Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan: "malli (lat. Modulus - mitta) on alkuperäisen objektin korvikeobjekti, joka tarjoaa tutkimuksen joistakin alkuperäisen ominaisuuksista." (s. 6) "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisella mallinnuksella tarkoitamme prosessia, jossa muodostetaan vastaavuus tietyn matemaattisen objektin, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, jonka avulla voidaan saada todellisen kohteen ominaisuudet. huomioon. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimisen tehtävistä ja tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen».

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista:

jne. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: toisaalta keskittyneet (parametrien suhteen), toisessa hajautetut mallit jne.

Luokittelu kohteen esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla objekti esitetään:

• Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakenteelliset mallit edustaa esinettä järjestelmänä, jolla on oma laite ja toimintamekanismi. Toimivia mallejaÄlä käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastaa vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallityypit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan " harmaa laatikko».

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ihanteellinen rakenne, merkityksellinen malli... Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli... Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai yksinkertaisesti matemaattinen malli, joka on saatu tietyn merkityksellisen mallin formalisoinnin tuloksena (esimalli). Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa valmiilla idealisaatioilla, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikka, biologia, taloustiede, sosiologia, psykologia ja useimmat muut alueet), mielekkäiden mallien luominen tulee paljon monimutkaisempaa.

Olennainen mallien luokittelu

Mikään tieteen hypoteesi ei ole todistettu lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina mahdollisuus kumota teoria, mutta huomaa, emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että olet esittänyt onnistuneen hypoteesin, laskenut, mihin tämä johtaa, ja todennut, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että et ole onnistunut kumoamaan sitä."

Jos ensimmäisen tyyppinen malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voidaan keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida vahvistaa riittävästi saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin sopusoinnussa olemassa olevien teorioiden ja kohteesta kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa toiseen tyyppiin, esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi tieto ja teorioita vahvistavat fenomenologiset mallit ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin hypoteettisten mallien kanssa, ja ne voidaan muuntaa toiseksi. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat päässeet tiensä tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls tunnistaa kolme mallintamisen yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (pidämme jotain hyvin suurta tai hyvin pientä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleisesti hyväksytty tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän joukossa lineaariset vastemallit... Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita. kuvitteellisten entiteettien kanssa, mikä osoittaa sen väitetty ilmiö johdonmukainen taustalla olevien periaatteiden kanssa ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero Type 7 -malleihin, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista tällaisista kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. formal-kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. Täysin suunnittelemattomalla tavalla ajan myötä siitä tuli tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Harkitse mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja jousen vapaaseen päähän kiinnitetystä massapainosta. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suunnassa (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Rakennetaan tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyydellä kuorman keskipisteestä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki() silloin käytämme Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toisen kerran johdannaista:.

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, pienistä poikkeamista jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("Jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska jotkin olennaiset yleismaailmalliset ominaisuudet (esimerkiksi hajaantuminen) jätetään pois. Tietyllä likiarvolla (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, pienellä kitkalla, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyt tekijät ovat mitätön vaikutus sen käyttäytymiseen... Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa todellisen järjestelmän paremman ja syvemmän tutkimuksen kuin monimutkaisempi (ja muodollisesti "oikeampi").

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin luokitella tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain osa ominaisuuksista").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä on tietty toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venymisasteesta, on pieni parametri. Emme ole tällä hetkellä kiinnostuneita funktion selkeästä muodosta. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu jäykän mallin tutkimukseen. malli. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattoriyhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee äärettömän pitkän ajan vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut dramaattisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienissä häiriöissä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin soveltaa tutkimusprosesseihin rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien monipuolisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä ominaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori ei kuvaa vain jousen kuormituksen käyttäytymistä, vaan myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen tason värähtelyjä muotoillussa astiassa, tai muutos virran voimakkuudessa värähtelevässä piirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä lakien isomorfismi, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla malleilla tieteellisen tiedon eri segmenteissä, on Ludwig von Bertalanffyn saavutus luoda "yleinen järjestelmäteoria".

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallinnukseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnetun kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu eri materiaaleista valmistettujen levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi, jokaiselle materiaalille asetetaan standardi mekaaninen idealisointi (tiheys, elastisuusmoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen matkan varrella laaditaan yhtälöt. Jotkut yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, mallia jalostetaan ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on suorittaa mallin tutkimus hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Minkä staattisen kuormituksen silta kestää? Kuinka se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssissa tai junan kulkiessa eri nopeuksilla), kuinka lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Isossa-Britanniassa romahti Tayn yli oleva metallisilta, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvallisuuskertoimeksi, mutta unohtivat jatkuvasti puhaltavat tuulet näissä paikoissa. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esim. yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, sinun on valittava tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne on tiedossa ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisista lisätiedoista tai kohteen vaatimuksista ( suunnittelun haaste). Lisätietoa voi tulla käänteisen ongelman ratkaisuprosessista riippumatta ( passiivinen valvonta) tai olla erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien palauttamiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot. Tämän tieteen tehtävänä on kehittää havainto- ja kokeellisen datan rekisteröinti-, kuvaus- ja analysointimenetelmiä tavoitteena rakentaa massasatunnaisten ilmiöiden todennäköisyysmalleja. Nuo. mahdollisten mallien joukko on rajoitettu todennäköisyysmalleihin. Tietyissä tehtävissä mallien joukko on rajallisempi.

Tietokonesimulaatiojärjestelmät

Matemaattisen mallintamisen tukemiseksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, esimerkiksi Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jne. Niiden avulla voit luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista ja laitteista ja muuttaa malliparametreja helposti niiden aikana. mallinnus. Block mallit on esitetty lohkoilla (useimmiten graafisilla), joiden joukko ja yhteys asetetaan mallikaaviolla.

