Mitkä ovat vektorien skalaaritulon ominaisuudet. Vektorien pistetulo: teoria ja ongelmanratkaisu

Vektorien pistetulo

Jatkamme vektoreiden käsittelyä. Ensimmäisellä oppitunnilla Vektorit tutille Olemme tarkastelleet vektorin käsitettä, vektoreita koskevia toimia, vektorin koordinaatteja ja yksinkertaisimpia vektoreita koskevia ongelmia. Jos tulit tälle sivulle ensimmäistä kertaa hakukoneen kautta, suosittelen lukemaan yllä olevan johdantoartikkelin, koska materiaalin omaksumiseksi sinun on ohjattava käyttämiäni termejä ja merkintöjä, sinulla on oltava perustiedot vektoreista. ja osaa ratkaista perusongelmia. Tämä oppitunti on looginen jatko aiheelle, ja siinä analysoin yksityiskohtaisesti tyypillisiä tehtäviä, joissa käytetään vektorien skalaarituloa. Tämä on ERITTÄIN TÄRKEÄ työ.. Yritä olla ohittamatta esimerkkejä, niihin liittyy hyödyllinen bonus - harjoitus auttaa sinua vahvistamaan käsiteltyä materiaalia ja "saamaan kätesi" analyyttisen geometrian yleisten ongelmien ratkaisemisessa.

Vektorien lisääminen, vektorin kertominen luvulla…. Olisi naiivia ajatella, etteivät matemaatikot olisi keksineet jotain muuta. Jo käsiteltyjen toimien lisäksi on olemassa useita muita vektoreita käyttäviä operaatioita, nimittäin: vektorien pistetulo, vektorien ristitulo Ja vektorien sekatulo. Vektorien skalaaritulo on meille tuttu koulusta, kaksi muuta tuotetta liittyvät perinteisesti korkeamman matematiikan kurssiin. Aiheet ovat yksinkertaisia, monien ongelmien ratkaisualgoritmi on stereotyyppinen ja ymmärrettävä. Ainoa asia. Tietoa on kunnollinen määrä, joten ei ole toivottavaa yrittää hallita ja ratkaista KAIKKI JA KERRAN. Tämä pätee erityisesti nukkeihin, uskokaa minua, kirjoittaja ei todellakaan halua tuntea olevansa matematiikan Chikatilo. No, ei tietenkään matematiikastakaan =) Valmistautuneemmat opiskelijat voivat käyttää materiaaleja valikoivasti, tietyssä mielessä "hankkia" puuttuvan tiedon, sinulle minusta tulee harmiton kreivi Dracula =)

Lopuksi avataan hieman ovea ja katsotaan mitä tapahtuu, kun kaksi vektoria kohtaa toisensa….

Vektorien skalaaritulon määritelmä.
Skalaaritulon ominaisuudet. Tyypillisiä tehtäviä

Pistetuotteen käsite

Ensin noin vektorien välinen kulma. Luulen, että kaikki ymmärtävät intuitiivisesti, mikä on vektorien välinen kulma, mutta varmuuden vuoksi hieman enemmän. Harkitse vapaita nollasta poikkeavia vektoreita ja . Jos lykkäämme näitä vektoreita mielivaltaisesta pisteestä, saamme kuvan, jonka monet ovat jo esittäneet henkisesti:

Myönnän, tässä kuvailin tilannetta vain ymmärryksen tasolla. Jos tarvitset vektoreiden välisen kulman tiukan määritelmän, katso oppikirjaa, mutta käytännön tehtäviin emme periaatteessa tarvitse sitä. Myös TÄÄLLÄ JA MUKAAN jätän joskus huomioimatta nollavektorit niiden vähäisen käytännön merkityksen vuoksi. Tein varauksen erityisesti kokeneille vierailijoille, jotka voivat moittia minua joidenkin seuraavista väitteistä teoreettisesta epätäydellisyydestä.

voi ottaa arvoja 0 - 180 astetta (0 - radiaaneja) mukaan lukien. Analyyttisesti tämä tosiasia kirjoitetaan kaksois-epäyhtälöksi:

tai

(radiaaneina).

Kirjallisuudessa kulmakuvake jätetään usein pois ja kirjoitetaan yksinkertaisesti.

Määritelmä: Kahden vektorin skalaaritulo on NUMERO, joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo:

Se on nyt aika tiukka määritelmä.

