Trigonometriset kaavat ovat erikoistapauksia. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Manuaalit ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa luokalle 10 alkaen 1C
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiivisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mitä opiskelemme:
1. Mitä ovat trigonometriset yhtälöt?

3. Kaksi päämenetelmää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
4. Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.
5. Esimerkkejä.

Mitä ovat trigonometriset yhtälöt?

Kaverit, olemme jo tutkineet arkosiinia, arkosiinia, arktangenttia ja arkotangenttia. Katsotaanpa nyt trigonometrisiä yhtälöitä yleisesti.

Trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöitä, joissa muuttuja on trigonometrisen funktion merkin alla.

Toistetaan yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisumuoto:

1)Jos |a|≤ 1, niin yhtälöllä cos(x) = a on ratkaisu:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jos |a|≤ 1, niin yhtälöllä sin(x) = a on ratkaisu:

3) Jos |a| > 1, niin yhtälöllä sin(x) = a ja cos(x) = a ei ole ratkaisuja 4) Yhtälöllä tg(x)=a on ratkaisu: x=arctg(a)+ πk

5) Yhtälöllä ctg(x)=a on ratkaisu: x=arcctg(a)+ πk

Kaikille kaavoille k on kokonaisluku

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat muotoa: T(kx+m)=a, T on jokin trigonometrinen funktio.

Ratkaise yhtälöt: a) sin(3x)= √3/2

Ratkaisu:

A) Merkitään 3x=t, niin kirjoitetaan yhtälömme muotoon:

Tämän yhtälön ratkaisu on: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Arvotaulukosta saamme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Palataan muuttujaamme: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sitten x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastaus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, missä n on kokonaisluku. (-1)^n – miinus yksi n:n potenssiin.

Lisää esimerkkejä trigonometrisista yhtälöistä.

Ratkaisu:

A) Siirrytään tällä kertaa suoraan yhtälön juurien laskemiseen:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Sitten x/5= πk => x=5πk

Vastaus: x=5πk, missä k on kokonaisluku.

B) Kirjoita se muotoon: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tiedämme, että: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastaus: x=2π/9 + πk/3, missä k on kokonaisluku.

Ratkaise yhtälöt: cos(4x)= √2/2. Ja etsi segmentin kaikki juuret.

Ratkaisu:

Ratkaistaan ​​yhtälömme yleisessä muodossa: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Katsotaan nyt, mitkä juuret osuvat segmentillemme. Kohdassa k Kohdassa k=0, x= π/16, olemme annetussa segmentissä.
Kun k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, osumme uudelleen.
Kun k=2, x= π/16+ π=17π/16, mutta tässä emme osuneet, mikä tarkoittaa, että suurella k:lla emme myöskään ilmeisesti osu.

Vastaus: x= π/16, x= 9π/16

Kaksi pääasiallista ratkaisutapaa.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Ratkaisu:
Yhtälömme ratkaisemiseksi käytämme menetelmää ottaa käyttöön uusi muuttuja, joka merkitsee: t=tg(x).

Korvauksen tuloksena saamme: t 2 + 2t -1 = 0

Etsitään toisen asteen yhtälön juuret: t=-1 ja t=1/3

Sitten tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saadaan yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö, etsitään sen juuret.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastaus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Esimerkki yhtälön ratkaisemisesta

Ratkaise yhtälöt: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Ratkaisu:

Käytetään identiteettiä: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Yhtälömme on muotoa: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Otetaan käyttöön korvaus t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Neliöyhtälömme ratkaisu on juuret: t=2 ja t=-1/2

Sitten cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Koska kosini ei voi ottaa yhtä suurempia arvoja, jolloin cos(x)=2:lla ei ole juuria.

Jos cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastaus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Muodon yhtälöt

toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Ratkaise ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö jakamalla se cos(x:lla): Et voi jakaa kosinilla, jos se on nolla, varmistetaan, ettei näin ole:
Olkoon cos(x)=0, sitten asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mutta sini ja kosini eivät ole yhtä aikaa nolla, saadaan ristiriita, joten voimme turvallisesti jakaa nollalla.

Ratkaise yhtälö:
Esimerkki: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Ratkaisu:

Otetaan yhteinen tekijä: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sitten meidän on ratkaistava kaksi yhtälöä:

Cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x) = 0 kohdassa x = π/2 + πk;

Tarkastellaan yhtälöä cos(x)+sin(x)=0 Jaa yhtälömme cos(x):lla:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastaus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuinka ratkaista toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt?
Kaverit, noudata aina näitä sääntöjä!