Muita esimerkkejä

Malthus malli

Kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Sitä kuvataan differentiaaliyhtälöllä

missä on jokin hedelmällisyyden ja kuolleisuuden välisen eron määräämä parametri. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio. Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden (), väestön koko kasvaa loputtomasti ja hyvin nopeasti. On selvää, että todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajallisten resurssien vuoksi. Kun tietty kriittinen väestömäärä saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Logistinen malli, jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö, voi toimia Malthus-mallin jalostuksena.

missä on ”tasapaino” väestön koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon, ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

Peto-saalisjärjestelmä

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kahdenlaisia ​​eläimiä: kaneja (jotka ruokkivat kasveja) ja kettuja (jotka ruokkivat kaneja). Olkoon kanien lukumäärä, kettujen määrä. Käyttämällä Malthus-mallia tarvittavin muutoksin, ottaen huomioon kettujen syömä kaneja, päästään seuraavaan järjestelmään, joka on nimetty mallit Lotki - Volterra:

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Poikkeaminen tästä tilasta johtaa vaihteluihin kaniinien ja kettujen lukumäärässä, analogisesti harmonisen oskillaattorin vaihteluiden kanssa. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien vaatimat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja lukujen vaihtelut häviävät. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia (muokkaa)

1. "Matemaattinen esitys todellisuudesta" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Kyberneettisen mallintamisen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
3. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. - 2. painos, Rev. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Teknisten prosessien mallintaminen: oppikirja / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. - M .: Kevyt- ja elintarviketeollisuus, 1984 .-- 344 s.
7. Wikisanakirja: matemaattinen malli
8. CliffsNotes.com. Maantieteen sanasto. 20. syyskuuta 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. ”Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena sen mukaan, onko se lineaarinen vai epälineaarinen matemaattinen laitteisto ja millaisia ​​lineaarisia tai epälineaarisia matemaattisia malleja se käyttää. … Jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän olisi luonut uudelleen määritelmän niin tärkeästä olemuksesta kuin epälineaarisuus, olisi todennäköisesti toiminut eri tavalla ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja laajempana kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "ei epälineaariseksi". ." Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen johdanto. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Painos 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. ”Dynaamisia järjestelmiä, jotka on mallinnettu rajallisella määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan pistejärjestelmiksi. Ne kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on tunnusomaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia yhtälöitä, joissa on viivästynyt argumentti. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä tietoa." Anischenko V.S., Dynaamiset järjestelmät, Soros-koulutuslehti, 1997, nro 11, s. 77-84.
12. ”S-järjestelmässä tutkittavien prosessien luonteesta riippuen kaikki mallinnuksen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, eli prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. ... Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa kohteen käyttäytymistä ajassa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev ISBN 5-06-003860-2
13. Yleensä matemaattinen malli heijastaa simuloidun kohteen rakennetta (laitetta), tämän objektin komponenttien tutkimuksen kannalta oleellisia ominaisuuksia ja keskinäisiä suhteita; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten esine toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. ”Ilmeä, mutta tärkein alkuvaihe matemaattisen mallin rakentamisessa tai valinnassa on mahdollisimman selkeä käsitys mallinnetusta kohteesta ja sen merkityksellisen mallin selkiyttäminen epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei pidä tuhlata aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty merkittävä työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asiaan ei kiinnitetty riittävästi huomiota." Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
15. « Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Tässä järjestelmämallin rakentamisen alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan standardinmukaisia ​​matemaattisia kaavioita käyttäen; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) menetelmän valinta todellisten prosessien approksimointiin mallin rakentamisessa on perusteltu." B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Soveltava matematiikka: Aihe, logiikka, lähestymistapojen erityispiirteet. Esimerkkejä mekaniikasta: Opetusohjelma. - 3. painos, Rev. ja lisää. - M .: URSS, 2006 .-- 376 s. ISBN 5-484-00163-3, luku 2.

Esineen kehityksen dynamiikkaa, sen elementtien ja eri tilojen suhteiden sisäistä olemusta on mahdollista jäljittää suunnitteluprosessissa vain dynaamisen analogian periaatetta käyttävien mallien avulla eli matemaattiset mallit.

Matemaattinen malli on matemaattisten suhteiden järjestelmä, joka kuvaa tutkittavaa prosessia tai ilmiötä. Matemaattisen mallin laatimiseen voit käyttää mitä tahansa matemaattista keinoa - joukkoteoriaa, matemaattista logiikkaa, differentiaali- tai integraaliyhtälöiden kieltä. Matemaattisen mallin kokoamisprosessia kutsutaan ns matemaattinen mallinnus... Muiden mallien tapaan matemaattinen malli esittää ongelman yksinkertaistetussa muodossa ja kuvaa vain ne ominaisuudet ja kuviot, jotka ovat tärkeimmät tietylle objektille tai prosessille. Matemaattinen malli mahdollistaa monitahoisen kvantitatiivisen analyysin. Alkutietoja, kriteerejä, rajoituksia muuttamalla joka kerta voit saada optimaalisen ratkaisun annetuille olosuhteille ja määrittää haun jatkosuunnan.

Matemaattisten mallien luominen edellyttää niiden kehittäjiltä muodollisten loogisten menetelmien tuntemisen lisäksi tutkittavan kohteen perusteellista analyysiä perusideoiden ja sääntöjen tiukasti muotoilemiseksi sekä riittävän määrän luotettavia tunnistamiseksi. tosiasialliset, tilastolliset ja normatiiviset tiedot.

On huomattava, että kaikki tällä hetkellä käytetyt matemaattiset mallit viittaavat ohjeellinen... Preskriptiivisten mallien kehittämisen tavoitteena on osoittaa ratkaisun etsimisen suunta ja kehittämisen tavoite kuvaava mallit - heijastus ihmisen ajattelun todellisista prosesseista.

Varsin yleinen on näkemys, että matematiikan avulla on mahdollista saada vain vähän numeerista tietoa tutkittavasta kohteesta tai prosessista. ”Tietenkin monet matemaattiset aineet tähtäävät lopullisen numeerisen tuloksen saamiseen. Mutta matemaattisten menetelmien pelkistäminen vain numeron saamisen ongelmaksi tarkoittaa matematiikan loputonta köyhdyttämistä, sen tehokkaan aseen mahdollisuutta köyhdyttää, joka tutkijoilla on nykyään käsissään ...

Yhdellä tai toisella tietyllä kielellä kirjoitettu matemaattinen malli (esimerkiksi differentiaaliyhtälöt) heijastaa todellisten fyysisten prosessien tiettyjä ominaisuuksia. Matemaattisten mallien analyysin tuloksena saamme ennen kaikkea laadullisia ideoita tutkittujen prosessien ominaisuuksista, muodostamme malleja, jotka määrittävät peräkkäisten tilojen dynaamisen sarjan, saamme mahdollisuuden ennustaa prosessin kulkua. ja määrittää sen määrälliset ominaisuudet."

Matemaattisia malleja käytetään monissa tunnetuissa mallinnustekniikoissa. Niitä ovat kohteen staattista ja dynaamista tilaa kuvaavien mallien kehittäminen, optimointimallit.

