğuna, ya da $P$ nöqtəsindən $AB$ xəttinə qədər olan məsafəyə bərabərdir. Hallardan hansının baş verdiyini şüanın və nöqtənin nisbi mövqeyi ilə asanlıqla müəyyən etmək olar. Əgər PAB bucağı kəskindirsə, yəni $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, cavab $P$ nöqtəsindən $AB$ xəttinə qədər olan məsafədir, əks halda cavab uzunluqdur. $AB$ seqmentindən.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

$P$ nöqtəsi və $AB$ seqmenti verilsin. $P$-dan $AB$ seqmentinə qədər olan məsafəni tapmaq lazımdır.

Əgər $P$-dan $AB$ xəttinə düşmüş perpendikulyarın əsası $AB$ seqmentinə düşürsə, bunu şərtlərlə yoxlamaq olar.

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

onda cavab $P$ nöqtəsindən $AB$ xəttinə qədər olan məsafədir. Əks halda, məsafə $\min(AP, BP)$-a bərabər olacaq.

Vektorların nöqtə hasili

Biz vektorlarla məşğul olmağa davam edirik. İlk dərsdə Butaforlar üçün vektorlar vektor anlayışını, vektorlarla hərəkətləri, vektor koordinatlarını və vektorlarla ən sadə məsələləri nəzərdən keçirdik. Əgər siz bu səhifəyə ilk dəfə axtarış sistemindən gəlmisinizsə, yuxarıdakı giriş məqaləsini oxumağı çox tövsiyə edirəm, çünki materialı mənimsəmək üçün mənim istifadə etdiyim terminləri və qeydləri rəhbər tutmalı, vektorlar haqqında əsas biliklərə sahib olmalısınız. və elementar məsələləri həll etməyi bacarmalıdır. Bu dərs mövzunun məntiqi davamıdır və mən vektorların skalyar məhsulundan istifadə edən tipik tapşırıqları ətraflı təhlil edəcəyəm. Bu, ÇOX ƏHƏMİYYƏTLİ bir işdir.. Nümunələri qaçırmamağa çalışın, onlar faydalı bir bonusla gəlirlər - təcrübə əhatə olunan materialı birləşdirməyə və analitik həndəsənin ümumi problemlərinin həllində "əlinizi almağa" kömək edəcəkdir.

Vektorların əlavə edilməsi, vektorun ədədə vurulması.... Riyaziyyatçıların başqa bir şey tapmadığını düşünmək sadəlövhlük olardı. Artıq nəzərdən keçirilən hərəkətlərə əlavə olaraq vektorlarla bir sıra digər əməliyyatlar da var, yəni: vektorların nöqtə hasili, vektorların çarpaz məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu. Vektorların skalyar hasili bizə məktəbdən tanışdır, digər iki məhsul ənənəvi olaraq ali riyaziyyat kursu ilə bağlıdır. Mövzular sadədir, bir çox məsələlərin həlli alqoritmi stereotip və başa düşüləndir. Yeganə şey. Layiqli miqdarda məlumat var, buna görə HƏR ŞEYİ VƏ BİRDƏN mənimsəməyə və həll etməyə çalışmaq arzuolunmazdır. Bu xüsusilə dummies üçün doğrudur, inanın, müəllif özünü riyaziyyatdan Çikatilo kimi hiss etmək istəmir. Yaxşı, riyaziyyatdan deyil, təbii ki, =) Daha hazırlıqlı tələbələr materialları seçərək, müəyyən mənada, çatışmayan bilikləri "əldə etmək" üçün istifadə edə bilərlər, sizin üçün zərərsiz Qraf Drakula olacam =)

Nəhayət, gəlin qapını bir az açaq və iki vektor bir-biri ilə qarşılaşdıqda nə baş verdiyinə nəzər salaq....

Vektorların skalyar hasilinin tərifi.
Skayar məhsulun xassələri. Tipik vəzifələr

Nöqtə məhsulu anlayışı

Əvvəlcə haqqında vektorlar arasındakı bucaq. Düşünürəm ki, hər kəs vektorlar arasındakı bucağın nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşür, amma hər halda, bir az daha çox. Sərbəst sıfırdan fərqli vektorları və . Bu vektorları ixtiyari bir nöqtədən təxirə salsaq, çoxlarının zehni olaraq təqdim etdiyi bir şəkil alırıq:

Etiraf edirəm, burada vəziyyəti ancaq anlayış səviyyəsində təsvir etdim. Vektorlar arasındakı bucağın ciddi tərifinə ehtiyacınız varsa, dərsliyə müraciət edin, amma praktik tapşırıqlar üçün, prinsipcə, buna ehtiyacımız yoxdur. Həmçinin BURADA və DAHA, mən bəzən sıfır vektorları aşağı praktik əhəmiyyətinə görə nəzərə almayacağam. Aşağıdakı ifadələrdən bəzilərinin nəzəri natamamlığına görə məni məzəmmət edə biləcək saytın qabaqcıl ziyarətçiləri üçün xüsusi olaraq rezervasiya etdim.

