Alkeisfunktioiden teoria. Perustoiminnot

Tietoa perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat yhtä tärkeää kuin kertotaulujen tunteminen. Ne ovat kuin perusta, kaikki perustuu niihin, kaikki rakentuu niistä ja kaikki lähtee heistä.

Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät perusfunktiot, esitetään niiden kaaviot ja annetaan ilman päätelmiä tai todisteita perusfunktioiden ominaisuudet kaavan mukaan:

• funktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla, vertikaaliset asymptootit (katso tarvittaessa artikkelin funktion epäjatkuvuuspisteiden luokittelu);
• parillinen ja pariton;
• kuperuusvälit (kuperuus ylöspäin) ja koveruus (kuperuus alaspäin), taivutuspisteet (katso tarvittaessa artikkeli funktion kupera, kuperuuden suunta, käännepisteet, kuperuuden ja taivutusehdot);
• vinot ja vaakasuorat asymptootit;
• funktioiden yksittäiset pisteet;
• joidenkin funktioiden erityisominaisuudet (esimerkiksi trigonometristen funktioiden pienin positiivinen jakso).

Jos olet kiinnostunut tai, voit siirtyä näihin teorian osiin.

Perustoiminnot ovat: vakiofunktio (vakio), n:s juuri, potenssifunktio, eksponenttifunktio, logaritminen funktio, trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Sivulla navigointi.

Pysyvä toiminto.

Vakiofunktio määritellään kaikkien reaalilukujen joukolle kaavalla , jossa C on jokin reaaliluku. Vakiofunktio liittää jokaisen riippumattoman muuttujan x reaaliarvon riippuvan muuttujan y samaan arvoon - arvoon C. Vakiofunktiota kutsutaan myös vakioksi.

Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen ja koordinaatin (0,C) pisteen läpi kulkeva viiva. Esimerkkinä näytetään vakiofunktioiden y=5, y=-2 ja kaaviot, jotka alla olevassa kuvassa vastaavat mustaa, punaista ja sinistä viivaa.

Vakiofunktion ominaisuudet.

• Domain: koko joukko reaalilukuja.
• Vakiofunktio on tasainen.
• Arvoalue: joukko, joka koostuu yksikköluvusta C.
• Vakiofunktio on ei-nouseva ja ei-laskeva (siksi se on vakio).
• Ei ole mitään järkeä puhua vakion kuperuudesta ja koveruudesta.
• Asymptootteja ei ole.
• Funktio kulkee koordinaattitason pisteen (0,C) läpi.

n:s juuri.

Tarkastellaan perusalkeisfunktiota, joka saadaan kaavalla , jossa n on yhtä suurempi luonnollinen luku.

N:nnen asteen juuri, n on parillinen luku.

Aloitetaan n:nnestä juurifunktiosta juurieksponentin n parillisille arvoille.

Esimerkkinä tässä on kuva, jossa on kuvia funktiokaavioista ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä viivoja.

Parillisen asteen juurifunktioiden kaavioilla on samanlainen ulkonäkö muille eksponentin arvoille.

N:nnen juurifunktion ominaisuudet parilliselle n:lle.

N:s juuri, n on pariton luku.

N:s juurifunktio, jonka juurieksponentti on pariton n, määritellään koko reaalilukujoukolle. Tässä ovat esimerkiksi funktiokaaviot ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä käyriä.

Muilla juurieksponentin parittomilla arvoilla funktiokaaviot näyttävät samanlaisilta.

Parittoman n:n n:nnen juurifunktion ominaisuudet.

Virtatoiminto.

Tehofunktio annetaan muodon kaavalla.

Tarkastellaan potenssifunktion kuvaajien muotoa ja potenssifunktion ominaisuuksia eksponentin arvosta riippuen.

Aloitetaan potenssifunktiolla, jossa on kokonaislukueksponentti a. Tässä tapauksessa potenssifunktioiden kuvaajien ulkonäkö ja funktioiden ominaisuudet riippuvat eksponentin tasaisuudesta tai parittomuudesta sekä sen etumerkistä. Siksi tarkastelemme ensin potenssifunktioita eksponentin a parittomille positiivisille arvoille, sitten parillisille positiivisille eksponenteille, sitten parittomille negatiivisille eksponenteille ja lopuksi parillisille negatiivisille a.

Murto- ja irrationaalisten eksponentien potenssifunktioiden ominaisuudet (sekä tällaisten potenssifunktioiden kuvaajien tyyppi) riippuvat eksponentin a arvosta. Tarkastelemme niitä ensinnäkin a:lle nollasta yhteen, toiseksi arvolle, joka on suurempi kuin yksi, kolmanneksi a:lle miinus yhdestä nollaan, neljänneksi alle miinus ykköselle.

