Er rummet tilfældigt? Terninger online Sådan får du terningerne til at falde mere eller mindre tilfældigt.

Hvad er de tre love for tilfældighed, og hvorfor uforudsigelighed giver os mulighed for at lave de mest pålidelige forudsigelser.

Vores sind modstår ideen om tilfældigheder med al dens magt. I løbet af vores udvikling som art har vi udviklet evnen til at lede efter årsag-og-virkning sammenhænge i alt. Længe før videnskabens fremkomst vidste vi allerede, at en crimson-rød solnedgang varsler en farlig storm, og en feberrød rødme på en babys ansigt betyder, at dets mor vil have en svær nat. Vores sind forsøger automatisk at strukturere de data, vi modtager, på en sådan måde, at det hjælper os med at drage konklusioner ud fra vores observationer og bruge disse konklusioner til at forstå og forudsige begivenheder.

Ideen om tilfældighed er så svær at acceptere, fordi den modsiger det grundlæggende instinkt, der tvinger os til at lede efter rationelle mønstre i verden omkring os. Og ulykker viser os, at sådanne mønstre ikke eksisterer. Det betyder, at tilfældighed grundlæggende begrænser vores intuition, da det beviser, at der er processer, hvis forløb vi ikke helt kan forudsige. Dette koncept er ikke let at acceptere, selvom det er en væsentlig del af universets mekanisme. Uden at forstå, hvad tilfældighed er, befinder vi os i en blindgyde i en perfekt forudsigelig verden, der simpelthen ikke eksisterer uden for vores fantasi.

Jeg vil sige, at først når vi har mestret de tre aforismer – tilfældighedernes tre love – kan vi frigøre os fra vores primitive ønske om forudsigelighed og acceptere Universet som det er, og ikke som vi gerne vil have det.

Tilfældighed eksisterer

Vi bruger enhver mental mekanisme for at undgå at møde tilfældigheder. Vi taler om karma, denne kosmiske equalizer, der forbinder tilsyneladende ikke-relaterede ting. Vi tror på gode og dårlige varsler, på det faktum, at "Gud elsker treenigheden", vi hævder, at vi er påvirket af stjernernes placering, månens faser og planeternes bevægelse. Hvis vi får konstateret kræft, forsøger vi automatisk at skyde skylden på noget (eller nogen).

Men mange begivenheder kan ikke helt forudsiges eller forklares. Katastrofer opstår uforudsigeligt, og både gode og dårlige mennesker lider, inklusive dem, der er født "under en heldig stjerne" eller "under et gunstigt tegn." Nogle gange formår vi at forudsige noget, men tilfældigheder kan nemt afvise selv de mest pålidelige forudsigelser. Bliv ikke overrasket, hvis din overvægtige kæderygende biker-nabo lever længere end dig.

Desuden kan tilfældige begivenheder foregive at være ikke-tilfældige. Selv den mest kloge videnskabsmand kan have svært ved at skelne mellem en reel effekt og en tilfældig udsving. Tilfældigheder kan gøre placebo til magiske kure og harmløse forbindelser til dødelige gifte; og kan endda skabe subatomære partikler ud af ingenting.

Nogle begivenheder kan ikke forudsiges

Hvis du går ind på et hvilket som helst kasino i Las Vegas og ser mængden af ​​spillere ved spillebordene, vil du sandsynligvis se nogen, der tror, ​​han er heldig i dag. Han har vundet flere gange i træk, og hans hjerne forsikrer ham om, at han vil fortsætte med at vinde, så spilleren fortsætter med at satse. Du vil også se en, der lige har mistet. Taberens hjerne råder ham, ligesom vinderens hjerne, også til at fortsætte spillet: da du har tabt så mange gange i træk, betyder det, at nu vil du nok begynde at være heldig. Det ville være dumt at tage afsted nu og gå glip af denne chance.

Men uanset hvad vores hjerne fortæller os, er der ingen mystisk kraft, der kan give os en "heldig streak", eller en universel retfærdighed, der ville sikre, at taberen endelig begynder at vinde. Universet er ligeglad med, om du taber eller vinder; For hende er alle terningekast ens.

Uanset hvor mange kræfter du lægger i at se terningerne rulle igen, og uanset hvor nøje du ser på de spillere, der tror, ​​de har været heldige, får du absolut ingen information om det næste kast. Resultatet af hvert kast er fuldstændig uafhængigt af historikken for tidligere kast. Derfor er enhver forventning om, at man kan opnå en fordel ved at se spillet, dømt til at mislykkes. Sådanne hændelser – uafhængige af noget og helt tilfældige – trodser ethvert forsøg på at finde mønstre, fordi disse mønstre simpelthen ikke eksisterer.

Tilfældighed udgør en barriere for menneskelig opfindsomhed, fordi den viser, at al vores logik, al vores videnskab og ræsonnement ikke fuldt ud kan forudsige universets adfærd. Uanset hvilke metoder du bruger, uanset hvilken teori du opfinder, uanset hvilken logik du anvender til at forudsige resultaterne af et terningkast, vil du tabe fem ud af seks gange. Altid.

Et kompleks af tilfældige hændelser er forudsigeligt, selvom individuelle hændelser ikke er det

Tilfældighed er skræmmende, det begrænser pålideligheden af ​​selv de mest sofistikerede teorier og skjuler visse naturelementer for os, uanset hvor vedholdende vi forsøger at trænge ind i deres essens. Ikke desto mindre kan det ikke argumenteres for, at det tilfældige er et synonym for det uvidende. Dette er slet ikke sandt.

Tilfældighed adlyder sine egne regler, og disse regler gør den tilfældige proces forståelig og forudsigelig.

Loven om store tal siger, at selvom enkelte tilfældige hændelser er fuldstændig uforudsigelige, kan en stor nok stikprøve af disse hændelser være ret forudsigelige - og jo større stikprøven er, jo mere præcis er forudsigelsen. Et andet kraftfuldt matematisk værktøj, centrale grænsesætninger, viser også, at summen af ​​et tilstrækkeligt stort antal stokastiske variable vil have en fordeling tæt på normalen. Med disse værktøjer kan vi forudsige begivenheder ret præcist på lang sigt, uanset hvor kaotiske, mærkelige og tilfældige de måtte være på kort sigt.

Tilfældighedernes regler er så magtfulde, at de danner grundlaget for fysikkens mest uforanderlige og uforanderlige love. Selvom atomerne i en gasbeholder bevæger sig tilfældigt, er deres overordnede adfærd beskrevet af et simpelt sæt ligninger. Selv termodynamikkens love antager, at et stort antal tilfældige begivenheder er forudsigelige; disse love er urokkelige, netop fordi tilfældighederne er så absolutte.

Det er ironisk, at det er uforudsigeligheden af ​​tilfældige begivenheder, der giver os mulighed for at lave vores mest pålidelige forudsigelser.

Skrevet af designer Tyler Sigman, på Gamasutra. Jeg kalder det kærligt artiklen "hår i orkens næsebor", men den gør et ret godt stykke arbejde med at opstille det grundlæggende om sandsynligheder i spil.

Denne uges emne

Indtil nu har næsten alt, hvad vi har talt om, været deterministisk, og i sidste uge kiggede vi nærmere på transitiv mekanik og nedbrød det så meget, som jeg kan forklare. Men indtil nu har vi ikke været opmærksomme på et kæmpe aspekt af mange spil, nemlig de ikke-deterministiske aspekter, med andre ord - tilfældighed. At forstå karakteren af ​​tilfældighed er meget vigtigt for spildesignere, fordi vi skaber systemer, der påvirker spillerens oplevelse i et givet spil, så vi er nødt til at vide, hvordan disse systemer fungerer. Hvis der er tilfældigheder i systemet, skal du forstå natur denne tilfældighed og hvordan man ændrer den for at få de resultater, vi har brug for.

Terning

Lad os starte med noget simpelt: terningkast. Når de fleste mennesker tænker på terninger, tænker de på en sekssidet terning kendt som en d6. Men de fleste spillere har set mange andre terninger: firesidet (d4), ottekantet (d8), tolvsidet (d12), tyvesidet (d20) ... og hvis du ægte nørd, du har måske 30-sidede eller 100-sidede terninger et eller andet sted. Hvis du ikke er bekendt med denne terminologi, står "d" for die, og tallet efter det er, hvor mange sider det har. Hvis Før"d" er et tal, betyder det antal terninger, når de kastes. For eksempel, i spillet Monopol kaster du 2d6.

Så i dette tilfælde er sætningen "terninger" et symbol. Der er et stort antal andre tilfældige talgeneratorer, der ikke er formet som en plastikklump, men udfører den samme funktion som at generere et tilfældigt tal fra 1 til n. En almindelig mønt kan også opfattes som en dihedral terning d2. Jeg så to designs af syvsidede terninger: Den ene af dem lignede en terning, og den anden lignede mere en syvsidet træblyant. Den tetraedriske dreidel (også kendt som titotum) ligner den tetraedriske knogle. Spillefeltet med drejepil i spillet "Chutes & Ladders", hvor resultatet kan være fra 1 til 6, svarer til en sekssidet terning. En tilfældig talgenerator i en computer kan skabe et hvilket som helst tal fra 1 til 19, hvis designeren angiver en sådan kommando, selvom computeren ikke har en 19-sidet terning (generelt vil jeg tale mere om sandsynligheden for, at tal optræder på en computer ind Næste uge). Selvom disse elementer alle ser forskellige ud, er de faktisk ens: du har lige stor chance for at få et af flere udfald.

Terninger har nogle interessante egenskaber, som vi skal kende til. For det første er sandsynligheden for at rulle begge sider den samme (jeg går ud fra, at du kaster en almindelig terning, ikke en med en uregelmæssig geometrisk form). Så hvis du vil vide det gennemsnits værdi kast (også kendt blandt dem, der er interesserede i emnet sandsynlighed som "matematisk forventet værdi"), læg værdierne af alle siderne sammen og divider denne sum med antal ansigter. Det gennemsnitlige kast for en standard sekssidet terning er 1+2+3+4+5+6 = 21, divideret med antallet af sider (6), og gennemsnittet er 21/6 = 3,5. Dette er et særligt tilfælde, fordi vi antager, at alle udfald er lige sandsynlige.

Hvad hvis du har specielle terninger? For eksempel så jeg et spil med en sekssidet terning med specielle klistermærker på siderne: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det opfører sig som en mærkelig tresidet terning, der er mere tilbøjelige til at slå en 1 end en 2, og 2 end 3. Hvad er det gennemsnitlige kast for denne terning? Så 1+1+1+2+2+3 = 10, divideret med 6, er lig med 5/3 eller cirka 1,66. Så hvis du har denne specielle terning, og spillerne kaster tre terninger og derefter lægger resultaterne sammen, ved du, at den samlede boldbane for deres kast vil være omkring 5, og du kan balancere spillet baseret på den antagelse.

Terninger og Uafhængighed

Som jeg allerede har sagt, går vi ud fra den antagelse, at hver side er lige tilbøjelig til at falde ud. Dette afhænger ikke af, hvor mange terninger du kaster. Hvert terningkast uanset, betyder det, at tidligere ruller ikke påvirker resultaterne af efterfølgende. Med nok test vil du helt sikkert varsel en "serie" af tal, såsom at rulle for det meste højere eller lavere tal, eller andre funktioner, og det vil vi tale om senere, men det betyder ikke, at terningerne er "varme" eller "kolde." Hvis du kaster en standard seks-sidet terning og får tallet 6 to gange i træk, er sandsynligheden for, at næste kast resulterer i en 6'er også 1/6. Sandsynligheden øges ikke, fordi terningen "varmes op". Sandsynligheden falder ikke, fordi tallet 6 allerede er kommet op to gange i træk, hvilket betyder, at nu vil en anden side komme op. (Selvfølgelig, hvis du kaster en terning tyve gange og får en 6'er hver gang, er chancen for, at den enogtyvende gang du slår en 6'er ret stor... for det betyder sandsynligvis, at du har de forkerte terninger!) Men hvis du har de rigtige terninger, har hver side samme sandsynlighed for at falde ud, uanset resultaterne af andre kast. Du kan også forestille dig, at hver gang vi skifter terning, så hvis tallet 6 kastes to gange i træk, skal du fjerne den "varme" terning fra spillet og erstatte den med en ny sekssidet terning. Jeg beklager, hvis nogen af ​​jer allerede vidste om dette, men jeg var nødt til at opklare dette, før jeg gik videre.

Hvordan får man terningerne til at rulle mere eller mindre tilfældigt

Lad os tale om, hvordan man får forskellige resultater på forskellige terninger. Uanset om du kun kaster en terning én eller flere gange, vil spillet føles mere tilfældigt, hvis terningen har flere sider. Jo flere gange du kaster en terning, eller jo flere terninger du kaster, jo mere bevæger resultaterne sig mod gennemsnittet. Hvis du f.eks. slår 1d6+4 (dvs. en standard sekssidet terning én gang og lægger 4 til resultatet), vil gennemsnittet være et tal mellem 5 og 10. Hvis du kaster 5d2, vil gennemsnittet også være et tal mellem 5 og 10. Men når man kaster en sekssidet terning, er sandsynligheden for at få tallene 5, 8 eller 10 den samme. Resultatet af at rulle 5d2 vil hovedsageligt være tallene 7 og 8, sjældnere andre værdier. Den samme serie, endda den samme gennemsnitsværdi (7,5 i begge tilfælde), men karakteren af ​​tilfældighederne er forskellig.