Ədəbiyyatda bucaq işarəsi çox vaxt buraxılır və sadəcə yazılır.

Tərif:İki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər SƏDDdir:

İndi bu, olduqca sərt bir tərifdir.

Əsas məlumatlara diqqət yetiririk:

Təyinat: skalyar hasil və ya sadəcə olaraq işarələnir.

Əməliyyatın nəticəsi NÖMRƏdir: Ədəd əldə etmək üçün vektoru vektora vurun. Həqiqətən, vektorların uzunluqları ədəddirsə, bucağın kosinusu ədəddirsə, onda onların məhsulu nömrə də olacaq.

Yalnız bir neçə istiləşmə nümunəsi:

Misal 1

Qərar: Formuladan istifadə edirik . Bu halda:

Cavab:

Kosinus dəyərləri ilə tanış ola bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Mən onu çap etməyi məsləhət görürəm - qüllənin demək olar ki, bütün bölmələrində tələb olunacaq və dəfələrlə tələb olunacaq.

Sırf riyazi nöqteyi-nəzərdən, skalyar hasil ölçüsüzdür, yəni nəticə, bu halda, sadəcə bir rəqəmdir və bu qədərdir. Fizikanın problemləri baxımından skalyar hasil həmişə müəyyən fiziki məna daşıyır, yəni nəticədən sonra bu və ya digər fiziki vahid göstərilməlidir. Bir qüvvənin işinin hesablanmasının kanonik nümunəsini hər hansı bir dərslikdə tapmaq olar (düstur tam olaraq nöqtə hasilidir). Bir qüvvənin işi Joules ilə ölçülür, buna görə də cavab olduqca xüsusi olaraq yazılacaq, məsələn,.

Misal 2

Əgər tapın , və vektorlar arasındakı bucaq .

Bu, öz-özünə qərar vermək üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır.

Vektorlar və nöqtə məhsul dəyəri arasındakı bucaq

1-ci misalda skalyar hasil müsbət, 2-ci misalda isə mənfi oldu. Skayar hasilin işarəsinin nədən asılı olduğunu öyrənək. Düsturumuza baxaq: . Sıfırdan fərqli vektorların uzunluqları həmişə müsbətdir: , ona görə də işarə yalnız kosinusun qiymətindən asılı ola bilər.

Qeyd: Aşağıdakı məlumatları daha yaxşı başa düşmək üçün təlimatda kosinus qrafikini öyrənmək daha yaxşıdır Qrafiklər və funksiya xassələri. Seqmentdə kosinusun necə davrandığına baxın.

Artıq qeyd edildiyi kimi, vektorlar arasındakı bucaq daxilində dəyişə bilər və aşağıdakı hallar mümkündür:

1) Əgər künc vektorlar arasında ədviyyatlı: (0-dan 90 dərəcəyə qədər), sonra , və nöqtə məhsulu müsbət olacaq birgə rəhbərlik etmişdir, onda onların arasındakı bucaq sıfır hesab olunur və skalyar hasil də müsbət olacaqdır. olduğundan, düstur sadələşdirilir: .

2) Əgər künc vektorlar arasında axmaq: (90-dan 180 dərəcəyə qədər), sonra , və müvafiq olaraq, nöqtə məhsulu mənfidir: . Xüsusi hal: vektorlar olarsa əks istiqamətə yönəldilib, sonra onların arasındakı bucaq nəzərə alınır yerləşdirilmiş: (180 dərəcə). Skayar hasil də mənfidir, çünki

Qarşılıqlı ifadələr də doğrudur:

1) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq itidir. Alternativ olaraq vektorlar koordinatlıdır.

2) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq kütdür. Alternativ olaraq vektorlar əks istiqamətə yönəldilir.

