Yliviivausmenetelmä. Aihe: Yliviivausmenetelmä

Jotta lineaarisen ohjelmoinnin kuljetusongelmalle olisi ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että toimittajien kokonaisvarannot ovat yhtä suuret kuin kuluttajien kokonaistarpeet, ts. tehtävän on oltava oikeassa tasapainossa.

Lause 38.2 Kuljetusongelman rajoitusjärjestelmän ominaisuus

Kuljetusongelman vektoriehtojärjestelmän arvo on N=m+n-1 (m on toimittajia, n on kuluttajia)

Kuljetusongelman vertailuratkaisu

Kuljetusongelman referenssiratkaisu on mikä tahansa mahdollinen ratkaisu, jonka positiivisia koordinaatteja vastaavat ehtovektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Ottaen huomioon, että kuljetusongelman vektoriehtojärjestelmän arvo on m + n - 1, vertailuratkaisu ei voi olla enempää kuin m+n-1 nollasta poikkeavaa koordinaattia. Ei-degeneroituneen vertailuratkaisun nollasta poikkeavien koordinaattien määrä on yhtä suuri kuin m + n-1, ja degeneroituneelle vertailuratkaisulle se on pienempi kuin m + n-1

sykli on sellainen solujono kuljetustehtävän taulukossa (i 1 , j 1),(i 1 , j 2),(i 2 , j 2),...,(i k , j 1) jossa kaksi ja vain kaksi vierekkäistä solua, jotka sijaitsevat samalla rivillä tai sarakkeessa, ja ensimmäinen ja viimeinen solu ovat myös samalla rivillä tai sarakkeessa.

Sykli on kuvattu kuljetustehtävän taulukon muodossa suljetun katkoviivan muodossa. Jaksossa mikä tahansa solu on kulmasolu, jossa polyline-linkki pyörii 90 astetta. Yksinkertaisimmat syklit on esitetty kuvassa 38.1

Lause 38.3

Hyväksytty ratkaisu siirtotehtävälle X=(x ij) on viiteratkaisu silloin ja vain, jos taulukon varatuista soluista ei voida muodostaa sykliä.

Yliviivausmenetelmä

Eliminointimenetelmän avulla voit tarkistaa, onko annettu kuljetusongelman ratkaisu referenssi.

Kirjoitetaan taulukkoon kuljetustehtävän hyväksyttävä ratkaisu, jolla on m + n-1 nollasta poikkeavat koordinaatit. Jotta tämä ratkaisu olisi referenssi, positiivisia koordinaatteja vastaavien ehtovektorien sekä perusnollien on oltava lineaarisesti riippumattomia. Tätä varten ratkaisun miehittämät taulukon solut on järjestettävä siten, että niistä on mahdotonta muodostaa sykliä.

Taulukon riviä tai saraketta, jossa yksi solu on varattu, ei voida sisällyttää mihinkään sykliin, koska syklissä on kaksi ja vain kaksi solua kullakin rivillä tai sarakkeella. Siksi, jos haluat ensin yliviivata joko kaikki taulukon rivit, jotka sisältävät yhden varatun solun, tai kaikki sarakkeet, jotka sisältävät yhden varatun solun, palaa sitten sarakkeisiin (riveihin) ja jatka poistamista.

Jos poistamisen seurauksena kaikki rivit ja sarakkeet poistetaan, se tarkoittaa, että taulukon miehitetyistä soluista on mahdotonta valita syklin muodostavaa osaa ja vastaavien ehtovektorien järjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja ratkaisu on referenssi.

Jos deleetion jälkeen jää jäljelle joitakin soluja, niin nämä solut muodostavat syklin, vastaavien ehtovektorien järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, eikä ratkaisu ole tuki.

Esimerkkejä "yliviivatuista" (viite) ja "ei yliviivattu" (ei-viittausratkaisut):

Yliviivauslogiikka:

1. Poista kaikki sarakkeet, joissa on vain yksi varattu solu (5 0 0), (0 9 0)
2. Poista kaikki rivit, joissa on vain yksi varattu solu (0 15), (2 0)
3. Toista sykli (7) (1)

Menetelmät alkuperäisen vertailuliuoksen muodostamiseksi

Luoteiskulmamenetelmä

Alkuperäisen vertailuratkaisun rakentamiseen on olemassa useita menetelmiä, joista yksinkertaisin on luoteiskulmamenetelmä.
AT tätä menetelmää numeron mukaan seuraavan toimittajan varastoja käytetään vastaamaan kuluttajamäärän mukaan seuraavan toimittajan pyyntöjä, kunnes ne ovat täysin lopussa, minkä jälkeen käytetään numeron mukaan seuraavan toimittajan varastoja.

