Tunne kolmion kaikki sivut, etsi mediaani. Tehtävä

Koti / Entinen

Mode ja mediaani- erityinen keskiarvo, jota käytetään variaatiosarjan rakenteen tutkimiseen. Niitä kutsutaan joskus rakenteellisiksi keskiarvoiksi, toisin kuin aiemmin käsitellyt teholain keskiarvot.

Muoti- tämä on attribuutin (muunnelman) arvo, joka löytyy useimmiten tästä populaatiosta, ts. on korkein taajuus.

Muodilla on suuri käytännön sovellus, ja joissain tapauksissa vain muoti voi luonnehtia sosiaalisia ilmiöitä.

Mediaani on muunnelma, joka on tilatun muunnelmasarjan keskellä.

Mediaani näyttää muuttujan ominaisuuden arvon määrällisen rajan, jonka saavuttaa puolet perusjoukon yksiköistä. Mediaanin käyttö keskiarvon kanssa tai sen sijaan on suositeltavaa, jos vaihtelusarjassa on avoimia intervalleja, koska mediaanin laskenta ei edellytä avoimien intervallien rajojen ehdollista määrittämistä, joten niistä puuttuminen ei vaikuta mediaanin laskennan tarkkuuteen.

Mediaania käytetään myös silloin, kun painoina käytettävät indikaattorit eivät ole tiedossa. Mediaania käytetään aritmeettisen keskiarvon sijasta tilastollisissa tuotteiden laadunvalvontamenetelmissä. Optioiden absoluuttisten poikkeamien summa mediaanista on pienempi kuin mistään muusta luvusta.

Harkitse moodin ja mediaanin laskentaa diskreetissä variaatiosarjassa :

Määritä tila ja mediaani.

Muoti Mo = 4 vuotta, koska tämä arvo vastaa suurinta frekvenssiä f = 5.

Nuo. Suurimmalla osalla työntekijöistä on 4 vuoden työkokemus.

Mediaanin laskemiseksi löydämme ensin puolet taajuuksien summasta. Jos taajuuksien summa on pariton luku, lisäämme ensin yhden tähän summaan ja jaamme sen sitten puoliksi:

Mediaani on kahdeksas vaihtoehto.

Löytääksemme, mikä vaihtoehto on lukumäärältään kahdeksas, keräämme taajuuksia, kunnes saamme taajuuksien summan, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin puolet kaikkien taajuuksien summasta. Vastaava vaihtoehto on mediaani.

Minä = 4 vuotta.

Nuo. puolella työntekijöistä on alle neljän vuoden työkokemus, puolella enemmän.

Jos kertyneiden taajuuksien summa yhtä vaihtoehtoa vastaan on yhtä suuri kuin puolet taajuuksien summasta, niin mediaani määritellään tämän ja seuraavan vaihtoehdon aritmeettiseksi keskiarvoksi.

Moodin ja mediaanin laskenta intervallivaihtelusarjassa

Intervallivaihtelusarjan tila lasketaan kaavalla

missä X М0- modaalivälin alkuraja,

hm 0 on modaalivälin arvo,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - modaalivälin taajuus, joka edeltää modaalia ja sitä seuraavaa.

Modaalinen Aikaväliä, jolla on korkein taajuus, kutsutaan.

Esimerkki 1

Ryhmät kokemuksen mukaan	Työntekijöiden määrä, ihmiset	Kertyneet taajuudet

Määritä tila ja mediaani.

Modaalinen intervalli, koska se vastaa suurinta taajuutta f = 35. Sitten:

Hm 0 =6, fm 0 =35

Rakenteelliset (paikalliset) keskiarvot- nämä ovat keskiarvoja, jotka ovat tietyn paikan (sijainnilla) paremmuusjärjestyksessä.

Muoti(Mo) on tutkimuspopulaatiossa yleisimmän ominaisuuden arvo.

varten diskreetti variaatiosarja tila on korkeimman taajuuden vaihtoehtojen arvo

Esimerkki. Määritä tila käytettävissä olevista tiedoista (taulukko 7.5).

Taulukko 7.5 - Kenkäkaupassa myytävien naisten kenkien jakautuminen N, Helmikuu 2013

Taulukon mukaan. 5 osoittaa, että korkein taajuus fmax= 28, se vastaa ominaisuuden arvoa x= 37 kokoa. Näin ollen Mo= 37 kenkäkoko, ts. juuri tällä kenkäkoolla oli eniten kysyntää, useimmiten ostettiin 37. koon kenkiä.

AT ensin päätetty modaalivälit, eli sisältää moodin - korkeimman taajuuden omaavan intervallin (jos välijakauma on tasaväleillä, epätasaisten välien tapauksessa - suurimmalla tiheydellä).

Tilaa pidetään suunnilleen modaalivälin keskikohtana. Intervallisarjan erityinen tila-arvo määritetään kaavalla:

missä x Mo on modaalivälin alaraja;

i Mo on modaalivälin arvo;

fMo on modaalivälin taajuus;

fMo-1 on modaalia edeltävän intervallin taajuus;

f Mo +1 on modaalia seuraavan intervallin taajuus.

Esimerkki. Määritä tila käytettävissä olevista tiedoista (taulukko 7.6).

Taulukko 7.6 - Henkilöstön jakautuminen palvelusajan mukaan

Taulukon mukaan. 6 osoittaa, että korkein taajuus fmax= 35, se vastaa väliä: 6-8 vuotta (modaaliväli). Määrittelemme muodin kaavalla:

vuotta.

