Güc tənlikləri və ifadələri necə həll etmək olar. Mühazirə: “Göstərici tənliklərin həlli üsulları

ev / Psixologiya

Bu yazıda bütün növlərlə tanış olacaqsınız eksponensial tənliklər və onların həlli üçün alqoritmlər, onun hansı tipə aid olduğunu tanımağı öyrənin eksponensial tənlik həll etməli olduğunuz , və həll etmək üçün uyğun metodu tətbiq edin. Nümunələrin ətraflı həlli eksponensial tənliklər Hər növə uyğun VİDEO DƏRSLƏRDƏ baxa bilərsiniz.

Eksponensial tənlik naməlumun eksponentdə olduğu tənlikdir.

Eksponensial tənliyi həll etməyə başlamazdan əvvəl bir neçə işlə məşğul olmaq faydalıdır ilkin tədbirlər , onun həlli prosesini əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdıra bilər. Bu addımlar:

1. Səlahiyyətlərin bütün əsaslarını əsas amillərə bölün.

2. Kökləri dərəcə kimi təqdim edin.

3. Onluq kəsrləri adi kəsrlər kimi təqdim edin.

4. Qarışıq ədədləri düzgün kəsr kimi yazın.

Bu hərəkətlərin faydalarını tənliklərin həlli prosesində dərk edəcəksiniz.

Əsas növlərə baxaq eksponensial tənliklər və onların həlli üçün alqoritmlər.

1. Formanın tənliyi

Bu tənlik tənliyə bərabərdir

Tənliyin həllinə bu VİDEO TƏLİMATDA baxın bu tip.

2. Formanın tənliyi

Bu tip tənliklərdə:

b) eksponentdəki naməlum üçün əmsallar bərabərdir.

Bu tənliyi həll etmək üçün ən kiçik faktoru çıxarmaq lazımdır.

Bu tip tənliyin həlli nümunəsi:

VİDEO TƏLİMATINA baxın.

3. Formanın tənliyi

Bu tip tənliklər bununla fərqlənir

a) bütün dərəcələrin əsasları eynidir

b) eksponentdəki naməlum üçün əmsallar fərqlidir.

Bu tip tənliklər dəyişənlərin dəyişməsi ilə həll edilir. Əvəzetməni təqdim etməzdən əvvəl eksponentdəki pulsuz şərtlərdən xilas olmaq məsləhətdir. (, , və s.)

Bu tip tənliyi həll etmək üçün VİDEO TƏLİMATLIĞA baxın:

4. Homojen tənliklər mehriban

Homojen tənliklərin fərqli xüsusiyyətləri:

a) bütün monomiallar eyni dərəcədədir;

b) sərbəst müddət sıfırdır,

c) tənlik iki fərqli əsaslı gücləri ehtiva edir.

Homojen tənliklər oxşar alqoritmdən istifadə etməklə həll edilir.

Bu tip tənliyi həll etmək üçün tənliyin hər iki tərəfini (bölmə və ya bölmək olar) ilə bölürük.

Diqqət! Tənliyin sağ və sol tərəflərini naməlum olan ifadə ilə bölərkən kökləri itirə bilərsiniz. Odur ki, tənliyin hər iki tərəfini böldüyümüz ifadənin köklərinin ilkin tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Bizim vəziyyətimizdə naməlumun hər hansı qiyməti üçün ifadə sıfır olmadığı üçün qorxmadan ona bölmək olar. Tənliyin sol tərəfini bu ifadəyə görə terminə bölək. Biz əldə edirik:

İkinci və üçüncü kəsrlərin payını və məxrəcini azaldaq:

Əvəzedicini təqdim edək:

Üstəlik başlıq="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Kvadrat tənlik alırıq:

Kvadrat tənliyi həll edək, başlıq="t>0) şərtini ödəyən dəyərləri tapaq.">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Homojen tənliyin təfərrüatlı həlli üçün VİDEO TƏLİMAT-a baxın:

5. Formanın tənliyi

Bu tənliyi həll edərkən başlıq="f(x)>0) faktından çıxış edəcəyik.">!}

İlkin bərabərlik iki halda təmin edilir:

1. Əgər hər hansı bir gücün 1-i 1-ə bərabərdirsə,

2. Əgər iki şərt yerinə yetirilirsə:

Başlıq="delim(lbrace)(matris(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Tənliyin ətraflı həlli üçün VİDEO TƏLİMATLIĞA baxın

Eksponensial tənliklər. Bildiyiniz kimi, Vahid Dövlət İmtahanına sadə tənliklər daxildir. Bəzilərini artıq nəzərdən keçirdik - bunlar loqarifmik, triqonometrik, rasionaldır. Budur eksponensial tənliklər.

Bu yaxınlarda eksponensial ifadələrlə işlədiyimiz məqalədə faydalı olacaq. Tənliklərin özləri sadə və tez həll olunur. Sadəcə eksponentlərin xassələrini bilmək lazımdır və... Bu barədəDaha.

Göstəricilərin xüsusiyyətlərini sadalayaq:

İstənilən ədədin sıfır qüvvəsi birə bərabərdir.

Bu əmlakdan nəticə:

Bir az daha nəzəriyyə.

