Tehoyhtälöt ja lausekkeet kuinka ratkaista. Luento: “Menetelmät eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi

Koti / Psykologia

Tässä artikkelissa tutustut kaikkiin tyyppeihin eksponentiaaliyhtälöt ja algoritmeja niiden ratkaisemiseksi, oppia tunnistamaan, mihin tyyppiin se kuuluu eksponentiaalinen yhtälö, joka sinun on ratkaistava, ja käytä asianmukaista menetelmää sen ratkaisemiseksi. Yksityiskohtainen esimerkkiratkaisu eksponentiaaliyhtälöt Voit katsoa jokaista tyyppiä vastaavista VIDEOTUNNISTA.

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon sisältyy eksponenttiin.

Ennen kuin aloitat eksponentiaaliyhtälön ratkaisemisen, on hyödyllistä tehdä muutama alustavia toimia , mikä voi merkittävästi helpottaa sen ratkaisemista. Nämä ovat vaiheet:

1. Jaa kaikki potenssien kantaluvut alkutekijöihin.

2. Esitä juuret asteena.

3. Esitä desimaalimurtoluvut tavallisina murtolukuina.

4. Kirjoita sekaluvut virheellisiksi murtoluvuiksi.

Ymmärrät näiden toimien edut yhtälöiden ratkaisuprosessissa.

Katsotaanpa päätyyppejä eksponentiaaliyhtälöt ja algoritmit niiden ratkaisemiseksi.

1. Muodon yhtälö

Tämä yhtälö vastaa yhtälöä

Katso yhtälön ratkaisu tästä OPETUSvideosta tämä tyyppi.

2. Muodon yhtälö

Tämän tyyppisissä yhtälöissä:

b) eksponentin tuntemattoman kertoimet ovat yhtä suuret.

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on otettava huomioon pienin tekijä.

Esimerkki tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemisesta:

katso VIDEOOPETUS.

3. Muodon yhtälö

Tämän tyyppiset yhtälöt eroavat siinä

a) Kaikilla asteikoilla on sama kanta

b) eksponentin tuntemattoman kertoimet ovat erilaisia.

Tämän tyyppiset yhtälöt ratkaistaan muuttujien muutoksilla. Ennen korvauksen käyttöönottoa on suositeltavaa päästä eroon eksponentin ilmaisista ehdoista. (, , jne)

Katso VIDEOOPAS tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemiseksi:

4. Homogeeniset yhtälöt ystävällinen

Homogeenisten yhtälöiden erityispiirteet:

a) kaikilla monomieilla on sama aste,

b) vapaa termi on nolla,

c) yhtälö sisältää potenssit kahdella eri kantalla.

Homogeeniset yhtälöt ratkaistaan käyttämällä samanlaista algoritmia.

Tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemiseksi jaamme yhtälön molemmat puolet arvolla (voidaan jakaa arvolla tai arvolla)

Huomio! Kun jaat yhtälön oikean ja vasemman puolen lausekkeella, joka sisältää tuntemattoman, voit menettää juuret. Siksi on tarpeen tarkistaa, ovatko lausekkeen juuret, joilla jaamme yhtälön molemmat puolet, alkuperäisen yhtälön juuria.

Meidän tapauksessamme, koska lauseke ei ole nolla millekään tuntemattoman arvolle, voimme jakaa sillä ilman pelkoa. Jaetaan yhtälön vasen puoli tällä lausekkeella termillä. Saamme:

Pienennetään toisen ja kolmannen murtoluvun osoittajaa ja nimittäjää:

Esittelemme korvaavan:

Lisäksi title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Saamme toisen asteen yhtälön:

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö, etsitään arvot, jotka täyttävät ehdon title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Katso VIDEO-OPETUS saadaksesi yksityiskohtaisen ratkaisun homogeeniseen yhtälöön:

5. Muodon yhtälö

Tätä yhtälöä ratkaiseessa lähdetään siitä, että title="f(x)>0">!}

Alkutasa-arvo täyttyy kahdessa tapauksessa:

1. Jos, koska 1 mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin 1,

2. Jos kaksi ehtoa täyttyy:

Title="delim(lbrace)(matriisi(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Katso VIDEO-OPAS saadaksesi yksityiskohtaisen ratkaisun yhtälöön

Eksponentiaaliyhtälöt. Kuten tiedät, Unified State Examination sisältää yksinkertaisia yhtälöitä. Olemme jo harkinneet joitain - nämä ovat logaritmisia, trigonometrisiä, rationaalisia. Tässä ovat eksponentiaaliset yhtälöt.

Äskettäisessä artikkelissa, jossa työskentelimme eksponentiaalisten lausekkeiden kanssa, se on hyödyllinen. Itse yhtälöt ratkaistaan yksinkertaisesti ja nopeasti. Sinun tarvitsee vain tietää eksponentien ominaisuudet ja... TästäEdelleen.

Listataan eksponentien ominaisuudet:

Minkä tahansa luvun nollapotenssi on yhtä suuri kuin yksi.

Seuraus tästä omaisuudesta:

Vähän lisää teoriaa.

Eksponentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää muuttujan eksponentissa, eli se on muotoa:

f(x) lauseke, joka sisältää muuttujan

Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi

1. Muutosten seurauksena yhtälö voidaan pelkistää muotoon:

Sitten käytämme omaisuutta:

2. Saatuaan muodon yhtälön a f (x) = b käyttämällä logaritmin määritelmää, saamme:

3. Muutosten tuloksena voit saada yhtälön muotoa:

Käytetty logaritmi:

Ilmaise ja etsi x.

Unified State Exam -versioiden ongelmissa riittää ensimmäisen menetelmän käyttäminen.

Eli on tarpeen esittää vasen ja oikea puoli potenssien muodossa, joilla on sama kanta, ja sitten yhtälöimme eksponentit ja ratkaisemme tavallisen lineaarisen yhtälön.

Harkitse yhtälöitä:

Etsi yhtälön 4 juuri 1–2x = 64.

On tarpeen varmistaa, että vasen ja oikea puoli sisältävät eksponentiaalisia lausekkeita, joilla on sama kanta. Voimme esittää 64:nä 4:n potenssilla 3. Saamme:

4 1-2x = 4 3

1-2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Tutkimus:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Vastaus: -1

Etsi yhtälön 3 juuri x–18 = 1/9.

On tiedossa, että

Joten 3 x-18 = 3 -2

Perusteet ovat yhtä suuret, voimme rinnastaa indikaattorit:

x – 18 = – 2

x = 16

Tutkimus:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Vastaus: 16

Etsi yhtälön juuri:

Esitetään murto-osa 1/64 neljänneksenä kolmannesta potenssista:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Tutkimus:

Vastaus: 11

Etsi yhtälön juuri:

Oletetaan, että 1/3 on 3 -1 ja 9 3 neliönä, saamme:

(3-1) 8-2x = 3 2

3–1∙(8–2x) = 3 2

3–8+2x = 3 2

Nyt voimme rinnastaa indikaattorit:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Tutkimus:

Vastaus: 5

26654. Etsi yhtälön juuri:

Ratkaisu:

Vastaus: 8.75

Todellakin, riippumatta siitä, millä potenssilla nostamme positiivisen luvun a arvoon, emme voi saada negatiivista lukua.

Mikä tahansa eksponentiaaliyhtälö asianmukaisten muunnosten jälkeen pelkistetään yhden tai useamman yksinkertaisen muunnoksen ratkaisemiseksi.Tässä osiossa tarkastellaan myös joidenkin yhtälöiden ratkaisemista, älä missaa sitä!Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Eksponentiaaliyhtälöt ovat niitä, joissa tuntematon sisältyy eksponenttiin. Yksinkertaisin eksponentiaaliyhtälö on muotoa: a x = a b, missä a> 0, a 1, x on tuntematon.

Potenssejen pääominaisuudet, joilla eksponentiaaliyhtälöt muunnetaan: a>0, b>0.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa käytetään myös seuraavia eksponentiaalifunktion ominaisuuksia: y = a x, a > 0, a1:

Jos haluat esittää luvun potenssina, käytä logaritmista perusidentiteettiä: b = , a > 0, a1, b > 0.

Tehtäviä ja testejä aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt"

Eksponentiaaliyhtälöt
Oppitunnit: 4 Tehtäviä: 21 Koetta: 1
Eksponentiaaliyhtälöt - Tärkeitä aiheita matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tarkasteluun
Tehtävät: 14
Eksponentiaali- ja logaritmisyhtälöjärjestelmät - Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot luokka 11
Oppitunnit: 1 Tehtävät: 15 koetta: 1
§2.1. Eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaiseminen
Oppitunnit: 1 Tehtävät: 27
§7 Eksponentiaaliset ja logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt - Osa 5. Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot, arvosana 10
Oppitunnit: 1 Tehtävät: 17

Jotta voit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä potenssien perusominaisuudet, eksponentiaalisen funktion ominaisuudet ja logaritminen perusidentiteetti.

Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa käytetään kahta päämenetelmää:

siirtyminen yhtälöstä a f(x) = a g(x) yhtälöön f(x) = g(x);
uusien linjojen käyttöönotto.

Esimerkkejä.

1. Yhtälöt pelkistettynä yksinkertaisimpiin. Ne ratkaistaan pelkistämällä yhtälön molemmat puolet potenssiin, jolla on sama kanta.

3 x = 9 x – 2.

Ratkaisu:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Vastaus: 4.

2. Yhtälöt ratkaistaan ottamalla yhteinen tekijä pois suluista.

Ratkaisu:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 x 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Vastaus: 3.

3. Yhtälöt, jotka on ratkaistu muuttujan muutoksella.

Ratkaisu:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Merkitään 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Vastaus: loki 2 3.

4. Yhtälöt, jotka sisältävät potenssit kahdella eri (toisiinsa ei pelkistetyllä) kantalla.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2.

3 × 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x–2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Vastaus: 2.

5. Yhtälöt, jotka ovat homogeenisia suhteessa a x:n ja b x:n suhteen.

Yleinen muoto: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Ratkaisu:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Merkitään (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 v + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Vastaus: log 3/2 2; - loki 3/2 2.