Lakin üçüncü hal xüsusi maraq doğurur:

3) Əgər künc vektorlar arasında düz: (90 dərəcə) sonra və nöqtə məhsulu sıfırdır: . Əksi də doğrudur: əgər , onda . Kompakt bəyanat aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: Verilmiş vektorlar ortoqonal olduqda iki vektorun skalyar hasili sıfırdır. Qısa riyaziyyat qeydi:

! Qeyd : təkrarlamaq riyazi məntiqin əsasları: ikitərəfli məntiqi nəticə simvolu adətən "əgər və yalnız o zaman", "əgər və ancaq əgər" oxunur. Gördüyünüz kimi, oxlar hər iki istiqamətə yönəldilir - "bundan belə gəlir və əksinə - bundan belə gəlir". Yeri gəlmişkən, birtərəfli izləmə nişanından fərqi nədir? İkon iddia edir yalnız bunun əksinin doğru olması faktı yox, “bundan belə çıxır”. Məsələn: , lakin hər heyvan panter deyil, ona görə də bu halda ikonadan istifadə etmək olmaz. Eyni zamanda, simvol yerinə bacarmaq birtərəfli simvoldan istifadə edin. Məsələn, problemi həll edərkən vektorların ortoqonal olduğu qənaətinə gəldik: - belə bir qeyd düzgün və hətta daha uyğun olacaq .

Üçüncü hal böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir., çünki o, vektorların ortoqonal olub olmadığını yoxlamağa imkan verir. Bu problemi dərsin ikinci hissəsində həll edəcəyik.

Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri

İki vektorun olduğu vəziyyətə qayıdaq birgə rəhbərlik etmişdir. Bu halda onların arasındakı bucaq sıfırdır, , və skalyar hasil düsturu formasını alır: .

Bir vektor özünə vurularsa nə olar? Aydındır ki, vektor özü ilə birgə yönləndirilir, ona görə də yuxarıdakı sadələşdirilmiş düsturdan istifadə edirik:

Nömrə çağırılır skalyar kvadrat vektor və kimi işarələnir.

Beləliklə, vektorun skalyar kvadratı verilmiş vektorun uzunluğunun kvadratına bərabərdir:

Bu bərabərlikdən vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün düstur ala bilərsiniz:

Qaranlıq görünsə də, dərsin tapşırıqları hər şeyi öz yerinə qoyacaq. Problemləri həll etmək üçün bizə də lazımdır nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri.

İxtiyari vektorlar və istənilən ədəd üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) - yerdəyişən və ya kommutativ skalyar məhsul qanunu.

2) - paylama və ya paylayıcı skalyar məhsul qanunu. Sadəcə olaraq, mötərizə aça bilərsiniz.

3) - birləşmə və ya assosiativ skalyar məhsul qanunu. Sabit skalyar hasildən çıxarıla bilər.

Çox vaxt hər cür xassələr (bunu da sübut etmək lazımdır!) tələbələr tərəfindən lazımsız zibil kimi qəbul edilir, onları yalnız yadda saxlamaq və imtahandan dərhal sonra təhlükəsiz şəkildə unudulmaq lazımdır. Görünür ki, burada vacib olan hər kəs birinci sinifdən məhsulun amillərin dəyişməsindən dəyişmədiyini bilir:. Sizi xəbərdar etməliyəm, ali riyaziyyatda belə bir yanaşma ilə işləri qarışdırmaq asandır. Beləliklə, məsələn, kommutativ xüsusiyyət üçün etibarlı deyil cəbri matrislər. üçün doğru deyil vektorların çarpaz məhsulu. Buna görə də, nəyin edilə biləcəyini və edilə bilməyəcəyini başa düşmək üçün ən azı ali riyaziyyat kursunda qarşılaşacağınız hər hansı bir xassələri araşdırmaq daha yaxşıdır.

Misal 3

.

Qərar:Əvvəlcə vektorla bağlı vəziyyəti aydınlaşdıraq. Bütün bunlar nə ilə bağlıdır? ve vektorlarının cəmi yaxşı müəyyən edilmiş vektordur, ilə işarələnir. Vektorlarla hərəkətlərin həndəsi şərhini məqalədə tapa bilərsiniz Butaforlar üçün vektorlar. Vektorlu eyni cəfəri vektorların cəmidir və .

Deməli, şərtə uyğun olaraq skalyar hasili tapmaq tələb olunur. Teorik olaraq, iş düsturunu tətbiq etməlisiniz , lakin problem ondadır ki, vektorların uzunluqlarını və aralarındakı bucağı bilmirik. Ancaq vəziyyətdə, oxşar parametrlər vektorlar üçün verilir, buna görə də başqa yolla gedəcəyik:

(1) vektorların ifadələrini əvəz edirik.