Vent et øjeblik. Sagde jeg ikke lige, at terninger hverken varmer eller afkøles? Nu siger jeg, at hvis du kaster mange terninger, har resultaterne af kastene en tendens til at være tættere på gennemsnittet? Hvorfor?

Lad mig forklare. Hvis du holder op en terninger, er sandsynligheden for, at hver side falder ud, den samme. Det betyder, at hvis du kaster mange terninger, vil hver side over en periode dukke op cirka det samme antal gange. Jo flere terninger du kaster, jo mere vil det samlede resultat nærme sig gennemsnittet. Det skyldes ikke, at det tal, der trækkes, "tvinger" et andet tal, der endnu ikke er blevet trukket. Og fordi en lille stribe af at kaste en 6'er (eller en 20'er, eller hvilket som helst tal) i sidste ende ikke betyder noget, hvis du kaster terningerne ti tusinde gange mere og for det meste kommer frem til gennemsnittet... har du måske nu et par tal med høj værdi, men måske senere et par lavværdital og med tiden vil de komme tættere på gennemsnitsværdien. Ikke fordi tidligere kast påvirker terningerne (seriøst, terninger er lavet af plast, hun har ikke hjernen til at tænke: "Åh, det er et stykke tid siden, jeg slog en 2'er"), men fordi det er det, der normalt sker, når man kaster mange terninger. En lille række af gentagne tal vil være næsten usynlige i et stort antal resultater.

At lave beregningerne for et tilfældigt kast med en terning er således ret ligetil, i det mindste hvad angår beregningen af ​​gennemsnitsværdien af ​​kastet. Der er også måder at beregne "hvor tilfældigt" noget er, en måde at sige, at resultaterne af at rulle 1d6+4 vil være "mere tilfældige" end 5d2, for 5d2 vil fordelingen af ​​kast være mere jævn, normalt for dette beregner du standardafvigelsen, og jo større værdien er, jo mere tilfældige vil resultaterne være, men dette kræver flere beregninger, end jeg gerne vil give i dag (jeg vil forklare dette emne senere). Det eneste, jeg beder dig om at vide, er, at jo færre terninger, der kastes, jo større er tilfældighederne. Endnu en tilføjelse til dette emne: Jo flere sider en terning har, jo større er tilfældigheden, da du har flere muligheder.

Sådan beregnes sandsynlighed ved hjælp af tælling

Du undrer dig måske: hvordan kan vi beregne den nøjagtige sandsynlighed for at få et bestemt resultat? Dette er faktisk ret vigtigt for mange spil, for hvis du kaster en terning, er der sandsynligvis en form for optimalt resultat i starten. Svaret er, at vi skal tælle to værdier. Tæl først det maksimale antal udfald, når du kaster en terning (uanset hvad udfaldet er). Tæl derefter antallet af gunstige resultater. At dividere den anden værdi med den første vil give dig den ønskede sandsynlighed. For at få procentdelen skal du gange resultatet med 100.

Eksempler:

Her er et meget simpelt eksempel. Du vil have tallet 4 eller højere til at kaste og kaste den sekssidede terning én gang. Det maksimale antal udfald er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Af disse er 3 resultater (4, 5, 6) gunstige. Det betyder, at for at beregne sandsynligheden dividerer vi 3 med 6 og får 0,5 eller 50%.

Her er et eksempel lidt mere kompliceret. Du vil have et lige tal, når du kaster 2d6. Det maksimale antal udfald er 36 (6 for hver terning, og da den ene terning ikke påvirker den anden, multiplicerer vi 6 resultater med 6 og får 36). Vanskeligheden ved denne type spørgsmål er, at det er nemt at tælle to gange. For eksempel er der faktisk to muligheder for en 3'er på et kast med 2d6: 1+2 og 2+1. De ser ens ud, men forskellen er hvilket nummer der vises på den første terning og hvilket nummer der vises på den anden. Du kan også forestille dig, at terningerne har forskellige farver, så for eksempel i dette tilfælde er den ene terning rød og den anden er blå. Tæl derefter antallet af muligheder for at rulle et lige tal: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Det viser sig, at der er 18 muligheder for et gunstigt resultat ud af 36, ligesom i det foregående tilfælde vil sandsynligheden være lig med 0,5 eller 50%. Måske uventet, men ret præcist.

Monte Carlo simulering

Hvad hvis du har for mange terninger til denne beregning? For eksempel vil du vide, hvad sandsynligheden er for at få i alt 15 eller mere, når du kaster 8d6. Der er MANGE forskellige individuelle resultater for otte terninger, og at tælle dem i hånden ville tage meget lang tid. Selvom vi finder en god løsning til at gruppere forskellige serier af terningkast, vil det stadig tage meget lang tid at tælle. I dette tilfælde er den nemmeste måde at beregne sandsynligheden på ikke at tælle manuelt, men at bruge en computer. Der er to måder at beregne sandsynlighed på på en computer.

Den første metode kan give dig et præcist svar, men det involverer lidt programmering eller scripting. I det væsentlige vil computeren se på hver mulighed, evaluere og tælle det samlede antal iterationer og antallet af iterationer, der matcher det ønskede resultat, og derefter give svarene. Din kode kan se sådan ud:

int wincount=0, totalcount=0;

for (int i=1; i<=6; i++) {

for (int j=1; j<=6; j++) {

for (int k=1; k<=6; k++) {

... // indsæt flere løkker her

hvis (i+j+k+… >= 15) (

float sandsynlighed = vindantal/totaltal;

Hvis du ikke ved så meget om programmering og bare gerne vil have et omtrentligt svar frem for et præcist svar, kan du simulere denne situation i Excel, hvor du ruller 8d6 et par tusinde gange og får svaret. For at rulle 1d6 i Excel skal du bruge følgende formel:

GULV(RAND()*6)+1

Der er et navn for situationen, når du ikke kender svaret og bare prøver mange gange - Monte Carlo simulering, og dette er en god løsning at falde tilbage på, når du forsøger at beregne sandsynligheden, og det er for kompliceret. Det fantastiske er, at vi i dette tilfælde ikke behøver at forstå, hvordan matematikken fungerer, og vi ved, at svaret vil være "temmelig godt", fordi, som vi allerede ved, jo flere kast, jo tættere kommer resultatet på gennemsnit.

Hvordan man kombinerer uafhængige forsøg

Hvis du spørger om flere gentagne, men uafhængige forsøg, påvirker resultatet af et kast ikke resultaterne af andre kast. Der er en anden enklere forklaring på denne situation.

Hvordan skelner man mellem noget afhængigt og uafhængigt? Grundlæggende, hvis du kan isolere hvert kast af en terning (eller serie af kast) som en separat begivenhed, så er den uafhængig. For eksempel, hvis vi vil have en total på 15, når vi kaster 8d6, kan denne sag ikke opdeles i flere uafhængige terningkast. Da du tæller summen af ​​værdierne af alle terningerne for resultatet, påvirker resultatet, der kommer op på den ene terning, de resultater, der skulle komme op på den anden terning, for kun ved at lægge alle værdierne sammen, vil du få det ønskede resultat.

Her er et eksempel på uafhængige kast: Du spiller et terningspil, og du kaster sekssidede terninger flere gange. For at blive i spillet, skal du kaste et nummer 2 eller højere på dit første kast. For det andet kast - 3 eller højere. Den tredje kræver en 4 eller højere, den fjerde kræver en 5 eller højere, den femte kræver en 6. Hvis alle fem kast er succesfulde, vinder du. I dette tilfælde er alle kast uafhængige. Ja, hvis et kast mislykkes, vil det påvirke udfaldet af hele spillet, men et kast påvirker ikke et andet kast. For eksempel, hvis dit andet terningkast er meget vellykket, påvirker det ikke sandsynligheden for, at de næste kast vil være lige så vellykkede. Derfor kan vi overveje sandsynligheden for hvert terningkast separat.

Hvis du har separate, uafhængige sandsynligheder og vil vide, hvad sandsynligheden er for det Alle begivenheder vil forekomme, bestemmer du hver enkelt sandsynlighed og multiplicerer dem. En anden måde: hvis du bruger konjunktionen "og" til at beskrive flere forhold (f.eks. hvad er sandsynligheden for, at en tilfældig hændelse finder sted Og en anden uafhængig tilfældig hændelse?), beregne de individuelle sandsynligheder og gange dem.

Det er lige meget, hvad du synes aldrig Tilføj ikke uafhængige sandsynligheder. Dette er en almindelig fejl. For at forstå, hvorfor dette er forkert, skal du forestille dig en situation, hvor du kaster en 50/50-mønt og vil vide, hvad sandsynligheden er for at få hoveder to gange i træk. Hver side har 50 % chance for at lande, så hvis du lægger disse to sandsynligheder sammen, får du 100 % chance for at få hoveder, men vi ved, at det ikke er sandt, fordi det kunne have været haler to gange i træk. Ganger man i stedet de to sandsynligheder, får man 50%*50% = 25%, hvilket er det rigtige svar til at beregne sandsynligheden for at få hoveder to gange i træk.

Eksempel

Lad os gå tilbage til det sekssidede terningspil, hvor du først skal kaste et tal højere end 2, derefter højere end 3, og så videre. til 6. Hvad er chancerne for, at i en given serie på 5 kast vil alle udfald være gunstige?

Som nævnt ovenfor er disse uafhængige forsøg, så vi beregner sandsynligheden for hvert enkelt kast og gange dem derefter. Sandsynligheden for, at resultatet af det første kast vil være gunstigt er 5/6. Anden - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjerde er 2/6, den femte er 1/6. Multiplicer alle disse resultater og du får omkring 1,5 %... Så det er ret sjældent at vinde i dette spil, så hvis du tilføjer dette element til dit spil, har du brug for en ret stor jackpot.

Negation

Her er et andet nyttigt tip: nogle gange er det svært at beregne sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, men det er nemmere at afgøre, hvad chancerne er for, at en hændelse finder sted. vil ikke komme.

Lad os for eksempel sige, at vi har et andet spil, og du kaster 6d6, og hvis mindst en gang Hvis du slår en 6'er, vinder du. Hvad er sandsynligheden for at vinde?

I dette tilfælde skal du overveje mange muligheder. Måske dukker et tal op, 6, dvs. en af ​​terningerne vil vise tallet 6, og de andre vil have tal fra 1 til 5, og der er 6 muligheder for hvilke terninger der viser tallet 6. Så kan du få tallet 6 på to terninger, eller på tre, eller på endnu mere, og hver gang skal vi lave en separat beregning, så det er nemt at blive forvirret.

Men der er en anden måde at løse dette problem på, lad os se på det fra den anden side. Du du vil tabe Hvis ikke på nogen terningerne kaster ikke tallet 6. I dette tilfælde har vi seks uafhængige forsøg, sandsynligheden for hver af dem er 5/6 (terningen kan kaste et hvilket som helst andet tal undtagen 6). Gang dem, og du får omkring 33%. Således er sandsynligheden for at tabe 1 ud af 3.

Derfor er sandsynligheden for at vinde 67% (eller 2 til 3).

Fra dette eksempel er det indlysende hvis du beregner sandsynligheden for, at en begivenhed ikke indtræffer, skal du trække resultatet fra 100 %. Hvis sandsynligheden for at vinde er 67 %, så er sandsynligheden tabe — 100% minus 67 % eller 33 %. Og omvendt. Hvis det er svært at beregne én sandsynlighed, men let at beregne det modsatte, skal du beregne det modsatte og derefter trække fra 100%.

Vi kombinerer betingelserne for én uafhængig test

Jeg sagde lige ovenfor, at du aldrig bør tilføje sandsynligheder på tværs af uafhængige forsøg. Er der nogle tilfælde når Kan opsummere sandsynligheden? - Ja, i en speciel situation.

Hvis du vil beregne sandsynligheden for flere ikke-relaterede gunstige udfald på et enkelt forsøg, skal du sammenlægge sandsynligheden for hvert gunstigt resultat. For eksempel er sandsynligheden for at rulle tallene 4, 5 eller 6 på 1d6 beløb sandsynligheden for at få tallet 4, sandsynligheden for at få tallet 5 og sandsynligheden for at få tallet 6. Du kan også forestille dig denne situation som følger: hvis du bruger ledsætningen "eller" i et spørgsmål om sandsynlighed (f.eks. , hvad er sandsynligheden for at eller forskelligt udfald af en tilfældig hændelse?), udregn de individuelle sandsynligheder og opsummer dem.

Bemærk venligst, at når du summerer alle mulige resultater spil, skal summen af ​​alle sandsynligheder være lig med 100%. Hvis summen ikke svarer til 100 %, er din udregning lavet forkert. Dette er en god måde at dobbelttjekke dine beregninger på. For eksempel analyserede du sandsynligheden for at få alle kombinationer i poker, hvis du lægger alle de opnåede resultater sammen, skulle du få præcis 100% (eller i det mindste en værdi ret tæt på 100%, hvis du bruger en lommeregner, kan du have en lille afrundingsfejl , men hvis du lægger de nøjagtige tal sammen manuelt, bør alt lægges sammen). Hvis summen ikke stemmer overens, betyder det, at du højst sandsynligt ikke har taget højde for nogle kombinationer, eller du har beregnet sandsynligheden for nogle kombinationer forkert, og så skal du dobbelttjekke dine beregninger.