Keskitymme olennaiseen tietoon:

Nimitys: skalaarituloa merkitään tai yksinkertaisesti .

Operaation tulos on NUMERO: Kerro vektori vektorilla saadaksesi luvun. Todellakin, jos vektorien pituudet ovat lukuja, kulman kosini on luku, niin niiden tulo tulee myös numeroksi.

Vain pari lämmittelyesimerkkiä:

Esimerkki 1

Ratkaisu: Käytämme kaavaa . Tässä tapauksessa:

Vastaus:

Kosiniarvot löytyvät trigonometrinen taulukko. Suosittelen sen tulostamista - sitä tarvitaan melkein kaikissa tornin osissa ja vaaditaan monta kertaa.

Puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta skalaaritulo on dimensioton, eli tulos on tässä tapauksessa vain luku ja siinä se. Fysiikan tehtävien näkökulmasta skalaaritulolla on aina tietty fyysinen merkitys, eli tuloksen jälkeen on ilmoitettava yksi tai toinen fyysinen yksikkö. Kanoninen esimerkki voiman työn laskemisesta löytyy mistä tahansa oppikirjasta (kaava on täsmälleen pistetulo). Voiman työ mitataan jouleina, joten vastaus kirjoitetaan melko tarkasti, esimerkiksi.

Esimerkki 2

Etsi jos , ja vektorien välinen kulma on .

Tämä on esimerkki itsepäätöksestä, vastaus on oppitunnin lopussa.

Vektorien ja pistetuloarvon välinen kulma

Esimerkissä 1 skalaaritulo osoittautui positiiviseksi ja esimerkissä 2 negatiiviseksi. Selvitetään, mistä skalaaritulon etumerkki riippuu. Katsotaanpa kaavaamme: . Nollasta poikkeavien vektorien pituudet ovat aina positiivisia: , joten etumerkki voi riippua vain kosinin arvosta.

Huomautus: Alla olevien tietojen ymmärtämiseksi on parempi tutkia käsikirjan kosinikaaviota Kaaviot ja funktion ominaisuudet. Katso kuinka kosini käyttäytyy segmentissä.

Kuten jo todettiin, vektorien välinen kulma voi vaihdella sisällä , ja seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) Jos injektio vektorien välillä mausteinen: (0 - 90 astetta), sitten , Ja pistetuote on positiivinen ohjattu yhdessä, silloin niiden välisen kulman katsotaan olevan nolla ja skalaaritulo on myös positiivinen. Koska , niin kaava on yksinkertaistettu: .

2) Jos injektio vektorien välillä tyhmä: (90 - 180 astetta), sitten ja vastaavasti pistetulo on negatiivinen: . Erikoistapaus: jos vektorit suunnattu päinvastoin, niin niiden välinen kulma otetaan huomioon käyttöön: (180 astetta). Skalaaritulo on myös negatiivinen, koska

Myös käänteiset väitteet pitävät paikkansa:

1) Jos , niin näiden vektorien välinen kulma on akuutti. Vaihtoehtoisesti vektorit ovat samansuuntaisia.

2) Jos , niin näiden vektorien välinen kulma on tylppä. Vaihtoehtoisesti vektorit on suunnattu vastakkain.

Mutta kolmas tapaus on erityisen kiinnostava:

3) Jos injektio vektorien välillä suoraan: (90 astetta) sitten ja pistetulo on nolla: . Päinvastoin on myös totta: jos , niin . Kompakti lausunto on muotoiltu seuraavasti: Kahden vektorin skalaaritulo on nolla silloin ja vain jos annetut vektorit ovat ortogonaalisia. Lyhyt matemaattinen merkintä:

! Huomautus : toista matemaattisen logiikan perusteet: kaksipuolinen looginen seurauskuvake luetaan yleensä "jos ja vain silloin", "jos ja vain jos". Kuten näette, nuolet on suunnattu molempiin suuntiin - "tästä seuraa tätä ja päinvastoin - tästä seuraa tätä." Mitä eroa muuten on yksisuuntaiseen seurantakuvakkeeseen ? Ikoni väittää vain se että "tästä seuraa tämä", eikä se tosiasia, että päinvastoin on totta. Esimerkiksi: , mutta kaikki eläimet eivät ole pantteri, joten kuvaketta ei voi käyttää tässä tapauksessa. Samaan aikaan kuvakkeen sijaan voi käytä yksipuolista kuvaketta. Esimerkiksi, kun ratkaisimme ongelman, huomasimme, että päätimme vektorien olevan ortogonaalisia: - tällainen tietue on oikea ja jopa sopivampi kuin .