Esimerkkinä kohteen staattista ja dynaamista tilaa kuvaavista matemaattisista malleista voivat olla erilaiset perinteisten rakenteiden laskennan menetelmät. Laskentaprosessi, joka esitetään matemaattisten operaatioiden sarjan (algoritmin) muodossa, antaa mahdollisuuden sanoa, että tietyn rakenteen laskemiseksi on laadittu matemaattinen malli.

V optimointi malleissa on kolme elementtiä:

Objektiivinen toiminta, joka heijastaa hyväksyttyä laatukriteeriä;

Säädettävät parametrit;

Asetetut rajoitukset.

Kaikki nämä elementit on kuvattava matemaattisesti yhtälöiden, loogisten ehtojen jne. muodossa. Ratkaisu optimointiongelmaan on prosessi, jossa löydetään tavoitefunktion minimi (maksimi) arvo määritettyjen rajoitusten mukaisesti. Ratkaisutulos katsotaan optimaaliseksi, jos tavoitefunktio saavuttaa ääriarvonsa.

Esimerkki optimointimallista on matemaattinen kuvaus "sidoksen pituus" -kriteeristä teollisuusrakennusten vaihtoehtosuunnittelun metodologiassa.

Tavoitefunktio heijastaa kaikkien toiminnallisten yhteyksien painotettua kokonaispituutta, jonka tulisi pyrkiä minimiin:

missä on elementin liitännän painoarvo;

- elementtien välisen yhteyden pituus;

- sijoitettavien elementtien kokonaismäärä.

Koska tilojen sijoitettujen elementtien pinta-alat kaikissa suunnitteluratkaisun muunnelmissa ovat yhtä suuret, vaihtoehdot eroavat toisistaan ​​vain elementtien välisillä eri etäisyyksillä ja niiden sijainnilla toisiinsa nähden. Siksi tässä tapauksessa pohjapiirroksiin sijoitettujen elementtien koordinaatit ovat säädettäviä parametreja.

Asetetut rajoitukset elementtien sijoittelulle (ennalta määrättyyn suunnitelman paikkaan, ulkokehälle, päällekkäin jne.) ja linkkien pituudelle (linkkien pituuden arvot ja elementit asetetaan jäykästi, minimi- tai maksimiarvorajat asetetaan, muutosrajat ovat asetettuja arvoja) kirjoitetaan muodollisesti.

Varianttia pidetään optimaalisena (tämän kriteerin mukaan), jos tälle muunnelmalle lasketun tavoitefunktion arvo on minimaalinen.

Eräänlaisia ​​matemaattisia malleja - taloudellinen ja matemaattinen malli- on malli järjestelmän taloudellisten ominaisuuksien ja parametrien välisestä suhteesta.

Esimerkkinä taloudellisista ja matemaattisista malleista on kustannuskriteerien matemaattinen kuvaus edellä mainitussa teollisuusrakennusten vaihtoehtosuunnittelumenetelmässä. Matemaattisten tilastojen menetelmien avulla saaduissa matemaattisissa malleissa heijastuu yksi- ja monikerroksisten teollisuusrakennusten rungon, perustusten, maanrakennustöiden sekä niiden korkeuden, jännevälin ja tukirakenteiden nousun riippuvuus. .

Satunnaistekijöiden päätöksentekoon vaikuttavan laskentatavan mukaan matemaattiset mallit jaetaan deterministisiin ja probabilistisiin. Deterministinen malli ei ota huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutusta järjestelmän toiminnan aikana ja perustuu toiminnan lakien analyyttiseen esitykseen. Todennäköisyys (stokastinen) malli ottaa huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutuksen järjestelmän toiminnan aikana ja perustuu tilastollisiin, ts. massailmiöiden kvantitatiivinen arviointi, jolloin voidaan ottaa huomioon niiden epälineaarisuus, dynamiikka ja eri jakautumislakien kuvaamat satunnaiset häiriöt.

Yllä olevien esimerkkien avulla voidaan sanoa, että kriteeriä "linkkien pituus" kuvaava matemaattinen malli viittaa deterministisiin ja kriteeriryhmää "kustannukset" kuvaava matemaattinen malli - todennäköisyysmalliin.

Kielelliset, semanttiset ja informaatiomallit

Matemaattisilla malleilla on ilmeisiä ansioita, koska ongelman näkökohtien kvantifiointi antaa selkeän käsityksen tavoitteiden prioriteeteista. On tärkeää, että asiantuntija voi aina perustella päätöksenteon esittämällä vastaavat numeeriset tiedot. Hankkeen toimintojen täydellinen matemaattinen kuvaus on kuitenkin mahdotonta, joten suurin osa arkkitehti- ja rakennussuunnittelun alkuvaiheessa ratkaistavista tehtävistä viittaa puolirakenteinen.

Yksi puolistrukturoitujen tehtävien ominaisuuksista on niissä käytettyjen kriteerien sanallinen kuvaus. Luonnollisella kielellä kuvattujen kriteerien käyttöönotto (sellaisia ​​kriteerejä kutsutaan kielellinen), voit käyttää vähemmän monimutkaisia ​​menetelmiä löytääksesi optimaaliset suunnitteluratkaisut. Näiden kriteerien perusteella suunnittelija tekee päätöksen tuttujen, kiistattomien tarkoituksenilmaisujen perusteella.

Ongelman kaikkien näkökohtien mielekäs kuvaus tuo toisaalta systematisoinnin sen ratkaisuprosessiin ja toisaalta helpottaa suuresti asiantuntijoiden työtä, jotka voivat rationaalisemmin ratkaista asiansa tutkimatta asianmukaisia ​​matematiikan osia. ammatillisia ongelmia. Kuvassa 5.2 annetaan kielellinen malli kuvataan mahdollisuuksia luoda olosuhteet luonnolliselle ilmanvaihdolle erilaisissa leipomon suunnitteluratkaisuissa.

Muita merkityksellisen ongelmankuvauksen etuja ovat seuraavat:

Kyky kuvata kaikki kriteerit, jotka määrittävät suunnitteluratkaisun tehokkuuden. Samalla on tärkeää, että asiantuntijan kuvaukseen ja näkökenttään voidaan tuoda monimutkaisia ​​käsitteitä, kvantitatiivisten, mitattavissa olevien tekijöiden ohella huomioidaan myös laadullisia, jotka eivät ole mitattavissa. Siten päätöstä tehtäessä käytetään kaikkea subjektiivista ja objektiivista tietoa;

Riisi. 5.2 Kriteerin "tuuletus" sisällön kuvaus kielellisen mallin muodossa

Mahdollisuus arvioida yksiselitteisesti tavoitteiden saavuttamisen astetta tietyn kriteerin vaihtoehdoissa asiantuntijoiden hyväksymän sanamuodon perusteella, mikä varmistaa vastaanotettujen tietojen luotettavuuden;

Kyky ottaa huomioon epävarmuutta, joka liittyy epätäydelliseen tietoon kaikista tehtyjen päätösten seurauksista, sekä ennakoivaa tietoa.