Kuljetustehtävätaulukon täyttäminen alkaa vasemmasta yläkulmasta, minkä vuoksi kutsutaan luoteiskulmamenetelmäksi.

Menetelmä koostuu useista samantyyppisistä vaiheista, joissa kussakin täytetään seuraavan toimittajan varastojen ja seuraavan kuluttajan pyyntöjen perusteella vain yksi solu ja vastaavasti yksi toimittaja tai yksi kuluttaja. jätetty huomioimatta.

Laadi referenssiratkaisu luoteiskulmamenetelmällä.

1. Jaamme 1. toimittajan varastot.
Jos ensimmäisen toimittajan varastot ovat suuremmat kuin ensimmäisen kuluttajan pyynnöt, niin kirjoitetaan soluun (1,1) ensimmäisen kuluttajan pyynnön summa ja siirrytään toiselle kuluttajalle. Jos ensimmäisen toimittajan varastot ovat pienemmät kuin ensimmäisen kuluttajan pyynnöt, niin kirjoitetaan soluun (1,1) ensimmäisen toimittajan varastojen summa, jätetään ensimmäinen toimittaja huomiotta ja siirrytään toiselle toimittajalle. .

Esimerkki: koska sen varastot a 1 =100 ovat pienemmät kuin ensimmäisen kuluttajan pyynnöt b 1 =100, niin soluun (1,1) kirjoitetaan kuljetus x 11 =100 ja jätetään toimittaja huomiotta.
Määritämme 1. kuluttajan jäljellä olevat tyydyttämättömät pyynnöt b 1 = 150-100=50.

2.Jaamme toisen toimittajan varastot.
Koska sen varastot a 2 = 250 ovat enemmän kuin 1. kuluttajan jäljellä olevat tyydyttämättömät pyynnöt b 1 =50, niin soluun (2,1) kirjoitetaan kuljetus x 21 =50 ja jätetään 1. kuluttaja huomiotta.
Määritämme 2. toimittajan jäljellä olevat varastot a 2 = a 2 - b 1 = 250-50=200. Koska 2. toimittajan jäljellä olevat varastot vastaavat 2. kuluttajan pyyntöjä, kirjoitamme soluun (2,2) x 22 = 200 ja suljemme pois joko 2. toimittajan tai 2. kuluttajan harkintamme mukaan. Esimerkissämme poistimme toisen toimittajan.
Laskemme toisen kuluttajan jäljellä olevat tyydyttämättömät pyynnöt b 2 =b 2 -a 2 =200-200=0.

3. Jaamme 3. toimittajan varastoja.
Tärkeä! Edellisessä vaiheessa meillä oli mahdollisuus sulkea pois toimittaja tai kuluttaja. Koska olemme sulkeneet pois toimittajan, 2. kuluttajan pyynnöt säilyvät (vaikka ne ovat nolla).
Meidän on kirjoitettava loput pyynnöt yhtä suureksi kuin nolla soluun (3,2)
Tämä johtuu siitä, että jos kuljetus on sijoitettava taulukon seuraavaan soluun (i, j) ja toimittajalla numerolla i tai kuluttajalla numerolla j on nolla varastoa tai pyyntöä, niin kuljetus on yhtä suuri. nollaan (perusnolla) sijoitetaan soluun, ja sen jälkeen joko asianomainen toimittaja tai kuluttaja jätetään huomioimatta.
Tällöin taulukkoon syötetään vain perusnollat, loput solut nollasiirroilla jäävät tyhjiksi.

Virheiden välttämiseksi alkuperäisen vertailuratkaisun rakentamisen jälkeen on tarpeen tarkistaa, että varattujen solujen lukumäärä on m + n-1 (kantonollaa pidetään myös varattuna soluna) ja näitä soluja vastaavat ehtovektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Koska edellisessä vaiheessa jätettiin huomioimatta toinen toimittaja, kirjoitamme soluun (3,2) x 32 =0 ja suljemme pois toisen kuluttajan.

Kolmannen toimittajan varasto ei ole muuttunut. Soluun (3,3) kirjoitetaan x 33 =100 ja jätetään kolmas kuluttaja pois. Soluun (3,4) kirjoitetaan x 34 \u003d 100. Koska tehtävämme on tasapainoinen, kaikkien toimittajien varastot ovat lopussa ja kaikkien kuluttajien vaatimukset täytetään täysin ja samanaikaisesti.