Kolmannella tapauksella on suuri käytännön merkitys., koska sen avulla voit tarkistaa, ovatko vektorit ortogonaalisia vai eivät. Ratkaisemme tämän ongelman oppitunnin toisessa osassa.

Pistetuotteen ominaisuudet

Palataan tilanteeseen, jossa kaksi vektoria ohjattu yhdessä. Tässä tapauksessa niiden välinen kulma on nolla, ja skalaaritulokaava on muotoa: .

Mitä tapahtuu, jos vektori kerrotaan itsestään? On selvää, että vektori on suunnattu yhdessä itsensä kanssa, joten käytämme yllä olevaa yksinkertaistettua kaavaa:

Numeroon soitetaan skalaari neliö vektori , ja niitä merkitään .

Tällä tavoin, vektorin skalaarineliö on yhtä suuri kuin annetun vektorin pituuden neliö:

Tästä yhtälöstä saat kaavan vektorin pituuden laskemiseksi:

Vaikka se näyttää epäselvältä, oppitunnin tehtävät asettavat kaiken paikoilleen. Ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme myös pistetuotteen ominaisuudet.

Mielivaltaisille vektoreille ja mille tahansa numerolle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) - siirrettävä tai kommutatiivisia skalaaritulolaki.

2) - jakelu tai jakavia skalaaritulolaki. Yksinkertaisesti sanottuna voit avata sulut.

3) - yhdistelmä tai assosiatiivista skalaaritulolaki. Vakio voidaan ottaa pois skalaaritulosta.

Usein kaikenlaiset ominaisuudet (jotka on myös todistettava!) ovat opiskelijoiden mielestä turhaa roskaa, joka pitää vain opetella ulkoa ja turvallisesti unohtaa heti kokeen jälkeen. Vaikuttaa siltä, että mikä tässä on tärkeää, kaikki tietävät jo ensimmäisestä luokasta lähtien, että tuote ei muutu tekijöiden permutaatiosta:. Minun on varoitettava, että korkeammassa matematiikassa tällaisella lähestymistavalla asiat on helppo sotkea. Joten esimerkiksi kommutatiivinen ominaisuus ei ole voimassa algebralliset matriisit. Se ei pidä paikkaansa vektorien ristitulo. Siksi on ainakin parempi sukeltaa kaikkiin ominaisuuksiin, joita kohtaat korkeamman matematiikan aikana, jotta ymmärrät, mitä voidaan tehdä ja mitä ei.

Esimerkki 3

Ratkaisu: Selvitetään ensin tilanne vektorilla. Mistä siinä on kyse? Vektorien summa ja on hyvin määritelty vektori, jota merkitään . Vektoritoimintojen geometrinen tulkinta löytyy artikkelista Vektorit tutille. Sama persilja, jossa on vektori, on vektorien ja .

Ehdon mukaan on siis löydettävä skalaaritulo. Teoriassa sinun on sovellettava työkaavaa , mutta ongelma on se, että emme tiedä vektorien pituuksia ja niiden välistä kulmaa. Mutta ehdolla vektoreille annetaan samanlaiset parametrit, joten menemme toiseen suuntaan:

(1) Korvaamme vektoreiden lausekkeet.

(2) Avaamme sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti, artikkelista löytyy vulgaari kielenkääntäjä Monimutkaiset luvut tai Murto-rationaalisen funktion integrointi. En toista itseäni =) Muuten, skalaaritulon jakautumisominaisuus antaa meille mahdollisuuden avata sulut. Meillä on oikeus.

(3) Ensimmäisessä ja viimeisessä termissä kirjoitetaan kompaktisti vektorien skalaarineliöt: . Toisessa termissä käytämme skalaaritulon kommutoitavuutta: .

(4) Tässä on samanlaisia termejä: .

(5) Ensimmäisessä termissä käytämme skalaarineliön kaavaa, joka mainittiin ei niin kauan sitten. Viimeisellä lukukaudella sama toimii: . Toinen termi laajenee vakiokaavan mukaan .

(6) Korvaa nämä ehdot , ja suorita HUOLELLISESTI lopulliset laskelmat.