Semanttiset mallit kuuluvat myös malleihin, jotka käyttävät luonnollista kieltä kuvaamaan tutkimuskohdetta.

Semanttinen malli- esineestä on sellainen esitys, joka heijastaa objektin eri osien, aspektien ja ominaisuuksien välisen yhteyden (läheisyyden) astetta. Yhteenliittymistä ei ymmärretä suhteelliseksi tilajärjestelyksi, vaan merkitysyhteydeksi.

Joten semanttisessa mielessä luonnollisen valaistuksen kertoimen ja läpinäkyvien koteloiden valoalueen välinen suhde esitetään lähempänä kuin ikkuna-aukkojen ja vierekkäisten seinän sokeiden osien välinen suhde.

Yhteysrelaatioiden joukko osoittaa, mitä kukin elementti ja objekti kokonaisuutena allokoidaan objektissa. Samanaikaisesti semanttinen malli heijastaa objektin eri näkökohtien kytkeytymisasteen lisäksi myös käsitteiden sisältöä. Luonnollisella kielellä ilmaistut käsitteet toimivat perusmalleina.

Semanttisten mallien rakentaminen perustuu periaatteisiin, joiden mukaan käsitteet ja suhteet eivät muutu koko mallin käyttöajan; yhden käsitteen sisältö ei siirry toiseen; näiden kahden käsitteen välisillä yhteyksillä on yhtäläinen ja suuntaamaton vuorovaikutus niiden suhteen.

Jokainen mallin analyysi pyrkii valitsemaan mallin elementtejä, joilla on tietty yleinen laatu. Tämä antaa perustan algoritmin rakentamiselle, joka ottaa huomioon vain suorat yhteydet. Muunnettaessa mallia suuntaamattomaksi graafiksi etsitään kahden elementin välistä polkua, joka jäljittää liikettä elementistä toiseen käyttämällä kutakin elementtiä vain kerran. Elementtien järjestystä kutsutaan kahden elementin sekvenssiksi. Sarjat voivat olla eripituisia. Lyhyimpiä näistä kutsutaan elementtisuhteiksi. Kahden elementin sarja on myös olemassa, jos niiden välillä on suora yhteys, mutta tässä tapauksessa yhteyttä ei ole.

Esimerkkinä semanttisesta mallista annamme asunnon pohjaratkaisun kuvauksen sekä viestintälinkit. Konsepti on asunnon tilat. Suora yhteys tarkoittaa kahden huoneen toiminnallista yhdistämistä esimerkiksi oven avulla (katso taulukko 5.1).

Mallin muuntaminen suuntaamattomaksi kuvaajaksi mahdollistaa elementtijonon saamisen (kuva 5.3).

Esimerkkejä elementin 2 (kylpyhuone) ja elementin 6 (ruokakomero) välisestä järjestyksestä on esitetty taulukossa. 5.2. Kuten taulukosta näet, sekvenssi 3 edustaa näiden kahden elementin suhdetta.

Taulukko 5.1

Kuvaus asunnon pohjaratkaisusta

Riisi. 5.3 Suunnitteluratkaisun kuvaus suuntaamattoman graafin muodossa

Matemaattinen malli on matemaattisten suhteiden järjestelmä - kaavoja, yhtälöitä, epäyhtälöitä jne., jotka heijastavat esineen tai ilmiön olennaisia ​​ominaisuuksia.

Jokainen luonnonilmiö on monimutkaisuudessaan ääretön... Havainnollistakaamme tätä V.N.:n kirjasta otetun esimerkin avulla. Trostnikov "Ihminen ja tieto" (Kustantamo "Science", 1970).

Maallikko muotoilee matemaattisen ongelman seuraavasti: "Kuinka kauan kivi putoaa 200 metrin korkeudesta?" Matemaatikko alkaa luoda versiota ongelmasta näin: "Oletetaan, että kivi putoaa tyhjyyteen ja painovoiman kiihtyvyys on 9,8 metriä sekunnissa sekunnissa. Sitten..."

- Anna minun- osaa sanoa "asiakas", - En ole tyytyväinen tähän yksinkertaistamiseen. Haluan tietää tarkalleen kuinka kauan kivi putoaa todellisissa olosuhteissa, ei olemattomassa tyhjiössä.

- Hyvä,- matemaatikko on samaa mieltä. - Oletetaan, että kivellä on pallomainen muoto ja halkaisija... Mikä on suunnilleen sen halkaisija?

- Noin viisi senttiä. Mutta se ei ole ollenkaan pallomainen, vaan pitkänomainen.

- Sitten oletamme, että hänon ellipsoidin muotoinen akselin akseleilla neljä, kolme ja kolme senttimetriä ja että hänputoaa niin, että puolipääakseli pysyy pystysuorassa koko ajan ... Ilmanpaineen oletetaan olevan760 mm Hg , täältä löydämme ilman tiheyden...

Jos ongelman esittäjä "ihmiskielellä" ei puutu enempää matemaatikon ajatuksenkulkuun, niin jälkimmäinen antaa numeerisen vastauksen hetken kuluttua. Mutta "kuluttaja" voi vastustaa kuten ennenkin: kivi ei itse asiassa ole ollenkaan ellipsoidinen, ilmanpaine siinä paikassa ja sillä hetkellä ei vastannut 760 mm elohopeaa jne. Mitä matemaatikko vastaa hänelle?

Hän vastaa siihen tarkka ratkaisu todelliseen ongelmaan on yleensä mahdotonta... Eikä vain se kiven muoto joka vaikuttaa ilmanvastukseen, ei voida kuvata millään matemaattisella yhtälöllä; sen pyöriminen lennossa on myös matematiikan ulkopuolella sen monimutkaisuuden vuoksi. Edelleen, ilma ei ole homogeeninen, koska satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta siihen syntyy tiheysvaihteluiden vaihteluita. Jos menet vielä syvemmälle, sinun on otettava se huomioon universaalin painovoiman lain mukaan jokainen keho vaikuttaa kaikkiin muihin kehoihin... Tästä seuraa, että jopa seinäkellon heiluri muuttaa liikkeellään kiven liikerataa.