Eksponensial tənlik, eksponentdə dəyişən olan bir tənlikdir, yəni formanın bir tənliyidir:

f(x) dəyişəni ehtiva edən ifadə

Eksponensial tənliklərin həlli üsulları

1. Çevrilmələr nəticəsində tənliyi aşağıdakı formaya endirmək olar:

Sonra əmlakı tətbiq edirik:

2. Formanın tənliyini əldə etdikdən sonra a f (x) = b loqarifmin tərifindən istifadə edərək əldə edirik:

3. Çevrilmələr nəticəsində aşağıdakı formanın tənliyini əldə etmək olar:

Tətbiq olunan loqarifm:

İfadə edin və x tapın.

Vahid Dövlət İmtahan variantlarının problemlərində birinci üsuldan istifadə etmək kifayətdir.

Yəni, sol və sağ tərəfləri güclər şəklində eyni baza ilə təmsil etmək lazımdır, sonra eksponentləri bərabərləşdiririk və adi xətti tənliyi həll edirik.

Tənlikləri nəzərdən keçirin:

4 1–2x = 64 tənliyinin kökünü tapın.

Sol və sağ tərəflərdə eyni əsaslı eksponensial ifadələrin olmasını təmin etmək lazımdır. 64-ü 3-ün gücünə 4 kimi təqdim edə bilərik. Alırıq:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

İmtahan:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Cavab: –1

3-cü tənliyin kökünü tapın x–18 = 1/9.

Məlumdur ki

Beləliklə, 3 x-18 = 3 -2

Əsaslar bərabərdir, göstəriciləri bərabərləşdirə bilərik:

x – 18 = – 2

x = 16

İmtahan:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Cavab: 16

Tənliyin kökünü tapın:

1/64 kəsrini dörddə birə üçüncü dərəcə kimi təqdim edək:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

İmtahan:

Cavab: 11

Tənliyin kökünü tapın:

Gəlin 1/3-ü 3 –1, 9-u isə 3-ün kvadratı kimi təsəvvür edək, əldə edirik:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

İndi göstəriciləri bərabərləşdirə bilərik:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

İmtahan:

Cavab: 5

26654. Tənliyin kökünü tapın:

Həll:

Cavab: 8.75

Doğrudan da, müsbət a rəqəmini hansı gücə qaldırsaq da, mənfi ədəd ala bilmərik.

Müvafiq çevrilmələrdən sonra istənilən eksponensial tənlik bir və ya bir neçə sadə tənliyin həllinə endirilir.Bu bölmədə bəzi tənliklərin həllinə də baxacağıq, bunu qaçırmayın!Hamısı budur. Sənə uğurlar!

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Eksponensial tənliklər naməlumun eksponentdə olduğu tənliklərdir. Ən sadə eksponensial tənliyin forması var: a x = a b, burada a> 0, a 1, x naməlumdur.

Eksponensial tənliklərin çevrildiyi güclərin əsas xassələri: a>0, b>0.

Eksponensial tənliklərin həlli zamanı eksponensial funksiyanın aşağıdakı xassələrindən də istifadə olunur: y = a x, a > 0, a1:

Ədədi güc kimi göstərmək üçün əsas loqarifmik eynilikdən istifadə edin: b = , a > 0, a1, b > 0.

"Eksponensial tənliklər" mövzusunda problemlər və testlər

Eksponensial tənliklər
Dərslər: 4 Tapşırıqlar: 21 Testlər: 1
Eksponensial tənliklər - Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanını nəzərdən keçirmək üçün vacib mövzular
Tapşırıqlar: 14
Eksponensial və loqarifmik tənliklər sistemləri - Eksponensial və loqarifmik funksiyalar 11-ci sinif
Dərslər: 1 Tapşırıqlar: 15 Testlər: 1
§2.1. Eksponensial tənliklərin həlli
Dərslər: 1 Tapşırıqlar: 27
§7 Eksponensial və loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər - Bölmə 5. Eksponensial və loqarifmik funksiyalar, 10-cu sinif
Dərslər: 1 Tapşırıqlar: 17

Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün güclərin əsas xassələrini, eksponensial funksiyanın xassələrini və əsas loqarifmik eyniliyi bilməlisiniz.

Eksponensial tənlikləri həll edərkən iki əsas üsuldan istifadə olunur:

a f(x) = a g(x) tənliyindən f(x) = g(x) tənliyinə keçid;
yeni xətlərin tətbiqi.

Nümunələr.

1. Ən sadəə endirilən tənliklər. Onlar tənliyin hər iki tərəfini eyni bazaya malik gücə endirməklə həll edilir.

3 x = 9 x – 2.

Həll:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Cavab: 4.

2. Mötərizədə ümumi amili çıxarmaqla həll olunan tənliklər.

Həll:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Cavab: 3.

3. Dəyişən dəyişikliyi ilə həll edilən tənliklər.

Həll:

2 2x + 2 x – 12 = 0
2 x = y işarə edirik.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Tənliyin həlli yoxdur, çünki 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Cavab: log 2 3.

4. İki fərqli (bir-birinə azaldılmayan) əsasları olan gücləri olan tənliklər.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Cavab: 2.

5. a x və b x-ə görə bircins olan tənliklər.

Ümumi forma: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Həll:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y işarəsi verək.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Cavab: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Eksponensial tənlik nədir? Nümunələr.

