Matematisk modellering er kort. Grundlæggende om matematiske modeller

hjem / Skilsmisse

Ifølge lærebogen af Sovetov og Yakovlev: "en model (lat. Modulus - mål) er et erstatningsobjekt for det originale objekt, som giver studiet af nogle af originalens egenskaber." (s. 6) "At erstatte et objekt med et andet for at få information om de vigtigste egenskaber ved det oprindelige objekt ved hjælp af modelobjektet kaldes modellering." (s. 6) ”Ved matematisk modellering mener vi processen med at etablere korrespondance til et givet virkeligt objekt af et matematisk objekt, kaldet en matematisk model, og studiet af denne model, som gør det muligt at opnå egenskaberne for det virkelige objekt under betragtning. Typen af den matematiske model afhænger både af arten af det virkelige objekt og af opgaverne med at studere objektet og den nødvendige pålidelighed og nøjagtighed til at løse dette problem."

Til sidst den mest kortfattede definition af en matematisk model: "En ligning, der udtrykker en idé».

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

Den formelle klassificering af modeller er baseret på klassificeringen af de anvendte matematiske værktøjer. Ofte bygget i form af dikotomier. For eksempel et af de populære sæt af dikotomier:

etc. Hver konstrueret model er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulige: i én henseende koncentrerede (i forhold til parametre), i en anden, distribuerede modeller osv.

Klassificering efter den måde, objektet præsenteres på

Sammen med den formelle klassifikation adskiller modeller sig i den måde et objekt er repræsenteret på:

Strukturelle eller funktionelle modeller

Strukturelle modeller repræsentere et objekt som et system med sin egen enhed og funktionsmekanisme. Funktionelle modeller brug ikke sådanne repræsentationer og afspejler kun den eksternt opfattede adfærd (funktion) af objektet. I deres ekstreme udtryk kaldes de også "black box"-modeller. Kombinerede modeltyper er også mulige, nogle gange omtalt som " grå æske».

Indhold og formelle modeller

Næsten alle forfattere, der beskriver processen med matematisk modellering, indikerer, at der først bygges en særlig ideel struktur, meningsfuld model... Der er ingen etableret terminologi her, og andre forfattere kalder dette idealobjekt konceptuel model , spekulativ model eller præmodel... I dette tilfælde kaldes den endelige matematiske konstruktion formel model eller blot en matematisk model opnået som et resultat af formaliseringen af en given meningsfuld model (præ-model). Konstruktionen af en meningsfuld model kan udføres ved hjælp af et sæt færdige idealiseringer, som i mekanik, hvor ideelle fjedre, stive kroppe, ideelle penduler, elastiske medier osv. giver færdige strukturelle elementer til meningsfuld modellering. Men på vidensområder, hvor der ikke er fuldt udfyldte formaliserede teorier (forkanten af fysik, biologi, økonomi, sociologi, psykologi og de fleste andre områder), bliver skabelsen af meningsfulde modeller meget mere kompliceret.

Væsentlig klassificering af modeller

Ingen hypotese i videnskaben er bevist én gang for alle. Richard Feynman udtrykte det meget klart:

"Vi har altid mulighed for at tilbagevise en teori, men læg mærke til, vi kan aldrig bevise, at den er korrekt. Antag, at du har fremsat en vellykket hypotese, beregnet, hvor den fører hen, og fundet ud af, at alle dens konsekvenser bekræftes eksperimentelt. Betyder det, at din teori er korrekt? Nej, det betyder simpelthen, at du har undladt at modbevise det."

Hvis en model af den første type bygges, betyder det, at den midlertidigt genkendes som sand, og det er muligt at koncentrere sig om andre problemer. Dette kan dog ikke være et punkt i forskningen, men kun en midlertidig pause: Status for en model af den første type kan kun være midlertidig.

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Den fænomenologiske model indeholder en mekanisme til at beskrive fænomenet. Denne mekanisme er dog ikke overbevisende nok, kan ikke bekræftes tilstrækkeligt af de tilgængelige data eller stemmer dårligt overens med de eksisterende teorier og akkumuleret viden om objektet. Derfor har fænomenologiske modeller status som midlertidige løsninger. Det menes, at svaret stadig er ukendt, og det er nødvendigt at fortsætte søgningen efter "sande mekanismer". Peierls refererer til den anden type, for eksempel kaloriemodellen og kvarkmodellen af elementarpartikler.

Modellens rolle i forskningen kan ændre sig over tid, det kan ske, at nye data og teorier bekræfter de fænomenologiske modeller, og de vil blive forfremmet til status som en hypotese. Ligeledes kan ny viden gradvist komme i konflikt med hypotetiske modeller af den første type, og de kan oversættes til den anden. Kvarkmodellen går således gradvist over i kategorien hypoteser; atomisme i fysikken opstod som en midlertidig løsning, men gik med historiens gang over i den første type. Men ætermodellerne har fundet vej fra type 1 til type 2, og nu er de uden for videnskaben.

Ideen om forenkling er meget populær, når man bygger modeller. Men forenkling er anderledes. Peierls identificerer tre typer af modelleringsforenklinger.

Type 3: Tilnærmelse (vi betragter noget meget stort eller meget småt)

Hvis det er muligt at konstruere ligninger, der beskriver det undersøgte system, betyder det ikke, at de kan løses selv ved hjælp af en computer. Den generelt accepterede teknik i dette tilfælde er brugen af tilnærmelser (modeller af type 3). Blandt dem lineære responsmodeller... Ligninger erstattes af lineære. Et standardeksempel er Ohms lov.

Og her er type 8, meget brugt i matematiske modeller af biologiske systemer.

Type 8: Demonstration af muligheden (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Det er også tankeeksperimenter. med imaginære enheder, hvilket viser det påstået fænomen i overensstemmelse med de underliggende principper og internt konsistente. Dette er hovedforskellen fra Type 7-modellerne, som afslører skjulte modsætninger.

Et af de mest berømte sådanne eksperimenter er Lobachevskys geometri (Lobachevsky kaldte det "imaginær geometri"). Et andet eksempel er masseproduktionen af formelle - kinetiske modeller af kemiske og biologiske svingninger, autobølger osv. Einstein - Podolsky - Rosen-paradokset blev udtænkt som en type 7-model for at demonstrere kvantemekanikkens inkonsistens. På en fuldstændig uplanlagt måde blev det med tiden til en Type 8-model - en demonstration af muligheden for kvanteteleportering af information.

Eksempel

Overvej et mekanisk system bestående af en fjeder fastgjort i den ene ende og en massevægt fastgjort til fjederens frie ende. Vi vil antage, at belastningen kun kan bevæge sig i retning af fjederaksen (for eksempel sker bevægelsen langs stangen). Lad os bygge en matematisk model af dette system. Vi vil beskrive systemets tilstand ved afstanden fra centrum af belastningen til dets ligevægtsposition. Lad os beskrive samspillet mellem fjederen og belastningen vha Hookes lov() så vil vi bruge Newtons anden lov til at udtrykke den i form af en differentialligning:

hvor betyder anden gangs afledte:.

Den resulterende ligning beskriver den matematiske model af det betragtede fysiske system. Dette mønster kaldes den "harmoniske oscillator".

Ifølge den formelle klassifikation er denne model lineær, deterministisk, dynamisk, koncentreret, kontinuerlig. I processen med at konstruere det, gjorde vi mange antagelser (om fraværet af ydre kræfter, fraværet af friktion, små afvigelser osv.), som i virkeligheden måske ikke er opfyldt.

I forhold til virkeligheden er der oftest tale om en type 4 model. forenkling("Vi udelader nogle detaljer for klarhedens skyld"), da nogle væsentlige universelle træk (f.eks. dissipation) er udeladt. Til en vis tilnærmelse (f.eks. mens afvigelsen af belastningen fra ligevægt er lille, med lav friktion, i ikke for lang tid og under visse andre forhold), beskriver en sådan model ganske godt et rigtigt mekanisk system, da de kasserede faktorer har en ubetydelig effekt på dens adfærd ... Modellen kan dog finpudses ved at tage højde for nogle af disse faktorer. Dette vil føre til en ny model med et bredere (omend igen begrænset) anvendelsesområde.

