Sådan finder du ud af en funktions paritet. Lige og ulige funktioner

En funktions jævnhed og ulige karakter er en af ​​dens hovedegenskaber, og paritet fylder en imponerende del af skolens matematikkursus. Det bestemmer i høj grad funktionens opførsel og letter i høj grad konstruktionen af ​​den tilsvarende graf.

Lad os bestemme funktionens paritet. Generelt betragtes funktionen under undersøgelse, selvom for modsatte værdier af den uafhængige variabel (x) placeret i dens definitionsdomæne, viser de tilsvarende værdier af y (funktion) sig at være ens.

Lad os give en mere streng definition. Overvej en funktion f (x), som er defineret i domænet D. Det vil være selv, hvis for et hvilket som helst punkt x placeret i definitionsdomænet:

• -x (modsat punkt) ligger også i dette omfang,

• f(-x) = f(x).

Af ovenstående definition følger den betingelse, der er nødvendig for definitionsdomænet for en sådan funktion, nemlig symmetri i forhold til punktet O, som er oprindelsen af ​​koordinater, da hvis et punkt b er indeholdt i definitionsdomænet for en lige funktion, så ligger det tilsvarende punkt b også i dette domæne. Af ovenstående følger derfor konklusionen: den lige funktion har en form symmetrisk i forhold til ordinataksen (Oy).

Hvordan bestemmer man i praksis en funktions paritet?

Lad det angives ved hjælp af formlen h(x)=11^x+11^(-x). Efter den algoritme, der følger direkte af definitionen, undersøger vi først dens definitionsdomæne. Det er naturligvis defineret for alle værdier af argumentet, det vil sige, at den første betingelse er opfyldt.

Det næste trin er at erstatte argumentet (x) med den modsatte værdi (-x).
Vi får:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Da addition opfylder den kommutative (kommutative) lov, er det indlysende, at h(-x) = h(x) og den givne funktionelle afhængighed er lige.

Lad os tjekke pariteten af ​​funktionen h(x)=11^x-11^(-x). Ved at følge den samme algoritme får vi, at h(-x) = 11^(-x) -11^x. Tager vi minus ud, i sidste ende har vi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Derfor er h(x) ulige.

Det skal i øvrigt huskes, at der er funktioner, der ikke kan klassificeres efter disse kriterier, de kaldes hverken lige eller ulige.

Selv funktioner har en række interessante egenskaber:

• som et resultat af at tilføje lignende funktioner, får de en lige;
• som et resultat af at trække sådanne funktioner fra, opnås en lige;
• selv, også selv;
• som et resultat af at gange to sådanne funktioner opnås en lige;
• som et resultat af multiplikation af ulige og lige funktioner opnås en ulige;
• som et resultat af opdeling af ulige og lige funktioner opnås en ulige;
• den afledte af en sådan funktion er ulige;
• Hvis du firkanter en ulige funktion, får du en lige.

En funktions paritet kan bruges til at løse ligninger.

For at løse en ligning som g(x) = 0, hvor venstre side af ligningen er en lige funktion, vil det være ganske nok at finde dens løsninger for variablens ikke-negative værdier. De resulterende rødder af ligningen skal kombineres med de modsatte tal. En af dem er underlagt verifikation.

Dette bruges også med succes til at løse ikke-standardproblemer med en parameter.

Er der f.eks. en værdi af parameteren a, for hvilken ligningen 2x^6-x^4-ax^2=1 vil have tre rødder?

Hvis vi tager højde for, at variablen kommer ind i ligningen i lige potenser, så er det klart, at udskiftning af x med - x ikke vil ændre den givne ligning. Det følger heraf, at hvis et bestemt tal er dens rod, så er det modsatte tal også roden. Konklusionen er indlysende: rødderne af en ligning, der er forskellig fra nul, er inkluderet i sættet af dens løsninger i "par".