Deməli, eksponensial tənlik... Çox müxtəlif tənliklərdən ibarət ümumi sərgimizdə yeni unikal eksponat!) Demək olar ki, həmişə olduğu kimi, hər hansı yeni riyazi terminin açar sözü onu xarakterizə edən müvafiq sifətdir. Beləliklə, buradadır. “Eksponensial tənlik” terminində əsas söz sözdür "göstərici". Bunun mənası nədi? Bu söz naməlumun (x) yerləşdiyini bildirir istənilən dərəcə baxımından. Və yalnız orada! Bu son dərəcə vacibdir.

Məsələn, bu sadə tənliklər:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Və ya hətta bu canavarlar:

2 sin x = 0,5

Xahiş edirəm dərhal bir vacib şeyə diqqət yetirin: səbəblər dərəcə (aşağı) - yalnız rəqəmlər. Amma in göstəricilər dərəcələr (yuxarıda) - X ilə ifadələrin geniş çeşidi. Tamamilə hər hansı.) Hər şey konkret tənlikdən asılıdır. Əgər qəflətən tənlikdə indikatora əlavə olaraq başqa yerdə x görünürsə (məsələn, 3 x = 18 + x 2), onda belə bir tənlik artıq tənlik olacaqdır. qarışıq tip. Belə tənliklərin həlli üçün aydın qaydaları yoxdur. Buna görə də bu dərsdə onları nəzərdən keçirməyəcəyik. Şagirdlərin zövqünə.) Burada biz yalnız eksponensial tənlikləri onların “saf” formasında nəzərdən keçirəcəyik.

Ümumiyyətlə, heç də hamısı deyil, heç də həmişə təmiz eksponensial tənliklər aydın şəkildə həll edilə bilməz. Lakin eksponensial tənliklərin bütün zəngin çeşidləri arasında həll edilə bilən və edilməli olan müəyyən növlər var. Məhz bu tip tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik. Və biz mütləq nümunələri həll edəcəyik.) Beləliklə, rahatlaşaq və yola düşək! Kompüter atıcılarında olduğu kimi, bizim səyahətimiz səviyyələrdən keçəcək.) Elementardan sadəə, sadədən orta səviyyəyə və orta səviyyədən mürəkkəbə. Yolda sizi gizli səviyyə də gözləyəcək - qeyri-standart misalların həlli üsulları və üsulları. Əksər məktəb dərsliklərində oxumayacağınız şeylər... Yaxşı və sonda, əlbəttə ki, son patron sizi ev tapşırığı şəklində gözləyir.)

Səviyyə 0. Ən sadə eksponensial tənlik hansıdır? Sadə eksponensial tənliklərin həlli.

Əvvəlcə bəzi açıq elementar şeylərə baxaq. Bir yerdən başlamaq lazımdır, elə deyilmi? Məsələn, bu tənlik:

2 x = 2 2

Heç bir nəzəriyyə olmasa belə, sadə məntiq və sağlam düşüncə ilə aydın olur ki, x = 2. Başqa yol yoxdur, elə deyilmi? X-in başqa heç bir mənası uyğun deyil... İndi isə diqqətimizi ona yönəldək qərar protokolu bu sərin eksponensial tənlik:

2 x = 2 2

X = 2

Bizə nə oldu? Və aşağıdakılar baş verdi. Biz əslində götürdük və... sadəcə olaraq eyni bazaları (iki) atdıq! Tamamilə atılıb. Və yaxşı xəbər budur ki, biz öküzün gözünə çarpdıq!

Bəli, həqiqətən, əgər eksponensial tənlikdə sol və sağ varsa eyni hər hansı bir gücdə olan ədədlər, onda bu ədədlər atılmaq və sadəcə eksponentləri bərabərləşdirmək olar. Riyaziyyat imkan verir.) Və sonra göstəricilərlə ayrıca işləyə və daha sadə tənliyi həll edə bilərsiniz. Əla, hə?

İstənilən (bəli, tam olaraq hər hansı!) eksponensial tənliyi həll etmək üçün əsas ideya budur: eyni çevrilmələrdən istifadə edərək, tənliyin sol və sağ tərəflərinin olmasını təmin etmək lazımdır eyni müxtəlif güclərdə əsas nömrələr. Və sonra eyni əsasları etibarlı şəkildə çıxara və eksponentləri bərabərləşdirə bilərsiniz. Və daha sadə bir tənliklə işləyin.

İndi dəmir qaydanı xatırlayaq: tənliyin solunda və sağında olan ədədlərin baza nömrələri olduğu halda eyni əsasları silmək mümkündür. qürurlu təklikdə.

Möhtəşəm təcriddə bu nə deməkdir? Bu, heç bir qonşu və əmsal olmadan deməkdir. İcazə ver izah edim.

Məsələn, tənlikdə.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Üçü çıxarmaq olmaz! Niyə? Çünki sol tərəfdə dərəcəyə qədər yalnız üçümüz yox, amma iş 3·3 x-5 . Əlavə üç müdaxilə edir: əmsal, başa düşürsən.)

Eyni şeyi tənlik haqqında da demək olar

5 3 x = 5 2 x +5 x

Burada da bütün əsaslar eynidir - beş. Ancaq sağda beşin tək bir gücü yoxdur: güclərin cəmi var!