Men når modellen raffineres, kan kompleksiteten af dens matematiske forskning øges markant og gøre modellen praktisk talt ubrugelig. Ofte giver en enklere model mulighed for en bedre og dybere undersøgelse af det virkelige system end et mere komplekst (og formelt "mere korrekt").

Hvis vi anvender den harmoniske oscillatormodel på objekter, der er langt fra fysik, kan dens meningsfulde status være anderledes. For eksempel, når man anvender denne model på biologiske populationer, bør den højst sandsynligt klassificeres som type 6 analogi("Lad os kun tage nogle af funktionerne i betragtning").

Hårde og bløde modeller

Harmonic Oscillator er et eksempel på en såkaldt "hård" model. Det opnås som et resultat af en stærk idealisering af et ægte fysisk system. For at løse spørgsmålet om dets anvendelighed er det nødvendigt at forstå, hvor væsentlige de faktorer er, som vi har forsømt. Det er med andre ord nødvendigt at undersøge den "bløde" model, som opnås ved en lille forstyrrelse af den "hårde". Det kan for eksempel gives ved følgende ligning:

Her er en bestemt funktion, som kan tage højde for friktionskraften eller afhængigheden af fjederens stivhedskoefficient på graden af dens forlængelse, er en lille parameter. Vi er ikke interesserede i den eksplicitte form for funktionen i øjeblikket. Hvis vi beviser, at den bløde models adfærd ikke adskiller sig fundamentalt fra den stive (uanset den eksplicitte form af de forstyrrende faktorer, hvis de er små nok), vil problemet blive reduceret til undersøgelsen af den stive. model. Ellers vil anvendelsen af de opnåede resultater i undersøgelsen af den stive model kræve yderligere forskning. For eksempel er løsningen til den harmoniske oscillatorligning funktioner af formen, det vil sige svingninger med konstant amplitude. Følger det heraf, at en rigtig oscillator vil oscillere i uendelig lang tid med en konstant amplitude? Nej, for i betragtning af et system med vilkårlig lille friktion (altid til stede i et rigtigt system), får vi dæmpede svingninger. Systemets adfærd har ændret sig dramatisk.

Hvis et system bevarer sin kvalitative adfærd under små forstyrrelser, siges det at være strukturelt stabilt. En harmonisk oscillator er et eksempel på et strukturelt ustabilt (ikke-groft) system. Ikke desto mindre kan denne model anvendes til at studere processer over begrænsede tidsintervaller.

Alsidighed af modeller

De vigtigste matematiske modeller har normalt en vigtig egenskab universalitet: fundamentalt forskellige virkelige fænomener kan beskrives ved den samme matematiske model. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke kun opførselen af en belastning på en fjeder, men også andre oscillatoriske processer, ofte af en helt anden karakter: små svingninger af et pendul, svingninger af niveauet af en væske i en -formet beholder, eller en ændring i strømstyrken i et oscillerende kredsløb. Når vi studerer en matematisk model, studerer vi på én gang en hel klasse af fænomener beskrevet af den. Det er denne isomorfi af love, udtrykt ved matematiske modeller i forskellige segmenter af videnskabelig viden, at Ludwig von Bertalanffys bedrift at skabe en "generel systemteori".

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Der er mange problemer forbundet med matematisk modellering. For det første er det nødvendigt at komme med grundskemaet for det modellerede objekt, for at gengive det inden for rammerne af idealiseringerne af denne videnskab. Så en togvogn bliver til et system af plader og mere komplekse kroppe lavet af forskellige materialer, hvert materiale er indstillet som dets standard mekaniske idealisering (densitet, elasticitetsmoduler, standard styrkekarakteristika), hvorefter ligninger tegnes undervejs nogle detaljer kasseres som uvæsentlige, der foretages beregninger, sammenlignes med målinger, modellen forfines, og så videre. Men for udviklingen af matematiske modelleringsteknologier er det nyttigt at adskille denne proces i dens hovedbestanddele.

Traditionelt er der to hovedklasser af problemer forbundet med matematiske modeller: direkte og omvendt.

Direkte opgave: strukturen af modellen og alle dens parametre anses for kendte, hovedopgaven er at udføre en undersøgelse af modellen for at udtrække nyttig viden om objektet. Hvilken statisk belastning vil broen modstå? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på march af et kompagni af soldater eller ved passage af et tog med forskellige hastigheder), hvordan et fly vil overvinde lydmuren, om det vil falde fra hinanden fra flagren - disse er typiske eksempler på en direkte opgave. At indstille det korrekte direkte problem (at stille det rigtige spørgsmål) kræver særlige færdigheder. Hvis de rigtige spørgsmål ikke stilles, kan broen bryde sammen, selvom der er bygget en god model for dens adfærd. Så i 1879 i Storbritannien kollapsede en metalbro over Tay, hvis designere byggede en model af broen, beregnede den for en 20-dobbelt sikkerhedsfaktor for nyttelasten, men glemte de konstant blæsende vinde på disse steder. Og efter halvandet år brød det sammen.

I det enkleste tilfælde (f.eks. én oscillatorligning) er det direkte problem meget simpelt og reduceres til en eksplicit løsning af denne ligning.

Omvendt problem: mange mulige modeller er kendt, du skal vælge en specifik model baseret på yderligere data om objektet. Som oftest er modellens struktur kendt, og nogle ukendte parametre skal bestemmes. Yderligere information kan bestå i yderligere empiriske data eller i kravene til objektet ( design udfordring). Yderligere data kan komme uafhængigt af processen med at løse det omvendte problem ( passiv overvågning) eller være resultatet af et specielt planlagt eksperiment ( aktiv overvågning).

Et af de første eksempler på en virtuos løsning af det omvendte problem med størst mulig brug af de tilgængelige data var metoden til at genoprette friktionskræfter fra de observerede dæmpede svingninger, konstrueret af I. Newton.

Et andet eksempel er matematisk statistik. Denne videnskabs opgave er at udvikle metoder til registrering, beskrivelse og analyse af observationelle og eksperimentelle data med det formål at konstruere probabilistiske modeller af massetilfældige fænomener. De der. sættet af mulige modeller er begrænset til probabilistiske modeller. I specifikke opgaver er sættet af modeller mere begrænset.

Computersimuleringssystemer

For at understøtte matematisk modellering er der udviklet computermatematiske systemer, for eksempel Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim osv. De giver dig mulighed for at skabe formelle og blokmodeller af både simple og komplekse processer og enheder og nemt ændre modelparametre i løbet af modellering. Blokmodeller er repræsenteret af blokke (oftest grafiske), hvis sæt og forbindelse er angivet af modeldiagrammet.

Yderligere eksempler

Malthus model

Væksthastigheden er proportional med den nuværende befolkningsstørrelse. Det er beskrevet af differentialligningen

hvor er en eller anden parameter bestemt af forskellen mellem fertilitet og dødelighed. Løsningen til denne ligning er eksponentialfunktionen. Hvis fødselsraten overstiger dødsraten (), vokser befolkningens størrelse uendeligt og meget hurtigt. Det er klart, at dette i virkeligheden ikke kan ske på grund af begrænsede ressourcer. Når en vis kritisk mængde af befolkningen er nået, holder modellen op med at være tilstrækkelig, da den ikke tager højde for de begrænsede ressourcer. Den logistiske model, som er beskrevet af Verhulst differentialligning, kan tjene som en forfining af Malthus-modellen

hvor er "ligevægts" befolkningsstørrelsen, hvor fødselsraten nøjagtigt kompenseres af dødeligheden. Populationsstørrelsen i en sådan model har tendens til en ligevægtsværdi, og denne adfærd er strukturelt stabil.

