Løsning af trigonometriske cotangensligninger. Grundlæggende metoder til løsning af trigonometriske ligninger

Kræver viden om trigonometriens grundlæggende formler - summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus, udtrykket for tangent gennem sinus og cosinus m.fl. For dem, der har glemt dem eller ikke kender dem, anbefaler vi at læse artiklen "".
Så vi kender de grundlæggende trigonometriske formler, det er tid til at bruge dem i praksis. Løsning af trigonometriske ligninger med den rigtige tilgang er det en ganske spændende aktivitet, som for eksempel at løse en Rubiks terning.

Ud fra selve navnet er det tydeligt, at en trigonometrisk ligning er en ligning, hvor det ukendte står under den trigonometriske funktions fortegn.
Der er såkaldt simpleste trigonometriske ligninger. Sådan ser de ud: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Lad os overveje hvordan man løser sådanne trigonometriske ligninger, for klarhedens skyld vil vi bruge den allerede velkendte trigonometriske cirkel.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

tremmeseng x = a

Enhver trigonometrisk ligning løses i to trin: Vi reducerer ligningen til dens enkleste form og løser den derefter som en simpel trigonometrisk ligning.
Der er 7 hovedmetoder, hvormed trigonometriske ligninger løses.

1. Variabel substitution og substitutionsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Ved hjælp af reduktionsformlerne får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Erstat cos(x + /6) med y for at forenkle og få den sædvanlige andengradsligning:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rødderne er y 1 = 1, y 2 = 1/2

Lad os nu gå i omvendt rækkefølge

Vi erstatter de fundne værdier af y og får to svarmuligheder:

2. Løsning af trigonometriske ligninger gennem faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

Lad os flytte alt til venstre, så 0 forbliver til højre:

sin x + cos x – 1 = 0

Lad os bruge identiteterne diskuteret ovenfor til at forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Lad os faktorisere:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduktion til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus, hvis alle dens led er relative til sinus og cosinus af samme potens af samme vinkel. For at løse en homogen ligning, gå frem som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) tage alle fælles faktorer ud af parentes;

c) lig alle faktorer og parenteser til 0;

d) der opnås en homogen ligning af lavere grad i parentes, som igen er opdelt i en sinus eller cosinus af en højere grad;

e) løs den resulterende ligning for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Lad os bruge formlen sin 2 x + cos 2 x = 1 og slippe af med de åbne to til højre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Divider med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Erstat tan x med y og få en andengradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis rødder er y 1 = 1, y 2 = 3

Herfra finder vi to løsninger til den oprindelige ligning:

x 2 = arktan 3 + k

4. Løsning af ligninger gennem overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7

Lad os gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Lad os flytte alt til venstre:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Divider med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduktion af hjælpevinkel

Til overvejelse, lad os tage en ligning af formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er nogle vilkårlige koefficienter, og x er en ukendt.

Lad os dividere begge sider af ligningen med:



Nu har ligningens koefficienter ifølge trigonometriske formler egenskaberne sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mere end 1 og summen af ​​kvadrater = 1. Lad os betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor - dette er den såkaldte hjælpevinkel. Så vil ligningen antage formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Løsningen til denne enkleste trigonometriske ligning er

x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemærkes, at notationerne cos og sin er udskiftelige.

Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1

Koefficienterne i denne ligning er:

a = , b = -1, så divider begge sider med = 2

De vigtigste metoder til at løse trigonometriske ligninger er: reduktion af ligningerne til de enkleste (ved hjælp af trigonometriske formler), indførelse af nye variable og faktorisering. Lad os se på deres brug med eksempler. Vær opmærksom på formatet for at skrive løsninger til trigonometriske ligninger.

En nødvendig betingelse for succesfuld løsning af trigonometriske ligninger er kendskab til trigonometriske formler (emne 13 i arbejde 6).

Eksempler.

1. Ligninger reduceret til de enkleste.

1) Løs ligningen

Løsning:

Svar:

2) Find rødderne til ligningen

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, tilhørende segmentet.