Mikä on eksponentiaalinen yhtälö? Esimerkkejä.

Joten, eksponentiaalinen yhtälö... Uusi ainutlaatuinen näyttelymme yleisnäyttelyssämme, jossa on monenlaisia yhtälöitä!) Kuten lähes aina, jokaisen uuden matemaattisen termin avainsana on sitä kuvaava vastaava adjektiivi. Joten se on täällä. Avainsana termissä "eksponentiaalinen yhtälö" on sana "suuntaa antava". Mitä se tarkoittaa? Tämä sana tarkoittaa, että tuntematon (x) sijaitsee minkä tahansa tutkinnon suhteen. Ja vain siellä! Tämä on erittäin tärkeää.

Esimerkiksi nämä yksinkertaiset yhtälöt:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Tai jopa nämä hirviöt:

2 sin x = 0,5

Kiinnitä heti huomiosi yhteen tärkeään asiaan: syyt astetta (alhaalla) - vain numeroita. Mutta sisään indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima X:llä varustettuja lausekkeita. Ehdottomasti mikä tahansa.) Kaikki riippuu tietystä yhtälöstä. Jos yhtälössä yhtäkkiä jossain muualla esiintyy x indikaattorin lisäksi (esim. 3 x = 18 + x 2), niin tällainen yhtälö on jo yhtälö sekoitettu tyyppi. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä niiden ratkaisemiseksi. Siksi emme käsittele niitä tässä oppitunnissa. Opiskelijoiden iloksi.) Tässä tarkastellaan vain eksponentiaaliyhtälöitä niiden "puhtaassa" muodossa.

Yleisesti ottaen kaikkia eivätkä aina edes puhtaita eksponentiaaliyhtälöitä voida ratkaista selkeästi. Mutta kaikkien eksponentiaalisten yhtälöiden joukossa on tiettyjä tyyppejä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Juuri tämän tyyppisiä yhtälöitä harkitsemme. Ja me varmasti ratkaisemme esimerkit.) Joten olosi mukavaksi ja mennään! Kuten tietokoneampumisessa, matkamme tapahtuu tasojen kautta.) Perustasosta yksinkertaiseen, yksinkertaisesta keskitasoon ja keskitasosta monimutkaiseen. Matkan varrella sinua odottaa myös salainen taso - tekniikat ja menetelmät epätyypillisten esimerkkien ratkaisemiseksi. Sellaisia, joista et lue useimmista koulukirjoista... No, ja lopussa tietysti lopullinen pomo odottaa sinua kotitehtävien muodossa.)

Taso 0. Mikä on yksinkertaisin eksponentiaaliyhtälö? Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen.

Katsotaanpa ensin joitain rehellisiä perusasioita. Sinun on aloitettava jostain, eikö? Esimerkiksi tämä yhtälö:

2 x = 2 2

Jopa ilman teorioita, yksinkertaisella logiikalla ja terveellä järjellä on selvää, että x = 2. Ei ole muuta tapaa, eikö? Mikään muu X:n merkitys ei sovi... Ja nyt käännetään huomiomme siihen pöytäkirja päätöksenteosta tämä siisti eksponentiaaliyhtälö:

2 x = 2 2

X = 2

Mitä meille tapahtui? Ja seuraava tapahtui. Otimme sen ja... yksinkertaisesti heitimme pois samat alustat (kaksi)! Täysin ulos heitetty. Ja hyvä uutinen on, että osuimme häränsilmään!

Kyllä, todellakin, jos eksponentiaalisessa yhtälössä on vasen ja oikea sama numeroita millä tahansa potenssilla, niin nämä luvut voidaan hylätä ja yksinkertaisesti rinnastaa eksponentit. Matematiikka sallii.) Ja sitten voit työskennellä erikseen indikaattoreiden kanssa ja ratkaista paljon yksinkertaisemman yhtälön. Hienoa, eikö?

Tässä on avainidea minkä tahansa (kyllä, täsmälleen minkä tahansa!) eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi: käyttämällä identtisiä muunnoksia, on tarpeen varmistaa, että yhtälön vasen ja oikea puoli ovat sama perusluvut eri tehoissa. Ja sitten voit turvallisesti poistaa samat emäkset ja rinnastaa eksponentit. Ja työskentele yksinkertaisemman yhtälön kanssa.

Muistetaan nyt rautasääntö: on mahdollista poistaa identtiset kannat, jos ja vain jos yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevilla numeroilla on kantalukuja ylpeässä yksinäisyydessä.

Mitä se tarkoittaa loistavassa eristyksissä? Tämä tarkoittaa ilman naapureita ja kertoimia. Anna minun selittää.

Esimerkiksi Eq.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Kolmea ei voi poistaa! Miksi? Koska vasemmalla meillä ei ole vain yksinäistä kolmea määrin, vaan tehdä työtä 3,3 x-5. Ylimääräinen kolme häiritsee: kerroin, ymmärräthän.)

Sama voidaan sanoa yhtälöstä

5 3 x = 5 2 x +5 x

Myös täällä kaikki pohjat ovat samat - viisi. Mutta oikealla meillä ei ole ainuttakaan viiden tehoa: on voimien summa!