Ulige sandsynligheder

Indtil nu har vi antaget, at hver side af terningen rulles ud med samme frekvens, fordi det er sådan, terningen fungerer. Men nogle gange står du over for en situation, hvor forskellige udfald er mulige, og de forskellige falde chancer. For eksempel, i en af ​​udvidelserne af kortspillet "Nuclear War" er der et spillefelt med en pil, som resultatet af en raketopsendelse afhænger af: dybest set giver det normal skade, stærkere eller svagere, men nogle gange er skaden fordoblet eller tredoblet, eller en raket eksploderer på affyringsrampen og gør dig ondt, eller der opstår en anden begivenhed. I modsætning til piletavlen i "Chutes & Ladders" eller "A Game of Life" har spillepladen i "Nuclear War" ulige resultater. Nogle sektioner af spillefeltet er større, og pilen stopper meget oftere på dem, mens andre sektioner er meget små, og pilen stopper sjældent på dem.

Så ved første øjekast ser knoglen sådan ud: 1, 1, 1, 2, 2, 3; vi har allerede talt om det, det er noget i retning af en vægtet 1d3, så vi skal opdele alle disse sektioner i lige store dele, finde den mindste måleenhed, som alt er et multiplum af, og derefter repræsentere situationen som d522 (eller en anden ), hvor mange terninger vil repræsentere den samme situation, men med flere resultater. Og dette er en måde at løse problemet på, og det er teknisk muligt, men der er en nemmere måde.

Lad os gå tilbage til vores standard sekssidede terninger. Vi sagde, at for at beregne gennemsnitsværdien af ​​et kast for en normal terning, skal du summere værdierne på alle siderne og dividere dem med antallet af sider, men hvordan Nemlig er der en beregning i gang? Der er en anden måde at udtrykke dette på. For en sekssidet terning er sandsynligheden for, at hver side kastes nøjagtigt 1/6. Nu formerer vi os Exodus hvert ansigt på sandsynlighed af dette resultat (i dette tilfælde 1/6 for hver side), så opsummerer vi de resulterende værdier. Således summeres (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) , får vi samme resultat (3,5) som i beregningen ovenfor. Faktisk tæller vi på denne måde hver gang: vi multiplicerer hvert udfald med sandsynligheden for det resultat.

Kan vi lave den samme beregning for pilen på spillefeltet i spillet "Nuclear War"? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi opsummerer alle de fundne resultater, får vi gennemsnitsværdien. Alt vi skal gøre er at beregne sandsynligheden for hvert udfald for pilen på spillepladen og gange med resultatet.

Et andet eksempel

Denne metode til at beregne gennemsnittet ved at gange hvert udfald med dets individuelle sandsynlighed er også velegnet, hvis udfaldene er lige sandsynlige, men har forskellige fordele, for eksempel hvis du kaster en terning og vinder mere på nogle sider end andre. Lad os for eksempel tage et kasinospil: du placerer et bet og kaster 2d6. Hvis du rammer tre tal med lav værdi (2, 3, 4) eller fire tal med høj værdi (9, 10, 11, 12), vil du vinde et beløb svarende til din indsats. Tallene med den laveste og højeste værdi er specielle: Hvis du kaster 2 eller 12, vinder du dobbelt så meget end dit bud. Hvis et andet tal kastes (5, 6, 7, 8), mister du din indsats. Dette er et ret simpelt spil. Men hvad er sandsynligheden for at vinde?

Lad os starte med at tælle, hvor mange gange du kan vinde:

• Det maksimale antal udfald, når man kaster 2d6 er 36. Hvad er antallet af gunstige udfald?
• Der er 1 mulighed for at slå en toer og 1 mulighed for at slå en tolver.
• Der er 2 muligheder for at rulle tre og elleve.
• Der er 3 muligheder for at slå en firer og 3 muligheder for at slå en tier.
• Der er 4 muligheder for at slå en ni.
• Efter at have opsummeret alle mulighederne får vi antallet af gunstige resultater 16 ud af 36.

Så under normale forhold vil du vinde 16 gange ud af 36 mulige... sandsynligheden for at vinde er lidt mindre end 50%.

Men i to tilfælde ud af disse 16 vil du vinde dobbelt så meget, dvs. Det er som at vinde to gange! Hvis du spiller dette spil 36 gange, satser $1 hver gang, og hvert af alle mulige udfald kommer op én gang, vil du vinde i alt $18 (du vil faktisk vinde 16 gange, men to af disse gange tæller som to gevinster). Hvis du spiller 36 gange og vinder $18, betyder det så ikke, at det er en lige chance?

Tag dig god tid. Hvis du tæller antallet af gange, du kan tabe, får du 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 gange og satser $1 hver gang, vinder du i alt $18, hvis du rammer alle de vindende valg... men du vil miste det samlede beløb på $20, hvis alle 20 ugunstige resultater opstår! Som et resultat vil du komme lidt bagud: du taber i gennemsnit $2 netto for hver 36 spil (du kan også sige, at du i gennemsnit taber 1/18 af en dollar om dagen). Nu ser du, hvor nemt det er at lave en fejl i dette tilfælde og beregne sandsynligheden forkert!

Omarrangering

Hidtil har vi antaget, at rækkefølgen af ​​tallene, når man kaster terninger, ikke har nogen betydning. At rulle 2+4 er det samme som at rulle 4+2. I de fleste tilfælde tæller vi manuelt antallet af gunstige resultater, men nogle gange er denne metode upraktisk, og det er bedre at bruge en matematisk formel.

Et eksempel på denne situation er fra terningespillet "Farkle". For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig og får alle de mulige resultater 1-2-3-4-5-6 ("lige"), vil du modtage en stor bonus. Hvad er sandsynligheden for, at dette sker? I dette tilfælde er der mange muligheder for at få denne kombination!

Løsningen er som følger: en af ​​terningerne (og kun en) skal have tallet 1! Hvor mange måder kan tallet 1 kastes på én terning? Seks, da der er 6 terninger, og enhver af dem kan lande tallet 1. Tag derfor en terning og læg den til side. Nu skal en af ​​de resterende terninger kaste tallet 2. Der er fem muligheder for dette. Tag endnu en terning og læg den til side. Så kan fire af de resterende terninger lande en 3'er, tre af de resterende terninger kan lande en 4'er, to kan lande en 5'er, og du ender med en terning, der skulle lande en 6'er (i sidstnævnte tilfælde er der kun en terning og der er intet valg). For at beregne antallet af gunstige udfald for at slå en straight, multiplicerer vi alle de forskellige, uafhængige muligheder: 6x5x4x3x2x1 = 720 - der ser ud til at være et ret stort antal muligheder for at denne kombination kan komme op.

For at beregne sandsynligheden for at få en straight, skal vi dividere 720 med antallet af alle mulige udfald for at rulle 6d6. Hvad er antallet af alle mulige udfald? Hver terning kan have 6 sider, så vi ganger 6x6x6x6x6x6 = 46656 (tallet er meget højere!). Del 720/46656 og få en sandsynlighed på cirka 1,5%. Hvis du designede dette spil, ville dette være nyttigt for dig at vide, så du kunne oprette et scoringssystem i overensstemmelse hermed. Nu forstår vi, hvorfor du i Farkle får så stor en bonus, hvis du får en straight, for denne situation er ret sjælden!

Resultatet er også interessant af en anden grund. Eksemplet viser, hvor sjældent der i virkeligheden opstår et resultat svarende til sandsynlighed i en kort periode. Selvfølgelig, hvis vi kastede flere tusinde terninger, ville forskellige sider af terningerne komme op ret ofte. Men når vi kun kaster seks terninger, næsten aldrig Det sker ikke, at hvert af ansigterne falder ud! Baseret på dette bliver det klart, at det er dumt at forvente, at der nu dukker et andet ansigt op, som endnu ikke er faldet "fordi vi ikke har rullet tallet 6 i lang tid, hvilket betyder, at det vil falde nu."

Hør, din tilfældige talgenerator er ødelagt...

Dette bringer os til en almindelig misforståelse om sandsynlighed: antagelsen om, at alle udfald forekommer med samme frekvens. over en kort periode, hvilket faktisk ikke er tilfældet. Hvis vi kaster terninger flere gange, vil hyppigheden af, at hver side falder ud, ikke være den samme.

Hvis du nogensinde har arbejdet på et online spil med nogen form for tilfældig talgenerator før, er du højst sandsynligt stødt på en situation, hvor en spiller skriver til teknisk support for at sige, at din tilfældige talgenerator er ødelagt og ikke viser tilfældige tal. og han kom til denne konklusion, fordi han lige dræbte 4 monstre i træk og modtog 4 nøjagtig de samme belønninger, og disse belønninger skulle kun vises 10% af tiden, så dette Næsten aldrig burde ikke finde sted, hvilket betyder dette naturligvis at din tilfældige talgenerator er ødelagt.

Du laver en matematisk beregning. 1/10*1/10*1/10*1/10 er lig med 1 ud af 10.000, hvilket betyder, at det er ret sjældent. Og det er præcis, hvad spilleren forsøger at fortælle dig. Er der et problem i dette tilfælde?

Det hele afhænger af omstændighederne. Hvor mange spillere er der i øjeblikket på din server? Lad os sige, at du har et ret populært spil, og at 100.000 mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere kan dræbe fire monstre i træk? Alt er muligt, flere gange om dagen, men lad os antage, at halvdelen af ​​dem bare handler med forskellige genstande på auktioner eller chatter på RP-servere eller laver andre aktiviteter i spillet, så kun halvdelen af ​​dem er faktisk på jagt efter monstre. Hvad er sandsynligheden for det til nogen vil den samme belønning dukke op? I denne situation kan du forvente, at den samme belønning i det mindste kan dukke op flere gange om dagen!

Det er i øvrigt derfor, det ser ud som om hvert par uger en eller anden vinder i lotteriet, selvom det er nogen aldrig Det er ikke dig eller dine venner. Hvis der spiller nok folk hver uge, er chancerne for, at der i det mindste vil være det en heldig... men hvis Du Hvis du spiller i lotteriet, er sandsynligheden for, at du vinder, mindre end sandsynligheden for, at du bliver inviteret til at arbejde på Infinity Ward.

Kort og afhængighed

Vi har diskuteret uafhængige begivenheder, såsom at kaste en terning, og kender nu mange kraftfulde værktøjer til at analysere tilfældigheder i mange spil. At beregne sandsynlighed er lidt mere kompliceret, når det kommer til at trække kort fra et bun, fordi hvert kort vi trækker påvirker de resterende kort i bunken. Hvis du har et standard kortspil med 52 kort, og du tager f.eks. 10 hjerter ud og vil vide sandsynligheden for, at det næste kort er af samme farve, er sandsynligheden ændret, fordi du allerede har fjernet et kort i kuløren af hjerter fra dækket. Hvert kort, du fjerner, ændrer sandsynligheden for det næste kort i bunken. Da den forrige hændelse i dette tilfælde påvirker den næste, kalder vi denne sandsynlighed afhængig.

Bemærk venligst, at når jeg siger "kort", mener jeg nogen spilmekanik, hvor der er et sæt genstande, og du fjerner en af ​​genstandene uden at erstatte den, et "kortspil" i dette tilfælde er analogt med en pose chips, hvorfra du fjerner en chip og ikke erstatter den, eller en urne, hvorfra du tegner farvede kugler (jeg har faktisk aldrig set et spil, hvor der var tegnet en urne med farvede kugler, men det ser ud til, at sandsynlighedslærere foretrækker dette eksempel af en eller anden grund).

Afhængighedsegenskaber

Jeg vil gerne præcisere, at når det kommer til kort, går jeg ud fra, at du trækker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver af disse handlinger er en vigtig egenskab.

Hvis jeg havde et spil med f.eks. seks kort med tallene 1 til 6, og jeg blandede dem og tog et kort ud og derefter blandede alle seks kort igen, ville det svare til at kaste en sekssidet terning; ét resultat påvirker ikke efterfølgende. Kun hvis jeg trækker kort og ikke erstatter dem, vil resultatet af, at jeg trækker et kort med tallet 1 øge sandsynligheden for, at næste gang jeg trækker et kort med tallet 6 (sandsynligheden vil stige, indtil jeg til sidst trækker det kort eller indtil jeg blander kortene).

Det faktum, at vi se på kortene er også vigtigt. Hvis jeg fjerner et kort fra bunken og ikke ser på det, har jeg ingen yderligere information, og sandsynligheden ændres faktisk ikke. Dette kan lyde kontraintuitivt. Hvordan kan blot vende et kort på magisk vis ændre oddsene? Men det er muligt, fordi du kan beregne sandsynligheden for ukendte varer bare ud fra, hvad du du ved. For eksempel, hvis du blander et standardspil kort og afslører 51 kort, og ingen af ​​dem er en dronning af køller, vil du vide med 100 % sikkerhed, at det resterende kort er en kløverdronning. Hvis du blander et standard sæt kort og trækker 51 kort, på trods af på dem, så vil sandsynligheden for, at det resterende kort er en dronning af køller stadig være 1/52. Når du åbner hvert kort, får du flere oplysninger.

At beregne sandsynligheden for afhængige hændelser følger de samme principper som for uafhængige hændelser, bortset fra at det er lidt mere kompliceret, fordi sandsynligheden ændres, når du afslører kort. Så du skal gange mange forskellige værdier i stedet for at gange den samme værdi. Hvad dette i virkeligheden betyder er, at vi skal kombinere alle de beregninger, vi lavede, i én kombination.