Vastaus:

Pistetulon negatiivinen arvo ilmaisee, että vektorien välinen kulma on tylppä.

Tehtävä on tyypillinen, tässä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 4

Etsi skalaaritulo vektoreista ja , jos se tiedetään .

Nyt toinen yleinen tehtävä, vain uudelle vektorin pituuskaavalle. Tässä olevat nimitykset menevät hieman päällekkäin, joten selvyyden vuoksi kirjoitan sen uudelleen toisella kirjaimella:

Esimerkki 5

Etsi vektorin pituus jos .

Ratkaisu tulee olemaan seuraava:

(1) Toimitamme vektorilausekkeen .

(2) Käytämme pituuskaavaa: , kun taas meillä on kokonaislukulauseke vektorina "ve".

(3) Käytämme summan neliön koulukaavaa. Kiinnitä huomiota siihen, kuinka se omituisesti toimii tässä: - itse asiassa tämä on eron neliö, ja itse asiassa se on niin. Halukkaat voivat järjestää vektoreita paikoin uudelleen: - Sama asia selvisi termien uudelleenjärjestelyyn asti.

(4) Seuraava on jo tuttua kahdesta edellisestä tehtävästä.

Vastaus:

Koska puhumme pituudesta, älä unohda ilmoittaa mittaa - "yksiköt".

Esimerkki 6

Etsi vektorin pituus jos .

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Jatkamme hyödyllisten asioiden puristamista skalaarituloksesta. Katsotaanpa kaavaamme uudelleen . Suhteellisuussäännön mukaan asetamme vektorien pituudet vasemman puolen nimittäjään:

Vaihdetaan osia:

Mikä tämän kaavan merkitys on? Jos kahden vektorin pituudet ja niiden skalaaritulo tunnetaan, on mahdollista laskea näiden vektorien välisen kulman kosini ja siten itse kulma.

Onko skalaaritulo numero? Määrä. Ovatko vektorin pituudet numeroita? Numerot. Murtoluku on siis myös luku. Ja jos kulman kosini tunnetaan: , niin käänteisfunktiolla on helppo löytää itse kulma: .

Esimerkki 7

Etsi kulma vektorien ja , jos tiedetään, että .

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:

Laskennan viimeisessä vaiheessa käytettiin tekniikkaa - irrationaalisuuden poistamista nimittäjästä. Irrationaalisuuden poistamiseksi kerroin osoittajan ja nimittäjän luvulla.

Niin jos , sitten:

Käänteisten trigonometristen funktioiden arvot löytyvät trigonometrinen taulukko. Vaikka tätä tapahtuu harvoin. Analyyttisen geometrian ongelmissa jotain kömpelöä karhumaista esiintyy paljon useammin, ja kulman arvo on löydettävä likimäärin laskimen avulla. Itse asiassa tulemme näkemään tämän kuvan uudestaan ja uudestaan.

Vastaus:

Jälleen, älä unohda määrittää mittaa - radiaanit ja asteet. Henkilökohtaisesti, jotta tarkoituksella "poistetaan kaikki kysymykset", haluan ilmoittaa molemmat (ellei tietenkään edellytetä, että vastaus on esitettävä vain radiaaneina tai vain asteina).

Nyt pystyt selviytymään vaikeammasta tehtävästä yksin:

Esimerkki 7*

On annettu vektorien pituudet ja niiden välinen kulma . Etsi vektorien välinen kulma , .

Tehtävä ei ole niinkään vaikea kuin monisuuntainen.
Analysoidaan ratkaisualgoritmi:

1) Ehdon mukaan on löydettävä kulma vektorien ja välillä, joten sinun on käytettävä kaavaa .

2) Löydämme skalaaritulon (katso esimerkit 3, 4).

3) Laske vektorin pituus ja vektorin pituus (katso esimerkit 5, 6).

4) Ratkaisun loppu osuu yhteen esimerkin 7 kanssa - tiedämme luvun , mikä tarkoittaa, että on helppo löytää itse kulma:

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Oppitunnin toinen osa on omistettu samalle pistetuotteelle. Koordinaatit. Se on vielä helpompaa kuin ensimmäisessä osassa.

vektorien pistetulo,
annettuna koordinaatteina ortonormaalisesti

Vastaus:

Sanomattakin on selvää, että koordinaattien käsittely on paljon miellyttävämpää.