Lyhyesti sanottuna, jos haluamme vakavasti tutkia kohteen käyttäytymistä tarkasti, meidän on ensin selvitettävä kaikkien muiden universumin esineiden sijainti ja nopeus. Ja tämä tietysti. mahdotonta.

Tehokkain matemaattinen malli voidaan toteuttaa tietokoneella algoritmisen mallin - ns. "laskentakokeilun" - muodossa (ks. [1], kappale 26).

Tietenkin laskennallisen kokeen tulokset voivat osoittautua vääriksi, jos malli ei ota huomioon joitain tärkeitä todellisuuden näkökohtia.

Joten luodessasi matemaattisen mallin ongelman ratkaisemiseksi tarvitset:

1. korostaa oletuksia, joihin matemaattinen malli perustuu;
2. määrittää, mitä pidetään syöttötietoina ja -tuloksina;
3. kirjoita ylös matemaattiset suhteet, jotka yhdistävät tulokset alkuperäisiin tietoihin.

Matemaattisia malleja rakennettaessa ei läheskään aina ole mahdollista löytää kaavoja, jotka ilmaisevat tarvittavat suureet yksiselitteisesti datan muodossa. Tällaisissa tapauksissa matemaattisia menetelmiä käytetään antamaan vastauksia tietyllä tai toisella tarkkuudella. Ei ole olemassa vain minkä tahansa ilmiön matemaattista mallintamista, vaan myös visuaalista täyden mittakaavan mallintamista, joka saadaan näyttämällä nämä ilmiöt tietokonegrafiikalla, ts. eräänlainen "tietokonesarjakuva", joka on kuvattu reaaliajassa, näytetään tutkijan edessä. Näkyvyys on täällä erittäin korkea.

Muut merkinnät

10.06.2016 8.3 Mitkä ovat ohjelmistokehitysprosessin päävaiheet? 8.4 Kuinka tarkistaa ohjelman teksti ennen tietokoneelle menoa?

8.3 Mitkä ovat ohjelmistokehitysprosessin päävaiheet? Ohjelman kehitysprosessi voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla: On aivan normaalia, että äskettäin kehitetyssä ohjelmassa on virheitä ...

10.06.2016 8.5 Mitä varten vianetsintä ja testaus ovat? 8.6. Mitä on virheenkorjaus? 8.7 Mitä tietokilpailu ja testaus ovat? 8.8 Mitä testitietojen pitäisi olla? 8.9. Mitkä ovat testausprosessin vaiheet?

8.5 Mitä varten vianetsintä ja testaus ovat? Ohjelman virheenkorjaus on prosessi, jossa etsitään ja poistetaan ohjelman virheitä tietokoneella suoritetun ohjelman tulosten perusteella. Testaus…

10.06.2016 8.10. Mitkä ovat yleisimmät ohjelmointivirheet? 8.11. Onko syntaksivirheiden puuttuminen merkki siitä, että ohjelma on oikea? 8.12 Mitä virheitä kääntäjä ei havaitse? 8.13. Mitä ohjelman ylläpito on?

8.10. Mitkä ovat yleisimmät ohjelmointivirheet? Virheitä voidaan tehdä kaikissa ongelman ratkaisun vaiheissa - sen muotoilusta rekisteröintiin. Virhetyypit ja vastaavat esimerkit annetaan ...

Ensimmäinen taso

Matemaattiset mallit OGE:lle ja USE:lle (2019)

Matemaattisen mallin käsite

Kuvittele lentokone: siivet, runko, peräyksikkö, kaikki tämä yhdessä - todellinen valtava, valtava, kokonainen lentokone. Tai voit tehdä mallin lentokoneesta, pienestä, mutta itse asiassa kaikki on samat siivet jne., mutta kompakti. Samoin on matemaattinen malli. Siinä on sanaongelma, hankala, sitä voi katsoa, ​​lukea, mutta ei aivan ymmärrä, ja vielä enemmän on epäselvää, miten se ratkaistaan. Mutta entä jos teemme pienen mallin suuresta sanallisesta ongelmasta, matemaattisen mallin? Mitä matematiikka tarkoittaa? Tämä tarkoittaa matemaattisen merkinnän sääntöjä ja lakeja käyttäen tekstin muuttamista loogisesti oikeaksi esitykseksi käyttämällä numeroita ja aritmeettisia merkkejä. Niin, matemaattinen malli on esitys todellisesta tilanteesta matemaattisen kielen avulla.

Aloitetaan yksinkertaisella: Luku on suurempi kuin luku. Meidän on kirjoitettava tämä muistiin, ei sanoja, vaan vain matematiikan kieltä. Jos enemmän, niin käy ilmi, että jos vähennämme, niin näiden lukujen sama ero pysyy samana. Nuo. tai. Ymmärsitkö olemuksen?

Nyt se on monimutkaisempaa, nyt tulee teksti, jota sinun pitäisi yrittää esittää matemaattisen mallin muodossa, kunnes luet kuinka teen sen, kokeile itse! Numeroita on neljä:, ja. Kappale on suurempi kuin kappale ja kaksinkertaistunut.

Mitä tapahtui?

Matemaattisen mallin muodossa se näyttää tältä:

Nuo. tuote liittyy kaksi yhteen, mutta tätä voidaan silti yksinkertaistaa:

No, okei, yksinkertaisilla esimerkeillä ymmärrät pointin. Siirrytään täysimittaisiin ongelmiin, joissa nämä matemaattiset mallit on vielä ratkaistava! Tässä on haaste.

Matemaattinen malli käytännössä

Ongelma 1

Sateen jälkeen kaivon vedenpinta voi nousta. Poika mittaa pienten kivien putoamisajan kaivoon ja laskee etäisyyden veteen kaavalla, jossa on etäisyys metreinä ja putoamisaika sekunneissa. Ennen sadetta kivien putoamisaika oli s. Kuinka paljon vedenpinnan pitäisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:llä? Ilmaise vastauksesi metreinä.

Voi luoja! Mitä kaavoja, millainen kaivo, mitä tapahtuu, mitä tehdä? Luinko ajatuksesi? Rentoudu, tämän tyyppisissä ongelmissa olosuhteet ovat vielä huonommat, tärkeintä on muistaa, että tässä tehtävässä olet kiinnostunut kaavoista ja muuttujien välisistä suhteista, ja mitä tämä kaikki tarkoittaa useimmissa tapauksissa, ei ole kovin tärkeää. Mitä hyödyllistä näet tässä? Itse näen. Periaate näiden ongelmien ratkaisemiseksi on seuraava: ota kaikki tunnetut suuret ja korvaa ne.MUTTA, joskus pitää ajatella!