Eksempel

Du blander et standardkort med 52 kort og trækker to kort. Hvad er sandsynligheden for, at du trækker et par? Der er flere måder at beregne denne sandsynlighed på, men den enkleste er måske som følger: Hvad er sandsynligheden for, at hvis du tager ét kort, vil du ikke være i stand til at tage et par ud? Denne sandsynlighed er nul, så det er ligegyldigt hvilket første kort du trækker, så længe det matcher det andet. Uanset hvilket kort vi trækker først, har vi stadig en chance for at trække et par, så sandsynligheden for at vi kan trække et par efter at have trukket det første kort er 100%.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første? Der er 51 kort tilbage i bunken, og 3 af dem matcher det første kort (faktisk ville der være 4 ud af 52, men du fjernede allerede et af de matchende kort, da du tog det første kort!), så sandsynligheden er 1 /17. (Så næste gang manden, der sidder over for dig, og spiller Texas Hold'em, siger: "Fedt, endnu et par? Jeg føler mig heldig i dag," vil du vide, at der er en ret god chance for, at han bluffer.)

Hvad hvis vi tilføjer to jokere, og nu har vi 54 kort i bunken, og vi vil vide, hvad sandsynligheden er for at trække et par? Det første kort kan være en joker, og så vil bunken kun indeholde en kort, ikke tre, som vil matche. Hvordan finder man sandsynligheden i dette tilfælde? Vi vil dividere sandsynligheden og gange hver mulighed.

Vores første kort kunne være en joker eller et andet kort. Sandsynligheden for at trække en joker er 2/54, sandsynligheden for at trække et andet kort er 52/54.

Hvis det første kort er en joker (2/54), så er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første, 1/53. Multiplicere værdierne (vi kan gange dem, fordi disse er separate begivenheder, og vi ønsker begge hændelser fandt sted), og vi får 1/1431 - mindre end en tiendedel af en procent.

Hvis du trækker et andet kort først (52/54), er sandsynligheden for at matche det andet kort 3/53. Vi multiplicerer værdierne og får 78/1431 (lidt mere end 5,5%).

Hvad gør vi med disse to resultater? De krydser hinanden ikke, og vi vil gerne vide sandsynligheden alle sammen af dem, så vi summerer værdierne! Vi får et slutresultat på 79/1431 (stadig ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøjagtigheden af ​​svaret, kunne vi beregne sandsynligheden for alle de andre mulige udfald: at trække en joker og ikke matche det andet kort, eller trække et andet kort og ikke matche det andet kort, og tilføje dem alt op med sandsynligheden for at vinde, ville vi få præcis 100%. Jeg vil ikke give matematikken her, men du kan prøve matematikken for at dobbelttjekke.

Monty Hall Paradox

Dette bringer os til et ret berømt paradoks, der ofte forvirrer mange mennesker - Monty Hall-paradokset. Paradokset er opkaldt efter værten for tv-programmet "Let's Make a Deal" Monty Hall. Hvis du aldrig har set dette show, var det det modsatte af tv-showet "The Price Is Right." I "The Price Is Right" er værten (værten plejede at være Bob Barker, nu er det... Drew Carey? Anyway...) din ven. Han har lyst så du kan vinde penge eller fede præmier. Det forsøger at give dig alle muligheder for at vinde, så længe du kan gætte, hvor meget de varer, som sponsorerne har købt, faktisk er værd.

Monty Hall opførte sig anderledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Hans mål var at få dig til at ligne en idiot på nationalt tv. Hvis du var med i showet, var han din modstander, du spillede mod ham, og oddsene var i hans favør. Måske er jeg for hård, men når chancen for at blive valgt som deltager virker direkte proportional med, om du har et latterligt jakkesæt på, kommer jeg til den slags konklusioner.

Men et af showets mest berømte memes var dette: Der var tre døre foran dig, og de hed dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kunne vælge én dør... gratis! Bag en af ​​disse døre var der en storslået præmie, for eksempel en ny bil. Der var ingen præmier bag de andre døre, disse to døre var uden værdi. Deres mål var at ydmyge dig, og så er det ikke, at der overhovedet ikke var noget bag dem, der var noget bag dem, der så dumt ud, som om der var en ged bag dem eller en kæmpe tube tandpasta eller noget... noget, hvad præcist skete Ikke en ny personbil.

Du var ved at vælge en af ​​dørene, og Monty var ved at åbne den for at fortælle dig, om du vandt eller ej... men vent, før vi ved det, lad os se på en af de der døren dig ikke valgt. Da Monty ved hvilken dør præmien er bagved, og der kun er én præmie og to døre, som du ikke har valgt, uanset hvad, kan han altid åbne en dør, der ikke har en præmie bag sig. “Vælger du dør nummer 3? Så lad os åbne dør nr. 1 for at vise, at der ikke var nogen præmie bag den." Og nu, af generøsitet, tilbyder han dig chancen for at bytte din valgte dør nummer 3 med det, der ligger bag dør nummer 2. Det er på dette tidspunkt, at spørgsmålet om sandsynlighed opstår: øger det at kunne vælge en anden dør din sandsynlighed for at vinde, eller mindske det, eller forbliver det det samme? Hvad tænker du?

Korrekt svar: muligheden for at vælge en anden dør stiger sandsynlighed for at vinde fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har stødt på dette paradoks før, tænker du sikkert: vent, ændrede vi på magisk vis sandsynligheden ved at åbne en dør? Men som vi allerede har set i eksemplet med kortene ovenfor, er dette Nemlig hvad sker der, når vi får mere information. Det er indlysende, at sandsynligheden for at vinde, når du først vælger, er 1/3, og det tror jeg, at alle vil være enige i. Når en dør går af, ændrer det slet ikke på sandsynligheden for at vinde for førstevalget, sandsynligheden er stadig 1/3, men det betyder, at sandsynligheden for at Andet døren er nu 2/3 korrekt.

Lad os se på dette eksempel fra et andet perspektiv. Du vælger en dør. Sandsynligheden for at vinde er 1/3. Jeg foreslår, at du skifter to andre døre, hvilket er, hvad Monty Hall faktisk foreslår at gøre. Selvfølgelig åbner han en af ​​dørene for at vise, at der ikke ligger nogen præmie bag, men han Altid kan gøre dette, så det ændrer ikke rigtigt noget. Selvfølgelig vil du gerne vælge en anden dør!

Hvis du ikke er helt klar over dette problem og har brug for en mere overbevisende forklaring, skal du klikke på dette link for at blive ført til en fantastisk lille Flash-applikation, der giver dig mulighed for at udforske dette paradoks mere detaljeret. Du kan spille startende med omkring 10 døre og derefter gradvist rykke op til et spil med tre døre; Der er også en simulator, hvor du kan vælge et hvilket som helst antal døre fra 3 til 50 og spille eller køre flere tusinde simuleringer og se, hvor mange gange du ville vinde, hvis du spillede.

En bemærkning fra højere matematiklærer og spilbalancespecialist Maxim Soldatov, som Schreiber selvfølgelig ikke havde, men uden hvilken det er ret svært at forstå denne magiske transformation:

Du vælger en dør, en af ​​tre, sandsynligheden for at "vinde" er 1/3. Nu har du 2 strategier: skift efter at have åbnet den forkerte dør, valg eller ej. Hvis du ikke ændrer dit valg, så vil sandsynligheden forblive 1/3, da valget kun sker i første fase, og du skal gætte med det samme, men hvis du ændrer, så kan du vinde, hvis du først vælger det forkerte dør (så åbner de en anden forkert, forbliver trofaste, du skifter mening og tager hende)
Sandsynligheden for at vælge den forkerte dør i starten er 2/3, så det viser sig, at du ved at ændre din beslutning gør sandsynligheden for at vinde 2 gange større

Og igen om Monty Hall-paradokset

Med hensyn til selve showet vidste Monty Hall dette, for selvom hans konkurrenter ikke var gode til matematik, Han forstår det godt. Her er hvad han gjorde for at ændre spillet lidt. Hvis du vælger en dør, bag hvilken der var en præmie, hvis sandsynlighed er 1/3, Altid tilbudt dig muligheden for at vælge en anden dør. Når alt kommer til alt, valgte du en personbil, og så bytter du den til en ged, og du vil se ret dum ud, hvilket er præcis, hvad han har brug for, fordi han er en slags ond fyr. Men hvis du vælger døren bag hvilken der vil ikke være nogen præmie, kun i halv I sådanne tilfælde vil han bede dig om at vælge en anden dør, og i andre tilfælde vil han blot vise dig din nye ged, og du vil forlade stedet. Lad os analysere dette nye spil, hvor Monty Hall kan vælge tilbyde dig chancen for at vælge en anden dør eller ej.

Lad os sige, at han følger denne algoritme: hvis du vælger en dør med en præmie, tilbyder han dig altid muligheden for at vælge en anden dør, ellers er der en 50/50 chance for, at han vil tilbyde dig at vælge en anden dør eller give dig en ged. Hvad er din sandsynlighed for at vinde?

I en af ​​de tre muligheder vælger du straks den låge, som præmien er placeret bag, og oplægsholderen inviterer dig til at vælge en anden låge.

Af de resterende to muligheder ud af tre (du vælger i første omgang en dør uden præmie) vil oplægsholderen i halvdelen af ​​tilfældene tilbyde dig at vælge en anden dør, og i den anden halvdel af tilfældene - ikke. Halvdelen af ​​2/3 er 1/3, dvs. i ét tilfælde ud af tre får du en ged, i ét tilfælde ud af tre vælger du den forkerte dør, og værten vil bede dig om at vælge en anden, og i ét tilfælde ud af tre vælger du den rigtige dør og han vil bede dig om at vælge en anden dør.

Hvis oplægsholderen tilbyder at vælge en anden dør, ved vi allerede, at det ene tilfælde ud af tre, da han giver os en ged, og vi går, ikke skete. Dette er nyttig information, fordi det betyder, at vores chancer for at vinde har ændret sig. I to ud af tre tilfælde, når vi har mulighed for at vælge, betyder det i det ene tilfælde, at vi har gættet rigtigt, og i det andet, at vi har gættet forkert, så hvis vi overhovedet blev tilbudt muligheden for at vælge, betyder det, at sandsynligheden for at vi vinder er 50/50, og der er ingen matematisk fordele, forbliv med dit valg eller vælg en anden dør.

Ligesom poker er det nu et psykologisk spil, ikke et matematisk. Monty gav dig et valg, fordi han synes, du er en sludder, der ikke ved, at det at vælge den anden dør er den "rigtige" beslutning, og at du stædigt vil holde fast i dit valg, fordi psykologisk er situationen, da du valgte bil, og så mistede den, sværere? Eller tror han, at du er klog og vælger en anden dør, og han tilbyder dig denne chance, fordi han ved, at du gættede rigtigt i første omgang, og at du vil blive fanget og fanget? Eller måske er han ukarakteristisk venlig over for sig selv og presser dig til at gøre noget i din personlige interesse, fordi han ikke har givet en bil væk i et stykke tid, og hans producere fortæller ham, at publikum er ved at kede sig, og at han hellere må give en bil væk. stor præmie snart, så vurderingerne ikke falder?

På denne måde formår Monty at tilbyde valgmuligheder (nogle gange) og stadig holde den samlede sandsynlighed for at vinde på 1/3. Husk at sandsynligheden for at du taber direkte er 1/3. Sandsynligheden for, at du gætter rigtigt med det samme, er 1/3, og 50% af disse gange vinder du (1/3 x 1/2 = 1/6). Chancen for, at du først gætter forkert, men så har en chance for at vælge en anden dør, er 1/3, og 50 % af disse gange vil du vinde (også 1/6). Læg to uafhængige muligheder for at vinde sammen og du får en sandsynlighed på 1/3, så uanset om du holder fast i dit valg eller vælger en anden dør, er din samlede sandsynlighed for at vinde gennem hele spillet 1/3... sandsynligheden bliver ikke større end i en situation, hvor du ville gætte døren, og oplægsholderen ville vise dig, hvad der er bag denne dør, uden mulighed for at vælge en anden dør! Så meningen med at tilbyde muligheden for at vælge en anden dør er ikke at ændre sandsynligheden, men at gøre beslutningsprocessen sjovere at se på tv.

Det er i øvrigt en af ​​grundene til, at poker kan være så interessant: I de fleste formater, mellem runder, når der foretages væddemål (for eksempel floppet, turn og river i Texas Hold'em), afsløres kort gradvist, og hvis du i begyndelsen af ​​spillet har én sandsynlighed for at vinde, så ændres denne sandsynlighed efter hver indsatsrunde, når der afsløres flere kort.

Dreng og pige paradoks

Dette bringer os til et andet berømt paradoks, der normalt undrer alle - drenge-pige-paradokset. Det eneste, jeg skriver om i dag, som ikke er direkte relateret til spil (selvom jeg gætter på, at det bare betyder, at jeg skal opfordre dig til at skabe relevant spilmekanik). Det er mere et puslespil, men interessant, og for at løse det skal du forstå betinget sandsynlighed, som vi talte om ovenfor.

Problem: Jeg har en ven med to børn, mindst en barnet er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn Samme pige? Lad os antage, at der i enhver familie er en 50/50 chance for at få en pige eller en dreng, og det gælder for hvert barn (faktisk har nogle mænd mere sæd med et X-kromosom eller et Y-kromosom, så sandsynligheden ændres lidt, hvis du ved, at et barn er en pige, er sandsynligheden for at få en pige lidt højere, derudover er der andre tilstande, for eksempel hermafroditisme, men for at løse dette problem vil vi ikke tage højde for dette og antage, at fødslen af ​​et barn er en uafhængig begivenhed, og sandsynligheden for at få en dreng eller piger er den samme).