Qısacası, eyni əsasları yalnız eksponensial tənliyimiz belə və yalnız belə göründükdə çıxarmaq hüququmuz var:

af (x) = a g (x)

Bu tip eksponensial tənlik deyilir ən sadə. Ya da elmi cəhətdən kanonik . Qarşımızda hansı bükülmüş tənlik olsa da, biz bu və ya digər şəkildə onu ən sadə (kanonik) formaya endirərik. Və ya bəzi hallarda cəmi bu tip tənliklər. Onda ən sadə tənliyimizi ümumi formada bu şəkildə yenidən yazmaq olar:

F(x) = g(x)

Hamısı budur. Bu, ekvivalent çevrilmə olardı. Bu halda f(x) və g(x) mütləq x ilə istənilən ifadə ola bilər. Nə olursa olsun.

Ola bilsin ki, xüsusilə maraqlanan bir tələbə təəccüblənəcək: niyə yer üzündə biz sol və sağdakı eyni əsasları belə asanlıqla və sadəcə olaraq atırıq və eksponentləri bərabərləşdiririk? İntuisiya intuisiyadır, bəs hansısa tənlikdə və nədənsə bu yanaşma düzgün deyilsə, onda necə? Eyni əsasları atmaq həmişə qanunidirmi? Təəssüf ki, bu maraqlı suala ciddi riyazi cavab vermək üçün siz funksiyaların quruluşu və davranışının ümumi nəzəriyyəsinə kifayət qədər dərindən və ciddi şəkildə daxil olmalısınız. Və bir az daha konkret - fenomendə ciddi monotonluq. Xüsusilə, sərt monotonluq eksponensial funksiyay= a x. Eksponensial tənliklərin həllinin əsasını eksponensial funksiya və onun xassələri təşkil etdiyindən, bəli.) Bu suala ətraflı cavab müxtəlif funksiyaların monotonluğundan istifadə etməklə mürəkkəb qeyri-standart tənliklərin həllinə həsr olunmuş ayrıca xüsusi dərsdə veriləcəkdir.)

Bu məqamı indi təfərrüatlı şəkildə izah etmək sadəcə adi bir tələbənin ağlını başından alacaq və onu quru və ağır bir nəzəriyyə ilə vaxtından əvvəl qorxutmuş olardı. Mən bunu etməyəcəyəm.) Çünki hazırda bizim əsas vəzifəmiz eksponensial tənlikləri həll etməyi öyrənin!Ən sadələri! Buna görə də, hələ də narahat olmayaq və eyni səbəbləri cəsarətlə ataq. Bu Bacarmaq, mənim sözümü qəbul edin!) Sonra f(x) = g(x) ekvivalent tənliyini həll edirik. Bir qayda olaraq, orijinal eksponensialdan daha sadədir.

Güman edilir ki, hal-hazırda insanlar ən azı , və tənlikləri, eksponentlərdə x olmadan necə həll etməyi bilirlər.) Necə olduğunu hələ də bilməyənlər üçün bu səhifəni bağlayın, müvafiq keçidləri izləyin. və köhnə boşluqları doldurun. Əks təqdirdə çətin anlar yaşayacaqsınız, bəli...

Mən əsasların aradan qaldırılması prosesində də ortaya çıxa bilən irrasional, triqonometrik və digər qəddar tənlikləri demirəm. Ancaq narahat olmayın, hələlik dərəcə baxımından açıq qəddarlığı nəzərdən keçirməyəcəyik: hələ tezdir. Biz yalnız ən sadə tənliklər üzərində məşq edəcəyik.)

İndi onları ən sadə hala gətirmək üçün bəzi əlavə səylər tələb edən tənliklərə baxaq. Fərqlənmək üçün onları çağıraq sadə eksponensial tənliklər. Beləliklə, növbəti səviyyəyə keçək!

Səviyyə 1. Sadə eksponensial tənliklər. Gəlin dərəcələri tanıyaq! Təbii göstəricilər.

İstənilən eksponensial tənliklərin həllində əsas qaydalar bunlardır dərəcələrlə işləmə qaydaları. Bu bilik və bacarıqlar olmadan heç nə işləməyəcək. vay. Beləliklə, dərəcələrlə bağlı problemlər varsa, əvvəlcə xoş gəlmisiniz. Bundan əlavə, bizim də ehtiyacımız olacaq. Bu çevrilmələr (onlardan ikisi!) ümumilikdə bütün riyazi tənliklərin həlli üçün əsasdır. Həm də təkcə nümayişkaranə deyil. Beləliklə, kim unutdusa, linkə də baxın: Mən onları sadəcə ora qoymuram.

Ancaq səlahiyyətlər və şəxsiyyət transformasiyaları ilə əməliyyatlar təkcə kifayət deyil. Şəxsi müşahidə və ixtiraçılıq da tələb olunur. Eyni səbəblərə ehtiyacımız var, elə deyilmi? Beləliklə, nümunəni araşdırırıq və onları açıq və ya gizli formada axtarırıq!