Esimerkki 14

Etsi vektorien skalaaritulo ja jos

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tässä voidaan käyttää operaation assosiatiivisuutta, eli älä laske, vaan ota välittömästi kolmoiskappale skalaarituloksesta ja kerro sillä viimeiseksi. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kappaleen lopussa provosoiva esimerkki vektorin pituuden laskemisesta:

Esimerkki 15

Etsi vektorien pituudet , jos

Ratkaisu: jälleen edellisen osan menetelmä ehdottaa itseään: mutta on toinenkin tapa:

Etsitään vektori:

Ja sen pituus triviaalin kaavan mukaan :

Skalaarituote ei liity tähän ollenkaan!

Kuinka sekavaa se on, kun lasketaan vektorin pituutta:
Lopettaa. Miksi ei hyödynnetä vektorin ilmeistä pituusominaisuutta? Mitä voidaan sanoa vektorin pituudesta? Tämä vektori on 5 kertaa pidempi kuin vektori. Suunta on päinvastainen, mutta sillä ei ole väliä, koska puhumme pituudesta. On selvää, että vektorin pituus on yhtä suuri kuin tulo moduuli numerot per vektorin pituus:
- moduulin merkki "syö" luvun mahdollisen miinuksen.

Tällä tavoin:

Vastaus:

Koordinaateilla annettujen vektorien välisen kulman kosinin kaava

Nyt meillä on täydelliset tiedot, jotta voimme ilmaista aiemmin johdetun kaavan vektorien välisen kulman kosinille vektorien koordinaatteina:

Tasovektorien välisen kulman kosini ja ortonormaalin perusteella annettuna , ilmaistaan kaavalla:
.

Avaruusvektorien välisen kulman kosini, annettu ortonormaalilla perusteella , ilmaistaan kaavalla:

Esimerkki 16

Kolmion kolme kärkeä on annettu. Etsi (vertex kulma ).

Ratkaisu: Ehdolla piirustusta ei vaadita, mutta silti:

Tarvittava kulma on merkitty vihreällä kaarella. Muistamme välittömästi kulman koulumerkinnän: - erityistä huomiota keskellä kirjain - tämä on tarvitsemamme kulman kärki. Lyhyyden vuoksi se voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisesti.

Piirustuksen perusteella on ilmeistä, että kolmion kulma on sama kuin vektorien välinen kulma ja toisin sanoen: .

On toivottavaa oppia suorittamaan henkisesti suoritettava analyysi.

Etsitään vektorit:

Lasketaan skalaaritulo:

Ja vektorien pituudet:

Kulman kosini:

Tätä tehtäväjärjestystä suosittelen nukkeille. Edistyneemmät lukijat voivat kirjoittaa laskelmat "yhdelle riville":

Tässä on esimerkki "huonosta" kosiniarvosta. Tuloksena oleva arvo ei ole lopullinen, joten nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta ei ole paljon hyötyä.

Etsitään kulma:

Jos katsot piirustusta, tulos on melko uskottava. Kulman tarkistamiseksi voidaan myös mitata astemittarilla. Älä vahingoita näytön pinnoitetta =)

Vastaus:

Vastauksena, älä unohda sitä kysyi kolmion kulmasta(eikä vektorien välisestä kulmasta), älä unohda ilmoittaa tarkkaa vastausta: ja kulman likimääräinen arvo: löytyi laskimella.

Ne, jotka ovat nauttineet prosessista, voivat laskea kulmat ja varmistaa, että kanoninen tasa-arvo on totta

Esimerkki 17

Kolmio on annettu avaruudessa sen kärkipisteiden koordinaateista. Etsi sivujen välinen kulma ja

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa

Pieni viimeinen osa on omistettu projektioille, joissa myös skalaaritulo on "mukana":

Vektorin projektio vektoriin. Vektoriprojektio koordinaattiakseleille.
Vektorin suunnan kosinit

Harkitse vektoreita ja:

Projisoimme vektorin vektoriin , tätä varten jätämme pois vektorin alusta ja lopusta kohtisuorat vektoria kohti (vihreät katkoviivat). Kuvittele, että valonsäteet putoavat kohtisuoraan vektorin päälle. Sitten segmentti (punainen viiva) on vektorin "varjo". Tässä tapauksessa vektorin projektio vektoriin on janan PITUUS. Eli PROJEKTI ON NUMERO.