4. Tarkistamme vertailuratkaisun konstruktion oikeellisuuden.
Varattujen solujen lukumäärän tulee olla yhtä suuri kuin N=m(toimittajat)+m(kuluttajat) - 1=3+4 - 1=6.
Poistamismenetelmää käyttämällä varmistamme, että löydetty ratkaisu "poistetaan" (perusnolla on merkitty tähdellä).

Näin ollen miehitettyjä soluja vastaavat ehtovektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, ja konstruoitu ratkaisu on todellakin referenssi.

Minimikustannusmenetelmä

Minimikustannusmenetelmä on yksinkertainen ja sen avulla voidaan rakentaa vertailuratkaisu, joka on riittävän lähellä optimaalista, koska siinä käytetään kuljetusongelman C=(c ij) kustannusmatriisia.

Luoteiskulmamenetelmän tavoin se koostuu sarjasta samantyyppisiä vaiheita, joista jokainen täyttää vain yhden taulukon solun, joka vastaa vähimmäiskustannuksia:

ja vain yksi rivi (toimittaja) tai yksi sarake (kuluttaja) jätetään huomioimatta. Seuraava solua vastaava solu täytetään samojen sääntöjen mukaan kuin luoteiskulmamenetelmässä. Toimittaja jätetään huomioimatta, jos sen rahtivarastot ovat täysin käytössä. Kuluttaja jätetään huomioimatta, jos hänen pyyntönsä on täysin täytetty. Jokaisessa vaiheessa joko yksi toimittaja tai yksi kuluttaja eliminoidaan. Tässä tapauksessa, jos toimittajaa ei ole vielä suljettu pois, mutta sen varastot ovat nolla, niin siinä vaiheessa, kun tämän toimittajan on toimitettava tavarat, syötetään perusnolla taulukon vastaavaan soluun ja vasta sitten toimittaja jätetään huomioimatta. Samoin kuluttajan kanssa.

Muodosta kuljetusongelman alkuperäinen vertailuratkaisu minimikustannusmenetelmällä.

1. Kirjoitamme kustannusmatriisin erikseen, jotta vähimmäiskustannusten valinta olisi helpompaa.

2. Valitse kustannusmatriisin elementeistä alin kustannus C 11 =1, merkitse se ympyrällä. Tämä kustannus syntyy tavaroiden kuljetuksen aikana 1. toimittajalta ensimmäiselle kuluttajalle. Kirjoitamme sopivaan soluun suurin mahdollinen kuljetusmäärä:
x 11 \u003d min (a 1; b 1) \u003d min (60; 40) \u003d 40 nuo. vähintään ensimmäisen toimittajan varastojen ja ensimmäisen kuluttajan pyyntöjen välillä.

2.1. Vähennämme 1. toimittajan varastoja 40:llä.
2.2. Jätämme huomioimatta ensimmäisen kuluttajan, koska hänen pyyntönsä on täysin täytetty. Yliviivaa matriisin C ensimmäinen sarake.

3. Matriisin C loppuosassa minimikustannus on kustannus C 14 =2. Suurin mahdollinen kuljetus, joka voidaan suorittaa 1. toimittajalta 4. kuluttajalle, on yhtä suuri kuin x 14 \u003d min (a 1 "; b 4) \u003d min (20; 60) \u003d 20, jossa 1 pohjustettu on ensimmäisen toimittajan jäljellä oleva varasto.
3.1. 1. toimittajan varastot ovat loppuneet, joten jätämme sen huomiotta.
3.2. Vähennämme neljännen kuluttajan pyyntöjä 20:llä.

4. Matriisin C loppuosassa minimikustannus on C 24 =C 32 =3. Täytä toinen taulukon soluista (2.4) tai (3.2). Kirjoitetaan soluun x 24 \u003d min (a 2; b 4) \u003d min (80; 40) \u003d 40 .
4.1. Neljännen kuluttajan pyyntöjä tyydytetään. Jätämme sen huomioimatta poistamalla neljännen sarakkeen matriisista C.
4.2. Vähennämme 2. toimittajan varastoja 80-40=40.