1. Katso mikä kerroin a on yhtä suuri, jos a=0 niin yhtälömme on muotoa cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), jonka ratkaisun esimerkki on edellisellä dialla

2. Jos a≠0, sinun on jaettava yhtälön molemmat puolet kosinin neliöllä, saamme:

Muutetaan muuttuja t=tg(x) ja saadaan yhtälö:

Ratkaise esimerkki nro:3

Jaetaan yhtälön molemmat puolet kosinineliöllä:

Muutetaan muuttuja t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Etsitään toisen asteen yhtälön juuret: t=-3 ja t=1

Sitten: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastaus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Ratkaise esimerkki nro:4

Ratkaisu:
Muutetaan ilmaisumme:

Voimme ratkaista seuraavat yhtälöt: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastaus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Ratkaise esimerkki nro:5

Ratkaisu:
Muutetaan ilmaisumme:

Otetaan käyttöön korvaus tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Neliöyhtälömme ratkaisu on juuret: t=-2 ja t=1/2

Sitten saadaan: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastaus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ongelmia itsenäiseen ratkaisuun.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Ratkaise yhtälöt: sin(3x)= √3/2. Ja etsi kaikki juuret segmentistä [π/2; π].

3) Ratkaise yhtälö: pinnasänky 2 (x) + 2 pinnasänky (x) + 1 =0

4) Ratkaise yhtälö: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Ratkaise yhtälö: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Ratkaise yhtälö: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Voit tilata yksityiskohtaisen ratkaisun ongelmaasi!!!

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion merkin alla (`sin x, cos x, tan x` tai `ctg x`), kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja niiden kaavoja tarkastellaan edelleen.

Yksinkertaisimmat yhtälöt ovat "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", missä "x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjataan ylös kunkin niistä juurikaavat.

1. Yhtälö "sin x=a".

Kohdalle `|a|>1` ei ole ratkaisuja.

Kun `|a| \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Yhtälö cos x=a

`|a|>1` - kuten sinin tapauksessa, sillä ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa.

Kun `|a| \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sinin ja kosinin erikoistapaukset kaavioissa.

3. Yhtälö "tg x=a".

Siinä on ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Yhtälö ctg x=a

Siinä on myös ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinille:
Kosinille:
Tangentille ja kotangentille:
Kaavat käänteisiä trigonometrisiä funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen koostuu kahdesta vaiheesta:

• muuntamalla se yksinkertaisimmaksi;
• ratkaise yksinkertaisin yhtälö yllä kirjoitetuilla juurikaavoilla ja taulukoilla.

Katsotaanpa tärkeimpiä ratkaisumenetelmiä esimerkkien avulla.

Algebrallinen menetelmä.

Tämä menetelmä sisältää muuttujan korvaamisen ja sen korvaamisen yhtäläisyydellä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tee korvaava: `cos(x+\frac \pi 6)=y, sitten `2y^2-3y+1=0`,

löydämme juuret: `y_1=1, y_2=1/2`, joista seuraa kaksi tapausta:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastaus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisointi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `sin x+cos x=1`.

Ratkaisu. Siirretään kaikki yhtälön ehdot vasemmalle: `sin x+cos x-1=0`. Käyttämällä , muunnamme ja kerroimme vasemman puolen:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastaus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Ensin sinun on vähennettävä tämä trigonometrinen yhtälö johonkin kahdesta muodosta:

"a sin x+b cos x=0" (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat arvolla "cos x \ne 0" - ensimmäisessä tapauksessa ja "cos^2 x \ne 0" - toisessa tapauksessa. Saamme yhtälöt `tg x`:lle: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Ratkaisu. Kirjoita oikealle puolelle muotoa `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

"sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0".

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, jaamme sen vasemman ja oikean puolen `cos^2 x \ne 0`, saamme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0'. Otetaan käyttöön korvaava `tg x=t`, jolloin tuloksena on `t^2 + t - 2=0`. Tämän yhtälön juuret ovat `t_1=-2` ja `t_2=1`. Sitten:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Vastaus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z'.

Siirtyminen puolikulmaan

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Ratkaisu. Sovelletaan kaksoiskulmakaavoja, jolloin tuloksena on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0".

Käyttämällä yllä kuvattua algebrallista menetelmää saamme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Apukulman esittely

Trigonometrisessa yhtälössä "a sin x + b cos x =c", jossa a,b,c ovat kertoimia ja x on muuttuja, jaa molemmat puolet arvolla "sqrt (a^2+b^2)":

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Vasemmalla puolella olevilla kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, eli niiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin 1 ja niiden moduulit eivät ole suurempia kuin 1. Merkitään ne seuraavasti: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, sitten:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tarkastellaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `3 sin x+4 cos x=2`.