Məsələn, bu tənlik:

3 2 x – 27 x +2 = 0

İlk baxış əsaslar. Onlar fərqlidir! Üç və iyirmi yeddi. Ancaq çaxnaşma və ümidsizliyə qapılmaq hələ tezdir. Bunu xatırlamağın vaxtı gəldi

27 = 3 3

3 və 27 rəqəmləri dərəcəyə görə qohumdur! Və yaxınları.) Buna görə də yazmağa tam haqqımız var:

27 x +2 = (3 3) x+2

İndi gəlin biliklərimizi birləşdirək dərəcə ilə hərəkətlər(və mən sizə xəbərdarlıq etdim!). Orada çox faydalı bir formula var:

(a m) n = a mn

İndi onu işə salsanız, əla nəticə verir:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Orijinal nümunə indi belə görünür:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Əla, dərəcələrin əsasları düzəldi. İstədiyimiz bu idi. Döyüşün yarısı tamamlandı.) İndi biz əsas şəxsiyyət transformasiyasını işə salırıq - 3 3(x +2) sağa keçin. Riyaziyyatın elementar əməliyyatlarını heç kim ləğv etməyib, bəli.) Alırıq:

3 2 x = 3 3(x +2)

Bu tip tənlik bizə nə verir? Və indi tənliyimizin azaldılması faktı kanonik formaya keçir: solda və sağda güclərdə eyni rəqəmlər (üç) var. Üstəlik, hər üçü də möhtəşəm təcriddədir. Üçlükləri çıxarmaqdan çekinmeyin və əldə edin:

2x = 3(x+2)

Bunu həll edirik və əldə edirik:

X = -6

Bu belədir. Bu düzgün cavabdır.)

İndi həll yolu haqqında düşünək. Bu nümunədə bizi nə xilas etdi? Üçlüyün səlahiyyətlərini bilmək bizi xilas etdi. Tam olaraq necə? Biz müəyyən edilmişdir 27 nömrə şifrələnmiş üç ehtiva edir! Bu hiylə (eyni bazanın müxtəlif ədədlər altında kodlaşdırılması) eksponensial tənliklərdə ən məşhurlardan biridir! Ən populyar olmasa. Bəli və eyni şəkildə, yeri gəlmişkən. Buna görə müşahidə və ədədlərdə digər ədədlərin səlahiyyətlərini tanımaq qabiliyyəti eksponensial tənliklərdə çox vacibdir!

Praktik məsləhət:

Siz məşhur nömrələrin səlahiyyətlərini bilməlisiniz. Üzündə!

Təbii ki, hər kəs ikini yeddinci gücə və ya üçü beşinci gücə qaldıra bilər. Fikrimcə yox, heç olmasa qaralama şəklində. Lakin eksponensial tənliklərdə daha tez-tez bir gücə yüksəltmək lazım deyil, əksinə, rəqəmin arxasında hansı rəqəmin və hansı gücün gizləndiyini tapmaq lazımdır, məsələn, 128 və ya 243. Və bu daha mürəkkəbdir. sadə böyütməkdənsə, razılaşacaqsınız. Necə deyərlər, fərqi hiss edin!

Dərəcələri şəxsən tanımaq bacarığı təkcə bu səviyyədə deyil, həm də sonrakı səviyyələrdə faydalı olacağından, sizin üçün kiçik bir tapşırıq var:

Rəqəmlərin hansı güclərə və hansı nömrələrə aid olduğunu müəyyənləşdirin:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Cavablar (təsadüfi, əlbəttə):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Hə hə! Tapşırıqlardan daha çox cavab olduğuna təəccüblənməyin. Məsələn, 2 8, 4 4 və 16 2 hamısı 256-dır.

Səviyyə 2. Sadə eksponensial tənliklər. Gəlin dərəcələri tanıyaq! Mənfi və fraksiya göstəriciləri.

Bu səviyyədə biz artıq dərəcə biliklərimizdən maksimum istifadə edirik. Məhz, biz bu maraqlı prosesə mənfi və fraksiya göstəricilərini cəlb edirik! Hə hə! Gücümüzü artırmalıyıq, elə deyilmi?

Məsələn, bu dəhşətli tənlik:

Yenə də ilk baxış təməllərədir. Səbəblər fərqlidir! Və bu dəfə onlar bir-birinə uzaqdan bənzəmirlər! 5 və 0,04... Və əsasları aradan qaldırmaq üçün eyni olanlar lazımdır... Nə etməli?

OK! Əslində, hər şey eynidir, sadəcə beş ilə 0.04 arasındakı əlaqə vizual olaraq zəif görünür. Necə çıxa bilərik? Gəlin adi kəsr kimi 0,04 rəqəminə keçək! Və sonra görürsən, hər şey düzələcək.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Heyrət! Vay! Belə çıxır ki, 0.04 1/25-dir! Yaxşı, kim düşünərdi!)

Belə ki, necə? 5 və 1/25 rəqəmləri arasındakı əlaqəni görmək indi daha asandır? Bu belədir...

İndi isə dərəcələri olan hərəkətlərin qaydalarına görə mənfi göstərici Sabit bir əllə yaza bilərsiniz:

Əladır. Beləliklə, eyni bazaya çatdıq - beş. İndi tənlikdəki əlverişsiz 0,04 rəqəmini 5 -2 ilə əvəz edirik və alırıq:

Yenə dərəcələrlə əməliyyatlar qaydalarına görə indi yaza bilərik:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Hər halda, sizə xatırladıram ki, (hər kəs bilmirsə) dərəcələrlə işləmək üçün əsas qaydalar etibarlıdır. hər hansı göstəricilər! Mənfi olanlar üçün də daxil olmaqla.) Beləliklə, (-2) və (x-1) göstəricilərini müvafiq qaydaya uyğun olaraq götürün və çoxaldın. Tənliyimiz getdikcə daha yaxşı olur:

Hamısı! Tənha beşlikdən başqa, sağda və solda olan güclərdə başqa heç nə yoxdur. Tənlik kanonik formaya endirilir. Və sonra - dırnaqlı yol boyunca. Beşləri çıxarırıq və göstəriciləri bərabərləşdiririk:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Məsələn, demək olar ki, həll olunur. Geriyə ibtidai orta məktəb riyaziyyatı qalıb - mötərizələri açın (düzgün!) və sol tərəfdəki hər şeyi yığın:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Bunu həll edirik və iki kök alırıq:

x 1 = 1; x 2 = 3

Hamısı budur.)

