Trigonometriske formler er specielle tilfælde. Løsning af trigonometriske ligninger

Lektion og præsentation om emnet: "Løsning af simple trigonometriske ligninger"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral-onlinebutikken til klasse 10 fra 1C
Vi løser problemer inden for geometri. Interaktive opgaver til bygning i rummet
Softwaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hvad vi vil studere:
1. Hvad er trigonometriske ligninger?

3. To hovedmetoder til løsning af trigonometriske ligninger.
4. Homogene trigonometriske ligninger.
5. Eksempler.

Hvad er trigonometriske ligninger?

Gutter, vi har allerede studeret arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Lad os nu se på trigonometriske ligninger generelt.

Trigonometriske ligninger er ligninger, hvor en variabel er indeholdt under tegnet for en trigonometrisk funktion.

Lad os gentage formen for at løse de enkleste trigonometriske ligninger:

1)Hvis |a|≤ 1, så har ligningen cos(x) = a en løsning:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x) = a en løsning:

3) Hvis |a| > 1, så har ligningen sin(x) = a og cos(x) = a ingen løsninger 4) Ligningen tg(x)=a har en løsning: x=arctg(a)+ πk

5) Ligningen ctg(x)=a har en løsning: x=arcctg(a)+ πk

For alle formler er k et heltal

De enkleste trigonometriske ligninger har formen: T(kx+m)=a, T er en eller anden trigonometrisk funktion.

Løs ligningerne: a) sin(3x)= √3/2

Løsning:

A) Lad os betegne 3x=t, så vil vi omskrive vores ligning på formen:

Løsningen til denne ligning vil være: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Fra værditabellen får vi: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Lad os vende tilbage til vores variabel: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Så er x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Svar: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, hvor n er et heltal. (-1)^n – minus en i n potens.

Flere eksempler på trigonometriske ligninger.

Løsning:

A) Lad os denne gang gå direkte til at beregne rødderne til ligningen med det samme:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Så x/5= πk => x=5πk

Svar: x=5πk, hvor k er et heltal.

B) Vi skriver det på formen: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vi ved, at: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Svar: x=2π/9 + πk/3, hvor k er et heltal.

Løs ligningerne: cos(4x)= √2/2. Og find alle rødderne på segmentet.

Løsning:

Lad os løse vores ligning i generel form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Lad os nu se, hvilke rødder der falder på vores segment. Ved k Ved k=0, x= π/16, er vi i det givne segment.
Med k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 rammer vi igen.
For k=2, x= π/16+ π=17π/16, men her ramte vi ikke, hvilket betyder, at for store k vil vi selvfølgelig heller ikke ramme.

Svar: x= π/16, x= 9π/16

To hovedløsningsmetoder.

Lad os løse ligningen:

Løsning:
For at løse vores ligning vil vi bruge metoden til at introducere en ny variabel, der betegner: t=tg(x).

Som et resultat af udskiftningen får vi: t 2 + 2t -1 = 0

Lad os finde rødderne til andengradsligningen: t=-1 og t=1/3

Så tg(x)=-1 og tg(x)=1/3, vi får den enkleste trigonometriske ligning, lad os finde dens rødder.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Svar: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Et eksempel på løsning af en ligning

Løs ligninger: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Løsning:

Lad os bruge identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Vores ligning vil have formen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Lad os introducere erstatningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Løsningen til vores andengradsligning er rødderne: t=2 og t=-1/2

Derefter cos(x)=2 og cos(x)=-1/2.

Fordi cosinus kan ikke tage værdier større end én, så har cos(x)=2 ingen rødder.

For cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Svar: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometriske ligninger.

Formens ligninger

homogene trigonometriske ligninger af anden grad.

For at løse en homogen trigonometrisk ligning af første grad skal du dividere den med cos(x): Du kan ikke dividere med cosinus, hvis den er lig med nul, lad os sikre os, at dette ikke er tilfældet:
Lad cos(x)=0, så asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus og cosinus er ikke lig med nul på samme tid, får vi en modsigelse, så vi kan trygt dividere med nul.

