Kopyevskaya landdistriktsgymnasium

10 måder at løse andengradsligninger på

Leder: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

matematiklærer

landsbyen Kopyevo, 2007

1. Historien om udviklingen af ​​andengradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus kompilerede og løste kvadratiske ligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i Indien

1.4 Kvadratiske ligninger fra al-Khwarizmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundreder

1.6 Om Vietas sætning

2. Metoder til løsning af andengradsligninger

Konklusion

Litteratur

1. Historien om udviklingen af ​​andengradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for at løse ligninger ikke kun af første, men også af anden grad selv i antikken var forårsaget af behovet for at løse problemer forbundet med at finde områder med jord og jordarbejder af militær karakter, såvel som med udviklingen af ​​astronomi og matematikken selv. De var i stand til at løse andengradsligninger omkring 2000 f.Kr. NS. babyloniere.

Ved at anvende den moderne algebraiske notation kan vi sige, at der i deres kileskriftstekster ud over ufuldstændige tekster er sådanne, for eksempel komplette andengradsligninger:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Reglen for løsning af disse ligninger, som er angivet i de babylonske tekster, falder i det væsentlige sammen med den moderne, men det vides ikke, hvordan babylonierne kom til denne regel. Næsten alle de hidtil fundne kileskriftstekster giver kun problemer med løsninger opstillet i form af opskrifter, uden instruktioner om, hvordan de er fundet.

På trods af det høje udviklingsniveau af algebra i Babylon, mangler kileskriftsteksterne konceptet om et negativt tal og generelle metoder til løsning af andengradsligninger.

1.2 Hvordan Diophantus kompilerede og løste andengradsligninger.

I "Aritmetikken" af Diophantus er der ingen systematisk præsentation af algebra, men den indeholder en systematiseret række af problemer, ledsaget af forklaringer og løst ved at opstille ligninger af forskellige grader.

Når Diophantus opstiller ligninger, vælger Diophantus dygtigt ukendte for at forenkle løsningen.

Her er for eksempel en af ​​hans opgaver.

Opgave 11."Find to tal, vel vidende at deres sum er 20 og produktet er 96"

Diophantus argumenterer som følger: af problemets betingelse følger, at de søgte tal ikke er ens, da hvis de var ens, så ville deres produkt ikke svare til 96, men 100. Således vil et af dem være mere end halvdelen af ​​deres sum, dvs... 10 + x, den anden er mindre, dvs. 10 - x... Forskellen mellem dem 2x .

Derfor ligningen:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2... Et af de nødvendige tal er 12 , Andet 8 ... Løsning x = -2 thi Diophantus findes ikke, da græsk matematik kun kendte positive tal.

Hvis vi løser dette problem ved at vælge et af de nødvendige tal som det ukendte, så kommer vi til løsningen af ​​ligningen

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er klart, at Diophantus forenkler løsningen ved at vælge halvforskellen af ​​de søgte tal som det ukendte; han formår at reducere problemet til at løse en ufuldstændig andengradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i Indien

Problemer med andengradsligninger støder man allerede på i den astronomiske kanal "Aryabhattiam", udarbejdet i 499 af den indiske matematiker og astronom Aryabhatta. En anden indisk lærd, Brahmagupta (VII århundrede), skitserede den generelle regel for løsning af andengradsligninger, reduceret til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a> 0. (1)

I ligning (1) er koefficienterne undtagen -en, kan være negativ. Brahmagupta-reglen er i det væsentlige den samme som vores.

I det gamle Indien var offentlig konkurrence om at løse vanskelige problemer almindelig. En af de gamle indiske bøger siger om sådanne konkurrencer følgende: "Som solen formørker stjernerne med sin glans, således vil en lærd mand formørke en andens herlighed i folkelige forsamlinger, foreslå og løse algebraiske problemer." Opgaverne var ofte klædt i poetisk form.

Her er en af ​​opgaverne for den berømte indiske matematiker i det XII århundrede. Bhaskaras.

Opgave 13.

"Frisk flok aber og tolv over vinstokkene ...

Efter at have spist kraften, have det sjovt. De begyndte at hoppe, hænge ...

Der er ottende del af dem i en firkant. Hvor mange aber var der,

Jeg morede mig i lysningen. Fortæller du mig, i denne pakke?"

Bhaskaras løsning indikerer, at han kendte til andengradsligningernes toværdirødder (fig. 3).

Ligning svarende til opgave 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dække:

x 2 - 64x = -768

og for at fuldføre venstre side af denne ligning til et kvadrat, tilføjes til begge sider 32 2 , så får du:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger for al - Khorezmi

I den algebraiske afhandling al - Khorezmi er der givet en klassifikation af lineære og andengradsligninger. Forfatteren tæller 6 typer ligninger, der udtrykker dem som følger:

1) "Kvadrater er lig med rødder", dvs. akse 2 + c = b NS.