(2) Çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələri açırıq, məqalədə vulqar dilin bükülməsini tapmaq olar Kompleks ədədlər və ya Kəsr-rasional funksiyanın inteqrasiyası. Özümü təkrar etməyəcəm =) Yeri gəlmişkən, skalyar hasilin paylanma xüsusiyyəti mötərizələri açmağa imkan verir. Bizim haqqımız var.

(3) Birinci və sonuncu şərtlərdə vektorların skalyar kvadratlarını yığcam şəkildə yazırıq: . İkinci termində skalyar hasilin dəyişmə qabiliyyətindən istifadə edirik: .

(4) Budur oxşar terminlər: .

(5) Birinci termində bir qədər əvvəl qeyd olunan skalyar kvadrat düsturundan istifadə edirik. Son müddətdə, müvafiq olaraq, eyni şey işləyir: . İkinci müddət standart düstura uyğun olaraq genişləndirilir .

(6) Bu şərtləri əvəz edin , və son hesablamaları DİQQƏTLƏ aparın.

Cavab:

Nöqtə hasilinin mənfi dəyəri vektorlar arasındakı bucağın küt olduğunu bildirir.

Tapşırıq tipikdir, burada müstəqil həll üçün bir nümunə var:

Misal 4

və vektorlarının skalyar hasilini tapın, əgər məlumdursa .

İndi başqa bir ümumi vəzifə, yalnız yeni vektor uzunluğu düsturu üçün. Buradakı təyinatlar bir az üst-üstə düşəcək, ona görə də aydınlıq üçün onu başqa hərflə yenidən yazacağam:

Misal 5

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Qərar aşağıdakı kimi olacaq:

(1) vektor ifadəsini təqdim edirik.

(2) Biz uzunluq düsturundan istifadə edirik: , "ve" vektoru kimi tam ifadəmiz var.

(3) Biz cəminin kvadratı üçün məktəb düsturundan istifadə edirik. Burada maraqlı şəkildə necə işlədiyinə diqqət yetirin: - əslində fərqin kvadratı budur və əslində belədir. Arzu edənlər vektorları yerlərdə yenidən təşkil edə bilərlər: - terminlərin yenidən qurulmasına qədər eyni şey çıxdı.

(4) Aşağıdakılar əvvəlki iki problemdən artıq tanışdır.

Cavab:

Uzunluqdan bəhs etdiyimiz üçün ölçüsü - "vahidləri" göstərməyi unutmayın.

Misal 6

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Skalar məhsuldan faydalı şeyləri sıxmağa davam edirik. Düsturumuza yenidən baxaq . Mütənasiblik qaydası ilə vektorların uzunluqlarını sol tərəfin məxrəcinə qaytarırıq:

Gəlin hissələri dəyişdirək:

Bu formulun mənası nədir? Əgər iki vektorun uzunluqları və onların skalyar hasili məlumdursa, onda bu vektorlar arasındakı bucağın kosinusu və deməli, bucağın özünü hesablamaq olar.

Skayar hasil ədəddir? Nömrə. Vektor uzunluqları ədədlərdir? Nömrələri. Beləliklə, kəsr də bir ədəddir. Və bucağın kosinusu məlumdursa: , onda tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır: .

Misal 7

və vektorları arasındakı bucağı tapın, əgər məlumdursa.

Qərar: Formuladan istifadə edirik:

Hesablamaların son mərhələsində bir texnika istifadə edildi - məxrəcdə irrasionallığın aradan qaldırılması. Məntiqsizliyi aradan qaldırmaq üçün say və məxrəci vurdum.

Beləliklə əgər , sonra:

Tərs triqonometrik funksiyaların qiymətləri ilə tapıla bilər triqonometrik cədvəl. Baxmayaraq ki, bu nadir hallarda olur. Analitik həndəsə problemlərində bəzi yöndəmsiz ayılar daha tez-tez görünür və bucağın dəyərini təxminən bir kalkulyatordan istifadə edərək tapmaq lazımdır. Əslində biz bu mənzərəni dönə-dönə görəcəyik.

Cavab:

Yenə ölçüləri - radyanları və dərəcələri göstərməyi unutmayın. Şəxsən, qəsdən "bütün sualları silmək" üçün hər ikisini göstərməyi üstün tuturam (əlbəttə ki, şərtlə cavabı yalnız radyanla və ya yalnız dərəcələrlə təqdim etmək tələb olunmursa).