5. Matriisin C loppuosassa minimikustannus on C 32 =3. Kirjoitamme taulukon kuljetuksen soluun (3,2). x 32 \u003d min (a 3; b 2) \u003d min (100; 60) \u003d 60.
5.1. Jätämme huomioimatta toisen kuluttajan. Jätetään toinen sarake pois matriisista C.
5.2. Pienennetään 3. toimittajan varastoja 100-60=40

6. Matriisin C loppuosassa minimikustannus C 33 =6. Kirjoitamme taulukon kuljetuksen soluun (3,3). x 33 \u003d min (a 3 "; b 3) \u003d min (40; 80) \u003d 40
6.1. Jätämme huomioimatta 3. toimittajan ja matriisista C 3. rivin.
6.2. Määritämme 3. kuluttajan jäljellä olevat pyynnöt 80-40=40.

7. Ainoa jäljellä oleva elementti matriisissa C on C 23 =8. Taulukon (2.3) soluun kirjoitetaan kuljetus X 23 =40.

8. Tarkistamme vertailuratkaisun konstruktion oikeellisuuden.
Taulukon käytössä olevien solujen lukumäärä on N=m+n - 1=3+4 -1.
Eliminointimenetelmällä tarkistetaan ratkaisun positiivisia koordinaatteja vastaavien ehtovektoreiden lineaarinen riippumattomuus. Poistojärjestys näkyy X-matriisissa:

Johtopäätös: Ratkaisu vähimmäiskustannusmenetelmällä (taulukko 38.3) on "viivattu" ja siksi keskeinen.

Tehtävä numero 4. Tapahtuman määrän kasvu:

Mitä toimintakehotuksia voi olla? Esimerkki: "Soita nyt", "Lisätietoja verkkosivuiltamme", "Tutustu lisää soittamalla...".

P.S. Jos luit juuri tämän artikkelin etkä ole ottanut käyttöön mitään osoitetuista kasvumenetelmistä yrityksessäsi, olet hukannut aikaasi.

Jos aiot ottaa organisaatiossasi käyttöön 2-3 tapaa, joilla haluat lisätä myyntiä, sinulla on hyvät tulokset.

Jos päätät käyttää kutakin tässä kuvatuista menetelmistä, varaston ongelma lakkaa olemasta sinulle. Ja unohdat, että kerran tämä kysymys oli sinulle niin tärkeä.

P.P.S. Mikä on kannattava kasvi? Tämä on yritys, joka on tietoinen tuotteidensa asemasta markkinoilla ja myy niitä pätevästi! Myyntityö on samaa liidien sukupolvea. Myyntikanavaanalyysi, verkkomarkkinointi. Aivan sama!

Eliminointimenetelmän avulla voit tarkistaa, onko annettu kuljetusongelman ratkaisu referenssi.

Kirjoitetaan taulukkoon kuljetustehtävän hyväksyttävä ratkaisu, jolla on m + n-1 nollasta poikkeava koordinaatti. Jotta tämä ratkaisu olisi referenssi, positiivisia koordinaatteja vastaavien ehtovektorien on oltava lineaarisesti riippumattomia. Tätä varten ratkaisun miehittämät taulukon solut on järjestettävä siten, että niistä on mahdotonta muodostaa sykliä.

Taulukon riviä tai saraketta, jossa on yksi varattu solu, ei voida sisällyttää mihinkään sykliin, koska syklissä on kaksi ja vain kaksi solua kullakin rivillä tai sarakkeella. Siksi voit ensin poistaa joko kaikki taulukon rivit, jotka sisältävät yhden varatun solun, tai kaikki sarakkeet, jotka sisältävät yhden varatun solun, sitten palata sarakkeisiin (riveihin) ja jatkaa niiden poistamista. Jos poistamisen seurauksena kaikki rivit ja sarakkeet poistetaan, on mahdotonta valita syklin muodostavaa osaa taulukon miehitetyistä soluista ja vastaavien ehtovektorien järjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja ratkaisu on yksi tuki. Jos deleetioiden jälkeen soluja jää jäljelle, niin nämä solut muodostavat syklin, vastaavien ehtovektorien järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, eikä ratkaisu ole tuki.

Alla on esimerkkejä "poistetuista" (viite) ja "ei-poistamattomista" (ei-viittaus) ratkaisuista:

;

"yliviivattu" "ei-viivattu"

6. Menetelmät alkuperäisen vertailuliuoksen muodostamiseksi. Luoteiskulmamenetelmä.

Alkuperäisen vertailuratkaisun rakentamiseen on olemassa useita menetelmiä, joista yksinkertaisin on luoteiskulmamenetelmä. Tässä menetelmässä seuraavan toimittajan varastoja käytetään seuraavien kuluttajien pyyntöjen täyttämiseen, kunnes ne ovat täysin lopussa, minkä jälkeen käytetään numeroittain seuraavan toimittajan varastoja.

