Teori om elementære funktioner. Grundlæggende elementære funktioner

Viden grundlæggende elementære funktioner, deres egenskaber og grafer ikke mindre vigtigt end at kende multiplikationstabellerne. De er som fundamentet, alt er baseret på dem, alt er bygget ud fra dem og alt kommer ned til dem.

I denne artikel vil vi liste alle de vigtigste elementære funktioner, give deres grafer og give uden konklusion eller bevis egenskaber ved grundlæggende elementære funktioner efter skemaet:

• opførsel af en funktion ved grænserne af definitionsdomænet, vertikale asymptoter (se om nødvendigt artiklens klassifikation af diskontinuitetspunkter for en funktion);
• lige og ulige;
• intervaller for konveksitet (konveksitet opad) og konkavitet (konveksitet nedad), bøjningspunkter (se om nødvendigt artiklen konveksitet af en funktion, retning af konveksitet, bøjningspunkter, konveksitets- og bøjningsbetingelser);
• skrå og vandrette asymptoter;
• enkeltstående punkter af funktioner;
• særlige egenskaber ved nogle funktioner (for eksempel den mindste positive periode af trigonometriske funktioner).

Hvis du er interesseret i eller, så kan du gå til disse afsnit af teorien.

Grundlæggende elementære funktioner er: konstant funktion (konstant), n'te rod, potensfunktion, eksponentiel, logaritmisk funktion, trigonometriske og inverse trigonometriske funktioner.

Sidenavigation.

Permanent funktion.

En konstant funktion er defineret på mængden af ​​alle reelle tal ved formlen , hvor C er et reelt tal. En konstant funktion forbinder hver reel værdi af den uafhængige variabel x med den samme værdi af den afhængige variabel y - værdien C. En konstant funktion kaldes også en konstant.

Grafen for en konstant funktion er en ret linje parallel med x-aksen og går gennem punktet med koordinater (0,C). Som eksempel vil vi vise grafer over konstantfunktionerne y=5, y=-2 og, som på figuren nedenfor svarer til henholdsvis de sorte, røde og blå linjer.

Egenskaber for en konstant funktion.

• Domæne: hele sættet af reelle tal.
• Den konstante funktion er lige.
• Værdiområde: sæt bestående af entalstallet C.
• En konstant funktion er ikke-stigende og ikke-faldende (det er derfor, den er konstant).
• Det giver ingen mening at tale om konveksitet og konkavitet af en konstant.
• Der er ingen asymptoter.
• Funktionen går gennem punktet (0,C) i koordinatplanet.

Rod af n. grad.

Lad os overveje den grundlæggende elementære funktion, som er givet af formlen , hvor n er et naturligt tal større end én.

Roden af ​​n. grad, n er et lige tal.

Lad os starte med den n'te rodfunktion for lige værdier af rodeksponenten n.

Som et eksempel er her et billede med billeder af funktionsgrafer og , de svarer til sorte, røde og blå linjer.

Graferne for lige-graders rodfunktioner har et lignende udseende for andre værdier af eksponenten.

Egenskaber for den n'te rodfunktion for lige n.

Den n'te rod, n er et ulige tal.

Den n'te rodfunktion med en ulige rodeksponent n er defineret på hele sættet af reelle tal. For eksempel er her funktionsgraferne og , de svarer til sorte, røde og blå kurver.

For andre ulige værdier af rodeksponenten vil funktionsgraferne have et lignende udseende.

Egenskaber for den n'te rodfunktion for ulige n.

Power funktion.

Potensfunktionen er givet af en formel på formen .

Lad os overveje formen af ​​grafer for en potensfunktion og egenskaberne for en potensfunktion afhængigt af værdien af ​​eksponenten.

Lad os starte med en potensfunktion med en heltalseksponent a. I dette tilfælde afhænger udseendet af graferne for potensfunktioner og funktionernes egenskaber af eksponentens jævnhed eller ulighed såvel som af dens fortegn. Derfor vil vi først overveje potensfunktioner for ulige positive værdier af eksponenten a, derefter for lige positive eksponenter, derefter for ulige negative eksponenter og til sidst for lige negative a.

Egenskaberne for potensfunktioner med brøk- og irrationelle eksponenter (såvel som typen af ​​grafer for sådanne potensfunktioner) afhænger af værdien af ​​eksponenten a. Vi vil overveje dem for det første for en fra nul til en, for det andet for en større end en, for det tredje for en fra minus en til nul, for det fjerde for en mindre end minus en.