İndi bir daha düşünək. Bu nümunədə biz yenə eyni nömrəni müxtəlif dərəcələrdə tanımalı olduq! Məhz, 0.04 rəqəmində şifrələnmiş beşi görmək. Və bu dəfə - daxil mənfi dərəcə! Bunu necə etdik? Dərhal yarasadan - heç bir şəkildə. Ancaq 0,04 onluq kəsrdən adi kəsr 1/25-ə keçdikdən sonra hər şey aydın oldu! Və sonra bütün qərar saat işi kimi getdi.)

Buna görə başqa bir yaşıl praktik məsləhət.

Əgər eksponensial tənlik ondalık kəsrləri ehtiva edirsə, onda biz onluq kəsrlərdən adi kəsrlərə keçirik. Bir çox məşhur ədədlərin səlahiyyətlərini fraksiyalarda tanımaq daha asandır! Tanındıqdan sonra kəsrlərdən mənfi eksponentləri olan güclərə keçirik.

Unutmayın ki, bu hiylə eksponensial tənliklərdə çox, çox tez-tez baş verir! Ancaq adam mövzuda deyil. O, məsələn, 32 və 0.125 rəqəmlərinə baxır və əsəbiləşir. Özündən xəbərsiz, bu bir və eyni ikidir, yalnız müxtəlif dərəcələrdə... Amma siz artıq bilirsiniz!)

Tənliyi həll edin:

İçində! Sakit dəhşətə oxşayır... Bununla belə, görünüş aldadıcıdır. Bu, qorxuducu görünüşünə baxmayaraq, ən sadə eksponensial tənlikdir. İndi bunu sizə göstərəcəyəm.)

Əvvəlcə əsaslar və əmsallardakı bütün rəqəmlərə baxaq. Onlar, əlbəttə, fərqlidirlər, bəli. Amma biz yenə də risk edib onları etməyə çalışacağıq eyni! Gəlin çatmağa çalışaq müxtəlif güclərdə eyni sayda. Üstəlik, nömrələrin mümkün qədər az olması üstünlükdür. Beləliklə, deşifr etməyə başlayaq!

Yaxşı, dörd ilə hər şey dərhal aydındır - 2 2. Yaxşı, bu artıq bir şeydir.)

0.25-in bir hissəsi ilə - hələ də aydın deyil. Yoxlamaq lazımdır. Praktik məsləhətlərdən istifadə edək - onluq kəsrdən adi kəsrə keçin:

0,25 = 25/100 = 1/4

Artıq daha yaxşı. Çünki indi aydın görünür ki, 1/4 2 -2-dir. Əla və 0.25 rəqəmi də ikiyə yaxındır.)

İndiyə qədər yaxşı. Ancaq ən pis sayı qalır - ikinin kvadrat kökü! Bu bibərlə nə etmək lazımdır? Onu ikinin gücü kimi də göstərmək olarmı? Və kim bilir...

Yaxşı, gəlin yenidən dərəcələr haqqında bilik xəzinəmizə dalaq! Bu dəfə biz əlavə olaraq biliklərimizi birləşdiririk kökləri haqqında. 9-cu sinif kursundan siz və mən öyrənməliydik ki, istənilən kök, istəsəniz, həmişə dərəcəyə çevrilə bilər. fraksiya göstəricisi ilə.

Bunun kimi:

Bizim vəziyyətimizdə:

Heyrət! Vay! Belə çıxır ki, ikinin kvadrat kökü 2 1/2-dir. Bu belədir!

Bu yaxşıdır! Bütün əlverişsiz nömrələrimiz əslində şifrələnmiş iki oldu.) Mübahisə etmirəm, haradasa çox mürəkkəb şəkildə şifrələnmişdir. Amma biz bu cür şifrələrin həllində peşəkarlığımızı da artırırıq! Və sonra hər şey artıq aydındır. Tənliyimizdə 4, 0.25 rəqəmlərini və ikinin kökünü ikinin dərəcələri ilə əvəz edirik:

Hamısı! Nümunədə bütün dərəcələrin əsasları eyni oldu - iki. İndi dərəcələri olan standart hərəkətlər istifadə olunur:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Sol tərəf üçün alırsınız:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Sağ tərəf üçün belə olacaq:

İndi bizim pis tənliyimiz belə görünür:

Bu tənliyin necə yarandığını dəqiq bilməyənlər üçün burada sual eksponensial tənliklər haqqında deyil. Sual dərəcə ilə hərəkətlərə aiddir. Problemi olanlara təcili təkrarlamanızı xahiş etdim!