Det er klart, at tallet i sig selv ikke er 0, det vil sige, at antallet af rødder i en sådan ligning kun kan være lige, og for enhver værdi af parameteren kan det naturligvis ikke have tre rødder.

Men antallet af rødder af ligningen 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kan være ulige, og for enhver værdi af parameteren. Det er faktisk nemt at kontrollere, at rødderne i denne ligning indeholder løsninger "i par". Lad os tjekke om 0 er en rod. Når vi erstatter det i ligningen, får vi 2=2. Ud over "parrede" er 0 således også en rod, som beviser deres ulige tal.

En funktion kaldes lige (ulige) hvis for nogen og ligheden

.

Grafen for en lige funktion er symmetrisk om aksen
.

Grafen for en ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen.

Eksempel 6.2. Undersøg om en funktion er lige eller ulige

1)
; 2)
; 3)
.

Løsning.

1) Funktionen defineres hvornår
. Vi finder
.

De der.
. Det betyder, at denne funktion er lige.

2) Funktionen defineres hvornår

De der.
. Derfor er denne funktion mærkelig.

3) funktionen er defineret for , dvs. Til

,
. Derfor er funktionen hverken lige eller ulige. Lad os kalde det en funktion af generel form.

Fungere
kaldes stigende (faldende) på et bestemt interval, hvis hver større værdi af argumentet i dette interval svarer til en større (mindre) værdi af funktionen.

Funktioner, der stiger (aftager) over et bestemt interval kaldes monotone.

Hvis funktionen
differentierbar på intervallet
og har en positiv (negativ) afledt
, derefter funktionen
stiger (falder) over dette interval.

Eksempel 6.3. Find intervaller af monotoni af funktioner

1)
; 3)
.

Løsning.

1) Denne funktion er defineret på hele tallinjen. Lad os finde den afledte.

Den afledte er nul if
Og
. Definitionsdomænet er talaksen divideret med prikker
,
med mellemrum. Lad os bestemme fortegnet for den afledede i hvert interval.

I intervallet
den afledede er negativ, funktionen falder på dette interval.

I intervallet
den afledede er positiv, derfor øges funktionen over dette interval.

2) Denne funktion er defineret hvis
eller

.

Vi bestemmer tegnet for det kvadratiske trinomium i hvert interval.

Således er funktionens definitionsdomæne

Lad os finde den afledte
,
, hvis
, dvs.
, Men
. Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervallerne
.

I intervallet
den afledede er negativ, derfor falder funktionen på intervallet
. I intervallet
den afledede er positiv, funktionen øges over intervallet
.

Prik
kaldet det maksimale (minimum) punkt for funktionen
, hvis der er et sådant område af punktet det er for alle
fra dette kvarter holder uligheden

.

Maksimums- og minimumspunkterne for en funktion kaldes ekstremumpunkter.

Hvis funktionen
på punktet har et ekstremum, så er den afledede af funktionen på dette tidspunkt lig med nul eller eksisterer ikke (en nødvendig betingelse for eksistensen af ​​et ekstremum).

De punkter, hvor den afledede er nul eller ikke eksisterer, kaldes kritiske.

Regel 1. Hvis under overgangen (fra venstre til højre) gennem det kritiske punkt afledte
skifter fortegn fra "+" til "–", derefter ved punktet fungere
har et maksimum; hvis fra “–” til “+”, så minimum; Hvis
ikke skifter fortegn, så er der ikke noget ekstremum.

Regel 2. Lad ved punktet
første afledede af en funktion
lig med nul
, og den anden afledede eksisterer og er forskellig fra nul. Hvis
, At – maksimum point, hvis
, At – minimumspunkt for funktionen.

Eksempel 6.4. Udforsk maksimum- og minimumsfunktionerne:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Løsning.

1) Funktionen er defineret og kontinuerlig på intervallet
.

Lad os finde den afledte
og løse ligningen
, dvs.
.Herfra
– kritiske punkter.

Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervallerne,
.

Når du passerer gennem punkter
Og
den afledede ændrer fortegn fra "–" til "+", derfor ifølge regel 1
– minimumspoint.

Når man passerer gennem et punkt
den afledte skifter fortegn fra "+" til "–", så
– maksimum point.

,
.

2) Funktionen er defineret og kontinuerlig i intervallet
. Lad os finde den afledte
.

Efter at have løst ligningen
, finder vi
Og
– kritiske punkter. Hvis nævneren
, dvs.
, så eksisterer derivatet ikke. Så,
– tredje kritiske punkt. Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervaller.

Derfor har funktionen et minimum på punktet
, maksimum i point
Og
.

3) En funktion er defineret og kontinuerlig if
, dvs. på
.

Lad os finde den afledte

.

Lad os finde kritiske punkter:

Kvarter af punkter
hører ikke til definitionsdomænet, derfor er de ikke ekstrema. Så lad os undersøge de kritiske punkter
Og
.

4) Funktionen er defineret og kontinuerlig på intervallet
. Lad os bruge regel 2. Find den afledede
.

Lad os finde kritiske punkter:

Lad os finde den anden afledede
og bestemme dets fortegn ved punkterne

På punkter
funktion har et minimum.

På punkter
funktionen har et maksimum.

Hvordan indsætter man matematiske formler på en hjemmeside?

Hvis du nogensinde har brug for at tilføje en eller to matematiske formler til en webside, så er den nemmeste måde at gøre dette på som beskrevet i artiklen: matematiske formler indsættes nemt på webstedet i form af billeder, der automatisk genereres af Wolfram Alpha . Ud over enkelhed vil denne universelle metode hjælpe med at forbedre webstedets synlighed i søgemaskiner. Det har virket i lang tid (og, tror jeg, vil virke for evigt), men er allerede moralsk forældet.

Hvis du jævnligt bruger matematiske formler på dit websted, så anbefaler jeg, at du bruger MathJax - et særligt JavaScript-bibliotek, der viser matematisk notation i webbrowsere, der bruger MathML, LaTeX eller ASCIIMathML markup.

Der er to måder at begynde at bruge MathJax på: (1) ved hjælp af en simpel kode, kan du hurtigt forbinde et MathJax script til dit websted, som automatisk indlæses fra en ekstern server på det rigtige tidspunkt (liste over servere); (2) download MathJax-scriptet fra en fjernserver til din server og tilslut det til alle sider på dit websted. Den anden metode - mere kompleks og tidskrævende - vil fremskynde indlæsningen af ​​dit websteds sider, og hvis den overordnede MathJax-server bliver midlertidigt utilgængelig af en eller anden grund, vil dette ikke påvirke dit eget websted på nogen måde. På trods af disse fordele valgte jeg den første metode, da den er enklere, hurtigere og ikke kræver tekniske færdigheder. Følg mit eksempel, og på kun 5 minutter vil du være i stand til at bruge alle funktionerne i MathJax på dit websted.

Du kan forbinde MathJax-biblioteksscriptet fra en fjernserver ved hjælp af to kodemuligheder taget fra MathJax hovedwebsted eller på dokumentationssiden:

En af disse kodemuligheder skal kopieres og indsættes i koden på din webside, helst mellem tags og eller umiddelbart efter tagget. Ifølge den første mulighed indlæses MathJax hurtigere og sænker siden mindre. Men den anden mulighed overvåger og indlæser automatisk de nyeste versioner af MathJax. Hvis du indsætter den første kode, skal den opdateres med jævne mellemrum. Hvis du indsætter den anden kode, indlæses siderne langsommere, men du behøver ikke konstant at overvåge MathJax-opdateringer.

Den nemmeste måde at forbinde MathJax på er i Blogger eller WordPress: Tilføj en widget, der er designet til at indsætte tredjeparts JavaScript-kode i webstedets kontrolpanel, kopier den første eller anden version af downloadkoden præsenteret ovenfor ind i den, og placer widgetten tættere på til begyndelsen af ​​skabelonen (det er i øvrigt slet ikke nødvendigt, da MathJax-scriptet indlæses asynkront). Det er alt. Lær nu markup-syntaksen for MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til at indsætte matematiske formler på dit websteds websider.

Enhver fraktal er konstrueret efter en bestemt regel, som konsekvent anvendes et ubegrænset antal gange. Hver sådan tid kaldes en iteration.

Den iterative algoritme til at konstruere en Menger-svamp er ret enkel: den originale terning med side 1 er opdelt af planer parallelt med dens flader i 27 lige store terninger. En central terning og 6 terninger støder op til den langs fladerne fjernes fra den. Resultatet er et sæt bestående af de resterende 20 mindre terninger. Gør vi det samme med hver af disse terninger, får vi et sæt bestående af 400 mindre terninger. Hvis vi fortsætter denne proces i det uendelige, får vi en Menger-svamp.

Funktion er et af de vigtigste matematiske begreber. En funktion er afhængigheden af ​​variablen y af variablen x, hvis hver værdi af x svarer til en enkelt værdi af y. Variablen x kaldes den uafhængige variabel eller argument. Variablen y kaldes den afhængige variabel. Alle værdier af den uafhængige variabel (variabel x) danner definitionsdomænet for funktionen. Alle værdier, som den afhængige variabel (variabel y) tager, udgør funktionens område.

Grafen for en funktion er mængden af ​​alle punkter i koordinatplanet, hvis abscisse er lig med værdierne af argumentet, og ordinaterne er lig med de tilsvarende værdier af funktionen, det vil sige værdier af variablen x er plottet langs abscisse-aksen, og værdierne af variablen y er plottet langs ordinataksen. For at tegne en funktion skal du kende funktionens egenskaber. Funktionens vigtigste egenskaber vil blive diskuteret nedenfor!

For at bygge en graf af en funktion, anbefaler vi at bruge vores program - Graffunktioner online. Hvis du har spørgsmål, mens du studerer materialet på denne side, kan du altid stille dem på vores forum. Også på forummet vil de hjælpe dig med at løse problemer inden for matematik, kemi, geometri, sandsynlighedsteori og mange andre fag!

Grundlæggende egenskaber ved funktioner.

1) Definitionsdomænet for funktionen og rækken af ​​værdier for funktionen.

En funktions domæne er mængden af ​​alle gyldige reelle værdier af argumentet x (variabel x), som funktionen y = f(x) er defineret for.
Rækkevidden af ​​en funktion er mængden af ​​alle reelle y-værdier, som funktionen accepterer.

I elementær matematik studeres funktioner kun på mængden af ​​reelle tal.

2) Funktionens nuller.

Værdier af x, for hvilke y=0 kaldes funktion nuller. Disse er abscissen af ​​funktionsgrafens skæringspunkter med Ox-aksen.

3) Intervaller af konstant fortegn for en funktion.

Intervaller af konstant fortegn for en funktion - sådanne intervaller af værdier x, hvor værdierne af funktionen y enten kun er positive eller kun negative kaldes intervaller af konstant fortegn for funktionen.

4) Monotonicitet af funktionen.

En stigende funktion (i et bestemt interval) er en funktion, hvor en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en større værdi af funktionen.

En faldende funktion (i et bestemt interval) er en funktion, hvor en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en mindre værdi af funktionen.

5) Jævnhed (mærkelighed) af funktionen.

En lige funktion er en funktion, hvis definitionsdomæne er symmetrisk med hensyn til oprindelsen og for enhver x f(-x) = f(x). Grafen for en lige funktion er symmetrisk omkring ordinaten.

En ulige funktion er en funktion, hvis definitionsdomæne er symmetrisk med hensyn til oprindelsen, og for enhver x fra definitionsdomænet er ligheden f(-x) = - f(x) sand. Grafen for en ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen.

Jævn funktion
1) Definitionsdomænet er symmetrisk i forhold til punktet (0; 0), det vil sige, hvis punkt a hører til definitionsdomænet, så hører punkt -a også til definitionsdomænet.
2) For enhver værdi x f(-x)=f(x)
3) Grafen for en lige funktion er symmetrisk om Oy-aksen.

En ulige funktion har følgende egenskaber:
1) Definitionsdomænet er symmetrisk omkring punktet (0; 0).
2) for enhver værdi x, der tilhører definitionsdomænet, er ligheden f(-x)=-f(x) opfyldt
3) Grafen for en ulige funktion er symmetrisk omkring oprindelsen (0; 0).

Ikke alle funktioner er lige eller ulige. Funktioner generel opfattelse er hverken lige eller ulige.

6) Begrænsede og ubegrænsede funktioner.

En funktion kaldes bundet, hvis der er et positivt tal M, således at |f(x)| ≤ M for alle værdier af x. Hvis et sådant nummer ikke findes, så er funktionen ubegrænset.

7) Funktionens periodicitet.

En funktion f(x) er periodisk, hvis der er et ikke-nul tal T, således at for ethvert x fra funktionens definitionsdomæne gælder følgende: f(x+T) = f(x). Dette mindste tal kaldes funktionens periode. Alle trigonometriske funktioner er periodiske. (Trigonometriske formler).

En funktion f kaldes periodisk, hvis der er et tal, således at ligheden f(x)=f(x-T)=f(x+T) gælder for enhver x fra definitionsdomænet. T er perioden for funktionen.

Hver periodisk funktion har et uendeligt antal perioder. I praksis betragtes normalt den mindste positive periode.

Værdierne af en periodisk funktion gentages efter et interval svarende til perioden. Dette bruges ved konstruktion af grafer.

Funktionsstudie.

1) D(y) – Definitionsdomæne: sættet af alle disse værdier af variablen x. for hvilke de algebraiske udtryk f(x) og g(x) giver mening.

Hvis en funktion er givet af en formel, så består definitionsdomænet af alle værdier af den uafhængige variabel, som formlen giver mening for.

2) Funktionens egenskaber: lige/ulige, periodicitet:

Funktioner, hvis grafer er symmetriske med hensyn til ændringer i argumentets fortegn, kaldes ulige og lige.

En ulige funktion er en funktion, der ændrer sin værdi til det modsatte, når tegnet for den uafhængige variabel ændres (symmetrisk i forhold til centrum af koordinaterne).

En lige funktion er en funktion, der ikke ændrer sin værdi, når tegnet for den uafhængige variabel ændres (symmetrisk om ordinaten).

Hverken en lige eller en ulige funktion (en funktion af generel form) er en funktion, der ikke har symmetri. Denne kategori omfatter funktioner, der ikke falder ind under de foregående 2 kategorier.

Funktioner, der ikke tilhører nogen af ​​kategorierne ovenfor, kaldes hverken lige eller ulige(eller generelle funktioner).

Ulige funktioner

Ulige potens hvor er et vilkårligt heltal.

Selv funktioner

Selv magt hvor er et vilkårligt heltal.

En periodisk funktion er en funktion, der gentager sine værdier efter et bestemt regulært argumentinterval, det vil sige, at den ikke ændrer sin værdi, når man tilføjer et eller andet fast ikke-nul tal (funktionens periode) gennem hele domænet af definition.

3) Nullpunkter (rødder) af en funktion er de punkter, hvor den bliver nul.

At finde skæringspunktet for grafen med aksen Åh. For at gøre dette skal du beregne værdien f(0). Find også grafens skæringspunkter med aksen Okse, hvorfor finde rødderne til ligningen f(x) = 0 (eller sørg for, at der ikke er nogen rødder).

De punkter, hvor grafen skærer aksen, kaldes funktionen nuller. For at finde en funktions nuller skal du løse ligningen, det vil sige finde de værdier af "x", hvor funktionen bliver nul.

4) Intervaller for konstans af tegn, tegn i dem.

Intervaller, hvor funktionen f(x) bevarer fortegn.

Et interval med konstant fortegn er et interval i hvert punkt, hvor funktionen er positiv eller negativ.

OVER x-aksen.

UNDER akslen.

5) Kontinuitet (punkter med diskontinuitet, diskontinuitetens art, asymptoter).

En kontinuert funktion er en funktion uden "spring", det vil sige en, hvor små ændringer i argumentet fører til små ændringer i funktionens værdi.

Hvis grænsen for funktionen eksisterer, men funktionen er ikke defineret på dette tidspunkt, eller grænsen falder ikke sammen med værdien af ​​funktionen på dette tidspunkt:

,

så kaldes punktet aftageligt knækpunkt funktioner (i kompleks analyse, et aftageligt ental punkt).

Hvis vi "retter" funktionen på punktet af aftagelig diskontinuitet og sætter , så får vi en funktion, der er kontinuert på et givet punkt. En sådan operation på en funktion kaldes udvidelse af funktionen til kontinuerlig eller redefinering af funktionen ved kontinuitet, hvilket retfærdiggør navnet på punktet som et punkt aftagelig brud.

Diskontinuitetspunkter af første og anden slags

Hvis en funktion har en diskontinuitet på et givet punkt (det vil sige, at grænsen for funktionen på et givet punkt er fraværende eller ikke falder sammen med værdien af ​​funktionen på et givet punkt), så er der for numeriske funktioner to muligheder forbundet med eksistensen af ​​numeriske funktioner ensidige grænser:

hvis begge ensidige grænser eksisterer og er endelige, så kaldes et sådant punkt et diskontinuitetspunkt af den første slags. Aftagelige diskontinuitetspunkter er diskontinuitetspunkter af den første slags;

hvis mindst en af ​​de ensidige grænser ikke eksisterer eller ikke er en endelig værdi, så kaldes et sådant punkt et diskontinuitetspunkt af den anden art.

Asymptote - lige, som har den egenskab, at afstanden fra et punkt på kurven til denne lige har en tendens til nul, når punktet bevæger sig væk langs grenen til det uendelige.

Lodret

Lodret asymptote - grænselinje .

Når de bestemmer den lodrette asymptote, leder de som regel ikke efter en grænse, men to ensidige (venstre og højre). Dette gøres for at bestemme, hvordan funktionen opfører sig, når den nærmer sig den lodrette asymptote fra forskellige retninger. For eksempel:

Vandret asymptote - lige art, underlagt eksistensen begrænse

.

Skrå asymptote - lige art, underlagt eksistensen grænser

Bemærk: en funktion kan ikke have mere end to skrå (vandrette) asymptoter.

Bemærk: hvis mindst en af ​​de to grænser nævnt ovenfor ikke eksisterer (eller er lig med ), så eksisterer den skrå asymptote ved (eller ) ikke.

hvis i punkt 2.), så , og grænsen findes ved hjælp af den vandrette asymptoteformel, .

6) Finde intervaller for monotoni. Find intervaller for monotoni af en funktion f(x)(det vil sige intervaller med stigende og faldende). Dette gøres ved at undersøge fortegnet for den afledte f(x). For at gøre dette skal du finde den afledede f(x) og løse uligheden f(x)0. På intervaller, hvor denne ulighed holder, funktionen f(x) stiger. Hvor den omvendte ulighed gør sig gældende f(x)0, funktion f(x) er faldende.

At finde et lokalt ekstremum. Efter at have fundet intervallerne for monotoni, kan vi straks bestemme de lokale ekstremumpunkter, hvor en stigning erstattes af et fald, lokale maksima er placeret, og hvor et fald er erstattet af en stigning, er lokale minima placeret. Beregn værdien af ​​funktionen på disse punkter. Hvis en funktion har kritiske punkter, der ikke er lokale ekstremumpunkter, er det nyttigt at beregne værdien af ​​funktionen også ved disse punkter.

Find de største og mindste værdier af funktionen y = f(x) på et segment (fortsat)