Tämän osan lopussa kuvataan täydellisyyden vuoksi potenssifunktio, jonka eksponentti on nolla.

Potenttifunktio parittisella positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on pariton positiivinen eksponentti, eli a = 1,3,5,....

Alla olevassa kuvassa on kaavioita tehofunktioista – musta viiva, – sininen viiva, – punainen viiva, – vihreä viiva. Meillä a=1 on lineaarinen funktio y=x.

Parittoman positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio jopa positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on parillinen positiivinen eksponentti, eli kun a = 2,4,6,....

Esimerkkinä annetaan potenssifunktioiden kaaviot – musta viiva, – sininen viiva, – punainen viiva. Arvolle a=2 meillä on neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöllinen paraabeli.

Parillisen positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parittoman negatiivisen eksponentin kanssa.

Katso potenssifunktion kaavioita eksponentin parittomille negatiivisille arvoille, eli a = -1, -3, -5,....

Kuvassa on esimerkkinä potenssifunktioiden kaaviot - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä on a=-1 käänteinen suhteellisuus, jonka kaavio on hyperbeli.

Parittoman negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parillisella negatiivisella eksponentilla.

Jatketaan tehofunktioon a=-2,-4,-6,….

Kuvassa on potenssifunktioiden kaaviot – musta viiva, – sininen viiva, – punainen viiva.

Parillisen negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Potenssifunktio, jonka rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi.

Huomautus! Jos a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät potenssifunktion määritelmäaluetta intervallina. On säädetty, että eksponentti a on pelkistymätön murto-osa. Nyt monien algebran ja analyysin periaatteiden oppikirjojen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen parittoman nimittäjän muodossa. Noudatamme juuri tätä näkemystä, eli pidämme joukkoa potenssifunktioiden määrittelyalueina, joissa on positiivinen murtoluku. Suosittelemme, että oppilaat selvittävät opettajasi mielipiteen tästä hienovaraisesta asiasta erimielisyyksien välttämiseksi.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a ja .

Esitetään kaavioita potenssifunktioista a=11/12 (musta viiva), a=5/7 (punainen viiva), (sininen viiva), a=2/5 (vihreä viiva).

Potenssifunktio, jonka ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi.

Tarkastellaan tehofunktiota, jolla on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a, ja .

Esitetään kaavojen antamien potenssifunktioiden kuvaajat (musta, punainen, sininen ja vihreä viivat).

Muilla eksponentin a arvoilla funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Tehofunktion ominaisuudet osoitteessa .

Potenssifunktio, jonka todellinen eksponentti on suurempi kuin miinus yksi ja pienempi kuin nolla.

Huomautus! Jos a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät potenssifunktion määritelmäalueena intervallina . On säädetty, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa ja analyysin periaatteita käsittelevien oppikirjojen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen pariton nimittäjällä. Noudatamme nimenomaan tätä näkemystä, eli pidämme murto-osien negatiivisten eksponentien potenssifunktioiden määrittelyalueita vastaavasti joukkona. Suosittelemme, että oppilaat selvittävät opettajasi mielipiteen tästä hienovaraisesta asiasta erimielisyyksien välttämiseksi.

Siirrytään tehofunktioon, hyvä.

Saadaksemme hyvän käsityksen tehofunktioiden kaavioiden muodosta, annamme esimerkkejä funktioiden kaavioista (musta, punainen, sininen ja vihreä käyrä).

Eksponentin a, potenssifunktion ominaisuudet.

Potenttifunktio, jonka reaalieksponentti ei ole kokonaisluku, joka on pienempi kuin miinus yksi.

Annetaan esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista for , ne on kuvattu mustilla, punaisilla, sinisillä ja vihreillä viivoilla.

Potenttifunktion ominaisuudet, jonka negatiivinen eksponentti on pienempi kuin miinus yksi.

Kun a = 0, meillä on funktio - tämä on suora, josta piste (0;1) on jätetty pois (lausekkeelle 0 0 sovittiin, ettei anneta mitään merkitystä).

Eksponentti funktio.

Yksi tärkeimmistä perusfunktioista on eksponentiaalinen funktio.

Eksponentiaalisen funktion kuvaaja, jossa ja saa eri muotoja kantaluvun a arvosta riippuen. Selvitetään tämä.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta ottaa arvon nollasta yhteen, eli .

