Online lommeregner.
Valg af et kvadrat i et binomium og faktorisering af et kvadratisk trinomium.

De der. problemer reduceres til at finde tallene \\ (p, q \\) og \\ (n, m \\)

Programmet giver ikke kun svaret på problemet, men viser også løsningsprocessen.

Dette program kan være nyttigt for seniorstuderende på gymnasier som forberedelse til prøver og eksamener, når de kontrollerer viden inden eksamen, for forældre til at kontrollere løsningen på mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at ansætte en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare få dit matematik- eller algebra-hjemmearbejde gjort så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

På denne måde kan du lede din egen undervisning og / eller undervisning fra dine yngre brødre eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for de problemer, der løses, stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af et kvadratisk trinomial, anbefaler vi, at du gør dig fortrolig med dem.

Regler for indtastning af et firkantet polynom

Ethvert latinsk bogstav kan bruges som en variabel.
For eksempel: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) osv.

Tal kan indtastes som heltal eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalfraktioner kan brøkdelen fra det hele adskilles af enten et punkt eller et komma.
For eksempel kan du indtaste decimaler som denne: 2.5x - 3.5x ^ 2

Regler for indtastning af almindelige fraktioner.
Kun et heltal kan bruges som tæller, nævneren og hele delen af \u200b\u200ben brøkdel.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et delingstegn: /
Hele delen er adskilt fra fraktionen med et ampersand: &
Indgang: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Resultat: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

Når du indtaster et udtryk beslag kan bruges... I dette tilfælde forenkles det indtastede udtryk ved løsning først.
For eksempel: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Detaljeret løsningseksempel

Valg af en firkant i et binomium. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ højrepil a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ $$ 2x ^ 2 +2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ left ( \\ frac (1) (2) \\ højre) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ venstre (\\ frac (1) (2) \\ højre) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ venstre (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ venstre (\\ frac (1) (2) \\ højre) \\ cdot x + \\ venstre (\\ frac (1) (2) \\ højre) ^ 2 \\ højre) - \\ frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ venstre (x + \\ frac (1) (2) \\ højre) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Svar: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ venstre (x + \\ frac (1) (2) \\ højre) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Faktorisering. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ højrepil a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ venstre (x ^ 2 + x-2 \\ højre) \u003d $$
$$ 2 \\ venstre (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ højre) \u003d $$ $$ 2 \\ venstre (x \\ venstre (x +2 \\ højre) -1 \\ venstre (x +2 \\ højre ) \\ højre) \u003d $$ $$ 2 \\ venstre (x -1 \\ højre) \\ venstre (x +2 \\ højre) $$ Svar: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ venstre (x -1 \\ højre) \\ venstre (x +2 \\ højre) $$

Det blev konstateret, at nogle scripts, der var nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet fungerer muligvis ikke.
Måske har du AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

Fordi Der er mange mennesker, der ønsker at løse problemet, din anmodning er i kø.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek ...

hvis du bemærket en fejl i beslutningen, så kan du skrive om dette i feedbackformularen.
Glem ikke angiv hvilken opgave du beslutter, og hvad indtast i felterne.

Vores spil, gåder, emulatorer:

Lidt teori.

Ekstraktion af et firkantet binomium fra et kvadratisk trinomium

Hvis den firkantede trinomaks 2 + bx + c er repræsenteret i form a (x + p) 2 + q, hvor p og q er reelle tal, så siger de det fra firkantet trinomial det firkantede binomium.

Vælg mellem trinomialet 2x 2 + 12x + 14 binomialets firkant.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

For at gøre dette repræsenterer vi 6x som et produkt på 2 * 3 * x, og derefter tilføjer og trækker 3 2. Vi får:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Så vi udpegede den firkantede binomial fra den firkantede trinomial, og vis at:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Faktorering af et firkantet trinomium

Hvis den firkantede trinomakse 2 + bx + c er repræsenteret i form a (x + n) (x + m), hvor n og m er reelle tal, siges operationen at være udført kvadratisk trinomial faktorisering.

Lad os med et eksempel vise, hvordan denne transformation sker.

Faktor kvadrat trinomial 2x 2 + 4x-6.

Lad os tage koefficienten a ud af parenteser, dvs. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

Vi forvandler udtrykket i parentes.
For at gøre dette repræsenterer vi 2x som forskellen 3x-1x og -3 som -1 * 3. Vi får:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Så vi faktoriserede det kvadratiske trinomium, og vis at:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Bemærk, at faktoriseringen af \u200b\u200bet kvadratisk trinomial kun er mulig, hvis den kvadratiske ligning, der svarer til dette trinomial, har rødder.
De der. i vores tilfælde er faktorisering af trinomialet 2x 2 + 4x-6 mulig, hvis den kvadratiske ligning 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 har rødder. I processen med factoring fandt vi, at ligningen 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 har to rødder 1 og -3, fordi for disse værdier bliver ligning 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 en ægte ligestilling.