Tämä NUMERO on merkitty seuraavasti: , "suuri vektori" tarkoittaa vektoria MIKÄ projekti, "pieni alaindeksivektori" tarkoittaa vektoria PÄÄLLÄ joka ennustetaan.

Itse merkintä kuuluu näin: "vektorin "a" projektio vektoriin "olla"".

Mitä tapahtuu, jos vektori "olla" on "liian lyhyt"? Piirrämme suoran, joka sisältää vektorin "olla". Ja vektori "a" projisoidaan jo vektorin "olla" suuntaan, yksinkertaisesti - suoralla viivalla, joka sisältää vektorin "olla". Sama tapahtuu, jos vektori "a" jätetään sivuun 30. valtakunnassa - se heijastetaan silti helposti viivalle, joka sisältää vektorin "be".

Jos kulma vektorien välillä mausteinen(kuten kuvassa) siis

Jos vektorit ortogonaalinen, niin (projektio on piste, jonka mittojen oletetaan olevan nolla).

Jos kulma vektorien välillä tyhmä(kuvassa, järjestä vektorin nuoli henkisesti uudelleen), sitten (sama pitkä, mutta otettu miinusmerkillä).

Laita sivuun nämä vektorit yhdestä pisteestä:

On selvää, että siirrettäessä vektoria, sen projektio ei muutu

I. Skalaaritulo katoaa, jos ja vain jos ainakin yksi vektoreista on nolla tai jos vektorit ovat kohtisuorassa. Todellakin, jos tai , tai sitten .

Päinvastoin, jos kerrotut vektorit eivät ole nollia, niin koska ehdosta

kun seuraava:

Koska nollavektorin suunta on epämääräinen, nollavektoria voidaan pitää kohtisuorassa mihin tahansa vektoriin nähden. Siksi skalaaritulon osoitettu ominaisuus voidaan formuloida lyhyemmällä tavalla: skalaaritulo katoaa jos ja vain jos vektorit ovat kohtisuorassa.

II. Skalaaritulolla on siirrettävyysominaisuus:

Tämä ominaisuus seuraa suoraan määritelmästä:

koska samalla kulmalla on eri nimitykset.

III. Jakelulaki on poikkeuksellisen tärkeä. Sen sovellus on yhtä suuri kuin tavallisessa aritmetiikassa tai algebrassa, jossa se on muotoiltu seuraavasti: summan kertomiseksi sinun on kerrottava jokainen termi ja laskettava tulokseksi saadut tulot, ts.

Ilmeisesti moniarvoisten lukujen kertominen aritmeettisessa tai polynomien kertolasku algebrassa perustuu tähän kertolaskuominaisuuteen.

Tällä lailla on sama perustavanlaatuinen merkitys vektorialgebrassa, koska sen perusteella voidaan soveltaa tavallista sääntöä polynomien kertomiselle vektoreille.

Osoittakaamme, että millä tahansa kolmella vektorilla A, B, C on yhtälö

Kaavalla ilmaistun skalaaritulon toisen määritelmän mukaan saamme:

Kun nyt sovelletaan 5 §:n projektioiden ominaisuutta 2, huomaamme:

Q.E.D.

IV. Skalaaritulolla on yhdistelmän ominaisuus suhteessa numeeriseen tekijään; tämä ominaisuus ilmaistaan seuraavalla kaavalla:

eli vektorien skalaaritulon kertomiseksi luvulla riittää kertoa yksi tekijä tällä luvulla.

Mukana on myös itsenäisen ratkaisun tehtäviä, joihin näet vastaukset.

Jos tehtävässä sekä vektorien pituudet että niiden välinen kulma esitetään "hopealautasella", niin ongelman ehto ja sen ratkaisu näyttävät tältä:

Esimerkki 1 Vektorit on annettu. Etsi vektorien skalaaritulo, jos niiden pituudet ja niiden välinen kulma esitetään seuraavilla arvoilla:

Myös toinen määritelmä on pätevä, joka vastaa täysin määritelmää 1.

Määritelmä 2. Vektorien skalaaritulo on luku (skalaari), joka on yhtä suuri kuin yhden näistä vektoreista pituuden ja toisen vektorin projektion tulo akselille, jonka määrittää ensimmäinen näistä vektoreista. Määritelmän 2 mukainen kaava:

Ratkaisemme ongelman tämän kaavan avulla seuraavan tärkeän teoreettisen kohdan jälkeen.