Esimerkkinä esitetään eksponentiaalisen funktion kuvaajat a = 1/2 – sininen viiva, a = 5/6 – punainen viiva. Eksponentiaalisen funktion kaavioilla on samanlainen ulkoasu muille välin kantaarvon arvoille.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on pienempi kuin yksi.

Jatketaan tapaukseen, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi, eli .

Esittelemme kuvaajia eksponentiaalisista funktioista - sininen viiva ja - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, eksponentiaalisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on suurempi kuin yksi.

Logaritminen funktio.

Seuraava perusalkeisfunktio on logaritminen funktio, jossa , . Logaritminen funktio määritetään vain argumentin positiivisille arvoille, eli .

Logaritmisen funktion kuvaaja saa erilaisia ​​muotoja kantaluvun a arvosta riippuen.

Täydellinen luettelo perustoiminnoista

Perustoimintojen luokka sisältää seuraavat:

1. Vakiofunktio $y=C$, jossa $C$ on vakio. Tällainen funktio saa saman arvon $C$ mille tahansa $x$:lle.
2. Potenssifunktio $y=x^(a) $, jossa eksponentti $a$ on reaaliluku.
3. Eksponentiaalinen funktio $y=a^(x) $, jossa kanta on aste $a>0$, $a\ne 1$.
4. Logaritminen funktio $y=\log _(a) x$, jossa logaritmin kanta on $a>0$, $a\ne 1$.
5. Trigonometriset funktiot $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek\,x$.
6. Käänteiset trigonometriset funktiot $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Virtatoiminnot

Tarkastellaan potenssifunktion $y=x^(a) $ käyttäytymistä niissä yksinkertaisimmissa tapauksissa, joissa sen eksponentti määrää kokonaisluvun eksponentioinnin ja juuren erotuksen.

Tapaus 1

Funktion $y=x^(a) $ eksponentti on luonnollinen luku, eli $y=x^(n) $, $n\in N$.

Jos $n=2\cdot k$ on parillinen luku, niin funktio $y=x^(2\cdot k) $ on parillinen ja kasvaa loputtomasti ikään kuin argumentti $\left(x\to +\infty \ right )$, ja sen rajoittamattomalla laskulla $\left(x\to -\infty \right)$. Tämä funktion käyttäytyminen voidaan kuvata lausekkeilla $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ ja $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, mikä tarkoittaa, että funktio kasvaa molemmissa tapauksissa ilman rajoituksia ($\lim $ on raja). Esimerkki: funktion $y=x^(2) $ kaavio.

Jos $n=2\cdot k-1$ on pariton luku, funktio $y=x^(2\cdot k-1) $ on pariton, kasvaa loputtomasti argumentin kasvaessa ja pienenee loputtomasti argumenttina vähenee loputtomiin. Tämä funktion käyttäytyminen voidaan kuvata lausekkeilla $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ ja $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Esimerkki: funktion $y=x^(3) $ kaavio.

Tapaus 2

Funktion $y=x^(a) $ eksponentti on negatiivinen kokonaisluku, eli $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Jos $n=2\cdot k$ on parillinen luku, niin funktio $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ on parillinen ja lähestyy asymptoottisesti (asteittain) nollaa kuten rajattoman lisäyksen argumentissa , ja sen rajoittamattomalla laskulla. Tämä funktion käyttäytyminen voidaan kuvata yhdellä lausekkeella $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, mikä tarkoittaa, että kun argumentin absoluuttinen arvo kasvaa rajattomasti, funktion raja on nolla. Lisäksi, koska argumentti pyrkii nollaan sekä vasemmalla $\left(x\to 0-0\right)$ että oikealla $\left(x\to 0+0\right)$, funktio kasvaa ilman raja. Siksi lausekkeet $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ ja $\mathop(\lim )\ rajat_ ovat voimassa (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, mikä tarkoittaa, että funktio $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $:lla on molemmissa tapauksissa ääretön raja, joka on yhtä suuri kuin $+\infty $. Esimerkki: funktion $y=\frac(1)(x^(2) ) $ kaavio.

Jos $n=2\cdot k-1$ on pariton luku, niin funktio $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ on pariton ja lähestyy asymptoottisesti nollaa ikään kuin molemmat kun argumentti kasvaa ja kun se vähenee ilman rajoituksia. Tämä funktion käyttäytyminen voidaan kuvata yhdellä lausekkeella $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Lisäksi argumentin lähestyessä nollaa vasemmalla funktio pienenee ilman rajoituksia ja kun argumentti lähestyy nollaa oikealla, funktio kasvaa ilman rajoituksia eli $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ ja $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Esimerkki: funktion $y=\frac(1)(x) $ kaavio.

