Triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar. Triqonometrik tənliklər

Triqonometrik tənliklər asan mövzu deyil. Onlar çox müxtəlifdir.) Məsələn, bunlar:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = çarpayı(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

və s...

Ancaq bu (və bütün digər) triqonometrik canavarların iki ümumi və məcburi xüsusiyyəti var. Birincisi - inanmayacaqsınız - tənliklərdə triqonometrik funksiyalar var.) İkincisi: x ilə bütün ifadələr tapılır. eyni funksiyalar daxilində. Və yalnız orada! X haradasa görünürsə kənarda, Misal üçün, sin2x + 3x = 3, bu artıq qarışıq tipli tənlik olacaq. Bu cür tənliklər fərdi yanaşma tələb edir. Biz onları burada nəzərdən keçirməyəcəyik.

Bu dərsdə də pis tənlikləri həll etməyəcəyik.) Burada biz məşğul olacağıq ən sadə triqonometrik tənliklər. Niyə? Bəli, çünki həll hər hansı triqonometrik tənliklər iki mərhələdən ibarətdir. Birinci mərhələdə şər tənlik müxtəlif çevrilmələr vasitəsilə sadə tənliyə endirilir. İkincidə, bu ən sadə tənlik həll edilir. Başqa yol yoxdur.

Beləliklə, ikinci mərhələdə probleminiz varsa, birinci mərhələnin çox mənası yoxdur.)

Elementar triqonometrik tənliklər nə kimi görünür?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Budur A istənilən rəqəmi ifadə edir. Hər hansı.

Yeri gəlmişkən, funksiyanın içərisində xalis X deyil, bir növ ifadə ola bilər, məsələn:

cos(3x+π /3) = 1/2

və s. Bu, həyatı çətinləşdirir, lakin triqonometrik tənliyin həlli metoduna təsir etmir.

Triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?

Triqonometrik tənlikləri iki yolla həll etmək olar. Birinci yol: məntiqdən və triqonometrik dairədən istifadə etmək. Biz burada bu yola baxacağıq. İkinci yol - yaddaş və düsturlardan istifadə - növbəti dərsdə müzakirə olunacaq.

Birinci yol aydın, etibarlı və unudulması çətindir.) Triqonometrik tənlikləri, bərabərsizlikləri və hər cür çətin qeyri-standart misalları həll etmək üçün yaxşıdır. Məntiq yaddaşdan güclüdür!)

Triqonometrik dairədən istifadə edərək tənliklərin həlli.

Biz elementar məntiqi və triqonometrik dairədən istifadə etmək bacarığını daxil edirik. Bilmirsən necə? Bununla belə... Triqonometriyada çətin anlar yaşayacaqsınız...) Amma fərqi yoxdur. “Triqonometrik dairə...... Bu nədir?” dərslərinə nəzər salın. və "Triqonometrik dairədə bucaqların ölçülməsi". Orada hər şey sadədir. Dərsliklərdən fərqli olaraq...)

Oh, bilirsən!? Və hətta "Triqonometrik dairə ilə praktiki iş" i mənimsədim!? Təbrik edirik. Bu mövzu sizə yaxın və başa düşülən olacaq.) Xüsusilə sevindirici odur ki, triqonometrik çevrə sizin hansı tənliyi həll etdiyinizə əhəmiyyət vermir. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - onun üçün hər şey eynidir. Yalnız bir həll prinsipi var.

Beləliklə, hər hansı elementar triqonometrik tənliyi götürürük. Ən azı bu:

cosx = 0,5

X tapmalıyıq. İnsan dilində danışanda sizə lazımdır kosinusu 0,5 olan bucağı (x) tapın.

Əvvəllər dairədən necə istifadə edirdik? Bunun üzərinə bir bucaq çəkdik. Dərəcə və ya radyanla. Və dərhal gördüm bu bucağın triqonometrik funksiyaları. İndi isə bunun əksini edək. Dairə üzərində 0,5-ə bərabər və dərhal kosinusu çəkək görərik künc. Sadəcə cavabı yazmaq qalır.) Bəli, bəli!

Bir dairə çəkin və kosinusu 0,5-ə bərabər qeyd edin. Əlbəttə ki, kosinus oxunda. Bunun kimi:

İndi bu kosinusun bizə verdiyi bucağı çəkək. Siçanı şəklin üzərinə gətirin (və ya planşetinizdəki şəklə toxunun) və görəcəksən elə bu künc X.

Hansı bucağın kosinusu 0,5-dir?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Bəziləri şübhə ilə güləcəklər, hə... Necə ki, hər şey aydın olan halda dairəni çəkməyə dəyərdimi... Gülə bilərsən, əlbəttə...) Amma fakt budur ki, bu səhv cavabdır. Daha doğrusu, qeyri-kafi. Dairənin biliciləri başa düşürlər ki, burada 0,5 kosinusu verən bir çox başqa bucaqlar var.

Hərəkət edən tərəfi OA çevirsəniz tam dönüş, A nöqtəsi ilkin vəziyyətinə qayıdacaq. Eyni kosinus ilə 0,5-ə bərabərdir. Bunlar. bucaq dəyişəcək 360° və ya 2π radyanla, və kosinus - yox. Yeni bucaq 60° + 360° = 420° də tənliyimizin həlli olacaq, çünki

Sonsuz sayda belə tam inqilablar edilə bilər... Və bütün bu yeni bucaqlar triqonometrik tənliyimizin həlli olacaq. Və hamısı cavab olaraq bir şəkildə yazılmalıdır. Hamısı.Əks halda qərar sayılmaz, bəli...)

Riyaziyyat bunu sadə və zərif şəkildə edə bilər. Bir qısa cavabda yazın sonsuz dəst qərarlar. Tənliyimiz üçün belə görünür:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Mən onu deşifrə edəcəm. Hələ yazın mənalı Bu, axmaqcasına sirli hərflər çəkməkdən daha xoşdur, elə deyilmi?)

π /3 - bu bizimlə eyni küncdür gördüm dairədə və müəyyən edilmişdir kosinus cədvəlinə görə.

2π radyanda tam bir inqilabdır.

n - bu tam olanların sayıdır, yəni. bütöv rpm Aydındır ki n 0, ±1, ±2, ±3....-ə bərabər ola bilər və s. Qısa girişdə göstərildiyi kimi:

n ∈ Z

n məxsusdur ( ∈ ) tam ədədlər dəsti ( Z ). Yeri gəlmişkən, məktub əvəzinə n hərflərdən istifadə etmək olar k, m, t və s.

Bu qeyd hər hansı bir tam ədəd ala biləcəyiniz deməkdir n . Ən azı -3, ən azı 0, ən azı +55. Nə istəsən. Bu nömrəni cavabda əvəz etsəniz, müəyyən bir bucaq əldə edəcəksiniz, bu, mütləq sərt tənliyimizin həlli olacaqdır.)

Və ya başqa sözlə, x = π /3 sonsuz çoxluğun yeganə köküdür. Bütün digər kökləri əldə etmək üçün π /3-ə istənilən sayda tam çevrilmə əlavə etmək kifayətdir ( n ) radyanla. Bunlar. 2π n radian.

Hamısı? Yox. Mən qəsdən zövqü uzadıram. Daha yaxşı xatırlamaq üçün.) Tənliyimizə cavabların yalnız bir hissəsini aldıq. Həllin bu birinci hissəsini belə yazacağam:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - tək bir kök deyil, bütöv bir sıra köklər, qısa formada yazılmışdır.

Ancaq kosinusu 0,5 verən bucaqlar da var!

Cavabı yazdığımız şəklimizə qayıdaq. Budur o:

Siçanı şəklin üzərinə gətirin və Biz görürük başqa bucaq həm də 0,5 kosinusu verir. Sizcə nəyə bərabərdir? Üçbucaqlar eynidir... Bəli! Bucağa bərabərdir X , yalnız mənfi istiqamətdə gecikdirilir. Bu küncdür -X. Amma biz artıq x-i hesablamışıq. π /3 və ya 60°. Beləliklə, biz təhlükəsiz yaza bilərik:

x 2 = - π /3

Əlbəttə ki, tam inqilablar nəticəsində əldə edilən bütün bucaqları əlavə edirik:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

İndi hamısı budur.) Triqonometrik dairədə biz gördüm(kim başa düşür, əlbəttə)) Hamısı kosinusu 0,5 verən açılar. Və biz bu bucaqları qısa riyazi formada yazdıq. Cavab iki sonsuz kök seriyası ilə nəticələndi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu düzgün cavabdır.

Ümid, triqonometrik tənliklərin həllinin ümumi prinsipi dairədən istifadə aydındır. Verilmiş tənlikdən kosinusu (sinus, tangens, kotangens) çevrə üzərində işarələyirik, ona uyğun bucaqları çəkirik və cavabını yazırıq. Təbii ki, biz hansı künclərdə olduğumuzu müəyyən etməliyik gördüm dairədə. Bəzən o qədər də aydın olmur. Yaxşı, dedim ki, burada məntiq tələb olunur.)

Məsələn, başqa bir triqonometrik tənliyə baxaq:

Nəzərə alın ki, 0,5 rəqəmi tənliklərdə yeganə mümkün rəqəm deyil!) Mənim üçün onu yazmaq kök və kəsrlərdən daha rahatdır.

Biz ümumi prinsip əsasında işləyirik. Bir dairə çəkirik, işarələyirik (sinus oxunda, əlbəttə!) 0,5. Bu sinusa uyğun gələn bütün bucaqları bir anda çəkirik. Bu şəkli alırıq:

Əvvəlcə bucaqla məşğul olaq X birinci rübdə. Sinuslar cədvəlini xatırlayırıq və bu bucağın qiymətini təyin edirik. Bu sadə məsələdir:

x = π /6

Tam dönüşləri xatırlayırıq və aydın bir vicdanla ilk cavab seriyasını yazırıq:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

İşin yarısı bitib. Ancaq indi müəyyən etmək lazımdır ikinci künc... Bu, kosinuslardan istifadə etməkdən daha hiyləgərdir, bəli... Amma məntiq bizi xilas edəcək! İkinci bucağı necə təyin etmək olar x vasitəsilə? Bəli Asan! Şəkildəki üçbucaqlar eynidir və qırmızı künc X bucağa bərabərdir X . Yalnız π bucağından mənfi istiqamətdə sayılır. Buna görə də qırmızıdır.) Cavab üçün bizə müsbət yarımox OX-dən düzgün ölçülən bucaq lazımdır, yəni. 0 dərəcə bucaqdan.

Kursoru rəsm üzərinə aparırıq və hər şeyi görürük. Şəkili çətinləşdirməmək üçün birinci küncü çıxardım. Bizi maraqlandıran bucaq (yaşıl rənglə çəkilmiş) bərabər olacaq:

π - x

X biz bunu bilirik π /6 . Beləliklə, ikinci bucaq belə olacaq:

π - π /6 = 5π /6

Yenə tam inqilablar əlavə etməyi xatırlayırıq və cavabların ikinci seriyasını yazırıq:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Hamısı budur. Tam cavab iki sıra kökdən ibarətdir:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangens və kotangens tənlikləri triqonometrik tənliklərin həlli üçün eyni ümumi prinsipdən istifadə etməklə asanlıqla həll etmək olar. Əgər, əlbəttə ki, triqonometrik çevrə üzərində tangens və kotangens çəkməyi bilirsinizsə.

Yuxarıdakı nümunələrdə sinus və kosinusun cədvəl dəyərindən istifadə etdim: 0.5. Bunlar. tələbənin bildiyi mənalardan biridir lazımdır.İndi imkanlarımızı genişləndirək bütün digər dəyərlər. Qərar verin, qərar verin!)

Beləliklə, deyək ki, bu triqonometrik tənliyi həll etməliyik:

Qısa cədvəllərdə belə kosinus dəyəri yoxdur. Biz bu dəhşətli faktı soyuqqanlılıqla gözardı edirik. Bir dairə çəkin, kosinus oxuna 2/3 işarələyin və müvafiq açıları çəkin. Bu şəkli alırıq.

Gəlin birinci rübdəki bucağa baxaq. Əgər x-in nəyə bərabər olduğunu bilsəydik, cavabı dərhal yazardıq! Bilmirik... Uğursuzluq!? Sakit ol! Riyaziyyat öz xalqını çətinlik içində qoymur! O, bu iş üçün qövs kosinusları ilə gəldi. Bilməmək? Boş yerə. Tapın, bu, düşündüyünüzdən çox asandır. Bu linkdə “tərs triqonometrik funksiyalar” haqqında bircə də hiyləgər sehr yoxdur... Bu mövzuda bu artıqdır.

Əgər bilirsinizsə, özünüzə deyin: "X kosinusu 2/3-ə bərabər olan bucaqdır." Və dərhal, sırf qövs kosinusunun tərifi ilə yaza bilərik:

Əlavə inqilabları xatırlayırıq və triqonometrik tənliyimizin köklərinin ilk seriyasını sakitcə yazırıq:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci bucaq üçün ikinci kök seriyası demək olar ki, avtomatik olaraq yazılır. Hər şey eynidir, yalnız X (arccos 2/3) mənfi olacaq:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Və bu qədər! Bu düzgün cavabdır. Cədvəl dəyərlərindən daha asandır. Heç bir şeyi xatırlamağa ehtiyac yoxdur.) Yeri gəlmişkən, ən diqqətli olanlar bu şəkildə qövs kosinusu vasitəsilə həlli göstərdiyini görəcəklər. mahiyyətcə cosx = 0.5 tənliyi üçün şəkildən heç bir fərqi yoxdur.

Tam olaraq! Ümumi prinsip budur! Mən qəsdən iki demək olar ki, eyni şəkil çəkdim. Dairə bizə bucağı göstərir X onun kosinusu ilə. Cədvəl kosinusu olub-olmaması hər kəsə məlum deyil. Bu nə cür bucaqdır, π /3 və ya qövs kosinusu nədir - qərar vermək bizim ixtiyarımızdadır.

Sinus ilə eyni mahnı. Misal üçün:

Yenidən bir dairə çəkin, sinusunu 1/3-ə bərabər qeyd edin, açıları çəkin. Aldığımız şəkil budur:

Və yenə də şəkil tənliklə demək olar ki, eynidir sinx = 0,5. Yenə birinci rübdə küncdən başlayırıq. Sinusu 1/3 olarsa, X nəyə bərabərdir? Problem deyil!

İndi köklərin ilk paketi hazırdır:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Gəlin ikinci bucaqla məşğul olaq. Cədvəl dəyəri 0,5 olan nümunədə bu bərabər idi:

π - x

Burada da tam eyni olacaq! Yalnız x fərqlidir, arcsin 1/3. Nə olsun!? İkinci kök paketini etibarlı şəkildə yaza bilərsiniz:

x 2 = π - qövs 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu tamamilə düzgün cavabdır. Çox tanış görünməsə də. Ancaq aydındır, ümid edirəm.)

Triqonometrik tənliklər çevrədən istifadə etməklə belə həll olunur. Bu yol aydın və başa düşüləndir. Müəyyən bir intervalda köklərin seçilməsi ilə triqonometrik tənliklərdə, triqonometrik bərabərsizliklərdə qənaət edən odur - onlar ümumiyyətlə demək olar ki, həmişə bir dairədə həll olunur. Bir sözlə, standart işlərdən bir az daha çətin olan istənilən işlərdə.

Gəlin biliyi praktikada tətbiq edək?)

Triqonometrik tənlikləri həll edin:

Birincisi, daha sadə, birbaşa bu dərsdən.

İndi daha mürəkkəbdir.

İpucu: burada dairə haqqında düşünməli olacaqsınız. Şəxsən.)

İndi isə zahirən sadədirlər... Onlara xüsusi hallar da deyirlər.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: burada bir dairədə iki cavab silsiləsi və harada bir cavab olduğunu anlamaq lazımdır... Və iki cavab seriyası əvəzinə birini necə yazmaq olar. Bəli, sonsuz sayda bir kök itməsin!)

Yaxşı, çox sadə):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: burada arksinus və arkkosinin nə olduğunu bilmək lazımdır? Arktangens, arktangens nədir? Ən sadə təriflər. Ancaq heç bir cədvəl dəyərini xatırlamağa ehtiyac yoxdur!)

Cavablar, əlbəttə ki, qarışıqdır):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Hər şey alınmır? baş verir. Dərsi yenidən oxuyun. Yalnız düşünərək(belə köhnəlmiş söz var...) Və keçidləri izləyin. Əsas bağlantılar dairə haqqındadır. Onsuz triqonometriya yolu gözübağlı keçməyə bənzəyir. Bəzən işləyir.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Daha mürəkkəb triqonometrik tənliklər

Tənliklər

günah x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ən sadə triqonometrik tənliklərdir. Bu bölmədə biz konkret nümunələrdən istifadə edərək daha mürəkkəb triqonometrik tənliklərə baxacağıq. Onların həlli, bir qayda olaraq, ən sadə triqonometrik tənliklərin həllinə gəlir.

Misal 1 . Tənliyi həll edin

günah 2 X= cos X günah 2 x.

Bu tənliyin bütün şərtlərini sol tərəfə köçürərək və nəticədə ortaya çıxan ifadəni faktorlara ayıraraq əldə edirik:

günah 2 X(1 - cos X) = 0.

İki ifadənin hasili o zaman sıfıra bərabərdir ki, amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olsun, digəri isə müəyyən olunduğu müddətcə istənilən ədədi qiymət alır.

Əgər günah 2 X = 0 , sonra 2 X= n π ; X = π / 2n.

Əgər 1 - cos X = 0 , sonra cos X = 1; X = 2kπ .

Beləliklə, iki qrup kök aldıq: X = π / 2n; X = 2kπ . İkinci qrup köklər birincidə yer alır, çünki n = 4k üçün ifadə X = π / 2n olur
X = 2kπ .

Buna görə də cavab bir düsturla yazıla bilər: X = π / 2n, Harada n- istənilən tam ədəd.

Qeyd edək ki, bu tənliyi sin 2 ilə azaltmaqla həll etmək mümkün deyildi x. Həqiqətən, reduksiyadan sonra biz 1 - cos x = 0 alacağıq, buradan X= 2k π . Beləliklə, məsələn, bəzi kökləri itirəcəyik π / 2 , π , 3π / 2 .

Misal 2. Tənliyi həll edin

Kəsr yalnız onun payı sıfıra bərabər olduqda sıfıra bərabərdir.
Buna görə də günah 2 X = 0 , haradan 2 X= n π ; X = π / 2n.

Bu dəyərlərdən X olan dəyərləri kənar kimi atmaq lazımdır günahX sıfıra gedir (sıfır məxrəcli kəsrlərin heç bir mənası yoxdur: sıfıra bölmə qeyri-müəyyəndir). Bu dəyərlər çoxluğu olan ədədlərdir π . Formulada
X = π / 2n onlar bərabər üçün əldə edilir n. Buna görə də bu tənliyin kökləri ədədlər olacaqdır

X = π / 2 (2k + 1),

burada k istənilən tam ədəddir.

Misal 3 . Tənliyi həll edin

2 günah 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

ifadə edək günah 2 X vasitəsilə cosx : günah 2 X = 1 - cos 2x . Sonra bu tənliyi yenidən yazmaq olar

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , və ya

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Təyinat cosx vasitəsilə saat, kvadrat tənliyə çatırıq

2у 2 - 7у + 3 = 0,

kökləri 1/2 və 3 ədədləridir. Bu o deməkdir ki, ya cos x= 1/2 və ya cos X= 3. Lakin hər hansı bucağın kosinusu mütləq qiymətdə 1-dən çox olmadığı üçün sonuncu mümkün deyil.

Bunu etiraf etmək qalır cos x = 1 / 2 , harada

x = ± 60° + 360° n.

Misal 4 . Tənliyi həll edin

2 günah X+ 3 cos x = 6.

Günahdan bəri x və cos x mütləq dəyərdə 1-dən çox deyilsə, ifadə
2 günah X+ 3 cos x -dən böyük dəyərlər qəbul edə bilməz 5 . Buna görə də bu tənliyin heç bir kökü yoxdur.

Misal 5 . Tənliyi həll edin

günah X+cos x = 1

Bu tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıraraq, əldə edirik:

günah 2 X+ 2 günah x cos x+ cos 2 x = 1,

Amma günah 2 X + cos 2 x = 1 . Buna görə də 2 günah x cos x = 0 . Əgər günah x = 0 , Bu X = nπ ; əgər
cos x , Bu X = π / 2 + kπ . Bu iki həll qrupu bir düsturla yazıla bilər:

X = π / 2n

Bu tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırdığımız üçün əldə etdiyimiz köklər arasında kənar köklərin olması mümkündür. Buna görə də, bu nümunədə, bütün əvvəlkilərdən fərqli olaraq, yoxlama aparmaq lazımdır. Bütün mənalar

X = π / 2n 4 qrupa bölmək olar

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

At X = 2kπ günah x+cos x= 0 + 1 = 1. Buna görə də, X = 2kπ bu tənliyin kökləridir.

At X = π / 2 + 2kπ. günah x+cos x= 1 + 0 = 1 Beləliklə X = π / 2 + 2kπ- həm də bu tənliyin kökləri.

At X = π + 2kπ günah x+cos x= 0 - 1 = - 1. Buna görə də dəyərlər X = π + 2kπ bu tənliyin kökləri deyil. Eynilə göstərilir ki X = 3π / 2 + 2kπ. kök deyil.

Beləliklə, bu tənliyin aşağıdakı kökləri var: X = 2kπ Və X = π / 2 + 2mπ., Harada k Və m- istənilən tam ədədlər.

Çoxlarını həll edərkən riyazi problemlər, xüsusilə 10-cu sinifdən əvvəl baş verənlər, məqsədə aparacaq həyata keçirilən hərəkətlərin sırası aydın şəkildə müəyyən edilir. Belə məsələlərə, məsələn, xətti və kvadrat tənliklər, xətti və kvadrat bərabərsizliklər, kəsr tənlikləri və kvadratlara endirilən tənliklər daxildir. Qeyd olunan problemlərin hər birini uğurla həll etmək prinsipi belədir: hansı növ problemi həll etdiyinizi müəyyənləşdirməlisiniz, istədiyiniz nəticəyə gətirib çıxaracaq zəruri hərəkət ardıcıllığını xatırlamalısınız, yəni. cavab verin və bu addımları izləyin.

Aydındır ki, müəyyən bir problemin həllində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, həll olunan tənliyin növünün nə dərəcədə düzgün müəyyən edilməsindən, onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığının nə qədər düzgün əks etdirilməsindən asılıdır. Əlbəttə ki, bu halda eyni çevrilmələri və hesablamaları yerinə yetirmək üçün bacarıqlara sahib olmaq lazımdır.

ilə vəziyyət fərqlidir triqonometrik tənliklər. Tənliyin triqonometrik olduğunu müəyyən etmək heç də çətin deyil. Düzgün cavaba səbəb olacaq hərəkətlərin ardıcıllığını təyin edərkən çətinliklər yaranır.

Tənliyin görünüşünə əsasən onun növünü müəyyən etmək bəzən çətin olur. Tənliyin növünü bilmədən bir neçə onlarla triqonometrik düsturdan düzgün birini seçmək demək olar ki, mümkün deyil.

Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün cəhd etməlisiniz:

1. tənliyə daxil olan bütün funksiyaları “eyni bucaqlara” gətirin;
2. tənliyi “eyni funksiyalara” gətirin;
3. tənliyin sol tərəfini faktorla çıxarın və s.

Gəlin nəzərdən keçirək triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsulları.

I. Ən sadə triqonometrik tənliklərə endirmə

Həll diaqramı

Addım 1. Triqonometrik funksiyanı məlum komponentlərlə ifadə edin.

Addım 2. Düsturlardan istifadə edərək funksiya arqumentini tapın:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Addım 3. Naməlum dəyişəni tapın.

Misal.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Həll.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cavab: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Dəyişən dəyişdirmə

Həll diaqramı

Addım 1. Triqonometrik funksiyalardan birinə münasibətdə tənliyi cəbri formaya endirin.

Addım 2. Yaranan funksiyanı t dəyişəni ilə işarələyin (lazım olduqda, t-yə məhdudiyyətlər tətbiq edin).

Addım 3. Yaranan cəbr tənliyini yazın və həll edin.

Addım 4.Əks dəyişdirmə edin.

Addım 5.Ən sadə triqonometrik tənliyi həll edin.

Misal.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Həll.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Qoy sin (x/2) = t, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 və ya e = -3/2, |t| şərtini ödəmir ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cavab: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Tənlik sırasının azaldılması üsulu

Həll diaqramı

Addım 1. Dərəcəni azaltmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu tənliyi xətti ilə əvəz edin:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Addım 2. I və II üsullardan istifadə edərək yaranan tənliyi həll edin.

Misal.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Həll.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cavab: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen tənliklər

Həll diaqramı

Addım 1. Bu tənliyi formaya endirin

a) sin x + b cos x = 0 (birinci dərəcəli homojen tənlik)

və ya mənzərəyə

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Addım 2. Tənliyin hər iki tərəfini bölün

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

və tan x üçün tənliyi alın:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Addım 3. Məlum üsullardan istifadə edərək tənliyi həll edin.

Misal.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Həll.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) O zaman tg x = t olsun

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 və ya t = -4, yəni

tg x = 1 və ya tg x = -4.

Birinci tənlikdən x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Triqonometrik düsturlardan istifadə edərək tənliyin çevrilməsi üsulu

Həll diaqramı

Addım 1. Bütün mümkün triqonometrik düsturlardan istifadə edərək, bu tənliyi I, II, III, IV üsullarla həll olunan tənliyə endirin.

Addım 2. Alınan tənliyi məlum üsullardan istifadə edərək həll edin.

Misal.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Həll.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 və ya 2cos x + 1 = 0;

Birinci tənlikdən 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən cos x = -1/2.

Bizdə x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci tənlikdən x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Nəticədə x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Triqonometrik tənlikləri həll etmək bacarığı və bacarığı çox yüksəkdir vacibdir, onların inkişafı həm şagird, həm də müəllim tərəfindən əhəmiyyətli səy tələb edir.

Triqonometrik tənliklərin həlli ilə stereometriyanın, fizikanın və s.-nin bir çox məsələləri əlaqələndirilir.Belə məsələlərin həlli prosesi triqonometriyanın elementlərinin öyrənilməsi ilə əldə edilən bir çox bilik və bacarıqları özündə cəmləşdirir.

Riyaziyyatın öyrənilməsi və ümumilikdə şəxsi inkişaf prosesində triqonometrik tənliklər mühüm yer tutur.

Hələ suallarınız var? Triqonometrik tənlikləri necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Triqonometriyanın əsas düsturlarını - sinus və kosinusun kvadratlarının cəmini, sinus və kosinus vasitəsilə tangensin ifadəsini və s. bilikləri tələb edir. Onları unutmuş və ya bilməyənlər üçün "" məqaləsini oxumağı məsləhət görürük.
Beləliklə, biz əsas triqonometrik düsturları bilirik, onlardan praktikada istifadə etməyin vaxtı gəldi. Triqonometrik tənliklərin həlli düzgün yanaşma ilə, məsələn, Rubik kubunu həll etmək kimi olduqca maraqlı bir fəaliyyətdir.

Adın özünə əsaslanaraq aydın olur ki, triqonometrik tənlik naməlumun triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənlikdir.
Ən sadə triqonometrik tənliklər var. Onlar belə görünür: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Gəlin nəzərdən keçirək belə triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar, aydınlıq üçün artıq tanış olan triqonometrik dairədən istifadə edəcəyik.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

çarpayı x = a

İstənilən triqonometrik tənlik iki mərhələdə həll olunur: biz tənliyi ən sadə formaya salırıq və sonra onu sadə triqonometrik tənlik kimi həll edirik.
Triqonometrik tənliklərin həlli üçün 7 əsas üsul var.

1. Dəyişən əvəzetmə və əvəzetmə üsulu

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 tənliyini həll edin

Azaltma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sadələşdirmək və adi kvadrat tənliyi əldə etmək üçün cos(x + /6) y ilə əvəz edin:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Kökləri y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan

İndi tərs qaydada gedək

Tapılmış y dəyərlərini əvəz edirik və iki cavab variantı alırıq:

2. Faktorlara ayırma yolu ilə triqonometrik tənliklərin həlli

sin x + cos x = 1 tənliyini necə həll etmək olar?

Gəlin hər şeyi sola aparaq ki, 0 sağda qalsın:

sin x + cos x – 1 = 0

Tənliyi sadələşdirmək üçün yuxarıda müzakirə edilən eyniliklərdən istifadə edək:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Faktorlara ayıraq:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

İki tənlik alırıq

3. Homojen tənliyə endirmə

Tənlik sinus və kosinus baxımından homojendir, əgər onun bütün şərtləri eyni bucağın eyni dərəcədə sinus və kosinusuna nisbidirsə. Homojen bir tənliyi həll etmək üçün aşağıdakıları yerinə yetirin:

a) bütün üzvlərini sol tərəfə köçürmək;

b) mötərizədə bütün ümumi amilləri çıxarmaq;

c) bütün amilləri və mötərizələri 0-a bərabərləşdirmək;

d) mötərizədə daha aşağı dərəcəli bircinsli tənlik alınır ki, bu da öz növbəsində daha yüksək dərəcəli sinus və ya kosinusa bölünür;

e) tg üçün yaranan tənliyi həll edin.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 tənliyini həll edin

sin 2 x + cos 2 x = 1 düsturundan istifadə edək və sağdakı açıq ikidən xilas olaq:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-ə bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x-i y ilə əvəz edin və kvadrat tənlik alın:

y 2 + 4y +3 = 0, kökləri y 1 =1, y 2 = 3

Buradan orijinal tənliyin iki həllini tapırıq:

x 2 = arktan 3 + k

4. Yarım bucağa keçid yolu ilə tənliklərin həlli

3sin x – 5cos x = 7 tənliyini həll edin

Gəlin x/2-yə keçək:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Hər şeyi sola köçürək:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ilə bölün:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Köməkçi bucağın tətbiqi

Nəzərə almaq üçün formanın tənliyini götürək: a sin x + b cos x = c,

burada a, b, c bəzi ixtiyari əmsallardır, x isə naməlumdur.

Tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək:



İndi tənliyin əmsalları, triqonometrik düsturlara görə, sin və cos xassələrinə malikdir, yəni: onların modulu 1-dən çox deyil və kvadratların cəmi = 1. Onları müvafiq olaraq cos və sin kimi işarə edək, burada - bu köməkçi bucaq deyilən. Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

cos * sin x + sin * cos x = C

və ya sin(x + ) = C

Bu ən sadə triqonometrik tənliyin həlli belədir

x = (-1) k * arcsin C - + k, burada



Qeyd etmək lazımdır ki, cos və sin qeydləri bir-birini əvəz edir.

sin 3x – cos 3x = 1 tənliyini həll edin

Bu tənlikdəki əmsallar:

a =, b = -1, buna görə də hər iki tərəfi = 2-yə bölün

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.