Da vi taler om en 1/2 chance, ville vi intuitivt forvente, at svaret sandsynligvis ville være 1/2 eller 1/4, eller et andet rundt tal, der er et multiplum af to. Men svaret er: 1/3 . Vent, hvorfor?

Vanskeligheden her er, at den information, vi har, reducerer antallet af muligheder. Antag, at forældrene er fans af Sesame Street og, uanset om barnet er født som en dreng eller en pige, navngivet deres børn A og B. Under normale forhold er der fire lige så sandsynlige muligheder: A og B er to drenge, A og B. B er to piger, A er en dreng og B er en pige, A er en pige og B er en dreng. Siden vi ved det mindst en barnet er en pige, kan vi eliminere muligheden for, at A og B er to drenge, så vi står tilbage med tre (stadig lige sandsynlige) muligheder. Hvis alle muligheder er lige sandsynlige, og der er tre af dem, ved vi, at sandsynligheden for hver af dem er 1/3. Kun i en af ​​disse tre muligheder er begge børn piger, så svaret er 1/3.

Og igen om paradokset med en dreng og en pige

Løsningen på problemet bliver endnu mere ulogisk. Forestil dig, at jeg fortæller dig, at min ven har to børn og et barn - pige, der blev født i tirsdags. Lad os antage, at under normale forhold er sandsynligheden for, at et barn bliver født på en af ​​ugens syv dage, den samme. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige? Du tror måske, at svaret stadig ville være 1/3; Hvad er betydningen af ​​tirsdag? Men selv i dette tilfælde svigter intuitionen os. Svar: 13/27 , hvilket ikke kun er uintuitivt, det er meget mærkeligt. Hvad er der galt I dette tilfælde?

Tirsdag ændrer faktisk sandsynligheden, fordi vi ikke ved det Hvilken baby blev født i tirsdags eller måske to børn født tirsdag. I dette tilfælde bruger vi samme logik som ovenfor, vi tæller alle mulige kombinationer, når mindst et barn er en pige født på tirsdag. Som i det foregående eksempel, lad os antage, at børnenes navne er A og B, kombinationerne ser således ud:

• A er en pige, der blev født om tirsdagen, B er en dreng (i denne situation er der 7 muligheder, en for hver dag i ugen, hvor en dreng kunne blive født).
• B er en pige født tirsdag, A er en dreng (også 7 muligheder).
• A er en pige, der er født tirsdag, B er en pige, der er født den en anden ugedag (6 muligheder).
• B er en pige, der er født tirsdag, A er en pige, der ikke er født tirsdag (også 6 sandsynligheder).
• A og B er to piger, der blev født i tirsdags (1 mulighed, du skal være opmærksom på dette for ikke at tælle to gange).

Vi lægger sammen og får 27 forskellige lige mulige kombinationer af børnefødsler og dage med mindst én mulighed for, at en pige bliver født på tirsdag. Heraf er der 13 muligheder, når to piger bliver født. Det virker også fuldstændig ulogisk, og det ser ud til, at denne opgave er skabt for netop at give hovedpine. Hvis du stadig undrer dig over dette eksempel, har spilteoretiker Jesper Juhl en god forklaring på dette problem på sin hjemmeside.

Hvis du i øjeblikket arbejder på et spil...

Hvis der er en tilfældighed i det spil, du designer, er det et godt tidspunkt at analysere det på. Vælg et element, som du vil analysere. Spørg først dig selv, hvad sandsynligheden for et givent element er i henhold til dine forventninger, hvad du synes, det skal være i forbindelse med spillet. For eksempel, hvis du laver en RPG, og du spekulerer på, hvad sandsynligheden skal være for, at spilleren vil være i stand til at besejre et monster i kamp, ​​så spørg dig selv, hvilken gevinstprocent der føles rigtigt for dig. Typisk, når de spiller konsol-RPG'er, bliver spillere meget sure, når de taber, så det er bedst, hvis de ikke taber ofte... måske 10% af tiden eller mindre? Hvis du er en RPG-designer, ved du sikkert bedre end jeg gør, men du skal have en grundlæggende idé om, hvad sandsynligheden bør være.

Spørg så dig selv, om det er noget afhængig(som kort) eller uafhængig(som terninger). Analyser alle mulige udfald og deres sandsynligheder. Sørg for, at summen af ​​alle sandsynligheder er 100 %. Og til sidst skal du selvfølgelig sammenligne dine resultater med resultaterne af dine forventninger. Er terningkastningen eller korttrækningen, som du havde tænkt dig, eller ser du, at du skal justere værdierne. Og selvfølgelig hvis du du vil finde hvad der skal justeres, kan du bruge de samme beregninger til at bestemme hvor meget noget skal justeres!

Hjemmeopgave

Dine "hjemmeopgaver" i denne uge vil hjælpe dig med at skærpe dine sandsynlighedsfærdigheder. Her er to terningespil og et kortspil, som du vil analysere ved hjælp af sandsynlighed, samt en mærkelig spilmekaniker, som jeg engang udviklede, og som vil teste Monte Carlo-metoden.

Spil #1 - Dragon Bones

Dette er et terningespil, som mine kolleger og jeg engang fandt på (takket være Jeb Havens og Jesse King!), og som specifikt blæser folks sind med dets sandsynligheder. Dette er et simpelt casinospil kaldet "Dragon Dice", og det er en gambling terningkonkurrence mellem spilleren og huset. Du får en normal 1d6 terning. Målet med spillet er at rulle et tal højere end husets. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men i stedet for en 1 på den ene side er der et billede af en Dragon (casinoet har således en Dragon terning - 2-3-4-5-6). Hvis huset får Dragen, vinder det automatisk, og du taber. Hvis I begge får det samme nummer, er det uafgjort, og du kaster terningerne igen. Den, der kaster det højeste tal, vinder.

Alt fungerer selvfølgelig ikke helt i spillerens favør, for casinoet har en fordel i form af Dragon's Edge. Men er dette virkelig sandt? Du skal beregne dette. Men før det, tjek din intuition. Lad os antage, at gevinsterne er 2 til 1. Så hvis du vinder, beholder du din indsats og får det dobbelte af din indsats. For eksempel, hvis du satser $1 og vinder, beholder du den dollar og får 2 mere oveni for i alt $3. Hvis du taber, taber du kun din indsats. Ville du spille? Så føler du intuitivt, at sandsynligheden er større end 2 til 1, eller tror du stadig, at den er mindre? Med andre ord, i gennemsnit over 3 spil, forventer du at vinde mere end én gang, mindre eller én gang?

Når du har fået styr på din intuition, så brug matematik. Der er kun 36 mulige positioner for begge terninger, så du kan tælle dem alle uden problemer. Hvis du ikke er sikker på det 2-til-1-tilbud, så overvej dette: Lad os sige, at du spillede spillet 36 gange (ved at satse $1 hver gang). For hver sejr får du 2 dollars, for hvert tab taber du 1, og uafgjort ændrer ikke noget. Beregn alle dine sandsynlige gevinster og tab og afgør, om du vil tabe eller vinde nogle dollars. Spørg så dig selv, hvor rigtig din intuition var. Og så indse, hvilken skurk jeg er.

Og ja, hvis du allerede har tænkt over dette spørgsmål – jeg forvirrer dig med vilje ved at misrepræsentere den faktiske mekanik i terningespil, men jeg er sikker på, at du kan overvinde denne forhindring med blot en lille eftertanke. Prøv selv at løse dette problem. Jeg sender alle svarene her i næste uge.

Spil nr. 2 - Kast efter held

Dette er et gambling terningspil kaldet "Roll for Luck" (også "Birdcage", fordi nogle gange bliver terningerne ikke kastet, men placeret i et stort trådbur, der minder om buret fra "Bingo"). Det er et simpelt spil, der dybest set koger ned til dette: Sats f.eks. $1 på et tal fra 1 til 6. Så kaster du 3d6. For hver terning, der lander dit nummer, får du $1 (og beholder din oprindelige indsats). Hvis dit nummer ikke kommer op på nogen af ​​terningerne, får kasinoet din dollar, og du får intet. Så hvis du satser på en 1, og du får en 1 på siderne tre gange, får du $3.

Intuitivt ser det ud til, at dette spil har lige store chancer. Hver terning er en individuel 1 til 6 chance for at vinde, så når du lægger alle tre sammen, er din chance for at vinde 3 til 6. Husk dog selvfølgelig, at du tilføjer tre separate terninger, og du må kun tilføje dem, hvis vi taler om separate vindende kombinationer af den samme terning. Noget du bliver nødt til at formere.

Når du først har beregnet alle de mulige resultater (sandsynligvis nemmere at gøre i Excel end i hånden, da der er 216 af dem), ser spillet stadig ulige ud - lige ved første øjekast. Men i virkeligheden har kasinoet stadig en bedre chance for at vinde – hvor meget mere? Specifikt, hvor mange penge forventer du i gennemsnit at tabe hver spillerunde? Det eneste du skal gøre er at lægge gevinster og tab af alle 216 resultater sammen og derefter dividere med 216, hvilket burde være ret nemt... Men som du kan se, er der et par fælder, du kan falde i, og det er derfor jeg Jeg fortæller dig: Hvis du tror, ​​at dette spil har en lige chance for at vinde, har du misforstået det hele.

Spil #3 - 5 Card Stud Poker

Hvis du allerede har varmet op med tidligere spil, så lad os se, hvad vi ved om betinget sandsynlighed ved at bruge dette kortspil som eksempel. Specifikt, lad os forestille os et pokerspil med et kortspil med 52 kort. Lad os også forestille os 5 card stud, hvor hver spiller kun modtager 5 kort. Du kan ikke kassere et kort, du kan ikke trække et nyt, der er ingen delt kortspil – du får kun 5 kort.

En royal flush er 10-J-Q-K-A i den ene hånd, der er fire i alt, så der er fire mulige måder at få en royal flush på. Beregn sandsynligheden for, at du får en sådan kombination.

Jeg må advare dig om én ting: husk, at du kan trække disse fem kort i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, at du først kan trække et es eller en ti, det er lige meget. Så når du beregner dette, skal du huske på, at der faktisk er mere end fire måder at få en royal flush på, forudsat at kortene blev givet i rækkefølge!

Spil nr. 4 - IMF Lotteri

Det fjerde problem kan ikke løses så let ved hjælp af de metoder, vi talte om i dag, men du kan nemt simulere situationen ved hjælp af programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problem, at du kan udarbejde Monte Carlo-metoden.

Jeg nævnte tidligere spillet "Chron X", som jeg engang arbejdede på, og der var et meget interessant kort der - IMF-lotteriet. Sådan fungerede det: du brugte det i et spil. Efter runden sluttede, blev kortene omfordelt, og der var en 10% chance for, at kortet ville gå ud af spil, og at en tilfældig spiller ville modtage 5 enheder af hver type ressource, hvis token var til stede på kortet. Kortet blev lagt ind i spillet uden en eneste jeton, men hver gang det forblev i spil i begyndelsen af ​​næste runde, modtog det én jeton. Så der var 10 % chance for, at hvis du satte det i spil, ville runden slutte, kortet ville forlade spillet, og ingen ville få noget. Hvis dette ikke sker (90% chance), er der en 10% chance (faktisk 9%, da det er 10% af 90%), at hun i næste runde forlader spillet, og nogen vil modtage 5 enheder af ressourcer. Hvis kortet forlader spillet efter en runde (10 % af de 81 % der er til rådighed, så sandsynligheden er 8,1 %), vil nogen modtage 10 enheder, en anden runde - 15, en anden - 20, og så videre. Spørgsmål: Hvad er den generelle forventede værdi af antallet af ressourcer, du vil få fra dette kort, når det endelig forlader spillet?

Normalt ville vi forsøge at løse dette problem ved at finde muligheden for hvert udfald og gange med antallet af alle udfald. Så der er 10 % chance for, at du får 0 (0,1*0 = 0). 9%, at du vil modtage 5 ressourceenheder (9%*5 = 0,45 ressourcer). 8,1% af det, du får, er 10 (8,1%*10 = 0,81 ressourcer i alt, forventet værdi). Og så videre. Og så ville vi opsummere det hele.

Og nu er problemet indlysende for dig: der er altid en chance for, at kortet Ikke vil forlade spillet, så hun kan blive i spillet for evigt, for et uendeligt antal runder, så det er muligt at beregne enhver mulighed eksisterer ikke. De metoder, vi har lært i dag, tillader os ikke at beregne uendelig rekursion, så vi bliver nødt til at skabe den kunstigt.

Hvis du er god nok til at programmere, så skriv et program, der simulerer dette kort. Du bør have en tidsløkke, der bringer variablen til en startposition på nul, viser et tilfældigt tal og med en 10% chance for at variablen forlader løkken. Ellers tilføjer den 5 til variablen, og løkken gentages. Når den endelig forlader sløjfen, øges det samlede antal prøvekørsler med 1 og det samlede antal ressourcer (hvor meget afhænger af, hvor variablen ender). Nulstil derefter variablen og start igen. Kør programmet flere tusinde gange. Til sidst skal du dividere det samlede antal ressourcer med det samlede antal kørsler - dette vil være din forventede Monte Carlo-værdi. Kør programmet flere gange for at sikre dig, at de tal, du får, er nogenlunde de samme; hvis spredningen stadig er stor, skal du øge antallet af gentagelser i den ydre løkke, indtil du begynder at få matcher. Du kan være sikker på, at de tal, du ender med, vil være nogenlunde korrekte.