Lyhyesti sanottuna meillä on oikeus poistaa identtiset kannat vain, kun eksponentiaaliyhtälömme näyttää tältä ja vain tältä:

af (x) = a g (x)

Tämän tyyppistä eksponentiaaliyhtälöä kutsutaan yksinkertaisin. Tai tieteellisesti kanoninen . Ja riippumatta siitä, mikä kierteinen yhtälö meillä on edessämme, me tavalla tai toisella pelkistämme sen juuri tähän yksinkertaisimpaan (kanoniseen) muotoon. Tai joissain tapauksissa kokonaisuus tämän tyyppisiä yhtälöitä. Sitten yksinkertaisin yhtälömme voidaan kirjoittaa uudelleen yleisessä muodossa seuraavasti:

F(x) = g(x)

Siinä kaikki. Tämä olisi vastaava muunnos. Tässä tapauksessa f(x) ja g(x) voivat olla mitä tahansa lausekkeita, joissa on x. Aivan sama.

Ehkä erityisen utelias opiskelija ihmettelee: miksi ihmeessä hylkäämme niin helposti ja yksinkertaisesti samat perusteet vasemmalla ja oikealla ja rinnastamme eksponentit? Intuitio on intuitio, mutta entä jos jossain yhtälössä ja jostain syystä tämä lähestymistapa osoittautuu vääräksi? Onko aina laillista heittää pois samat perusteet? Valitettavasti tiukan matemaattisen vastauksen saamiseksi tähän mielenkiintoiseen kysymykseen sinun on sukeltava melko syvästi ja vakavasti funktioiden rakenteen ja käyttäytymisen yleiseen teoriaan. Ja hieman tarkemmin - ilmiössä tiukkaa yksitoikkoisuutta. Erityisesti tiukka yksitoikkoisuus eksponentti funktioy= x. Koska eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisun taustalla on eksponentiaalinen funktio ja sen ominaisuudet, kyllä.) Yksityiskohtainen vastaus tähän kysymykseen annetaan erillisessä erikoistunnissa, joka on omistettu monimutkaisten epästandardien yhtälöiden ratkaisemiseen käyttämällä eri funktioiden monotonisuutta.)

Tämän kohdan yksityiskohtainen selittäminen nyt vain räjäyttäisi keskivertoopiskelijan mielet ja pelottaisi hänet etukäteen kuivalla ja raskaalla teorialla. En tee tätä.) Koska päätehtävämme tällä hetkellä on Opi ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä! Yksinkertaisimmat! Siksi älkäämme vielä huoliko ja heittäkäämme rohkeasti esiin samat syyt. Tämä Voi, ota sanani!) Ja sitten ratkaisemme ekvivalentin yhtälön f(x) = g(x). Yleensä yksinkertaisempi kuin alkuperäinen eksponentiaali.

Oletetaan tietysti, että ihmiset osaavat jo ratkaista ainakin , ja yhtälöt ilman x:iä eksponenteissa.) Ne, jotka eivät vieläkään tiedä miten, voit sulkea tämän sivun, seurata linkkejä ja täyttää vanhat aukot. Muuten sinulla on vaikeaa, kyllä...

En puhu irrationaalisista, trigonometrisista ja muista raaoista yhtälöistä, joita voi syntyä myös perusteiden poistamisen yhteydessä. Mutta älä huoli, emme harkitse suoranaista julmuutta asteittain: se on liian aikaista. Harjoittelemme vain yksinkertaisimmilla yhtälöillä.)

Katsotaanpa nyt yhtälöitä, jotka vaativat lisäponnistuksia niiden pelkistämiseksi yksinkertaisimpiin. Kutsutaan heitä eron vuoksi yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt. Joten siirrytään seuraavalle tasolle!

Taso 1. Yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt. Tunnustetaan tutkinnot! Luonnolliset indikaattorit.

Tärkeimmät säännöt eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ovat tutkintojen käsittelyä koskevat säännöt. Ilman näitä tietoja ja taitoja mikään ei toimi. Valitettavasti. Joten jos on ongelmia tutkintojen kanssa, niin ensin olet tervetullut. Lisäksi tarvitsemme myös . Nämä muunnokset (kaksi niistä!) ovat perusta kaikkien matemaattisten yhtälöiden ratkaisemiselle yleisesti. Eikä vain demonstratiivisia. Joten, joka unohti, katso myös linkki: en vain laita niitä sinne.

Mutta operaatiot voimien ja identiteetin muunnosten kanssa eivät yksin riitä. Myös henkilökohtaista havainnointia ja kekseliäisyyttä tarvitaan. Tarvitsemme samat syyt, eikö niin? Joten tarkastelemme esimerkkiä ja etsimme niitä selkeässä tai peitellyssä muodossa!