Kuljetustehtävän taulukon täyttäminen alkaa vasemmasta yläkulmasta ja koostuu useista samantyyppisistä vaiheista. Jokaisessa vaiheessa täytetään seuraavan toimittajan varastojen ja seuraavan kuluttajan pyyntöjen perusteella vain yksi solu ja vastaavasti yksi toimittaja tai kuluttaja jätetään huomioimatta. Tämä tehdään tällä tavalla:

Taulukkoon on tapana syöttää nollalähetykset vain silloin, kun ne putoavat täytettävään soluun (i, j). Jos taulukon seuraava solu (i, j) vaatii kuljetuksen ja i:nnellä toimittajalla tai j:nnellä kuluttajalla ei ole varastoja tai pyyntöjä, niin soluun sijoitetaan nollan suuruinen kuljetus (perusnolla) ja sen jälkeen että asianomainen toimittaja tai kuluttaja jätetään tavalliseen tapaan harkinnan ulkopuolelle. Tällöin taulukkoon syötetään vain perusnollat, loput solut nollasiirroilla jäävät tyhjiksi.

Virheiden välttämiseksi alkuperäisen vertailuratkaisun rakentamisen jälkeen on tarpeen tarkistaa, että varattujen solujen lukumäärä on m + n-1 ja näitä soluja vastaavat ehtovektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Lause 4. Luoteiskulmamenetelmällä konstruoitu kuljetusongelman ratkaisu on referenssi.

Todiste. Vertailuliuoksen käyttämien taulukon solujen lukumäärän tulee olla yhtä suuri kuin N=m+n-1. Luoteiskulmamenetelmällä ratkaisun rakentamisen jokaisessa vaiheessa täytetään yksi solu ja yksi ongelmataulukon rivi (toimittaja) tai yksi sarake (kuluttaja) jätetään huomioimatta. M+n-2 vaiheen jälkeen taulukossa on m+n-2 solua. Samanaikaisesti yksi rivi ja yksi sarake jäävät yliviivaamattomiksi, kun taas vapaana on vain yksi solu. Kun tämä viimeinen solu on täytetty, varattujen solujen lukumäärä on m+n-2+1=m+n-1.

Varmistetaan, että vertailuliuoksen käyttämiä soluja vastaavat vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Käytetään eliminointimenetelmää. Kaikki varatut solut voidaan yliviivata, jos teet tämän siinä järjestyksessä, jossa ne täytettiin.

On pidettävä mielessä, että luoteiskulmamenetelmä ei ota huomioon kuljetuskustannuksia, joten tällä menetelmällä rakennettu referenssiratkaisu voi olla kaukana optimaalisesta.

Määrittämättömien kertoimien menetelmä

Etsitään laajennus yksinkertaisiksi murtoluvuiksi .

Yleinen muoto hajoaminen tässä tapauksessa

.

Meillä on yhteinen nimittäjä ja sen hylkääminen

x 2 -1=A(x 2 +1) 2 +(Bx+C)x+(Dx+E)(x 2 +1)x

Yhdistä kertoimet samoilla x:n potenssilla:

joten halutulla laajennuksella on muoto:

.

Olkoon oikean rationaalisen murtoluvun nimittäjällä Q(x) reaaliluku ja monikertaisyyden juure a. Sitten yksinkertaisimpien murto-osien joukossa, joiden summa hajottaa murto-osan, on murto-osa. Kerroin , missä .

Sääntö: kertoimen A laskemiseksi yksinkertaisin murto-osa, joka vastaa moninkertaisuuden a polynomin Q(x) todellista juuria a, sinun tulee poistaa hakasulke murtoluvun nimittäjästä ja laita jäljellä olevaan lausekkeeseen x=a. Huomaa, että tätä tekniikkaa voidaan soveltaa vain Q(x:n) todellisia juuria vastaavien yksinkertaisimpien murtolukujen korkeimpien potenssien kertoimien laskemiseen.

Eliminointimenetelmä on erityisen tehokas silloin, kun nimittäjällä Q(x) on vain yksi reaalijuuri, ts. kun

Q(x)=(x-a 1)(x-a 2)×... ×(x-a n). Sitten edustus

,

joiden kaikki kertoimet voidaan laskea eliminointimenetelmällä. Kertoimen A k laskemiseksi sinun tulee yliviivata hakasulku (x-a k) murtoluvun nimittäjästä ja laittaa x = a k jäljellä olevaan lausekkeeseen.