Noudattamalla ensimmäistä neuvoani ja korvaamalla yhtälöön kaikki tunnetut, saamme:

Minä vaihdoin sekunnin ajan ja löysin korkeuden, jolla kivi lensi ennen sadetta. Ja nyt meidän on laskettava sateen jälkeen ja löydettävä ero!

Kuuntele nyt toinen neuvo ja mieti sitä, kysymys tarkentaa "kuinka paljon vedenpinnan pitäisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:llä." Välittömästi on arvioitava, oi, sateen jälkeen vedenpinta nousee, mikä tarkoittaa, että kiven putoamisaika vedenpinnalle on lyhyempi ja tässä koristeellinen lause "niin että mitattu aika muuttuu" saa tietyn merkityksen : pudotusaika ei lisäänny, vaan pienenee määritetyillä sekunneilla. Tämä tarkoittaa, että kun kyseessä on heitto sateen jälkeen, meidän on vain vähennettävä c alkuperäisestä ajasta c, ja saadaan yhtälö korkeudelle, jolla kivi lentää sateen jälkeen:

Ja lopuksi saadaksesi selville, kuinka paljon vedenpinnan tulisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuu s.:lla, sinun tarvitsee vain vähentää toinen ensimmäisestä putoamiskorkeudesta!

Saamme vastauksen: mittarilla.

Kuten näette, siinä ei ole mitään monimutkaista, tärkeintä on, älä välitä liikaa, mistä tällainen käsittämätön ja joskus monimutkainen yhtälö on peräisin olosuhteissa ja mitä kaikki siinä oleva tarkoittaa, ota sanani siitä, suurin osa näistä yhtälöistä ovat otettu fysiikasta, ja siellä on viidakko, joka on pahempi kuin algebrassa. Joskus minusta näyttää siltä, ​​​​että nämä ongelmat keksittiin kokeen opiskelijan pelottamiseksi monimutkaisilla kaavoilla ja termeillä, ja useimmissa tapauksissa ne eivät vaadi melkein mitään tietoa. Lue vain ehto huolellisesti ja liitä tunnetut arvot kaavaan!

Tässä on toinen ongelma, ei enää fysiikassa, vaan talousteorian maailmasta, vaikka täällä ei vaaditakaan tietoa muista tieteistä kuin matematiikasta.

Tehtävä 2

Monopoliyrityksen tuotteiden kysynnän määrän (yksikköä kuukaudessa) riippuvuus hinnasta (tuhatta ruplaa) saadaan kaavalla

Yrityksen kuukausitulot (tuhansissa ruplissa) lasketaan kaavalla. Määritä korkein hinta, jolla kuukausitulot ovat vähintään tuhat ruplaa. Anna vastauksesi tuhansissa ruplissa.

Arvatkaa mitä teen nyt? Joo, alan korvata sitä, mitä tiedämme, mutta jälleen kerran, minun on mietittävä vähän. Mennään lopusta, meidän on löydettävä missä. Joten, on olemassa yhtä kuin joku, löydämme sen, mikä muu on yhtä kuin, ja yhtä se on, ja kirjoitamme sen ylös. Kuten näette, en välitä liikaa kaikkien näiden arvojen merkityksestä, katson vain ehdoista, että mikä on samanarvoista, niin sinun on tehtävä se. Palataan ongelmaan, sinulla on se jo, mutta kuten muistat yhdestä kahdesta muuttujasta, kumpaakaan ei löydy, mitä tehdä? Joo, meillä on vielä käyttämätön osa kunnossa. Nyt on jo kaksi yhtälöä ja kaksi muuttujaa, mikä tarkoittaa, että nyt molemmat muuttujat löytyvät - hienoa!

- voitko ratkaista tällaisen järjestelmän?

Ratkaisemme korvaamalla, olemme jo ilmaisseet sen, mikä tarkoittaa, että korvaamme sen ensimmäisessä yhtälössä ja yksinkertaistamme.

Osoittautuu, että tässä on sellainen toisen asteen yhtälö:, me ratkaisemme, juuret ovat tällaisia,. Tehtävässä on löydettävä korkein hinta, jolla kaikki ne ehdot, jotka järjestelmää laadittaessa huomioimme, täyttyvät. Ai, kävi ilmi, että se oli hinta. Hienoa, joten löysimme hinnat: ja. Korkein hinta, sanotko? Okei, suurin niistä on tietysti vastaus, ja me kirjoitamme. No onko vaikeaa? Mielestäni ei, eikä siihen tarvitse liikaa syventyä!

Ja tässä on pelottava fysiikka, tai pikemminkin toinen haaste:

Ongelma 3

Tähtien tehollisen lämpötilan määrittämiseen käytetään Stefan – Boltzmannin lakia, jonka mukaan missä on tähden säteilyteho, on vakio, on tähden pinta-ala ja on lämpötila. Tiedetään, että jonkin tähden pinta-ala on yhtä suuri ja sen säteilyteho on yhtä suuri kuin W. Etsi tämän tähden lämpötila Kelvin-asteina.

Mistä se tuli? Kyllä, ehto sanoo, mikä on tasa-arvoista. Aikaisemmin suosittelin kaikkien tuntemattomien korvaamista kerralla, mutta tässä on parempi ilmaista ensin etsitty tuntematon. Katsokaa kuinka yksinkertaista kaikki on: siellä on kaava ja se tunnetaan siinä, ja (tämä on kreikkalainen kirjain "sigma". Yleensä fyysikot rakastavat kreikkalaisia ​​kirjaimia, tottukaa siihen). Ja lämpötila on tuntematon. Ilmaistaan ​​se kaavana. Toivottavasti tiedät kuinka tämä tehdään? Tällaiset tehtävät GIA:lle luokassa 9 antavat yleensä:

Nyt on vain korvattava numerot kirjainten sijaan oikealla puolella ja yksinkertaistettava:

Tässä on vastaus: Kelvin-asteita! Ja kuinka kauhea tehtävä se olikaan, eh!

Jatkamme fysiikan ongelmien piinaamista.

Ongelma 4

Ylös heitetyn pallon korkeus maanpinnasta muuttuu lain mukaan, missä korkeus metreinä on heitosta kulunut aika sekunteina. Kuinka monta sekuntia pallo pysyy vähintään kolmen metrin korkeudessa?