Esimerkiksi tämä yhtälö:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Ensimmäinen katse perusteita. He ovat erilaisia! Kolme ja kaksikymmentäseitsemän. Mutta on liian aikaista paniikkiin ja epätoivoon. On aika muistaa se

27 = 3 3

Numerot 3 ja 27 ovat sukulaisia asteen mukaan! Ja läheiset.) Siksi meillä on täysi oikeus kirjoittaa:

27 x +2 = (3 3) x+2

Yhdistetään nyt tietomme aiheesta toiminnot asteilla(ja varoitin sinua!). Siellä on erittäin hyödyllinen kaava:

(a m) n = a mn

Jos laitat sen nyt käyttöön, se toimii loistavasti:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Alkuperäinen esimerkki näyttää nyt tältä:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Hienoa, asteiden pohjat ovat tasoittuneet. Sitä me halusimme. Puolet taistelusta on tehty.) Nyt käynnistetään perusidentiteetin muunnos - siirrä 3 3(x +2) oikealle. Kukaan ei ole peruuttanut matematiikan perusoperaatioita, kyllä.) Saamme:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Mitä tällainen yhtälö antaa meille? Ja se, että nyt yhtälömme on pienentynyt kanoniseen muotoon: vasemmalla ja oikealla on samat numerot (kolmet) tehoissa. Lisäksi molemmat kolme ovat erinomaisessa eristyksissä. Voit vapaasti poistaa kolmiot ja saada:

2x = 3(x+2)

Ratkaisemme tämän ja saamme:

X = -6

Se siitä. Tämä on oikea vastaus.)

Mietitään nyt ratkaisua. Mikä pelasti meidät tässä esimerkissä? Tieto kolmen voimista pelasti meidät. Miten tarkalleen? Me tunnistettu numero 27 sisältää salatun kolmen! Tämä temppu (sama kanta eri numeroiden koodaus) on yksi suosituimmista eksponentiaalisissa yhtälöissä! Ellei se ole suosituin. Kyllä, ja samalla tavalla, muuten. Tästä syystä havainnointi ja kyky tunnistaa muiden lukujen potenssit numeroissa ovat niin tärkeitä eksponentiaalisissa yhtälöissä!

Käytännön neuvoja:

Sinun on tiedettävä suosittujen numeroiden voimat. Naamassa!

Tietenkin kuka tahansa voi nostaa kaksi seitsemänteen potenssiin tai kolme viidenteen potenssiin. Ei mielessäni, mutta ainakin luonnoksessa. Mutta eksponentiaaliyhtälöissä paljon useammin ei tarvitse nostaa potenssiin, vaan pikemminkin selvittää, mikä luku ja mihin potenssiin on piilotettu luvun takana, vaikkapa 128 tai 243. Ja tämä on monimutkaisempaa kuin yksinkertainen korotus, sinä olet samaa mieltä. Tunne ero, kuten he sanovat!

Koska kyky tunnistaa tutkinnot henkilökohtaisesti on hyödyllinen paitsi tällä tasolla, myös seuraavilla, tässä on sinulle pieni tehtävä:

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä numerot luvut ovat:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Vastaukset (tietysti satunnaisesti):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Kyllä kyllä! Älä ihmettele, että vastauksia on enemmän kuin tehtäviä. Esimerkiksi 2 8, 4 4 ja 16 2 ovat kaikki 256.

Taso 2. Yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt. Tunnustetaan tutkinnot! Negatiiviset ja murto-osat.

Tällä tasolla hyödynnämme tutkintotietomme jo täysillä. Otamme nimittäin mukaan negatiiviset ja murto-indikaattorit tähän kiehtovaan prosessiin! Kyllä kyllä! Meidän on lisättävä voimaamme, eikö niin?

Esimerkiksi tämä kauhea yhtälö:

Jälleen ensimmäinen silmäys on perusta. Syyt ovat erilaisia! Ja tällä kertaa ne eivät ole ollenkaan samanlaisia toistensa kanssa! 5 ja 0,04... Ja emästen poistamiseen tarvitaan samoja... Mitä tehdä?

Se on okei! Itse asiassa kaikki on sama, vain yhteys viiden ja 0,04:n välillä on visuaalisesti huonosti näkyvissä. Kuinka pääsemme ulos? Jatketaan numeroon 0,04 tavallisena murtolukuna! Ja sitten näet, kaikki järjestyy.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Osoittautuu, että 0,04 on 1/25! No, kuka olisi arvannut!)

Niin miten? Onko nyt helpompi nähdä yhteys numeroiden 5 ja 1/25 välillä? Se siitä...

Ja nyt sääntöjen mukaan toimintaa astetta kanssa negatiivinen indikaattori Voit kirjoittaa vakaalla kädellä:

Se on hienoa. Joten pääsimme samaan tukikohtaan - viisi. Nyt korvaamme yhtälön epämukavan luvun 0,04 numerolla 5 -2 ja saamme:

Jälleen, asteen toimintasääntöjen mukaan voimme nyt kirjoittaa:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Varmuuden vuoksi muistutan (jos joku ei tiedä), että tutkintojen käsittelyn perussäännöt pätevät minkä tahansa indikaattoreita! Mukaan lukien negatiiviset.) Ota siis vapaasti ja kerro indikaattorit (-2) ja (x-1) sopivan säännön mukaisesti. Yhtälömme paranee ja paranee:

Kaikki! Yksinäisten viitosten lisäksi vasemmalla ja oikealla ei ole mitään muuta. Yhtälö on pelkistetty kanoniseen muotoon. Ja sitten - uurrettua rataa pitkin. Poistamme viisiluvut ja vertaamme indikaattorit:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Esimerkki on melkein ratkaistu. Jäljellä on vain alakoulun matematiikka - avaa (oikein!) sulut ja kerää kaikki vasemmalta:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Ratkaisemme tämän ja saamme kaksi juuria:

x 1 = 1; x 2 = 3

Siinä kaikki.)