Predator-bytte-system

Lad os sige, at to slags dyr lever i et bestemt territorium: kaniner (som lever af planter) og ræve (som lever af kaniner). Lad antallet af kaniner, antallet af ræve. Ved at bruge Malthus-modellen med de nødvendige ændringer, under hensyntagen til ræves spisning af kaniner, kommer vi til følgende system, som bærer navnet modeller Lotki - Volterra:

Dette system har en ligevægtstilstand, når antallet af kaniner og ræve er konstant. Afvigelse fra denne tilstand fører til fluktuationer i antallet af kaniner og ræve, analogt med fluktuationer i den harmoniske oscillator. Som i tilfældet med den harmoniske oscillator er denne adfærd ikke strukturelt stabil: en lille ændring i modellen (for eksempel under hensyntagen til de begrænsede ressourcer, som kaniner har brug for) kan føre til en kvalitativ ændring i adfærd. For eksempel kan en ligevægtstilstand blive stabil, og udsving i tal vil falme. Den modsatte situation er også mulig, når enhver lille afvigelse fra ligevægtspositionen vil føre til katastrofale konsekvenser, op til den fuldstændige udryddelse af en af arterne. Volterra-Lotka-modellen giver ikke et svar på spørgsmålet om, hvilke af disse scenarier der realiseres: yderligere forskning er påkrævet her.

Noter (rediger)

"En matematisk fremstilling af virkeligheden" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Om de filosofiske spørgsmål om kybernetisk modellering. M., Viden, 1964.
B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matematisk modellering. Ideer. Metoder. Eksempler. - 2. udg., Rev. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Modellering af teknologiske processer: lærebog / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. - M .: Let- og fødevareindustri, 1984 .-- 344 s.
Wiktionary: matematisk model
CliffsNotes.com. Jordvidenskabelig ordliste. 20 september 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"En teori betragtes som lineær eller ikke-lineær, afhængig af om det er et lineært eller ikke-lineært matematisk apparat, og hvilken slags lineære eller ikke-lineære matematiske modeller den bruger. … Uden negation af sidstnævnte. En moderne fysiker, hvis han havde genskabt en definition af en så vigtig essens som ikke-linearitet, ville han højst sandsynligt have handlet anderledes, og ville foretrække ikke-linearitet som den mere vigtige og udbredte af de to modsætninger, definere linearitet som 'ikke ikke-linearitet '." Danilov Yu.A., Forelæsninger om ikke-lineær dynamik. En elementær introduktion. Serien "Synergetik: fra fortiden til fremtiden". Udgave 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
"Dynamiske systemer modelleret af et endeligt antal almindelige differentialligninger kaldes klumpsystemer eller punktsystemer. De er beskrevet ved hjælp af et endeligt dimensionelt faserum og er karakteriseret ved et endeligt antal frihedsgrader. Et og samme system under forskellige forhold kan betragtes som enten koncentreret eller distribueret. Matematiske modeller af distribuerede systemer er partielle differentialligninger, integralligninger eller almindelige ligninger med et haltende argument. Antallet af frihedsgrader for et distribueret system er uendeligt, og der kræves en uendelig mængde data for at bestemme dets tilstand." Anischenko V.S., Dynamiske systemer, Soros pædagogisk tidsskrift, 1997, nr. 11, s. 77-84.
”Afhængig af karakteren af de undersøgte processer i S-systemet kan alle typer modellering opdeles i deterministisk og stokastisk, statisk og dynamisk, diskret, kontinuert og diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering viser deterministiske processer, det vil sige processer, hvor fraværet af tilfældige påvirkninger antages; stokastisk modellering viser probabilistiske processer og hændelser. ... Statisk modellering bruges til at beskrive et objekts adfærd på ethvert tidspunkt, mens dynamisk modellering afspejler et objekts adfærd i tid. Diskret modellering tjener til at beskrive processer, der antages at være diskrete, henholdsvis kontinuert modellering giver dig mulighed for at afspejle kontinuerlige processer i systemer, og diskret-kontinuerlig modellering bruges til tilfælde, hvor du ønsker at fremhæve tilstedeværelsen af både diskrete og kontinuerlige processer." B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev ISBN 5-06-003860-2
Normalt afspejler den matematiske model strukturen (enheden) af det simulerede objekt, egenskaberne og indbyrdes sammenhænge mellem komponenterne i dette objekt, som er essentielle for forskningsformål; sådan en model kaldes strukturel. Hvis modellen kun afspejler, hvordan et objekt fungerer - for eksempel hvordan det reagerer på ydre påvirkninger - så kaldes det funktionel eller billedligt talt en sort boks. Kombinerede modeller er også mulige. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
"En indlysende, men den vigtigste indledende fase i at bygge eller vælge en matematisk model er at få en så klar idé som muligt om det modellerede objekt og afklare dets meningsfulde model baseret på uformelle diskussioner. Man bør ikke spare tid og kræfter på dette stadium, succesen af hele undersøgelsen afhænger i høj grad af det. Det skete mere end én gang, at betydeligt arbejde brugt på at løse et matematisk problem viste sig at være ineffektivt eller endda spildt på grund af utilstrækkelig opmærksomhed på denne side af sagen." Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
« Beskrivelse af systemets konceptuelle model. På dette delstadium af opbygningen af en model af systemet: a) er den konceptuelle model M beskrevet i abstrakte termer og begreber; b) en beskrivelse af modellen er givet ved brug af standard matematiske skemaer; c) hypoteser og antagelser er endeligt accepteret; d) valget af proceduren for tilnærmelse af reelle processer i konstruktionen af modellen er underbygget." B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Anvendt matematik: Emne, logik, ejendommeligheder ved tilgange. Med eksempler fra mekanik: Tutorial. - 3. udg., Rev. og tilføje. - M .: URSS, 2006 .-- 376 s. ISBN 5-484-00163-3, kapitel 2.

Det er muligt at spore dynamikken i udviklingen af et objekt, den indre essens af forholdet mellem dets elementer og forskellige tilstande i designprocessen kun ved hjælp af modeller, der bruger princippet om dynamisk analogi, det vil sige ved hjælp af matematiske modeller.

Matematisk model er et system af matematiske sammenhænge, der beskriver den proces eller det fænomen, der undersøges. For at kompilere en matematisk model kan du bruge alle matematiske midler - mængdeteori, matematisk logik, sproget for differential- eller integralligninger. Processen med at kompilere en matematisk model kaldes matematisk modellering... Ligesom andre typer modeller præsenterer en matematisk model et problem i en forenklet form og beskriver kun de egenskaber og mønstre, der er vigtigst for en given genstand eller proces. Den matematiske model giver mulighed for mangefacetteret kvantitativ analyse. Ændring af de oprindelige data, kriterier, begrænsninger, hver gang kan du få den optimale løsning for de givne forhold og bestemme den videre retning af søgningen.

Skabelsen af matematiske modeller kræver af deres udviklere, udover viden om formel-logiske metoder, en grundig analyse af det undersøgte objekt for nøje at formulere de grundlæggende ideer og regler, samt for at identificere en tilstrækkelig mængde pålidelige faktuelle, statistiske og lovgivningsmæssige data.

Det skal bemærkes, at alle aktuelt anvendte matematiske modeller refererer til præskriptiv... Målet med at udvikle præskriptive modeller er at angive retningen for at finde en løsning, mens målet med at udvikle beskriver modeller - en afspejling af de faktiske processer i menneskelig tænkning.

Synspunktet er ret udbredt, at det ved hjælp af matematik kun er muligt at opnå nogle numeriske data om objektet eller processen, der undersøges. ”Selvfølgelig er mange matematiske discipliner rettet mod at opnå det endelige numeriske resultat. Men at reducere matematiske metoder kun til problemet med at opnå et antal betyder at endeløst forarme matematikken, forarme muligheden for det magtfulde våben, som forskere har i hænderne i dag ...

En matematisk model skrevet på et eller andet bestemt sprog (for eksempel differentialligninger) afspejler visse egenskaber ved virkelige fysiske processer. Som et resultat af analysen af matematiske modeller får vi først og fremmest kvalitative ideer om funktionerne i de undersøgte processer, vi etablerer mønstre, der bestemmer den dynamiske række af sekventielle tilstande, vi får mulighed for at forudsige processens forløb og bestemme dets kvantitative egenskaber."