Hvad faktorisering? Dette er en måde at gøre et akavet og komplekst eksempel til et simpelt og sødt.) Meget kraftigt trick! Det findes ved hvert trin, både i elementær matematik og i højere matematik.

Sådanne transformationer på matematisk sprog kaldes identiske transformationer af udtryk. Hvem er ikke i emnet - gå en tur på linket. Der er meget lidt, simpelt og nyttigt.) Betydningen af \u200b\u200benhver identisk transformation er at skrive et udtryk i en anden form samtidig med at dens essens bevares.

Betyder faktorisering ekstremt enkel og ligetil. Lige fra selve navnet. Du kan glemme (eller ikke vide) hvad en multiplikator er, men kan du finde ud af at dette ord kommer fra ordet "multiplicer"?) Factoring betyder: repræsenterer et udtryk som multipliceret noget med noget. Ja, tilgiv mig matematik og det russiske sprog ...) Og det er det.

For eksempel skal du udvide tallet 12. Du kan trygt skrive:

Så vi præsenterede tallet 12 som en multiplikation på 3 med 4. Bemærk venligst, at tallene til højre (3 og 4) er helt forskellige end til venstre (1 og 2). Men vi forstår perfekt, at 12 og 3 4 samme. Essensen af \u200b\u200btallet 12 fra konvertering har ikke ændret sig.

Er det muligt at nedbryde 12 forskelligt? Let!

12 \u003d 3 4 \u003d 2 6 \u003d 3 2 2 \u003d 0,5 24 \u003d ........

Nedbrydningsmuligheder er uendelige.

Faktorering af tal er en nyttig ting. Det hjælper meget, for eksempel når man beskæftiger sig med rødder. Men faktorisering af algebraiske udtryk er ikke noget, der er nyttigt, det er - nødvendig! Bare for eksempel:

Forenkle:

De, der ikke ved, hvordan man skal faktorere et udtryk, hviler på sidelinjen. Hvem ved hvordan - forenkler og får:

Effekten er fantastisk, ikke?) Forresten er løsningen ret enkel. Du kan se det selv nedenfor. Eller for eksempel en opgave som denne:

Løs ligningen:

x 5 - x 4 \u003d 0

Det besluttes forresten i sindet. Brug af faktorisering. Nedenfor løser vi dette eksempel. Svar: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

Eller det samme, men for de ældre):

Løs ligningen:

Med disse eksempler har jeg vist hovedformål faktorisering: forenkle fraktionerede udtryk og løse nogle typer ligninger. Jeg anbefaler at huske en tommelfingerregel:

Hvis vi står over for et forfærdeligt fraktioneret udtryk, kan du prøve at faktorere tælleren og nævneren i faktorer. Meget ofte forkortes og forenkles fraktionen.

Hvis vi har en ligning foran os, hvor til højre er nul og til venstre - forstår ikke hvad, kan du prøve at faktorere venstre side i faktorer. Nogle gange hjælper det).

Grundlæggende metoder til factoring.

Her er de mest populære måder:

4. Nedbrydning af et kvadratisk trinomium.

Disse metoder skal huskes. I den rækkefølge. Komplekse eksempler kontrolleres ind på alle mulige måder at nedbryde. Og det er bedre at kontrollere i rækkefølge for ikke at blive forvirret ... Så lad os starte i rækkefølge.)

1. At tage den fælles faktor ud af parenteserne.

En enkel og pålidelig måde. Det gør aldrig ondt! Det sker enten godt eller ej.) Derfor er han den første. Forståelse.

Alle ved (jeg tror!)) Reglen:

a (b + c) \u003d ab + ac

Eller mere generelt:

a (b + c + d + .....) \u003d ab + ac + ad + ....

Alle ligheder fungerer fra venstre til højre og omvendt fra højre til venstre. Du kan skrive:

ab + ac \u003d a (b + c)

ab + ac + annonce + .... = a (b + c + d + .....)

Det er hele pointen med at tage den fælles faktor ud af parenteserne.

På venstre side og - fælles faktor for alle vilkår. Multipliseret af alt, hvad der er). Til højre er det mest og er allerede uden for beslagene.

Vi vil overveje den praktiske anvendelse af metoden ved hjælp af eksempler. Først er indstillingen enkel, endda primitiv.) Men i denne indstilling vil jeg markere (i grønt) meget vigtige punkter for enhver faktorisering.