Näin ollen Mo= 6,8 vuotta, ts. Useimmilla työntekijöillä on 6,8 vuoden työkokemus.

Mediaanin nimi on otettu geometriasta, jossa se viittaa janaan, joka yhdistää kolmion yhden kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen ja jakaa siten kolmion sivun kahteen yhtä suureen osaan.

Mediaani(Minä) – on sen ominaisuuden arvo, joka osuu alueen väestön keskelle. Muussa tapauksessa mediaani on arvo, joka jakaa järjestetyn variaatiosarjan lukumäärän kahteen yhtä suureen osaan - toisessa osassa on vaihtelevan attribuutin arvot pienempiä kuin keskimääräisen muunnelman ja toisessa suuret arvot.

varten rankattu sarja(eli järjestetyssä - rakennettu yksittäisten attribuuttiarvojen nousevassa tai laskevassa järjestyksessä), jossa on pariton määrä jäseniä ( n= pariton) mediaani on variantti, joka sijaitsee rivin keskellä. Mediaanin järjestysnumero ( N Minä) määritellään seuraavasti:

N Me =(n+1)/ 2.

Esimerkki. 51 jäsenen sarjassa mediaaniluku on (51+1)/2 = 26, ts. mediaani on sarjan 26. vaihtoehto.

Ranking-sarjalle, jossa on parillinen määrä jäseniä ( n= parillinen) - mediaani on sarjan keskellä olevan attribuutin kahden arvon aritmeettinen keskiarvo. Kahden keskeisen muunnelman sarjanumerot määritetään seuraavasti:

N Me 1 = n/ 2; N Me 2 =(n/ 2)+ 1.

Esimerkki. Kun n = 50; N Me1 = 50/2 = 25; N Me2= (50/2)+1 = 26, so. mediaani on järjestyksessä 25. ja 26. rivillä olevien vaihtoehtojen keskiarvo.

AT diskreetti variaatiosarja mediaani löytyy kertyneestä taajuudesta, joka vastaa mediaanin järjestyslukua tai ylittää sen ensimmäistä kertaa. Muuten kertyneen taajuuden mukaan, joka on yhtä suuri tai ensimmäistä kertaa ylittää puolet sarjan kaikkien taajuuksien summasta.

Esimerkki. Määritä mediaani käytettävissä olevista tiedoista (taulukko 7.7).

Taulukko 7.7 - Kenkäkaupassa myytävien naisten kenkien jakautuminen N, Helmikuu 2013

Taulukon mukaan. 7 määritä mediaanin järjestysnumero: N minä =( 67+1)/2=34.

Muoti. Mediaani. Kuinka ne lasketaan (s. 1/2)

Kumulatiivinen taajuus, joka ylittää tämän arvon ensimmäistä kertaa S= 41, se vastaa ominaisuuden arvoa x= 37 kokoa. Näin ollen Minä= 37 kenkäkoko, ts. puolet pareista ostetaan pienempiä kuin kokoa 37 ja puolet suurempina.

Tässä esimerkissä tila ja mediaani ovat samat, mutta ne voivat olla tai eivät ole samat.

AT intervallivaihtelusarja kumulatiiviset taajuudet määritetään, kumulatiivisten taajuuksien mukaan löydetään dataa mediaaniväli– aikaväli, jonka aikana kertynyt taajuus on puolet tai ylittää ensimmäistä kertaa puolet taajuuksien kokonaissummasta. Kaava mediaanin määrittämiseksi jakauman välisarjassa on seuraava:

missä x Minä on mediaanivälin alaraja;

minä Minä on mediaanivälin arvo;

∑fi on sarjan taajuuksien summa;

S Me-1 on mediaania edeltävän aikavälin kumuloituneiden taajuuksien summa;

f Minä on mediaanivälin taajuus.

Esimerkki. Määritä mediaani käytettävissä olevista tiedoista (taulukko 7.8).

Taulukko 7.8 - Henkilöstön jakautuminen palvelusajan mukaan

Taulukon mukaan. 8 määrittele mediaanin järjestysnumero: NMe = 100/2=50. Kumulatiivinen taajuus, joka ylittää tämän arvon ensimmäistä kertaa S= 82, se vastaa 6-8 vuoden väliä (mediaaniväli). Tässä esimerkissä modaali- ja mediaanivälit ovat samat, mutta ne voivat olla tai olla samat. Määritetään mediaani kaavalla:

vuotta

Näin ollen Minä= 6,2 vuotta, ts. puolella työntekijöistä on alle 6,2 vuoden työkokemus ja toisella puolella enemmän.

Modea ja mediaania käytetään laajasti talouden eri alueilla. Näin ollen modaalisen työn tuottavuuden, liikennekustannusten jne. antaa taloustieteilijälle mahdollisuuden arvioida niiden tällä hetkellä vallitsevaa tasoa. Tätä ominaisuutta tulisi käyttää taloutemme reservien paljastamiseen. Muoti ratkaisee käytännön ongelmia. Vaatteiden ja jalkineiden massatuotantoa suunniteltaessa siis asetetaan tuotteen koko, jolla on suurin kysyntä (modaalikoko). Moodia voidaan käyttää tutkitun piirteen tason likimääräisenä ominaisuutena aritmeettisen keskiarvon sijaan, jos taajuusjakaumat ovat lähellä symmetrisiä ja niissä on yksi ei-tasainen yläosa.