2) "Kvadrater er lig med et tal", dvs. økse 2 = c.

3) "Rødderne er lig med tallet", dvs. ah = c.

4) "Kvadrater og tal er lig med rødder", dvs akse 2 + c = b NS.

5) "Kvadrater og rødder er lig med et tal", dvs. ah 2+ bx = s.

6) “Rødder og tal er lig med kvadrater”, dvs. bx + c = akse 2.

For al - Khorezmi, som undgik at bruge negative tal, er vilkårene for hver af disse ligninger addender, ikke fratrukket. I dette tilfælde tages der bestemt ikke hensyn til ligninger, der ikke har positive løsninger. Forfatteren skitserer måderne til at løse disse ligninger ved at bruge teknikkerne fra al - jabr og al - muqabal. Hans beslutning er naturligvis ikke helt sammenfaldende med vores. Udover at det er rent retorisk, skal det f.eks. bemærkes, at når man løser en ufuldstændig andengradsligning af den første type

al - Khorezmi tager, som alle matematikere op til det 17. århundrede, ikke højde for nulløsningen, sandsynligvis fordi den ikke betyder noget i specifikke praktiske problemer. Når man løser komplette andengradsligninger, opstiller al - Khorezmi ved hjælp af særlige numeriske eksempler reglerne for løsning og derefter geometriske beviser.

Opgave 14."Kvadratet og tallet 21 er lig med 10 rødder. Find roden " (antyder roden af ​​ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning lyder sådan her: divider antallet af rødder i to, du får 5, gange 5 med sig selv, træk 21 fra produktet, der bliver 4. Træk roden ud af 4, du får 2. Træk 2 fra 5 , får du 3, vil dette være den ønskede rod. Eller tilføj 2 til 5, hvilket giver 7, dette er også en rod.

Afhandlingen al - Khorezmi er den første bog, der er kommet ned til os, hvor klassificeringen af ​​andengradsligninger systematisk præsenteres og formler for deres løsning er givet.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - Xvii cc

Formler til løsning af andengradsligninger på modellen af ​​al - Khorezmi i Europa blev først fremsat i "Abakusbogen", skrevet i 1202 af den italienske matematiker Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrige værk, som afspejler matematikkens indflydelse, både i islams lande og i det antikke Grækenland, er kendetegnet ved både fuldstændighed og klarhed i præsentationen. Forfatteren udviklede selvstændigt nogle nye algebraiske eksempler på løsning af problemer og var den første i Europa til at nærme sig indførelsen af ​​negative tal. Hans bog bidrog til udbredelsen af ​​algebraisk viden ikke kun i Italien, men også i Tyskland, Frankrig og andre europæiske lande. Mange problemer fra "Bog om Abacus" blev overført til næsten alle europæiske lærebøger i det 16. - 17. århundrede. og dels XVIII.

Den generelle regel for løsning af andengradsligninger reduceret til en enkelt kanonisk form:

x 2+ bx = s,

med alle mulige kombinationer af odds-tegn b , med blev først formuleret i Europa i 1544 af M. Stiefel.

Afledningen af ​​formlen til løsning af en andengradsligning i generel form er tilgængelig i Viet, dog genkendte Viet kun positive rødder. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blandt de første i det 16. århundrede. Overvej, ud over positive og negative rødder. Først i det 17. århundrede. Takket være arbejdet fra Girard, Descartes, Newton og andre videnskabsmænd antager metoden til løsning af andengradsligninger en moderne form.

1.6 Om Vietas sætning

En sætning, der udtrykker forholdet mellem koefficienterne for en andengradsligning og dens rødder, kaldet Vieta, blev først formuleret af ham i 1591 som følger: "Hvis B + D ganget med EN - EN 2 , lige med BD, derefter EN lige med V og lige D ».

For at forstå Vieta bør man huske det EN, som enhver vokal, betød for ham det ukendte (vor NS), vokalerne V, D- koefficienter for det ukendte. På moderne algebras sprog betyder Vietas ovenstående formulering: hvis

(et + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ved at udtrykke forholdet mellem rødderne og ligningskoefficienterne ved hjælp af generelle formler skrevet ved hjælp af symboler, etablerede Viet ensartethed i metoderne til at løse ligninger. Vietas symbolik er dog stadig langt fra sin moderne form. Han genkendte ikke negative tal, og derfor overvejede han, når han løste ligninger, kun tilfælde, hvor alle rødder er positive.

2. Metoder til løsning af andengradsligninger

Kvadratiske ligninger er det grundlag, som algebraens storslåede bygning hviler på. Kvadratiske ligninger er meget brugt til at løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrationelle og transcendentale ligninger og uligheder. Vi ved alle, hvordan man løser andengradsligninger fra skole (8. klasse), indtil eksamen.