Hvis du ikke er bekendt med programmering (og selvom du er det), er her en lille øvelse til at varme dine Excel-færdigheder op. Hvis du er en spildesigner, er Excel-færdigheder aldrig en dårlig ting.

Nu vil du finde funktionerne IF og RAND meget nyttige. RAND kræver ikke værdier, det spytter bare et tilfældigt decimaltal ud mellem 0 og 1. Vi kombinerer det typisk med FLOOR og plusser og minusser for at simulere terningkast, hvilket er det, jeg nævnte tidligere. Men i dette tilfælde efterlader vi bare en 10% chance for, at kortet forlader spillet, så vi kan bare tjekke om RAND-værdien er mindre end 0,1 og ikke bekymre os om det længere.

HVIS har tre betydninger. I rækkefølge: en betingelse, der enten er sand eller falsk, derefter en værdi, der returneres, hvis betingelsen er sand, og en værdi, der returneres, hvis betingelsen er falsk. Så den følgende funktion vil returnere 5% af tiden, og 0 de andre 90% af tiden:
=HVIS(RAND()<0.1,5,0)

Der er mange måder at indstille denne kommando på, men jeg ville bruge denne formel til den celle, der repræsenterer den første runde, lad os sige, at det er celle A1:

HVIS(RAND()<0.1,0,-1)

Her bruger jeg en negativ variabel til at betyde "dette kort har ikke forladt spillet og har ikke opgivet nogen ressourcer endnu." Så hvis første runde er slut, og kortet forlader spillet, er A1 0; ellers er det -1.

For den næste celle, der repræsenterer anden runde:

HVIS(A1>-1, A1, HVIS(RAND()<0.1,5,-1))

Så hvis den første runde sluttede, og kortet straks forlod spillet, er A1 0 (antallet af ressourcer), og denne celle vil simpelthen kopiere denne værdi. Ellers er A1 -1 (kortet har endnu ikke forladt spillet), og denne celle fortsætter med at bevæge sig tilfældigt: 10 % af tiden vil den returnere 5 enheder ressourcer, resten af ​​tiden vil dens værdi stadig være lig med -1. Hvis vi anvender denne formel på yderligere celler, får vi yderligere runder, og hvilken celle du end ender med vil give dig det endelige resultat (eller -1, hvis kortet aldrig forlod spillet efter alle de runder, du har spillet).

Tag den række af celler, som repræsenterer den eneste runde med det kort, og kopier og indsæt flere hundrede (eller tusinde) rækker. Vi kan måske ikke gøre det endeløs test for Excel (der er et begrænset antal celler i en tabel), men vi kan i det mindste dække de fleste tilfælde. Vælg derefter en celle, hvor du vil placere gennemsnittet af resultaterne af alle runder (Excel giver venligst en AVERAGE() funktion til dette).

På Windows kan du i det mindste trykke på F9 for at genberegne alle tilfældige tal. Som før, gør dette et par gange og se, om de værdier, du får, er de samme. Hvis spredningen er for stor, skal du fordoble antallet af kørsler og prøve igen.

Uløste problemer

Hvis du bare tilfældigvis har en grad i sandsynlighed, og ovenstående problemer virker for nemme, er her to problemer, som jeg har kløet mig i hovedet over i årevis, men desværre er jeg ikke god nok til matematik til at løse dem. Hvis du tilfældigvis kender en løsning, så skriv den her i kommentarerne, jeg vil med glæde læse den.

Uløst problem #1: LotteriIMF

Det første uløste problem er den tidligere hjemmeopgave. Jeg kan nemt anvende Monte Carlo-metoden (ved hjælp af C++ eller Excel) og være sikker på svaret på spørgsmålet "hvor mange ressourcer vil spilleren modtage", men jeg ved ikke præcis, hvordan jeg skal give et nøjagtigt bevisbart svar matematisk (det er en uendelig række). Hvis du kender svaret, så post det her... efter at have testet det med Monte Carlo, selvfølgelig.

Uløst problem #2: Sekvenser af figurer

Dette problem (og igen går det langt ud over omfanget af de problemer, der er løst i denne blog) blev givet til mig af en spillerven for mere end 10 år siden. Han lagde mærke til en interessant ting, mens han spillede blackjack i Vegas: Da han trak kort fra en 8-dæks sko, så han ti figurer i træk (en brik eller billedkort - 10, Joker, Konge eller Dronning, så der er 16 i alt i et standardkort med 52 kort, så der er 128 i en sko med 416 kort). Hvad er sandsynligheden for, at i denne sko i det mindste en sekvens af ti eller mere tal? Lad os antage, at de blev blandet retfærdigt i tilfældig rækkefølge. (Eller, hvis du foretrækker det, hvad er sandsynligheden for, at ikke fundet nogen steder en sekvens på ti eller flere figurer?)

Vi kan forenkle opgaven. Her er en sekvens på 416 dele. Hver del er enten 0 eller 1. Der er 128 enere og 288 nuller spredt tilfældigt i sekvensen. Hvor mange måder er der til tilfældigt at blande 128 enere med 288 nuller, og hvor mange gange på disse måder vil der være mindst én gruppe på ti eller flere?

Hver gang jeg begyndte at løse dette problem, virkede det nemt og indlysende for mig, men så snart jeg dykkede ned i detaljerne, faldt det pludselig fra hinanden og virkede simpelthen umuligt for mig. Så skynd dig ikke at uddybe svaret: sæt dig ned, tænk dig grundigt om, studer betingelserne for problemet, prøv at tilslutte reelle tal, for alle de mennesker, jeg talte med om dette problem (inklusive flere kandidatstuderende, der arbejder inden for dette felt ) reagerede omtrent det samme: "Det er helt indlysende... åh, nej, vent, det er slet ikke indlysende." Det er netop det tilfælde, hvor jeg ikke har en metode til at beregne alle mulighederne. Jeg kunne bestemt brute force problemet gennem en computeralgoritme, men jeg ville være meget mere nysgerrig efter at kende den matematiske måde at løse dette problem på.

Oversættelse - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Einsteins påstand om, at Gud ikke spiller terninger med universet, er blevet fejlfortolket

Få af Einsteins slagord er blevet så bredt citeret som hans observation af, at Gud ikke spiller terninger med universet. Folk tager naturligvis denne vittige kommentar fra ham som bevis på, at han var dogmatisk modstander af kvantemekanik, som behandler tilfældighed som et karakteristisk træk ved den fysiske verden. Når kernen af ​​et radioaktivt grundstof henfalder, sker det spontant, der er ingen regel, der vil fortælle dig præcis, hvornår eller hvorfor det vil ske. Når en partikel af lys rammer et gennemskinnelig spejl, reflekteres det enten af ​​det eller passerer gennem det. Resultatet kan være alt indtil det øjeblik, hvor denne begivenhed fandt sted. Og du behøver ikke at gå til et laboratorium for at se den slags processer: mange internetsider viser strømme af tilfældige tal genereret af Geiger-tællere eller kvanteoptiske enheder. Da de er uforudsigelige, selv i princippet, er sådanne tal ideelle til problemer i kryptografi, statistik og online pokerturneringer.

Einstein, som standardlegenden siger. nægtede at acceptere det faktum, at nogle begivenheder er indeterministiske af natur. - de sker bare, og der kan ikke gøres noget for at finde ud af hvorfor. Forblev næsten i pragtfuld isolation, omgivet af sine ligemænd, klyngede han sig med begge hænder til den klassiske fysiks mekaniske univers, mekanisk målte sekunder, hvor hvert øjeblik forudbestemmer, hvad der vil ske i det næste. Terningespillets linje blev indikativ for den anden side af hans liv: tragedien om den revolutionære, der blev reaktionær, der revolutionerede fysikken med sin relativitetsteori, men - som Niels Bohr diplomatisk udtrykte det - da han stod over for kvanteteorien, "gik han til frokost."

Men gennem årene har mange historikere, filosoffer og fysikere sat spørgsmålstegn ved denne fortolkning af denne historie. Ved at dykke ned i havet af alt, hvad Einstein faktisk sagde, opdagede de, at hans domme om uforudsigelighed var mere radikale og havde en bredere vifte af nuancer, end der normalt er portrætteret. "At prøve at grave den sande historie frem bliver noget af en mission," siger Don A. Howard, en historiker ved University of Notre Dame, "Det er fantastisk, når man går ind i arkiverne og ser uoverensstemmelser med den konventionelle visdom." Som han og andre videnskabshistorikere har vist, anerkendte Einstein kvantemekanikkens indeterministiske natur - hvilket ikke er overraskende, da det var ham, der opdagede dens indeterminisme. Hvad han aldrig anerkendte var, at indeterminisme er fundamental i naturen. Alt dette tydede på, at problemet opstod på et dybere niveau af virkeligheden, hvilket teorien ikke afspejlede. Hans kritik var ikke mystisk, men fokuserede på specifikke videnskabelige problemer, der forbliver uløste den dag i dag.

Spørgsmålet om, hvorvidt universet er et urværk eller et terningbord, ødelægger grundlaget for, hvad vi tror, ​​fysik er: søgen efter simple regler, der ligger til grund for naturens fantastiske mangfoldighed. Hvis noget sker uden nogen grund, sætter det en stopper for rationel undersøgelse. "Fundamental indeterminisme ville være enden på videnskaben," siger Andrew S. Friedman, en kosmolog ved Massachusetts Institute of Technology. Alligevel har filosoffer gennem historien troet, at indeterminisme er en nødvendig betingelse for menneskets frie vilje. Enten er vi alle tandhjul i en urværksmekanisme, og derfor er alt, hvad vi gør, forudbestemt, eller også er vi agenten for vores egen skæbne, i hvilket tilfælde universet alligevel ikke må være deterministisk.

Denne dikotomi har haft meget reelle konsekvenser i den måde, samfundet holder folk ansvarlige for deres handlinger. Vores retssystem er baseret på antagelsen om fri vilje; For at den tiltalte kan findes skyldig, skal han have handlet med forsæt. Domstole undrer sig konstant over spørgsmålet: hvad nu hvis en person er uskyldig på grund af sindssyge, ungdommelig impulsivitet eller et råddent socialt miljø?

Men når folk taler om dikotomi, har de en tendens til at forsøge at afsløre det som en misforståelse. Faktisk mener mange filosoffer, at det er meningsløst at tale om, hvorvidt universet er deterministisk eller ikke-deterministisk. Det kan være begge dele, afhængigt af hvor stort eller komplekst studiet er: partikler, atomer, molekyler, celler, organismer, psyke, fællesskaber. "Forskellen mellem determinisme og indeterminisme er en forskel afhængigt af studiet af problemet," siger Christian List, en filosof ved London School of Economics and Political Science "Selv hvis du observerer determinisme på et bestemt niveau, er det helt i overensstemmelse med indeterminisme på både højere og lavere niveauer." Atomerne i vores hjerner kan opføre sig fuldstændig deterministisk, samtidig med at de giver os handlefrihed, da atomer og organer fungerer på forskellige niveauer.

På lignende måde søgte Einstein et deterministisk subkvanteniveau, mens han samtidig ikke afviste, at kvanteniveauet er sandsynligt.

Hvad protesterede Einstein imod?

Hvordan Einstein fik betegnelsen som modstander af kvanteteori er et mysterium, næsten lige så stort som kvantemekanikken selv. Selve begrebet et kvante - en diskret energienhed - var frugten af ​​hans tanker i 1905, og i halvandet årti stod han næsten egenhændigt i dets forsvar. Einstein foreslog dette. hvad fysikere i dag anser for at være hovedtrækkene i kvantefysikken, såsom lysets mærkelige evne til at fungere som både en partikel og en bølge, og det var ud fra hans tankegang om bølgefysik, at Erwin Schrödinger udviklede den mest accepterede formulering af kvante. teori i 1920'erne. Einstein var heller ikke modstander af tilfældigheder. I 1916 viste han, at når atomer udsender fotoner, er tidspunktet og retningen for emissionen tilfældige variable.

"Dette strider imod det populære billede af Einstein som modstander af den sandsynlige tilgang," argumenterer Jan von Plato fra Helsinki Universitet. Men Einstein og hans samtidige stod over for et alvorligt problem. Kvantefænomener er tilfældige, men selve kvanteteorien er det ikke. Schrödinger-ligningen er 100 % deterministisk. Den beskriver en partikel eller et system af partikler ved hjælp af det, der kaldes en bølgefunktion, som udnytter partiklernes bølgenatur og forklarer det bølgelignende mønster, som en samling af partikler producerer. Ligningen forudsiger, hvad der vil ske med bølgefunktionen på et givet tidspunkt med absolut sikkerhed. I mange henseender er denne ligning mere deterministisk end Newtons bevægelseslove: den fører ikke til forvirring som singularitet (hvor mængder bliver uendelige og derfor ubeskrivelige) eller kaos (hvor bevægelse bliver uforudsigelig).

Fangsten er, at determinismen af ​​Schrödinger-ligningen er determinismen af ​​bølgefunktionen, og bølgefunktionen kan ikke observeres direkte, i modsætning til partiklernes positioner og hastigheder. I stedet bestemmer bølgefunktionen de mængder, der kan observeres, og sandsynligheden for hvert af de mulige udfald. Teorien lader spørgsmålene om, hvad selve bølgefunktionen er, åbne, og om den bogstaveligt talt skal betragtes som en reel bølge i vores materielle verden. Følgende spørgsmål forbliver derfor åbent: er den observerede tilfældighed en integreret indre egenskab ved naturen eller blot dens facade? "Det hævdes, at kvantemekanikken er ikke-deterministisk, men det er en for forhastet konklusion," siger filosoffen Christian Wuthrich fra universitetet i Genève i Schweiz.