Matematiske modeller bruges i mange velkendte modelleringsteknikker. Blandt dem er udviklingen af modeller, der beskriver objektets statiske og dynamiske tilstand, optimeringsmodeller.

Et eksempel på matematiske modeller, der beskriver et objekts statiske og dynamiske tilstand, kan være forskellige metoder til traditionelle beregninger af strukturer. Beregningsprocessen, præsenteret i form af en sekvens af matematiske operationer (algoritme), giver os mulighed for at sige, at der er udarbejdet en matematisk model til at beregne en bestemt struktur.

V optimering modeller har tre elementer:

Objektiv funktion, der afspejler det accepterede kvalitetskriterium;

Justerbare parametre;

Pålagte restriktioner.

Alle disse elementer skal beskrives matematisk i form af ligninger, logiske forhold mv. Løsningen på optimeringsproblemet er en proces med at finde den minimale (maksimale) værdi af den objektive funktion, underlagt de specificerede begrænsninger. Løsningsresultatet anses for at være optimalt, hvis målfunktionen når sin ekstreme værdi.

Et eksempel på en optimeringsmodel er en matematisk beskrivelse af "bindingslængde"-kriteriet i metodikken for variantdesign af industribygninger.

Den objektive funktion afspejler den samlede vægtede længde af alle funktionelle forbindelser, som bør tilstræbe et minimum:

hvor er vægtværdien af forbindelsen af elementet med;

- længden af forbindelsen mellem og elementer;

- det samlede antal elementer, der skal placeres.

Da arealerne af de placerede elementer i lokalerne i alle varianter af designløsningen er ens, adskiller varianterne sig kun fra hinanden ved forskellige afstande mellem elementerne og deres placering i forhold til hinanden. Derfor er i dette tilfælde koordinaterne for elementerne placeret på plantegningerne de justerbare parametre.

Pålagte begrænsninger på arrangementet af elementer (på et forudbestemt sted af planen, ved den ydre omkreds, den ene over hinanden osv.) og på længden af forbindelserne (værdierne for længden af forbindelserne mellem og elementerne er sat stift, minimums- eller maksimumværdigrænserne er fastsat, ændringsgrænserne er fastsatte værdier) skrives formelt.

En variant anses for optimal (ifølge dette kriterium), hvis værdien af målfunktionen beregnet for denne variant er minimal.

En slags matematiske modeller - økonomisk og matematisk model- er en model for forholdet mellem systemets økonomiske karakteristika og parametre.

Et eksempel på økonomiske og matematiske modeller er den matematiske beskrivelse af omkostningskriterierne i den ovennævnte metode til variantdesign af industribygninger. De matematiske modeller, der er opnået ved hjælp af metoderne til matematisk statistik, afspejler afhængigheden af omkostningerne ved rammen, fundamenter, jordarbejder i en-etagers og flere-etagers industribygninger og deres højde, spændvidde og hældning af bærende strukturer.

Ifølge metoden til at redegøre for indflydelsen af tilfældige faktorer på beslutningstagning er matematiske modeller opdelt i deterministiske og probabilistiske. Deterministisk modellen tager ikke højde for indflydelsen af tilfældige faktorer under systemets funktion og er baseret på en analytisk repræsentation af funktionslovene. Probabilistisk (stokastisk) modellen tager højde for indflydelsen af tilfældige faktorer under systemets funktion og er baseret på statistiske, dvs. kvantitativ vurdering af massefænomener, der gør det muligt at tage hensyn til deres ikke-linearitet, dynamik, tilfældige forstyrrelser beskrevet af forskellige distributionslove.

Ved at bruge ovenstående eksempler kan vi sige, at den matematiske model, der beskriver kriteriet "længde af links" refererer til deterministisk, og de matematiske modeller, der beskriver gruppen af kriterier "omkostninger" - til sandsynlighedsmodeller.

Sproglige, semantiske og informationsmodeller

Matematiske modeller har indlysende fordele, da kvantificering af aspekter af et problem giver en klar idé om prioriteringen af mål. Det er vigtigt, at en specialist altid kan begrunde vedtagelsen af en beslutning ved at præsentere de tilsvarende numeriske data. En fuldstændig matematisk beskrivelse af projektaktiviteter er imidlertid umulig, derfor refererer de fleste af de opgaver, der er løst i den indledende fase af arkitektonisk og konstruktionsdesign, til semistruktureret.

Et af kendetegnene ved semistrukturerede opgaver er en verbal beskrivelse af de kriterier, der anvendes i dem. Introduktion af kriterier beskrevet i naturligt sprog (sådanne kriterier kaldes sproglige), giver dig mulighed for at bruge mindre komplekse metoder til at finde optimale designløsninger. Ud fra disse kriterier træffer designeren en beslutning på grundlag af velkendte, utvivlsomme formålsudtryk.

En meningsfuld beskrivelse af alle aspekter af problemet bringer systematisering ind i processen med dets løsning på den ene side, og på den anden side letter arbejdet for specialister, som uden at studere de relevante dele af matematikken mere rationelt kan løse deres faglige problemer. I fig. 5.2 er givet sproglig model beskrive mulighederne for at skabe betingelser for naturlig ventilation i forskellige muligheder for planlægning af løsninger af bageriet.

Andre fordele ved en meningsfuld problembeskrivelse er som følger:

Evnen til at beskrive alle de kriterier, der bestemmer effektiviteten af designløsningen. Samtidig er det vigtigt, at komplekse begreber kan introduceres i beskrivelsen, og i en specialists synsfelt vil der sammen med kvantitative, målbare faktorer også indgå kvalitative, som ikke er målbare. På tidspunktet for beslutningstagningen vil alle subjektive og objektive oplysninger således blive brugt;

Ris. 5.2 Beskrivelse af indholdet af kriteriet "ventilation" i form af en sproglig model

Muligheden for en entydig vurdering af graden af målopfyldelse i muligheder for et givet kriterium baseret på ordlyden vedtaget af specialister, hvilket sikrer pålideligheden af de modtagne oplysninger;

Evnen til at tage hensyn til den usikkerhed, der er forbundet med ufuldstændig viden om alle konsekvenser af trufne beslutninger, samt information af prædiktiv karakter.

Semantiske modeller hører også til de modeller, der bruger naturligt sprog til at beskrive forskningsobjektet.

Semantisk model- der er en sådan repræsentation af objektet, som afspejler graden af sammenkobling (nærhed) mellem forskellige bestanddele, aspekter, egenskaber af objektet. Indbyrdes forbundethed forstås ikke som et relativt rumligt arrangement, men som en sammenhæng ved betydning.

Så i semantisk forstand vil forholdet mellem koefficienten for naturlig belysning og lysområdet af gennemsigtige indhegninger blive præsenteret som tættere end forholdet mellem vinduesåbninger og de blinde sektioner af væggen, der støder op til dem.

Sættet af sammenhængsrelationer viser, hvad hvert element og objektet som helhed er allokeret i et objekt. Samtidig afspejler den semantiske model, udover graden af sammenhæng mellem forskellige aspekter i objektet, også indholdet af begreber. Begreber udtrykt i naturligt sprog tjener som elementære modeller.

Konstruktionen af semantiske modeller er baseret på de principper, hvorefter begreber og sammenhænge ikke ændres i hele modellens brugstid; indholdet af et begreb går ikke over i et andet; forbindelserne mellem de to begreber har et ligeværdigt og urettet samspil med hensyn til dem.

Hver analyse af modellen har til formål at udvælge elementer i modellen, som har en vis generel kvalitet. Dette giver grundlag for at konstruere en algoritme, der kun tager højde for direkte forbindelser. Når man transformerer en model til en urettet graf, søges der en sti mellem to elementer, der sporer bevægelsen fra et element til et andet, idet hvert element kun bruges én gang. Rækkefølgen af elementerne kaldes rækkefølgen af de to elementer. Sekvenserne kan være af forskellig længde. Den korteste af disse kaldes elementrelationer. Rækkefølgen af to elementer eksisterer også, hvis der er en direkte forbindelse mellem dem, men i dette tilfælde er der ingen sammenhæng.