I det moderne samfund kan evnen til at udføre handlinger med ligninger indeholdende en variabel i kvadrat være nyttig inden for mange aktivitetsområder og er meget udbredt i praksis i den videnskabelige og tekniske udvikling. Dette fremgår af design af hav- og flodfartøjer, fly og missiler. Ved hjælp af sådanne beregninger bestemmes bevægelsesbanerne for en lang række kroppe, herunder rumobjekter. Eksempler med løsning af kvadratiske ligninger bruges ikke kun i økonomisk prognose, i design og konstruktion af bygninger, men også i de mest almindelige hverdagsforhold. De kan være nødvendige på campingture, ved sportsbegivenheder, i butikker, når du handler, og i andre meget almindelige situationer.

Lad os opdele udtrykket i dets konstituerende faktorer

Graden af ​​en ligning bestemmes af den maksimale værdi af graden af ​​den variabel, som det givne udtryk indeholder. Hvis den er lig med 2, kaldes en sådan ligning kvadratisk.

Hvis vi bruger formlers sprog, så kan disse udtryk, uanset hvordan de ser ud, altid reduceres til formen, når venstre side af udtrykket består af tre led. Blandt dem: akse 2 (det vil sige en variabel i anden kvadrat med dens koefficient), bx (en ukendt uden kvadrat med dens koefficient) og c (en fri komponent, det vil sige et almindeligt tal). Alt dette på højre side er lig med 0. I det tilfælde, hvor et lignende polynomium mangler en af ​​dets konstituerende led, med undtagelse af akse 2, kaldes det en ufuldstændig andengradsligning. Eksempler med løsning af sådanne problemer, hvor værdien af ​​variable er let at finde, bør overvejes først.

Hvis udtrykket ser sådan ud, at der er to led i højre side af udtrykket, nærmere bestemt ax 2 og bx, er det nemmest at finde x ved at placere variablen uden for parenteserne. Nu vil vores ligning se således ud: x (ax + b). Yderligere bliver det indlysende, at enten x = 0, eller også er problemet reduceret til at finde en variabel fra følgende udtryk: ax + b = 0. Dette er dikteret af en af ​​egenskaberne ved multiplikation. Reglen er, at produktet af to faktorer kun resulterer i 0, hvis en af ​​dem er lig nul.

Eksempel

x = 0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to rødder af ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger af denne art kan beskrive bevægelser af kroppe under påvirkning af tyngdekraften, som begyndte at bevæge sig fra et bestemt punkt taget som oprindelse. Her antager den matematiske notation følgende form: y = v 0 t + gt 2/2. Ved at erstatte de nødvendige værdier, sidestille højre side med 0 og finde mulige ukendte, kan du finde ud af den tid, der går fra det øjeblik, kroppen rejser sig til det øjeblik, den falder, såvel som mange andre størrelser. Men vi taler om dette senere.

Faktorering af et udtryk

Reglen beskrevet ovenfor gør det muligt at løse disse problemer i mere komplekse sager. Lad os overveje eksempler med løsning af andengradsligninger af denne type.

X 2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratiske trinomium er komplet. Lad os først transformere udtrykket og faktorisere det. Der er to af dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to rødder 8 og 25.

Eksempler med løsning af andengradsligninger i klasse 9 tillader denne metode at finde en variabel i udtryk ikke kun af anden, men endda af tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når man faktoriserer højre side i faktorer med en variabel, er der tre af dem, det vil sige (x + 1), (x-3) og (x + 3).

Som et resultat bliver det tydeligt, at denne ligning har tre rødder: -3; -1; 3.

Udtrækning af kvadratroden

Et andet tilfælde af en ufuldstændig andenordens ligning er et udtryk repræsenteret i bogstavsproget på en sådan måde, at højre side er konstrueret af komponenterne ax 2 og c. Her, for at få værdien af ​​variablen, overføres frileddet til højre side, hvorefter kvadratroden trækkes ud fra begge sider af ligheden. Det skal bemærkes, at i dette tilfælde er der normalt to rødder af ligningen. De eneste undtagelser er ligheder, der slet ikke indeholder udtrykket c, hvor variablen er lig nul, samt varianter af udtryk, når højre side viser sig at være negativ. I sidstnævnte tilfælde er der ingen løsninger overhovedet, da ovenstående handlinger ikke kan udføres med rødder. Eksempler på løsninger til andengradsligninger af denne type bør overvejes.

I dette tilfælde vil rødderne af ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning af arealet af jordplottet

Behovet for denne form for beregninger dukkede op i oldtiden, fordi matematikkens udvikling i mange henseender i disse fjerne tider skyldtes behovet for at bestemme med den største nøjagtighed arealer og omkredse af jordlodder.

Eksempler med løsning af andengradsligninger, kompileret på baggrund af problemer af denne art, bør overvejes af os.

Så lad os sige, at der er et rektangulært stykke jord, hvis længde er 16 meter længere end bredden. Find længden, bredden og omkredsen af ​​stedet, hvis det vides, at dets areal er 612 m 2.