İndi daha çətin bir işin öhdəsindən özünüz gələ biləcəksiniz:

Misal 7*

Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir. , vektorları arasındakı bucağı tapın.

Tapşırıq çoxtərəfli qədər çətin deyil.
Həll alqoritmini təhlil edək:

1) Şərtə görə və vektorları arasındakı bucağı tapmaq tələb olunur, ona görə də düsturdan istifadə etmək lazımdır. .

2) Skayar hasilini tapırıq (bax. Nümunələr № 3, 4).

3) Vektorun uzunluğunu və vektorun uzunluğunu tapın (bax. Nümunələr № 5, 6).

4) Həllin sonu 7-ci Nümunə ilə üst-üstə düşür - biz rəqəmi bilirik , bu o deməkdir ki, bucağın özünü tapmaq asandır:

Qısa həll və dərsin sonunda cavab.

Dərsin ikinci bölməsi eyni nöqtə hasilinə həsr edilmişdir. Koordinatlar. Birinci hissədən daha asan olacaq.

Vektorların nöqtə hasili,
ortonormal əsasda koordinatlarla verilir

Cavab:

Söz yox ki, koordinatlarla məşğul olmaq çox daha xoşdur.

Misal 14

Vektorların skalyar hasilini tapın və əgər

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Burada əməliyyatın assosiativliyindən istifadə edə bilərsiniz, yəni saymayın, dərhal üçlüyü skalyar hasildən çıxarın və sonuncu dəfə ona vurun. Dərsin sonunda həll və cavab.

Paraqrafın sonunda vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün təxribatçı bir nümunə:

Misal 15

Vektorların uzunluqlarını tapın , əgər

Qərar: yenə əvvəlki bölmənin metodu özünü göstərir: lakin başqa bir yol var:

vektoru tapaq:

Və mənasız düstura görə uzunluğu :

Skayar məhsulun burada heç bir əhəmiyyəti yoxdur!

Vektorun uzunluğunu hesablayarkən nə dərəcədə işdən kənardır:
Dayan. Niyə vektorun açıq uzunluq xüsusiyyətindən istifadə etməyək? Vektorun uzunluğu haqqında nə demək olar? Bu vektor vektordan 5 dəfə uzundur. İstiqamət əksinədir, amma fərqi yoxdur, çünki biz uzunluqdan danışırıq. Aydındır ki, vektorun uzunluğu məhsula bərabərdir modul vektor uzunluğuna görə ədədlər:
- modulun işarəsi rəqəmin mümkün minusunu "yeyir".

Beləliklə:

Cavab:

Koordinatlarla verilən vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur

İndi vektorların koordinatları baxımından vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün əvvəllər alınmış düsturu ifadə etmək üçün tam məlumatımız var:

Müstəvi vektorlar arasındakı bucağın kosinusu və ortonormal əsasda verilmişdir, düsturu ilə ifadə edilir:
.

Kosmik vektorlar arasındakı bucağın kosinusu, ortonormal əsasda verilir, düsturu ilə ifadə edilir:

Misal 16

Üçbucağın üç təpəsi verilmişdir. Tapın (təpə bucağı).

Qərar:Şərtlə, rəsm tələb olunmur, lakin yenə də:

Tələb olunan bucaq yaşıl qövslə qeyd olunur. Biz dərhal bucağın məktəb təyinatını xatırlayırıq: - xüsusi diqqət orta məktub - bu bizə lazım olan bucağın zirvəsidir. Qısalıq üçün onu sadə şəkildə də yazmaq olar.

Rəsmdən aydın olur ki, üçbucağın bucağı vektorlar arasındakı bucaqla üst-üstə düşür, başqa sözlə: .

Zehni olaraq həyata keçirilən analizin necə aparılacağını öyrənmək arzu edilir.

vektorları tapaq:

Skayar məhsulu hesablayaq:

Və vektorların uzunluqları:

Bucağın kosinusu:

Tapşırığın bu sıralamasını dummilərə tövsiyə edirəm. Daha qabaqcıl oxucular hesablamaları "bir sətirdə" yaza bilərlər:

Budur "pis" kosinus dəyərinə bir nümunə. Əldə edilən dəyər yekun deyil, ona görə də məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmağın çox mənası yoxdur.