Tapaus 3

Funktion $y=x^(a) $ eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, eli $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Jos $n=2\cdot k$ on parillinen luku, funktio $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ on kaksiarvoinen ja se on määritetty vain arvolle $x\ge 0 $. Kun argumenttia kasvatetaan rajattomasti, funktion $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ arvo kasvaa rajattomasti ja funktion $y=-\sqrt[(2\) cdot k)](x) $ pienenee rajattomasti, eli $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ ja $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Esimerkki: funktion $y=\pm \sqrt(x) $ kaavio.

Jos $n=2\cdot k-1$ on pariton luku, niin funktio $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ on pariton, kasvaa rajattomasti argumentin rajattomasti kasvaessa ja pienenee rajattomasti, kun se on rajoittamaton, se pienenee, eli $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ ja $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Esimerkki: funktion $y=\sqrt[(3)](x) $ kaavio.

Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot

Eksponentiaalinen $y=a^(x) $ ja logaritminen $y=\log _(a) x$ ovat keskenään käänteisiä. Niiden kuvaajat ovat symmetrisiä ensimmäisen ja kolmannen koordinaattikulman yhteisen puolittajan suhteen.

Kun argumentti $\left(x\to +\infty \right)$ kasvaa loputtomasti, eksponentiaalinen funktio tai $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ kasvaa loputtomasti, jos $a>1$ tai asymptoottisesti lähestyy nollaa $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, jos $a1$ tai $\mathop kasvaa ilman rajoitusta (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, jos $a

Funktiolle $y=a^(x) $ ominaisarvo on arvo $x=0$. Tässä tapauksessa kaikki eksponentiaaliset funktiot, riippumatta arvosta $a$, leikkaavat välttämättä $Oy$-akselin kohdassa $y=1$. Esimerkkejä: funktioiden $y=2^(x) $ ja $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $ kaaviot.

Logaritminen funktio $y=\log _(a) x$ on määritetty vain arvolle $x > 0$.

Kun argumentti $\left(x\to +\infty \right)$ kasvaa loputtomasti, logaritminen funktio tai $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ kasvaa loputtomasti infty $, jos $a>1$, tai pienenee ilman rajoitusta $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, jos $a1 $ tai ilman rajoitusta $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ kasvaa, jos $a

Funktiolle $y=\log _(a) x$ ominaisarvo on arvo $y=0$. Tässä tapauksessa kaikki logaritmiset funktiot, riippumatta arvosta $a$, leikkaavat välttämättä $Ox$-akselin kohdassa $x=1$. Esimerkkejä: funktioiden $y=\log _(2) x$ ja $y=\log _(1/2) x$ kuvaajat.

Joillakin logaritmisilla funktioilla on erityinen merkintä. Erityisesti jos logaritmin kanta on $a=10$, niin tällaista logaritmia kutsutaan desimaaliksi ja vastaava funktio kirjoitetaan muodossa $y=\lg x$. Ja jos irrationaaliluku $e=2.7182818\ldots $ valitaan logaritmin kantapääksi, niin tällaista logaritmia kutsutaan luonnolliseksi ja vastaava funktio kirjoitetaan muodossa $y=\ln x$. Sen käänteisarvo on funktio $y=e^(x) $, jota kutsutaan eksponenttiksi.

Osio sisältää viitemateriaalia tärkeimmistä perusfunktioista ja niiden ominaisuuksista. Perusfunktioiden luokitus on annettu. Alla on linkkejä alaosioihin, jotka käsittelevät tiettyjen funktioiden ominaisuuksia - kaavioita, kaavoja, johdannaisia, antiderivaatat (integraalit), sarjalaajennukset, lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta.

Perustoimintojen viitesivut

Perusfunktioiden luokittelu

Algebrallinen funktio on funktio, joka täyttää yhtälön:
,
missä on polynomi riippuvaisessa muuttujassa y ja riippumattomassa muuttujassa x. Se voidaan kirjoittaa seuraavasti:
,
missä ovat polynomit.

Algebralliset funktiot jaetaan polynomeiksi (koko rationaaliset funktiot), rationaaliset funktiot ja irrationaaliset funktiot.

Koko rationaalinen toiminto, jota myös kutsutaan polynomi tai polynomi, saadaan muuttujasta x ja äärellisestä määrästä lukuja käyttämällä aritmeettisia yhteen- (vähennys-) ja kertolaskuoperaatioita. Sulujen avaamisen jälkeen polynomi pienennetään kanoniseen muotoon:
.