For at komme i gang, lad os først tegne den nødvendige ligning. Lad os betegne med x bredden af ​​sektionen, så vil dens længde være (x + 16). Det følger af det skrevet, at arealet er bestemt af udtrykket x (x + 16), som ifølge vores opgaves tilstand er 612. Det betyder, at x (x + 16) = 612.

Løsningen af ​​komplette andengradsligninger, og dette udtryk er netop det, kan ikke gøres på samme måde. Hvorfor? Selvom venstre side af det stadig indeholder to faktorer, er produktet slet ikke lig med 0, så andre metoder gælder her.

Diskriminerende

Først og fremmest vil vi lave de nødvendige transformationer, derefter vil udseendet af dette udtryk se således ud: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder, at vi har modtaget et udtryk i den form, der svarer til den tidligere angivne standard, hvor a = 1, b = 16, c = -612.

Dette kan være et eksempel på løsning af andengradsligninger gennem diskriminanten. Her foretages de nødvendige beregninger efter skemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjælpemængde gør det ikke kun muligt at finde de nødvendige mængder i andenordensligningen, den bestemmer også antallet af mulige muligheder. Hvis D> 0, er der to af dem; for D = 0 er der én rod. Hvis D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rødder og deres formel

I vores tilfælde er diskriminanten: 256 - 4 (-612) = 2704. Dette indikerer, at vores problem har et svar. Hvis du kender k, skal løsningen af ​​andengradsligninger fortsættes ved at bruge formlen nedenfor. Det giver dig mulighed for at beregne rødderne.

Dette betyder, at i det præsenterede tilfælde: x 1 = 18, x 2 = -34. Den anden mulighed i dette dilemma kan ikke være en løsning, fordi grundens dimensioner ikke kan måles i negative værdier, hvilket betyder, at x (det vil sige bredden af ​​grunden) er 18 m. Herfra beregner vi længden: 18 + 16 = 34, og omkredsen 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Eksempler og opgaver

Vi fortsætter med at studere andengradsligninger. Eksempler og en detaljeret løsning på flere af dem vil blive givet nedenfor.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Vi overfører alt til venstre side af ligheden, laver en transformation, det vil sige, vi får formen af ​​ligningen, som normalt kaldes standard, og sætter lig med nul.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ved at tilføje lignende, definerer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Det betyder, at vores ligning vil have to rødder. Lad os beregne dem i henhold til ovenstående formel, hvilket betyder, at den første af dem vil være lig med 4/3, og den anden 1.

2) Nu vil vi afsløre gåderne af en anden art.

Lad os finde ud af, om der overhovedet er rødder her x 2 - 4x + 5 = 1? For at få et udtømmende svar, lad os bringe polynomiet til den passende velkendte form og beregne diskriminanten. I dette eksempel er løsningen af ​​andengradsligningen ikke nødvendig, fordi essensen af ​​problemet slet ikke ligger i dette. I dette tilfælde er D = 16 - 20 = -4, hvilket betyder, at der virkelig ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Det er praktisk at løse andengradsligninger ved hjælp af ovenstående formler og diskriminanten, når kvadratroden udvindes fra værdien af ​​sidstnævnte. Men det er ikke altid tilfældet. Der er dog mange måder at få værdierne af variabler i dette tilfælde. Eksempel: løsning af andengradsligninger ved Vietas sætning. Hun er opkaldt efter en mand, der levede i det 16. århundredes Frankrig og gjorde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Hans portræt kan ses i artiklen.

Mønsteret bemærket af den berømte franskmand var som følger. Han beviste, at rødderne af ligningen i summen er numerisk lig -p = b / a, og deres produkt svarer til q = c / a.

Lad os nu se på specifikke opgaver.

3x 2 + 21x - 54 = 0

For nemheds skyld, lad os omdanne udtrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vi vil bruge Vietas sætning, dette vil give os følgende: summen af ​​rødderne er -7, og deres produkt er -18. Heraf får vi, at ligningens rødder er tallene -9 og 2. Efter at have foretaget en kontrol, vil vi sikre os, at disse værdier af variablerne virkelig passer ind i udtrykket.

Parabolgraf og ligning

Begreberne en andengradsfunktion og andengradsligninger er tæt beslægtede. Eksempler på dette er allerede givet tidligere. Lad os nu se lidt mere detaljeret på nogle af de matematiske gåder. Enhver ligning af den beskrevne type kan visualiseres. Et sådant forhold, tegnet i form af en graf, kaldes en parabel. Dens forskellige typer er vist i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil sige et punkt, hvorfra dens grene kommer frem. Hvis a> 0, går de højt til uendeligt, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle repræsentationer af funktioner hjælper med at løse alle ligninger, inklusive kvadratiske ligninger. Denne metode kaldes grafisk. Og værdien af ​​variablen x er abscissekoordinaten i de punkter, hvor graflinjen skærer 0x. Koordinaterne for toppunktet kan findes ved den netop givne formel x 0 = -b / 2a. Og ved at erstatte den resulterende værdi i den oprindelige ligning af funktionen, kan du finde ud af y 0, det vil sige den anden koordinat af parablens toppunkt, der hører til ordinataksen.