Faktoriser:

ah + 9x

Hvilken en generel multiplikatoren sidder i begge termer? X, selvfølgelig! Vi tager det ud af parenteserne. Vi gør dette. Vi skriver straks X uden for parenteserne:

økse + 9x \u003d x (

Og i parentes skriver vi resultatet af deling hver periode på denne meget x. I rækkefølge:

Det er alt. Selvfølgelig er der ingen grund til at beskrive så detaljeret. Dette gøres i sindet. Men for at forstå, hvad der er, er det ønskeligt). Vi retter i hukommelsen:

Vi skriver den fælles faktor uden for parenteserne. I parentes skriver vi resultaterne af at dividere alle termerne med denne meget almindelige faktor. I orden.

Så vi udvidede udtrykket ah + 9x af faktorer. Gjør det til at multiplicere x med (a + 9). Bemærk, at det originale udtryk også indeholdt multiplikation, endda to: a x og 9 x. Men det er ikke blevet faktoriseret! For ud over multiplikation indeholdt dette udtryk også tilføjelse, "+" - tegnet! Og i udtrykket x (a + 9) bortset fra multiplikation er der intet!

Hvordan det !? - Jeg hører folkets rasende stemme - Og i parentes!?)

Ja, der er tilføjelse inden for parenteserne. Men tricket er, at mens parenteserne ikke afsløres, betragter vi dem som et bogstav. Og vi udfører alle handlinger med parenteser helt, som med et bogstav. I denne forstand i udtrykket x (a + 9) bortset fra multiplikation er der intet. Dette er hele pointen med factoring.

Er det forresten muligt på en eller anden måde at kontrollere, om vi gjorde alt rigtigt? Let! Det er nok at multiplicere det, der blev taget ud (x) med parenteser, og se om det fungerede initial udtryk? Hvis det fungerer, er alt tip-top!)

x (a + 9) \u003d økse + 9x

Skete.)

Der er ikke noget problem med dette primitive eksempel. Men hvis der er flere tilføjelser, og endda med forskellige tegn ... Kort sagt, hver tredje studerende ødelægger). Derfor:

Kontroller om nødvendigt faktoriseringen ved invers multiplikation.

Faktoriser:

3x + 9x

Vi leder efter en fælles faktor. Nå, alt er klart med X, du kan udholde det. Er der mere generel faktor? Ja! Dette er en tre. Du kan skrive udtrykket således:

3ax + 3 3x

Her kan du straks se, at den fælles faktor vil være 3x... Her tager vi det ud:

3ax + 3 3x \u003d 3x (a + 3)

De lagde det ud.

Og hvad vil der ske, hvis du holder ud kun x? Ikke noget specielt:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9)

Dette vil også være en faktorisering. Men i denne fascinerende proces er det sædvanligt at lægge alt, indtil det stopper, så længe der er en mulighed. Her i parentes er der mulighed for at tage en tredobbelt ud. Det viser sig:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9) \u003d 3x (a + 3)

Den samme ting med kun en ekstra handling.) Husk:

Når vi tager den fælles faktor ud af parenteserne, prøver vi at tage den ud maksimum fælles faktor.

Fortsætter vi det sjove?)

Faktorudtryk:

3ax + 9x-8a-24

Hvad skal vi udholde? Tre, X? Nej ... Du kan ikke. Jeg minder dig om, at du kun kan udholde generel multiplikator, dvs. i altudtrykets udtryk. Det er derfor han generel. Der er ingen sådan multiplikator her ... Hvad, kan du ikke udvide!? Nå, ja, vi var selvfølgelig meget glade ... Mød:

2. Gruppering.

Faktisk kan gruppering næppe kaldes en uafhængig måde at indregne. Det er snarere en måde at komme ud af et komplekst eksempel.) Det er nødvendigt at gruppere vilkårene, så alt fungerer. Dette kan kun vises med et eksempel. Så foran os er udtrykket:

3ax + 9x-8a-24

Det kan ses, at der er nogle almindelige bogstaver og tal. Men... Af det generelle der er ingen faktor, der skal være i alle termer. Vi mister ikke mod og bryde udtrykket i stykker. Lad os gruppere. Så at der i hvert stykke var en fælles faktor, var der noget at tage ud. Hvordan bryder vi det? Ja, sæt bare parenteser.

Lad mig minde dig om, at parenteser kan placeres hvor som helst og på enhver måde. Hvis kun essensen af \u200b\u200beksemplet ændrede sig ikke. For eksempel kan du gøre dette:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Vær opmærksom på de anden parentes! Der er et minustegn foran dem, og 8a og 24 Bliv positiv! Hvis du til bekræftelse åbner parenteserne tilbage, skifter skiltene, og vi får initial udtryk. De der. essensen af \u200b\u200budtrykket fra parentes har ikke ændret sig.