Som et eksempel på en semantisk model vil vi give en beskrivelse af indretningen af en lejlighed sammen med kommunikationslinks. Konceptet er en lejligheds lokaler. Direkte forbindelse betyder en funktionel forbindelse af to rum, for eksempel ved en dør (se tabel 5.1).

At transformere modellen til en urettet grafform giver dig mulighed for at opnå en sekvens af elementer (figur 5.3).

Eksempler på rækkefølgen dannet mellem element 2 (badeværelse) og element 6 (pantry) er vist i tabel. 5.2. Som du kan se i tabellen, repræsenterer sekvens 3 forholdet mellem disse to elementer.

Tabel 5.1

Beskrivelse af lejlighedens indretning

Ris. 5.3 Beskrivelse af planlægningsløsningen i form af en urettet graf

Matematisk model er et system af matematiske sammenhænge - formler, ligninger, uligheder osv., der afspejler de væsentlige egenskaber ved et objekt eller et fænomen.

Ethvert naturfænomen er uendeligt i sin kompleksitet... Lad os illustrere dette ved hjælp af et eksempel taget fra bogen af V.N. Trostnikov "Man and Information" (Forlag "Science", 1970).

Lægmanden formulerer matematikproblemet som følger: "Hvor længe vil en sten falde fra en højde på 200 meter?" Matematikeren vil begynde at skabe sin version af problemet sådan her: "Lad os antage, at stenen falder i tomhed, og at tyngdeaccelerationen er 9,8 meter i sekundet i sekundet. Så ..."

- Lad mig- kan sige "kunde", - Jeg er ikke tilfreds med denne forenkling. Jeg vil gerne vide præcis, hvor længe stenen vil falde under virkelige forhold, og ikke i et ikke-eksisterende tomrum.

- Godt,- vil matematikeren være enig. - Lad os antage, at stenen har en sfærisk form og diameter ... Hvad er cirka dens diameter?

- Omkring fem centimeter. Men den er slet ikke kugleformet, men aflang.

- Så vil vi antage, at hanhar form som en ellipsoide med akselaksler fire, tre og tre centimeter og at hanfalder, så halvhovedaksen forbliver lodret hele tiden ... Lufttrykket antages at være760 mm Hg , herfra finder vi lufttætheden...

Hvis den, der stillede problemet på det "menneskelige" sprog, ikke blander sig yderligere i matematikerens tankegang, så vil denne give et numerisk svar efter et stykke tid. Men "forbrugeren" kan indvende som før: stenen er faktisk slet ikke ellipseformet, lufttrykket på det sted og på det tidspunkt var ikke lig med 760 mm kviksølv osv. Hvad vil matematikeren svare ham?

Det vil han svare på en nøjagtig løsning på et reelt problem er generelt umuligt... Ikke kun det sten form som påvirker luftmodstanden, kan ikke beskrives med nogen matematisk ligning; dens rotation under flyvning er også hinsides matematik på grund af dens kompleksitet. Yderligere, luften er ikke homogen, da der som følge af virkningen af tilfældige faktorer opstår fluktuationer af tæthedssvingninger i den. Hvis du går endnu dybere, skal du overveje det ifølge loven om universel tyngdekraft virker hvert legeme på hvert andet legeme... Det følger heraf, at selv vægurets pendul ændrer stenens bane med dens bevægelse.

Kort sagt, hvis vi seriøst ønsker at undersøge et objekts adfærd nøjagtigt, så skal vi først finde ud af placeringen og hastigheden af alle andre objekter i universet. Og dette, selvfølgelig. umuligt.

Den mest effektive matematiske model kan implementeres på en computer i form af en algoritmisk model - det såkaldte "beregningseksperiment" (se [1], afsnit 26).

Selvfølgelig kan resultaterne af et beregningseksperiment vise sig at være usande, hvis modellen ikke tager højde for nogle vigtige aspekter af virkeligheden.

Så når du opretter en matematisk model til løsning af et problem, skal du:

Når man konstruerer matematiske modeller, er det langt fra altid muligt at finde formler, der eksplicit udtrykker de nødvendige mængder i form af data. I sådanne tilfælde bruges matematiske metoder til at give svar i en eller anden grad af nøjagtighed. Der er ikke kun matematisk modellering af et fænomen, men også visuel fuldskala modellering, som leveres ved at vise disse fænomener ved hjælp af computergrafik, dvs. en slags "computertegnefilm" filmet i realtid vises foran forskeren. Her er sigtbarheden meget høj.

Andre poster

10.06.2016. 8.3. Hvad er de vigtigste stadier i softwareudviklingsprocessen? 8.4. Hvordan tjekker man teksten i programmet, før man går til computeren?

8.3. Hvad er de vigtigste stadier i softwareudviklingsprocessen? Processen med at udvikle et program kan udtrykkes med følgende formel: Det er helt normalt at have fejl i et nyudviklet program ...

10.06.2016. 8.5. Hvad er debugging og test til? 8.6. Hvad er debugging? 8.7. Hvad er quiz og test? 8.8. Hvad skal testdataene være? 8.9. Hvad er stadierne i testprocessen?

8.5. Hvad er debugging og test til? Fejlretning af et program er processen med at finde og eliminere fejl i et program baseret på resultaterne af at køre det på en computer. Tester...

10.06.2016. 8.10. Hvad er de almindelige programmeringsfejl? 8.11. Er fraværet af syntaksfejl en indikation på, at programmet er korrekt? 8.12. Hvilke fejl opdages ikke af oversætteren? 8.13. Hvad er vedligeholdelsen af programmet?

8.10. Hvad er de almindelige programmeringsfejl? Fejl kan begås på alle stadier af løsningen af problemet - fra dets formulering til registrering. Typer af fejl og tilsvarende eksempler er givet ...

Første niveau

Matematiske modeller for OGE og USE (2019)

Begrebet en matematisk model

Forestil dig et fly: vinger, skrog, haleenhed, alt dette sammen - et rigtigt stort, enormt, helt fly. Eller du kan lave en model af et fly, lille, men alt er faktisk de samme vinger osv., men kompakt. Det samme er den matematiske model. Der er et ordproblem, besværligt, du kan se på det, læse det, men ikke helt forstå, og endnu mere er det ikke klart, hvordan det skal løses. Men hvad nu hvis vi laver en lille model af et stort verbal problem, en matematisk model? Hvad betyder matematik? Det betyder, ved at bruge reglerne og lovene for matematisk notation, at lave teksten om til en logisk korrekt repræsentation ved hjælp af tal og aritmetiske fortegn. Så, en matematisk model er en repræsentation af en virkelig situation ved hjælp af et matematisk sprog.

Lad os starte med en enkel: Tallet er større end tallet med. Vi skal skrive dette ned, ikke ved at bruge ord, men kun matematikkens sprog. Hvis mere med, så viser det sig, at hvis vi trækker fra, så forbliver den samme forskel mellem disse tal ens. De der. eller. Forstået essensen?

Nu er det mere kompliceret, nu kommer der en tekst, som du skal prøve at repræsentere i form af en matematisk model, indtil du læser hvordan jeg vil gøre det, prøv selv! Der er fire tal:, og. Stykket er større end stykket og fordoblet.

Hvad skete der?

I form af en matematisk model vil det se sådan ud:

De der. produktet er relateret som to til én, men dette kan stadig forenkles:

Nå, okay, med simple eksempler forstår du nok pointen. Lad os gå videre til fuldgyldige problemer, hvor disse matematiske modeller stadig mangler at blive løst! Her er udfordringen.

Matematisk model i praksis

Opgave 1

Efter regn kan vandstanden i brønden stige. Drengen måler tidspunktet for fald af små sten i brønden og beregner afstanden til vandet ved hjælp af formlen, hvor er afstanden i meter og er faldtidspunktet i sekunder. Før regnen var tidspunktet for stenenes fald s. Hvor meget skal vandstanden stige efter regn, for at den målte tid ændrer sig med s? Udtryk dit svar i meter.

