एक ट्रेपोजॉइड के आवश्यक गुण। चतुर्भुज

इस लेख में हम यथासंभव पूरी तरह से ट्रेपोजॉइड के गुणों को प्रतिबिंबित करने का प्रयास करेंगे। विशेष रूप से, हम एक ट्रेपोजॉइड के सामान्य संकेतों और गुणों के बारे में बात करेंगे, साथ ही एक खुदा हुआ ट्रेपोजॉइड के गुणों के बारे में और एक ट्रेपोजॉइड में खुदे हुए सर्कल के बारे में बात करेंगे। हम एक समद्विबाहु और आयताकार समलम्बाकार के गुणों को भी स्पर्श करेंगे।

माना गुणों का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण आपको अपने सिर में स्थानों को सुलझाने और सामग्री को बेहतर ढंग से याद रखने में मदद करेगा।

ट्रेपेज़ॉइड और ऑल-ऑल-ऑल

शुरू करने के लिए, आइए संक्षेप में याद करें कि एक ट्रेपोजॉइड क्या है और इसके साथ अन्य अवधारणाएं क्या जुड़ी हैं।

तो, एक समलम्ब चतुर्भुज आकृति है, जिसकी दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं (ये आधार हैं)। और दो समानांतर नहीं हैं - ये पक्ष हैं।

ट्रेपेज़ॉइड में, ऊंचाई को कम किया जा सकता है - आधारों के लंबवत। मध्य रेखा और विकर्ण खींचे जाते हैं। और समलम्बाकार के किसी भी कोने से एक द्विभाजक खींचना संभव है।

अब हम इन सभी तत्वों और उनके संयोजन से जुड़े विभिन्न गुणों के बारे में बात करेंगे।

समलम्बाकार विकर्णों के गुण

इसे स्पष्ट करने के लिए, पढ़ते समय, एक कागज़ के टुकड़े पर AKME ट्रेपोज़ॉइड को स्केच करें और उसमें विकर्ण बनाएं।

1. यदि आप प्रत्येक विकर्ण के मध्य बिंदु पाते हैं (आइए इन बिंदुओं को एक्स और टी के रूप में नामित करें) और उन्हें कनेक्ट करें, तो आपको एक खंड मिलता है। समलम्ब चतुर्भुज विकर्णों के गुणों में से एक यह है कि XT खंड मध्य रेखा पर स्थित है। और इसकी लंबाई को आधार अंतर को दो से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है: एक्सटी = (ए - बी) / 2.
2. हमसे पहले AKME का वही समलंब है। विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए त्रिभुज AOE और MOC पर विचार करें, जो त्रिभुज के आधारों के साथ विकर्णों के खंडों द्वारा बनाए गए हैं। ये त्रिभुज समान हैं। k त्रिभुजों की समानता का गुणांक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: के = एई / केएम।
   त्रिभुज AOE और MOC के क्षेत्रफलों का अनुपात गुणांक k 2 द्वारा वर्णित है।
3. सभी समान समलम्बाकार, समान विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। केवल इस बार हम उन त्रिभुजों पर विचार करेंगे जो समलंब के पार्श्व पक्षों के साथ मिलकर बने विकर्णों के खंड हैं। त्रिभुज AKO और EMO के क्षेत्रफल समान हैं - उनके क्षेत्रफल समान हैं।
4. समलम्ब चतुर्भुज की एक अन्य संपत्ति में विकर्णों का निर्माण शामिल है। इसलिए, यदि हम छोटे आधार की दिशा में AK और ME के ​​पार्श्व पक्षों को जारी रखते हैं, तो देर-सबेर वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। इसके अलावा, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से, एक सीधी रेखा खींचें। यह आधारों को X और T पर प्रतिच्छेद करता है।
   यदि हम अब लाइन XT का विस्तार करते हैं, तो यह समलम्बाकार O के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक साथ जोड़ देगा, वह बिंदु जिस पर पार्श्व पक्षों के विस्तार और X और T के आधारों के मध्य बिंदु प्रतिच्छेद करते हैं।
5. विकर्णों के चौराहे के बिंदु के माध्यम से, एक खंड बनाएं जो समलम्बाकार के आधारों को जोड़ता है (टी सीएम के छोटे आधार पर स्थित है, एक्स - बड़े एई पर)। विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस खंड को निम्नलिखित अनुपात में विभाजित करता है: TO / OX = KM / AE.
6. और अब, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से, समलम्ब चतुर्भुज (ए और बी) के आधारों के समानांतर एक खंड बनाएं। चौराहा इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगा। आप सूत्र का उपयोग करके किसी खंड की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं 2ab / (ए + बी).