Vektorien skalaaritulon määritelmä koordinaatteina

Sama luku voidaan saada, jos kerrotut vektorit annetaan niiden koordinaateista.

Määritelmä 3. Vektorien pistetulo on luku, joka on yhtä suuri kuin niiden vastaavien koordinaattien parittaisten tulojen summa.

Pinnalla

Jos kaksi vektoria ja tasossa on määritelty niiden kahdella Suorakulmaiset koordinaatit

silloin näiden vektorien pistetulo on yhtä suuri kuin niiden vastaavien koordinaattien parittaisten tulojen summa:

Esimerkki 2 Etsi vektorin projektion numeerinen arvo vektorin suuntaiselle akselille.

Ratkaisu. Löydämme vektorien skalaaritulon lisäämällä niiden koordinaattien paritulot:

Nyt meidän on rinnastettava tuloksena oleva skalaaritulo vektorin pituuden ja vektorin projektion tuloon vektorin suuntaiselle akselille (kaavan mukaisesti).

Löydämme vektorin pituuden sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena:

Kirjoita yhtälö ja ratkaise se:

Vastaus. Haluttu numeroarvo on miinus 8.

Avaruudessa

Jos kaksi vektoria ja avaruudessa määritellään niiden kolmen suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaatin avulla

silloin näiden vektorien skalaaritulo on myös yhtä suuri kuin niiden vastaavien koordinaattien parittaisten tulojen summa, vain koordinaatteja on jo kolme:

Tehtävä löytää skalaaritulo harkitulla tavalla on skalaaritulon ominaisuuksien analysoinnin jälkeen. Koska tehtävässä on tarpeen määrittää, minkä kulman kerrotut vektorit muodostavat.

Vektorien pistetulon ominaisuudet

Algebralliset ominaisuudet

1. (kommutatiivista omaisuutta: niiden skalaaritulon arvo ei muutu kerrottujen vektorien paikkojen muuttamisesta).

2. (assosiatiivinen ominaisuus suhteessa numeeriseen tekijään: vektorin skalaaritulo kerrottuna jollakin kertoimella ja toisella vektorilla on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaaritulo kerrottuna samalla tekijällä).

3. (distributiivinen ominaisuus vektorien summan suhteen: kahden vektorin summan skalaaritulo kolmannella vektorilla on yhtä suuri kuin kolmannen vektorin ensimmäisen vektorin ja kolmannen vektorin toisen vektorin skalaaritulojen summa).

4. (nollaa suuremman vektorin skalaarineliö) if on nollasta poikkeava vektori ja , jos on nollavektori.

Geometriset ominaisuudet

Tutkittavan operaation määritelmissä olemme jo käsitelleet kahden vektorin välisen kulman käsitettä. On aika selventää tätä käsitettä.

Yllä olevassa kuvassa näkyy kaksi vektoria, jotka on saatettu yhteiseen alkuun. Ja ensimmäinen asia, johon sinun on kiinnitettävä huomiota: näiden vektorien välillä on kaksi kulmaa - φ 1 Ja φ 2 . Mikä näistä kulmista esiintyy vektorien skalaaritulon määritelmissä ja ominaisuuksissa? Tarkastettujen kulmien summa on 2 π ja siksi näiden kulmien kosinit ovat yhtä suuret. Pistetulon määritelmä sisältää vain kulman kosinin, ei sen lausekkeen arvoa. Mutta vain yksi kulma huomioidaan kiinteistöissä. Ja tämä on yksi kahdesta kulmasta, joka ei ylitä π eli 180 astetta. Tämä kulma on esitetty kuvassa muodossa φ 1 .

1. Kutsutaan kahta vektoria ortogonaalinen Ja näiden vektorien välinen kulma on oikea (90 astetta tai π /2) jos näiden vektorien skalaaritulo on nolla :

Ortogonaalisuus vektorialgebrassa on kahden vektorin kohtisuora.

2. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria muodostuu terävä kulma (0 - 90 astetta tai, mikä on sama, vähemmän π pistetuote on positiivinen .

3. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria muodostuu tylppä kulma (90 - 180 astetta, tai mikä on sama - enemmän π /2) jos ja vain jos pistetulo on negatiivinen .