Nämä olivat kaikki yhtälöt, mutta tässä on tarpeen määrittää, kuinka paljon pallo oli vähintään kolmen metrin korkeudella, eli korkeudella. Mitä aiomme säveltää? Epätasa-arvo, aivan! Meillä on toiminto, joka kuvaa kuinka pallo lentää, missä on sama korkeus metreinä, tarvitsemme korkeuden. Keinot

Ja nyt vain ratkaiset epätasa-arvon, pääasia on, että älä unohda muuttaa eriarvoisuuden merkkiä suuremmasta tai yhtä suuresta pienemmäksi tai yhtä suureksi, kun kerrot epätasa-arvon molemmilla puolilla päästäksesi eroon miinuksesta etukäteen .

Nämä ovat juuret, rakennamme intervalleja epätasa-arvolle:

Meitä kiinnostaa väli, jossa miinusmerkki on, koska epäyhtälö ottaa sieltä negatiiviset arvot, tämä on alkaen molempiin. Ja nyt kytketään aivot päälle ja mietitään tarkkaan: epätasa-arvoon käytimme pallon lentoa kuvaavaa yhtälöä, se jotenkin lentää paraabelissa, ts. se nousee, saavuttaa huipun ja putoaa, kuinka ymmärtää kuinka kauan se kestää vähintään metrin korkeudessa? Löysimme 2 kääntöpistettä, ts. hetki, jolloin hän kohoaa metrien yläpuolelle, ja hetki, jolloin hän putoaessaan saavuttaa saman merkin, ilmaistaan ​​nämä kaksi pistettä ajan muodossa, ts. tiedämme millä sekunnilla lennosta hän saapui meitä kiinnostavalle vyöhykkeelle (metrien yläpuolelle) ja kummalle lähti (pudotti metrimerkin alle). Kuinka monta sekuntia hän oli tällä alueella? On loogista, että otamme vyöhykkeeltä poistumisen ajan ja vähennämme siitä vyöhykkeelle pääsyn ajan. Näin ollen: - niin paljon hän oli metrien yläpuolella, tämä on vastaus.

Olet niin onnekas, että suurin osa tämän aiheen esimerkeistä voidaan ottaa fysiikan tehtävien kategoriasta, joten nappaa vielä yksi, se on viimeinen, joten työnnä itseäsi, niitä on hyvin vähän jäljellä!

Ongelma 5

Tietyn laitteen lämmityselementille saatiin kokeellisesti lämpötilariippuvuus käyttöajasta:

Missä on aika minuutteina,. Tiedetään, että lämmityselementin lämpötilassa laitteen yläpuolella voi heiketä, joten se on sammutettava. Etsi pisin aika työn aloittamisen jälkeen, jolloin laite on sammutettava. Ilmaise vastauksesi minuuteissa.

Toimimme virheenkorjausjärjestelmän mukaan, kaikki, mitä annetaan, kirjoitamme ensin:

Nyt otamme kaavan ja vertaamme sen lämpötila-arvoon, johon laite voidaan lämmittää mahdollisimman paljon, kunnes se palaa, eli:

Nyt korvaamme numerot kirjainten sijaan siellä, missä ne tunnetaan:

Kuten näette, lämpötilaa laitteen toiminnan aikana kuvataan toisen asteen yhtälöllä, mikä tarkoittaa, että se jakautuu paraabelia pitkin, ts. laite lämpenee tiettyyn lämpötilaan ja jäähtyy sitten. Saimme vastauksia ja siksi minuuttilämmityksellä ja -lämmityksellä lämpötila on yhtä suuri kuin kriittinen, mutta minuuttien välillä - se on jopa korkeampi kuin rajoittava!

Tämä tarkoittaa, että sinun on sammutettava laite muutamassa minuutissa.

MATEMAATISET MALLIT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Useimmiten matemaattisia malleja käytetään fysiikassa: loppujen lopuksi jouduit todennäköisesti muistamaan kymmeniä fyysisiä kaavoja. Ja kaava on matemaattinen esitys tilanteesta.

OGE:ssä ja Unified State Examissa on tehtäviä vain tästä aiheesta. Kokeessa (profiilissa) tämä on tehtävä numero 11 (aiemmin B12). OGE:ssä - tehtävä numero 20.

Ratkaisukaavio on ilmeinen:

1) On tarpeen "eristää" hyödyllinen tieto ehdon tekstistä - mitä kirjoitamme sanan "annettu" alle fysiikan tehtävissä. Tämä hyödyllinen tieto on:

• Kaava
• Tunnetut fyysiset suuret.

Eli jokainen kaavan kirjain on liitettävä tiettyyn numeroon.

2) Otat kaikki tunnetut suuret ja korvaat ne kaavassa. Tuntematon arvo säilyy kirjaimen muodossa. Nyt sinun tarvitsee vain ratkaista yhtälö (yleensä melko yksinkertainen), ja vastaus on valmis.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet siinä 5 %:ssa!

Nyt tulee se tärkein.

Keksit teorian tästä aiheesta. Ja taas, tämä on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Läpäisemään kokeen, pääsemään instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Nämä ovat tilastoja.

Mutta tämäkään ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heidän edessään on niin paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan ollaksesi varmasti parempi kuin muut kokeessa ja ollaksesi lopulta... onnellisempi?

APUA TÄMÄN AIHEEN ONGELMIEN RATKAISEMINEN.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmia hetkeksi.

Ja jos et ratkaissut niitä (PALJON!), menet varmasti jonnekin typerästi erehtyneeseen tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun on toistettava se uudestaan ​​​​ja uudestaan ​​voittaaksesi varmasti.

Löydä haluamasi kokoelma, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit täyttää kätesi tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Jaa kaikki piilotetut tehtävät tässä artikkelissa - 299 r
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - RUB 999

Kyllä, meillä on oppikirjassamme 99 tällaista artikkelia, ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata kerralla.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 ongelmaa ratkaisuineen ja vastauksin, jokaiselle aiheelle, kaikille vaikeustasoille." Se riittää varmasti käsittämään minkä tahansa aiheen ongelmien ratkaisemisen.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain jää teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan: "malli (lat. Modulus - mitta) on alkuperäisen objektin korvikeobjekti, joka tarjoaa tutkimuksen joistakin alkuperäisen ominaisuuksista." (s. 6) "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisella mallinnuksella tarkoitamme prosessia, jossa muodostetaan vastaavuus tietyn matemaattisen objektin, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, jonka avulla voidaan saada todellisen kohteen ominaisuudet. huomioon. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimustehtävistä ja tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen."

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista:

jne. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: toisaalta keskittyneet (parametrien suhteen), toisessa hajautetut mallit jne.