Skæringspunktet mellem parablens grene og abscisseaksen

Der er mange eksempler på løsning af andengradsligninger, men der er også generelle mønstre. Lad os overveje dem. Det er klart, at grafens skæring med 0x-aksen for a> 0 kun er mulig, hvis y 0 tager negative værdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Rødderne kan også bestemmes ud fra parabelgrafen. Det modsatte er også sandt. Det vil sige, at hvis det ikke er let at få et visuelt billede af en andengradsfunktion, kan du sidestille højre side af udtrykket til 0 og løse den resulterende ligning. Og ved at kende skæringspunkterne med 0x-aksen er det lettere at bygge en graf.

Fra historien

Ved hjælp af ligninger, der indeholdt en variabel i kvadrat, lavede man i gamle dage ikke kun matematiske beregninger og bestemte arealer af geometriske former. De gamle havde brug for sådanne beregninger til storslåede opdagelser inden for fysik og astronomi, såvel som for at lave astrologiske prognoser.

Som moderne videnskabsmænd antager, var indbyggerne i Babylon blandt de første til at løse andengradsligninger. Det skete fire århundreder før vor tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger fundamentalt forskellige fra dem, der i øjeblikket er accepteret, og viste sig at være meget mere primitive. For eksempel havde de mesopotamiske matematikere ingen idé om eksistensen af ​​negative tal. De var også ukendte med andre finesser fra dem, som enhver skolebørn i vor tid kender.

Måske endda tidligere end videnskabsmændene i Babylon, tog vismanden fra Indien Baudhayama løsningen af ​​andengradsligninger op. Det skete omkring otte århundreder før fremkomsten af ​​Kristi æra. Sandt nok var ligningerne af anden orden, de løsningsmetoder, han gav, de enkleste. Udover ham var kinesiske matematikere også interesserede i lignende spørgsmål i gamle dage. I Europa begyndte andengradsligninger først at blive løst i begyndelsen af ​​det 13. århundrede, men senere blev de brugt i deres værker af så store videnskabsmænd som Newton, Descartes og mange andre.

Kvadratisk ligning - let at løse! * Videre i teksten "KU". Venner, ser det ud til, hvad kunne være nemmere i matematik end at løse sådan en ligning. Men noget sagde mig, at mange har problemer med ham. Jeg besluttede at se, hvor mange visninger om måneden Yandex. Her er hvad der skete, tag et kig:

Hvad betyder det? Det betyder, at omkring 70.000 mennesker om måneden søger efter denne information, og hvad der sker midt i studieåret – der vil være dobbelt så mange henvendelser. Dette er ikke overraskende, fordi de fyre og piger, der dimitterede fra skolen for længe siden og forbereder sig til Unified State Examen, leder efter denne information, og skolebørn søger også at genopfriske den i deres hukommelse.

På trods af at der er mange sider, der fortæller dig, hvordan du løser denne ligning, besluttede jeg også at gøre mit til og udgive materialet. For det første ønsker jeg, at besøgende kommer til mit websted for denne anmodning; for det andet vil jeg i andre artikler, når "KU"-talen kommer, give et link til denne artikel; for det tredje vil jeg fortælle dig lidt mere om hans løsning, end der normalt står på andre sider. Lad os komme igang! Artiklens indhold:

En andengradsligning er en ligning af formen:

hvor koefficienterne a,bog med vilkårlige tal, med a ≠ 0.

I skoleforløbet gives materialet i følgende form - ligningerne er betinget opdelt i tre klasser:

1. De har to rødder.

2. * Har kun én rod.

3. Har ingen rødder. Det er værd at bemærke her, at de ikke har nogen gyldige rødder.

Hvordan beregnes rødder? Lige!

Vi beregner diskriminanten. Under dette "forfærdelige" ord ligger en meget enkel formel:

Rodformlerne er som følger:

* Disse formler skal kendes udenad.

Du kan straks skrive ned og beslutte:

Eksempel:

1. Hvis D> 0, så har ligningen to rødder.

2. Hvis D = 0, så har ligningen én rod.

3. Hvis D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Lad os tage et kig på ligningen:

I denne forbindelse, når diskriminanten er nul, siger man i skoleforløbet, at der opnås én rod, her er den lig med ni. Alt er korrekt, det er det, men...

Denne fremstilling er noget forkert. Faktisk er der to rødder. Ja, ja, bliv ikke overrasket, det viser sig to lige store rødder, og for at være matematisk nøjagtig, så skal svaret skrives to rødder:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det er sådan - en lille digression. I skolen kan man skrive ned og sige, at der er én rod.

Nu det næste eksempel:

Som vi ved, udtrækkes roden af ​​et negativt tal ikke, så der er ingen løsning i dette tilfælde.