Men hvis du bare sidder i parentes uden at overveje tegnændringen, for eksempel sådan:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a-24 )

det vil være en fejltagelse. Højre - allerede andet udtryk. Åbn parenteserne, så bliver alt synligt. Du behøver ikke beslutte yderligere, ja ...)

Men tilbage til factoring. Vi ser på de første parenteser (3ax + 9x) og vi tænker, kan vi udholde noget? Nå, vi løste dette eksempel ovenfor, du kan tage ud 3x:

(3ax + 9x) \u003d 3x (a + 3)

Vi studerer de andet parenteser, der kan du tage de otte ud:

(8a + 24) \u003d 8 (a + 3)

Hele vores udtryk vil vise sig:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Faktoriseret? Ikke. Nedbrydningen skal resultere i kun multiplikation, og vores minustegn forkæler alt. Men ... Begge udtryk har en fælles faktor! det (a + 3)... Det var ikke for ingenting, jeg sagde, at hele parenteserne så at sige er et bogstav. Dette betyder, at disse parenteser kan tages ud af parenteserne. Ja, det lyder nøjagtigt.)

Vi gør som beskrevet ovenfor. Vi skriver den fælles faktor (a + 3), i de andre parenteser skriver vi resultaterne af at dele termerne med (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

Alle! Der er intet til højre undtagen multiplikation! Så faktoriseringen er vellykket!) Her er den:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Lad os kort gentage essensen af \u200b\u200bgrupperingen.

Hvis udtrykket ikke indeholder almindelige multiplikator for af alle termer bryder vi udtrykket med parenteser, så inden for parenteserne den fælles faktor var. Vi tager det ud og ser hvad der skete. Hvis du er heldig, og der er nøjagtigt de samme udtryk i parenteserne, skal du flytte disse parenteser uden for parenteserne.

Jeg vil tilføje, at gruppering er en kreativ proces). Det fungerer ikke altid første gang. Intet galt. Nogle gange er du nødt til at ændre vilkårene, overveje forskellige muligheder for gruppering, indtil du finder en vellykket. Det vigtigste her er ikke at miste modet!)

Eksempler.

Når du er beriget med viden, kan du løse vanskelige eksempler.) Der var tre af disse i begyndelsen af \u200b\u200blektionen ...

Forenkle:

Faktisk har vi allerede løst dette eksempel. Uden at vide mig selv.) Lad mig minde dig om: hvis vi får en frygtelig brøkdel, forsøger vi at udregne tælleren og nævneren. Andre muligheder for forenkling simpelthen nej.

Nå, nævneren her udvides ikke, men tælleren ... Vi har allerede udvidet tælleren i løbet af lektionen! Sådan her:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Vi skriver resultatet af udvidelsen i tælleren af \u200b\u200bbrøken:

I henhold til reglen om reduktion af brøker (hovedegenskaben for en brøk) kan vi dele (samtidigt!) Tælleren og nævneren med det samme tal eller udtryk. Brøkdel herfra ændres ikke. Så vi deler tælleren og nævneren med udtrykket (3x-8)... Og her og der får vi dem. Det endelige resultat af forenklingen er:

Jeg vil gerne understrege, at reduktionen af \u200b\u200ben brøkdel er mulig, hvis og kun hvis i tælleren og nævneren, ud over at multiplicere udtryk der er ingenting. Derfor er transformation af summen (forskellen) til multiplikation så vigtigt for forenkling. Selvfølgelig, hvis udtrykkene forskellige, så vil intet blive reduceret. Selvfølgelig. Men factoring giver en chance. Denne chance uden henfald er simpelthen ikke der.

Eksempel med ligning:

Løs ligningen:

x 5 - x 4 \u003d 0

Vi tager den fælles faktor ud x 4 uden for beslagene. Vi får:

x 4 (x-1) \u003d 0

Vi mener, at produktet af faktorerne er lig med nul dengang og kun derefter, når nogen af \u200b\u200bdem er nul. Hvis du er i tvivl, find mig et par ikke-nul tal, der, når de multipliceres, giver nul.) Så vi skriver først den første faktor:

Med denne lighed forstyrrer den anden faktor os ikke. Enhver kan være, alt i alt vil det i sidste ende vise sig at være nul. Og hvilket tal i den fjerde magt på nul vil give? Kun nul! Og intet andet ... Så:

Vi sorterede den første faktor, fandt en rod. Lad os behandle den anden faktor. Nu er vi ligeglad med den første faktor.):

Så vi fandt en løsning: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1... Enhver af disse rødder passer til vores ligning.