Bucağı tapaq:

Rəsmə baxsanız, nəticə olduqca inandırıcıdır. Bucağı yoxlamaq üçün bir iletki ilə də ölçülə bilər. Monitor örtüyünə zərər verməyin =)

Cavab:

Cavabda bunu unutma üçbucağın bucağı haqqında soruşdu(və vektorlar arasındakı bucaq haqqında deyil), dəqiq cavabı göstərməyi unutmayın: və bucağın təxmini dəyəri: kalkulyatorla tapılır.

Prosesdən həzz alanlar bucaqları hesablaya və kanonik bərabərliyin doğru olduğuna əmin ola bilərlər

Misal 17

Üçbucaq fəzada təpələrinin koordinatları ilə verilir. və tərəfləri arasındakı bucağı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab

Kiçik bir yekun bölmə skalyar məhsulun da "iştirak etdiyi" proqnozlara həsr olunacaq:

Vektorun vektor üzərinə proyeksiyası. Koordinat oxlarına vektor proyeksiyası.
Vektor istiqaməti kosinusları

Vektorları nəzərdən keçirin və:

Biz vektoru vektor üzərinə proyeksiya edirik, bunun üçün vektorun əvvəlindən və sonundan çıxırıq perpendikulyarlar vektor başına (yaşıl nöqtəli xətlər). Təsəvvür edin ki, işıq şüaları vektora perpendikulyar olaraq düşür. Sonra seqment (qırmızı xətt) vektorun "kölgəsi" olacaqdır. Bu halda vektorun vektora proyeksiyası seqmentin UZUNLUĞU olur. Yəni PROKEKSİYA NÖMRƏDİR.

Bu NÖMRƏ aşağıdakı kimi işarələnir: , "böyük vektor" vektoru bildirir HANSI layihə, "kiçik alt simvol vektoru" vektoru bildirir ON hansı proqnozlaşdırılır.

Girişin özü belə oxunur: “a” vektorunun “ol” vektoruna proyeksiyası”.

"Ol" vektoru "çox qısa" olarsa nə olar? "Ol" vektorunu ehtiva edən düz xətt çəkirik. Və "a" vektoru artıq proqnozlaşdırılacaq "ol" vektorunun istiqamətinə, sadəcə olaraq - "ol" vektorunu ehtiva edən düz xətt üzərində. Otuzuncu krallıqda "a" vektoru kənara qoyulsa, eyni şey baş verəcək - o, yenə də "ol" vektorunu ehtiva edən xəttə asanlıqla proyeksiya ediləcək.

Əgər bucaq vektorlar arasında ədviyyatlı(şəkildəki kimi), sonra

Əgər vektorlar ortoqonal, onda (proyeksiya ölçüləri sıfır olduğu qəbul edilən nöqtədir).

Əgər bucaq vektorlar arasında axmaq(şəkildə vektorun oxunu zehni olaraq yenidən düzəldin), sonra (eyni uzunluqda, lakin mənfi işarə ilə götürülür).

Bu vektorları bir nöqtədən kənara qoyun:

Aydındır ki, vektoru hərəkət etdirərkən onun proyeksiyası dəyişmir

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar da olacaq, cavablarını görə bilərsiniz.

Əgər məsələdə vektorların həm uzunluqları, həm də onlar arasındakı bucaq “gümüş nimçədə” təqdim edilirsə, problemin şərti və onun həlli belə görünür:

Misal 1 Vektorlar verilir. Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq aşağıdakı qiymətlərlə ifadə edilərsə, onların skalyar hasilini tapın:

Başqa bir tərif də etibarlıdır, bu tərif 1-ə tamamilə bərabərdir.

Tərif 2. Vektorların skalyar hasili bu vektorlardan birinin uzunluğu ilə digər vektorun bu vektorlardan birincisi ilə təyin olunan oxa proyeksiyasının hasilinə bərabər olan ədəddir (skalar). 2-ci tərifə görə düstur:

Növbəti mühüm nəzəri məqamdan sonra bu düsturdan istifadə edərək problemi həll edəcəyik.

Vektorların skalyar hasilinin koordinatlar baxımından təyini

Çoxaldılmış vektorlar onların koordinatları ilə verilərsə, eyni sayda əldə edilə bilər.

Tərif 3. Vektorların nöqtə hasili onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabər olan ədəddir.

Səthdə

Əgər iki vektor və müstəvidə onların ikisi ilə müəyyən edilirsə Kartezyen koordinatları

onda bu vektorların nöqtə hasili onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir:

.