Løsning:

Svar:

2. Ligninger, der reducerer til andengrad.

1) Løs ligningen 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Løsning: Ved at bruge formlen sin 2 x = 1 – cos 2 x, får vi

Svar:

2) Løs ligningen cos 2x = 1 + 4 cosx.

Løsning: Ved at bruge formlen cos 2x = 2 cos 2 x – 1 får vi

Svar:

3) Løs ligningen tgx – 2ctgx + 1 = 0

Løsning:

Svar:

3. Homogene ligninger

1) Løs ligningen 2sinx – 3cosx = 0

Løsning: Lad cosx = 0, så 2sinx = 0 og sinx = 0 – en modsigelse med, at sin 2 x + cos 2 x = 1. Det betyder cosx ≠ 0, og vi kan dividere ligningen med cosx. Vi får

Svar:

2) Løs ligningen 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Løsning:

Vi bruger formlerne 1 = sin 2 x + cos 2 x og sin 2x = 2 sinxcosx, får vi

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Lad cosx = 0, så sin 2 x = 0 og sinx = 0 – en modsigelse med, at sin 2 x + cos 2 x = 1.
Det betyder cosx ≠ 0, og vi kan dividere ligningen med cos 2 x . Vi får

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Lad os betegne tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Svar: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k

4. Formens ligninger -en sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Løs ligningen.

Løsning:

Svar:

5. Ligninger løst ved faktorisering.

1) Løs ligningen sin2x – sinx = 0.

Roden til ligningen f (x) = φ ( x) kan kun tjene som tallet 0. Lad os tjekke dette:

cos 0 = 0 + 1 – ligheden er sand.

Tallet 0 er den eneste rod i denne ligning.

Svar: 0.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra regeringsorganer i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Du kan bestille en detaljeret løsning på dit problem!!!

En lighed, der indeholder en ukendt under tegnet af en trigonometrisk funktion (`sin x, cos x, tan x` eller `ctg x`) kaldes en trigonometrisk ligning, og det er deres formler, vi vil overveje nærmere.

De enkleste ligninger er `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, hvor `x` er den vinkel, der skal findes, `a` er et vilkårligt tal. Lad os skrive rodformlerne ned for hver af dem.

1. Ligning `sin x=a`.

For `|a|>1` har den ingen løsninger.

Når `|a| \leq 1` har et uendeligt antal løsninger.

Rodformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ligning `cos x=a`

For `|a|>1` - som i tilfældet med sinus, har den ingen løsninger blandt reelle tal.

Når `|a| \leq 1` har et uendeligt antal løsninger.

Rodformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Særlige tilfælde for sinus og cosinus i grafer.

3. Ligning `tg x=a`

Har et uendeligt antal løsninger for alle værdier af `a`.

Rodformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ligning `ctg x=a`

Har også et uendeligt antal løsninger for alle værdier af `a`.

Rodformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formler for rødderne af trigonometriske ligninger i tabellen

For sinus:
Til cosinus:
For tangent og cotangens:
Formler til løsning af ligninger, der indeholder inverse trigonometriske funktioner:

Metoder til løsning af trigonometriske ligninger

Løsning af enhver trigonometrisk ligning består af to trin:

• ved hjælp af at omdanne det til det enkleste;
• løse den enkleste ligning opnået ved hjælp af rodformlerne og tabellerne skrevet ovenfor.

Lad os se på de vigtigste løsningsmetoder ved hjælp af eksempler.

Algebraisk metode.

Denne metode involverer at erstatte en variabel og erstatte den med en lighed.

Eksempel. Løs ligningen: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

lav en erstatning: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, derefter `2y^2-3y+1=0`,

vi finder rødderne: `y_1=1, y_2=1/2`, hvorfra to tilfælde følger:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Svar: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisering.

Eksempel. Løs ligningen: `sin x+cos x=1`.