Mietitään nyt uudestaan. Tässä esimerkissä meidän oli jälleen tunnistettava sama numero eri asteilla! Nimittäin nähdäksesi salatun viiden numerossa 0.04. Ja tällä kertaa sisään negatiivinen aste! Miten teimme tämän? Heti kärkeen - ei mitenkään. Mutta siirryttyään desimaalimurtoluvusta 0,04 yhteiseen murto-osaan 1/25, kaikki tuli selväksi! Ja sitten koko päätös meni kuin kellonnakko.)

Siksi toinen vihreä käytännön neuvo.

Jos eksponentiaaliyhtälö sisältää desimaalilukuja, siirrymme desimaalimurtoluvuista tavallisiin murtolukuihin. On paljon helpompaa tunnistaa monien suosittujen lukujen tehot murtolukuina! Tunnustamisen jälkeen siirrymme murtoluvuista potenssiin negatiivisilla eksponenteilla.

Muista, että tämä temppu esiintyy hyvin, hyvin usein eksponentiaalisissa yhtälöissä! Mutta henkilö ei ole aiheessa. Hän katsoo esimerkiksi numeroita 32 ja 0,125 ja suuttuu. Hänen tietämättään tämä on yksi ja sama kaksi, vain eri määrin... Mutta sinä olet jo perillä!)

Ratkaise yhtälö:

Sisään! Näyttää hiljaiselta kauhulta... Ulkonäkö kuitenkin pettää. Tämä on yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö pelottavasta ulkonäöstään huolimatta. Ja nyt näytän sen sinulle.)

Ensin tarkastellaan kaikkia lukuja emäksissä ja kertoimissa. Ne ovat tietysti erilaisia, kyllä. Mutta otamme silti riskin ja yritämme tehdä niistä identtinen! Yritetään päästä sama numero eri tehoissa. Lisäksi luvut ovat mieluiten mahdollisimman pieniä. Joten, aloitetaan dekoodaus!

No, neljällä kaikki on heti selvää - se on 2 2. Okei, se on jo jotain.)

Murto-osalla 0,25 - se on edelleen epäselvää. Pitää tarkistaa. Käytämme käytännön neuvoja - siirry desimaalimurtoluvusta tavalliseen murtolukuun:

0,25 = 25/100 = 1/4

Paljon parempi jo. Koska nyt on selvästi nähtävissä, että 1/4 on 2 -2. Hienoa, ja luku 0,25 on myös samanlainen kuin kaksi.)

Toistaiseksi hyvin. Mutta kaikista pahin määrä on jäljellä - kahdesta neliöjuuri! Mitä tehdä tälle pippurilla? Voidaanko se esittää myös kahden potenssina? Ja kuka tietää...

No, sukeltakaamme taas tutkintojen tietovarastoon! Tällä kertaa yhdistämme lisäksi tietomme juurista. 9. luokan kurssilta sinun ja minun olisi pitänyt oppia, että mistä tahansa juuresta voidaan haluttaessa aina muuttaa tutkinto murto-osoittimella.

Kuten tämä:

Meidän tapauksessamme:

Vau! Osoittautuu, että kahden neliöjuuri on 2 1/2. Se siitä!

Se on hyvä! Kaikki epämiellyttävät numeromme osoittautuivat itse asiassa salatuiksi kahdeksi.) En väitä, jossain erittäin hienostuneesti salattu. Mutta parannamme myös ammattitaitoamme tällaisten salausten ratkaisemisessa! Ja sitten kaikki on jo selvää. Korvaamme yhtälössämme luvut 4, 0,25 ja kahden juuren kahden potenssilla:

Kaikki! Esimerkin kaikkien asteiden kanta oli sama - kaksi. Ja nyt käytetään tavallisia toimintoja asteilla:

olena n = olen + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Vasemmalta puolelta saat:

2 -2 · (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Oikealle puolelle se tulee olemaan:

Ja nyt meidän paha yhtälömme näyttää tältä:

Niille, jotka eivät ole tarkalleen ymmärtäneet, kuinka tämä yhtälö syntyi, tässä ei ole kysymys eksponentiaalisista yhtälöistä. Kysymys koskee toimintoja asteilla. Pyysin sinua toistamaan sen kiireesti niille, joilla on ongelmia!

Tässä on maaliviiva! Eksponentiaaliyhtälön kanoninen muoto on saatu! Niin miten? Olenko vakuuttanut sinut, että kaikki ei ole niin pelottavaa? ;) Poistamme kaksi ja vertaamme indikaattorit:

Jäljelle jää vain tämän lineaarisen yhtälön ratkaiseminen. Miten? Tietysti identtisten muunnosten avulla.) Päätä, mitä tapahtuu! Kerro molemmat puolet kahdella (poistaaksesi murto-osan 3/2), siirrä termit X:illä vasemmalle, ilman X:iä oikealle, tuo samanlaiset, laske - niin olet onnellinen!