Budur finiş xətti! Eksponensial tənliyin kanonik forması alındı! Belə ki, necə? Mən səni hər şeyin o qədər də qorxulu olmadığına inandırdım? ;) İkisini çıxarırıq və göstəriciləri bərabərləşdiririk:

Yalnız bu xətti tənliyi həll etmək qalır. Necə? Eyni çevrilmələrin köməyi ilə, əlbəttə.) Nə baş verdiyinə qərar verin! Hər iki tərəfi ikiyə vurun (3/2 kəsri çıxarmaq üçün), X hərfi olan şərtləri sola, X olmadan sağa köçürün, oxşarlarını gətirin, sayın - və xoşbəxt olacaqsınız!

Hər şey gözəl çıxmalıdır:

X=4

İndi həll yolu haqqında bir daha düşünək. Bu nümunədə bizə keçid kömək etdi kvadrat kök Kimə 1/2 eksponent ilə dərəcə. Üstəlik, yalnız belə bir hiyləgər çevrilmə bizə hər yerdə eyni bazaya (iki) çatmağa kömək etdi, bu da vəziyyəti xilas etdi! Və əgər bu olmasaydı, o zaman əbədi olaraq donmaq üçün hər şansımız olardı və bu nümunənin öhdəsindən heç vaxt gələ bilməzdik, bəli ...

Buna görə də, biz növbəti praktik məsləhəti laqeyd qoymuruq:

Əgər eksponensial tənlikdə köklər varsa, onda biz köklərdən kəsr eksponentləri olan güclərə keçirik. Çox vaxt yalnız belə bir transformasiya sonrakı vəziyyəti aydınlaşdırır.

Əlbəttə ki, mənfi və kəsr səlahiyyətləri təbii güclərdən daha mürəkkəbdir. Ən azından vizual qavrayış və xüsusən də sağdan sola tanınma baxımından!

Aydındır ki, bilavasitə, məsələn, ikini -3-ün və ya dördün -3/2-nin gücünə qaldırmaq o qədər də böyük problem deyil. Bilənlər üçün.)

Ancaq gedin, məsələn, dərhal bunu anlayın

0,125 = 2 -3

Və ya

Burada yalnız təcrübə və zəngin təcrübə hökm sürür, bəli. Və əlbəttə ki, aydın bir fikir, Mənfi və kəsr dərəcəsi nədir? Həm də praktik məsləhət! Bəli, bəli, eyni olanlar yaşıl.) Ümid edirəm ki, onlar sizə bütün müxtəlif dərəcələr arasında daha yaxşı getmək və uğur şansınızı əhəmiyyətli dərəcədə artırmaqda sizə kömək edəcəklər! Ona görə də gəlin onları laqeyd qoymayaq. Bəzən yaşıl rəngdə yazmağım əbəs deyil.)

Ancaq mənfi və kəsr kimi ekzotik güclərlə belə bir-birinizi tanısanız, eksponensial tənlikləri həll etmək imkanlarınız çox genişlənəcək və demək olar ki, istənilən eksponensial tənlikləri idarə edə biləcəksiniz. Yaxşı, əgər yoxdursa, onda bütün eksponensial tənliklərin 80 faizi - mütləq! Bəli, bəli, zarafat etmirəm!

Beləliklə, eksponensial tənliklərə girişimizin birinci hissəsi məntiqi nəticəyə gəldi. Və bir ara məşq olaraq, ənənəvi olaraq bir az özünü əks etdirməyi təklif edirəm.)

Məşq 1.

Mənfi və fraksiya gücünün deşifrə edilməsi ilə bağlı sözlərim boş yerə getməməsi üçün bir az oyun oynamağı təklif edirəm!

Rəqəmləri ikinin gücü kimi ifadə edin:

Cavablar (çatışmasız):

baş verdi? Əla! Sonra biz döyüş tapşırığını yerinə yetiririk - ən sadə və ən sadə eksponensial tənlikləri həll edin!

Tapşırıq 2.

Tənlikləri həll edin (bütün cavablar qarışıqdır!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Cavablar:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

baş verdi? Həqiqətən, daha sadədir!

Sonra növbəti oyunu həll edirik:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Cavablar:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Bu misallardan biri qalıb? Əla! Sən böyüyürsən! Sonra qəlyanaltı edə biləcəyiniz daha bir neçə nümunə var:

Cavablar:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Və bu qərar verildi? Yaxşı, hörmət! Papağımı götürürəm.) Bu o deməkdir ki, dərs əbəs deyildi və eksponensial tənliklərin həllinin ilkin səviyyəsini uğurla mənimsəmiş hesab etmək olar. Növbəti səviyyələr və daha mürəkkəb tənliklər qarşıdadır! Və yeni texnika və yanaşmalar. Və qeyri-standart nümunələr. Və yeni sürprizlər.) Bütün bunlar növbəti dərsdə!

Nəsə səhv getdi? Bu o deməkdir ki, çox güman ki, problemlər . Və ya içində. Və ya ikisini birdən. Mən burada gücsüzəm. Mən bir daha yalnız bir şeyi təklif edə bilərəm - tənbəl olmayın və linkləri izləyin.)

Ardı var.)

Avadanlıq:

kompüter,
multimedia proyektoru,
ekran,
Əlavə 1(PowerPoint slayd təqdimatı) “Eksponensial tənliklərin həlli üsulları”
Əlavə 2(Word-da "Üç fərqli güc əsası" kimi bir tənliyin həlli)
Əlavə 3(praktiki iş üçün Word proqramında paylama materialları).
Əlavə 4(ev tapşırığı üçün Word proqramında paylama).