Mediaania tulisi käyttää keskiarvona tapauksissa, joissa ei ole riittävästi luottamusta tutkittavan populaation homogeenisuuteen. Mediaaniin ei vaikuta niinkään itse arvot kuin tapausten määrä jollakin tasolla. On myös huomattava, että mediaani on aina spesifinen (suurelle määrälle havaintoja tai parittoman määrän populaatiossa), koska alla Minä implisiittistä on jokin todellinen todellinen perusjoukon elementti, kun taas aritmeettinen keskiarvo saa usein arvon, jota mikään populaation yksikkö ei voi ottaa.

Pääomaisuus Minä siinä, että ominaisuusarvojen absoluuttisten poikkeamien summa mediaanista on pienempi kuin mistään muusta arvosta: . Tämä ominaisuus Minä voidaan käyttää esimerkiksi julkisten rakennusten rakennuspaikkaa määritettäessä, koska Minä määrittää pisteen, joka antaa lyhimmän etäisyyden, esimerkiksi päiväkodit vanhempien asuinpaikasta, asutuksen asukkaat elokuvateatterista suunniteltaessa raitiovaunu-, johdinautopysäkkejä jne.

Rakenneindikaattoreiden järjestelmässä vaihtoehdot, jotka ovat tietyllä paikalla järjestetyssä vaihtelusarjassa (joka neljäs, viides, kymmenes, kahdeskymmenesviides jne.) toimivat jakautumismuodon ominaisuuksien indikaattoreina. Vastaavasti, kun etsit mediaanin variaatiosarjasta, voit löytää piirteen arvon mille tahansa järjestetyn sarjan yksikölle.

Quartiles– attribuuttiarvot, jotka jakavat vaihtelevan populaation neljään yhtä suureen osaan. Erottele alempi kvartiili ( Q1), keskiverto ( Q2) ja ylempi ( K 3). Alempi kvartiili erottaa 1/4:n ominaisuuden pienimmät arvot omaavasta populaatiosta, ylempi kvartiili erottaa 1/4 ominaisuuden korkeimmat arvot omaavasta populaatiosta. Tämä tarkoittaa, että 25 % väestöyksiköistä on arvoltaan pienempiä Q1; 25 % yksiköistä tehdään välillä Q1 ja Q2; 25% - välillä Q2 ja K 3; loput 25 % toimivat paremmin K 3. Keskimmäinen kvartiili ( Q2) on mediaani .

Intervallisarjan kvartiilien laskemiseen käytetään seuraavia kaavoja:

;

missä x Q1– alemman kvartiilin sisältävän jakson alaraja (väli määräytyy kumuloituneen taajuuden mukaan, ensimmäinen ylittää 25 prosenttia);

x Q3– ylemmän kvartiilin sisältävän jakson alaraja (väli määräytyy kumuloituneen taajuuden mukaan, ensimmäinen ylittää 75 prosenttia);

S Q 1-1 on alemman kvartiilin sisältävää väliä edeltävän aikavälin kumulatiivinen taajuus;

S Q 3-1 on ylemmän kvartiilin sisältävää väliä edeltävän aikavälin kumulatiivinen taajuus;

fQ1 on alemman kvartiilin sisältävän välin taajuus;

fQ3 on ylemmän kvartiilin sisältävän välin taajuus.

Desiilit ovat varianttiarvoja, jotka jakavat järjestetyn sarjan kymmeneen yhtä suureen osaan: 1. desiili ( d1) jakaa populaation 1/10 9/10, 2. desiili ( d2) - suhteessa 2/10 - 8/10 jne. Desiilit lasketaan samalla tavalla kuin mediaani ja kvartiili:

;

Yllä olevien ominaisuuksien käyttö variaatiojakaumasarjojen analysoinnissa mahdollistaa tutkittavan populaation syvällisen ja yksityiskohtaisen karakterisoinnin.

KATSO LISÄÄ:

Rakenteelliset keskiarvot

Teholain keskiarvojen ohella rakenteellisia keskiarvoja käytetään laajalti.

Tilastoaggregaattien rakenne on erilainen. Samanaikaisesti mitä symmetrisemmin populaation yksiköiden jakautuminen on, mitä laadukkaammin sen koostumus tutkittavan piirteen mukaan on, sitä paremmin, luotettavammin piirteen keskiarvo luonnehtii tutkittavaa ilmiötä. Mutta jakaumasarjan terävän vinouden (epäsymmetrian) tapauksessa aritmeettinen keskiarvo ei ole enää niin tyypillinen. Esimerkiksi säästöpankkitalletusten keskimääräinen koko ei ole erityisen kiinnostava, koska suurin osa talletuksista on tämän tason alapuolella ja keskiarvoon vaikuttavat merkittävästi suuret talletukset, joita on vähän ja jotka eivät ole tyypillisiä talletusten massalle. talletukset.

Muoti (tilastot)

Tällaisissa tapauksissa tilastoissa käytetään toista järjestelmää - apurakennekeskiarvojen järjestelmää. Näitä ovat moodi, mediaani sekä kvartellit, kvintelit, decelit, prosenttiyksiköt.

Muoti (mo)- piirteen yleisin arvo ja diskreetissä variaatiosarjassa - tämä on muunnelma, jonka taajuus on suurin.

Tilastokäytännössä muotia käytetään väestön tulojen, kulutuskysynnän, hintarekisteröinnin ja joidenkin yritysten teknisten ja taloudellisten indikaattoreiden analysoinnissa.