Werner Heisenberg, en anden af ​​kvanteteoriens pionerer, tænkte på bølgefunktionen som en tåge, der indikerer potentiel eksistens. Hvis du ikke tydeligt og utvetydigt kan se, hvor en partikel er, er det fordi partiklen ikke rigtig er placeret et bestemt sted. Først når du observerer en partikel, materialiserer den sig et sted i rummet. Bølgefunktionen kunne være spredt ud over et enormt område af rummet, men i det øjeblik, hvor observationen er foretaget, kollapser den øjeblikkeligt, krymper ind i et smalt punkt placeret et enkelt bestemt sted, og pludselig dukker en partikel op der. Men selv når du ser på partiklen, bang! - det holder pludselig op med at opføre sig deterministisk og hopper ind i den endelige tilstand, som et barn, der griber en stol i et spil musikstole. (Leget går ud på, at børn danser i en cirkel til musikken omkring stole, hvis antal er én mindre end antallet af spillere, og forsøger at sætte sig på en ledig plads, så snart musikken stopper).

Der er ingen lov, der styrer dette sammenbrud. Der er ingen ligning for det. Det sker bare - det er alt! Sammenbrud blev et nøgleelement i den københavnske fortolkning: et syn på kvantemekanikken opkaldt efter byen, hvor Bohr og hans institut sammen med Heisenberg lavede meget af det afgørende arbejde. (Paradoksalt nok genkendte Bohr aldrig selv sammenbruddet af bølgefunktionen). Københavns Skole anser kvantefysikkens observerede tilfældighed for at være dens nominelle karakteristika, der ikke kan forklares nærmere. De fleste fysikere er enige i dette, en af ​​grundene til dette er den såkaldte ankereffekt, kendt fra psykologien, eller forankringseffekten: Dette er en fuldstændig tilfredsstillende forklaring, og den dukkede op først. Selvom Einstein ikke var modstander af kvantemekanikken, var han bestemt modstander af dens københavnske fortolkning. Han tog udgangspunkt i ideen om, at målehandlingen forårsagede et brud i den kontinuerlige udvikling af det fysiske system, og det var i denne sammenhæng, han begyndte at udtrykke sin modstand mod det guddommelige terningkast. "Det var netop dette spørgsmål, som Einstein beklagede i 1926, ikke den overordnede metafysiske påstand om determinisme som en absolut nødvendig betingelse," siger Howard "Han var særligt aktiv i den ophedede debat om, hvorvidt bølgefunktionens sammenbrud fører til et sammenbrud af kontinuitet."

Pluralitet af virkelighed.Og alligevel, er verden deterministisk eller ej? Svaret på dette spørgsmål afhænger ikke kun af de grundlæggende love for bevægelse, men også af det niveau, hvorpå vi beskriver systemet. Overvej fem atomer i en gas, der bevæger sig deterministisk (øverste diagram). De starter deres rejse fra næsten samme sted og divergerer gradvist. På det makroskopiske niveau (nederste diagram) er det dog ikke enkelte atomer, der er synlige, men en amorf strømning i gassen. Efter noget tid vil gassen formentlig blive tilfældigt fordelt i flere strømme. Denne tilfældighed på makroniveau er et biprodukt af observatørens uvidenhed om lovene på mikroniveau, det er en objektiv egenskab ved naturen, der afspejler den måde, atomer mødes på. Ligeledes foreslog Einstein, at universets deterministiske indre struktur fører til kvanterigets sandsynlighedsmæssige natur.

Sammenbrud kan næppe være en reel proces, hævdede Einstein. Dette ville kræve øjeblikkelig handling på afstand - en mystisk mekanisme, hvorved f.eks. både venstre og højre side af bølgefunktionen kollapser til det samme lille punkt, selv når ingen kraft koordinerer deres adfærd. Ikke kun Einstein, men enhver fysiker i sin tid mente, at en sådan proces var umulig, den skulle ske hurtigere end lysets hastighed, hvilket er i åbenlys modstrid med relativitetsteorien. Faktisk giver kvantemekanikken dig ikke bare terninger – den giver dig terningepar, der altid kommer op på de samme sider, selvom du kaster den ene på Vegas og den anden på Vega. Det forekom indlysende for Einstein, at terningerne måtte være snydere, hvilket giver dem mulighed for i hemmelighed at påvirke udfaldet af kastene på forhånd. Men den københavnske skole afviser enhver sådan mulighed og antyder dermed, at dominobrikkerne faktisk øjeblikkeligt påvirker hinanden på tværs af det store rum. Desuden var Einstein bekymret over den magt, københavnerne tilskrev målehandlingen. Når alt kommer til alt, hvad er måling? Kan dette være noget, som kun intelligente væsener, eller endda kun fastansatte professorer, kan udføre? Heisenberg og andre repræsentanter for den københavnske skole specificerede aldrig dette koncept. Nogle har foreslået, at vi skaber virkelighed i vores sind ved at observere den, en idé, der lyder poetisk, måske for poetisk. Einstein betragtede det også som højdepunktet af københavnernes frækhed at erklære, at kvantemekanikken var fuldstændig fuldendt, at det var den endelige teori, der aldrig ville blive afløst af en anden. Han betragtede alle teorier, inklusive sine egne, som broer til noget endnu større.

Faktisk. Howard hævder, at Einstein ville være glad for at acceptere indeterminisme, hvis han havde svar på alle sine problemer, der skulle løses – hvis for eksempel nogen klart kunne formulere, hvad en dimension er, og hvordan partikler kan forblive synkroniserede uden lang rækkevidde. Et tegn på, at Einstein anså indeterminisme som et sekundært problem, er, at han stillede de samme krav til de deterministiske alternativer til den københavnske skole og også afviste dem. En anden historiker er Arthur Fine fra University of Washington. mener. At Howard overdriver Einsteins modtagelighed for indeterminisme, men er enig i, at hans dømmekraft hviler på et mere solidt grundlag, end flere generationer af fysikere er blevet forledt til at tro, baseret på udsnit af hans bemærkninger om terningespillet.

Tilfældige tanker

Hvis du spiller tovtrækker på siden af ​​Københavns Skole, mente Einstein, vil du opdage, at kvanteforstyrrelser er ligesom alle andre typer forstyrrelser i fysikken: det er et produkt af dybere indsigt. Dansen af ​​små støvkorn i en lysstråle afslører den komplekse bevægelse af molekyler, og emissionen af ​​fotoner eller det radioaktive henfald af kerner er en lignende proces, mente Einstein. Efter hans opfattelse er kvantemekanik en evaluerende teori, der udtrykker den generelle adfærd af naturens byggesten, men som ikke har tilstrækkelig opløsning til at fange individuelle detaljer.

En dybere, mere komplet teori ville forklare bevægelsen fuldstændig - uden nogen mystiske spring. Fra dette synspunkt er bølgefunktionen en samlet beskrivelse, ligesom udsagnet om, at en fair terning, hvis den kastes gentagne gange, vil lande omtrent det samme antal gange på hver af dens sider. Sammenbruddet af bølgefunktionen er ikke en fysisk proces, men en tilegnelse af viden. Hvis du kaster en sekssidet terning, og den kommer op med f.eks. en firer, krymper rækken af ​​muligheder fra en til seks, eller man kan sige kollapser, til den faktiske værdi af "fire". En gudelignende dæmon, der kan spore detaljerne i den atomare struktur, der påvirker udfaldet af en terning (dvs. mål præcis, hvordan din hånd skubber og drejer en terning, før den rammer bordet), vil aldrig tale om kollaps.

Einsteins intuition blev forstærket af hans tidlige arbejde med den kollektive effekt af molekylær bevægelse, studeret af en gren af ​​fysikken kaldet statistisk mekanik, hvor han viste, at fysik kan være sandsynlig, selv når det underliggende fænomen er en deterministisk virkelighed. I 1935 skrev Einstein til filosoffen Karl Popper: "Jeg tror ikke, du har ret i din påstand om, at det er umuligt at drage statistiske konklusioner baseret på en deterministisk teori. Tag klassisk statistisk mekanik (teorien om gasser eller teorien om Brownsk). bevægelse)." Sandsynligheder i Einsteins forståelse var lige så reelle som dem i Københavns Skolefortolkning. De manifesterer sig i de grundlæggende bevægelseslove og afspejler også andre egenskaber i den omgivende verden, de er ikke kun artefakter af menneskelig uvidenhed. Einstein foreslog, at Popper som eksempel betragtede en partikel, der bevæger sig i en cirkel med konstant hastighed; sandsynligheden for at finde en partikel i en given sektion af en cirkelbue afspejler symmetrien af ​​dens bane. På samme måde er sandsynligheden for, at en terning lander på en given flade, én ud af seks, da den har seks lige store flader. "Han forstod bedre end de fleste på det tidspunkt, at vigtig fysik var indeholdt i detaljerne om statistisk-mekanisk sandsynlighed," siger Howard.

En anden lektie fra statistisk mekanik var, at de mængder, vi observerer, ikke nødvendigvis eksisterer på et dybere niveau. For eksempel har en gas en temperatur, men det giver ingen mening at tale om temperaturen på et enkelt gasmolekyle. I analogi blev Einstein overbevist om, at en subkvanteteori var påkrævet for at markere et radikalt brud fra kvantemekanikken. I 1936 skrev han: "Der er ingen tvivl om, at kvantemekanikken har fanget et smukt element af sandhed<...>Jeg tror dog ikke på, at kvantemekanikken vil være udgangspunktet i søgen efter dette grundlag, ligesom man omvendt ikke kan bevæge sig fra termodynamik (og derfor statistisk mekanik) til mekanikkens grundlag." For at fylde dette dybere niveau, Einstein søgte mod en forenet teorifelter, hvor partikler er afledte af strukturer, der slet ikke ligner partikler. Kort sagt er den populære tro på, at Einstein nægtede at anerkende kvantefysikkens sandsynlighed. Han forsøgte at forklare tilfældighed. og ikke at fremstille sagen, som om den slet ikke eksisterede.

Gør dit niveau til det bedste

Selvom Einsteins projekt om at skabe en samlet teori mislykkedes, står de grundlæggende principper i hans intuitive tilgang til tilfældighed stadig: indeterminisme kan opstå fra determinisme. Kvante- og subkvanteniveauerne - eller et hvilket som helst andet niveaupar i naturens hierarki - er sammensat af forskellige typer strukturer, så de er underlagt forskellige typer love. Loven, der styrer ét niveau, kan naturligvis tillade et element af tilfældighed, selvom lovene på det lavere niveau er fuldstændigt regulerede. "Deterministisk mikrofysik giver ikke anledning til deterministisk makrofysik," siger filosof Jeremy Butterfield fra University of Cambridge.

Forestil dig en terning på atomniveau. Terningen kan bestå af et ufatteligt stort antal atomare konfigurationer, der for det blotte øje er fuldstændig ude af stand til at skelne fra hinanden. Hvis du sporer nogen af ​​disse konfigurationer, mens du drejer terningen, vil det føre til et bestemt resultat - på en strengt deterministisk måde. I nogle konfigurationer vil terningen ende med en prik på dens øverste overflade, i andre vil den ende med to. etc. Derfor kan en enkelt makroskopisk tilstand (hvis kuben bliver lavet til at dreje) føre til flere mulige makroskopiske udfald (en af ​​de seks flader er opad). "Hvis vi beskriver terningen på makroniveau, kan vi se det som et stokastisk system, der giver mulighed for objektiv tilfældighed," siger List, der studerer niveaukonjugering med Marcus Pivato, en matematiker ved universitetet i Cergy-Pontoise i Frankrig.

Selvom det højere niveau bygger på det lavere, er det autonomt. For at beskrive terninger skal man arbejde på det niveau, hvor terningerne eksisterer som sådan, og når man gør det, kan man ikke lade være med at negligere atomerne og deres dynamik. Hvis du krydser et niveau med et andet, begår du kategorisubstitution: det er som at spørge om det politiske tilhørsforhold til en laksesandwich (for at bruge eksemplet med filosoffen David Albert fra Columbia University). "Når vi har et fænomen, der kan beskrives på forskellige niveauer, skal vi konceptuelt være meget forsigtige med ikke at blande niveauerne," siger List. Af denne grund forekommer resultatet af at kaste en terning ikke bare tilfældigt. Det er virkelig tilfældigt. Den gudelignende dæmon kan prale af, at han ved præcis, hvad der vil ske, men han ved kun, hvad der vil ske med atomerne. Han ved ikke engang, hvad en terning er, fordi det er information på et højere niveau. Dæmonen ser aldrig skoven, kun træerne. Han er som hovedpersonen i den argentinske forfatter Jorge Luis Borges' historie "Funes the Memory" - en mand, der husker alt, men ikke fatter noget. "At tænke er at glemme forskel, at generalisere, at abstrahere," skriver Borges. For at dæmonen kan vide, hvilken side terningen vil falde på, er det nødvendigt at forklare, hvad man skal kigge efter. "Dæmonen vil kun være i stand til at forstå, hvad der sker på øverste niveau, hvis han får en detaljeret beskrivelse af, hvordan vi definerer grænsen mellem niveauer," siger List. Sandelig, efter dette vil dæmonen sandsynligvis blive jaloux på, at vi er dødelige.