Det er hele løsningsprocessen.

Kvadratisk funktion.

Sådan ser løsningen ud geometrisk. Dette er ekstremt vigtigt at forstå (i fremtiden vil vi i en af ​​artiklerne analysere i detaljer løsningen af ​​kvadratuligheden).

Dette er en funktion af formen:

hvor x og y er variable

a, b, c - givne tal, med a ≠ 0

Grafen er en parabel:

Det vil sige, at det viser sig, at vi ved at løse andengradsligningen med "y" lig nul, finder parablens skæringspunkter med x-aksen. Der kan være to af disse punkter (diskriminanten er positiv), en (diskriminanten er nul) og ingen (diskriminanten er negativ). Mere om den kvadratiske funktion Du kan se artikel af Inna Feldman.

Lad os overveje nogle eksempler:

Eksempel 1: Løs 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = –12

* Det var muligt umiddelbart at dividere venstre og højre side af ligningen med 2, det vil sige for at forenkle den. Beregningerne bliver nemmere.

Eksempel 2: Beslutte x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Vi fik at x 1 = 11 og x 2 = 11

I svaret er det tilladt at skrive x = 11.

Svar: x = 11

Eksempel 3: Beslutte x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskriminanten er negativ, der er ingen løsning i reelle tal.

Svar: ingen løsning

Diskriminanten er negativ. Der er en løsning!

Her vil vi tale om at løse ligningen i det tilfælde, hvor der opnås en negativ diskriminant. Ved du noget om komplekse tal? Jeg vil ikke gå i detaljer her om hvorfor og hvor de kom fra og hvad deres specifikke rolle og behov i matematik er, dette er et emne for en stor separat artikel.

Begrebet et komplekst tal.

Lidt teori.

Et komplekst tal z er et tal på formen

z = a + bi

hvor a og b er reelle tal, er i den såkaldte imaginære enhed.

a + bi Er et ENKELT TAL, ikke tilføjelse.

Den imaginære enhed er lig med roden af ​​minus en:

Overvej nu ligningen:

Vi har to konjugerede rødder.

Ufuldstændig andengradsligning.

Overvej specielle tilfælde, det er når koefficienten "b" eller "c" er lig med nul (eller begge er lig nul). De løses let uden diskriminanter.

Tilfælde 1. Koefficient b = 0.

Ligningen har formen:

Lad os transformere:

Eksempel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Tilfælde 2. Koefficient med = 0.

Ligningen har formen:

Vi transformerer, faktoriserer:

* Produktet er lig nul, når mindst én af faktorerne er lig nul.

Eksempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 eller x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tilfælde 3. Koefficienter b = 0 og c = 0.

Det er klart her, at løsningen til ligningen altid vil være x = 0.

Nyttige egenskaber og mønstre af koefficienter.

Der er egenskaber, der giver dig mulighed for at løse ligninger med store koefficienter.

-enx 2 + bx+ c=0 lighed holder

-en + b+ c = 0, derefter

- hvis for ligningens koefficienter -enx 2 + bx+ c=0 lighed holder

-en+ c =b, derefter

Disse egenskaber hjælper med at løse en bestemt form for ligning.

Eksempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summen af ​​odds er 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, derfor

Eksempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Ligestillingen er opfyldt -en+ c =b, midler

Regulariteter af koefficienterne.

1. Hvis koefficienten "b" i ligningen ax 2 + bx + c = 0 er lig med (a 2 +1), og koefficienten "c" er numerisk lig med koefficienten "a", så er dens rødder

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Eksempel. Overvej ligningen 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Hvis koefficienten "b" i ligningen ax 2 - bx + c = 0 er lig med (a 2 +1), og koefficienten "c" er numerisk lig med koefficienten "a", så er dens rødder

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Eksempel. Overvej ligningen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Hvis i ligningen ax 2 + bx - c = 0 koefficient "b" er lig med (a 2 - 1), og koefficienten "c" numerisk lig med koefficienten "a", så er dens rødder lige store

ax 2 + (a 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Eksempel. Overvej ligningen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Hvis koefficienten "b" i ligningen ax 2 - bx - c = 0 er lig med (a 2 - 1), og koefficienten c er numerisk lig med koefficienten "a", så er dens rødder

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Eksempel. Overvej ligningen 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietas sætning.

Vietas sætning er opkaldt efter den berømte franske matematiker François Vieta. Ved hjælp af Vietas sætning kan man udtrykke summen og produktet af rødderne af en vilkårlig KE i form af dens koefficienter.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

I alt giver tallet 14 kun 5 og 9. Det er rødderne. Med en vis færdighed kan du ved hjælp af den præsenterede sætning løse mange andengradsligninger verbalt.

Vietas sætning i øvrigt. praktisk ved, at efter at have løst andengradsligningen på den sædvanlige måde (gennem diskriminanten), kan de opnåede rødder kontrolleres. Jeg anbefaler at gøre dette til enhver tid.