Løs ligningen:
Eksempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Løsning:

Lad os tage den fælles faktor ud: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Så skal vi løse to ligninger:

Cos(x)=0 og cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ved x= π/2 + πk;

Overvej ligningen cos(x)+sin(x)=0 Divider vores ligning med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Svar: x= π/2 + πk og x= -π/4+πk

Hvordan løser man homogene trigonometriske ligninger af anden grad?
Gutter, følg altid disse regler!

1. Se hvad koefficienten a er lig med, hvis a=0 så vil vores ligning have formen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), et eksempel på løsningen som er på det forrige slide

2. Hvis a≠0, så skal du dividere begge sider af ligningen med cosinus i anden kvadrat, får vi:

Vi ændrer variablen t=tg(x) og får ligningen:

Løs eksempel nr.:3

Lad os dividere begge sider af ligningen med cosinus kvadratet:

Vi ændrer variablen t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Lad os finde rødderne til andengradsligningen: t=-3 og t=1

Derefter: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Svar: x=-arctg(3) + πk og x= π/4+ πk

Løs eksempel nr.:4

Løsning:
Lad os transformere vores udtryk:

Vi kan løse sådanne ligninger: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Svar: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Løs eksempel nr.:5

Løsning:
Lad os transformere vores udtryk:

Lad os introducere erstatningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Løsningen til vores andengradsligning vil være rødderne: t=-2 og t=1/2

Så får vi: tg(2x)=-2 og tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + πk/2 og x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemer til selvstændig løsning.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Løs ligningerne: sin(3x)= √3/2. Og find alle rødderne på segmentet [π/2; π].

3) Løs ligningen: barneseng 2 (x) + 2 barneseng (x) + 1 =0

4) Løs ligningen: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Løs ligningen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Løs ligningen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Du kan bestille en detaljeret løsning på dit problem!!!

En lighed, der indeholder en ukendt under tegnet af en trigonometrisk funktion (`sin x, cos x, tan x` eller `ctg x`) kaldes en trigonometrisk ligning, og det er deres formler, vi vil overveje nærmere.

De enkleste ligninger er `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, hvor `x` er den vinkel, der skal findes, `a` er et vilkårligt tal. Lad os skrive rodformlerne ned for hver af dem.

1. Ligning `sin x=a`.

For `|a|>1` har den ingen løsninger.

Når `|a| \leq 1` har et uendeligt antal løsninger.

Rodformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ligning `cos x=a`

For `|a|>1` - som i tilfældet med sinus, har den ingen løsninger blandt reelle tal.

Når `|a| \leq 1` har et uendeligt antal løsninger.

Rodformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Særlige tilfælde for sinus og cosinus i grafer.

3. Ligning `tg x=a`

Har et uendeligt antal løsninger for alle værdier af `a`.

Rodformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ligning `ctg x=a`

Har også et uendeligt antal løsninger for alle værdier af `a`.

Rodformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formler for rødderne af trigonometriske ligninger i tabellen

For sinus:
Til cosinus:
For tangent og cotangens:
Formler til løsning af ligninger, der indeholder inverse trigonometriske funktioner:

Metoder til løsning af trigonometriske ligninger

Løsning af enhver trigonometrisk ligning består af to trin:

• ved hjælp af at omdanne det til det enkleste;
• løse den enkleste ligning opnået ved hjælp af rodformlerne og tabellerne skrevet ovenfor.

Lad os se på de vigtigste løsningsmetoder ved hjælp af eksempler.

Algebraisk metode.

Denne metode involverer at erstatte en variabel og erstatte den med en lighed.

Eksempel. Løs ligningen: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

lav en erstatning: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, derefter `2y^2-3y+1=0`,

finder vi rødderne: `y_1=1, y_2=1/2`, hvorfra to tilfælde følger:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Svar: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisering.