En meget vigtig note. Bemærk, at vi løste ligningen stykke for stykke! Hver faktor blev sat til nul, ignorerer resten af \u200b\u200bfaktorer. Forresten, hvis der ikke er to faktorer i en sådan ligning, som vi har, men tre, fem, så mange som du vil, vil vi løse lignende. Stykke for stykke. For eksempel:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

Den, der åbner parenteserne, multiplicerer alt, han vil altid hænge på denne ligning.) Den rigtige elev vil straks se, at der ikke er noget til venstre undtagen multiplikation, til højre - nul. Og det begynder (i tankerne!) At sidestille alle parenteser i rækkefølge til nul. Og han vil modtage (om 10 sekunder!) Den rigtige løsning: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

Fantastisk, er det ikke?) En sådan elegant løsning er mulig, hvis venstre side af ligningen faktoriseret. Er antydningen klar?)

Nå, det sidste eksempel for de ældre):

Løs ligningen:

Det ligner på en eller anden måde det foregående, synes du ikke?) Selvfølgelig. Det er tid til at huske, at bogstaver i algebra i 7. klasse kan skjule sines, logaritmer og hvad du vil! Factoring fungerer i al matematik.

Vi tager den fælles faktor ud lG 4 x uden for beslagene. Vi får:

lG 4 x \u003d 0

Dette er en rod. Lad os behandle den anden faktor.

Her er det sidste svar: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

Jeg håber, du har indset kraften i factoring ved at forenkle brøker og løse ligninger.)

I denne lektion lærte vi om almindelig factoring og gruppering. Det er fortsat at finde ud af formlerne for forkortet multiplikation og det firkantede trinomium.

Hvis du kan lide dette sted ...

Forresten har jeg et par flere interessante steder til dig.)

Du kan øve dig på at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Øjeblikkelig valideringstest. Læring - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og derivater.

Begreberne "polynom" og "faktorisering af et polynom i faktorer" i algebra er meget almindelige, fordi du har brug for at kende dem for let at kunne udføre beregninger med store flercifrede tal. Denne artikel vil beskrive flere måder at nedbryde på. Alle er ret enkle at bruge, du skal bare vælge den rigtige i hvert enkelt tilfælde.

Polynom koncept

Et polynom er summen af \u200b\u200bmonomier, dvs. udtryk, der kun indeholder multiplikationsoperationen.

For eksempel er 2 * x * y et monomium, men 2 * x * y + 25 er et polynomium, der består af 2 monomier: 2 * x * y og 25. Sådanne polynomer kaldes binomaler.

Nogle gange, for at gøre det lettere at løse eksempler med værdier med flere værdier, skal udtrykket for eksempel omdannes til et bestemt antal faktorer, dvs. tal eller udtryk, mellem hvilke multiplikationshandlingen udføres. Der er en række måder at faktorere et polynom på. Det er værd at overveje dem startende med de mest primitive, som bruges selv i elementære kvaliteter.

Gruppering (generel optagelse)

Formlen til nedbrydning af et polynom i faktorer ved at gruppere generelt ser sådan ud:

ac + bd + bc + ad \u003d (ac + bc) + (ad + bd)

Det er nødvendigt at gruppere monomierne, så en fælles faktor vises i hver gruppe. I den første parentes er det faktoren c, og i den anden er det d. Dette skal gøres for derefter at placere det uden for parentesen og derved forenkle beregningerne.

Nedbrydningsalgoritme til et specifikt eksempel

Det enkleste eksempel på faktorisering af et polynom i faktorer ved gruppering er vist nedenfor:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

I den første parentes skal du tage vilkårene med faktoren a, som vil være almindelig, og i den anden - med faktoren b. Bemærk + og - tegnene i det færdige udtryk. Vi satte det monomiale tegn op, der var i det oprindelige udtryk. Det vil sige, at du ikke skal arbejde med udtrykket 25a, men med udtrykket -25. Minustegnet er som at "holde fast" til udtrykket bag det og altid tage det med i beregningerne.

I det næste trin skal du fjerne den faktor, der er almindelig, uden for parentesen. Dette er hvad grupperingen er beregnet til. At lægge ud af parentesen betyder at skrive ud foran parentesen (udelade multiplikationstegnet) alle de faktorer, der gentages med præcision i alle termer, der er inden for parentesen. Hvis der ikke er 2, men 3 eller flere udtryk i parentesen, skal den fælles faktor være indeholdt i hver af dem, ellers kan den ikke tages ud af parentesen.