Etsi murto-osan laajennus

Mnemoniikka varten englannin kielestä- todellinen pelastus niille, joiden on vaikea oppia vieraita sanoja.

Menetelmät tähtäävät sanan suhteeseen kuvan kanssa. Sen luomiseen käytetään suoria ja epäsuoria assosiaatioita. Esimerkiksi sana yö- voi oppia näin: "yö" alkaa kirjaimella "H" - kirjain "H" on tummansininen tähtien välissä. Kun aivot ovat hyväksyneet assosioinnin, sanan "yö" maininta aiheuttaa muistiin jääneen kuvan päähän.

Mnemoniikan tekniikat englannin oppimiseen

Olemme tässä jo antaneet useita muistotekniikan menetelmiä Ramon Compaion mukaan

Kokeillaan uusia harjoituksia:

• Yliviivausmenetelmä konsonanttisanoissa ja visualisoinnissa. Sinun on opittava sana tikku (tikku). Piirrä assosiaatiokuva: rikot lasin kepillä. Kyltti venäjäksi: "Rikoan lasin." Korvaa sanassa E kirjaimella I, yliviivaa LO. Saat: "Minä rikon STICKIN." Aivojen suora yhteys - voit rikkoa sen STICK:llä.
• Ehdotusmenetelmä käyttämällä vieraan sanan merkitystä venäjäksi ja venäläistä sanaa, joka on konsonanssi vieraan sanan kanssa. Sana käyttäytyminen on käyttäytymistä. Likimääräinen lause: "Hän käytti Internetiä päästäkseen VKontakteen" (konsonantti - käytös).
• Yhdistä sana ääneen. Jousi - jousi ampumiseen. Kuvittele, että seisot aseen kanssa ja päästät hitaasti irti jousinauhasta. Samalla kuulet soittoääni"Bau". Keskity sen ääneen, metalliseen värähtelyyn.
• Yhdistä sana tunteeseen. Silmä - silmä. Makaat puun alla, yhtäkkiä jotain osui silmään. Huusit "Oi!" Muista vieraan esineen tunne silmässä; tunne, kun puhkeaa odottamaton välihuomautus "Ai!".

Mnemotekniset tekniikat ovat onnistuneita ihmisille, jotka käyttävät Glycine D3:a. Vaikuttava aine stimuloi aivojen toimintaa, minkä ansiosta muistiin tallennettujen tietojen taso kasvaa.

Video muistotekniikalla englanniksi

Video havainnollistaa konsonanssitekniikkaa, josta kirjoitimme yllä, ja sen avulla voit oppia ulkoa 10-15 uutta sanaa yhdellä oppitunnilla.

Neljän muistioppitunnin sarja: video esittelee yksinkertaisten sanojen muistotekniikkaa.

Puhelinsovellukset englannin sanojen oppimiseen

Englannin oppimista ei tarvitse keskeyttää koko päiväksi: lataa yksi tai useampi sovellus, niin saat taskussasi upeita oppikirjoja.

• "Opi 90% sanoista viikossa!". Englannin kielessä on 300 sanaa, jotka muodostavat päivittäisen viestinnän perustan. Juuri niitä kehittäjät tarjoavat oppiakseen. Koulutus järjestetään kokeen muodossa: he antavat sinulle sanan englanniksi ja tarjoavat käännösvaihtoehtoja. Valitset oikean vastauksen. Oppitunnin aikana jokainen sana esitetään 5 kertaa: jos vastaukset ovat oikein, sana katsotaan opituksi ja korvataan uudella.
• "Englannin oppiminen kuvien avulla" Liitteessä on 3000 kuvitettua sanaa. Voit opiskella offline-tilassa: keskity valokuvaan, yhdistä se sanaan ulkoa muistamista varten. Sovelluksen ladaneet käyttäjät väittävät, että se on paras vaihtoehto englannin oppimiseen.
• Bravolol. Aiheet on jaettu erityisiin lohkoihin. Muistamista varten ehdotetaan leikkimistä intonaatiolla - tämä on yksi muistotekniikoista. Muistat sanan sen viestin perusteella, jolla se puhuttiin. Ilmoittaja ehdottaa lauseiden lausumista kohteliaasti, pahasti tai iloisesti.

Jos tiedät mielenkiintoisia muistotemppuja englannin oppimiseen, jaa kommentteihin! Hyvää päivänjatkoa!