Murtolukuinen rationaalinen funktio tai yksinkertaisesti rationaalinen toiminto, saadaan muuttujasta x ja äärellisestä määrästä lukuja käyttämällä yhteen- (vähennys-), kerto- ja jakolaskuoperaatioita. Rationaalinen funktio voidaan pelkistää muotoon
,
missä ja ovat polynomeja.

Irrationaalinen toiminto on algebrallinen funktio, joka ei ole rationaalinen. Irrationaalinen funktio ymmärretään pääsääntöisesti juuriksi ja niiden koostumuksiksi rationaalisilla funktioilla. Asteen n juuri määritellään yhtälön ratkaisuksi
.
Se on nimetty seuraavasti:
.

Transsendenttiset toiminnot kutsutaan ei-algebrallisiksi funktioiksi. Nämä ovat eksponentiaaliset, trigonometriset, hyperboliset ja niiden käänteisfunktiot.

Yleiskatsaus perustoimintoihin

Kaikki perusfunktiot voidaan esittää äärellisenä lukumääränä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakooperaatioita, jotka suoritetaan muodon lausekkeelle:
z t .
Käänteisfunktiot voidaan ilmaista myös logaritmeilla. Perustoiminnot on lueteltu alla.

Virtatoiminto:
y(x) = x p ,
missä p on eksponentti. Se riippuu asteen x perustasta.
Tehofunktion käänteisarvo on myös tehofunktio:
.
Eksponentin p ei-negatiivinen kokonaislukuarvo on polynomi. Kokonaislukuarvolle p - rationaalinen funktio. Järkevällä merkityksellä - irrationaalinen toiminto.

Transsendenttiset toiminnot

Eksponentti funktio :
y(x) = a x ,
missä a on tutkinnon kanta. Se riippuu eksponentti x.
Käänteisfunktio on logaritmi a-pohjaan:
x = kirjaudu a y.

Eksponentti, e x potenssiin:
y(x) = e x ,
Tämä on eksponentiaalinen funktio, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin itse funktio:
.
Eksponentin kanta on luku e:
≈ 2,718281828459045... .
Käänteisfunktio on luonnollinen logaritmi - logaritmi luvun e kantaan:
x = ln y ≡ log e y.

Trigonometriset funktiot:
Sine: ;
Kosini: ;
Tangentti: ;
Kotangentti: ;
Tässä i on imaginaariyksikkö, i 2 = -1.

Käänteiset trigonometriset funktiot:
Arkiini: x = arcsin y, ;
Kaarikosini: x = arccos y, ;
Arktangentti: x = arctan y, ;
Kaaretangentti: x = arcctg y, .

Perustoiminnot ovat: vakiofunktio (vakio), juuri n-th aste, potenssifunktio, eksponentiaalinen, logaritminen funktio, trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Pysyvä toiminto.

Vakiofunktio annetaan kaikkien reaalilukujen joukolle kaavalla , jossa C- joku todellinen luku. Vakiofunktio määrittää jokaisen riippumattoman muuttujan todellisen arvon x sama riippuvan muuttujan arvo y- merkitys KANSSA. Vakiofunktiota kutsutaan myös vakioksi.

Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora, joka kulkee koordinaattipisteen läpi (0,C). Esitetään esimerkiksi vakiofunktioiden kaavioita y = 5,y = -2 ja , jotka alla olevassa kuvassa vastaavat mustaa, punaista ja sinistä viivaa, vastaavasti.

Vakiofunktion ominaisuudet.

Domain: koko joukko reaalilukuja.

Vakiofunktio on tasainen.

Arvoalue: joukko, joka koostuu yksittäisestä numerosta KANSSA.

Vakiofunktio on ei-nouseva ja ei-laskeva (siksi se on vakio).

Ei ole mitään järkeä puhua vakion kuperuudesta ja koveruudesta.

Asymptootteja ei ole.

Funktio kulkee pisteen läpi (0,C) koordinaattitaso.

N:nnen asteen juuri.

Tarkastellaan perusalkeisfunktiota, joka saadaan kaavalla, missä n– luonnollinen luku, joka on suurempi kuin yksi.

N:s juuri, n on parillinen luku.

Aloitetaan juurifunktiosta n-th potenssi juurieksponentin parillisille arvoille n.

Esimerkkinä tässä on kuva, jossa on kuvia funktiokaavioista ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä viivoja.

Parillisen asteen juurifunktioiden kaavioilla on samanlainen ulkonäkö muille eksponentin arvoille.

Juurifunktion ominaisuudetn -th tehoa jopan .

N:s juuri, n on pariton luku.

Root-toiminto n-th potenssi parittisella juurieksponentilla n on määritelty koko reaalilukujoukolle. Tässä ovat esimerkiksi funktiokaaviot ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä käyriä.