Misal 2 Vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasının ədədi qiymətini tapın.

Qərar. Vektorların koordinatlarının cüt hasillərini əlavə etməklə onların skalyar hasilini tapırıq:

İndi əldə edilən skalyar məhsulu vektorun uzunluğunun hasilinə və vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasına bərabərləşdirməliyik (düstura uyğun olaraq).

Vektorun uzunluğunu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi tapırıq:

.

Tənlik yazın və həll edin:

Cavab verin. İstədiyiniz ədədi dəyər mənfi 8-dir.

Kosmosda

Əgər iki vektor və fəzada onların üç dekart düzbucaqlı koordinatları ilə müəyyən edilirsə

,

onda bu vektorların skalyar hasili də onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir, yalnız artıq üç koordinat var:

.

Skayar hasilin nəzərdən keçirilən üsulla tapılması vəzifəsi skalyar hasilin xassələrini təhlil etdikdən sonradır. Çünki tapşırıqda vurulan vektorların hansı bucağı əmələ gətirdiyini müəyyən etmək lazım gələcək.

Vektorların Nöqtə hasilinin xassələri

Cəbri xassələri

1. (kommutativ mülkiyyət: onların skalyar hasilinin qiyməti vurulan vektorların yerlərinin dəyişdirilməsindən dəyişmir).

2. (ədədi amillə bağlı assosiativ xassə: vektorun hansısa əmsala vurulan skalyar hasilinin digər vektorun skalyar hasilinin eyni əmsala vurulmasına bərabərdir).

3. (vektorların cəminə görə paylayıcı xassə: iki vektorun cəminin üçüncü vektor üzrə skalyar hasili birinci vektorun üçüncü vektorla, ikinci vektorun üçüncü vektor üzrə skalyar hasillərinin cəminə bərabərdir).

4. (sıfırdan böyük vektorun skalyar kvadratı) əgər sıfırdan fərqli vektordur və , əgər sıfır vektordur.

Həndəsi xassələri

Tədqiq olunan əməliyyatın təriflərində biz artıq iki vektor arasındakı bucaq anlayışına toxunmuşuq. Bu konsepsiyaya aydınlıq gətirməyin vaxtı gəldi.

Yuxarıdakı şəkildə, ümumi başlanğıca gətirilən iki vektor görünür. Və diqqət etməli olduğunuz ilk şey: bu vektorlar arasında iki bucaq var - φ 1 və φ 2 . Bu bucaqlardan hansı vektorların skalyar hasilinin təriflərində və xassələrində görünür? Nəzərə alınan bucaqların cəmi 2-dir π və buna görə də bu bucaqların kosinusları bərabərdir. Nöqtə hasilinin tərifi onun ifadə dəyərini deyil, yalnız bucağın kosinusunu ehtiva edir. Amma xassələrdə yalnız bir künc nəzərə alınır. Və bu, iki bucaqdan biri də keçmir π yəni 180 dərəcə. Bu bucaq şəkildə göstərilmişdir φ 1 .

1. İki vektor çağırılır ortoqonal və bu vektorlar arasındakı bucaq düzdür (90 dərəcə və ya π /2 ) əgər bu vektorların skalyar hasili sıfırdır :

.

Vektor cəbrində ortoqonallıq iki vektorun perpendikulyarlığıdır.

2. Sıfırdan fərqli iki vektor təşkil edir kəskin künc (0 ilə 90 dərəcə arasında və ya eyni olan, daha az π nöqtə məhsulu müsbətdir .

3. İki sıfırdan fərqli vektor təşkil edir küt bucaq (90 ilə 180 dərəcə arasında və ya eyni olan - daha çox π /2 ) yalnız və yalnız əgər nöqtə məhsulu mənfidir .

Misal 3 Vektorlar koordinatlarda verilir:

.

Verilmiş vektorların bütün cütlərinin nöqtə məhsullarını hesablayın. Bu vektor cütləri hansı bucağı (kəskin, sağ, küt) əmələ gətirir?

Qərar. Müvafiq koordinatların məhsullarını əlavə etməklə hesablayacağıq.

Mənfi ədəd aldıq, buna görə vektorlar küt bucaq əmələ gətirir.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Sıfır aldıq, buna görə vektorlar düz bucaq yaradır.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu .

Misal 4İki vektorun uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir:

.

Vektorların ədədin hansı qiymətində ortoqonal (perpendikulyar) olduğunu müəyyən edin.