Joissakin tapauksissa kiinnostava on tila, ei aritmeettinen keskiarvo. Joskus sitä käytetään aritmeettisen keskiarvon sijasta, esimerkiksi kuvaamaan jakaumasarjojen rakennetta.

Järjestys, jossa tila määritetään, riippuu jakelusarjan tyypistä. Jos muuttujan attribuutti esitetään erillisenä sarjana, tilan määrittämiseen ei tarvita laskelmia. Tällaisessa sarjassa tila on sen ominaisuuden arvo, jolla on korkein taajuus.

Jos attribuutin arvo esitetään intervallivaihtelusarjana yhtäläisin väliajoin, niin tila määritetään laskemalla kaavalla:

missä X Mo on modaalivälin alaraja,

i Mo on modaalivälin arvo,

f Mo , f Mo-1 , f Mo+1 ovat modaalisen, premodaalisen (edellinen) ja postmodaalisen (modaalin jälkeen) taajuudet, vastaavasti.

Mediaani (minä)- tämä on attribuutin arvo, joka on vaihteluvälisarjan keskellä, jossa attribuutin yksittäiset arvot (optiot) on järjestetty nousevaan tai laskevaan järjestykseen (sijoituksen mukaan).

Mediaania tulisi käyttää keskiarvona tapauksissa, joissa ei ole riittävästi luottamusta tutkittavan populaation homogeenisuuteen. Mediaani löytää käyttöä markkinointitoiminnassa. Esimerkiksi hissien, primääriviinitilojen, säilyketehtaiden sijoittelu, joiden etäisyyksien summan raaka-ainetoimittajista tulee olla pienin.

Mediaani, kuten tila, määritellään eri tavoin. Se riippuu jakelusarjan rakenteesta.
Mediaanin määrittäminen diskreetissä vaihtelusarjassa:

1) etsi sen sarjanumero kaavalla

N Me =
2) rakentaa sarja kertyneitä taajuuksia

3) etsi kertynyt taajuus, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin mediaanin sarjanumero

4) annettua kumuloitunutta taajuutta vastaavan muunnelman mediaani.

Jos diskreetin sarjan jäsenten lukumäärä on pariton, niin mediaani on sarjan keskellä ja jakaa tämän sarjan kahteen yhtä suureen osaan sarjan jäsenten lukumäärän mukaan. Mediaanin järjestysluku tässä tapauksessa lasketaan kaavalla:

NMe =(f + 1)2,

missä  f – sarjan jäsenten määrä.

Intervallisarjassa määritetään ensin mediaaniväli. Tätä varten, aivan kuten diskreetissä sarjassa, lasketaan mediaanin järjestysluku. Kertynyt taajuus, joka on yhtä suuri kuin mediaanin luku tai ensimmäinen ylittää sen, vastaa mediaaniväliä intervallivaihtelusarjassa. Merkitään tämä kertynyt taajuus S Me:ksi. Mediaani lasketaan suoraan kaavalla:

,
missä on mediaanivälin alaraja

- mediaanivälin arvo

on mediaania edeltävän aikavälin kumulatiivinen taajuus

— mediaanivälin taajuus

Moodin ja mediaanin graafinen määritelmä
Intervallisarjan moodi ja mediaani voidaan määrittää graafisesti.

Tila määritetään jakauman histogrammista. Tätä varten valitaan korkein suorakulmio, joka tässä tapauksessa on modaalinen. Sitten yhdistämme modaalisen suorakulmion oikean kärjen edellisen suorakulmion oikeaan yläkulmaan. Ja modaalisen suorakulmion vasen kärki on seuraavan suorakulmion vasemman yläkulman kanssa. Lisäksi niiden leikkauspisteestä kohtisuora lasketaan abskissa-akselille. Näiden viivojen leikkauspisteen abskissa on jakautumismoodi (kuva 1). Mediaani lasketaan kumulaatiosta (kuva 2). Sen määrittämiseksi pisteestä kumuloituneiden taajuuksien (taajuuksien) asteikolla, joka vastaa 50 %, vedetään suora viiva, joka on yhdensuuntainen abskissa-akselin kanssa, kunnes se leikkaa kumulaatin. Sitten määritellyn suoran ja kumulaatin leikkauspisteestä kohtisuora lasketaan abskissa-akselille. Leikkauspisteen abskissa on mediaani.

Tilastojen vaihteluindikaattorit.

Tilastollisen analyysin aikana voi syntyä tilanne, jossa keskiarvojen arvot ovat samat ja populaatiot, joiden perusteella ne on laskettu, koostuvat yksiköistä, joiden tunnusarvot eroavat melko jyrkästi toisistaan. Tässä tapauksessa vaihteluindikaattorit lasketaan.

Luettelo: lataukset -> Sotrudniki
lataukset -> N. L. Ivanova M. F. Lukanina
lataukset -> Luento esikouluikäisille ja vanhemmille "Aggressiivisen käytöksen ehkäisy esikouluikäisillä"
lataukset -> Persoonallisuuden psykologinen ammatillinen mukauttaminen
lataukset -> Kemerovon alueen koulutus- ja tiedeosasto Kemerovon alueellinen psykologinen ja valeologinen keskus
lataukset -> Venäjän federaation Kemerovon alueen ministeriön liittovaltion huumevalvontapalvelu
Sotrudniki -> Tšuvashin tasavallan jousi
lataukset -> Psykologisen ja pedagogisen tuen ominaisuudet esikouluikäisten lasten kehitykselle
lataukset -> Mishina M. M. Ajattelun kehitys riippuen osallistumisesta perhe- ja klaanisuhteisiin
Sotrudniki -> Ammattivammaisten opiskelijoiden ammatillisesti merkittävien ominaisuuksien muodostuminen ammatin mukaan

TESTATA

Aiheesta: "Tila. Mediaani. Niiden laskentamenetelmät"

Johdanto

Keskiarvoilla ja niihin liittyvillä vaihteluindikaattoreilla on erittäin tärkeä rooli tilastoissa, mikä johtuu sen tutkimuksen aiheesta. Siksi tämä aihe on yksi kurssin keskeisistä aiheista.

Keskiarvo on hyvin yleinen yleistävä indikaattori tilastoissa. Tämä selittyy sillä, että vain keskiarvon avulla on mahdollista karakterisoida populaatio kvantitatiivisesti vaihtelevan ominaisuuden mukaan. Tilastojen keskiarvo on yleistävä ominaisuus samantyyppisten ilmiöiden joukolle jonkin kvantitatiivisesti vaihtelevan ominaisuuden mukaan. Keskiarvo osoittaa tämän ominaisuuden tason suhteessa väestön yksikköön.

Tutkiessaan yhteiskunnallisia ilmiöitä ja pyrkiessään tunnistamaan niille ominaisia, tyypillisiä piirteitä tietyissä paikka- ja aikaolosuhteissa tilastotieteilijät käyttävät laajasti keskiarvoja. Keskiarvojen avulla voidaan verrata erilaisia populaatioita keskenään erilaisten ominaisuuksien mukaan.

Tilastoissa käytetyt keskiarvot kuuluvat tehokeskiarvojen luokkaan. Tehokeskiarvoista käytetään useimmiten aritmeettista keskiarvoa, harvemmin harmonista keskiarvoa; harmonista keskiarvoa käytetään vain laskettaessa keskimääräisiä dynamiikan nopeuksia ja keskineliötä - vain variaatioindikaattoreita laskettaessa.

Aritmeettinen keskiarvo on osamäärä, jossa vaihtoehtojen summa jaetaan niiden lukumäärällä. Sitä käytetään tapauksissa, joissa muuttujan määritteen volyymi koko populaatiolle muodostuu sen yksittäisten yksiköiden attribuuttiarvojen summana. Aritmeettinen keskiarvo on yleisin keskiarvon tyyppi, koska se vastaa sosiaalisten ilmiöiden luonnetta, jossa vaihtelevien etumerkkien määrä koostumuksessa muodostuu useimmiten juuri määritteen arvojen summana yksittäisissä yksiköissä. väestö.

Määrittävän ominaisuutensa mukaan harmonista keskiarvoa tulee käyttää, kun attribuutin kokonaistilavuus muodostuu muunnelman käänteisarvojen summaksi. Sitä käytetään silloin, kun käytettävissä olevasta materiaalista riippuen painoja ei tarvitse kertoa, vaan jakaa vaihtoehdoiksi tai, mikä on sama, kertoa niiden käänteisarvolla. Harmoninen keskiarvo näissä tapauksissa on attribuutin käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku.

Harmonista keskiarvoa tulee käyttää niissä tapauksissa, joissa painot eivät ole perusjoukon yksiköitä - ominaisuuden kantajia, vaan näiden yksiköiden ja ominaisuuden arvon tuloja.

1. Tilaston ja mediaanin määritelmä

Aritmeettiset ja harmoniset keskiarvot ovat populaation yleistäviä ominaisuuksia yhden tai toisen muuttuvan ominaisuuden mukaan. Muuttujan attribuutin jakauman kuvaavia apuominaisuuksia ovat moodi ja mediaani.

Tilastoissa muoti on tietyssä populaatiossa useimmin esiintyvän ominaisuuden (muunnelman) arvo. Muunnelmasarjassa tämä on suurin taajuus.

Mediaania tilastoissa kutsutaan variantiksi, joka on vaihtelusarjan keskellä. Mediaani jakaa sarjan kahtia, sen molemmilla puolilla (ylös ja alas) on sama määrä väestöyksiköitä.

Mode ja mediaani, toisin kuin eksponentiaaliset keskiarvot, ovat spesifisiä ominaisuuksia, niiden arvo on mikä tahansa tietty muunnelma variaatiosarjassa.

Modea käytetään tapauksissa, joissa on tarpeen karakterisoida ominaisuuden useimmin esiintyvä arvo.

5.5 Tila ja mediaani. Niiden laskeminen diskreeteissä ja intervallivaihtelusarjoissa

Jos on tarpeen selvittää esimerkiksi yrityksen yleisin palkka, markkinahinta, jolla myytiin eniten tavaroita, kuluttajien keskuudessa eniten kysyttyjen kenkien koko jne., näissä tapauksissa turvautua muotiin.

Mediaani on mielenkiintoinen siinä mielessä, että se näyttää muuttujan ominaisuuden arvon määrällisen rajan, jonka saavutti puolet väestön jäsenistä. Olkoon pankin työntekijöiden keskipalkka 650 000 ruplaa. kuukaudessa. Tätä ominaisuutta voidaan täydentää, jos sanomme, että puolet työntekijöistä sai 700 000 ruplan palkkaa. ja korkeampi, ts. Otetaan mediaani. Tila ja mediaani ovat tyypillisiä ominaisuuksia tapauksissa, joissa populaatiot ovat homogeenisia ja suurilukuisia.

Moodin ja mediaanin löytäminen diskreetistä variaatiosarjasta

Moodin ja mediaanin löytäminen variaatiosarjasta, jossa attribuuttiarvot annetaan tietyillä luvuilla, ei ole kovin vaikeaa. Tarkastellaan taulukkoa 1, jossa perheiden jakautuminen lasten lukumäärän mukaan.

Taulukko 1. Perheiden jakautuminen lasten lukumäärän mukaan

Ilmeisesti tässä esimerkissä muoti on perhe, jossa on kaksi lasta, koska tämä vaihtoehtojen arvo vastaa suurinta perheiden määrää. Voi olla jakaumia, joissa kaikki variantit ovat yhtä yleisiä, jolloin ei ole muotia, tai toisin sanoen kaikkien varianttien voidaan sanoa olevan yhtä modaalisia. Muissa tapauksissa ei yksi, vaan kaksi vaihtoehtoa voi olla korkein. Sitten on kaksi tilaa, jakauma on bimodaalinen. Bimodaaliset jakaumat voivat viitata populaation kvalitatiiviseen heterogeenisyyteen tutkittavan ominaisuuden mukaan.

Jos haluat löytää mediaanin diskreetistä variaatiosarjasta, sinun on jaettava taajuuksien summa puoliksi ja lisättävä tulokseen ½. Joten 185 perheen jakaumassa lasten lukumäärällä mediaani on: 185/2 + ½ = 93, ts. 93. vaihtoehto, joka jakaa tilatun rivin kahtia. Mitä 93. vaihtoehdolla tarkoitetaan? Selvittääksesi sinun on kerättävä taajuuksia pienimmistä vaihtoehdoista alkaen. 1. ja 2. vaihtoehdon taajuuksien summa on 40. On selvää, että tässä ei ole 93 vaihtoehtoa. Jos lisäämme 3. vaihtoehdon taajuuden 40:een, saadaan summa, joka on 40 + 75 = 115. Siksi 93. vaihtoehto vastaa muuttujan attribuutin kolmatta arvoa ja mediaani on perhe, jossa on kaksi lasta. .

Mode ja mediaani tässä esimerkissä osuivat yhteen. Jos meillä olisi parillinen taajuuksien summa (esimerkiksi 184), niin yllä olevaa kaavaa soveltamalla saadaan mediaanioptioiden lukumäärä, 184/2 + ½ = 92,5. Koska murto-osia ei ole, tulos osoittaa, että mediaani on 92 ja 93 vaihtoehdon keskellä.

3. Moodin ja mediaanin laskeminen intervallivaihtelusarjassa

Moodin ja mediaanin kuvaava luonne johtuu siitä, että ne eivät kompensoi yksittäisiä poikkeamia. Ne vastaavat aina tiettyä muunnelmaa. Siksi tila ja mediaani eivät vaadi laskelmia niiden löytämiseksi, jos attribuutin kaikki arvot ovat tiedossa. Intervallivaihtelusarjassa laskelmia käytetään kuitenkin moodin ja mediaanin likimääräisen arvon löytämiseksi tietyn aikavälin sisällä.

Väliin suljetun merkin modaaliarvon tietyn arvon laskemiseksi käytetään seuraavaa kaavaa:

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

missä X Mo on modaalivälin minimiraja;

i Mo on modaalivälin arvo;

fMo on modaalivälin taajuus;

f Mo-1 - modaalia edeltävän intervallin taajuus;

f Mo+1 on modaalia seuraavan intervallin taajuus.

Näytämme tilan laskennan taulukon 2 esimerkin avulla.

Taulukko 2. Yrityksen työntekijöiden jakautuminen tuotantostandardien toimeenpanon mukaan

Moodin löytämiseksi määritämme ensin annetun sarjan modaalivälin. Esimerkistä voidaan nähdä, että korkein taajuus vastaa väliä, jossa variantti on alueella 100 - 105. Tämä on modaaliväli. Modaalivälin arvo on 5.

Korvaamalla taulukon 2 numeroarvot yllä olevaan kaavaan, saamme:

M o \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108,8

Tämän kaavan merkitys on seuraava: modaalivälin sen osan arvo, joka on lisättävä sen minimirajaan, määritetään edellisen ja seuraavien intervallien taajuuksien suuruudesta riippuen. Tässä tapauksessa lisäämme 8,8 100:aan, ts. yli puolet intervallista, koska edellisen välin taajuus on pienempi kuin seuraavan intervallin taajuus.

Lasketaan nyt mediaani. Mediaanin löytämiseksi intervallivaihtelusarjasta määritämme ensin välin, jossa se sijaitsee (mediaaniväli). Tällainen aikaväli on sellainen, jonka kumulatiivinen taajuus on yhtä suuri tai suurempi kuin puolet taajuuksien summasta. Kumulatiiviset taajuudet muodostetaan taajuuksien asteittaisella summauksella alkaen intervallista, jolla on pienin piirrearvo. Puolet käytettävissämme olevien taajuuksien summasta on 250 (500:2). Siksi taulukon 3 mukaan mediaaniväli on väli, jonka palkan arvo on alkaen 350 000 ruplaa. jopa 400 000 ruplaa.

Taulukko 3. Mediaanin laskenta intervallivaihtelusarjassa

Ennen tätä väliä kertyneiden taajuuksien summa oli 160. Siksi mediaanin arvon saamiseksi on tarpeen lisätä vielä 90 yksikköä (250 - 160).

Mediaanin arvoa määritettäessä oletetaan, että välin rajoissa olevien yksiköiden arvot jakautuvat tasaisesti. Siksi, jos 115 yksikköä tässä välissä jaetaan tasaisesti 50:n väliin, 90 yksikköä vastaa seuraavaa arvoa:

Muoti tilastoissa

Mediaani (tilastollinen)

Mediaani (tilastollinen), matemaattisissa tilastoissa luku, joka kuvaa otosta (esimerkiksi numerosarja). Jos kaikki näytteen alkiot ovat erilaisia, niin mediaani on otoksen lukumäärä siten, että tarkalleen puolet otoksen alkioista on sitä suurempia ja toinen puolet pienempiä kuin se.

Yleisemmässä tapauksessa mediaani voidaan löytää järjestämällä otoksen elementit nousevaan tai laskevaan järjestykseen ja ottamalla keskielementti. Esimerkiksi näyte (11, 9, 3, 5, 5) muuttuu järjestyksen jälkeen arvoksi (3, 5, 5, 9, 11) ja sen mediaani on luku 5. Jos näytteessä on parillinen määrä alkioita, mediaania ei ehkä voida määrittää yksiselitteisesti: numeerisissa tiedoissa käytetään useimmiten kahden vierekkäisen arvon puolisummaa (eli joukon mediaani (1, 3, 5, 7) on yhtä suuri kuin 4).

Toisin sanoen mediaani tilastoissa on arvo, joka jakaa sarjan puoliksi siten, että sen molemmilla puolilla (ylös tai alas) on sama määrä yksiköitä tietystä populaatiosta. Tämän ominaisuuden vuoksi tällä indikaattorilla on useita muita nimiä: 50. prosenttipiste tai 0,5-kvantiili.

Mediaania käytetään aritmeettisen keskiarvon sijasta, kun järjestetyn sarjan äärimuunnokset (pienin ja suurin) muihin verrattuna osoittautuvat liian suuriksi tai liian pieniksi.

MEDIAN-funktio mittaa keskeistä trendiä, joka on tilastollisen jakauman lukujoukon keskus. Keskitrendin määrittämiseen on kolme yleisintä tapaa:

Keskiarvo- aritmeettinen keskiarvo, joka lasketaan lisäämällä joukko lukuja ja jakamalla saatu summa niiden lukumäärällä.
Esimerkiksi, lukujen 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 keskiarvo on 5, mikä on tulosta jakamalla niiden summa, joka on 30, niiden lukumäärällä, joka on 6.
Mediaani- luku, joka on lukujoukon keskiosa: puolella luvuista on mediaania suurempia arvoja ja puolet luvuista pienempiä.
Esimerkiksi, lukujen 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 mediaani on 4.
Muoti on luku, joka esiintyy useimmin annetussa numerojoukossa.
Esimerkiksi, numeroiden 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 tila on 3.

Mediaani (tilastollinen), matemaattisissa tilastoissa - numero, joka kuvaa otosta (esimerkiksi numerosarja). Jos kaikki näytteen alkiot ovat erilaisia, niin mediaani on otoksen lukumäärä siten, että tarkalleen puolet otoksen alkioista on sitä suurempia ja toinen puolet pienempiä kuin se. Yleisemmässä tapauksessa mediaani voidaan löytää järjestämällä otoksen elementit nousevaan tai laskevaan järjestykseen ja ottamalla keskielementti. Esimerkiksi näyte (11, 9, 3, 5, 5) muuttuu järjestyksen jälkeen arvoksi (3, 5, 5, 9, 11) ja sen mediaani on luku 5. Jos näytteessä on parillinen määrä alkioita, mediaania ei ehkä voida määrittää yksiselitteisesti: numeerisissa tiedoissa käytetään useimmiten kahden vierekkäisen arvon puolisummaa (eli joukon mediaani (1, 3, 5, 7) on yhtä suuri kuin 4).

Mediaania käytetään aritmeettisen keskiarvon sijasta, kun järjestetyn sarjan äärimuunnokset (pienin ja suurin) muihin verrattuna osoittautuvat liian suuriksi tai liian pieniksi.

MEDIAN-funktio mittaa keskeistä trendiä, joka on tilastollisen jakauman lukujoukon keskus. Keskitrendin määrittämiseen on kolme yleisintä tapaa:

Keskiarvo- aritmeettinen keskiarvo, joka lasketaan lisäämällä joukko lukuja ja jakamalla saatu summa niiden lukumäärällä.
Esimerkiksi, lukujen 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 keskiarvo on 5, mikä on tulosta jakamalla niiden summa, joka on 30, niiden lukumäärällä, joka on 6.
Mediaani- luku, joka on lukujoukon keskellä: puolella luvuista on mediaania suurempia arvoja ja puolella luvuista pienempiä arvoja.
Esimerkiksi, lukujen 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 mediaani on 4.
Muoti- numero, joka esiintyy useimmin tietyssä numerojoukossa.
Esimerkiksi, numeroiden 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 tila on 3.

Muoti- tämä on attribuutin (muunnelman) arvo, joka löytyy useimmiten tästä populaatiosta, ts. on korkein taajuus.

Muodilla on suuri käytännön sovellus, ja joissain tapauksissa vain muoti voi luonnehtia sosiaalisia ilmiöitä.