I vores tilfælde - kun 2 udtryk i parentes. Den fælles faktor er straks synlig. Den første parentes er a, den anden er b. Her skal du være opmærksom på digitale koefficienter. I den første parentes er begge koefficienter (10 og 25) multipla af 5. Dette betyder, at ikke kun a, men også 5a kan tages ud af parentesen. Skriv 5a foran parentesen, og del derefter hvert af udtrykkene i parentes med den fælles faktor, der blev taget ud, og skriv også kvotienten i parentes ned, og glem ikke tegnene + og - Gør det samme med den anden parentes, tag 7b såvel som 14 og 35 multiplum af 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Det viste sig 2 termer: 5a (2c - 5) og 7b (2c - 5). Hver af dem indeholder en fælles faktor (alt udtrykket i parentes er det samme her, hvilket betyder, at det er en fælles faktor): 2c - 5. Det skal også tages ud af parentesen, dvs. vilkårene 5a og 7b forblive i anden parentes:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Så det komplette udtryk er:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Således nedbrydes polynomet 10ac + 14bc - 25a - 35b i 2 faktorer: (2c - 5) og (5a + 7b). Multiplikationstegnet mellem dem kan udelades, når du skriver

Nogle gange er der udtryk af denne type: 5a 2 + 50a 3, her kan du ikke ud af beslaget ikke kun a eller 5a, men endda 5a 2. Du bør altid prøve at udregne den størst mulige fælles faktor. I vores tilfælde, hvis vi deler hvert udtryk med en fælles faktor, får vi:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50a 3 / 5a 2 \u003d 10a (ved beregning af kvotienten på flere grader med lige baser bevares basen, og eksponenten trækkes). Enheden forbliver således i parentes (glem ikke under nogen omstændigheder at skrive enheden, hvis du tager et af udtrykkene i parentesen ud) og kvotienten for division: 10а. Viser sig at:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

Firkantede formler

Af hensyn til beregningens bekvemmelighed er der udledt flere formler. De kaldes forkortede multiplikationsformler og bruges ret ofte. Disse formler hjælper med at faktor polynomer indeholdende grader. Dette er en anden stærk faktoriseringsteknik. Så her er de:

• a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2 - formlen kaldet "kvadratet af summen", da som et resultat af udvidelsen til en kvadrat, summen af \u200b\u200btallene tages, lukket i parentes, det vil sige, at værdien af \u200b\u200bdenne sum ganges med sig selv 2 gange, hvilket betyder, at det er en faktor.
• a 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - formlen for forskellenes firkant, den svarer til den foregående. Resultatet er forskellen, indeholdt i parentes, indeholdt i den firkantede magt.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - dette er formlen for forskellen i kvadrater, da polynomet oprindeligt består af 2 kvadrater med tal eller udtryk, mellem hvilke subtraktion udføres. Måske bruges det af de tre navngivne oftest.

Eksempler til beregning af firkantede formler

Beregninger for dem er ret enkle. For eksempel:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - vi bruger formlen "kvadrat af summen".
2. 25x 2 er kvadratet på 5x. 20xy er det dobbelte produkt på 2 * (5x * 2y), og 4y 2 er kvadratet på 2y.
3. Så 25x 2 + 20xy + 4y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). Dette polynom nedbrydes i 2 faktorer (faktorerne er de samme, derfor er det skrevet som et udtryk med en firkantet effekt).

Handlinger i henhold til formlen for kvadratet af forskellen udføres på samme måde. Formlen forbliver forskellen i firkanter. Eksempler på denne formel er meget lette at definere og finde blandt andre udtryk. For eksempel:

• 25a 2-400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Da 25a 2 \u003d (5a) 2 og 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Da 36x 2 \u003d (6x) 2, og 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Siden 169b 2 \u003d (13b) 2

Det er vigtigt, at hvert af udtrykkene er kvadratet for et eller andet udtryk. Derefter er dette polynom underlagt faktorisering ved hjælp af formlen for forskellen i firkanter. Til dette er det ikke nødvendigt, at anden grad skal være over tallet. Der er polynomer, der indeholder store grader, men som stadig passer til disse formler.

a 8 + 10a 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 \u003d (a 4 +5) 2

I dette eksempel kan en 8 repræsenteres som (a 4) 2, det vil sige kvadratet for et eller andet udtryk. 25 er 5 2 og 10a 4 - dette er det fordoblede produkt af udtrykkene 2 * a 4 * 5. Dette vil sige, at dette udtryk, på trods af tilstedeværelsen af \u200b\u200bgrader med store eksponenter, kan nedbrydes i 2 faktorer for at arbejde med dem senere.