Kaiken pitäisi mennä kauniisti:

X = 4

Mietitäänpä nyt vielä ratkaisua. Tässä esimerkissä meitä auttoi siirtyminen kohteesta neliöjuuri Vastaanottaja astetta eksponentti 1/2. Lisäksi vain tällainen ovela muutos auttoi meitä saavuttamaan saman tukikohdan (kaksi) kaikkialla, mikä pelasti tilanteen! Ja jos ei sitä, niin meillä olisi kaikki mahdollisuudet jäätyä ikuisesti emmekä koskaan selviä tästä esimerkistä, kyllä...

Siksi emme unohda seuraavia käytännön neuvoja:

Jos eksponentiaaliyhtälö sisältää juuria, siirrymme juurista potenssiin murto-osien eksponenteilla. Hyvin usein vain tällainen muutos selventää tilannetta.

Tietenkin negatiiviset ja murtovoimat ovat jo paljon monimutkaisempia kuin luonnolliset voimat. Ainakin visuaalisen havainnon ja varsinkin oikealta vasemmalle tunnistamisen kannalta!

On selvää, että esimerkiksi kahden suoraan nostaminen potenssiin -3 tai neljän -3/2 potenssiin ei ole niin suuri ongelma. Tietäville.)

Mutta mene esimerkiksi tajuamaan se heti

0,125 = 2 -3

Tai

Täällä vain harjoitus ja rikas kokemus sääntö, kyllä. Ja tietysti selkeä ajatus, Mikä on negatiivinen ja murto-aste? Ja myös käytännön neuvoja! Kyllä, kyllä, ne samat vihreä.) Toivon, että ne silti auttavat sinua navigoimaan paremmin koko monipuolisessa tutkintovalikoimassa ja lisäävät merkittävästi menestymismahdollisuuksiasi! Älä siis unohda niitä. En turhaan kirjoita joskus vihreällä.)

Mutta jos opit tuntemaan toisensa jopa sellaisilla eksoottisilla voimilla kuin negatiivinen ja murto-osa, kykysi ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä laajenee valtavasti ja pystyt käsittelemään melkein minkä tahansa tyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä. No, jos ei yhtään, niin 80 prosenttia kaikista eksponentiaalisista yhtälöistä - varmasti! Kyllä, kyllä, en vitsaile!

Joten ensimmäinen osamme johdannostamme eksponentiaaliyhtälöihin on tullut loogiseen päätökseen. Ja väliharjoitteluna suosittelen perinteisesti pienen itsetutkiskelun tekemistä.)

Harjoitus 1.

Jotta sanani negatiivisten ja murto-osien purkamisesta eivät menisi turhaan, ehdotan pienen pelin pelaamista!

Ilmaise luvut kahden potenssina:

Vastaukset (sekaisin):

Tapahtui? Loistava! Sitten suoritamme taistelutehtävän - ratkaise yksinkertaisimmat ja yksinkertaisimmat eksponentiaaliset yhtälöt!

Tehtävä 2.

Ratkaise yhtälöt (kaikki vastaukset ovat sotkua!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Vastaukset:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Tapahtui? Todellakin, se on paljon yksinkertaisempaa!

Sitten ratkaisemme seuraavan pelin:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Vastaukset:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Ja nämä esimerkit ovat yksi jäljellä? Loistava! Sinä kasvat! Sitten tässä on lisää esimerkkejä välipalaksi:

Vastaukset:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ja onko tämä päätetty? No kunnioitusta! Nostan hattua.) Tämä tarkoittaa, että oppitunti ei ollut turha, ja eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisun alkutasoa voidaan pitää onnistuneesti hallituina. Seuraavat tasot ja monimutkaisemmat yhtälöt ovat edessä! Ja uusia tekniikoita ja lähestymistapoja. Ja epätyypillisiä esimerkkejä. Ja uusia yllätyksiä.) Kaikki tämä on seuraavalla oppitunnilla!

Menikö jokin pieleen? Tämä tarkoittaa, että todennäköisesti ongelmat ovat . Tai sisään. Tai molemmat kerralla. Olen voimaton täällä. Voin jälleen kerran ehdottaa vain yhtä asiaa - älä ole laiska ja seuraa linkkejä.)

Jatkuu.)

Laitteet:

tietokone,
multimediaprojektori,
näyttö,
Liite 1(PowerPoint-diaesitys) "Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi"
Liite 2(Yhtälön, kuten "Kolme erilaista voiman kantaa" ratkaiseminen Wordissa)
Liite 3(Word-monisteet käytännön työhön).
Liite 4(Word-moniste läksyjä varten).

Tuntien aikana

1. Organisaatiovaihe

oppitunnin aiheen viesti (kirjoitettu taululle),
yleisen oppitunnin tarve luokilla 10-11:

Opiskelijoiden aktiiviseen oppimiseen valmistautumisvaihe

Kertaus

Määritelmä.

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, joka sisältää muuttujan eksponentin kanssa (opiskelija vastaa).

Opettajan huomautus. Eksponentiaaliyhtälöt kuuluvat transsendenttisten yhtälöiden luokkaan. Tämä lausumaton nimi viittaa siihen, että tällaisia yhtälöitä ei yleisesti ottaen voida ratkaista kaavojen muodossa.

Ne voidaan ratkaista vain suunnilleen numeerisilla menetelmillä tietokoneissa. Mutta entä koetehtävät? Temppu on, että tutkija kehystää ongelman siten, että se mahdollistaa analyyttisen ratkaisun. Toisin sanoen voit (ja pitäisi!) suorittaa identtisiä muunnoksia, jotka vähentävät tämän eksponentiaaliyhtälön yksinkertaisimmaksi eksponentiaaliseksi yhtälöksi. Tätä yksinkertaisinta yhtälöä kutsutaan: yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö. Se on ratkaistu logaritmin mukaan.

Tilanne eksponentiaaliyhtälön ratkaisemisessa muistuttaa matkaa labyrintin läpi, jonka ongelman tekijä on erityisesti keksinyt. Näistä hyvin yleisistä väitteistä seuraa hyvin erityisiä suosituksia.

Jotta eksponentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista onnistuneesti, sinun on:

1. Sen lisäksi, että tiedät aktiivisesti kaikki eksponentiaaliset identiteetit, vaan myös etsit muuttujaarvojoukot, joille nämä identiteetit on määritelty, jotta et saa tarpeettomia juuria käyttäessäsi näitä identiteettejä ja varsinkin et menetä ratkaisuja yhtälöön.

2. Tunne aktiivisesti kaikki eksponentiaaliset identiteetit.

3. Selvästi, yksityiskohtaisesti ja ilman virheitä, suorita yhtälöiden matemaattiset muunnokset (siirrä termit yhtälön yhdestä osasta toiseen, unohtamatta muuttaa etumerkkiä, tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään jne.). Tätä kutsutaan matemaattiseksi kulttuuriksi. Samanaikaisesti itse laskelmat tulisi tehdä automaattisesti käsin ja pään tulisi ajatella ratkaisun yleistä ohjauslankaa. Muutokset tulee tehdä mahdollisimman huolellisesti ja yksityiskohtaisesti. Vain tämä takaa oikean ja virheettömän päätöksen. Ja muista: pieni aritmeettinen virhe voi yksinkertaisesti luoda transsendenttisen yhtälön, jota ei periaatteessa voida ratkaista analyyttisesti. Osoittautuu, että olet eksynyt tiesi ja osunut labyrintin seinään.

4. Tunne menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi (eli tiedä kaikki polut ratkaisusokkelon läpi). Jotta voit navigoida oikein kussakin vaiheessa, sinun on (tietoisesti tai intuitiivisesti!):

määritellä yhtälön tyyppi;
muista vastaava tyyppi ratkaisumenetelmä tehtäviä.

Tutkittavan materiaalin yleistämisen ja systematisoinnin vaihe.

Opettaja tekee yhdessä opiskelijoiden kanssa tietokoneen avulla katsauksen kaikentyyppisistä eksponentiaaliyhtälöistä ja niiden ratkaisumenetelmistä sekä laatii yleiskaavion. (Käytetään L.Ya. Borevskyn opetustietokoneohjelmaa "Mathematics Course – 2000", PowerPoint-esityksen kirjoittaja on T.N. Kuptsova.)

Riisi. 1. Kuvassa on yleinen kaavio kaikentyyppisistä eksponenttiyhtälöistä.

Kuten tästä kaaviosta voidaan nähdä, strategia eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on pelkistää annettu eksponentiaaliyhtälö yhtälöön, ensinnäkin, samoilla asteen perusteilla , ja sitten – ja samoilla asteindikaattoreilla.

Saatuaan yhtälön, jossa on samat kanta- ja eksponentit, korvaat tämän eksponentin uudella muuttujalla ja saat yksinkertaisen algebrallisen yhtälön (yleensä murto-rationaalisen tai toisen muuttujan) suhteessa tähän uuteen muuttujaan.

Kun olet ratkaissut tämän yhtälön ja tehnyt käänteisen substituution, saat joukon yksinkertaisia eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista yleisessä muodossa logaritmeilla.

Yhtälöt, joissa vain (osittais)potenssien tulot löytyvät, erottuvat. Eksponentiaalisten identiteettien avulla on mahdollista pelkistää nämä yhtälöt välittömästi yhteen kantaan, erityisesti yksinkertaisimpaan eksponentiaaliyhtälöön.

Katsotaanpa kuinka ratkaista eksponentiaalinen yhtälö kolmella eri kantalla.

(Jos opettajalla on L. Ya. Borevskyn opetustietokoneohjelma "Matematiikan kurssi - 2000", niin luonnollisesti työskentelemme levyn kanssa, jos ei, voit tulostaa tämän tyyppisen yhtälön jokaiselle työpöydälle, esitetään alla.)