Åh gud! Hvilke formler, hvilken slags brønd, hvad sker der, hvad skal man gøre? Læste jeg dine tanker? Slap af, i problemer af denne type er forholdene endnu værre, det vigtigste er at huske, at i dette problem er du interesseret i formler og relationer mellem variabler, og hvad alt dette betyder i de fleste tilfælde er ikke særlig vigtigt. Hvad ser du nyttigt her? ser jeg personligt. Princippet for at løse disse problemer er som følger: Tag alle kendte mængder og erstat dem.MEN, nogle gange skal du tænke!

Efter mit første råd og erstatter alt kendt i ligningen, får vi:

Det var mig, der erstattede et sekunds tid og fandt højden, som stenen fløj før regnen. Og nu skal vi tælle efter regnen og finde forskellen!

Lyt nu til det andet råd og tænk over det, spørgsmålet specificerer "hvor meget vandstanden skal stige efter regnen, så den målte tid ændres med s." Umiddelbart er det nødvendigt at estimere, sååå, efter regnen stiger vandstanden, hvilket betyder, at tiden for stenens fald til vandstanden er kortere og her får den udsmykkede sætning "så den målte tid ændrer sig" en bestemt betydning : faldtiden øges ikke, men falder med de angivne sekunder. Det betyder, at i tilfælde af et kast efter regn, skal vi blot trække c fra den indledende tid c, og vi får ligningen for højden, som stenen vil flyve efter regnen:

Og endelig, for at finde ud af, hvor meget vandstanden skal stige efter regnen, så den målte tid ændres med s., skal du blot trække den anden fra den første faldhøjde!

Vi får svaret: i metermål.

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret, det vigtigste er, lad være med at genere for meget, hvor sådan en uforståelig og til tider kompleks ligning kom fra i forhold til betingelserne og hvad alt i den betyder, tag mit ord for det, de fleste af disse ligninger er taget fra fysikken, og der er en jungle, der er værre end i algebra. Nogle gange forekommer det mig, at disse problemer blev opfundet for at skræmme den studerende til eksamen med en overflod af komplekse formler og termer, og i de fleste tilfælde kræver de næsten ingen viden. Bare læs betingelsen omhyggeligt og sæt de kendte værdier ind i formlen!

Her er et andet problem, ikke længere i fysik, men fra den økonomiske teoris verden, selvom kendskab til andre videnskaber end matematik ikke er påkrævet her igen.

Opgave 2

Afhængigheden af mængden af efterspørgsel (enheder pr. måned) for monopolistiske virksomheders produkter af prisen (tusind rubler) er givet ved formlen

Virksomhedens omsætning pr. måned (i tusind rubler) beregnes ved hjælp af formlen. Bestem den højeste pris, hvor den månedlige omsætning vil være mindst tusind rubler. Giv dit svar i tusind rubler.

Gæt hvad jeg skal gøre nu? Ja, jeg begynder at erstatte det, vi ved, men igen, jeg bliver nødt til at tænke lidt. Lad os gå fra slutningen, vi skal finde ud af, hvor. Så der er, lig med nogen, vi finder, hvad der ellers er lig med, og lige så er det, og vi vil skrive det ned. Som du kan se, bryder jeg mig ikke så meget om betydningen af alle disse værdier, jeg ser bare ud fra betingelserne, at hvad er lige, så du skal gøre det. Lad os vende tilbage til problemet, du har det allerede, men som du husker fra en ligning med to variable, kan ingen af dem findes, hvad skal man gøre? Ja, vi har stadig et ubrugt stykke i stand. Nu er der allerede to ligninger og to variable, hvilket betyder, at nu kan begge variable findes - fantastisk!

- kan du løse sådan et system?

Vi løser ved substitution, vi har allerede udtrykt det, hvilket betyder, at vi erstatter det i den første ligning og forenkler.

Det viser sig, at her er sådan en andengradsligning:, vi løser, rødderne er sådan her,. I opgaven kræves det at finde den højeste pris, hvortil alle de betingelser, som vi tog højde for, da systemet blev kompileret, vil være opfyldt. Åh, det viser sig, at det var prisen. Fedt, så vi fandt priser: og. Den højeste pris, siger du? Okay, den største af dem er naturligvis svaret, og vi skriver. Nå, er det svært? Det tror jeg ikke, og der er ingen grund til at dykke for meget i det!

Og her er den skræmmende fysik, eller rettere, en anden udfordring:

Opgave 3

For at bestemme stjernernes effektive temperatur bruges Stefan-Boltzmann-loven, ifølge hvilken, hvor er stjernens strålingsstyrke, er konstant, er stjernens overfladeareal og er temperaturen. Det er kendt, at overfladearealet af en stjerne er lig, og styrken af dens stråling er lig med W. Find temperaturen på denne stjerne i grader Kelvin.

Hvor kom det fra? Ja, betingelsen siger, hvad der er lige. Tidligere anbefalede jeg at erstatte alle ukendte på én gang, men her er det bedre først at udtrykke det ukendte søgte. Se hvor simpelt alt er: der er en formel, og den er kendt i den, og (dette er det græske bogstav "sigma". Generelt elsker fysikere græske bogstaver, væn dig til det). Og temperaturen er ukendt. Lad os udtrykke det som en formel. Jeg håber, du ved, hvordan man gør dette? Sådanne opgaver for GIA i klasse 9 giver normalt:

Nu er det tilbage at erstatte tal i stedet for bogstaver på højre side og forenkle:

Her er svaret: grader Kelvin! Og hvilken forfærdelig opgave det var, eh!

Vi fortsætter med at plage problemerne i fysikken.

Opgave 4

Højden over jorden af en bold, der kastes opad, ændres ifølge loven, hvor er højden i meter, er tiden i sekunder, der er gået siden kastet. Hvor mange sekunder vil bolden forblive mindst tre meter høj?

Det var alle ligningerne, men her er det nødvendigt at bestemme, hvor meget bolden var i en højde på mindst tre meter, det vil sige i en højde. Hvad skal vi komponere? Ulighed, præcis! Vi har en funktion, der beskriver hvordan bolden flyver, hvor er den samme højde i meter, vi skal bruge højden. Midler

Og nu løser du bare uligheden, hovedsagen er, glem ikke at ændre ulighedstegnet fra større end eller lig til mindre eller lig, når du multiplicerer med begge sider af uligheden for at slippe af med minus på forhånd .

Dette er rødderne, vi bygger intervaller for ulighed:

Vi er interesserede i intervallet, hvor minustegnet er, da ulighed tager negative værdier der, er dette fra til begge inklusive. Og nu tænder vi hjernen og tænker os godt om: for ulighed brugte vi ligningen, der beskriver boldens flugt, den flyver på en eller anden måde i en parabel, dvs. det letter, når et højdepunkt og falder, hvordan forstår man hvor længe det vil være i en højde på mindst meter? Vi fandt 2 vippepunkter, dvs. det øjeblik, hvor han svæver højere end meter og det øjeblik, hvor han, faldende, når det samme mærke, udtrykkes disse to punkter af os i form af tid, dvs. vi ved, i hvilket sekund af flyvningen han kom ind i den zone, der var interessant for os (over meter), og i hvilken han forlod den (faldt under metermærket). Hvor mange sekunder var han i denne zone? Det er logisk, at vi tager tidspunktet for at forlade zonen og trækker tidspunktet for at komme ind i denne zone fra den. Derfor: - så meget han var i zonen over meter, dette er svaret.

Du er så heldig, at de fleste eksempler om dette emne kan tages fra kategorien af problemer i fysik, så tag et til, det er det sidste, så pres dig selv, der er meget få tilbage!