Esimerkki 3 Vektorit on annettu koordinaatteina:

Laske kaikkien annettujen vektoriparien pistetulot. Minkä kulman (akuutti, oikea, tylppä) nämä vektoriparit muodostavat?

Ratkaisu. Laskemme lisäämällä vastaavien koordinaattien tulot.

Saimme negatiivisen luvun, joten vektorit muodostavat tylpän kulman.

Saimme positiivisen luvun, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

Saimme nollan, joten vektorit muodostavat suoran kulman.

Saimme positiivisen luvun, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

Voit käyttää itsetestaukseen online-laskin Vektorien ja niiden välisen kulman kosinin pistetulo.

Esimerkki 4 Kun otetaan huomioon kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma:

Määritä, millä luvun arvolla vektorit ja ovat kohtisuorassa (pystysuorassa).

Ratkaisu. Kerromme vektorit polynomien kertolaskusäännön mukaisesti:

Lasketaan nyt jokainen termi:

Muodostetaan yhtälö (tulon yhtäläisyys nollaan), annetaan vastaavat termit ja ratkaistaan yhtälö:

Vastaus: saimme arvon λ = 1,8 , jossa vektorit ovat ortogonaalisia.

Esimerkki 5 Todista, että vektori kohtisuorassa (pystysuorassa) vektoriin nähden

Ratkaisu. Ortogonaalisuuden tarkistamiseksi kerromme vektorit ja polynomeina korvaamalla ongelmaehdon lausekkeen sen sijaan:

Tätä varten sinun on kerrottava ensimmäisen polynomin jokainen termi (termi) toisen kullakin termillä ja lisättävä tuloksena saadut tulot:

Tämän seurauksena maksettava osuus pienenee. Saadaan seuraava tulos:

Johtopäätös: kertolaskun tuloksena saimme nollan, joten vektorien ortogonaalisuus (pystysuoraisuus) on todistettu.

Ratkaise ongelma itse ja katso sitten ratkaisu

Esimerkki 6 Koska vektorien pituudet ja , ja näiden vektorien välinen kulma on π /4 . Päätä millä arvolla μ vektorit ja ovat keskenään kohtisuorassa.

Voit käyttää itsetestaukseen online-laskin Vektorien ja niiden välisen kulman kosinin pistetulo.

Matriisiesitys vektorien skalaaritulosta ja n-ulotteisten vektorien tulosta

Joskus selvyyden vuoksi on edullista esittää kaksi kerrottua vektoria matriisien muodossa. Sitten ensimmäinen vektori esitetään rivimatriisina ja toinen - sarakematriisina:

Silloin vektorien skalaaritulo on näiden matriisien tulo :

Tulos on sama kuin jo tarkastelemallamme menetelmällä saatu tulos. Saimme yhden luvun, ja matriisirivin tulo matriisisarakkeella on myös yksi luku.

Matriisimuodossa on kätevää esittää abstraktien n-ulotteisten vektoreiden tuloa. Siten kahden neliulotteisen vektorin tulo on neljän elementin rivimatriisin tulo sarakematriisilla myös neljällä alkiolla, kahden viisiulotteisen vektorin tulo on viiden alkion rivimatriisin tulo sarakematriisi, jossa on myös viisi elementtiä ja niin edelleen.

Esimerkki 7 Löydä vektoriparien pistetuotteet

käyttämällä matriisiesitystä.

Ratkaisu. Ensimmäinen vektoripari. Esitämme ensimmäistä vektoria rivimatriisina ja toista sarakematriisina. Löydämme näiden vektorien skalaaritulon rivimatriisin tulona sarakematriisin mukaan:

Samalla tavalla edustamme toista paria ja löydämme:

Kuten näet, tulokset ovat samat kuin esimerkin 2 samoilla pareilla.

Kahden vektorin välinen kulma

Kahden vektorin välisen kulman kosinin kaavan johtaminen on erittäin kaunis ja ytimekäs.

Ilmaista vektorien pistetulo

(1)

koordinaattimuodossa löydämme ensin orttien skalaaritulon. Vektorin skalaaritulo itsensä kanssa on määritelmän mukaan:

Yllä olevaan kaavaan kirjoitettu tarkoittaa: vektorin skalaaritulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin sen pituuden neliö. Nollan kosini on yhtä suuri kuin yksi, joten kunkin orthin neliö on yhtä suuri: