Onko avaruus sattumaa? Dice verkossa Kuinka tehdä nopan putoamisesta enemmän tai vähemmän satunnaista.

Mitkä ovat satunnaisuuden kolme lakia ja miksi ennustamattomuus antaa meille mahdollisuuden tehdä luotettavimpia ennusteita.

Mielemme kaikella voimalla vastustaa sattuman ajatusta. Lajikehityksen aikana olemme kehittäneet kyvyn etsiä syy-seuraus-suhteita kaikessa. Tiesimme jo kauan ennen tieteen syntyä, että purppuranpunainen auringonlasku ennakoi vaarallista myrskyä ja kuumeinen punastuminen vauvan kasvoilla tarkoittaa, että hänen äidillään tulee olemaan vaikea yö. Mielemme yrittää automaattisesti jäsentää vastaanottamamme datan siten, että se auttaa meitä tekemään johtopäätöksiä havainnoistamme ja käyttämään näitä päätelmiä tapahtumien ymmärtämiseen ja ennustamiseen.

Ajatus satunnaisuudesta on niin vaikea hyväksyä, koska se on ristiriidassa sen perusvaiston kanssa, joka saa meidät etsimään rationaalisia malleja ympäröivästä maailmasta. Ja mahdollisuudet vain osoittavat meille, että sellaisia ​​​​malleja ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että sattuma rajoittaa pohjimmiltaan intuitiota, koska se todistaa, että on olemassa prosesseja, joiden kulkua emme voi täysin ennustaa. Tätä käsitystä ei ole helppo hyväksyä, vaikka se onkin olennainen osa maailmankaikkeuden mekanismia. Ymmärtämättä mitä satunnaisuus on, joudumme täysin ennustettavan maailman umpikujaan, jota ei yksinkertaisesti ole olemassa mielikuvituksemme ulkopuolella.

Sanoisin, että vasta kun hallitsemme kolme aforismia - kolme satunnaisuuden lakia - voimme vapauttaa itsemme primitiivisestä ennustettavuuden halustamme ja hyväksyä maailmankaikkeuden sellaisena kuin se on, emme sellaisena kuin haluaisimme sen nähdä.

Satunnaisuutta on olemassa

Käytämme mitä tahansa henkistä mekanismia, emme vain kohdataksemme sattumanvaraisuutta. Puhumme karmasta, tästä kosmisesta taajuuskorjaimesta, joka yhdistää selvästi toisiinsa liittymättömät asiat. Uskomme hyviin ja huonoihin enteisiin, siihen, että "Jumala rakastaa kolminaisuutta", väitämme, että meihin vaikuttavat tähtien sijainti, kuun vaiheet ja planeettojen liike. Jos meillä diagnosoidaan syöpä, yritämme automaattisesti syyttää siitä jotain (tai jotakuta).

Mutta monia tapahtumia ei voida täysin ennustaa tai selittää. Katastrofit tapahtuvat arvaamattomasti, ja sekä hyvät että pahat ihmiset kärsivät, mukaan lukien ne, jotka ovat syntyneet "onnen tähden alla" tai "suotuisan merkin alla". Joskus onnistumme ennustamaan jotain, mutta sattuma voi helposti kumota luotettavimmatkin ennusteet. Älä ihmettele, jos lihava naapurisi, joka on lakkaamatta tupakoiva holtiton pyöräilijä, elää pidempään kuin sinä.

Lisäksi satunnaiset tapahtumat voivat teeskennellä ei-satunnaisia. Jopa vaativimmallakin tiedemiehellä voi olla vaikeuksia erottaa toisistaan ​​todellinen vaikutus ja satunnainen vaihtelu. Sattuma voi muuttaa lumelääkkeet taikalääkkeeksi ja vaarattomat yhdisteet tappavaksi myrkkyksi; ja voi jopa luoda subatomisia hiukkasia tyhjästä.

Joitakin tapahtumia on mahdoton ennustaa

Jos kävelet Las Vegasin kasinolle ja seuraat pelaajien joukkoa pelipöydissä, näet todennäköisesti jonkun, joka luulee olevansa onnekas tänään. Hän voitti useita kertoja peräkkäin, ja hänen aivonsa vakuuttavat hänelle, että hän jatkaa voittoa, joten pelaaja jatkaa vetojen asettamista. Näet myös jonkun, joka juuri hävisi. Häviäjän aivot, kuten voittajan aivot, myös neuvovat häntä jatkamaan peliä: koska olet hävinnyt niin monta kertaa peräkkäin, nyt alkaa luultavasti käymään tuuri. On typerää lähteä nyt ja menettää tämä tilaisuus.

Mutta riippumatta siitä, mitä aivomme kertovat meille, ei ole olemassa mystistä voimaa, joka voisi tarjota meille "onnen putkeen", eikä universaalia oikeutta, joka varmistaisi, että häviäjä alkaa lopulta voittaa. Universumi on täysin välinpitämätön sen suhteen, voitatko vai häviätkö; hänelle kaikki nopanheitot ovat samoja.

Huolimatta siitä, kuinka paljon ponnistelet tarkkaillaksesi kuinka noppaa putosivat jälleen, ja vaikka kuinka tarkasti tarkastelisit pelaajia, jotka uskovat onnistuneensa ratsastamaan onneaan, et saa mitään tietoa seuraavasta heitosta. Jokaisen heiton tulos on täysin riippumaton aiempien heittojen historiasta. Siksi kaikki odotukset saada etua katsomalla peliä on tuomittu epäonnistumaan. Sellaiset tapahtumat - kaikesta riippumattomat ja täysin satunnaiset - eivät sovellu mihinkään yrityksiin löytää malleja, koska näitä malleja ei yksinkertaisesti ole olemassa.

Satunnaisuus asettaa esteen ihmisen kekseliäisyydelle, koska se osoittaa, että kaikki logiikkamme, kaikki tieteemme ja järkeilykykymme eivät pysty täysin ennustamaan maailmankaikkeuden käyttäytymistä. Mitä tahansa menetelmiä käytät, mitä teoriaa keksit, mitä logiikkaa käytätkin ennustaaksesi nopanheiton lopputuloksen, häviät viisi kertaa kuudesta. On aina.

Satunnaisten tapahtumien kompleksi on ennustettavissa, vaikka yksittäiset tapahtumat eivät olisikaan

Satunnaisuus on pelottavaa, se rajoittaa hienostuneimpienkin teorioiden luotettavuutta ja piilottaa meiltä tietyt luonnon elementit riippumatta siitä, kuinka sitkeästi yritämme tunkeutua niiden olemukseen. Siitä huolimatta ei voida väittää, että satunnaisuus on synonyymi tuntemattomalle. Näin ei ole ollenkaan.

Satunnaisuus noudattaa omia sääntöjään, ja nämä säännöt tekevät satunnaisesta prosessista ymmärrettävän ja ennustettavan.

Suurten lukujen laki sanoo, että vaikka yksittäiset satunnaiset tapahtumat ovat täysin arvaamattomia, riittävän suuri näyte näistä tapahtumista voi olla melko ennustettavissa - ja mitä suurempi näyte, sitä tarkempi ennuste. Toinen tehokas matemaattinen työkalu, keskusrajalauseet, osoittaa myös, että riittävän suuren määrän satunnaismuuttujia summalla on jakauma, joka on lähellä normaalia. Näillä työkaluilla voimme ennustaa tapahtumia melko tarkasti pitkällä aikavälillä riippumatta siitä, kuinka kaoottisia, outoja ja satunnaisia ​​ne ovat lyhyellä aikavälillä.

Sattuman säännöt ovat niin voimakkaita, että ne muodostivat perustan järkyttävimmille ja muuttumattomimmille fysiikan laeille. Vaikka kaasusäiliössä olevat atomit liikkuvat kaoottisesti, niiden yleinen käyttäytyminen kuvataan yksinkertaisella yhtälöjoukolla. Jopa termodynamiikan lait lähtevät suuren määrän satunnaisten tapahtumien ennustettavuudesta; nämä lait ovat horjumattomia juuri siksi, että satunnaisuus on niin ehdoton.

Paradoksaalista kyllä, satunnaisten tapahtumien ennustamattomuus antaa meille mahdollisuuden tehdä luotettavimpia ennusteitamme.

Kirjoitti suunnittelija Tyler Sigman Gamasutrasta. Kutsun sitä hellästi "örkin sierainten hiukset" -artikkeliksi, mutta se tekee melko hyvää työtä pelien todennäköisyyksien perusasioissa.

Tämän viikon aihe

Tähän päivään asti melkein kaikki, mistä puhuimme, on ollut determinististä, ja viime viikolla tarkastelimme tarkasti transitiivista mekaniikkaa ja selvitimme sen niin yksityiskohtaisesti kuin voin selittää sen. Mutta toistaiseksi emme ole kiinnittäneet huomiota monien pelien valtavaan osa-alueeseen, nimittäin ei-deterministisiin aspekteihin, toisin sanoen satunnaisuuteen. Satunnaisuuden luonteen ymmärtäminen on pelisuunnittelijoille erittäin tärkeää, koska luomme järjestelmiä, jotka vaikuttavat pelaajan kokemuksiin tietyssä pelissä, joten meidän on tiedettävä, miten nämä järjestelmät toimivat. Jos järjestelmässä on satunnaisuutta, sinun on ymmärrettävä luonto tämä satunnaisuus ja kuinka muuttaa sitä saadaksemme tarvitsemamme tulokset.

Dice

Aloitetaan jostain yksinkertaisesta: heitetään noppaa. Kun useimmat ihmiset ajattelevat noppaa, he ajattelevat kuusisivuista noppaa, joka tunnetaan nimellä d6. Mutta useimmat pelaajat ovat nähneet monia muita noppaa: tetraedri (d4), oktaedri (d8), kaksitoista (d12), kaksikymmentä (d20) ... ja jos todellinen nörtti, sinulla saattaa olla 30- tai 100-sivuisia luita jossain. Jos et tunne tätä terminologiaa, "d" tarkoittaa noppaa ja sen jälkeinen numero, kuinka monta kasvoa sillä on. Jos edessä"D" tarkoittaa numeroa, se tarkoittaa määrä noppaa heitettäessä. Esimerkiksi Monopolyssa heitetään 2d6.

Joten tässä tapauksessa ilmaus "noppaa" on tavanomainen nimitys. On monia muita satunnaislukugeneraattoreita, jotka eivät ole muovipalan muotoisia, mutta suorittavat saman toiminnon generoivat satunnaisluvun 1:stä n:ään. Tavallista kolikkoa voidaan pitää myös d2-dihedralina. Näin kaksi seitsensivuista noppaa: toinen näytti noppalta ja toinen enemmän kuin seitsensivuinen puukynä. Tetraedinen dreidel (tunnetaan myös nimellä titotum) on analoginen tetraedriselle luulle. Pelikenttä pyörivällä nuolella "Chutes & Ladders" -pelissä, jossa tulos voi olla 1-6, vastaa kuusikulmainen noppi. Tietokoneen satunnaislukugeneraattori voi luoda minkä tahansa luvun väliltä 1-19, jos suunnittelija kysyy tällaisen komennon, vaikka tietokoneessa ei ole 19-sivuista noppaa (yleensä puhun yksityiskohtaisemmin numeroiden saamisen todennäköisyydestä tietokoneella osoitteessa Seuraava viikko). Vaikka nämä tuotteet näyttävät kaikki erilaisilta, ne ovat itse asiassa samoja: sinulla on yhtäläiset mahdollisuudet saada yksi useista tuloksista.

Noppalla on mielenkiintoisia ominaisuuksia, jotka meidän on tiedettävä. Ensinnäkin, minkä tahansa pinnan putoamisen todennäköisyys on sama (oletan, että heittät oikeaa noppaa, et epäsäännöllistä geometrista muotoa). Jos siis haluat tietää tarkoittaa heittää (tunnetaan myös niiden keskuudessa, jotka pitävät todennäköisyysaiheesta "matemaattisena odotuksena"), summaa kaikkien reunojen arvot ja jaa tämä summa määrä kasvot. Keskimääräinen heitto tavanomaiselle hex-noppaalle on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, jakaa reunojen lukumäärällä (6), jolloin saadaan keskiarvo 21/6 = 3,5. Tämä on erikoistapaus, koska oletamme, että kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Entä jos sinulla on erityisiä noppaa? Näin esimerkiksi pelin, jossa on kuusikulmainen noppa, jonka reunoilla on erikoistarroja: 1, 1, 1, 2, 2, 3, joten se käyttäytyy kuin outo kolmionmuotoinen noppa, jolla on paremmat mahdollisuudet saada numero 1 kuin 2, ja 2 kuin 3. Mikä on tämän nostan keskimääräinen heittoarvo? Joten 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, jaettuna 6:lla, on 5/3 eli noin 1,66. Joten jos sinulla on tällainen erityinen noppa ja pelaajat heittävät kolme noppaa ja laskevat sitten yhteen tulokset, tiedät, että heidän likimääräinen kokonaissumma on noin 5, ja voit tasapainottaa pelin tämän oletuksen perusteella.

Noppa ja itsenäisyys

Kuten sanoin, lähdemme olettamuksesta, että jokainen kasvot putoavat yhtä todennäköisesti. Ei ole väliä kuinka monta noppaa heittää. Jokainen nopan heitto aivan sama, tämä tarkoittaa, että edelliset heitot eivät vaikuta myöhempien heittojen tuloksiin. Riittävällä kokeella sinun täytyy ilmoitus Lukujen "sarja", kuten enimmäkseen suurempien tai pienempien arvojen putoaminen tai muut ominaisuudet, ja puhumme siitä myöhemmin, mutta se ei tarkoita, että nopat ovat "kuumia" tai "kylmiä". Jos heität tavallisella kuusisivuisella noppaa ja numero 6 tulee esiin kaksi kertaa peräkkäin, todennäköisyys, että seuraava heitto johtaa 6:een, on myös 1/6. Todennäköisyyttä ei lisää se tosiasia, että kuutio "lämmitetään". Todennäköisyys ei pienene, koska numero 6 on pudonnut jo kaksi kertaa peräkkäin, mikä tarkoittaa, että nyt putoaa toinen kasvot. (Tietenkin, jos heittää noppaa kaksikymmentä kertaa ja joka kerta kun numero 6 tulee esiin, todennäköisyys, että kahdeskymmenesensimmäinen kerta saa numeron 6, on melko korkea... koska ehkä se tarkoittaa, että sinulla on väärä noppaa!) jos sinulla on oikeat noppaa, todennäköisyys putoaa jokaisesta kasvosta on sama riippumatta muiden heittojen tuloksista. Voit myös kuvitella, että joka kerta kun vaihdamme nopan, joten jos numero 6 tulee esiin kahdesti peräkkäin, poista "kuuma" noppa pelistä ja korvaa se uudella kuusisivuisella noppalla. Pyydän anteeksi, jos joku teistä jo tiesi tästä, mutta minun piti selventää tätä ennen kuin jatkan.

Kuinka saada noppaa putoamaan enemmän tai vähemmän satunnaisesti

Puhutaanpa siitä, kuinka saada erilaisia ​​tuloksia eri nopilla. Jos heittää noppaa vain kerran tai useita kertoja, peli tuntuu satunnaisemmalta, jos nopalla on enemmän reunoja. Mitä enemmän noppaa heitetään tai mitä enemmän noppaa heitetään, sitä enemmän tulokset ovat lähempänä keskiarvoa. Jos esimerkiksi heittät 1d6 + 4 (eli tavallista heksanoppia kerran ja lisäät tulokseen 4), keskiarvo on 5-10. Jos heittää 5d2, myös keskiarvo on 5-10. Mutta kun heittämällä kuusisivuista noppaa, todennäköisyys saada numerot 5, 8 tai 10 on sama. Heiton 5d2 tuloksena ovat pääasiassa numerot 7 ja 8, harvemmin muita arvoja. Sama sarja, jopa sama keskiarvo (7,5 molemmissa tapauksissa), mutta satunnaisuuden luonne on erilainen.

Odota hetki. Enkö vain sanonut, että nopat eivät kuumene tai jäähdy? Nyt sanon, että jos heittää paljon noppaa, ovatko heitot lähellä keskiarvoa? Miksi?

Anna minun selittää. Jos heittää yksi noppaa, todennäköisyys putoaa jokaisesta kasvosta on sama. Tämä tarkoittaa, että jos heität monta noppaa, jokainen kasvot putoaa suunnilleen yhtä monta kertaa ajan kuluessa. Mitä enemmän noppaa heitetään, sitä enemmän kumulatiivinen tulos tulee lähemmäksi keskiarvoa. Tämä ei johdu siitä, että pudonnut numero "tekee" toisen numeron, joka ei ole vielä pudonnut. Mutta koska pienellä 6:n (tai 20:n tai jonkun muun luvun) sarjalla ei loppujen lopuksi ole suurta merkitystä, jos noppaa heitetään vielä kymmenentuhatta kertaa ja enimmäkseen keskiarvo putoaa... ehkä nyt sinulla on muutama numero. korkealla arvolla, mutta ehkä myöhemmin muutama pieni arvo ja ajan myötä ne lähestyvät keskiarvoa. Ei siksi, että aiemmat heitot vaikuttavat noppiin (vakavasti, noppa on tehty muovi-, hänellä ei ole aivoja ajatella: "oi, sitä ei ole heitetty pitkään aikaan"), vaan koska näin yleensä tapahtuu suurella määrällä nopanheittoja. Pieni sarja toistuvia lukuja on melkein näkymätön suuressa määrässä tuloksia.

Näin ollen laskelmien tekeminen yhdelle satunnaiselle nopanheitolle on varsin yksinkertaista, ainakin keskimääräisen heiton arvon laskemisen kannalta. On myös tapoja laskea "kuinka satunnaista" jokin on, tapa sanoa, että 1d6 + 4 heittämisen tulokset ovat "satunnaisempia" kuin 5d2, 5d2 tulosten jakautuminen on tasaisempi, yleensä tämä laske keskihajonta, ja mitä enemmän arvoa, sitä satunnaisempia tulokset ovat, mutta tämä vaatii enemmän laskelmia kuin haluaisin antaa tänään (selitän tämän aiheen myöhemmin). Ainoa asia, jonka pyydän sinua tietämään, on se, että yleissääntönä on, että mitä vähemmän noppaa heitetään, sitä suurempi on satunnaisuus. Ja vielä yksi lisäys tähän aiheeseen: mitä enemmän kasvoja nopalla on, sitä enemmän satunnaisuutta, koska sinulla on enemmän vaihtoehtoja.

Kuinka laskea todennäköisyys laskemalla

Saatat ihmetellä: kuinka voimme laskea tarkan todennäköisyyden saada tietty tulos? Tämä on itse asiassa varsin tärkeää monille peleille, koska jos heittää noppaa, on todennäköisesti optimaalinen lopputulos aluksi. Vastaus on: meidän on laskettava kaksi arvoa. Ensin lasketaan nopanheiton tulosten enimmäismäärä (riippumatta siitä, mikä on lopputulos). Laske sitten myönteisten tulosten määrä. Jakamalla toisen arvon ensimmäisellä saat haluamasi todennäköisyyden. Saat prosenttiosuuden kertomalla tuloksesi 100:lla.

Esimerkkejä:

Tässä on hyvin yksinkertainen esimerkki. Haluat 4:n tai suuremman nousevan esiin ja heittävän heksanoppaa kerran. Tulosten enimmäismäärä on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Näistä 3 tulosta (4, 5, 6) ovat suotuisia. Joten laskeaksesi todennäköisyys, jaa 3 6:lla ja saat 0,5 tai 50%.

Tässä on esimerkki, joka on hieman monimutkaisempi. Haluat heittää parillisen luvun 2d6 heitolla. Tulosten enimmäismäärä on 36 (6 kutakin noppaa kohden, ja koska yksi noppa ei vaikuta toiseen, kerromme 6 tulosta kuudella, jotta saadaan 36). Tämäntyyppisten kysymysten vaikeus on, että se on helppo laskea kahdesti. Esimerkiksi 2d6-heiton tulokselle 3 on itse asiassa kaksi vaihtoehtoa: 1 + 2 ja 2 + 1. Ne näyttävät samalta, mutta ero on siinä, mikä numero näkyy ensimmäisessä ja mikä toisessa. Voit myös kuvitella, että nopat ovat erivärisiä, joten esimerkiksi tässä tapauksessa yksi noppa on punainen ja toinen sininen. Laske sitten parillisen luvun vaihtoehtojen määrä: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Osoittautuu, että suotuisalle lopputulokselle on 18 vaihtoehtoa 36:sta, kuten edellisessä tapauksessa, todennäköisyys on 0,5 tai 50%. Ehkä odottamaton, mutta melko tarkka.

Monte Carlon simulaatio

Entä jos sinulla on liian monta noppaa laskettavaksi? Haluat esimerkiksi tietää, mikä on todennäköisyys, että 15 tai enemmän heitetään 8d6-rullalla. Kahdeksalla nolla on MONTA erilaista yksittäistä tulosta ja niiden manuaalinen laskeminen kestää hyvin kauan. Vaikka löydämmekin hyvän ratkaisun erilaisten nopanheittojen ryhmittelyyn, laskeminen kestää silti hyvin kauan. Tässä tapauksessa helpoin tapa laskea todennäköisyys ei ole laskea sitä käsin, vaan käyttää tietokonetta. On kaksi tapaa laskea todennäköisyydet tietokoneessa.

Ensimmäistä menetelmää voidaan käyttää tarkan vastauksen saamiseksi, mutta se vaatii hieman ohjelmointia tai komentosarjaa. Periaatteessa tietokone tarkastelee jokaista mahdollisuutta, arvioi ja laskee iteraatioiden kokonaismäärän ja haluttua tulosta vastaavien iteraatioiden lukumäärän ja antaa sitten vastaukset. Koodisi saattaa näyttää tältä:

int wincount = 0, kokonaismäärä = 0;

for (int i = 1; i<=6; i++) {

for (int j = 1; j<=6; j++) {

for (int k = 1; k<=6; k++) {

… // lisää silmukoita tähän

jos (i + j + k +…> = 15) (

float todennäköisyys = wincount / totalcount;

Jos et ole perehtynyt ohjelmointiin ja tarvitset vain epätarkan, mutta likimääräisen vastauksen, voit simuloida tätä tilannetta Excelissä, jossa heittelet 8d6 useita tuhansia kertoja ja saat vastauksen. Voit lähettää 1d6:n Excelissä käyttämällä seuraavaa kaavaa:

LATTIA (RAND () * 6) +1

On nimi tilanteelle, jossa et tiedä vastausta ja yrität vain monta kertaa - Monte Carlon simulaatio ja tämä on loistava ratkaisu, kun yrität laskea todennäköisyyttä ja se on liian vaikeaa. Hienoa on, että tässä tapauksessa meidän ei tarvitse ymmärtää, miten matemaattinen laskelma toimii, ja tiedämme, että vastaus on "melko hyvä", koska kuten jo tiedämme, mitä enemmän heittoja on, sitä enemmän tulos lähestyy keskiarvoa.

Kuinka yhdistää riippumattomia testejä

Jos kysyt useista toistuvista mutta itsenäisistä haasteista, yhden heiton tulos ei vaikuta muiden heittojen lopputulokseen. Tälle tilanteelle on toinenkin yksinkertaisempi selitys.

Kuinka erottaa riippuvainen ja riippumaton? Periaatteessa, jos voit erottaa jokaisen nopan heiton (tai heittosarjan) erilliseksi tapahtumaksi, se on riippumaton. Jos esimerkiksi haluamme, että yhteensä 15 heittää 8d6:lla, tätä tapausta ei voida jakaa useisiin itsenäisiin nopanheitoihin. Koska tulokseen lasket kaikkien noppien arvojen summan, yhdelle noppalle pudonnut tulos vaikuttaa tuloksiin, joiden pitäisi osua toiseen noppiin, koska vain lisäämällä kaikki arvot saat halutun tuloksen .

Tässä on esimerkki itsenäisistä heitoista: pelaat noppaa ja heität kuusioppia useita kertoja. Pysyäksesi pelissä, ensimmäisen heittosi on oltava 2 tai suurempi. Toiselle rullalle 3 tai enemmän. Kolmas vaatii 4 tai enemmän, neljäs vaatii 5 tai enemmän ja viides vaatii 6. Jos kaikki viisi heittoa onnistuvat, voitat. Tässä tapauksessa kaikki rullat ovat itsenäisiä. Kyllä, jos yksi heitto epäonnistuu, se vaikuttaa koko pelin lopputulokseen, mutta yksi heitto ei vaikuta toiseen heittoon. Jos esimerkiksi toinen nopanheitto onnistuu erittäin hyvin, tämä ei millään tavalla vaikuta todennäköisyyteen, että seuraavat heitot onnistuvat yhtä hyvin. Siksi voimme tarkastella kunkin nopanheiton todennäköisyyttä erikseen.

Jos sinulla on erilliset, riippumattomat todennäköisyydet ja haluat tietää mikä on sen todennäköisyys kaikki tapahtumia tulee, määrität jokaisen yksittäisen todennäköisyyden ja kerrot ne. Toinen tapa: jos käytät konjunktiota "ja" kuvaamaan useita ehtoja (esimerkiksi mikä on satunnaisen tapahtuman todennäköisyys ja jokin muu riippumaton satunnainen tapahtuma?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja kerro ne.

Sillä ei ole väliä mitä ajattelet ei koskaanÄlä laske yhteen riippumattomia todennäköisyyksiä. Tämä on yleinen virhe. Ymmärtääksesi miksi tämä on väärin, kuvittele tilanne, jossa heität 50/50-kolikkoa ja haluat tietää, mikä on todennäköisyys, että se osuu päähän kahdesti peräkkäin. Todennäköisyys, että jokainen puoli osuu, on 50 %, joten jos lisäät nämä kaksi todennäköisyyttä, sinulla on 100 % mahdollisuus osua päähän, mutta tiedämme, että tämä ei ole totta, koska se voi saada häntää kahdesti peräkkäin. Jos kerrot nämä kaksi todennäköisyyttä sen sijaan, saat 50% * 50% = 25%, mikä on oikea vastaus laskettaessa todennäköisyyttä osua päätä kahdesti peräkkäin.

Esimerkki

Palataan peliin kuusikulmaisella noppalla, jossa sinun täytyy ensin saada numero, joka on suurempi kuin 2, sitten suurempi kuin 3 ja niin edelleen. enintään 6. Mitkä ovat todennäköisyys, että tietyssä 5 heiton sarjassa kaikki tulokset ovat suotuisia?

Kuten edellä todettiin, nämä ovat riippumattomia testejä, joten laskemme kunkin yksittäisen heiton todennäköisyydet ja kerromme ne. Todennäköisyys, että ensimmäisen heiton lopputulos on myönteinen, on 5/6. Toinen on 4/6. Kolmas on 3/6. Neljäs - 2/6, viides - 1/6. Kertomalla kaikki nämä tulokset, saamme noin 1,5% ... Näin ollen voittaminen tässä pelissä on melko harvinaista, joten jos lisäät tämän elementin peliisi, tarvitset melko suuren jättipotin.

Kielteisyys

Tässä on toinen hyödyllinen vinkki: joskus on vaikeaa laskea tapahtuman todennäköisyyttä, mutta on helpompi määrittää tapahtuman todennäköisyys. eivät tule.

Oletetaan esimerkiksi, että meillä on toinen peli ja sinä heittät 6d6 ja jos ainakin kerran 6 heitetään, sinä voitat. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Tässä tapauksessa on monia vaihtoehtoja laskea. On mahdollista, että yksi numero 6 jää pois, ts. yhdestä noppaa pudotetaan numero 6 ja toisesta numerot 1:stä 5:een, ja on 6 vaihtoehtoa, kumpi nopan numero on 6. Sitten voit saada numeron 6 kahdella nopalla tai kolmella tai jopa useammalla, ja joka kerta meidän on suoritettava erillinen laskenta, joten on helppo hämmentyä tästä.

Mutta on toinenkin tapa ratkaista tämä ongelma, katsotaanpa sitä toiselta puolelta. Sinä menettää jos ei yhdellä numero 6 ei putoa nopasta. Tässä tapauksessa meillä on kuusi itsenäistä testiä, joista jokaisen todennäköisyys on 5/6 (noppaan voi pudottaa mikä tahansa muu luku kuin 6). Kerro ne ja saat noin 33%. Näin ollen häviämisen todennäköisyys on 1:3.

Siksi voiton todennäköisyys on 67 % (tai 2-3).

Tästä esimerkistä on selvää jos otat huomioon todennäköisyyden, että tapahtumaa ei tapahdu, sinun on vähennettävä tulos 100%. Jos voiton todennäköisyys on 67%, niin todennäköisyys menettää — 100% miinus 67 % tai 33 %. Ja päinvastoin. Jos yhden todennäköisyyden laskeminen on vaikeaa, mutta päinvastoin on helppo laskea, laske päinvastoin ja vähennä sitten 100%.

Yhdistämällä ehdot yhdelle riippumattomalle testille

Sanoin juuri edellä, että todennäköisyyksiä ei pidä koskaan laskea yhteen riippumattomissa testeissä. Onko tapauksia, joissa voi summaa todennäköisyydet? - Kyllä, yhdessä erikoistilanteessa.

Jos haluat laskea todennäköisyyden saman kokeen useille toisistaan ​​riippumattomille suotuisille tuloksille, lisää kunkin suotuisan tuloksen todennäköisyydet. Esimerkiksi todennäköisyys saada numerot 4, 5 tai 6 kohdassa 1d6 on summa todennäköisyys saada numero 4, todennäköisyys saada numero 5 ja todennäköisyys saada numero 6. Voit myös kuvitella tämän tilanteen seuraavasti: jos käytät konjunktiota "tai" todennäköisyyttä koskevassa kysymyksessä (esim. , mikä on todennäköisyys tai yhden satunnaisen tapahtuman muu tulos?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja laske ne yhteen.

Huomaa, että kun lasket yhteen kaikki mahdolliset tulokset peleissä kaikkien todennäköisyyksien summan on oltava 100 %. Jos summa ei ole 100%, laskelmasi on tehty väärin. Tämä on hyvä tapa tarkistaa laskelmasi uudelleen. Jos esimerkiksi analysoit todennäköisyyttä saada kaikki kädet pokerissa, jos lasket yhteen kaikki tulokset, sinun pitäisi saada tasan 100 % (tai ainakin arvo, joka on melko lähellä 100 %, jos käytät laskinta, saatat saada pieni pyöristysvirhe. mutta jos lasket tarkat luvut käsin, sen pitäisi onnistua.) Jos summa ei täsmää, et todennäköisesti ole ottanut huomioon joitain yhdistelmiä tai laskenut joidenkin yhdistelmien todennäköisyydet väärin, ja sitten sinun on tarkistettava laskelmasi.

Epätasaiset todennäköisyydet

Tähän asti oletimme, että nopan jokainen pinta putoaa samalla taajuudella, koska näin nopat toimivat. Mutta joskus kohtaat tilanteen, jossa erilaiset tulokset ovat mahdollisia ja ne ovat eri mahdollisuudet putoaa. Esimerkiksi yhdessä "Nuclear War" -korttipelin lisäosista on nuolella varustettu pelikenttä, josta raketin laukaisun tulos riippuu: periaatteessa se tekee normaalia vahinkoa, vahvempaa tai heikompaa, mutta joskus vahinko kasvaa kaksi-kolme kertaa tai raketti räjähtää laukaisualustalla ja vahingoittaa sinua tai tapahtuu jokin muu tapahtuma. Toisin kuin nuolella varustetussa pelikentässä "Chutes & Ladders"- tai "A Game of Life" -pelissä, "Ydinsodan" pelikentän tulokset ovat epätasaisia. Jotkut pelikentän osat ovat suurempia ja nuoli pysähtyy niihin useammin, kun taas toiset osat ovat hyvin pieniä ja nuoli pysähtyy niihin harvoin.

Joten ensi silmäyksellä luu näyttää tältä: 1, 1, 1, 2, 2, 3; olemme jo puhuneet siitä, se on jotain kuin painotettu 1d3, joten meidän on jaettava kaikki nämä osat yhtä suuriin osiin, löydettävä pienin mittayksikkö, joka on kaiken kerrannainen, ja esitettävä sitten tilanne muodossa d522 (tai jokin muu ), jossa monet nopan kasvot edustavat samaa tilannetta, mutta useammilla tuloksilla. Ja tämä on yksi tavoista ratkaista ongelma, ja se on teknisesti toteutettavissa, mutta on helpompi tapa.

Palataan takaisin tavalliseen hex-noppaamme. Sanoimme, että normaalin muotin keskimääräisen rullausarvon laskemiseksi sinun on summattava kaikkien reunojen arvot ja jaettava ne reunojen lukumäärällä, mutta kuinka tarkalleen selvitys on käynnissä? Voit laittaa sen toisin. Kuusikulmaisella nolla todennäköisyys, että jokainen kasvo putoaa, on täsmälleen 1/6. Nyt kerrotaan Exodus kaikki kasvot päällä todennäköisyys tämä tulos (tässä tapauksessa 1/6 jokaiselle kasvolle), sitten teemme yhteenvedon saaduista arvoista. Joten yhteenvetona (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , saamme saman tuloksen (3.5) kuin yllä olevassa laskelmassa. Itse asiassa laskemme tämän joka kerta: kerromme jokaisen tuloksen kyseisen tuloksen todennäköisyydellä.

Voimmeko tehdä saman laskelman ampujalle ydinsodan pelikentällä? Tietenkin me voimme. Ja jos laskemme yhteen kaikki löydetyt tulokset, saamme keskiarvon. Meidän tarvitsee vain laskea kunkin tuloksen todennäköisyys taulun nuolelle ja kertoa tuloksella.

Toinen esimerkki

Tämä keskiarvon laskentamenetelmä kertomalla jokainen tulos sen yksilöllisellä todennäköisyydellä sopii myös, jos tulokset ovat yhtä todennäköisiä, mutta niillä on erilaisia ​​etuja, esimerkiksi jos heittää noppaa ja voittaa enemmän joillakin reunoilla kuin toisilla. Harkitse esimerkiksi kasinopeliä: lyöt ja heität 2d6. Jos esiin tulee kolme pienimmän arvon omaavaa numeroa (2, 3, 4) tai neljä numeroa, joilla on suurin arvo (9, 10, 11, 12), voitat panoksesi verran. Pienimmän ja suurimman arvon omaavat luvut ovat erityisiä: jos 2 tai 12 tulee esiin, voitat kaksi kertaa niin paljon kuin korkotasi. Jos jokin muu numero putoaa (5, 6, 7, 8), menetät vetosi. Se on melko yksinkertainen peli. Mutta mikä on todennäköisyys voittaa?

Aloitetaan laskemalla kuinka monta kertaa voit voittaa:

• Maksimitulosten määrä 2d6-rullalla on 36. Kuinka monta onnistunutta tulosta on?
• On 1 vaihtoehto kahdelle ja 1 vaihtoehto kahdelletoista.
• On 2 vaihtoehtoa, mitä tulee ulos kolme ja yksitoista.
• Vaihtoehtoja on kolme neljälle ja kolme vaihtoehtoa kymmenelle.
• Valittavana on 4 vaihtoehtoa yhdeksään.
• Kun kaikki vaihtoehdot summataan, saamme myönteisten tulosten lukumäärän 16/36.

Joten normaaleissa olosuhteissa voitat 16 kertaa 36 mahdollisesta ... voiton todennäköisyys on hieman alle 50%.

Mutta kahdessa tapauksessa näistä 16:sta voitat kaksi kertaa niin paljon, ts. se on kuin voittaisi kahdesti! Jos pelaat tätä peliä 36 kertaa, panostat 1 dollarilla joka kerta ja jokainen kaikista mahdollisista tuloksista tulee esiin kerran, voitat 18 dollaria (itse asiassa voitat 16 kertaa, mutta kaksi kertaa niistä lasketaan kahdeksi voitoksi). Jos pelaat 36 kertaa ja voitat 18 dollaria, eikö se tarkoita, että se on yhtäläinen mahdollisuus?

Älä kiirehdi. Jos lasket kuinka monta kertaa voit hävitä, saat 20, ei 18. Jos pelaat 36 kertaa ja panostat 1 dollarilla joka kerta, voitat yhteensä 18 dollaria kaikista suotuisista tuloksista... mutta häviät yhteensä 20 dollaria ja kaikki 20 epäsuotuisaa lopputulosta! Seurauksena on, että olet hieman jäljessä: häviät keskimäärin 2 dollaria netto jokaista 36 peliä kohden (voit myös sanoa, että menetät keskimäärin 1/18 dollaria päivässä). Nyt näet kuinka helppoa tässä tapauksessa on tehdä virhe ja laskea todennäköisyys väärin!

Permutaatio

Tähän asti olemme olettaneet, että numeroiden järjestyksellä noppaa heitettäessä ei ole väliä. Rulla 2+4 on sama kuin tela 4+2. Useimmissa tapauksissa laskemme suotuisten tulosten määrän manuaalisesti, mutta joskus tämä menetelmä on epäkäytännöllinen ja on parempi käyttää matemaattista kaavaa.

Esimerkki tästä tilanteesta on pelistä "Farkle". Jokaisella uudella kierroksella heitetään 6d6. Jos olet onnekas ja kaikki mahdolliset tulokset ovat 1-2-3-4-5-6 ("suora"), saat suuren bonuksen. Mikä on todennäköisyys, että näin tapahtuu? Tässä tapauksessa tälle yhdistelmälle on monia vaihtoehtoja!

Ratkaisu näyttää tältä: yhden nopan (ja vain yhden) tulee olla numero 1! Kuinka monta varianttia luvusta 1 putoamisesta yhdellä kuopalla? Kuusi, koska noppaa on 6 ja jokaisella niistä voi olla numero 1. Ota yksi noppa ja aseta se sivuun. Nyt yhdellä jäljellä olevista nopista pitäisi olla numero 2. Tähän on viisi vaihtoehtoa. Ota toinen noppa ja aseta se sivuun. Sitten seuraa, että neljästä jäljellä olevista nopista voi pudota numero 3, kolmesta jäljellä olevista nopista numero 4, kahdesta - numero 5, ja tuloksena sinulla on yksi noppa, jolla numero 6 pitäisi pudota (jälkimmäisessä tapauksessa noppi on yksi eikä vaihtoehtoja ole). Laskeaksemme suotuisten tulosten lukumäärän yhdistelmälle "suora" kerromme kaikki erilaiset itsenäiset vaihtoehdot: 6x5x4x3x2x1 = 720 - näyttää siltä, ​​​​että on olemassa melko paljon vaihtoehtoja, mitä tämä yhdistelmä saa aikaan.

Laskeaksemme suoran saamisen todennäköisyyden, meidän on jaettava 720 kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärällä 6d6 heitolle. Mikä on kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä? Kullakin nollalla voi olla 6 pintaa, joten kerromme 6x6x6x6x6x6 = 46656 (luku on paljon suurempi!). Jaamme 720/46656 ja saamme todennäköisyydeksi noin 1,5 %. Jos suunnittelet tätä peliä, sinun olisi hyödyllistä tietää, jotta voit luoda sopivan pisteytysjärjestelmän. Nyt ymmärrämme, miksi pelissä "Farkle" saat niin suuren bonuksen, jos saat yhdistelmän "suora", koska tämä tilanne on melko harvinainen!

Tulos on mielenkiintoinen myös toisesta syystä. Esimerkki osoittaa, kuinka harvoin lyhyessä ajassa putoaa todennäköisyyttä vastaava tulos. Tietysti, jos heittäisimme useita tuhansia noppaa, noppien eri kasvot putosivat melko usein. Mutta kun heitämme vain kuusi noppaa, melkein ei koskaan ei tapahdu, että kaikki kasvot putoavat! Tästä eteenpäin käy selväksi, että on typerää odottaa, että nyt putoaisi toinen kasvo, joka ei ole vielä pudonnut pois "koska emme ole saaneet numeroa 6 pitkään aikaan, eli se putoaa nyt" .

Kuuntele, satunnaislukugeneraattorisi on rikki...

Tämä johtaa meidät yleiseen väärinkäsitykseen todennäköisyydestä: olettamukseen, että kaikki tulokset tulevat samalla taajuudella. lyhyeksi ajaksi mikä ei itse asiassa pidä paikkaansa. Jos heitämme noppaa useita kertoja, kunkin reunan taajuus ei ole sama.

Jos olet joskus työskennellyt online-pelissä jollakin satunnaislukugeneraattorilla, olet todennäköisesti törmännyt tilanteeseen, jossa pelaaja kirjoittaa tekniselle tuelle, että satunnaislukugeneraattorisi on rikki eikä näytä satunnaislukuja. ja hän tuli tähän johtopäätökseen, koska hän oli juuri tappanut 4 hirviötä peräkkäin ja saanut 4 täsmälleen samat palkinnot, ja näiden palkkioiden pitäisi pudota vain 10 %:ssa tapauksista, joten tämä Melkein ikinä ei pitäisi tapahtua, mikä tarkoittaa sitä ilmeisesti että satunnaislukugeneraattorisi on rikki.

Teet matemaattista laskelmaa. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 on yhtä suuri kuin 1:10 000, mikä tarkoittaa, että tämä on melko harvinainen tapaus. Ja sitä pelaaja yrittää kertoa sinulle. Onko tässä tapauksessa ongelma?

Kaikki riippuu olosuhteista. Kuinka monta pelaajaa palvelimellasi on nyt? Oletetaan, että sinulla on melko suosittu peli ja 100 000 ihmistä pelaa sitä päivittäin. Kuinka monta pelaajaa tappaa neljä hirviötä peräkkäin? Kaikki on mahdollista, useita kertoja päivässä, mutta oletetaan, että puolet heistä vain vaihtavat eri esineitä huutokaupoissa tai kirjoittavat uudelleen RP-palvelimille tai tekevät muita pelitoimintoja, joten itse asiassa vain puolet metsästää hirviöitä. Mikä on todennäköisyys, että jollekulle Pudotetaanko sama palkinto? Tässä tilanteessa voit odottaa, että sama palkinto voi pudota ainakin useita kertoja päivässä!

Muuten, niin näyttää siltä, ​​että vähintään muutaman viikon välein joku voittaa lotossa, vaikka se joku ei koskaan et sinä tai ystäväsi. Jos tarpeeksi ihmisiä pelaa joka viikko, mahdollisuudet ovat ainakin olemassa yksi onneksi...mutta jos sinä lotossa, et todennäköisesti voitat työpaikan Infinity Wardissa.

Kartat ja riippuvuus

Olemme keskustelleet itsenäisistä tapahtumista, kuten nopan heittämisestä, ja nyt tiedämme monia tehokkaita työkaluja satunnaisuuden analysointiin monissa peleissä. Todennäköisyyksien laskeminen on hieman hankalampaa, kun on kyse korttien ottamisesta pakasta, koska jokainen ottamamme kortti vaikuttaa pakan jäljellä oleviin korteihin. Jos sinulla on tavallinen 52 kortin pakka ja vedät esimerkiksi 10 sydäntä ja haluat tietää todennäköisyyden, että seuraava kortti on samaa maata, todennäköisyys on muuttunut, koska olet jo poistanut yhden kortin sydänmaisesta kannelta. Jokainen poistamasi kortti muuttaa pakassa seuraavan kortin todennäköisyyttä. Koska tässä tapauksessa edellinen tapahtuma vaikuttaa seuraavaan, kutsumme tätä todennäköisyydeksi riippuvainen.

Huomaa, että kun sanon kortit, tarkoitan minkä tahansa pelimekaniikka, jossa on joukko esineitä ja poistat yhden esineistä vaihtamatta sitä, "korttipakka" on tässä tapauksessa analoginen rahapussin kanssa, josta otat yhden rahakkeen pois etkä vaihda sitä , tai uurna, josta otat värillisiä palloja (itse asiassa en ole koskaan nähnyt peliä, jossa olisi ollut uurna, josta saisi värillisiä palloja, mutta näyttää siltä, ​​että todennäköisyysteorian opettajat pitävät tästä esimerkistä jostain syystä parempana) .

Riippuvuusominaisuudet

Haluaisin selventää, että kun on kyse korteista, oletan, että nostat kortit, katsot niitä ja poistat ne pakasta. Jokainen näistä toimista on tärkeä ominaisuus.

Jos minulla olisi esimerkiksi kuuden kortin pakka, joissa on numerot 1-6, ja sekoitin ne ja otin yhden kortin ja sekoitin sitten kaikki kuusi korttia uudelleen, se olisi kuin heittäisin kuusisivuista noppaa; yksi tulos ei vaikuta seuraavaan. Vain jos nostan kortteja enkä vaihda niitä, tulos siitä, että nostan kortin numerolla 1, lisää todennäköisyyttä, että seuraavan kerran kun nostan kortin numerolla 6 (todennäköisyys kasvaa, kunnes lopulta otan ulos tämän kortin tai kunnes sekoitan kortit).

Se, että me Katso korteissa on myös tärkeää. Jos otan kortin pakasta enkä katso sitä, minulla ei ole lisätietoa, eikä todennäköisyys muutu. Tämä saattaa kuulostaa ristiriitaiselta. Kuinka yksinkertainen kortin kääntäminen voi maagisesti muuttaa todennäköisyyttä? Mutta tämä on mahdollista, koska voit laskea vain tuntemattomien kohteiden todennäköisyyden sen perusteella, että sinä sinä tiedät... Jos esimerkiksi sekoitat tavallisen korttipakan, paljastat 51 korttia, joista yksikään ei ole mailojen kuningatar, tiedät 100% varmuudella, että jäljellä oleva kortti on mailojen kuningatar. Jos sekoitat tavallisen korttipakan ja nostat 51 korttia, huolimatta niillä todennäköisyys, että jäljellä oleva kortti on mailojen kuningatar, on silti 1/52. Kun avaat jokaisen kortin, saat lisätietoja.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskeminen noudattaa samoja periaatteita kuin riippumattomille tapahtumille, paitsi että se on hieman monimutkaisempi, koska todennäköisyydet muuttuvat, kun avaat kortit. Siksi sinun on kerrottava useita eri arvoja saman arvon kertomisen sijaan. Itse asiassa tämä tarkoittaa, että meidän on yhdistettävä kaikki tekemämme laskelmat yhdeksi yhdistelmäksi.

Esimerkki

Sekoitat tavallisen 52 kortin pakan ja vedät kaksi korttia. Mikä on todennäköisyys, että otat parin? On olemassa useita tapoja laskea tämä todennäköisyys, mutta ehkä yksinkertaisin on seuraava: Mikä on todennäköisyys, että kun otat yhden kortin, et pysty nostamaan paria? Tämä todennäköisyys on nolla, joten sillä ei ole väliä, minkä ensimmäisen kortin vedät, kunhan se vastaa toista. Ei ole väliä kumman kortin otamme ensimmäisenä, meillä on silti mahdollisuus ottaa pari, joten todennäköisyys, että voimme ottaa parin ensimmäisen kortin ottamisen jälkeen, on 100%.

Mikä on todennäköisyys, että toinen kortti vastaa ensimmäistä? Pakassa on 51 korttia jäljellä ja niistä 3 osuu yhteen ensimmäisen kortin kanssa (itse asiassa niitä olisi 4/52, mutta olet jo poistanut yhden vastaavista korteista, kun otit ensimmäisen kortin!), Joten todennäköisyys on 1/17. (Joten seuraavan kerran, kun pöydän toisella puolella oleva kaveri pelaa Texas Hold'emia, sanoo: "Hienoa, vielä yksi pari? Olen onnekas tänä iltana", tiedät, että on melko suuri mahdollisuus, että hän bluffaa.)

Entä jos lisäämme kaksi jokeria ja nyt meillä on 54 korttia pakassa ja haluamme tietää, mikä on todennäköisyys saada pari? Ensimmäinen kortti voi olla jokeri, ja sitten pakassa on vain yksi kortti, ei kolme, jotka sopivat. Kuinka voit selvittää todennäköisyyden tässä tapauksessa? Jaamme todennäköisyydet ja kerromme jokaisen mahdollisuuden.

Ensimmäinen korttimme voi olla jokeri tai jokin muu kortti. Jokerin nostamisen todennäköisyys on 2/54, minkä tahansa muun kortin nostamisen todennäköisyys on 52/54.

Jos ensimmäinen kortti on jokeri (2/54), todennäköisyys, että toinen kortti osuu yhteen ensimmäisen kanssa, on 1/53. Kerro arvot (voimme kertoa ne, koska nämä ovat erillisiä tapahtumia ja haluamme molemmat tapahtumia) ja saamme 1/1431 - alle prosentin kymmenesosan.

Jos vedät ensin jonkin toisen kortin (52/54), todennäköisyys sattua toisen kortin kanssa on 3/53. Kerro arvot ja saat 78/1431 (hieman yli 5,5%).

Mitä teemme näillä kahdella tuloksella? Ne eivät leikkaa toisiaan ja haluamme tietää todennäköisyyden jokaista niistä, joten teemme yhteenvedon arvoista! Lopputuloksena saamme 79/1431 (vielä noin 5,5%).

Jos halusimme olla varmoja vastauksen oikeellisuudesta, voisimme laskea kaikkien muiden mahdollisten tulosten todennäköisyyden: jokerin poistaminen ja toisen kortin yhteensopimattomuus tai jonkun muun kortin vetäminen ja toisen kortin yhteensopimattomuus ja yhteenveto. Voiton todennäköisyydellä saamme täsmälleen 100 %. En anna tässä matemaattista laskelmaa, mutta voit yrittää laskea sen tarkistaaksesi.

Monty Hallin paradoksi

Tämä vie meidät melko tunnettuun paradoksiin, joka usein hämmentää monia - Monty Hall -paradoksiin. Paradoksi on nimetty Let's Make a Deal -isäntä Monty Hallin mukaan. Jos et ole koskaan nähnyt tätä ohjelmaa, se oli The Price Is Right -televisio-ohjelman vastakohta. Elokuvan ”The Price Is Right” juontaja (entinen Bob Barker, nyt… Drew Carey? Joka tapauksessa…) on ystäväsi. Hän haluaa joten voit voittaa rahaa tai mahtavia palkintoja. Hän yrittää antaa sinulle kaikki mahdollisuudet voittaa, jos voit arvata, kuinka paljon sponsorien ostamat tavarat todella maksavat.

Monty Hall käyttäytyi eri tavalla. Hän oli kuin Bob Barkerin paha kaksos. Hänen tavoitteenaan oli saada sinut näyttämään idiootilta kansallisessa televisiossa. Jos olit ohjelmassa, hän oli vastustajasi, pelasit häntä vastaan ​​ja voittomahdollisuudet olivat hänen puolellaan. Saatan olla liian ankara, mutta kun mahdollisuus tulla valituksi kilpailijaksi näyttää olevan suorassa suhteessa siihen, onko sinulla yllään naurettavaa pukua, tulen tällaiseen johtopäätökseen.

Mutta yksi esityksen kuuluisimmista meemeistä oli tämä: edessäsi oli kolme ovea, ja niitä kutsuttiin Ovi numero 1, Ovi numero 2 ja Ovi numero 3. Voit valita minkä tahansa oven ... ilmaiseksi! Yhden oven takana oli mahtava palkinto, kuten uusi henkilöauto. Muiden ovien takana ei ollut palkintoja, näillä kahdella ovella ei ollut arvoa. Heidän tarkoituksenaan oli nöyryyttää sinua ja siksi heidän takanaan ei ollut mitään, vaan niiden takana oli jotain mikä näytti typerältä, esimerkiksi takana oli vuohi tai valtava hammastahnaputki tai jotain... jotain, mitä juuri oli ei uusi henkilöauto.

Valitsit yhden ovista ja Monty aikoi avata sen, jotta tietäisit, voititko vai et... mutta odota, ennen kuin tiedämme, katsotaanpa yhtä niistä nuo ovet sinua ei valittu... Koska Monty tietää minkä oven takana palkinto sijaitsee, ja palkintoja on vain yksi ja kaksi ovet, joita et ole valinnut, vaikka mitä, hän voi aina avata oven, josta ei ole palkintoa. "Valitsetko oven numero 3? Avataan sitten ovi 1 osoittaaksemme, ettei sen takana ollut palkintoa.” Ja nyt, anteliaisuudesta, hän tarjoaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa valitun oven numero 3 oven 2 takana olevaan. Juuri tällä hetkellä herää kysymys todennäköisyydestä: lisääkö vai vähentääkö mahdollisuus valita eri ovi voiton todennäköisyys vai pysyykö se ennallaan? Mitä mieltä sinä olet?

Oikea vastaus: mahdollisuus valita erilainen ovi lisääntyy voiton todennäköisyys 1/3 - 2/3. Tämä on epäloogista. Jos et ole aiemmin törmännyt tähän paradoksiin, luultavasti ajattelet: odota, avaamalla yhden oven muutimme maagisesti todennäköisyyttä? Mutta kuten olemme jo nähneet esimerkissä yllä olevien karttojen kanssa, tämä on tarkalleen mitä tapahtuu, kun saamme lisätietoja. On selvää, että todennäköisyys voittaa ensimmäistä kertaa valitsemallasi kerralla on 1/3, ja oletan, että kaikki ovat samaa mieltä. Kun yksi ovi avautuu, se ei muuta ensimmäisen valinnan voiton todennäköisyyttä ollenkaan, silti todennäköisyys on 1/3, mutta tämä tarkoittaa, että todennäköisyys toinen oikea ovi on nyt 2/3.

Katsotaanpa tätä esimerkkiä eri näkökulmasta. Valitset oven. Voiton todennäköisyys on 1/3. Suosittelen vaihtamaan kaksi muita ovia, joita Monty Hall itse asiassa ehdottaa. Tietenkin hän avaa yhden ovista osoittaakseen, ettei sen takana ole palkintoa, mutta hän aina voi tehdä sen, joten se ei oikeastaan ​​muuta mitään. Tietenkin haluat valita toisen oven!

Jos et ole aivan selvä tässä kysymyksessä ja tarvitset vakuuttavamman selityksen, napsauta tätä linkkiä navigoidaksesi upeaan pieneen Flash-sovellukseen, jonka avulla voit tutkia tätä paradoksia yksityiskohtaisemmin. Voit pelata alkaen noin 10 ovesta ja siirtyä sitten vähitellen kolmen oven peliin; Siellä on myös simulaattori, jossa voit valita minkä tahansa määrän ovia 3–50 ja pelata tai suorittaa useita tuhansia simulaatioita ja nähdä kuinka monta kertaa voitit, jos pelasit.

Korkeamman matematiikan opettajan ja pelitasapainon asiantuntijan Maxim Soldatovin huomautus, jota Schreiberillä ei tietenkään ollut, mutta jota ilman tätä maagista muutosta on melko vaikea ymmärtää:

Valitse ovi, yksi kolmesta, "voiton" todennäköisyys on 1/3. Nyt sinulla on 2 strategiaa: muuta valintaa väärän oven avaamisen jälkeen vai et. Jos et muuta valintaasi, todennäköisyys pysyy 1/3, koska valinta on vasta ensimmäisessä vaiheessa ja sinun on arvattava heti, jos muutat, voit voittaa, jos valitset väärän oven ensin (sitten he avaavat toisen väärän, pysyy totta, muutat mielesi ja otat sen)
Todennäköisyys valita väärä ovi alussa on 2/3, joten käy ilmi, että muuttamalla päätöstäsi teet voiton todennäköisyyden 2 kertaa suuremmaksi

Ja taas Monty Hallin paradoksista

Mitä tulee itse esitykseen, Monty Hall tiesi tämän, koska vaikka hänen kilpailijansa eivät olisi hyviä matematiikassa, hän ymmärtää sen hyvin. Tässä on mitä hän teki muuttaakseen peliä hieman. Jos valitsit oven, jonka takana palkinto sijaitsi, jonka todennäköisyys on 1/3, se aina tarjosi sinulle mahdollisuuden valita erilainen ovi. Loppujen lopuksi valitsit henkilöauton ja vaihdat sen vuohiksi ja näytät aika tyhmältä, mitä hän juuri tarvitsee, koska hän on tavallaan ilkeä kaveri. Mutta jos valitset oven jonka takana palkintoa ei tule, vain puolivälissä Tällaisissa tapauksissa hän tarjoaa sinulle toisen oven, ja muissa tapauksissa hän yksinkertaisesti näyttää sinulle uuden vuohisi, ja sinä poistut lavalta. Analysoidaan tämä uusi peli, jossa Monty Hall voi valitse antaa sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi tai ei.

Oletetaan, että hän noudattaa tätä algoritmia: jos valitset oven, jolla on palkinto, hän tarjoaa sinulle aina mahdollisuuden valita toinen ovi, muuten todennäköisyys, että hän tarjoaa sinulle toisen oven tai antaa vuohen, on 50/50. Mikä on todennäköisyys, että voitat?

Yhdessä kolmesta vaihtoehdosta valitset heti oven, jonka takana palkinto sijaitsee, ja isäntä kutsuu sinua valitsemaan toisen oven.

Jäljellä olevista kahdesta vaihtoehdosta kolmesta (valitset aluksi oven ilman palkintoa) puolessa tapauksista isäntä tarjoaa sinulle toisen oven, ja toisessa puolessa tapauksista ei. Puolet 2/3:sta on 1/3, ts. yhdessä tapauksessa kolmesta saat vuohen, yhdessä tapauksessa kolmesta valitset väärän oven ja isäntä tarjoaa sinulle toisen ja yhdessä tapauksessa kolmesta valitset oikea ovi, ja hän pyytää sinua valitsemaan toisen oven.

Jos johtaja tarjoutuu valitsemaan toisen oven, tiedämme jo, että se yksi tapaus kolmesta, kun hän antaa meille vuohen ja me lähdemme, ei tapahtunut. Tämä on hyödyllistä tietoa, koska se tarkoittaa, että voittomahdollisuutemme ovat muuttuneet. Kahdessa tapauksessa kolmesta, kun meillä on mahdollisuus valita, yhdessä tapauksessa se tarkoittaa, että arvasimme oikein ja toisessa, että arvasimme väärin, joten jos meille tarjottiin mahdollisuutta valita ollenkaan, tämä tarkoittaa, että voittomme todennäköisyys on 50/50, eikä sitä ole matemaattinen etuja, pysy valintasi mukana tai valitse toinen ovi.

Kuten pokeri, se on nyt psykologinen peli, ei matemaattinen. Monty tarjosi sinulle valinnanvaraa, koska hän luulee olevasi typerys, joka ei tiedä, että toisen oven valinta on "oikea" päätös, ja että pidät itsepintaisesti kiinni valinnastasi, koska psykologisesti tilanne, kun valitsit auton, mutta sitten menetti sen, vaikeampaa? Vai luuleeko hän, että olet älykäs ja valitset toisen oven ja hän tarjoaa sinulle tämän mahdollisuuden, koska hän tietää, että arvasit alun perin oikein ja jäät koukkuun ja loukkuun? Tai ehkä hän on epätyypillisen ystävällinen itselleen ja pakottaa sinut tekemään jotain henkilökohtaisista eduistasi, koska hän ei ole antanut autoa pitkään aikaan, ja hänen tuottajansa kertovat hänelle, että yleisö alkaa kyllästyä ja olisi parempi, jos hän antaisi iso palkinto pian, jotta arvosanat eivät putoa?

Siten Monty onnistuu tarjoamaan vaihtoehtoa (joskus) ja kokonaisvoiton todennäköisyys pysyy 1/3:ssa. Muista, että on 1/3 todennäköisyys, että häviät heti. Todennäköisyys, että saat sen heti, on 1/3, ja 50 %:ssa näistä tapauksista voitat (1/3 x 1/2 = 1/6). Todennäköisyys, että arvaat ensin väärin, mutta sitten sinulla on mahdollisuus valita toinen ovi, on 1/3, ja 50 %:ssa näistä tapauksista voitat (myös 1/6). Kun lisäät kaksi itsenäistä voittomahdollisuutta, saat todennäköisyydellä 1/3, joten sillä ei ole väliä, pysytkö valinnassasi vai valitsetko toisen oven, kokonaistodennäköisyys voittaa koko pelin ajan on 1/3. .. todennäköisyys ei kasva suuremmiksi kuin tilanteessa, jossa arvaatte oven ja esittäjä näyttää mitä tämän oven takana on, ilman mahdollisuutta valita toinen ovi! Toisen oven valintamahdollisuuden tarjoamisen tarkoitus ei siis ole muuttaa todennäköisyyttä, vaan tehdä päätöksentekoprosessista hauskempaa television katselun kannalta.

Muuten, tämä on yksi niistä syistä, miksi pokeri voi olla niin kiinnostavaa: useimmissa formaateissa kierrosten välillä, kun panoksia tehdään (esimerkiksi floppi, turn ja river Texas Hold'emissa), kortit paljastuvat vähitellen, ja jos pelin alussa sinulla on yksi voiton todennäköisyys, niin jokaisen panoskierroksen jälkeen, kun useampia kortteja on auki, tämä todennäköisyys muuttuu.

Pojan ja tytön paradoksi

Tämä johtaa meidät toiseen hyvin tunnettuun paradoksiin, joka yleensä hämmentää kaikkia - pojan ja tytön paradoksiin. Ainoa asia, josta kirjoitan tänään ja joka ei liity suoraan peleihin (vaikka oletan, että tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että minun pitäisi kannustaa sinua luomaan sopiva pelimekaniikka). Tämä on enemmän arvoitus, mutta mielenkiintoinen, ja sen ratkaisemiseksi sinun on ymmärrettävä ehdollinen todennäköisyys, josta puhuimme edellä.

Haaste: Minulla on ystävä, jolla on kaksi lasta, ainakin yksi lapsi on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että toinen lapsi liian tyttö? Oletetaan, että missä tahansa perheessä mahdollisuus saada tyttö tai poika on 50/50 ja tämä pätee jokaiseen lapseen (itse asiassa joillakin miehillä on enemmän siittiöitä X- tai Y-kromosomilla, joten todennäköisyys muuttuu hieman, jos tiedämme, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys synnyttää tyttö on hieman suurempi, lisäksi on muita ehtoja, esimerkiksi hermafroditismi, mutta tämän ongelman ratkaisemiseksi emme ota tätä huomioon ja oletamme, että lapsen syntymä on itsenäinen tapahtuma ja todennäköisyys saada poika tai tyttö on sama).

Koska puhumme 1/2 mahdollisuudesta, odotamme intuitiivisesti, että vastaus on todennäköisesti 1/2 tai 1/4 tai jokin muu pyöreä luku, joka on kahden kerrannainen. Mutta vastaus on: 1/3 ... Odota miksi?

Vaikeus tässä tapauksessa on se, että meillä oleva tieto vähentää mahdollisuuksien määrää. Oletetaan, että vanhemmat ovat Sesame Streetin faneja ja riippumatta siitä, onko syntynyt poika vai tyttö, he antoivat lapsilleen nimen A ja B. Normaaliolosuhteissa on neljä yhtä todennäköistä mahdollisuutta: A ja B ovat kaksi poikaa, A ja B ovat kaksi tyttöä, A on poika ja B on tyttö, A on tyttö ja B on poika. Koska tiedämme sen ainakin yksi lapsi on tyttö, voimme eliminoida sen mahdollisuuden, että A ja B ovat kaksi poikaa, joten meille jää kolme (vielä yhtä todennäköistä) mahdollisuutta. Jos kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä ja niitä on kolme, tiedämme, että jokaisen todennäköisyys on 1/3. Vain yhdessä näistä kolmesta vaihtoehdosta molemmat lapset ovat kaksi tyttöä, joten vastaus on 1/3.

Ja taas pojan ja tytön paradoksista

Ongelman ratkaisusta tulee entistä epäloogisempi. Kuvittele, jos kerron sinulle, että ystävälläni on kaksi lasta ja yksi lapsi - tyttö, joka syntyi tiistaina... Oletetaan, että normaaleissa olosuhteissa todennäköisyys saada vauva jonakin viikon seitsemästä päivästä on sama. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö? Saatat ajatella, että vastaus olisi silti 1/3; mitä tiistai tarkoittaa? Mutta tässäkin tapauksessa intuitio pettää meidät. Vastaus: 13/27 mikä ei vain ole intuitiivinen, se on hyvin outoa. Mikä hätänä tässä tapauksessa?

Itse asiassa tiistai muuttaa todennäköisyyttä, koska emme tiedä mikä lapsi syntyi tiistaina tai mahdollisesti kaksi lasta syntyivät tiistaina. Tässä tapauksessa käytämme samaa logiikkaa kuin yllä, laskemme kaikki mahdolliset yhdistelmät, kun vähintään yksi lapsi on tiistaina syntynyt tyttö. Kuten edellisessä esimerkissä, oletetaan, että lasten nimet ovat A ja B, yhdistelmät ovat seuraavat:

• A - tyttö, joka syntyi tiistaina, B - poika (tässä tilanteessa on 7 mahdollisuutta, yksi jokaiselle viikonpäivälle, jolloin poika voisi syntyä).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - poika (myös 7 mahdollisuutta).
• A - tyttö, joka syntyi tiistaina, B - tyttö, joka syntyi tiistaina toinen viikonpäivä (6 vaihtoehtoa).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - tyttö, joka syntyi ei-tiistaina (myös 6 todennäköisyyttä).
• A ja B - kaksi tyttöä, jotka syntyivät tiistaina (1 mahdollisuus, sinun on kiinnitettävä tähän huomiota, jotta et laske kahdesti).

Laskemme yhteen ja saamme 27 erilaista yhtä mahdollista yhdistelmää lasten syntymästä ja päivistä, joissa on vähintään yksi mahdollisuus saada tyttö tiistaina. Näistä 13 on mahdollisuuksia, kun syntyy kaksi tyttöä. Se näyttää myös täysin epäloogiselta, ja näyttää siltä, ​​​​että tämä tehtävä luotiin vain päänsärkyä varten. Jos olet edelleen ymmälläsi tästä esimerkistä, peliteoreetikon Jesper Yulella on verkkosivustollaan hyvä selitys asiasta.

Jos työskentelet parhaillaan pelin parissa...

Jos suunnittelemassasi pelissä on satunnaisuutta, tämä on loistava tilaisuus analysoida sitä. Valitse jokin elementti, jonka haluat analysoida. Kysy ensin itseltäsi, minkälaisen todennäköisyyden odotat tietylle elementille, mikä sen pitäisi mielestäsi olla pelin yhteydessä. Jos esimerkiksi luot roolipeliä ja mietit, minkä todennäköisyyden pitäisi olla, että pelaaja voi voittaa hirviön taistelussa, kysy itseltäsi, mikä voittoprosentti vaikuttaa sinusta oikealta. Yleensä konsoliroolipelejä pelatessaan pelaajat turhautuvat häviäessään, joten on parasta, etteivät he häviä usein... ehkä 10 % ajasta tai vähemmän? Jos olet roolipelisuunnittelija, tiedät luultavasti paremmin kuin minä, mutta sinulla on oltava peruskäsitys siitä, minkä todennäköisyyden pitäisi olla.

Kysy sitten itseltäsi, onko tämä jotain riippuvainen(kuten kortit) tai riippumaton(kuten noppaa). Tarkista kaikki mahdolliset tulokset ja niiden todennäköisyydet. Varmista, että kaikkien todennäköisyyksien summa on 100 %. Lopuksi tietysti vertaa saamiasi tuloksia odotuksiin. Heitätkö noppaa tai piirrätkö kortteja haluamallasi tavalla tai huomaat, että sinun on säädettävä arvoja. Ja tietysti jos sinä löytö Mitä on säädettävä, voit käyttää samoja laskelmia määrittääksesi kuinka paljon jotain on säädettävä!

Kotitehtävät

Tämän viikon "kotitehtäväsi" auttaa sinua hiomaan todennäköisiä taitojasi. Tässä on kaksi noppapeliä ja korttipeli, joita analysoit todennäköisyyksien avulla, sekä outo pelimekaniikka, jonka olen kerran kehittänyt ja jolla voit testata Monte Carlo -menetelmää.

Peli numero 1 - Dragon bones

Tämä on noppapeli, jonka keksimme kerran kollegoiden kanssa (kiitos Jeb Havensille ja Jesse Kingille!), ja joka vie tietoisesti ihmisten aivot todennäköisyyksillään. Tämä on yksinkertainen kasinopeli nimeltä Dragon Bones ja se on noppakilpailu pelaajan ja talon välillä. Sinulle annetaan tavallinen 1d6 noppa. Pelin tavoitteena on heittää taloa korkeampi numero. Tomille annetaan ei-standardi 1d6 - sama kuin sinun, mutta yhden kasvojen sijasta - lohikäärmeen kuva (siis kasinolla on lohikäärme-2-3-4-5-6 kuutio). Jos talo saa lohikäärmeen, se voittaa automaattisesti ja sinä häviät. Jos saatte molemmat saman numeron, se on tasapeli ja heitetään noppaa uudelleen. Se, joka heittää suurimman numeron, voittaa.

Kaikki ei tietenkään mene täysin pelaajan hyväksi, koska kasinolla on etu Dragon's Edgen muodossa. Mutta onko se todella niin? Sinun täytyy selvittää se. Mutta ennen sitä tarkista intuitiosi. Oletetaan, että voitot ovat 2:1. Joten jos voitat, pidät panoksesi ja saat tuplauksen. Jos esimerkiksi lyöt vetoa 1 dollarilla ja voitat, pidät tämän dollarin ja saat 2 lisää päälle yhteensä 3 dollarilla. Jos häviät, häviät vain vedon. pelaisitko? Joten, tunnetko intuitiivisesti, että todennäköisyys on suurempi kuin 2:1, vai luuletko silti, että se on pienempi? Toisin sanoen, keskimäärin 3 pelissä, odotatko voittavasi useammin kuin kerran, harvemmin vai kerran?

Kun intuitiosi on selvitetty, käytä matematiikkaa. Molemmille nopalle on vain 36 mahdollista paikkaa, joten voit laskea ne kaikki ilman ongelmia. Jos olet epävarma tästä 2-1-lauseesta, mieti tätä: Oletetaan, että pelasit pelin 36 kertaa (panosta 1 dollarilla joka kerta). Jokaisesta voitosta saat 2 dollaria, jokaisesta häviämisestä 1 dollarin, eikä tasapeli muuta mitään. Laske kaikki todennäköiset voittosi ja tappiosi ja päätä, häviätkö jonkin verran dollareita vai voittoa. Kysy sitten itseltäsi, kuinka oikea intuitiosi oli. Ja sitten - ymmärrä, mikä konna olen.

Ja kyllä, jos olet jo miettinyt tätä kysymystä - hämmennän sinua tarkoituksella vääristämällä noppapelien todellista mekaniikkaa, mutta olen varma, että voit voittaa tämän esteen pelkällä ajattelulla. Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Laitan kaikki vastaukset tänne ensi viikolla.

Peli # 2 - Onnenheitto

Se on noppapeli nimeltä Luck Roll (myös Birdcage, koska joskus noppaa ei heitellä, vaan se asetetaan suureen lankahäkkiin, joka muistuttaa bingohäkkiä). Se on yksinkertainen peli, joka tiivistyy johonkin tämän kaltaiseen: lyö esimerkiksi 1 dollari luvulle välillä 1-6. Sitten heitetään 3d6. Jokaisesta numeroosi osuvasta nopasta saat 1 dollarin (ja pidät alkuperäisen panoksesi). Jos numerosi ei näy missään noppaa, kasino saa dollarin, ja sinä - ei mitään. Joten jos lyöt vetoa yhdestä ja saat 1 reunoista kolme kertaa, saat 3 dollaria.

Intuitiivisesti tällä pelissä näyttää olevan yhtäläiset mahdollisuudet. Jokainen noppa on yksittäinen 1:6 mahdollisuus voittaa, joten kaikkien kolmen summalla voittomahdollisuutesi on 3-6. Muista kuitenkin tietysti, että olet muodostamassa kolmea erillistä noppaa ja voit lisätä vain, jos puhumme saman nopan erillisistä voittoyhdistelmistä. Jotain sinun täytyy moninkertaistaa.

Kun olet selvittänyt kaikki mahdolliset tulokset (se on luultavasti helpompi tehdä Excelissä kuin käsin, koska niitä on 216), peli näyttää silti ensi silmäyksellä oudolta ja tasaiselta. Mutta todellisuudessa kasinolla on yhä enemmän mahdollisuuksia voittaa – kuinka paljon enemmän? Erityisesti, kuinka paljon rahaa keskimäärin odotat menettäväsi jokaisella pelikierroksella? Sinun tarvitsee vain laskea yhteen kaikkien 216 tuloksen voitot ja tappiot ja jakaa sitten 216:lla, minkä pitäisi olla melko yksinkertaista... Mutta kuten näet, on olemassa muutamia sudenkuoppia, joihin voit pudota, minkä vuoksi minä Kerron sinulle: jos sinusta tuntuu, että voittomahdollisuudet ovat tasaiset tässä pelissä, olet ymmärtänyt kaiken väärin.

Peli nro 3 - 5 Card Stud Poker

Jos olet lämmennyt aikaisemmissa peleissä, katsotaanpa, mitä tiedämme ehdollisesta todennäköisyydestä tässä korttipelissä. Kuvittelemme erityisesti pokeria 52 kortin pakalla. Kuvitellaan myös 5 Card Studia, jossa jokainen pelaaja saa vain 5 korttia. Et voi hylätä korttia, et voi nostaa uutta, ei yhteistä pakkaa - saat vain 5 korttia.

Kuninkaallinen väri on 10-J-Q-K-A yhdessä kädessä, niitä on yhteensä neljä, joten on neljä mahdollista tapaa saada Royal Flush. Laske todennäköisyys, että saat yhden tällaisen yhdistelmän.

Minun täytyy varoittaa sinua yhdestä asiasta: muista, että voit nostaa nämä viisi korttia missä tahansa järjestyksessä. Eli aluksi voit vetää ässän tai kymmenen, sillä ei ole väliä. Joten laskeessasi tätä, muista, että Royal Flushin saamiseen on itse asiassa enemmän kuin neljä tapaa olettaen, että kortit jaettiin järjestyksessä!

Peli # 4 - IMF:n arpajaiset

Neljäs ongelma ei ole niin helppo ratkaista menetelmillä, joista puhuimme tänään, mutta voit helposti simuloida tilannetta ohjelmoinnin tai Excelin avulla. Tämän ongelman esimerkissä voit kehittää Monte Carlo -menetelmän.

Mainitsin aiemmin pelin "Chron X", jonka parissa työskentelin, ja siellä oli yksi erittäin mielenkiintoinen kortti - IMF:n arpajaiset. Näin se toimi: käytit sitä pelissä. Kierroksen päätyttyä kortit jaettiin uudelleen, ja oli 10 % mahdollisuus, että kortti poistuisi pelistä ja että satunnainen pelaaja saa 5 yksikköä kutakin resurssityyppiä, jonka merkki oli tässä kortissa. Kortti pantiin peliin ilman ainuttakaan pelimerkkiä, mutta joka kerta kun se jäi peliin seuraavan kierroksen alussa, se sai yhden merkin. Joten oli 10 %:n mahdollisuus, että tuot hänet peliin, kierros päättyy, kortti poistuu pelistä, eikä kukaan saisi mitään. Jos näin ei tapahdu (90 %:n todennäköisyydellä), on 10 %:n todennäköisyys (itse asiassa 9 %, koska tämä on 10 % 90 %:sta), että seuraavalla kierroksella hän poistuu pelistä ja joku saa 5 resurssien yksiköitä. Jos kortti poistuu pelistä yhden kierroksen jälkeen (10% käytettävissä olevista 81%, joten todennäköisyys on 8,1%), joku saa 10 yksikköä, toisen kierroksen jälkeen - 15, toinen 20 ja niin edelleen. Kysymys: Mikä on tältä kortilta saamien resurssien määrän yleinen odotettu arvo, kun se lopulta poistuu pelistä?

Tyypillisesti yritämme ratkaista tämän ongelman etsimällä kunkin tuloksen mahdollisuuden ja kertomalla kaikkien tulosten lukumäärällä. Joten on 10 % todennäköisyys, että saat 0 (0,1 * 0 = 0). 9 %, että saat 5 yksikköä resursseja (9 % * 5 = 0,45 resurssia). 8,1 % siitä, mitä saat 10 (8,1 % * 10 = 0,81 kokonaisresurssia, odotettu arvo). Jne. Ja sitten laskemme kaikki yhteen.

Ja nyt ongelma on ilmeinen sinulle: aina on mahdollisuus, että kortti ei poistuu pelistä, jotta hän voi pysyä pelissä ikuisesti, äärettömälle määrälle kierroksia, niin että mahdollisuudet laskea jokainen tilaisuus ei ole olemassa. Nykyään opitut menetelmät eivät anna meille kykyä laskea ääretöntä rekursiota, joten meidän on luotava se keinotekoisesti.

Jos olet tarpeeksi hyvä ohjelmoimaan, kirjoita ohjelma, joka simuloi tätä korttia. Sinulla pitäisi olla aikasilmukka, joka palauttaa muuttujan alkuperäiseen nollapaikkaansa, näyttää satunnaisluvun ja jolla on 10 %:n mahdollisuus, että muuttuja poistuu silmukasta. Muussa tapauksessa se lisää muuttujaan 5 ja silmukka toistuu. Kun se lopulta katkeaa silmukasta, lisää koeajojen kokonaismäärää yhdellä ja resurssien kokonaismäärää (määrä riippuu siitä, mihin muuttuja jäi). Nollaa sitten muuttuja ja aloita alusta. Suorita ohjelma useita tuhansia kertoja. Lopuksi jaa kokonaisresurssit kokonaisajoilla - tämä on odotettu Monte Carlo -arvosi. Suorita ohjelma useita kertoja varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat suunnilleen samat; jos leviäminen on edelleen suuri, lisää toistojen määrää ulkosilmukassa, kunnes alat saada osumia. Voit olla varma, että kaikki luvut, joihin päädyt, ovat suunnilleen oikein.

Jos ohjelmointi ei ole sinulle tuttua (tai vaikka olisitkin), tässä on pieni harjoitus Excel-taitojen lämmittämiseen. Jos olet pelisuunnittelija, Excel-taidot eivät ole koskaan tarpeettomia.

Toistaiseksi IF- ja RAND-toiminnot ovat hyödyllisiä. RAND ei vaadi arvoja, se vain tulostaa satunnaisen desimaaliluvun välillä 0 ja 1. Yleensä yhdistämme sen FLOORin ja plussien ja miinusten kanssa simuloidaksemme nostan heittoa, josta mainitsin aiemmin. Tässä tapauksessa jätämme kuitenkin vain 10% mahdollisuuden, että kortti poistuu pelistä, joten voimme vain tarkistaa, onko RAND-arvo pienempi kuin 0,1, emmekä enää vaivaudu siihen.

IF:llä on kolme merkitystä. Järjestyksessä ehto, joka on joko tosi tai ei, sitten arvo, joka palautetaan, jos ehto on tosi, ja arvo, joka palautetaan, jos ehto ei ole tosi. Joten seuraava funktio palauttaa 5% ajasta ja 0 loput 90% ajasta:
= JOS (RAND ()<0.1,5,0)

On monia tapoja asettaa tämä komento, mutta käyttäisin tällaista kaavaa solulle, joka edustaa ensimmäistä kierrosta, oletetaan, että se on solu A1:

JOS (RAND ()<0.1,0,-1)

Tässä käytän negatiivista muuttujaa tarkoittamaan "tämä kortti ei ole poistunut pelistä eikä ole vielä lahjoittanut resursseja." Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti on poissa pelistä, A1 on 0; muuten on -1.

Seuraava toista kierrosta edustava solu:

JOS (A1> -1, A1, JOS (RAND ()<0.1,5,-1))

Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti poistuu pelistä välittömästi, A1 on 0 (resurssien määrä) ja tämä solu yksinkertaisesti kopioi tämän arvon. Päinvastaisessa tapauksessa A1 on -1 (kortti ei ole vielä poistunut pelistä), ja tämä solu jatkaa satunnaista liikkumista: 10% ajasta se palauttaa 5 yksikköä resursseja, muun ajan sen arvo edelleen olla -1. Jos käytämme tätä kaavaa lisäsoluihin, saamme lisäkierroksia, ja kumpi solu putoaa sinulle lopussa, saat lopputuloksen (tai -1, jos kortti ei ole poistunut pelistä kaikkien pelaamiesi kierrosten jälkeen) .

Ota tämä solurivi, joka on tämän kortin ainoa kierros, ja kopioi ja liitä useita satoja (tai tuhansia) rivejä. Emme ehkä pysty siihen loputon testaa Exceliä (taulukossa on rajoitettu määrä soluja), mutta ainakin voimme kattaa suurimman osan tapauksista. Valitse sitten yksi solu, johon sijoitat kaikkien kierrosten tulosten keskiarvon (Excel tarjoaa tähän ystävällisesti KESKIARVO-funktion ()).

Windowsissa voit ainakin painaa F9 laskeaksesi uudelleen kaikki satunnaisluvut. Kuten ennenkin, tee tämä useita kertoja ja katso, ovatko saamasi arvot samat. Jos leviäminen on liian leveä, tuplaa ajojen määrä ja yritä uudelleen.

Ratkaisemattomia tehtäviä

Jos sinulla on todennäköisyyslaskentatutkinto ja yllä olevat tehtävät vaikuttavat liian helpoilta, tässä on kaksi ongelmaa, joita olen miettinyt vuosia, mutta valitettavasti en ole niin hyvä matematiikassa ratkaisemaan niitä. Jos tiedät yhtäkkiä ratkaisun, lähetä se tänne kommentteihin, luen sen mielelläni.

Ratkaisematon ongelma numero 1: LottoIMF

Ensimmäinen ratkaisematon ongelma on edellinen kotitehtävä. Pystyn helposti soveltamaan Monte Carlo -menetelmää (C ++:lla tai Excelillä) ja olen varma vastauksesta kysymykseen "kuinka paljon resursseja pelaaja saa", mutta en tiedä tarkalleen kuinka antaa tarkan todisteen. vastaa matemaattisesti (tämä on loputon sarja). Jos tiedät vastauksen, lähetä se tänne ... sen jälkeen, kun olet tietysti tarkistanut sen Monte Carlosta.

Ratkaisematon ongelma # 2: Muotosarjat

Tämän ongelman (ja taas se menee paljon pidemmälle kuin tässä blogissa ratkaistut tehtävät) esitti minulle tuttu pelaaja yli 10 vuotta sitten. Hän huomasi yhden mielenkiintoisen piirteen pelatessaan blackjackia Vegasissa: kun hän otti kengästään kortit 8 pakalle, hän näki kymmenen nappuloita peräkkäin (pala tai palakortti - 10, Jokeri, Kuningas tai Kuningatar, joten niitä on 16 tavanomaisessa 52 kortin pakassa, joten 416 kortin kengässä niitä on 128). Mikä on todennäköisyys, että tässä kengässä vähintään yksi sarja kymmenen tai enemmän lukuja? Oletetaan, että ne sekoitetaan rehellisesti, satunnaisessa järjestyksessä. (Tai jos pidät siitä paremmin, mikä on todennäköisyys ei löydy mistään kymmenen tai useamman muodon sarja?)

Voimme yksinkertaistaa tehtävää. Tässä on 416-osainen jakso. Jokainen pala on 0 tai 1. Sarjassa on 128 ykköstä ja 288 nollaa satunnaisesti hajallaan. Kuinka monta tapaa on satunnaisesti 128 ykkösen ja 288 nollan väliin, ja kuinka monta kertaa näillä tavoilla on vähintään yksi kymmenen tai useamman ykkösen ryhmä?

Joka kerta, kun aloin ratkaisemaan tätä ongelmaa, se vaikutti minusta helpolta ja itsestään selvältä, mutta heti kun syvenen yksityiskohtiin, se yhtäkkiä hajosi ja näytti minusta yksinkertaisesti mahdottomalta. Joten älä kiirehdi hämärtämään vastausta: istu alas, mieti tarkkaan, tutki ongelman olosuhteita, yritä korvata todellisia lukuja, koska kaikki ihmiset, joiden kanssa puhuin tästä ongelmasta (mukaan lukien useat tällä alalla työskentelevät jatko-opiskelijat) reagoi suunnilleen samalla tavalla: "Se on aivan ilmeistä... oi, ei, odota, se ei ole ollenkaan ilmeistä." Tämä on tilanne, jossa minulla ei ole menetelmää kaikkien vaihtoehtojen laskemiseksi. Voisin varmasti tehdä ongelman raa'alla väkivallalla tietokonealgoritmin kautta, mutta olisi paljon mielenkiintoisempaa tietää matemaattinen tapa ratkaista tämä ongelma.

Käännös - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Einsteinin väite, jonka mukaan Jumala ei pelaa noppaa maailmankaikkeuden kanssa, on tulkittu väärin

Harvoja Einsteinin tunnuslauseista on lainattu yhtä laajasti kuin hänen huomautuksensa, jonka mukaan Jumala ei leiki noppaa maailmankaikkeuden kanssa. Ihmiset luonnollisesti pitävät tätä nokkelaa kommenttia hänestä todisteena siitä, että hän vastusti dogmaattisesti kvanttimekaniikkaa, joka pitää satunnaisuutta fyysisen maailman ominaisuutena. Kun radioaktiivisen elementin ydin hajoaa, se tapahtuu spontaanisti, ei ole sääntöä, joka kertoisi tarkalleen milloin tai miksi se tapahtuu. Kun valohiukkanen osuu puoliläpinäkyvään peiliin, se joko heijastuu siitä tai kulkee sen läpi. Lopputulos voi olla mikä tahansa siihen hetkeen asti, jolloin tämä tapahtuma tapahtui. Eikä sinun tarvitse mennä laboratorioon nähdäksesi tällaisia ​​prosesseja: monet Internet-sivustot näyttävät satunnaislukuvirtoja, jotka ovat generoituja Geiger-laskurien tai kvanttioptiikan avulla. Vaikka ne ovatkin periaatteessa arvaamattomia, ne ovat ihanteellisia kryptografiaan, tilastoihin ja nettipokeriturnauksiin.

Einstein, kuten tavallinen legenda sanoo. kieltäytyi hyväksymästä tosiasiaa, että jotkut tapahtumat ovat luonteeltaan epädeterministisiä. - Ne vain tapahtuvat, eikä mitään voida tehdä selvittääkseen miksi. Pysyessään käytännöllisesti katsoen upeassa eristyksessä, ikätovereittensa ympäröimänä, hän tarttui molemmin käsin klassisen fysiikan mekaaniseen universumiin mittaaen mekaanisesti sekunteja, joissa jokainen hetki määrää, mitä seuraavaksi tapahtuu. Noppaviiva osoitti hänen elämänsä toista puolta: vallankumoukselliseksi muuttuneen taantumuksellisen tragedia, joka mullisti fysiikan suhteellisuusteoriallaan, mutta - kuten Niels Bohr diplomaattisesti ilmaisi - kvanttiteorian kanssa hän "meni päivälliselle. "

Vuosien mittaan monet historioitsijat, filosofit ja fyysikot ovat kuitenkin kyseenalaistaneet tämän tarinan tulkinnan. Kun he sukelsivat kaiken Einsteinin sanoman mereen, he huomasivat, että hänen arvaamattomuusarvionsa olivat radikaalimpia ja niillä oli laajempi valikoima sävyjä kuin he tavallisesti maalaavat. "Tosi tarinan kaivaa esiin tulee eräänlaista lähetystyötä", sanoo Don A. Howard, historioitsija Notre Damen yliopistosta. Kuten hän ja muut tieteen historioitsijat ovat osoittaneet, Einstein tunnusti kvanttimekaniikan ei-deterministisen luonteen - mikä ei ole yllättävää, koska hän löysi sen indeterminismin. Hän ei koskaan myöntänyt, että indeterminismi on luonteeltaan perustavanlaatuista. Kaikki tämä osoitti, että ongelma ilmenee syvemmällä todellisuuden tasolla, jota teoria ei heijastanut. Hänen kritiikkinsä ei ollut mystistä, vaan keskittyi tiettyihin tieteellisiin ongelmiin, jotka ovat edelleen ratkaisematta.

Kysymys siitä, onko kellokoneisto maailmankaikkeus vai noppapöytä, rikkoo perustan sille, mitä ajattelemme fysiikan olevan: luonnon hämmästyttävän monimuotoisuuden taustalla olevien yksinkertaisten sääntöjen etsiminen. Jos jotain tapahtuu ilman syytä, se lopettaa rationaalisen tutkimuksen. "Fundamentaalinen indeterminismi merkitsisi tieteen loppua", sanoo Andrew S. Friedman, kosmologi Massachusetts Institute of Technologysta. Silti filosofit kautta historian ovat uskoneet, että indeterminismi on välttämätön edellytys ihmisen vapaalle tahdolle. Joko olemme kaikki kellokoneiston hammaspyöriä, ja siksi kaikki mitä teemme on ennalta määrättyä, tai sitten olemme oman kohtalomme vaikuttava voima, jolloin maailmankaikkeuden ei silti pitäisi olla deterministinen.

Tällä kaksijakoisuudella oli hyvin todellisia seurauksia, jotka ilmenivät tavassa, jolla yhteiskunta saa ihmiset vastuuseen teoistaan. Oikeusjärjestelmämme perustuu olettamukseen vapaasta tahdosta; Jotta syytetty todettiin syylliseksi, hänen oli toimittava tarkoituksella. Tuomioistuimet pyörittelevät jatkuvasti aivojaan kysymyksestä: entä jos ihminen on syytön mielenvikaisuuden, nuorekkaan impulsiivisuuden tai mätä sosiaalisen ympäristön vuoksi?

Aina kun ihmiset kuitenkin puhuvat dikotomiasta, he pyrkivät paljastamaan sen väärinkäsityksenä. Itse asiassa monet filosofit uskovat, että on merkityksetöntä puhua siitä, onko universumi deterministinen vai ei-deterministinen. Se voi olla molempia riippuen siitä, kuinka suuri tai monimutkainen tutkimuskohde on: hiukkaset, atomit, molekyylit, solut, organismit, psyyke, yhteisöt. "Determinismin ja indeterminismin välinen ero riippuu ongelman tutkimustasosta", sanoo London School of Economics and Political Sciencen filosofi Christian List. Indeterminismi on sekä korkeammalla että alemmalla tasolla. Aivomme atomit voivat käyttäytyä täysin deterministisesti jättäen samalla meille vapauden toimia atomien ja elinten toimiessa eri tasoilla.

Samoin Einstein etsi determinististä subkvanttitasoa, mutta ei kiistä, että kvanttitaso on todennäköisyys.

Mitä Einstein vastusti

Kuinka Einstein ansaitsi kvanttiteorian vastustajan leiman, on melkein yhtä suuri mysteeri kuin kvanttimekaniikka itse. Kvantin käsite – erillinen energiayksikkö – oli hänen heijastustensa hedelmää vuonna 1905, ja puolitoista vuosikymmentä hän käytännössä seisoi yksin sen puolustajana. Einstein ehdotti sitä. mitä fyysikot pitävät nykyään kvanttifysiikan pääpiirteinä, kuten valon outo kyky toimia hiukkasena ja aaltona, ja juuri hänen aaltofysiikkaa koskevista pohdinnoistaan ​​Erwin Schrödinger kehitti laajimmin hyväksytyn kvanttifysiikan muotoilun. teoria 1920-luvulla. Einstein ei myöskään ollut sattuman vastustaja. Vuonna 1916 hän osoitti, että kun atomit lähettävät fotoneja, säteilyn aika ja suunta ovat satunnaisia ​​​​suureita.

"Tämä on vastoin suosittua kuvaa Einsteinista todennäköisyyspohjaisen lähestymistavan vastustajana", väittää Jan von Plateau Helsingin yliopistosta. Mutta Einstein ja hänen aikalaisensa kohtasivat vakavan ongelman. Kvanttiilmiöt ovat satunnaisia, mutta kvanttiteoria itsessään ei ole. Schrödingerin yhtälö on 100 % deterministinen. Se kuvaa hiukkasta tai hiukkasjärjestelmää käyttämällä ns. aaltofunktiota, joka hyödyntää hiukkasten aaltoluonnetta ja selittää aaltomaisen kuvion, jonka hiukkaskokoelma muodostaa. Yhtälö ennustaa tarkalleen, mitä aaltofunktiolle tapahtuu kulloinkin. Tämä yhtälö on monella tapaa deterministisempi kuin Newtonin liikelait: se ei johda sekaannukseen, kuten singulaarisuuteen (jossa suuret muuttuvat äärettömiksi ja siksi niitä on mahdotonta kuvata) tai kaaokseen (jossa liike muuttuu arvaamattomaksi).

Havainto on siinä, että Schrödingerin yhtälön determinismi on aaltofunktion determinismi, eikä aaltofunktiota voida havaita suoraan, toisin kuin hiukkasten sijainti ja nopeudet. Sen sijaan aaltofunktio määrittää havaittavissa olevat suuret ja kunkin mahdollisen vaihtoehdon todennäköisyyden. Teoria jättää avoimeksi kysymykset siitä, mikä itse aaltofunktio on ja pitäisikö sitä pitää kirjaimellisesti todellisena aaltona aineellisessa maailmassamme. Näin ollen seuraava kysymys jää avoimeksi: onko havaittu satunnaisuus luonnon olennainen ominaisuus vai onko se vain sen julkisivu? "Väitetään, että kvanttimekaniikka on epädeterministinen, mutta tämä on liian hätäinen johtopäätös", sanoo filosofi Christian Wuthrich Geneven yliopistosta Sveitsistä.

Werner Heisenberg, toinen kvanttiteorian perustan luoneista pioneereista, näki aaltofunktion potentiaalisen olemassaolon hämäränä. Jos hiukkasen sijaintia ei voida osoittaa selvästi ja yksiselitteisesti, se johtuu siitä, että hiukkasta ei todellakaan löydy mistään tietystä paikasta. Vasta kun tarkkailet hiukkasta, se materialisoituu jossain avaruudessa. Aaltofunktio voisi hämärtyä valtavalla avaruuden alueella, mutta havaintohetkellä se romahtaa välittömästi, supistuu kapeaan pisteeseen, joka sijaitsee yhdessä tietyssä paikassa, ja yhtäkkiä hiukkanen ilmestyy sinne. Mutta vaikka katsot hiukkasta - bang! - hän yhtäkkiä lakkaa käyttäytymästä deterministisesti ja hyppää lopulliseen tilaan, kuin lapsi, joka tarttuu tuoliin "musiikkituolien" -pelissä. (Peli koostuu siitä, että lapset tanssivat pyöreässä tanssissa tuolien ympärillä, joiden lukumäärä on yksi vähemmän kuin pelaajien lukumäärä, ja yrittävät istua tyhjälle paikalle heti, kun musiikki loppuu).

Ei ole olemassa lakia, joka säätelee tätä romahdusta. Hänelle ei ole yhtälöä. Se vain tapahtuu - siinä kaikki! Romahduksesta tuli Kööpenhaminan tulkinnan avaintekijä: näkymä kvanttimekaniikasta nimettiin kaupungista, jossa Bohr ja hänen instituuttinsa yhdessä Heisenbergin kanssa tekivät suurimman osan perustamistyöstä. (Paradoksaalisesti Bohr itse ei tunnistanut aaltofunktion romahtamista). Kööpenhaminan koulukunta pitää kvanttifysiikan havaittua satunnaisuutta sen nimellisominaisuudena, joka uhmaa lisäselityksiä. Useimmat fyysikot ovat tästä samaa mieltä, yksi syy tähän on psykologiasta tunnettu niin kutsuttu ankkuriefekti eli ankkurointiefekti: tämä on täysin tyydyttävä selitys, ja se ilmestyi ensimmäisenä. Vaikka Einstein ei vastustanut kvanttimekaniikkaa, hän vastusti ehdottomasti sen Kööpenhaminalaista tulkintaa. Hän lähti ajatuksesta, että mittaaminen aiheuttaa katkeamisen fyysisen järjestelmän jatkuvassa kehityksessä, ja juuri tässä yhteydessä hän alkoi ilmaista vastustavansa jumalallista luiden heittämistä. "Juuri tästä syystä Einstein valitti vuonna 1926, eikä sen kaiken kattavan metafyysisen väitteen vuoksi, jonka mukaan determinismi on ehdottoman välttämätön edellytys", Howard sanoo.

Todellisuuden moninaisuus.Ja silti - onko maailma deterministinen vai ei? Vastaus tähän kysymykseen ei riipu vain liikkeen peruslaeista, vaan myös siitä, millä tasolla kuvaamme järjestelmää. Tarkastellaan viittä atomia kaasussa, jotka liikkuvat deterministisesti (yläkaavio). He aloittavat matkansa melkein samasta paikasta ja eroavat vähitellen. Makroskooppisella tasolla (alakaavio) ei kuitenkaan ole näkyvissä yksittäisiä atomeja, vaan amorfinen virtaus kaasussa. Jonkin ajan kuluttua kaasu todennäköisesti jakautuu satunnaisesti useisiin virtoihin. Tämä makrotason satunnaisuus on sivutuote havainnoijan tietämättömyydestä mikrotason laeista, se on objektiivinen luonnon ominaisuus, joka heijastaa tapaa, jolla atomit tulevat yhteen. Samoin Einstein ehdotti, että universumin deterministinen sisäinen rakenne johtaa kvanttimaailman todennäköisyyteen.

Romahdus voi tuskin olla todellinen prosessi, Einstein väitti. Tämä vaatisi välitöntä toimintaa etäältä - salaperäistä mekanismia, jolla esimerkiksi aaltofunktion vasen ja oikea puoli romahtavat samaan pieneen pisteeseen, vaikka mikään voima ei vastaa heidän käyttäytymistään. Ei vain Einstein, vaan jokainen aikansa fyysikko uskoi, että tällainen prosessi oli mahdoton, sen täytyisi tapahtua nopeammin kuin valon nopeus, mikä on ilmeisessä ristiriidassa suhteellisuusteorian kanssa. Itse asiassa kvanttimekaniikka ei vain laita noppaa käsiisi - se antaa sinulle noppapareja, jotka putoavat aina samalta reunalta, vaikka heittäisit yhden Vegasissa ja toisen Vegassa. Einsteinille näytti itsestään selvältä, että nopan täytyy olla huijausta, mikä mahdollistaa piilotetulla tavalla vaikuttaa heittojen lopputulokseen etukäteen. Mutta Kööpenhaminan koulukunta kiistää tällaisen mahdollisuuden ja ehdottaa, että rystyset vaikuttavat välittömästi toisiinsa valtavissa avaruuden avaruudessa. Lisäksi Einstein oli huolissaan voimasta, jonka Kööpenhaminalaiset pitivät mittausteoksella. Loppujen lopuksi mikä on ulottuvuus? Voisiko se olla jotain, mitä vain tuntevat olennot tai jopa vain vakituiset professorit voivat tehdä? Heisenberg ja muut Kööpenhaminan koulukunnan edustajat eivät koskaan määrittäneet tätä käsitettä. Jotkut ehdottavat, että luomme mielessämme ympäröivää todellisuutta havainnointiprosessin aikana - idea, joka näyttää runolliselta, ehkä jopa liian runolliselta. Einstein piti myös Kööpenhaminan röyhkeyden huippua väittäessään, että kvanttimekaniikka oli täysin täydellinen, että se oli perimmäinen teoria, jota toinen ei koskaan syrjäisi. Hän piti kaikkia teorioita, myös omaansa, siltoina johonkin vielä suurempaan.

Itse asiassa. Howard väittää, että Einstein ottaisi mielellään vastaan ​​indeterminismin, jos hänellä olisi vastaukset kaikkiin ratkaistavaksi jääviin ongelmiinsa - jos esimerkiksi joku voisi selkeästi ilmaista, mikä mittaus on ja kuinka hiukkaset voivat pysyä synkronoituina ilman pitkän kantaman toimintaa. Osoitus siitä, että Einstein piti indeterminismia toissijaisena ongelmana, on se, että hän esitti samat vaatimukset ja hylkäsi myös Kööpenhaminan koulukunnan deterministiset vaihtoehdot. Toinen historioitsija, Arthur Fine Washingtonin yliopistosta. uskoo. Että Howard liioittelee Einsteinin herkkyyttä indeterminismille, mutta on samaa mieltä siitä, että hänen tuomionsa perustuvat vakaampaan perustaan ​​kuin useat fyysikkojen sukupolvet ovat uskoneet, perustuen hänen noppaa koskeviin sanontoihinsa.

Satunnaisia ​​ajatuksia

Jos vedät köydenvetoa Kööpenhaminan koulukunnan puolella, Einstein uskoi, huomaat, että kvanttihäiriö on kuten kaikki muutkin fysiikan häiriötyypit: se on syvemmän näkemyksen tuote. Pienten pölyhiukkasten tanssi valonsäteessä paljastaa molekyylien monimutkaisen liikkeen, ja fotonien emissio tai ytimien radioaktiivinen hajoaminen on samanlainen prosessi, Einstein uskoi. Hänen mielestään kvanttimekaniikka on arvioiva teoria, joka ilmaisee luonnon rakennuspalikoiden yleistä käyttäytymistä, mutta jolla ei ole tarpeeksi resoluutiota yksittäisten yksityiskohtien vangitsemiseen.

Syvällisempi, täydellisempi teoria selittää liikkeen täysin - ilman salaperäisiä hyppyjä. Tästä näkökulmasta aaltofunktio on kollektiivinen kuvaus toteamukseksi siitä, että oikea noppi, jos sitä heitetään toistuvasti, putoaa suunnilleen yhtä monta kertaa kummallekin puolelleen. Aaltofunktion romahtaminen ei ole fyysinen prosessi, vaan tiedon hankkiminen. Jos heittät kuusisivuista noppaa ja keksit vaikkapa neljän, vaihtoehtojen valikoima yhdestä kuuteen kutistuu tai voisi sanoa romahtaa todelliseen arvoon neljä. Jumalan kaltainen demoni, joka pystyy jäljittämään luun putoamisen seurauksiin vaikuttavan atomirakenteen yksityiskohdat (eli mittaamaan tarkasti, kuinka kätesi työntää ja pyörittää kuutiota ennen kuin pudotat sen pöydälle), ei koskaan puhu romahtamisesta.

Einsteinin intuitiota vahvisti hänen varhainen työ molekyyliliikkeen kollektiivisesta vaikutuksesta, jota tutkittiin fysiikan alalla nimeltä tilastollinen mekaniikka ja jossa hän osoitti, että fysiikka voi olla todennäköisyyttä, vaikka ilmiö perustuu deterministiseen todellisuuteen. Vuonna 1935 Einstein kirjoitti filosofi Karl Popperille: "En usko, että olet oikeassa väitteessäsi, jonka mukaan on mahdotonta tehdä tilastollisia johtopäätöksiä deterministisen teorian perusteella. Otetaan esimerkiksi klassinen tilastomekaniikka (kaasuteoria tai kaasuteoria). Brownin liikkeen teoria). Todennäköisyydet Einsteinin ymmärryksessä olivat yhtä todellisia kuin Kööpenhaminan koulukunnan tulkinnassa. Ne ilmenevät liikkeen peruslaeissa ja heijastavat muita ympäröivän maailman ominaisuuksia, eivätkä ne ole vain ihmisen tietämättömyyden esineitä. Einstein ehdotti Popperille esimerkkinä, että otettaisiin huomioon hiukkanen, joka liikkuu ympyrässä vakionopeudella; todennäköisyys löytää hiukkanen tietystä ympyränkaaren osasta heijastaa sen liikeradan symmetriaa. Samoin todennäköisyys sille, että noppa osuu tietylle kasvoille, on kuudesosa, koska sillä on kuusi yhtäläistä puolta. "Hän ymmärsi paremmin kuin useimmat tuolloin, että tilastollis-mekaanisen todennäköisyyden yksityiskohtiin sisältyi tärkeä fyysinen kokonaisuus", Howard sanoo.

Toinen tilastomekaniikan opetus oli, että havaitsemamme suuret eivät välttämättä ole olemassa syvemmällä tasolla. Esimerkiksi kaasulla on lämpötila, mutta yhden kaasumolekyylin lämpötilasta ei ole mitään järkeä puhua. Analogisesti Einstein uskoi, että subkvanttiteoria vaadittiin merkitsemään radikaalia katkosta kvanttimekaniikan kanssa. Vuonna 1936 hän kirjoitti: "Ei ole epäilystäkään siitä, että kvanttimekaniikka on vanginnut kauniin totuuden elementin<...>En kuitenkaan usko, että kvanttimekaniikka tulee olemaan lähtökohta tämän perustan etsinnässä, kuten ei voida siirtyä termodynamiikasta (vastaavasti tilastollisesta mekaniikasta) mekaniikan perusteille. ”Täyttääkseen tämän syvemmän tason Einstein työnsi kohti yhtenäinen teoria kenttä, jossa hiukkaset ovat johdannaisia ​​rakenteista, jotka eivät muistuta ollenkaan hiukkasia. Lyhyesti sanottuna perinteinen viisaus, jonka mukaan Einstein kieltäytyi tunnustamasta kvanttifysiikan todennäköisyyttä, on väärä. Hän yritti selittää satunnaisuutta sen sijaan, että se tekisi siitä näyttää siltä, ​​ettei sitä ole ollenkaan.

Tee tasostasi paras

Vaikka Einsteinin hanke yhtenäisen teorian luomiseksi epäonnistui, hänen intuitiivisen satunnaisuuden lähestymistapansa perusperiaatteet pitävät edelleen paikkansa: indeterminismi voi syntyä determinismistä. Kvantti- ja subkvanttitasot - tai mikä tahansa muu tasopari luonnon hierarkiassa - koostuvat erityyppisistä rakenteista, joten ne noudattavat erilaisia ​​lakeja. Yhtä tasoa hallitseva laki voi luonnollisesti sallia satunnaisuuden elementin, vaikka alemman tason lait olisivat täysin säänneltyjä. "Deterministinen mikrofysiikka ei tuota determinististä makrofysiikkaa", sanoo filosofi Jeremy Butterfield Cambridgen yliopistosta.

Ajattele noppaa atomitasolla. Kuutio voi koostua käsittämättömän suuresta määrästä atomikonfiguraatioita, jotka ovat täysin erottamattomia toisistaan ​​paljaalla silmällä. Jos seuraat jotakin näistä kokoonpanoista muotin pyörimisen aikana, se johtaa tiettyyn lopputulokseen - tiukasti deterministiseen. Joissakin kokoonpanoissa meisti pysähtyy yhteen pisteeseen yläreunassa, toisissa kahdella. jne. Siksi yksi makroskooppinen tila (jos saat kuution pyörimään) voi johtaa useisiin mahdollisiin makroskooppisiin tuloksiin (yksi kuudesta pinnasta on ylhäällä). "Jos kuvaamme noppaa makrotasolla, voimme nähdä sen stokastisena järjestelmänä, joka mahdollistaa objektiivisen satunnaisuuden", sanoo List, joka opiskelee tasokonjugaatiota Marcus Pivaton, matemaatikon kanssa Cergy-Pontoisen yliopistosta Ranskassa.

Vaikka ylempi taso rakentuu alemmalle tasolle, se on itsenäinen. Nopan kuvaamiseksi sinun on työskenneltävä sillä tasolla, jolla noppaa sinänsä on olemassa, ja kun teet tämän, et voi olla ottamatta huomioon atomeja ja niiden dynamiikkaa. Jos ylität yhden tason toisen kanssa, huijaat korvaamalla luokan: se on kuin kysyisit poliittisesta sitoutumisesta lohivoileipälle (kolumbian yliopiston filosofin David Albertin esimerkkinä). "Kun meillä on ilmiö, jota voidaan kuvata eri tasoilla, meidän on oltava käsitteellisesti erittäin varovaisia, ettemme sekoittele tasoja", List sanoo. Tästä syystä nopan heittämisen tulos ei näytä vain sattumalta. Se on todella satunnaista. Jumalan kaltainen demoni voi kerskua tietävänsä tarkalleen mitä tapahtuu, mutta hän tietää vain mitä atomeille tapahtuu. Hän ei edes epäile, mitä noppa on, koska se on korkeamman tason tietoa. Demoni ei koskaan näe metsää, vain puita. Hän on kuin argentiinalaisen kirjailijan Jorge Luis Borgesin tarinan "Memorable Funes" päähenkilö – mies, joka muistaa kaiken, mutta ei tajua mitään. "Ajatteleminen tarkoittaa eron unohtamista, yleistämistä, abstraktia", kirjoittaa Borges. Demonille, jotta hän tietää, kummalle puolelle noppa putoaa, on tarpeen selittää, mitä etsiä. "Demoni pystyy ymmärtämään, mitä huipputasolla tapahtuu, vain jos hänelle annetaan yksityiskohtainen kuvaus siitä, kuinka määritämme rajan tasojen välillä", List sanoo. Todellakin, tämän jälkeen demoni tulee todennäköisesti mustasukkaiseksi siitä, että olemme kuolevaisia.

Tasologiikka toimii myös päinvastaiseen suuntaan. Epädeterministinen mikrofysiikka voi johtaa deterministiseen makrofysiikkaan. Pesäpallo voidaan tehdä hiukkasista, jotka käyttäytyvät kaoottisesti, mutta sen lento on täysin ennustettavissa; kvantti sattumanvaraisuus, keskiarvo. katoaa. Samoin kaasut koostuvat molekyyleistä, jotka tekevät äärimmäisen monimutkaisia ​​- ja käytännössä ei-deterministisiä - liikkeitä, mutta niiden lämpötila ja muut ominaisuudet noudattavat lakeja, jotka ovat niinkin yksinkertaisia ​​kuin kaksi ja kaksi. Spekulatiivisemmin jotkut fyysikot, kuten Robert Laughlin Stanfordin yliopistosta, ehdottavat, että pohjataso on täysin merkityksetön. Rakennuspalikoita voi olla mitä tahansa, ja silti heidän kollektiivinen käyttäytymisensä on sama. Loppujen lopuksi järjestelmät, jopa niin erilaiset järjestelmät kuin vesimolekyylit, tähdet galaksissa ja autot moottoritiellä, noudattavat samoja nesteen virtauksen lakeja.

Vihdoin vapaa

Kun ajattelee tasoja, huoli siitä, että indeterminismi todennäköisesti julistaa tieteen loppua, katoaa. Ympärillämme ei ole korkeaa muuria, joka suojelisi lainkuuliaista universumin fragmenttiamme anarkialta ja muulta käsittämättömältä. Itse asiassa maailma on kerrostettu determinismin ja indeterminismin kakku. Esimerkiksi maapallon ilmastoa säätelevät Nyotonin deterministiset liikelait, mutta sääennuste on todennäköinen, ja samalla kausittaiset ja pitkän aikavälin ilmastotrendit ovat taas ennustettavissa. Biologia perustuu myös deterministiseen fysiikkaan, mutta organismit ja ekosysteemit vaativat muita kuvausmenetelmiä, kuten darwinilaista evoluutiota. "Determinismi ei selitä kaikkea", sanoo Daniel Dennett, filosofi Tuftsin yliopistosta.

Ihmiset ovat välissä tämän lehtitaikinan sisällä. Meillä on voimakas vapaan tahdon tunne. Teemme usein arvaamattomia ja enimmäkseen tärkeitä päätöksiä, ymmärrämme, että olisimme voineet tehdä toisin (ja usein kadumme, että emme tehneet sitä). Vuosituhansien ajan niin sanotut libertaarit, vapaan tahdon filosofisen opin kannattajat (jota ei pidä sekoittaa poliittiseen suuntaukseen!), väittivät, että ihmisen vapaus vaatii hiukkasen vapautta. Jonkin täytyy tuhota deterministinen tapahtumien kulku, esimerkiksi kvantti-satunnaisuus tai "poikkeamat", jotka, kuten jotkut muinaiset filosofit uskoivat, atomit saattoivat kokea liikkuessaan (otettiin käyttöön käsite atomin vahingossa tapahtuvasta arvaamattomasta poikkeamasta alkuperäisestä liikeradastaan Lucretius muinaiseen filosofiaan suojellakseen Epikuroksen atomioppia) ...

Tämän päättelyn pääongelma on, että se vapauttaa hiukkaset, mutta jättää meidät orjiksi. Sillä ei ole väliä, oliko päätöksesi ennalta määrätty alkuräjähdyksen aikana vai pieni hiukkanen, se ei silti ole sinun päätös. Ollaksemme vapaita, me tarvitsemme indeterminismia ei hiukkastasolla vaan ihmistasolla. Ja tämä on mahdollista, koska ihmistaso ja hiukkastaso ovat toisistaan ​​riippumattomia. Vaikka kaikki tekemäsi voitaisiin jäljittää aivan ensimmäisiin askeliin, olet tekojesi herra, koska sinä etkä tekosi eivät ole olemassa aineen tasolla, vaan vain tietoisuuden makrotasolla. "Tämä mikrodeterminismiin perustuva makroindeterminismi takaa todennäköisesti vapaan tahdon", Butterfield sanoo. Makroindeterminismi ei ole syy päätöksiisi. Tämä on sinun päätöksesi.

Jotkut ihmiset todennäköisesti vastustavat ja kertovat sinulle, että olet edelleen nukke ja luonnonlait toimivat nukkenäyttelijänä ja että vapautesi on vain illuusio. Mutta itse sana "illuusio" herättää muistossa autiomaassa tehtyjä mirageja ja naisia, jotka on sahattu puoliksi: kaikkea tätä ei ole olemassa todellisuudessa. Makroindeterminismi ei ole ollenkaan sama asia. Se on aivan totta, ei vain perustavanlaatuista. Sitä voi verrata elämään. Yksittäiset atomit ovat täysin elotonta ainetta, mutta niiden valtava massa voi elää ja hengittää. "Kaikki mikä liittyy agentteihin, heidän tahtotilaansa, heidän päätöksiinsä ja valintoihinsa - millään näistä kokonaisuuksista ei ole mitään tekemistä perusfysiikan käsitteellisen työkalupakin kanssa, mutta tämä ei tarkoita, että nämä ilmiöt eivät olisi todellisia", Liszt huomauttaa. . tarkoittaa vain, että ne ovat kaikki paljon korkeamman tason ilmiöitä."

Olisi kategorinen virhe, ellei täydellinen tietämättömyys, kuvailla ihmisen päätöksiä päässäsi olevien atomien liikkeen mekaniikalla. Sen sijaan on tarpeen käyttää kaikkia psykologian käsitteitä: halu, mahdollisuus, tarkoitus. Miksi join vettä enkä viiniä? Koska halusin. Haluni selittää tekoni. Useimmissa tapauksissa, kun kysymme "miksi?", etsimme yksilön motivaatiota, emme hänen fyysistä taustaansa. Psykologiset selitykset mahdollistavat tietynlaisen indeterminismin, josta List puhuu. Esimerkiksi peliteoreetikot mallintavat ihmisen päätöksentekoa esittämällä erilaisia ​​vaihtoehtoja ja selittämällä, minkä valitset, jos toimit rationaalisesti. Vapautesi valita tietty vaihtoehto ohjaa valintaasi, vaikka et koskaan tyytyisikään siihen.

Listin argumentit eivät tietenkään täysin selitä vapaata tahtoa. Tasojen hierarkia avaa tilaa vapaalle tahdolle, erottaa psykologian fysiikasta ja antaa meille mahdollisuuden tehdä odottamattomia asioita. Mutta meidän on tartuttava tähän tilaisuuteen. Jos esimerkiksi tekisimme kaikki päätökset heittämällä kolikon, sitä pidettäisiin silti makroindeterminisminä, mutta sitä tuskin olisi mahdollista pitää vapaana tahdona millään mielekkäässä mielessä. Toisaalta joidenkin ihmisten päätöksenteko voi olla niin uuvuttavaa, ettei heidän voida sanoa toimivan vapaasti.

Tämä lähestymistapa determinismin ongelmaan antaa merkityksen ja tulkinnan kvanttiteorialle, jota ehdotettiin muutama vuosi Einsteinin kuoleman jälkeen vuonna 1955. Sitä kutsutaan monien maailmojen tulkinnaksi tai Everettin tulkinnaksi. Sen kannattajat väittävät, että kvanttimekaniikka kuvaa kokoelmaa rinnakkaisia ​​universumeja - multiversumia, joka kokonaisuutena käyttäytyy deterministisesti, mutta näyttää meistä ei-deterministiseltä, koska voimme nähdä vain yhden ainoan universumin. Esimerkiksi atomi voi lähettää fotonin oikealle tai vasemmalle; kvanttiteoria jättää tämän tapahtuman tuloksen avoimeksi. Monien maailmojen tulkinnan mukaan tällainen kuva havaitaan, koska täsmälleen sama tilanne tapahtuu äärettömässä määrässä rinnakkaisia ​​universumeja: joissakin niistä fotoni lentää deterministisesti vasemmalle ja toisissa oikealle. Emme voi ennustaa mitä tulee tapahtumaan ilman, että pystymme sanomaan tarkalleen, missä universumissa olemme, joten tämä tilanne näyttää sisältäpäin käsittämättömältä. "Avaruudessa ei ole todellista satunnaisuutta, mutta tapahtumat voivat näyttää sattumanvaraisilta tarkkailijan silmissä", selittää MIT:n kosmologi Max Tegmark, tämän näkemyksen tunnettu kannattaja. "Satunnaisuus heijastaa kyvyttömyyttäsi määrittää, missä olet."

Se on kuin sanoisi, että kuoppi tai aivot voidaan rakentaa mistä tahansa lukuisista atomikokoonpanoista. Tämä konfiguraatio itsessään voi olla deterministinen, mutta koska emme voi tietää, kumpi vastaa kuolaamme tai aivoamme, meidän on pakko olettaa, että lopputulos on ei-deterministinen. Näin ollen rinnakkaisuniversumit eivät ole jotain eksoottista ideaa, joka leijuu sairaassa mielikuvituksessa. Kehomme ja aivomme ovat pientä multiversumia, se on mahdollisuuksien monimuotoisuus, joka tarjoaa meille vapautta.

Ihmiset ovat käyttäneet noppia tuhansia vuosia.

2000-luvulla uusien tekniikoiden avulla voit heittää noppaa milloin tahansa sopivaan aikaan, ja jos sinulla on Internet-yhteys, kätevässä paikassa. Nopat ovat aina mukanasi kotona tai tien päällä.

Noppageneraattorin avulla voit heittää verkossa 1–4 noppaa.

Heitä reilusti noppaa verkossa

Oikeita noppaa käytettäessä voidaan käyttää käsinnäppäryyttä tai erikoisvalmisteisia nopan toiselta puolelta ylipainoisia. Voit esimerkiksi pyörittää kuutiota pitkin yhtä akselia, jolloin todennäköisyysjakauma muuttuu. Virtuaalikuutioidemme ominaisuus on ohjelmiston käyttö. Tämän avulla voit tarjota todella satunnaisen vaihtoehdon tälle tai toiselle tulokselle.

Ja jos lisäät tämän sivun kirjanmerkkeihisi, online-noppaasi eivät katoa mihinkään ja ovat aina käsillä oikeaan aikaan!

Jotkut ihmiset ovat sopeutuneet käyttämään noppaa verkossa ennustamiseen tai ennustamiseen ja horoskooppeihin.

Hyvää mieltä, hyvää päivää ja onnea!

Yleisin muoto on kuution muotoinen, jonka kummallakin puolella on kuvattu numeroita yhdestä kuuteen. Pelaaja, joka heittää sen tasaiselle alustalle, näkee tuloksen yläreunassa. Luut ovat todellinen sattuman, onnen tai huonon onnen suukappale.

Onnettomuus.
Kuutiot (luut) ovat olleet olemassa pitkään, mutta ne saivat perinteisen ulkonäön kuusisivuisina noin vuonna 2600 eaa. e. Muinaiset kreikkalaiset rakastivat leikkiä nopalla, ja heidän legendoissaan sankari Palamed, jota Odysseus epäoikeudenmukaisesti syytti maanpetoksesta, kutsutaan heidän keksijäkseen. Legendan mukaan hän keksi tämän pelin viihdyttääkseen sotilaita, jotka piirittivät Troijaa valtavan puisen hevosen vangiksi. Roomalaiset Julius Caesarin aikana nauttivat myös erilaisista noppapeleistä. Latinaksi kuutiota kutsuttiin datum, mikä tarkoittaa "annettu".

Kiellot.
Keskiajalla, noin 1100-luvulla, noppapelistä tuli erittäin suosittu Euroopassa: kuutiot, jotka voidaan ottaa mukaan kaikkialle, ovat suosittuja sekä sotilaiden että talonpoikien keskuudessa. Yli kuudessadan eri pelin sanotaan olleen olemassa! Noppien tuotannosta on tulossa erillinen ammatti. Kuningas Ludvig IX (1214-1270), palasi ristiretkeltä, ei hyväksynyt uhkapelaamista ja määräsi noppien valmistuksen kiellettäväksi koko valtakunnassa. Enemmän kuin itse peli, viranomaiset olivat tyytymättömiä siihen liittyviin mellakoihin - sitten pelattiin pääasiassa tavernoissa ja bileet päättyivät usein tappeluihin ja puukotuksiin. Mutta mitkään kiellot eivät estäneet noppaa selviytymästä aikaa ja selviämästä tähän päivään.

Luut "latauksella"!
Nopanheiton tulos on aina satunnainen, mutta jotkut huijarit yrittävät muuttaa sitä. Poraamalla kuutioon reiän ja kaatamalla siihen lyijyä tai elohopeaa, voit saavuttaa saman tuloksen joka kerta kun heität. Tällaista kuutiota kutsutaan "ladatuksi". Valmistettu eri materiaaleista, olipa kyseessä kulta, kivi, kristalli, luu, nopat voivat olla eri muotoisia. Suuria pyramideja rakentaneiden egyptiläisten faaraoiden haudoista on löydetty pieniä pyramidin (tetraedrin) muotoisia noppaa! Eri aikoina luita tehtiin 8, 10, 12, 20 ja jopa 100 sivuilla. Yleensä niihin liitetään numeroita, mutta niiden tilalle voi ilmestyä myös kirjaimia tai kuvia, jotka antavat tilaa mielikuvitukselle.

Kuinka heittää noppaa.
Noppia ei ole vain eri muotoisia, vaan niillä on myös erilaisia ​​pelitapoja. Jotkut pelit edellyttävät heittämistä tietyllä tavalla, yleensä lasketun heiton välttämiseksi tai noppaa pysähtymästä vinoon asentoon. Joskus niihin kiinnitetään erityinen lasi, jotta ne eivät joutuisi huijatuksi tai putoamaan pelipöydältä. Englannin kreppipelissä kaikkien kolmen noppaa tulee osua pelipöytään tai seinään, jotta huijarit eivät voi väärentää heittoa yksinkertaisesti liikuttamalla noppaa muttei kääntämällä sitä.

Satunnaisuus ja todennäköisyys.
Noppi antaa aina satunnaisen tuloksen, jota ei voida ennustaa. Yhdellä noppalla pelaajalla on yhtä monta mahdollisuuksia heittää 1 kuin 6 - kaiken määrää sattuma. Kahdella noppalla päinvastoin satunnaisuuden taso laskee, koska pelaajalla on enemmän tietoa tuloksesta: esimerkiksi kahdella noppalla numero 7 voidaan saada useilla tavoilla - heittämällä 1 ja 6, 5 ja 2 tai 4 ja 3... Mutta mahdollisuus saada numero 2 on vain yksi: heittää kahdesti 1. Näin ollen todennäköisyys saada 7 on suurempi kuin 2! Tätä kutsutaan todennäköisyysteoriaksi. Monet pelit liittyvät tähän periaatteeseen, erityisesti käteispelit.

Noppien käytöstä.
Noppa voi olla itsenäinen peli ilman muita elementtejä. Ainoa asia, jota ei käytännössä ole olemassa, on pelejä yhdelle kuutiolle. Säännöt vaativat vähintään kaksi (esimerkiksi kreppi). Noppapokerin pelaamiseen tarvitset viisi noppaa, kynän ja paperia. Tavoitteena on täyttää samannimisen korttipelin yhdistelmiä vastaavia yhdistelmiä kirjoittamalla niille pisteet erityiseen taulukkoon. Lisäksi kuutio on erittäin suosittu osa lautapeleissä, jonka avulla voit siirtää pelimerkkejä tai päättää pelitaistelujen lopputuloksesta.

Die on valettu.
Vuonna 49 eaa. e. nuori Julius Caesar valloitti Gallin ja palasi Pompejiin. Mutta hänen valtansa herätti huolta senaattoreiden keskuudessa, jotka päättivät hajottaa hänen armeijansa ennen hänen paluutaan. Tuleva keisari, saapunut tasavallan rajoille, päättää rikkoa järjestystä ylittämällä sen armeijan kanssa. Ennen kuin hän ylitti Rubiconin (joen, joka oli rajana), hän lausui "Alea jacta est" ("arpa heitetty") legioonalaistensa edessä. Tästä sanelusta on tullut tunnuslause, jonka merkitys on, että kuten pelissä, joidenkin päätösten jälkeen ei ole enää mahdollista perääntyä.