Qərar. Polinomların vurulması qaydasına uyğun olaraq vektorları çoxaldırıq:

İndi hər bir termini hesablayaq:

.

Gəlin bir tənlik yaradaq (məhsulun sıfıra bərabərliyi), oxşar şərtləri verək və tənliyi həll edək:

Cavab: dəyərini aldıq λ = 1.8 , vektorlar ortoqonaldır.

Misal 5 vektor olduğunu sübut edin vektora ortoqonal (perpendikulyar).

Qərar. Ortoqonallığı yoxlamaq üçün vektorları və çoxhədliləri çoxalırıq, onun əvəzinə problem şəraitində verilmiş ifadəni əvəz edirik:

.

Bunu etmək üçün birinci çoxhədlinin hər bir üzvünü (müddətini) ikincinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə alınan məhsulları əlavə etməlisiniz:

.

Nəticədə, ödənilməli olan fraksiya azalır. Aşağıdakı nəticə əldə edilir:

Nəticə: vurma nəticəsində sıfır aldıq, buna görə vektorların ortoqonallığı (perpendikulyarlığı) sübut edildi.

Problemi özünüz həll edin və sonra həllini görün

Misal 6 və vektorlarının uzunluqları nəzərə alınmaqla və bu vektorlar arasındakı bucaqdır π /4. Hansı dəyərdə olduğunu müəyyənləşdirin μ vektordur və qarşılıqlı perpendikulyardır.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu .

Vektorların skalyar hasilinin və n ölçülü vektorların hasilinin matris təsviri

Bəzən aydınlıq üçün iki vurulan vektoru matrislər şəklində təqdim etmək sərfəlidir. Sonra birinci vektor sətir matrisi, ikincisi isə sütun matrisi kimi təqdim olunur:

Onda vektorların skalyar hasili olacaqdır bu matrislərin məhsulu :

Nəticə artıq nəzərdən keçirdiyimiz üsulla əldə edilənlə eynidir. Biz bir tək ədəd aldıq və matris cərgəsinin matris sütununa hasili də bir ədəddir.

Matris formasında mücərrəd n ölçülü vektorların məhsulunu təqdim etmək rahatdır. Beləliklə, iki dördölçülü vektorun hasili dörd elementli bir sətir matrisinin dörd elementli bir sütun matrisinin hasilinə, iki beşölçülü vektorun hasili isə beş elementli sətir matrisinin hasili olacaqdır. beş elementli sütun matrisi və s.

Misal 7 Cüt vektorların Nöqtə Məhsullarını tapın

,

matris təmsilindən istifadə etməklə.

Qərar. İlk vektor cütü. Birinci vektoru sətir matrisi, ikincisini isə sütun matrisi kimi təqdim edirik. Bu vektorların skalyar hasilini sətir matrisinin sütun matrisinin hasili kimi tapırıq:

Eynilə, ikinci cütü təmsil edirik və tapırıq:

Gördüyünüz kimi, nəticələr 2-ci misaldakı eyni cütlərlə eynidir.

İki vektor arasındakı bucaq

İki vektor arasındakı bucağın kosinusu üçün düsturun çıxarılması çox gözəl və yığcamdır.

Vektorların nöqtə hasilini ifadə etmək

(1)

koordinat şəklində ilk növbədə ortsların skalyar hasilini tapırıq. Bir vektorun özü ilə skalyar hasili tərifinə görə belədir:

Yuxarıdakı düsturda yazılanlar deməkdir: vektorun özü ilə skalyar hasili onun uzunluğunun kvadratına bərabərdir. Sıfırın kosinusu birə bərabərdir, buna görə də hər bir orthun kvadratı birə bərabər olacaq:

Vektorlardan bəri

ikili perpendikulyardır, onda ortsların cüt hasilləri sıfıra bərabər olacaq:

İndi vektor çoxhədlilərinin vurulmasını yerinə yetirək:

Bərabərliyin sağ tərəfində ortsların müvafiq skalyar məhsullarının dəyərlərini əvəz edirik:

İki vektor arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur alırıq:

Misal 8Üç xal verilir A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Bucaq tapın.

Qərar. Vektorların koordinatlarını tapırıq:

,

.

Bucağın kosinusu üçün düsturdan istifadə edərək, əldə edirik:

Nəticədə, .

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu .

Misal 9İki vektor verilmişdir

Cəmi, fərqi, uzunluğu, nöqtə hasilini və aralarındakı bucağı tapın.

2. Fərq