Opgave 5

For et varmeelement af en bestemt enhed blev temperaturafhængigheden af driftstiden eksperimentelt opnået:

Hvor er tiden i minutter,. Det er kendt, at ved en temperatur af varmeelementet over enheden kan forringes, derfor skal den slukkes. Find den længste tid efter påbegyndelse af arbejdet, du skal bruge for at slukke for enheden. Udtryk dit svar på få minutter.

Vi handler i henhold til en fejlrettet ordning, alt hvad der er givet, først skriver vi ud:

Nu tager vi formlen og sidestiller den med den temperaturværdi, som enheden kan opvarmes til så meget som muligt, indtil den brænder ud, det vil sige:

Nu erstatter vi tal i stedet for bogstaver, hvor de er kendt:

Som du kan se, er temperaturen under apparatets drift beskrevet af en andengradsligning, hvilket betyder, at den er fordelt langs en parabel, dvs. enheden varmer op til en bestemt temperatur og køler derefter ned. Vi fik svar, og derfor er temperaturen med og med minutters opvarmning lig med den kritiske, men mellem og minutter - den er endda højere end den begrænsende!

Det betyder, at du skal slukke for enheden på få minutter.

MATEMATISKE MODELLER. KORT OM DE VIGTIGSTE

Oftest bruges matematiske modeller i fysik: trods alt skulle du sandsynligvis lære snesevis af fysiske formler udenad. Og formlen er den matematiske repræsentation af situationen.

I OGE og Unified State Exam er der opgaver netop om dette emne. I eksamen (profil) er dette opgave nummer 11 (tidligere B12). I OGE - opgave nummer 20.

Løsningsskemaet er indlysende:

1) Det er nødvendigt at "isolere" nyttige oplysninger fra teksten til tilstanden - hvad vi skriver under ordet "Givet" i fysikproblemer. Denne nyttige information er:

Formel
Kendte fysiske mængder.

Det vil sige, at hvert bogstav fra formlen skal være forbundet med et bestemt tal.

2) Du tager alle kendte mængder og erstatter dem i formlen. Den ukendte værdi forbliver i form af et bogstav. Nu skal du bare løse ligningen (normalt en ret simpel en), og svaret er klar.

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, så er du meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i de 5%!

Nu kommer det vigtigste.

Du fandt ud af teorien om dette emne. Og igen, det er ... det er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For at bestå eksamenen, komme ind på instituttet på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige en ting ...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Det er statistikker.

Men det er heller ikke det vigtigste.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi der er så mange flere muligheder åbne foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at blive bedre end andre til eksamen og for i sidste ende at være ... mere glad?

FÅ EN HÅND TIL AT LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNE.

På eksamen bliver du ikke spurgt om teori.

Du får brug for løse problemer i et stykke tid.

Og hvis du ikke løste dem (MEGET!), er du sikker på, at du går et sted, der tager dumt fejl eller simpelthen ikke har tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det igen og igen for at vinde med sikkerhed.

Find en samling, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at fylde din hånd ved hjælp af vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden for den YouClever-lærebog, som du læser i øjeblikket.

Hvordan? Der er to muligheder:

Del alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 r
Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i selvstudiet - 999 RUB

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog, og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes på én gang.

I det andet tilfælde vi vil give dig simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, for alle sværhedsgrader." Det vil helt sikkert være nok til at få styr på at løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette meget mere end blot en simulator - et helt træningsprogram. Hvis det er nødvendigt, kan du også bruge det GRATIS.

Adgang til alle tekster og programmer er givet i hele webstedets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare dvæle ikke ved teori.

"Forstået" og "Jeg ved, hvordan man løser" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs!

Til sidst den mest kortfattede definition af en matematisk model: "En ligning, der udtrykker en idé."

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

Den formelle klassificering af modeller er baseret på klassificeringen af de anvendte matematiske værktøjer. Ofte bygget i form af dikotomier. For eksempel et af de populære sæt af dikotomier:

Klassificering efter den måde, objektet præsenteres på

Sammen med den formelle klassifikation adskiller modeller sig i den måde et objekt er repræsenteret på:

Strukturelle eller funktionelle modeller

Strukturelle modeller repræsenterer et objekt som et system med sin egen struktur og funktionsmekanisme. Funktionelle modeller bruger ikke sådanne repræsentationer og afspejler kun den eksternt opfattede adfærd (funktion) af et objekt. I deres ekstreme udtryk kaldes de også "black box" modeller. Kombinerede typer modeller er også mulige, som nogle gange kaldes "grå boks" modeller.

Indhold og formelle modeller

Næsten alle forfattere, der beskriver processen med matematisk modellering, indikerer, at der først bygges en særlig ideel struktur, meningsfuld model... Der er ingen etableret terminologi her, og andre forfattere kalder dette idealobjekt konceptuel model , spekulativ model eller præmodel... I dette tilfælde kaldes den endelige matematiske konstruktion formel model eller blot en matematisk model opnået som et resultat af formaliseringen af en given meningsfuld model (præ-model). Konstruktionen af en meningsfuld model kan udføres ved hjælp af et sæt færdige idealiseringer, som i mekanik, hvor ideelle fjedre, stive kroppe, ideelle penduler, elastiske medier osv. giver færdige strukturelle elementer til meningsfuld modellering. Men inden for vidensområder, hvor der ikke er fuldt udfyldte formaliserede teorier (forkanten inden for fysik, biologi, økonomi, sociologi, psykologi og de fleste andre områder), bliver skabelsen af meningsfulde modeller meget vanskeligere.

Væsentlig klassificering af modeller

Ingen hypotese i videnskaben er bevist én gang for alle. Richard Feynman udtrykte det meget klart:

"Vi har altid mulighed for at tilbagevise en teori, men læg mærke til, vi kan aldrig bevise, at den er korrekt. Antag, at du har fremsat en vellykket hypotese, beregnet, hvor den fører hen, og fundet ud af, at alle dens konsekvenser bekræftes eksperimentelt. Betyder det, at din teori er korrekt? Nej, det betyder simpelthen, at du har undladt at modbevise det."

Hvis der bygges en model af den første type, betyder det, at den midlertidigt genkendes som sand, og du kan koncentrere dig om andre problemer. Dette kan dog ikke være et punkt i forskningen, men kun en midlertidig pause: Status for en model af den første type kan kun være midlertidig.

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Ideen om forenkling er meget populær, når man bygger modeller. Men forenkling er anderledes. Peierls identificerer tre typer af modelleringsforenklinger.

Type 3: Tilnærmelse (vi betragter noget meget stort eller meget småt)

Og her er type 8, meget brugt i matematiske modeller af biologiske systemer.

Type 8: Demonstration af muligheden (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Disse er også tankeeksperimenter med imaginære entiteter, der viser det påstået fænomen i overensstemmelse med de underliggende principper og internt konsistente. Dette er hovedforskellen fra Type 7-modellerne, som afslører skjulte modsætninger.

Eksempel

Overvej et mekanisk system bestående af en fjeder fastgjort i den ene ende og en vægt m fastgjort til den frie ende af fjederen. Vi vil antage, at belastningen kun kan bevæge sig i retning af fjederaksen (for eksempel sker bevægelsen langs stangen). Lad os bygge en matematisk model af dette system. Vi vil beskrive systemets tilstand ved afstanden x fra midten af lasten til dens ligevægtsposition. Lad os beskrive samspillet mellem fjederen og belastningen vha Hookes lov (F = − kx ) og brug derefter Newtons anden lov til at udtrykke den i form af en differentialligning:

hvor betyder den anden afledte af x Med tiden:.

Den resulterende ligning beskriver den matematiske model af det betragtede fysiske system. Dette mønster kaldes den "harmoniske oscillator".

Hårde og bløde modeller

Her er en bestemt funktion, som kan tage højde for friktionskraften eller afhængigheden af fjederens stivhedskoefficient på graden af dens forlængelse, er en lille parameter. Eksplicit funktion f vi er ikke interesserede i øjeblikket. Hvis vi beviser, at den bløde models adfærd ikke adskiller sig fundamentalt fra den stive (uanset den eksplicitte form af de forstyrrende faktorer, hvis de er små nok), vil problemet blive reduceret til undersøgelsen af den stive. model. Ellers vil anvendelsen af de opnåede resultater i undersøgelsen af den stive model kræve yderligere forskning. For eksempel er løsningen til den harmoniske oscillatorligning funktioner af formen, det vil sige svingninger med konstant amplitude. Følger det heraf, at en rigtig oscillator vil oscillere i uendelig lang tid med en konstant amplitude? Nej, for i betragtning af et system med vilkårlig lille friktion (altid til stede i et rigtigt system), får vi dæmpede svingninger. Systemets adfærd har ændret sig dramatisk.

Alsidighed af modeller

De vigtigste matematiske modeller har normalt en vigtig egenskab universalitet: fundamentalt forskellige virkelige fænomener kan beskrives ved den samme matematiske model. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke kun opførselen af en belastning på en fjeder, men også andre oscillatoriske processer, ofte af en helt anden karakter: små svingninger af et pendul, svingninger af væskeniveauet i U-formet kar eller en ændring i strømstyrken i svingningskredsløbet. Når vi studerer en matematisk model, studerer vi på én gang en hel klasse af fænomener beskrevet af den. Det er denne isomorfi af love, udtrykt ved matematiske modeller i forskellige segmenter af videnskabelig viden, at Ludwig von Bertalanffys bedrift at skabe en "generel systemteori".

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Traditionelt er der to hovedklasser af problemer forbundet med matematiske modeller: direkte og omvendt.

Direkte opgave: strukturen af modellen og alle dens parametre anses for kendte, hovedopgaven er at udføre en undersøgelse af modellen for at udtrække nyttig viden om objektet. Hvilken statisk belastning vil broen modstå? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på et kompagni soldaters march, eller på passage af et tog med ingen forskellige hastigheder), hvordan flyet vil overvinde lydmuren, om det vil falde fra hinanden af flagren - det er typiske eksempler på en direkte opgave. At indstille det korrekte direkte problem (at stille det rigtige spørgsmål) kræver særlige færdigheder. Hvis de rigtige spørgsmål ikke stilles, kan broen bryde sammen, selvom der er bygget en god model for dens adfærd. Så i 1879 i England kollapsede en metalbro over Tay, hvis designere byggede en model af broen, beregnede den for en 20-dobbelt sikkerhedsfaktor for nyttelasten, men glemte vinden, der konstant blæser de steder. Og efter halvandet år brød det sammen.

I det enkleste tilfælde (f.eks. én oscillatorligning) er det direkte problem meget simpelt og reduceres til en eksplicit løsning af denne ligning.

Yderligere eksempler

hvor x s- "ligevægts"-populationsstørrelse, hvor fertiliteten nøjagtigt kompenseres af dødeligheden. Populationsstørrelsen i en sådan model har tendens til ligevægtsværdien x s og denne adfærd er strukturelt stabil.

Noter (rediger)

"En matematisk fremstilling af virkeligheden" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Om de filosofiske spørgsmål om kybernetisk modellering. M., Viden, 1964.
B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matematisk modellering. Ideer. Metoder. Eksempler. ... - 2. udg., Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Wiktionary: matematisk model
CliffsNoter
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"En teori betragtes som lineær eller ikke-lineær, afhængig af om det er et lineært eller ikke-lineært matematisk apparat, og hvilken slags lineære eller ikke-lineære matematiske modeller den bruger. … Uden negation af sidstnævnte. En moderne fysiker, hvis han havde genskabt en definition af en så vigtig essens som ikke-linearitet, ville han højst sandsynligt have handlet anderledes, og ville foretrække ikke-linearitet som den mere vigtige og udbredte af de to modsætninger, definere linearitet som 'ikke ikke-linearitet '." Danilov Yu.A., Forelæsninger om ikke-lineær dynamik. En elementær introduktion. Serien "Synergetik: fra fortiden til fremtiden". Udgave 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
"Dynamiske systemer modelleret af et endeligt antal almindelige differentialligninger kaldes klumpsystemer eller punktsystemer. De er beskrevet ved hjælp af et endeligt dimensionelt faserum og er karakteriseret ved et endeligt antal frihedsgrader. Et og samme system under forskellige forhold kan betragtes som enten koncentreret eller distribueret. Matematiske modeller af distribuerede systemer er partielle differentialligninger, integralligninger eller almindelige ligninger med et haltende argument. Antallet af frihedsgrader for et distribueret system er uendeligt, og der kræves en uendelig mængde data for at bestemme dets tilstand." Anischenko V.S., Dynamiske systemer, Soros pædagogisk tidsskrift, 1997, nr. 11, s. 77-84.
”Afhængig af karakteren af de undersøgte processer i S-systemet kan alle typer modellering opdeles i deterministisk og stokastisk, statisk og dynamisk, diskret, kontinuert og diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering viser deterministiske processer, det vil sige processer, hvor fraværet af tilfældige påvirkninger antages; stokastisk modellering viser probabilistiske processer og hændelser. ... Statisk modellering bruges til at beskrive et objekts adfærd på ethvert tidspunkt, mens dynamisk modellering afspejler et objekts adfærd i tid. Diskret modellering tjener til at beskrive processer, der antages at være diskrete, henholdsvis kontinuert modellering giver dig mulighed for at afspejle kontinuerlige processer i systemer, og diskret-kontinuerlig modellering bruges til tilfælde, hvor du ønsker at fremhæve tilstedeværelsen af både diskrete og kontinuerlige processer." B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Normalt afspejler den matematiske model strukturen (enheden) af det simulerede objekt, egenskaberne og indbyrdes sammenhænge mellem komponenterne i dette objekt, som er essentielle for forskningsformål; sådan en model kaldes strukturel. Hvis modellen kun afspejler, hvordan et objekt fungerer - for eksempel hvordan det reagerer på ydre påvirkninger - så kaldes det funktionel eller billedligt talt en sort boks. Kombinerede modeller er også mulige. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
"En indlysende, men den vigtigste indledende fase i at bygge eller vælge en matematisk model er at få en så klar idé som muligt om det modellerede objekt og afklare dets meningsfulde model baseret på uformelle diskussioner. Man bør ikke spare tid og kræfter på dette stadium, succesen af hele undersøgelsen afhænger i høj grad af det. Det skete mere end én gang, at betydeligt arbejde brugt på at løse et matematisk problem viste sig at være ineffektivt eller endda spildt på grund af utilstrækkelig opmærksomhed på denne side af sagen." Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
« Beskrivelse af systemets konceptuelle model. På dette delstadium af opbygningen af en model af systemet: a) er den konceptuelle model M beskrevet i abstrakte termer og begreber; b) en beskrivelse af modellen er givet ved brug af standard matematiske skemaer; c) hypoteser og antagelser er endeligt accepteret; d) valget af proceduren for tilnærmelse af reelle processer i konstruktionen af modellen er underbygget." B. Ya. Soviets, S. A. Yakovlev, Systemmodellering: Lærebog. for universiteter - 3. udg., rev. og tilføje. - M .: Højere. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

Klassificering efter den måde, objektet præsenteres på

Indhold og formelle modeller

Væsentlig klassificering af modeller

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Type 3: Tilnærmelse (vi betragter noget meget stort eller meget småt)

Type 8: Demonstration af muligheden (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Eksempel

Hårde og bløde modeller

Alsidighed af modeller

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Computersimuleringssystemer

Yderligere eksempler

Malthus model

Predator-bytte-system

Noter (rediger)

Andre poster

Matematiske modeller for OGE og USE (2019)

Begrebet en matematisk model

Matematisk model i praksis

MATEMATISKE MODELLER. KORT OM DE VIGTIGSTE

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

Klassificering efter den måde, objektet præsenteres på

Indhold og formelle modeller

Væsentlig klassificering af modeller

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Type 3: Tilnærmelse (vi betragter noget meget stort eller meget småt)

Type 8: Demonstration af muligheden (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Eksempel

Hårde og bløde modeller

Alsidighed af modeller

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Yderligere eksempler

Noter (rediger)

Redaktørens valg