OVERFØRSELSMÅDE

Med denne metode ganges koefficienten "a" med det frie led, som om den "kastes" til den, derfor kaldes den ved hjælp af "overførsel". Denne metode bruges, når du nemt kan finde ligningens rødder ved hjælp af Vietas sætning og, vigtigst af alt, når diskriminanten er et nøjagtigt kvadrat.

Hvis -en± b + c≠ 0, så bruges overførselsteknikken, for eksempel:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Ved Vietas sætning i ligning (2) er det let at bestemme, at x 1 = 10 x 2 = 1

De opnåede rødder af ligningen skal divideres med 2 (da to blev "kastet" fra x 2), får vi

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Hvad er begrundelsen? Se hvad der sker.

Diskriminanterne af ligning (1) og (2) er ens:

Hvis man ser på ligningernes rødder, så fås kun forskellige nævnere, og resultatet afhænger netop af koefficienten ved x 2:

De anden (modificerede) rødder er 2 gange større.

Derfor dividerer vi resultatet med 2.

* Hvis vi ruller en treer igen, dividerer vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ye og eksamen.

Jeg vil kort sige om dets betydning - DU SKAL KUN LØSE hurtigt og uden tøven, formlerne for rødderne og diskriminanten skal kendes udenad. Mange af opgaverne, der udgør USE-opgaverne, er reduceret til at løse en andengradsligning (inklusive geometriske).

Hvad er værd at bemærke!

1. Formen for at skrive ligningen kan være "implicit". For eksempel er følgende indgang mulig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 eller 15 -5x + 10x 2 = 0.

Du skal bringe det til en standardform (for ikke at blive forvirret, når du løser).

2. Husk, at x er en ukendt størrelse, og den kan betegnes med et hvilket som helst andet bogstav - t, q, p, h og andre.

", Det vil sige ligninger af første grad. I denne lektion vil vi analysere det man kalder en andengradsligning og hvordan man løser det.

Det der kaldes en andengradsligning

Vigtig!

Graden af ​​ligningen bestemmes af den største grad, hvori det ukendte står.

Hvis den maksimale effekt, som det ukendte står i, er "2", så har du en andengradsligning.

Eksempler på andengradsligninger

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Vigtig! Det generelle billede af andengradsligningen ser sådan ud:

A x 2 + b x + c = 0

• "A" - den første eller mest signifikante koefficient;
• "B" er den anden koefficient;
• "C" er et gratis medlem.

For at finde "a", "b" og "c" skal du sammenligne din ligning med den generelle form af andengradsligningen "ax 2 + bx + c = 0".

Lad os øve os i at definere koefficienterne "a", "b" og "c" i andengradsligninger.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Hvordan løses andengradsligninger

I modsætning til lineære ligninger, en speciel formel til at finde rødder.

Husk!

For at løse en andengradsligning skal du bruge:

• bringe andengradsligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0". Det vil sige, at kun "0" skal forblive på højre side;
• brug formel for rødder:

Lad os tage et eksempel på, hvordan man bruger en formel til at finde rødderne til en andengradsligning. Lad os løse andengradsligningen.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ligningen "x 2 - 3x - 4 = 0" er allerede blevet reduceret til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0" og kræver ikke yderligere forenklinger. For at løse det skal vi bare ansøge formlen til at finde rødderne til en andengradsligning.

Lad os definere koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.

Med dens hjælp løses enhver andengradsligning.

I formlen "x 1; 2 =" erstattes det radikale udtryk ofte
"B 2 - 4ac" med bogstavet "D" og kaldes diskriminanten. Begrebet en diskriminant diskuteres mere detaljeret i lektionen "Hvad er en diskriminant".

Overvej et andet eksempel på en andengradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

Det er ret vanskeligt at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" i denne form. Lad os først bringe ligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Nu kan du bruge rodformlen.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Der er tidspunkter, hvor der ikke er rødder i andengradsligninger. Denne situation opstår, når der findes et negativt tal under roden i formlen.

Med dette matematikprogram kan du løse andengradsligningen.

Programmet giver ikke kun et svar på problemet, men viser også løsningsprocessen på to måder:
- ved at bruge diskriminanten
- ved hjælp af Vietas sætning (hvis muligt).