Niveauernes logik virker også præcis i den modsatte retning. Ikke-deterministisk mikrofysik kan føre til deterministisk makrofysik. En baseball kan laves af partikler, der udviser kaotisk adfærd, men dens flugt er fuldstændig forudsigelig; kvantekaos, udligning. forsvinder. Ligeledes er gasser opbygget af molekyler, der gennemgår ekstremt komplekse – og faktisk indeterministiske – bevægelser, men deres temperatur og andre egenskaber følger love, der er så enkle som to gange to. Mere spekulativt antyder nogle fysikere, såsom Robert Laughlin fra Stanford University, at det lavere niveau absolut ikke gør nogen forskel. Byggestenene kunne være hvad som helst, og deres kollektive adfærd ville stadig være den samme. Når alt kommer til alt, adlyder systemer så forskellige som vandmolekyler, stjerner i en galakse og biler på en motorvej de samme love for væskestrøm.

Endelig fri

Når du tænker i niveauer, forsvinder bekymringen for, at indeterminisme sandsynligvis markerer slutningen på videnskaben. Der er ingen høj mur omkring os, der beskytter vores lovlydige fragment af universet fra den anarkiske og uforståelige resten af ​​det. Faktisk er verden en lagkage af determinisme og indeterminisme. Jordens klima er for eksempel styret af Newtons deterministiske bevægelseslove, men vejrudsigter er sandsynlige, og samtidig er sæsonmæssige og langsigtede klimatendenser igen forudsigelige. Biologi følger også af deterministisk fysik, men organismer og økosystemer kræver andre beskrivelsesmetoder, såsom darwinistisk evolution. "Determinisme forklarer ikke absolut alt," bemærker Tufts University-filosof Daniel Dennett, "Hvorfor dukkede giraffer op, for hvem bestemte: så må det være?"

Folk er blandet i denne lagkage. Vi har en stærk følelse af fri vilje. Vi træffer ofte uforudsigelige og for det meste vitale beslutninger, vi indser, at vi kunne have handlet anderledes (og ofte fortryder vi, at vi ikke gjorde dette). I tusinder af år har såkaldte libertarianere, tilhængere af den filosofiske doktrin om fri vilje (ikke at forveksle med den politiske bevægelse!), hævdet, at menneskelig frihed kræver en partikels frihed. Noget må ødelægge det deterministiske hændelsesforløb, såsom kvantetilfældighed eller de "afvigelser", som nogle gamle filosoffer troede, at atomer kunne opleve i deres bevægelse (konceptet om en tilfældig, uforudsigelig afvigelse af et atom fra dets oprindelige bane blev introduceret i oldtidens filosofi af Lucretius for at forsvare Epikurs atomistiske doktrin).

Hovedproblemet med denne tankegang er, at den frigør partiklerne, men efterlader os som slaver. Det er lige meget om din beslutning blev forudbestemt under Big Bang eller af en lille partikel, det er stadig ikke din beslutning. For at være fri kræver vi indeterminisme ikke på partikelniveau, men på det menneskelige niveau. Og det er muligt, fordi det menneskelige niveau og partikelniveauet er uafhængige af hinanden. Selvom alt, hvad du gør, kunne spores tilbage til de allerførste trin, er du herre over dine handlinger, fordi hverken du eller dine handlinger eksisterer på stofniveau, men kun på makrobevidsthedsniveau. "Denne makro-determinisme, baseret på mikro-determinisme, garanterer måske fri vilje," mener Butterfield. Makroindeterminisme er ikke årsagen til dine beslutninger. Dette er din beslutning.

Nogle mennesker vil sikkert protestere og fortælle dig, at du stadig er en marionet, og naturlovene fungerer som dukkeføreren, og at din frihed ikke er andet end en illusion. Men selve ordet "illusion" leder tankerne hen på luftspejlinger i ørkenen og kvinder savet i halve: alt dette eksisterer ikke i virkeligheden. Makroindeterminisme er slet ikke det. Det er meget reelt, bare ikke grundlæggende. Det kan sammenlignes med livet. Individuelle atomer er absolut livløst stof, men deres enorme masse kan leve og ånde. "Alt hvad der har at gøre med agenter, deres intentionstilstande, deres beslutninger og valg - ingen af ​​disse entiteter har noget at gøre med fundamental fysiks konceptuelle værktøjer, men det betyder ikke, at disse fænomener ikke er virkelige," bemærker List. . betyder kun, at de alle er fænomener på et meget højere niveau."

Det ville være en kategorifejl, hvis ikke fuldstændig uvidenhed, at beskrive menneskelige beslutninger som mekanik af atomernes bevægelse i dit hoved. I stedet er det nødvendigt at bruge alle psykologiens begreber: lyst, mulighed, intentioner. Hvorfor drak jeg vand og ikke vin? For det var det, jeg ville. Mine ønsker forklarer mine handlinger. Det meste af tiden, når vi stiller spørgsmålet "Hvorfor?", leder vi efter individets motivation, ikke hans fysiske baggrund. Psykologiske forklaringer giver mulighed for den slags indeterminisme, som List taler om. For eksempel modellerer spilteoretikere menneskelig beslutningstagning ved at opstille en række muligheder og forklare, hvilken du ville vælge, hvis du handlede rationelt. Din frihed til at vælge en bestemt mulighed styrer dine valg, selvom du aldrig nøjes med den mulighed.

Lists argumenter forklarer naturligvis ikke fuldt ud den frie vilje. Niveauhierarkiet åbner plads til fri vilje, adskiller psykologi fra fysik og giver os mulighed for at gøre uventede ting. Men vi skal udnytte denne mulighed. Hvis vi for eksempel tog alle vores beslutninger ved at kaste en mønt, ville dette stadig blive betragtet som makroindeterminisme, men det ville næppe kvalificeres som fri vilje i nogen meningsfuld forstand. På den anden side kan nogle menneskers beslutningstagning være så udmattende, at de ikke kan siges at handle frit.

Denne tilgang til problemet med determinisme giver mening til fortolkningen af ​​kvanteteorien, som blev foreslået et par år efter Einsteins død i 1955. Den blev kaldt mangeverdensfortolkningen eller Everett-fortolkningen. Dens tilhængere hævder, at kvantemekanikken beskriver en samling af parallelle universer – et multivers – der generelt opfører sig deterministisk, men som forekommer os indeterministisk, fordi vi kun kan se ét enkelt univers. For eksempel kan et atom udsende en foton til højre eller venstre; kvanteteorien lader resultatet af denne begivenhed stå åbent. Ifølge mange-verdenernes fortolkning observeres et sådant billede, fordi præcis den samme situation opstår i utallige parallelle universer: I nogle af dem flyver fotonen deterministisk til venstre, og i resten - til højre. Uden at kunne sige præcist hvilket univers vi befinder os i, kan vi ikke forudsige, hvad der vil ske, så denne situation fremstår uforklarlig indefra. "Der er ingen sand tilfældighed i rummet, men begivenheder kan forekomme tilfældige i observatørens øjne," forklarer kosmolog Max Tegmark fra Massachusetts Institute of Technology, en velkendt fortaler for denne opfattelse "Tilfældig afspejler din manglende evne til at bestemme hvor du er."

Det er som at sige, at en matrice eller en hjerne kan bygges ud fra en hvilken som helst af et uendeligt antal atomare konfigurationer. Denne konfiguration i sig selv kan være deterministisk, men da vi ikke kan vide, hvilken der svarer til vores terninger eller vores hjerne, er vi tvunget til at antage, at resultatet er indeterministisk. Parallelle universer er således ikke en eksotisk idé, der svæver i en syg fantasi. Vores krop og vores hjerne er små multiverser, det er mangfoldigheden af ​​muligheder, der giver os frihed.

Terninger er blevet brugt af mennesker i tusinder af år.

I det 21. århundrede gør nye teknologier det muligt at kaste terningerne til enhver tid, og hvis du har internetadgang, på et bekvemt sted. En terning er altid med dig derhjemme eller på farten.

Terninggeneratoren giver dig mulighed for at kaste online fra 1 til 4 terninger.

Kast ærligt med terningerne online

Ved brug af rigtige terninger kan man bruge håndled eller specialfremstillede terninger med fordel på den ene side. For eksempel kan du dreje terningen langs en af ​​akserne, og så ændres sandsynlighedsfordelingen. Et særligt træk ved vores virtuelle kuber er brugen af ​​en software-generator for pseudo-tilfældige tal. Dette giver os mulighed for at sikre en virkelig tilfældig forekomst af dette eller hint resultat.

Og hvis du bogmærker denne side, så vil dine online-terninger ikke gå tabt nogen steder og vil altid være ved hånden på det rigtige tidspunkt!

Nogle mennesker har vænnet sig til at bruge online-terninger til at fortælle spå eller lave prognoser og horoskoper.

God fornøjelse, god dag og held og lykke!

Den mest almindelige type er formet som en terning med tal fra et til seks på hver side. Spilleren, der kaster den på en flad overflade, ser resultatet på den øverste kant. Knogler er et rigtigt talerør for tilfældigheder, held og lykke.

Ulykke.
Terninger (knogler) har eksisteret i lang tid, men de fik den traditionelle form med seks sider omkring 2600 f.Kr. e. De gamle grækere elskede at spille terninger, og i deres legender nævnes helten Palamedes, uretmæssigt anklaget for forræderi af Odysseus, som deres opfinder. Ifølge legenden opfandt han dette spil for at underholde soldaterne, der belejrede Troja, som blev taget til fange takket være en enorm træhest. Romerne under Julius Cæsars tid underholdt også sig selv med en række terningespil. På latin blev kuben kaldt datum, hvilket betyder "givet".

Forbud.
I middelalderen, omkring det 12. århundrede, blev terninger meget populære i Europa: Terninger, som kunne tages med overalt, var populære blandt både soldater og bønder. Det siges, at der var over seks hundrede forskellige spil! Fremstillingen af ​​terninger bliver et særskilt erhverv. Kong Ludvig IX (1214-1270), der vendte tilbage fra korstoget, godkendte ikke hasardspil og beordrede fremstilling af terninger forbudt i hele riget. Mere end selve spillet var myndighederne utilfredse med de uroligheder, der var forbundet hermed – så spillede de hovedsageligt på værtshuse og spil endte ofte i slagsmål og knivstik. Men ingen forbud forhindrede terninger i at overleve tiden og overleve den dag i dag.

Opladede terninger!
Resultatet af et terningkast bestemmes altid tilfældigt, men nogle snydere forsøger at ændre dette. Ved at bore hul i en matrice og hælde bly eller kviksølv i, kan man sikre, at kastet giver det samme resultat hver gang. Sådan en terning kaldes "ladet". Fremstillet af forskellige materialer, det være sig guld, sten, krystal, ben, terninger kan have forskellige former. Små pyramide (tetraeder) formede terninger blev fundet i gravene af de egyptiske faraoer, der byggede de store pyramider! På forskellige tidspunkter blev der lavet terninger med 8, 10, 12, 20 og endda 100 sider. Normalt er de markeret med tal, men i deres sted kan der også være bogstaver eller billeder, hvilket giver plads til fantasi.

Hvordan man kaster terninger.
Ikke alene kommer terninger i forskellige former, men de har også forskellige måder at spille på. Reglerne for nogle spil kræver, at du kaster på en bestemt måde, normalt for at undgå et beregnet kast eller for at forhindre terningen i at falde til ro i en skrå stilling. Nogle gange kommer de med et specielt glas for at undgå snyd eller falde fra spillebordet. I det engelske spil crepe skal alle tre terninger ramme spillebordet eller væggen for at forhindre snydere i at foregive at kaste ved blot at flytte terningerne uden at dreje den.

Tilfældighed og sandsynlighed.
Terningerne giver altid et tilfældigt resultat, som ikke kan forudsiges. Med en terning har en spiller lige så stor chance for at slå en 1'er som en 6'er - det hele bestemmes ved tilfældigheder. Med to terninger, tværtimod, falder niveauet af tilfældighed, da spilleren har mere information om resultatet: for eksempel med to terninger kan tallet 7 opnås på flere måder - ved at kaste 1 og 6, 5 og 2 , eller 4 og 3... Men muligheden for at få tallet 2 er kun én: at rulle 1 to gange. Sandsynligheden for at få en 7 er altså højere end at få en 2! Dette kaldes sandsynlighedsteori. Mange spil er forbundet med dette princip, især spil om penge.

Om brugen af ​​terninger.
Terninger kan være et selvstændigt spil uden andre elementer. Det eneste, der praktisk talt ikke eksisterer, er spil til en enkelt terning. Reglerne kræver mindst to (for eksempel crepe). For at spille terningpoker skal du have fem terninger, en kuglepen og papir. Målet er at fuldføre kombinationer, der ligner dem i kortspillet af samme navn, og registrere pointene for dem i en speciel tabel. Derudover er terningen en meget populær del til brætspil, så du kan flytte chips eller bestemme udfaldet af spilkampe.

Die er støbt.
I 49 f.Kr. e. den unge Julius Cæsar erobrede Gallien og vendte tilbage til Pompeji. Men hans magt var en kilde til bekymring for senatorerne, som besluttede at opløse sin hær før hans tilbagevenden. Den fremtidige kejser, der er ankommet til republikkens grænser, beslutter sig for at overtræde ordren ved at krydse den med sin hær. Før han krydsede Rubicon (floden, der var grænsen), sagde han til sine legionærer "Alea jacta est" ("terningen er kastet"). Dette ordsprog er blevet et slagord, hvis betydning er, at det, som i spillet, efter nogle beslutninger ikke længere er muligt at trække sig tilbage.