I slutningen af ​​dette afsnit vil vi for fuldstændighedens skyld beskrive en potensfunktion med nul eksponent.

Power funktion med ulige positiv eksponent.

Lad os betragte en potensfunktion med en ulige positiv eksponent, det vil sige med a = 1,3,5,....

Nedenstående figur viser grafer for potensfunktioner - sort linje, - blå linje, - rød linje, - grøn linje. For a=1 har vi lineær funktion y=x.

Egenskaber for en potensfunktion med en ulige positiv eksponent.

Power funktion med jævn positiv eksponent.

Lad os betragte en potensfunktion med en jævn positiv eksponent, det vil sige for a = 2,4,6,....

Som et eksempel giver vi grafer over potensfunktioner - sort linje, - blå linje, - rød linje. For a=2 har vi en andengradsfunktion, hvis graf er kvadratisk parabel.

Egenskaber for en potensfunktion med en jævn positiv eksponent.

Potensfunktion med ulige negativ eksponent.

Se på graferne for potensfunktionen for ulige negative værdier af eksponenten, det vil sige for a = -1, -3, -5,....

Figuren viser grafer over potensfunktioner som eksempler - sort linje, - blå linje, - rød linje, - grøn linje. For a=-1 har vi omvendt proportionalitet, hvis graf er hyperbel.

Egenskaber for en potensfunktion med en ulige negativ eksponent.

Power funktion med selv negativ eksponent.

Lad os gå videre til power-funktionen ved a=-2,-4,-6,….

Figuren viser grafer over potensfunktioner – sort linje, – blå linje, – rød linje.

Egenskaber for en potensfunktion med en jævn negativ eksponent.

En potensfunktion med en rationel eller irrationel eksponent, hvis værdi er større end nul og mindre end én.

Bemærk! Hvis a er en positiv brøk med en ulige nævner, så anser nogle forfattere, at potensfunktionens definitionsdomæne er intervallet. Det er fastsat, at eksponenten a er en irreducerbar brøk. Forfatterne af mange lærebøger om algebra og analyseprincipper DEFINERER IKKE potensfunktioner med en eksponent i form af en brøkdel med en ulige nævner for negative værdier af argumentet. Vi vil holde os til netop denne opfattelse, det vil sige, vi vil betragte sættet som definitionsdomænerne for potensfunktioner med brøkdele positive eksponenter. Vi anbefaler, at eleverne finder ud af din lærers mening om dette subtile punkt for at undgå uenigheder.

Lad os betragte en potensfunktion med en rationel eller irrationel eksponent a, og .

Lad os præsentere grafer for potensfunktioner for a=11/12 (sort linje), a=5/7 (rød linje), (blå linje), a=2/5 (grøn linje).

En potensfunktion med en ikke-heltals rationel eller irrationel eksponent større end én.

Lad os overveje en potensfunktion med en ikke-heltals rationel eller irrationel eksponent a, og .

Lad os præsentere grafer for potensfunktioner givet af formlerne (hhv. sorte, røde, blå og grønne linjer).

For andre værdier af eksponenten a vil graferne for funktionen have et lignende udseende.

Egenskaber for strømfunktionen ved .

En potensfunktion med en reel eksponent, der er større end minus en og mindre end nul.

Bemærk! Hvis a er en negativ brøk med en ulige nævner, så anser nogle forfattere definitionsdomænet for en potensfunktion for at være intervallet . Det er fastsat, at eksponenten a er en irreducerbar brøk. Forfatterne af mange lærebøger om algebra og analyseprincipper DEFINERER IKKE potensfunktioner med en eksponent i form af en brøkdel med en ulige nævner for negative værdier af argumentet. Vi vil holde os til netop denne opfattelse, det vil sige, at vi vil betragte definitionsdomænerne for potensfunktioner med brøkbrøk negative eksponenter for at være henholdsvis en mængde. Vi anbefaler, at eleverne finder ud af din lærers mening om dette subtile punkt for at undgå uenigheder.

Lad os gå videre til power-funktionen, kgod.

For at få en god idé om formen af ​​grafer for potensfunktioner for , giver vi eksempler på grafer for funktioner (hhv. sorte, røde, blå og grønne kurver).

Egenskaber for en potensfunktion med eksponent a, .

En potensfunktion med en ikke-heltals reel eksponent, der er mindre end minus en.

Lad os give eksempler på grafer for potensfunktioner for , de er afbildet med henholdsvis sorte, røde, blå og grønne linjer.

Egenskaber for en potensfunktion med en ikke-heltal negativ eksponent mindre end minus en.

Når a = 0, har vi en funktion - dette er en ret linje, hvorfra punktet (0;1) er udelukket (det blev aftalt ikke at tillægge udtrykket 0 0 nogen betydning).

Eksponentiel funktion.

En af de vigtigste elementære funktioner er den eksponentielle funktion.

Grafen for eksponentialfunktionen, hvor og antager forskellige former afhængigt af værdien af ​​grundtallet a. Lad os finde ud af det.

Overvej først det tilfælde, hvor bunden af ​​den eksponentielle funktion tager en værdi fra nul til én, det vil sige .

Som et eksempel præsenterer vi grafer for eksponentialfunktionen for a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – rød linje. Eksponentialfunktionens grafer har et lignende udseende for andre værdier af basen fra intervallet.

Egenskaber for en eksponentiel funktion med en grundtal mindre end én.

Lad os gå videre til det tilfælde, hvor bunden af ​​den eksponentielle funktion er større end én, det vil sige .

Som en illustration præsenterer vi grafer for eksponentielle funktioner - blå linje og - rød linje. For andre værdier af basen større end én, vil graferne for eksponentialfunktionen have et lignende udseende.

Egenskaber for en eksponentiel funktion med en base større end en.

Logaritmisk funktion.

Den næste grundlæggende elementære funktion er den logaritmiske funktion, hvor , . Den logaritmiske funktion er kun defineret for positive værdier af argumentet, det vil sige for .

Grafen for en logaritmisk funktion antager forskellige former afhængigt af værdien af ​​grundtallet a.

Komplet liste over grundlæggende elementære funktioner

Klassen af ​​grundlæggende elementære funktioner omfatter følgende:

1. Konstantfunktion $y=C$, hvor $C$ er en konstant. En sådan funktion tager den samme værdi $C$ for enhver $x$.
2. Potensfunktion $y=x^(a) $, hvor eksponenten $a$ er et reelt tal.
3. Eksponentiel funktion $y=a^(x) $, hvor grundtallet er grad $a>0$, $a\ne 1$.
4. Logaritmisk funktion $y=\log _(a) x$, hvor basen af ​​logaritmen er $a>0$, $a\ne 1$.
5. Trigonometriske funktioner $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek\,x$.
6. Inverse trigonometriske funktioner $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Power funktioner

Vi vil overveje opførselen af ​​potensfunktionen $y=x^(a) $ i de simpleste tilfælde, hvor dens eksponent bestemmer heltalseksponentiering og rodudvinding.

Tilfælde 1

Eksponenten for funktionen $y=x^(a) $ er et naturligt tal, det vil sige $y=x^(n) $, $n\i N$.

Hvis $n=2\cdot k$ er et lige tal, så er funktionen $y=x^(2\cdot k) $ lige og stiger uendeligt, som om argumentet $\left(x\to +\infty \ right) )$, og med dets ubegrænsede fald $\left(x\to -\infty \right)$. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved udtrykkene $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ og $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, hvilket betyder, at funktionen i begge tilfælde øges uden grænse ($\lim $ er grænsen). Eksempel: graf for funktionen $y=x^(2) $.

Hvis $n=2\cdot k-1$ er et ulige tal, så er funktionen $y=x^(2\cdot k-1) $ ulige, stiger på ubestemt tid, når argumentet stiger på ubestemt tid, og falder uendeligt som argumentet falder på ubestemt tid. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved udtrykkene $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ og $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=x^(3) $.

Tilfælde 2

Eksponenten for funktionen $y=x^(a) $ er et negativt heltal, det vil sige $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Hvis $n=2\cdot k$ er et lige tal, så er funktionen $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ lige og nærmer sig asymptotisk (gradvist) nul som med ubegrænset forøgelsesargument , og med dets ubegrænsede fald. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved et enkelt udtryk $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, hvilket betyder at med en ubegrænset stigning i argumentet i absolut værdi er grænsen for funktionen nul. Da argumentet desuden har en tendens til nul både til venstre $\left(x\to 0-0\right)$ og til højre $\left(x\to 0+0\right)$, øges funktionen uden begrænse. Derfor er udtrykkene $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ og $\mathop(\lim )\ limits_ er gyldige (x\til 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, hvilket betyder, at funktionen $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ har i begge tilfælde en uendelig grænse lig med $+\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Hvis $n=2\cdot k-1$ er et ulige tal, så er funktionen $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ ulige og asymptotisk nærmer sig nul, som om både når argumentet stiger, og når det falder uden grænse. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved et enkelt udtryk $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Derudover, når argumentet nærmer sig nul til venstre, falder funktionen uden grænse, og når argumentet nærmer sig nul til højre, øges funktionen uden grænse, det vil sige $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ og $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\frac(1)(x) $.

Tilfælde 3

Eksponenten for funktionen $y=x^(a) $ er det omvendte af det naturlige tal, det vil sige $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\i N$.

Hvis $n=2\cdot k$ er et lige tal, så er funktionen $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ to-værdi og er kun defineret for $x\ge 0 $. Med en ubegrænset stigning i argumentet øges værdien af ​​funktionen $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ ubegrænset, og værdien af ​​funktionen $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ falder ubegrænset , det vil sige $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ og $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\pm \sqrt(x) $.

Hvis $n=2\cdot k-1$ er et ulige tal, så funktionen $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ er ulige, stiger ubegrænset med en ubegrænset stigning i argumentet og falder ubegrænset, når den er ubegrænset, falder den, det vil sige $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ og $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\sqrt[(3)](x) $.

Eksponentielle og logaritmiske funktioner

De eksponentielle $y=a^(x) $ og logaritmiske $y=\log _(a) x$ funktioner er gensidigt inverse. Deres grafer er symmetriske med hensyn til den fælles halveringslinje for den første og tredje koordinatvinkel.

Når argumentet $\left(x\to +\infty \right)$ stiger uendeligt, vil eksponentialfunktionen eller $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ stiger på ubestemt tid , hvis $a>1$, eller asymptotisk nærmer sig nul $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, if $a1$, eller $\mathop stiger uden grænse (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, hvis $a

Den karakteristiske værdi for funktionen $y=a^(x) $ er værdien $x=0$. I dette tilfælde vil alle eksponentielle funktioner, uanset $a$, nødvendigvis skære $Oy$-aksen ved $y=1$. Eksempler: grafer for funktioner $y=2^(x) $ og $y = \venstre (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Den logaritmiske funktion $y=\log _(a) x$ er kun defineret for $x > 0$.

Da argumentet $\left(x\to +\infty \right)$ stiger uendeligt, vil den logaritmiske funktion eller $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ øger uendeligt infty $, hvis $a>1$, eller falder uden grænse $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, hvis $a1 $, eller uden grænse $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ stiger, hvis $a

Den karakteristiske værdi for funktionen $y=\log _(a) x$ er værdien $y=0$. I dette tilfælde vil alle logaritmiske funktioner, uanset $a$, nødvendigvis skære $Ox$-aksen ved $x=1$. Eksempler: grafer for funktionerne $y=\log _(2) x$ og $y=\log _(1/2) x$.

Nogle logaritmiske funktioner har speciel notation. Især hvis basisen af ​​logaritmen er $a=10$, så kaldes en sådan logaritme decimal, og den tilsvarende funktion skrives som $y=\lg x$. Og hvis det irrationelle tal $e=2.7182818\ldots $ er valgt som basis for logaritmen, så kaldes en sådan logaritme naturlig, og den tilsvarende funktion skrives som $y=\ln x$. Dens inverse er funktionen $y=e^(x) $, kaldet eksponenten.

Afsnittet indeholder referencemateriale om de vigtigste elementære funktioner og deres egenskaber. Der gives en klassifikation af elementære funktioner. Nedenfor er links til underafsnit, der diskuterer egenskaberne ved specifikke funktioner - grafer, formler, afledte, antiderivater (integraler), serieudvidelser, udtryk gennem komplekse variable.

Referencesider for grundlæggende funktioner

Klassificering af elementære funktioner

Algebraisk funktion er en funktion, der opfylder ligningen:
,
hvor er et polynomium i den afhængige variabel y og den uafhængige variabel x. Det kan skrives som:
,
hvor er polynomier.

Algebraiske funktioner er opdelt i polynomier (hele rationelle funktioner), rationelle funktioner og irrationelle funktioner.

Hele rationelle funktion, som også kaldes polynomium eller polynomium, fås fra variablen x og et endeligt antal tal ved hjælp af de aritmetiske operationer addition (subtraktion) og multiplikation. Efter åbning af parenteserne reduceres polynomiet til kanonisk form:
.

Fraktionel rationel funktion, eller simpelthen rationel funktion, fås fra variablen x og et endeligt antal tal ved hjælp af de aritmetiske operationer addition (subtraktion), multiplikation og division. Den rationelle funktion kan reduceres til formen
,
hvor og er polynomier.

Irrationel funktion er en algebraisk funktion, der ikke er rationel. Som regel forstås en irrationel funktion som rødder og deres sammensætninger med rationelle funktioner. En rod af grad n er defineret som løsningen til ligningen
.
Det er udpeget som følger:
.

Transcendentale funktioner kaldes ikke-algebraiske funktioner. Disse er eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske og deres omvendte funktioner.

Oversigt over grundlæggende elementære funktioner

Alle elementære funktioner kan repræsenteres som et endeligt antal additions-, subtraktions-, multiplikations- og divisionsoperationer udført på et udtryk af formen:
z t.
Inverse funktioner kan også udtrykkes i form af logaritmer. De grundlæggende elementære funktioner er anført nedenfor.

Power funktion:
y(x) = xp,
hvor p er eksponenten. Det afhænger af bunden af ​​graden x.
Det omvendte af effektfunktionen er også effektfunktionen:
.
For en heltal ikke-negativ værdi af eksponenten p er det et polynomium. For en heltalsværdi p - en rationel funktion. Med en rationel betydning - en irrationel funktion.

Transcendentale funktioner

Eksponentiel funktion:
y(x) = a x ,
hvor a er basis for graden. Det afhænger af eksponenten x.
Den inverse funktion er logaritmen til at basere a:
x = log et y.

Eksponent, e til x-potensen:
y(x) = e x ,
Dette er en eksponentiel funktion, hvis afledede er lig med selve funktionen:
.
Grundlaget for eksponenten er tallet e:
≈ 2,718281828459045... .
Invers funktion - naturlig logaritme - logaritme til base e:
x = ln y ≡ log e y.

Trigonometriske funktioner:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Tangent: ;
Cotangens: ;
Her er i den imaginære enhed, i 2 = -1.

Inverse trigonometriske funktioner:
Arcsinus: x = arcsin y, ;
Bue cosinus: x = arccos y, ;
Arktangens: x = arktan y, ;
Buetangens: x = arcctg y, .

Grundlæggende elementære funktioner er: konstant funktion (konstant), rod n-te grad, potensfunktion, eksponentiel, logaritmisk funktion, trigonometriske og inverse trigonometriske funktioner.

Permanent funktion.

En konstant funktion er givet på mængden af ​​alle reelle tal ved formlen , hvor C– et reelt tal. En konstant funktion tildeler hver faktisk værdi af den uafhængige variabel x samme værdi af den afhængige variabel y- betyder MED. En konstant funktion kaldes også en konstant.

Grafen for en konstant funktion er en ret linje parallel med x-aksen og går gennem punktet med koordinater (0,C). Lad os for eksempel vise grafer over konstante funktioner y=5,y=-2 og , som i nedenstående figur svarer til henholdsvis de sorte, røde og blå streger.

Egenskaber for en konstant funktion.

Domæne: hele sættet af reelle tal.

Den konstante funktion er lige.

Værdiområde: sæt bestående af et ental MED.

En konstant funktion er ikke-stigende og ikke-faldende (det er derfor, den er konstant).

Det giver ingen mening at tale om konveksitet og konkavitet af en konstant.

Der er ingen asymptoter.

Funktionen går gennem punktet (0,C) koordinatplan.

Rod af n. grad.

Lad os overveje den grundlæggende elementære funktion, som er givet af formlen, hvor n– et naturligt tal større end én.

Den n'te rod, n er et lige tal.

Lad os starte med rodfunktionen n-te potens for lige værdier af rodeksponenten n.

Som et eksempel er her et billede med billeder af funktionsgrafer og , de svarer til sorte, røde og blå linjer.

Graferne for lige-graders rodfunktioner har et lignende udseende for andre værdier af eksponenten.

Egenskaber for rodfunktionenn -th magt for ligen .

Den n'te rod, n er et ulige tal.

Root funktion n-potens med en ulige grundeksponent n er defineret på hele sættet af reelle tal. For eksempel er her funktionsgraferne og , de svarer til sorte, røde og blå kurver.