Mediaani on muunnelma, joka on tilatun muunnelmasarjan keskellä.

Harkitse moodin ja mediaanin laskentaa diskreetissä variaatiosarjassa :

Määritä tila ja mediaani.

Muoti Mo = 4 vuotta, koska tämä arvo vastaa suurinta frekvenssiä f = 5.

Nuo. Suurimmalla osalla työntekijöistä on 4 vuoden työkokemus.

Mediaanin laskemiseksi löydämme ensin puolet taajuuksien summasta. Jos taajuuksien summa on pariton luku, lisäämme ensin yhden tähän summaan ja jaamme sen sitten puoliksi:

Mediaani on kahdeksas vaihtoehto.

Minä = 4 vuotta.

Nuo. puolella työntekijöistä on alle neljän vuoden työkokemus, puolella enemmän.

Moodin ja mediaanin laskenta intervallivaihtelusarjassa

Intervallivaihtelusarjan tila lasketaan kaavalla

missä X М0- modaalivälin alkuraja,

hm 0 on modaalivälin arvo,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - modaalivälin taajuus, joka edeltää modaalia ja sitä seuraavaa.

Modaalinen Aikaväliä, jolla on korkein taajuus, kutsutaan.

Esimerkki 1

Ryhmät kokemuksen mukaan	Työntekijöiden määrä, ihmiset	Kertyneet taajuudet

Määritä tila ja mediaani.

Modaalinen intervalli, koska se vastaa suurinta taajuutta f = 35. Sitten:

Hm 0 =6, fm 0 =35

hm 0 =2, fm 0-1 =20

fm 0+1 =11

Johtopäätös: Suurimmalla osalla työntekijöitä on noin 6,7 vuoden kokemus.

Intervallisarjalle Me lasketaan seuraavalla kaavalla:

missä Hm e- mediaalisen välin alaraja,

hm e- mediaalisen välin koko,

- puolet taajuuksien summasta,

fm e on mediaanivälin taajuus,

Sm e-1 on mediaania edeltävän aikavälin kumuloituneiden taajuuksien summa.

Mediaaniväli on sellainen intervalli, jota kumulatiivinen taajuus vastaa, yhtä suuri tai suurempi kuin puolet taajuuksien summasta.

Määritellään esimerkkimme mediaani.

koska 82>50, sitten mediaaniväli .

Hm e =6, fm e =35,

hm e =2, Sm e-1 =47,

Johtopäätös: Puolella työntekijöistä on alle 6,16 vuoden kokemus ja puolella yli 6,16 vuoden kokemus.

Huomautus. Tällä oppitunnilla esittelemme geometrian ongelmia kolmion mediaanin suhteen. Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Melkein varmasti kurssia täydennetään.

Tehtävä. Selvitä kolmion mediaanin pituus sen sivuilla mitattuna

Kolmion sivut ovat 8, 9 ja 13 senttimetriä. Mediaani piirretään kolmion pisimmälle sivulle. Määritä kolmion mediaani sen sivujen mittojen perusteella.

Päätös.

Ongelmalla on kaksi ratkaisutapaa. Ensimmäinen, josta lukion opettajat eivät pidä, mutta on monipuolisin.

Menetelmä 1.

Sovelletaan Stewartin lausetta, jonka mukaan mediaanin neliö on yhtä kuin neljäsosa sivujen kaksinkertaisten neliöiden summasta, josta vähennetään sen sivun neliö, johon mediaani on vedetty.

M c 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4

Vastaavasti

M c 2 \u003d (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
mc2 = 30,25
m c = 5,5 cm

Menetelmä 2.

Toinen ratkaisu, jota opettajat rakastavat koulussa, on kolmion lisärakentaminen suunnikkaaseen ja ratkaisu suunnikkaan diagonaalilauseen kautta.

Laajennamme kolmion sivuja ja mediaania täydentämällä ne suunnikkaaksi. Tässä tapauksessa kolmion ABC mediaani BO on yhtä suuri kuin puolet tuloksena olevan suunnikkaan lävistäjästä, ja kolmion AB, BC kaksi sivua ovat yhtä suuria kuin sen sivut. Kolmion AC kolmas sivu, johon mediaani piirrettiin, on tuloksena olevan suunnikkaan toinen lävistäjä.

Lauseen mukaan suunnikkaan lävistäjien neliöiden summa on kaksi kertaa sen sivujen neliöiden summa.

2(a 2 + b 2) = d 1 2 + d 2 2

Merkitään suunnikkaan diagonaalia, joka muodostuu alkuperäisen kolmion mediaanin jatkumisesta x:nä, saamme:

2(8 2 + 9 2) = 13 2 + x 2
290 = 169 + x2
x2 = 290 - 169
x2 = 121
x = 11

Koska haluttu mediaani on yhtä suuri kuin puolet suunnikkaan lävistäjästä, niin kolmion mediaanin arvo on 11/2 = 5,5 cm

Vastaus: 5,5 cm

Muoti. Mediaani. Kuinka ne lasketaan (s. 1/2)

KATSO LISÄÄ:

Rakenteelliset keskiarvot

Muoti (tilastot)

5.5 Tila ja mediaani. Niiden laskeminen diskreeteissä ja intervallivaihtelusarjoissa

Muoti tilastoissa

Mediaani (tilastollinen)

Tehtävä. Selvitä kolmion mediaanin pituus sen sivuilla mitattuna

Toimittajan valinta