Luokittelu kohteen esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla objekti esitetään:

• Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakennemallit edustavat objektia järjestelmänä, jolla on oma rakenne ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ihanteellinen rakenne, merkityksellinen malli... Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli... Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai yksinkertaisesti matemaattinen malli, joka on saatu tietyn merkityksellisen mallin formalisoinnin tuloksena (esimalli). Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa valmiilla idealisaatioilla, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikka, biologia, taloustiede, sosiologia, psykologia ja useimmat muut alueet), mielekkäiden mallien luominen on paljon vaikeampaa.

Olennainen mallien luokittelu

Mikään tieteen hypoteesi ei ole todistettu lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina mahdollisuus kumota teoria, mutta huomaa, emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että olet esittänyt onnistuneen hypoteesin, laskenut, mihin tämä johtaa, ja todennut, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että et ole onnistunut kumoamaan sitä."

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voit keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida vahvistaa riittävästi saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin sopusoinnussa olemassa olevien teorioiden ja kohteesta kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa toiseen tyyppiin, esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi tieto ja teorioita vahvistavat fenomenologiset mallit ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin hypoteettisten mallien kanssa, ja ne voidaan muuntaa toiseksi. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat päässeet tiensä tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls tunnistaa kolme mallintamisen yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (pidämme jotain hyvin suurta tai hyvin pientä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleisesti hyväksytty tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän joukossa lineaariset vastemallit... Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat sen väitetty ilmiö johdonmukainen taustalla olevien periaatteiden kanssa ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero Type 7 -malleihin, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista tällaisista kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. formal-kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. Täysin suunnittelemattomalla tavalla ajan myötä siitä tuli tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja painosta m kiinnitetty jousen vapaaseen päähän. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suunnassa (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Rakennetaan tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyyden perusteella x kuorman keskeltä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki (F = − kx ) ja käytä sitten Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toista johdannaista x ajan kanssa:.

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, pienistä poikkeamista jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("Jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska jotkin olennaiset yleismaailmalliset ominaisuudet (esimerkiksi hajaantuminen) jätetään pois. Tietyllä likiarvolla (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, pienellä kitkalla, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyt tekijät ovat mitätön vaikutus sen käyttäytymiseen... Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa todellisen järjestelmän paremman ja syvemmän tutkimuksen kuin monimutkaisempi (ja muodollisesti "oikeampi").

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin luokitella tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain osa ominaisuuksista").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä on tietty toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venymisasteesta, on pieni parametri. Selkeä toiminto f emme ole tällä hetkellä kiinnostuneita. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu jäykän mallin tutkimukseen. malli. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattoriyhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee äärettömän pitkän ajan vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut dramaattisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienissä häiriöissä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin soveltaa tutkimusprosesseihin rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien monipuolisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä ominaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori ei kuvaa vain jousen kuormituksen käyttäytymistä, vaan myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen tason värähtelyjä U-muotoinen suoni tai muutos virran voimakkuudessa värähtelypiirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä lakien isomorfismi, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla malleilla tieteellisen tiedon eri segmenteissä, on Ludwig von Bertalanffyn saavutus luoda "yleinen järjestelmäteoria".

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallinnukseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnetun kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu eri materiaaleista valmistettujen levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi, jokaiselle materiaalille asetetaan standardi mekaaninen idealisointi (tiheys, elastisuusmoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen matkan varrella laaditaan yhtälöt. Jotkut yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, mallia jalostetaan ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on suorittaa mallin tutkimus hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Minkä staattisen kuormituksen silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan ohitukseen eri nopeuksilla), miten lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - Nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Englannissa romahti metallisilta Tayn yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvallisuuskertoimeksi, mutta unohtivat noissa paikoissa jatkuvasti puhaltavat tuulet. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esim. yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, sinun on valittava tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne on tiedossa ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisista lisätiedoista tai kohteen vaatimuksista ( suunnittelun haaste). Lisätietoa voi tulla käänteisen ongelman ratkaisuprosessista riippumatta ( passiivinen valvonta) tai olla erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien palauttamiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Muita esimerkkejä

missä x s- "tasapainoinen" populaatiokoko, jossa kuolleisuus kompensoi hedelmällisyyden täsmälleen. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon x s ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Poikkeaminen tästä tilasta johtaa vaihteluihin kaniinien ja kettujen lukumäärässä, analogisesti harmonisen oskillaattorin vaihteluiden kanssa. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien vaatimat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja lukujen vaihtelut häviävät. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia (muokkaa)

1. "Matemaattinen esitys todellisuudesta" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Kyberneettisen mallintamisen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
3. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. ... - 2. painos, Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikisanakirja: matemaattinen malli
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. ”Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena sen mukaan, onko se lineaarinen vai epälineaarinen matemaattinen laitteisto ja millaisia ​​lineaarisia tai epälineaarisia matemaattisia malleja se käyttää. … Jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän olisi luonut uudelleen määritelmän niin tärkeästä olemuksesta kuin epälineaarisuus, olisi todennäköisesti toiminut eri tavalla ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja laajempana kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "ei epälineaariseksi". ." Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen johdanto. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Painos 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. ”Dynaamisia järjestelmiä, jotka on mallinnettu rajallisella määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan pistejärjestelmiksi. Ne kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on tunnusomaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia yhtälöitä, joissa on viivästynyt argumentti. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä tietoa." Anischenko V.S., Dynaamiset järjestelmät, Soros-koulutuslehti, 1997, nro 11, s. 77-84.
11. ”S-järjestelmässä tutkittavien prosessien luonteesta riippuen kaikki mallinnuksen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, eli prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. ... Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa kohteen käyttäytymistä ajassa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Yleensä matemaattinen malli heijastaa simuloidun kohteen rakennetta (laitetta), tämän objektin komponenttien tutkimuksen kannalta oleellisia ominaisuuksia ja keskinäisiä suhteita; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten esine toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. ”Ilmeä, mutta tärkein alkuvaihe matemaattisen mallin rakentamisessa tai valinnassa on mahdollisimman selkeä käsitys mallinnetusta kohteesta ja sen merkityksellisen mallin selkiyttäminen epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei pidä tuhlata aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty merkittävä työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asiaan ei kiinnitetty riittävästi huomiota." Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Tässä järjestelmämallin rakentamisen alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan standardinmukaisia ​​matemaattisia kaavioita käyttäen; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) menetelmän valinta todellisten prosessien approksimointiin mallin rakentamisessa on perusteltu." B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.