Terningformler

De samme formler findes til factoring af polynomer indeholdende terninger. De er lidt mere komplicerede end dem med firkanter:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2) - denne formel kaldes summen af \u200b\u200bterninger, da et polynom i sin oprindelige form er summen af \u200b\u200bto udtryk eller tal indeholdt i en terning.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - formlen identisk med den foregående er betegnet som forskellen på terninger.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (a + b) 3 - terningen af \u200b\u200bsummen som resultat af beregninger opnås summen af \u200b\u200btal eller udtryk, omsluttet af parenteser og ganget med sig selv 3 gange, dvs. placeret i en terning
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d (a - b) 3 -formlen, der er udarbejdet analogt med den foregående med kun at ændre nogle tegn på matematiske operationer (plus og minus), kaldes "forskelsterningen".

De sidste to formler bruges praktisk talt ikke med det formål at indregne et polynom i faktorer, da de er komplekse, og polynomer, der fuldstændigt svarer til en sådan struktur, er ret sjældne, så de kan nedbrydes af disse formler. Men du skal stadig kende dem, da de er nødvendige, når du gør ting i den modsatte retning - når du udvider parenteser.

Eksempler på terningformler

Lad os overveje et eksempel: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Her har vi taget ganske enkle tal, så du kan straks se, at 64a 3 er (4a) 3, og 8b 3 er (2b) 3. Således nedbrydes dette polynom med formlen forskellen på terninger med 2 faktorer. Handlinger i henhold til formlen for summen af \u200b\u200bterninger udføres analogt.

Det er vigtigt at forstå, at ikke alle polynomer kan nedbrydes på mindst en af \u200b\u200bmåderne. Men der er udtryk, der indeholder større grader end en firkant eller en terning, men de kan også nedbrydes i forkortede formeringsformer. For eksempel: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Dette eksempel indeholder så meget som 12 grader. Men selv det kan faktoriseres ved hjælp af formlen for summen af \u200b\u200bterninger. For at gøre dette skal du repræsentere x 12 som (x 4) 3, det vil sige som en terning af et eller andet udtryk. Nu, i stedet for a, skal du erstatte det i formlen. Nå, udtrykket 125y 3 er terningen 5y. Dernæst skal du komponere et produkt i henhold til formlen og foretage beregninger.

Først eller i tvivlstilfælde kan du altid kontrollere ved multiplikation tilbage. Du skal bare udvide parenteserne i det resulterende udtryk og udføre handlinger med sådanne udtryk. Denne metode gælder for alle ovennævnte reduktionsmetoder: både at arbejde med en fælles faktor og gruppering og handlinger med formlerne i terninger og kvadratgrader.

Et polynom er et udtryk, der består af en sum af monomier. Sidstnævnte er produktet af et konstant (tal) og roden (eller rødderne) af udtrykket til kraften i k. I dette tilfælde taler man om et polynom af grad k. Udvidelsen af \u200b\u200bet polynom antager en transformation af udtrykket, hvor termerne erstattes af faktorer. Lad os overveje de vigtigste måder at udføre denne form for transformation på.

Polynomisk nedbrydningsmetode ved ekstraktion af en fælles faktor

Denne metode er baseret på lovene i distributionsloven. Så mn + mk \u003d m * (n + k).

• Eksempel:spred 7y 2 + 2uy og 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy \u003d y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm \u003d 2m (m 2 - 6m + 2l).

Den faktor, der nødvendigvis er til stede i hvert polynom, findes muligvis ikke altid, derfor er denne metode ikke universel.

Polynom nedbrydningsmetode baseret på forkortede multiplikationsformler

De forkortede multiplikationsformler er gyldige for et polynom i enhver grad. Generelt ser et konverteringsudtryk sådan ud:

uk - lk \u003d (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 + ... u * l k-2 + l k-1), hvor k er en repræsentant for naturlige tal ...

De mest anvendte formler i praksis er for polynomer af anden og tredje ordre:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 \u003d (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Eksempel:spred 25p 2 - 144b 2 og 64m 3 - 8l 3.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 \u003d (4m) 3 - (2l) 3 \u003d (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Polynomisk nedbrydningsmetode - gruppering af udtrykets udtryk

Denne metode har på en eller anden måde noget til fælles med teknikken til at udlede den fælles faktor, men har nogle forskelle. Især inden man vælger den fælles faktor, skal man gruppere monomierne. Grupperingen er baseret på reglerne om kombination og overgangslove.

Alle monomier, der præsenteres i udtrykket, er opdelt i grupper, i hvilke hver den samlede værdi tages ud, således at den anden faktor vil være den samme i alle grupper. Generelt kan en sådan nedbrydningsmetode repræsenteres som et udtryk:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).

• Eksempel:spredt ud 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).