Løsning. Lad os flytte alle led i ligheden til venstre: `sin x+cos x-1=0`. Ved hjælp af transformerer og faktoriserer vi venstre side:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svar: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktion til en homogen ligning

Først skal du reducere denne trigonometriske ligning til en af ​​to former:

`a sin x+b cos x=0` (homogen ligning af første grad) eller `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogen ligning af anden grad).

Divider derefter begge dele med `cos x \ne 0` - for det første tilfælde, og med `cos^2 x \ne 0` - for det andet. Vi får ligninger for `tg x`: `a tg x+b=0` og `a tg^2 x + b tg x +c =0`, som skal løses ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel. Løs ligningen: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Løsning. Lad os skrive højre side som `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0'.

Dette er en homogen trigonometrisk ligning af anden grad, vi dividerer dens venstre og højre side med `cos^2 x \ne 0`, vi får:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lad os introducere erstatningen `tg x=t`, hvilket resulterer i `t^2 + t - 2=0`. Rødderne til denne ligning er `t_1=-2` og `t_2=1`. Derefter:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Flytter til halv vinkel

Eksempel. Løs ligningen: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Løsning. Lad os anvende dobbeltvinkelformlerne, hvilket resulterer i: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0'

Ved at anvende den ovenfor beskrevne algebraiske metode får vi:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduktion af hjælpevinkel

I den trigonometriske ligning `a sin x + b cos x =c`, hvor a,b,c er koefficienter og x er en variabel, skal du dividere begge sider med `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koefficienterne på venstre side har egenskaberne sinus og cosinus, nemlig summen af ​​deres kvadrater er lig med 1 og deres moduler er ikke større end 1. Lad os betegne dem som følger: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, så:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Lad os se nærmere på følgende eksempel:

Eksempel. Løs ligningen: `3 sin x+4 cos x=2`.

Løsning. Divider begge sider af ligheden med `sqrt (3^2+4^2)`, vi får:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Lad os betegne `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Siden `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, så tager vi `\varphi=arcsin 4/5` som en hjælpevinkel. Så skriver vi vores ligestilling i formen:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ved at anvende formlen for summen af ​​vinkler for sinus skriver vi vores lighed i følgende form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraktionelle rationelle trigonometriske ligninger

Disse er ligheder med brøker, hvis tællere og nævnere indeholder trigonometriske funktioner.

Eksempel. Løs ligningen. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Løsning. Multiplicer og divider højre side af ligheden med `(1+cos x)`. Som et resultat får vi:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

I betragtning af at nævneren ikke kan være lig med nul, får vi `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Lad os sidestille brøkens tæller til nul: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Derefter "sin x=0" eller "1-sin x=0".

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Givet at ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, er løsningerne `x=2\pi n, n \in Z` og `x=\pi /2+2\pi n` , `n \i Z`.

Svar. `x=2\pi n`, `n \i Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \i Z`.

Trigonometri, og især trigonometriske ligninger, bruges i næsten alle områder af geometri, fysik og teknik. At studere begynder i 10. klasse, der er altid opgaver til Unified State Exam, så prøv at huske alle formlerne for trigonometriske ligninger - de vil helt sikkert være nyttige for dig!

Du behøver dog ikke engang at huske dem, det vigtigste er at forstå essensen og være i stand til at udlede den. Det er ikke så svært, som det ser ud til. Se selv ved at se videoen.

Relationerne mellem de grundlæggende trigonometriske funktioner - sinus, cosinus, tangent og cotangens - er givet trigonometriske formler. Og da der er ret mange forbindelser mellem trigonometriske funktioner, forklarer dette overfloden af ​​trigonometriske formler. Nogle formler forbinder trigonometriske funktioner af samme vinkel, andre - funktioner af en multipel vinkel, andre - giver dig mulighed for at reducere graden, fjerde - udtrykker alle funktioner gennem tangenten til en halv vinkel osv.

I denne artikel vil vi i rækkefølge liste alle de grundlæggende trigonometriske formler, som er tilstrækkelige til at løse langt de fleste trigonometriproblemer. For at lette memorering og brug vil vi gruppere dem efter formål og indtaste dem i tabeller.

Sidenavigation.

Grundlæggende trigonometriske identiteter

Grundlæggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellem sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel. De følger af definitionen af ​​sinus, cosinus, tangent og cotangens, samt begrebet enhedscirklen. De giver dig mulighed for at udtrykke en trigonometrisk funktion i forhold til enhver anden.

For en detaljeret beskrivelse af disse trigonometriformler, deres afledning og eksempler på anvendelse, se artiklen.

Reduktionsformler

Reduktionsformler følger af egenskaberne for sinus, cosinus, tangent og cotangens, det vil sige, at de afspejler egenskaben for periodicitet af trigonometriske funktioner, egenskaben for symmetri samt egenskaben for forskydning med en given vinkel. Disse trigonometriske formler giver dig mulighed for at gå fra at arbejde med vilkårlige vinkler til at arbejde med vinkler fra nul til 90 grader.

Begrundelsen for disse formler, en mnemonisk regel til at huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artiklen.

Tilføjelsesformler

Trigonometriske additionsformler vis, hvordan trigonometriske funktioner af summen eller forskellen af ​​to vinkler udtrykkes i form af trigonometriske funktioner af disse vinkler. Disse formler tjener som grundlag for at udlede følgende trigonometriske formler.

Formler til dobbelt, tredobbelt osv. vinkel

Formler til dobbelt, tredobbelt osv. vinkel (de kaldes også multiple vinkelformler) viser, hvordan trigonometriske funktioner af dobbelt, tredobbelt osv. vinkler () udtrykkes i form af trigonometriske funktioner af en enkelt vinkel. Deres udledning er baseret på additionsformler.

Mere detaljeret information er samlet i artikelformlerne for dobbelt, tredobbelt osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funktioner af en halv vinkel udtrykkes i form af cosinus af en hel vinkel. Disse trigonometriske formler følger af dobbeltvinkelformlerne.

Deres konklusion og eksempler på anvendelse kan findes i artiklen.

Formler for gradreduktion

Trigonometriske formler til at reducere grader er designet til at lette overgangen fra naturlige kræfter af trigonometriske funktioner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord giver de dig mulighed for at reducere beføjelserne af trigonometriske funktioner til den første.

Formler for summen og forskellen af ​​trigonometriske funktioner

Hovedformålet formler for summen og forskellen af ​​trigonometriske funktioner er at gå til produktet af funktioner, hvilket er meget nyttigt, når man forenkler trigonometriske udtryk. Disse formler er også meget brugt til at løse trigonometriske ligninger, da de giver dig mulighed for at faktorisere summen og forskellen mellem sinus og cosinus.

Formler for produktet af sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet af trigonometriske funktioner til en sum eller forskel udføres ved hjælp af formlerne for produktet af sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Universel trigonometrisk substitution

Vi afslutter vores gennemgang af trigonometriens grundlæggende formler med formler, der udtrykker trigonometriske funktioner i form af tangenten til en halv vinkel. Denne afløser blev kaldt universel trigonometrisk substitution. Dens bekvemmelighed ligger i det faktum, at alle trigonometriske funktioner udtrykkes i form af tangenten af ​​en halv vinkel rationelt uden rødder.

Bibliografi.

• Algebra: Lærebog for 9. klasse. gns. skole/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Uddannelse, 1990. - 272 s.: ISBN 5-09-002727
• Bashmakov M. I. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog. for 10-11 klassetrin. gns. skole - 3. udg. - M.: Uddannelse, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begyndelsen af ​​analysen: Proc. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. udg. - M.: Uddannelse, 2004. - 384 s.: ill.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.

Copyright af cleverstudents

Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af lov om ophavsret. Ingen del af webstedet, inklusive interne materialer og udseende, må gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ​​ophavsretten.