Ratkaisu. Jaa tasa-arvon molemmat puolet `sqrt:llä (3^2+4^2)`, saamme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Merkitään `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Koska `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, otamme `\varphi=arcsin 4/5` apukulmaksi. Sitten kirjoitamme yhtäläisyytemme muodossa:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Soveltamalla sinin kulmien summan kaavaa kirjoitamme yhtäläisyytemme seuraavassa muodossa:

"sin (x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtolukujen kanssa, joiden osoittajat ja nimittäjät sisältävät trigonometrisiä funktioita.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Ratkaisu. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli `(1+cos x)`:lla. Tuloksena saamme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Ottaen huomioon, että nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, saamme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Yhdistäkäämme murtoluvun osoittaja nollaan: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Sitten "sin x=0" tai "1-sin x=0".

1. "sin x=0", "x=\pi n", "n \in Z".
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

Ottaen huomioon, että ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ratkaisut ovat `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , "n \in Z".

Vastaus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään melkein kaikilla geometrian, fysiikan ja tekniikan aloilla. Opiskelu alkaa 10. luokalla, yhtenäistettyyn valtionkokeeseen on aina tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - niistä on varmasti hyötyä sinulle!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes opetella niitä ulkoa, tärkeintä on ymmärtää ydin ja pystyä johtamaan se. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä näyttää. Katso itse katsomalla video.

Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen Oikealla lähestymistavalla se on aika jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Harkitsemme kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, käytämme selvyyden vuoksi jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: pelkistämme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoonsa ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisena trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvaa cos(x + /6) y:llä yksinkertaistaaksesi ja saadaksesi tavallisen toisen asteen yhtälön:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret ovat y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausvaihtoehtoa:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x – 1 = 0

Käytämme yllä käsiteltyjä identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Laitetaan tekijöihin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen ehdot ovat suhteessa saman kulman saman potenssin siniin ja kosiniin. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) poista kaikki yleiset tekijät suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) suluissa saadaan alemman asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan ​​jaetaan korkeamman asteen siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cos x:llä:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaa tan x y:llä ja saat toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0, jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 = arctan 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymisen kautta puolikulmaan

Ratkaise yhtälö 3sin x – 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Siirretään kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos:lla (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x = c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia ja x on tuntematon.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimilla on trigonometristen kaavojen mukaan ominaisuudet sin ja cos, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään niitä vastaavasti cos ja sin, missä - tämä on niin sanottu apukulma. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x = C

tai sin(x + ) = C

Tämän yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x = (-1) k * arcsin C - + k, missä



On huomattava, että merkinnät cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x – cos 3x = 1

Tämän yhtälön kertoimet ovat:

a = , b = -1, joten jaa molemmat puolet = 2:lla

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murtoyhtälöt ja neliöllisiksi pelkistävät yhtälöt. Jokaisen mainitun ongelman onnistuneen ratkaisemisen periaate on seuraava: sinun on määritettävä, minkä tyyppistä ongelmaa olet ratkaisemassa, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

On selvää, että onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Tilanne on erilainen kanssa trigonometriset yhtälöt. Ei ole ollenkaan vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä yhtälön ulkonäön perusteella. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "identtisiin funktioihin";
3. kerro yhtälön vasen puoli jne.

Harkitsemme perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2. Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva vaihto

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Vähennä yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2. Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3. Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4. Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2, ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella kaavalla asteen pienentämiseksi:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Pienennä tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tan x:n yhtälö:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 tai t = -4, mikä tarkoittaa

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikkia mahdollisia trigonometrisiä kaavoja, vähennä tämä yhtälö yhtälöksi, joka ratkaistaan ​​menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x = π/4 + πn/2, n ЄZ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taito ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä on erittäin hyvä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavaa panosta sekä opiskelijalta että opettajalta.

Monet stereometrian, fysiikan jne. ongelmat liittyvät trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun. Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää monia tietoja ja taitoja, joita hankitaan tutkimalla trigonometrian elementtejä.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan oppimisprosessissa ja henkilökohtaisessa kehityksessä yleensä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivustoa kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka tarvitaan matematiikan yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Unified State Exam -kokeen nopeat ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Selkeät selitykset monimutkaisille käsitteille. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.