Eksempel. Løs ligningen: `sin x+cos x=1`.

Løsning. Lad os flytte alle led i ligheden til venstre: `sin x+cos x-1=0`. Ved hjælp af transformerer og faktoriserer vi venstre side:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svar: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktion til en homogen ligning

Først skal du reducere denne trigonometriske ligning til en af ​​to former:

`a sin x+b cos x=0` (homogen ligning af første grad) eller `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogen ligning af anden grad).

Derefter divideres begge dele med `cos x \ne 0` - for det første tilfælde, og med `cos^2 x \ne 0` - for det andet. Vi får ligninger for `tg x`: `a tg x+b=0` og `a tg^2 x + b tg x +c =0`, som skal løses ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel. Løs ligningen: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Løsning. Lad os skrive højre side som `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0'.

Dette er en homogen trigonometrisk ligning af anden grad, vi dividerer dens venstre og højre side med `cos^2 x \ne 0`, vi får:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lad os introducere erstatningen `tg x=t`, hvilket resulterer i `t^2 + t - 2=0`. Rødderne til denne ligning er `t_1=-2` og `t_2=1`. Derefter:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Flytter til halv vinkel

Eksempel. Løs ligningen: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Løsning. Lad os anvende dobbeltvinkelformlerne, hvilket resulterer i: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0'

Ved at anvende den ovenfor beskrevne algebraiske metode får vi:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduktion af hjælpevinkel

I den trigonometriske ligning `a sin x + b cos x =c`, hvor a,b,c er koefficienter og x er en variabel, skal du dividere begge sider med `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koefficienterne på venstre side har egenskaberne sinus og cosinus, nemlig summen af ​​deres kvadrater er lig med 1 og deres moduler er ikke større end 1. Lad os betegne dem som følger: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, så:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Lad os se nærmere på følgende eksempel:

Eksempel. Løs ligningen: `3 sin x+4 cos x=2`.

Løsning. Divider begge sider af ligheden med `sqrt (3^2+4^2)`, vi får:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Lad os betegne `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Siden `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, så tager vi `\varphi=arcsin 4/5` som en hjælpevinkel. Så skriver vi vores ligestilling i formen:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ved at anvende formlen for summen af ​​vinkler for sinus skriver vi vores lighed i følgende form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraktionelle rationelle trigonometriske ligninger

Disse er ligheder med brøker, hvis tællere og nævnere indeholder trigonometriske funktioner.

Eksempel. Løs ligningen. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Løsning. Multiplicer og divider højre side af ligheden med `(1+cos x)`. Som et resultat får vi:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

I betragtning af at nævneren ikke kan være lig med nul, får vi `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Lad os sidestille brøkens tæller til nul: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Derefter "sin x=0" eller "1-sin x=0".

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Givet at ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, er løsningerne `x=2\pi n, n \in Z` og `x=\pi /2+2\pi n` , `n \i Z`.

Svar. `x=2\pi n`, `n \i Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \i Z`.

Trigonometri, og især trigonometriske ligninger, bruges i næsten alle områder af geometri, fysik og teknik. At studere begynder i 10. klasse, der er altid opgaver til Unified State Exam, så prøv at huske alle formlerne for trigonometriske ligninger - de vil helt sikkert være nyttige for dig!

Du behøver dog ikke engang at huske dem, det vigtigste er at forstå essensen og være i stand til at udlede den. Det er ikke så svært, som det ser ud til. Se selv ved at se videoen.

Kræver viden om trigonometriens grundlæggende formler - summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus, udtrykket for tangent gennem sinus og cosinus m.fl. For dem, der har glemt dem eller ikke kender dem, anbefaler vi at læse artiklen "".
Så vi kender de grundlæggende trigonometriske formler, det er tid til at bruge dem i praksis. Løsning af trigonometriske ligninger med den rigtige tilgang er det en ganske spændende aktivitet, som for eksempel at løse en Rubiks terning.

Ud fra selve navnet er det tydeligt, at en trigonometrisk ligning er en ligning, hvor det ukendte står under den trigonometriske funktions fortegn.
Der er såkaldt simpleste trigonometriske ligninger. Sådan ser de ud: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Lad os overveje hvordan man løser sådanne trigonometriske ligninger, for klarhedens skyld vil vi bruge den allerede velkendte trigonometriske cirkel.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

tremmeseng x = a

Enhver trigonometrisk ligning løses i to trin: Vi reducerer ligningen til dens enkleste form og løser den derefter som en simpel trigonometrisk ligning.
Der er 7 hovedmetoder, hvormed trigonometriske ligninger løses.

1. Variabel substitution og substitutionsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Ved hjælp af reduktionsformlerne får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Erstat cos(x + /6) med y for at forenkle og få den sædvanlige andengradsligning:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rødderne er y 1 = 1, y 2 = 1/2

Lad os nu gå i omvendt rækkefølge

Vi erstatter de fundne værdier af y og får to svarmuligheder:

2. Løsning af trigonometriske ligninger gennem faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

Lad os flytte alt til venstre, så 0 forbliver til højre:

sin x + cos x – 1 = 0

Lad os bruge identiteterne diskuteret ovenfor til at forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Lad os faktorisere:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduktion til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus, hvis alle dens led er relative til sinus og cosinus af samme potens af samme vinkel. For at løse en homogen ligning, gå frem som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) tage alle fælles faktorer ud af parentes;

c) lig alle faktorer og parenteser til 0;

d) der opnås en homogen ligning af lavere grad i parentes, som igen er opdelt i en sinus eller cosinus af en højere grad;

e) løs den resulterende ligning for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Lad os bruge formlen sin 2 x + cos 2 x = 1 og slippe af med de åbne to til højre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Divider med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Erstat tan x med y og få en andengradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis rødder er y 1 = 1, y 2 = 3

Herfra finder vi to løsninger til den oprindelige ligning:

x 2 = arktan 3 + k

4. Løsning af ligninger gennem overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7

Lad os gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Lad os flytte alt til venstre:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Divider med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduktion af hjælpevinkel

Til overvejelse, lad os tage en ligning af formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er nogle vilkårlige koefficienter, og x er en ukendt.

Lad os dividere begge sider af ligningen med:



Nu har ligningens koefficienter ifølge trigonometriske formler egenskaberne sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mere end 1 og summen af ​​kvadrater = 1. Lad os betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor - dette er den såkaldte hjælpevinkel. Så vil ligningen antage formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Løsningen til denne enkleste trigonometriske ligning er

x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemærkes, at notationerne cos og sin er udskiftelige.

Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1

Koefficienterne i denne ligning er:

a = , b = -1, så divider begge sider med = 2

Når man løser mange matematiske problemer, især dem, der forekommer før klasse 10, er rækkefølgen af ​​udførte handlinger, der vil føre til målet, klart defineret. Sådanne problemer omfatter for eksempel lineære og andengradsligninger, lineære og kvadratiske uligheder, brøkligninger og ligninger, der reducerer til andengradsligninger. Princippet for succesfuld løsning af hvert af de nævnte problemer er som følger: du skal fastslå, hvilken type problem du løser, husk den nødvendige rækkefølge af handlinger, der vil føre til det ønskede resultat, dvs. svar og følg disse trin.

Det er indlysende, at succes eller fiasko med at løse et bestemt problem hovedsageligt afhænger af, hvor korrekt den type ligning, der løses, bestemmes, hvor korrekt rækkefølgen af ​​alle faser af dens løsning er gengivet. Selvfølgelig er det i dette tilfælde nødvendigt at have færdighederne til at udføre identiske transformationer og beregninger.

Situationen er anderledes med trigonometriske ligninger. Det er slet ikke svært at fastslå, at ligningen er trigonometrisk. Der opstår vanskeligheder, når man skal bestemme rækkefølgen af ​​handlinger, der vil føre til det rigtige svar.

Det er nogle gange svært at bestemme dens type baseret på udseendet af en ligning. Og uden at kende typen af ​​ligning, er det næsten umuligt at vælge den rigtige blandt flere dusin trigonometriske formler.

For at løse en trigonometrisk ligning skal du prøve:

1. bringe alle funktioner inkluderet i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funktioner";
3. faktor den venstre side af ligningen mv.

Lad os overveje grundlæggende metoder til løsning af trigonometriske ligninger.

I. Reduktion til de enkleste trigonometriske ligninger

Løsningsdiagram

Trin 1. Udtryk en trigonometrisk funktion i form af kendte komponenter.

Trin 2. Find funktionsargumentet ved hjælp af formlerne:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trin 3. Find den ukendte variabel.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel udskiftning

Løsningsdiagram

Trin 1. Reducer ligningen til algebraisk form med hensyn til en af ​​de trigonometriske funktioner.

Trin 2. Betegn den resulterende funktion med variablen t (indfør om nødvendigt begrænsninger på t).

Trin 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligning.

Trin 4. Foretag en omvendt udskiftning.

Trin 5. Løs den enkleste trigonometriske ligning.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Lad sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, opfylder ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Ligningsordensreduktionsmetode

Løsningsdiagram

Trin 1. Erstat denne ligning med en lineær ligning ved at bruge formlen til at reducere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Trin 2. Løs den resulterende ligning ved hjælp af metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trin 1. Reducer denne ligning til formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ligning af første grad)

eller til udsigten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning af anden grad).

Trin 2. Divider begge sider af ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trin 3. Løs ligningen ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Lad så tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, hvilket betyder

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligning x = π/4 + πn, n Є Z; fra den anden ligning x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode til at transformere en ligning ved hjælp af trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trin 1. Brug alle mulige trigonometriske formler til at reducere denne ligning til en ligning, der er løst ved metoderne I, II, III, IV.

Trin 2. Løs den resulterende ligning ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligning 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den anden ligning cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den anden ligning x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat er x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og færdigheden til at løse trigonometriske ligninger er meget vigtigt, deres udvikling kræver en betydelig indsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysik osv. er forbundet med løsningen af ​​trigonometriske ligninger Processen med at løse sådanne problemer legemliggør mange af den viden og færdigheder, der erhverves ved at studere elementerne i trigonometri.

Trigonometriske ligninger indtager en vigtig plads i processen med at lære matematik og personlig udvikling generelt.

Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser trigonometriske ligninger?
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
Den første lektion er gratis!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Videokurset "Få et A" inkluderer alle de emner, der er nødvendige for at bestå Unified State Examen i matematik med 60-65 point. Fuldstændig alle opgave 1-13 i Profile Unified State eksamen i matematik. Også velegnet til at bestå Basic Unified State Examination i matematik. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!

Forberedelseskursus til Unified State Examen for klassetrin 10-11, samt for lærere. Alt hvad du behøver for at løse del 1 af Unified State Examen i matematik (de første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og det er mere end 70 point på Unified State Exam, og hverken en 100-point studerende eller en humaniora-studerende kan undvære dem.

Al den nødvendige teori. Hurtige løsninger, faldgruber og hemmeligheder ved Unified State Exam. Alle aktuelle opgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er blevet analyseret. Kurset overholder fuldt ud kravene i Unified State Exam 2018.

Kurset indeholder 5 store emner, 2,5 time hver. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og overskueligt.

Hundredvis af Unified State Exam-opgaver. Ordproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og nemme at huske algoritmer til løsning af problemer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer Unified State Examination opgaver. Stereometri. Tricky løsninger, nyttige snydeark, udvikling af rumlig fantasi. Trigonometri fra bunden til opgave 13. Forståelse i stedet for at proppe. Klare forklaringer af komplekse begreber. Algebra. Rødder, potenser og logaritmer, funktion og afledet. Et grundlag for at løse komplekse problemer i del 2 af Unified State Exam.