Polynomisk nedbrydningsmetode - danner en komplet firkant

Denne metode er en af \u200b\u200bde mest effektive i løbet af udvidelsen af \u200b\u200bet polynom. I den indledende fase er det nødvendigt at bestemme de monomier, der kan "foldes" ind i firkanten af \u200b\u200bforskellen eller summen. Til dette anvendes et af forholdet:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2 pb + b 2,

• Eksempel: udvid udtrykket u 4 + 4u 2 - 1.

Lad os udpege blandt dets monomier de termer, der danner en komplet firkant: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Gennemfør transformationen ved hjælp af de forkortede multiplikationsregler: (u 2 + 2) 2-5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Så u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

I betragtning af multiplikationen af \u200b\u200bpolynomer huskede vi flere formler, nemlig: formler for (a + b) ², for (a - b) ², for (a + b) (a - b), for (a + b) ³ og for (a - b) ³.

Hvis et givet polynom viser sig at falde sammen med en af \u200b\u200bdisse formler, er det muligt at faktorere det i faktorer. For eksempel er det polynom a² - 2ab + b², vi ved, lig med (a - b) ² [eller (a - b) · (a - b), det vil sige, det lykkedes os at nedbryde a² - 2ab + b² i 2 faktorer]; også

Lad os se på det andet af disse eksempler. Vi ser, at det polynom, der er angivet her, passer til formlen opnået ved at kvadrere forskellen på to tal (kvadratet af det første tal minus produktet af to med det første tal og det andet plus kvadratet for det andet tal): x 6 er kvadratet for det første tal, og derfor er selve det første tal x 3, det andet tal er det sidste udtryk for dette polynom, det vil sige 1, det andet tal i sig selv er derfor også 1; produktet af to og det første tal og det andet er udtrykket –2x 3, fordi 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. Derfor blev vores polynom opnået ved at kvadrere forskellen mellem tallene x 3 og 1, det vil sige det er lig med (x 3 - 12. Lad os overveje et andet 4. eksempel. Vi ser, at dette polynom a 2 b 2 - 25 kan betragtes som forskellen i kvadraterne med to tal, nemlig a 2 b 2 tjener som kvadratet for det første tal, derfor er selve det første tal ab, kvadratet af det andet tal er 25, hvorfor selve det andet tal er 5. Derfor kan vores polynom betragtes som opnået ved at multiplicere summen af \u200b\u200bto tal med deres forskel, dvs.

(ab + 5) (ab - 5).

Undertiden sker det, at udtrykkene i et givet polynom ikke er i den rækkefølge, vi er vant til, f.eks.

9a 2 + b 2 + 6ab - mentalt kan vi omarrangere det andet og tredje ord, og så bliver det klart for os, at vores trinomial \u003d (3a + b) 2.

... (Lad os mentalt bytte den første og anden periode).

25a 6 + 1 - 10x 3 \u003d (5x 3 - 1) 2 osv.

Overvej også polynomet

a 2 + 2ab + 4b 2.

Vi ser, at dens første sigt er kvadratet af tallet a og det tredje sigt er kvadratet for tallet 2b, men det andet udtryk er ikke produktet af to med det første tal og det andet - et sådant produkt ville være lig med 2 a 2b \u003d 4ab. Derfor kan formlen for kvadratet af summen af \u200b\u200bto tal ikke anvendes på dette polynom. Hvis nogen skrev, at en 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, ville dette være forkert - du skal nøje overveje alle polynomens vilkår, inden du anvender faktoriseringen på det med formler.

40. Kombinerer begge teknikker... Nogle gange, når man indregner polynomer i faktorer, skal man kombinere både metoden til at tage den fælles faktor ud af parenteserne og metoden til at anvende formler. Her er nogle eksempler:

1.2a 3 - 2ab 2. Først fjerner vi den fælles faktor 2a uden for parenteserne - vi får 2a (a 2 - b 2). Faktoren a 2 - b2 nedbrydes igen ved hjælp af formlen til faktorer (a + b) og (a - b).

Undertiden er det nødvendigt at anvende nedbrydningsmetoden ved formler mange gange:

1.a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Vi ser, at den første faktor a 2 + b 2 ikke passer til nogen af \u200b\u200bde velkendte formler; Desuden vil vi, når vi husker de specielle tilfælde af division (punkt 37), fastslå, at et 2 + b2 (summen af \u200b\u200bkvadraterne på to tal) slet ikke kan faktoriseres. Den anden af \u200b\u200bde opnåede faktorer a 2 - b2 (forskellen ved kvadratet med to tal) nedbrydes i faktorer (a + b) og (a - b). Så,

41. Anvendelse af særlige tilfælde af opdeling... Baseret på paragraf 37 kan vi straks skrive, at f.eks.