Desuden vises svaret nøjagtigt, ikke omtrentligt.
For eksempel, for ligningen \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), vises svaret i denne form:

Dette program kan være nyttigt for seniorstuderende på gymnasier som forberedelse til test og eksamen, når de kontrollerer viden før eksamen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

På den måde kan du gennemføre din egen undervisning og/eller undervisningen af ​​dine yngre søskende, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for de problemstillinger, der løses, stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af et kvadratisk polynomium, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af et kvadratisk polynomium

Ethvert latinsk bogstav kan bruges som en variabel.
For eksempel: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen fra helheden adskilles med enten et punkt eller et komma.
For eksempel kan du indtaste decimalbrøker som dette: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et heltal kan bruges som tæller, nævner og hel del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen er adskilt fra brøken med et og-tegn: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Når du indtaster et udtryk beslag kan bruges... I dette tilfælde, når man løser en andengradsligning, forenkles først det introducerede udtryk.
For eksempel: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Det viste sig, at nogle scripts, der var nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Måske har du AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

Fordi Der er rigtig mange der gerne vil løse problemet, din henvendelse står i køen.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i beslutningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer og hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Kvadratisk ligning og dens rødder. Ufuldstændige andengradsligninger

Hver af ligningerne
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
har formen
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tal.
I den første ligning a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den anden ligning a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Sådanne ligninger kaldes andengradsligninger.

Definition.
Kvadratisk ligning er en ligning af formen ax 2 + bx + c = 0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og \ (a \ neq 0 \).

Tallene a, b og c er koefficienterne for andengradsligningen. Tallet a kaldes den første koefficient, tallet b - den anden koefficient, og tallet c - det frie led.

I hver af ligningerne på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor \ (a \ neq 0 \), er den største potens af variablen x kvadratet. Deraf navnet: andengradsligning.

Bemærk, at en andengradsligning også kaldes en ligning af anden grad, da dens venstre side er et polynomium af anden grad.

En andengradsligning, hvor koefficienten ved x 2 er 1, kaldes reduceret andengradsligning... For eksempel er de reducerede andengradsligninger ligningerne
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Hvis i andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er mindst én af koefficienterne b eller c lig nul, så kaldes en sådan ligning ufuldstændig andengradsligning... Så ligningerne -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 er ufuldstændige andengradsligninger. I den første af dem er b = 0, i den anden c = 0, i den tredje b = 0 og c = 0.

Ufuldstændige andengradsligninger er af tre typer:
1) ax 2 + c = 0, hvor \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, hvor \ (b \ neq 0 \);
3) akse 2 = 0.

Lad os overveje løsningen af ​​ligninger af hver af disse typer.

For at løse en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + c = 0 for \ (c \ neq 0 \), overfører du dets frie led til højre side og dividerer begge sider af ligningen med a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Højrepil x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Siden \ (c \ neq 0 \), så \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Hvis \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), så har ligningen to rødder.

Hvis \ (- \ frac (c) (a) At løse en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 + bx = 0 med \ (b \ neq 0 \) faktor dens venstre side i faktorer og få ligningen
\ (x (ax + b) = 0 \ Højrepil \ venstre \ (\ begyndelse (array) (l) x = 0 \\ axe + b = 0 \ ende (array) \ højre. \ Højrepil \ venstre \ (\ begynde (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ højre. \)

Det betyder, at en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + bx = 0 for \ (b \ neq 0 \) altid har to rødder.

En ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 = 0 svarer til ligningen x 2 = 0 og har derfor en unik rod 0.

Formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os nu overveje, hvordan andengradsligninger løses, hvor både koefficienterne for de ukendte og det frie led er ikke-nul.

Lad os løse den andengradsligning i generel form, og som et resultat får vi formlen for rødderne. Så kan denne formel anvendes til at løse enhver andengradsligning.

Løs andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0

Ved at dividere begge dens dele med a, får vi den ækvivalente reducerede andengradsligning
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Vi transformerer denne ligning ved at vælge kvadratet af binomialet:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2- \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Højrepil \)

Det radikale udtryk kaldes andengradsligningens diskriminant ax 2 + bx + c = 0 (latinsk "diskriminant" er en diskriminator). Det er betegnet med bogstavet D, dvs.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nu, ved hjælp af notationen af ​​diskriminanten, omskriver vi formlen for rødderne af andengradsligningen:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), hvor \ (D = b ^ 2-4ac \)

Det er tydeligt at:
1) Hvis D> 0, så har andengradsligningen to rødder.
2) Hvis D = 0, så har andengradsligningen én rod \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Hvis D Altså, afhængigt af værdien af ​​diskriminanten, kan andengradsligningen have to rødder (for D> 0), én rod (for D = 0) eller ikke have rødder (for D Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det tilrådeligt at gå frem på følgende måde:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med nul;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lig med nul, så brug rodformlen, hvis diskriminanten er negativ, så skriv ned at der ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Den givne andengradsligning ax 2 -7x + 10 = 0 har rødderne 2 og 5. Summen af ​​rødderne er 7, og produktet er 10. Vi ser, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient taget med det modsatte tegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. Enhver given andengradsligning med rødder besidder denne egenskab.

Summen af ​​rødderne af den givne andengradsligning er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led.

De der. Vietas sætning siger, at rødderne x 1 og x 2 af den reducerede andengradsligning x 2 + px + q = 0 har egenskaben:
\ (\ venstre \ (\ begyndelse (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ ende (array) \ højre. \)