Dərslər zamanı

1. Təşkilati mərhələ

dərs mövzusunun mesajı (lövhədə yazılmışdır),
10-11-ci siniflərdə ümumi dərsə ehtiyac:

Şagirdlərin fəal öyrənməyə hazırlanması mərhələsi

Təkrar

Tərif.

Eksponensial tənlik göstəricisi olan dəyişəni ehtiva edən tənlikdir (tələbə cavabları).

Müəllim qeydi. Eksponensial tənliklər transsendental tənliklər sinfinə aiddir. Bu tələffüz olunmayan ad belə tənliklərin, ümumiyyətlə, düsturlar şəklində həll edilə bilməyəcəyini göstərir.

Onları yalnız kompüterlərdə təxminən ədədi üsullarla həll etmək olar. Bəs imtahan tapşırıqları haqqında nə demək olar? Məsələ ondadır ki, imtahan verən problemi elə çərçivəyə salır ki, o, analitik həllə imkan verir. Başqa sözlə, siz bu eksponensial tənliyi ən sadə eksponensial tənliyə endirən eyni çevrilmələri həyata keçirə bilərsiniz (və etməlisiniz!). Bu ən sadə tənlik belə adlanır: ən sadə eksponensial tənlik. Həll olunur loqarifmlə.

Eksponensial tənliyin həlli ilə bağlı vəziyyət, problemin müəllifi tərəfindən xüsusi olaraq icad edilən labirintdə səyahət etməyi xatırladır. Bu çox ümumi arqumentlərdən çox xüsusi tövsiyələrə əməl edin.

Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün sizə lazımdır:

1. Bütün eksponensial eynilikləri aktiv şəkildə bilməklə yanaşı, həm də bu identikliklərin müəyyən edildiyi dəyişən qiymətlər toplusunu tapın ki, bu kimliklərdən istifadə edərkən lazımsız köklər əldə etməyəsiniz və daha çox həll yollarını itirməyəsiniz. tənliyə.

2. Bütün eksponensial eynilikləri aktiv şəkildə bilmək.

3. Tənliklərin riyazi çevrilmələrini aydın şəkildə, təfərrüatlı və xətasız həyata keçirin (şərləri tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürmək, işarəni dəyişməyi unutmadan, kəsrləri ortaq məxrəcə gətirmək və s.). Buna riyazi mədəniyyət deyilir. Eyni zamanda, hesablamaların özləri avtomatik olaraq əl ilə aparılmalı və baş həllin ümumi istiqamətləndirici ipi haqqında düşünməlidir. Transformasiyalar mümkün qədər diqqətlə və ətraflı şəkildə aparılmalıdır. Yalnız bu düzgün, səhvsiz bir qərara zəmanət verəcəkdir. Və unutmayın: kiçik arifmetik xəta sadəcə olaraq transsendental tənlik yarada bilər ki, bu tənlik prinsipcə analitik yolla həll edilə bilməz. Belə çıxır ki, sən yolunu azıb, labirint divarına dəyib.

4. Problemlərin həlli üsullarını bilin (yəni həll labirintindən keçən bütün yolları bilin). Hər mərhələdə düzgün naviqasiya etmək üçün (şüurlu və ya intuitiv olaraq!):

müəyyənləşdirmək tənlik növü;
müvafiq növü xatırlayın həll üsulu tapşırıqlar.

Öyrənilən materialın ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi mərhələsi.

Müəllim kompüterdən istifadə edən tələbələrlə birlikdə bütün növ eksponensial tənliklərin və onların həlli üsullarının nəzərdən keçirilməsini aparır, ümumi sxemi tərtib edir. (L.Ya.Borevskinin “Riyaziyyat kursu – 2000” tədris kompüter proqramı istifadə olunur, PowerPoint təqdimatının müəllifi T.N.Kuptsovadır.)

düyü. 1.Şəkildə bütün növ eksponensial tənliklərin ümumi diaqramı göstərilir.

Bu diaqramdan göründüyü kimi, eksponensial tənliklərin həlli strategiyası verilmiş eksponensial tənliyi tənliyə endirməkdən ibarətdir, ilk növbədə, eyni dərəcə əsasları ilə , və sonra – və eyni dərəcə göstəriciləri ilə.

Eyni əsasları və eksponentləri olan bir tənlik aldıqdan sonra siz bu göstəricini yeni dəyişənlə əvəz edirsiniz və bu yeni dəyişənə münasibətdə sadə cəbri tənlik (adətən kəsr-rasional və ya kvadratik) əldə edirsiniz.

Bu tənliyi həll etdikdən və tərs əvəzetməni etdikdən sonra siz loqarifmlərdən istifadə edərək ümumi formada həll edilə bilən sadə eksponensial tənliklər toplusu ilə nəticələnirsiniz.

Yalnız (qismən) güclərin məhsullarının tapıldığı tənliklər seçilir. Eksponensial eyniliklərdən istifadə edərək, bu tənlikləri dərhal bir bazaya, xüsusən də ən sadə eksponensial tənliyə endirmək mümkündür.

Üç fərqli əsaslı eksponensial tənliyin necə həll olunacağına baxaq.

(Əgər müəllimdə L.Ya. Borevskinin “Riyaziyyat kursu - 2000” tədris kompüter proqramı varsa, təbii olaraq biz disklə işləyirik, əgər yoxsa, ondan hər bir masa üçün bu tip tənliyin çapını edə bilərsiniz, aşağıda təqdim olunur.)