समलम्बाकार केंद्र रेखा गुण

इसके आधारों के समानांतर समलम्बाकार में मध्य रेखा खींचिए।

1. एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई को जोड़कर और उन्हें आधे में विभाजित करके की जा सकती है: एम = (ए + बी) / 2.
2. यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के दोनों आधारों से कोई खंड (उदाहरण के लिए ऊँचाई) खींचते हैं, तो मध्य रेखा उसे दो बराबर भागों में विभाजित कर देगी।

समलम्ब चतुर्भुज का द्विभाजक गुण

समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोने को चुनें और एक द्विभाजक बनाएं। उदाहरण के लिए, हमारे AKME समलम्बाकार का KAE कोण लें। निर्माण को स्वयं पूरा करने के बाद, आप आसानी से यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि द्विभाजक आधार से कट जाता है (या आकृति के बाहर एक सीधी रेखा पर इसकी निरंतरता) पक्ष के समान लंबाई का एक खंड।

समलम्बाकार कोने के गुण

1. आप पार्श्व भुजा से सटे कोनों के दो युग्मों में से जो भी चुनें, एक युग्म में कोणों का योग हमेशा 180 0: α + β = 180 0 और γ + δ = 180 0 होता है।
2. ट्रेपेज़ॉइड बेस के मध्य बिंदुओं को TX सेगमेंट से कनेक्ट करें। अब आइए समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोनों को देखें। यदि उनमें से किसी पर कोणों का योग 90 0 है, तो TX खंड की लंबाई की गणना आसानी से आधारों की लंबाई में अंतर के आधार पर की जा सकती है, जिसे आधे में विभाजित किया गया है: TX = (एई - केएम) / 2.
3. यदि समलम्ब चतुर्भुज के कोने के किनारों के माध्यम से समानांतर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे कोने की भुजाओं को आनुपातिक खंडों में विभाजित कर देंगी।

एक समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार के गुण

1. एक समद्विबाहु समलम्ब में, किसी भी आधार पर कोण बराबर होते हैं।
2. अब ट्रेपोजॉइड को फिर से बनाएं ताकि यह कल्पना करना आसान हो जाए कि यह किस बारे में है। AE के आधार को बारीकी से देखें - M के विपरीत आधार का शीर्ष उस रेखा पर एक बिंदु पर प्रक्षेपित होता है जिसमें AE होता है। शीर्ष A से शीर्ष M के प्रक्षेपण बिंदु तक की दूरी और समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा समान हैं।
3. समद्विबाहु समलम्बाकार विकर्णों की संपत्ति के बारे में कुछ शब्द - उनकी लंबाई समान है। और इन विकर्णों के झुकाव के कोण भी समलम्बाकार के आधार पर समान हैं।
4. केवल एक समद्विबाहु समलम्ब के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि एक चतुर्भुज 180 0 के विपरीत कोणों का योग इसके लिए एक पूर्वापेक्षा है।
5. समद्विबाहु समलम्बाकार की संपत्ति पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है - यदि एक वृत्त को समलंब के पास वर्णित किया जा सकता है, तो यह समद्विबाहु है।
6. समद्विबाहु समलम्बाकार की विशेषताओं से समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई का गुण इस प्रकार है: यदि इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ऊँचाई की लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होती है: एच = (ए + बी) / 2.
7. फिर से, समलम्बाकार आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से एक खंड TX बनाएं - एक समद्विबाहु समलम्ब में, यह आधारों के लंबवत है। और साथ ही TX समद्विबाहु समलम्बाकार की सममिति की धुरी है।
8. इस बार, बड़े आधार से नीचे (इसे a से निरूपित करें) समलम्ब चतुर्भुज के विपरीत शीर्ष से ऊँचाई। दो खंड होंगे। एक की लंबाई पाई जा सकती है यदि आधारों की लंबाई को मोड़कर आधा कर दिया जाए: (ए + बी) / 2... दूसरा तब प्राप्त होता है जब हम छोटे को बड़े आधार से घटाते हैं और परिणामी अंतर को दो से विभाजित करते हैं: (ए - बी) / 2.

एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

चूँकि हम पहले ही एक वृत्त में उत्कीर्ण एक समलम्ब चतुर्भुज के बारे में बात कर चुके हैं, आइए हम इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। विशेष रूप से, जहां वृत्त का केंद्र समलम्ब के संबंध में है। यहां भी, यह अनुशंसा की जाती है कि हाथ में एक पेंसिल लेने के लिए बहुत आलसी न हों और जो नीचे चर्चा की जाएगी उसे आकर्षित करें। तो आप तेजी से समझेंगे, और बेहतर याद रखेंगे।

1. सर्कल के केंद्र का स्थान ट्रेपेज़ॉइड विकर्ण के पार्श्व पक्ष के झुकाव के कोण से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, एक विकर्ण समकोण पर समलम्ब के शीर्ष से किनारे तक विस्तारित हो सकता है। इस स्थिति में, बड़ा आधार परिबद्ध वृत्त के केंद्र को बिल्कुल बीच में काटता है (R = ½AE)।
2. विकर्ण और भुजा एक न्यून कोण पर भी मिल सकते हैं - तब वृत्त का केंद्र समलम्ब चतुर्भुज के अंदर होता है।
3. ट्रैपेज़ॉइड विकर्ण और पार्श्व पक्ष के बीच एक अधिक कोण होने पर, परिचालित सर्कल का केंद्र अपने बड़े आधार से परे, समलम्बाकार के बाहर हो सकता है।
4. विकर्ण द्वारा गठित कोण और AKME समलम्बाकार (खुदा हुआ कोण) का बड़ा आधार केंद्रीय कोण का आधा है जो इससे मेल खाता है: एमएई = ½ एमओई.
5. परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के दो तरीकों के बारे में संक्षेप में। विधि एक: अपने चित्र को ध्यान से देखें - आप क्या देखते हैं? आप आसानी से देखेंगे कि विकर्ण समलम्ब को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। त्रिज्या को त्रिभुज की भुजा के विपरीत कोण की ज्या के दो गुणा के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर = एई / 2 * sinAME... इसी प्रकार, दोनों त्रिभुजों की दोनों भुजाओं के लिए सूत्र लिखा जा सकता है।
6. विधि दो: हम त्रिभुज के त्रिभुज के क्षेत्रफल के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या पाते हैं, जो समलम्ब चतुर्भुज की भुजा और आधार है: आर = एएम * एमई * एई / 4 * एस एएमई.

एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध एक समलम्ब चतुर्भुज के गुण

यदि एक शर्त पूरी हो जाती है तो एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित करना संभव है। इसके बारे में नीचे। और साथ में, आकृतियों के इस संयोजन में कई दिलचस्प गुण हैं।

1. यदि एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जाता है, तो इसकी मध्य रेखा की लंबाई को पक्षों की लंबाई जोड़कर और परिणामी योग को आधे में विभाजित करके आसानी से पाया जा सकता है: एम = (सी + डी) / 2.
2. AKME ट्रेपेज़ॉइड में, एक वृत्त के चारों ओर परिचालित, आधारों की लंबाई का योग पार्श्व पक्षों की लंबाई के योग के बराबर होता है: एके + एमई = केएम + एई.
3. एक समलंब के आधारों के इस गुण से, विपरीत कथन इस प्रकार है: उस समलंब में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, जिसके आधारों का योग पार्श्व भुजाओं के योग के बराबर होता है।
4. ट्रैपेज़ॉइड में अंकित त्रिज्या r के साथ एक वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु पार्श्व पक्ष को दो खंडों में विभाजित करता है, आइए उन्हें a और b कहते हैं। एक वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है: आर = ab.
5. और एक और संपत्ति। भ्रमित न होने के लिए, इस उदाहरण को स्वयं बनाएं। हमारे पास एक अच्छा पुराना AKME ट्रेपोजॉइड है, जो एक सर्कल के चारों ओर घिरा हुआ है। इसमें विकर्ण खींचे जाते हैं, जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
   इन त्रिभुजों की ऊँचाई, कर्ण (अर्थात, समलंब के पार्श्व पक्ष) पर गिराए गए, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के साथ मेल खाते हैं। और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई खुदे हुए सर्कल के व्यास के साथ मेल खाती है।

आयताकार समलम्बाकार गुण

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है, जिसका एक कोना दाहिनी ओर होता है। और इसके गुण इसी परिस्थिति से उपजे हैं।

1. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज में, पार्श्व पक्षों में से एक आधारों के लंबवत होता है।
2. समलंब की ऊंचाई और पार्श्व पक्ष, समकोण से सटे हुए, समान हैं। यह आपको एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है (सामान्य सूत्र एस = (ए + बी) * एच / 2) न केवल ऊंचाई के माध्यम से, बल्कि समकोण से सटे पार्श्व पक्ष के माध्यम से भी।
3. एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के लिए, ऊपर वर्णित ट्रेपोजॉइड विकर्णों के सामान्य गुण प्रासंगिक हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के कुछ गुणों के प्रमाण

समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोणों की समानता:

• आप शायद पहले से ही अनुमान लगा चुके हैं कि यहां हमें फिर से एकेएमई ट्रेपोजॉइड की जरूरत है - एक समद्विबाहु ट्रेपोजॉइड बनाएं। AK (MT || AK) के पार्श्व पक्ष के समानांतर, M के शीर्ष से एक सीधी रेखा MT खींचिए।

परिणामी चतुर्भुज AKMT एक समांतर चतुर्भुज (AK || MT, KM || AT) है। चूँकि ME = KA = MT, MTE समद्विबाहु है और MET = MTE।

एके || एमटी, इसलिए एमटीई = केएई, मेट = एमटीई = केएई।

जहां से AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME।

क्यू.ई.डी.

अब, एक समद्विबाहु समलम्बाकार (विकर्णों की समानता) के गुण के आधार पर, हम सिद्ध करते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज AKME समद्विबाहु है:

• आरंभ करने के लिए, आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं MX - MX || केई. हम एक समांतर चतुर्भुज KMXE (आधार - MX || KE और KM || EX) प्राप्त करते हैं।

AMX समद्विबाहु है, क्योंकि AM = KE = MX, और MAX = MEA।

एमएक्स || केई, केईए = एमएक्सई, इसलिए एमएई = एमएक्सई।

यह पता चला कि त्रिभुज AKE और EMA एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि AM = KE और AE दो त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा हैं। और एमएई = एमएक्सई भी। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AK = ME, और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समलम्बाकार AKME समद्विबाहु है।

दोहराने के लिए एक कार्य

AKME ट्रेपेज़ॉइड के आधार 9 सेमी और 21 सेमी हैं, अंतरिक्ष यान का पार्श्व पक्ष, 8 सेमी के बराबर, छोटे आधार के साथ 150 0 का कोण बनाता है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

हल: K के शीर्ष से, हम ऊँचाई को समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार तक कम करते हैं। और आइए समलम्ब चतुर्भुज के कोनों को देखना शुरू करें।

कोण AEM और KAN एकतरफा हैं। इसका मतलब है कि वे कुल मिलाकर 180 0 देते हैं। इसलिए, KAN = 30 0 (ट्रेपेज़ॉइड कोणों के गुणों के आधार पर)।

अब एक आयताकार ANK पर विचार करें (मुझे लगता है कि यह बिंदु बिना अतिरिक्त सबूत के पाठकों के लिए स्पष्ट है)। इससे हम ट्रेपेज़ियम केएन की ऊंचाई पाते हैं - त्रिभुज में यह पैर होता है, जो 30 0 के कोण के विपरीत होता है। अत: KH = ½AB = 4 सेमी.

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 सेमी 2।

अंतभाषण

यदि आपने इस लेख का सावधानीपूर्वक और सोच-समझकर अध्ययन किया है, तो उपरोक्त सभी गुणों के लिए ट्रैपेज़ोइड्स को हाथ में एक पेंसिल के साथ खींचने और व्यवहार में उन्हें अलग करने के लिए बहुत आलसी नहीं थे, सामग्री को आपके द्वारा अच्छी तरह से समझा जाना चाहिए था।

बेशक, यहां बहुत सारी जानकारी है, विविध और कभी-कभी भ्रमित करने वाली भी: वर्णित ट्रेपोजॉइड के गुणों को खुदा हुआ के गुणों के साथ भ्रमित करना इतना मुश्किल नहीं है। लेकिन आपने खुद देखा है कि अंतर बहुत बड़ा है।

अब आपके पास सभी सामान्य समलम्बाकार गुणों की विस्तृत रूपरेखा है। साथ ही समद्विबाहु और आयताकार समलम्ब के विशिष्ट गुण और विशेषताएं। परीक्षण और परीक्षा की तैयारी के लिए उनका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। इसे स्वयं आज़माएं और अपने दोस्तों के साथ लिंक साझा करें!

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8वीं कक्षा के लिए ज्यामिति के पाठ्यक्रम में उत्तल चतुर्भुजों के गुणों और विशेषताओं का अध्ययन निहित है। इनमें समांतर चतुर्भुज शामिल हैं, जिनमें से विशेष मामले वर्ग, आयत और समचतुर्भुज और ट्रेपेज़ॉइड हैं। और यदि समांतर चतुर्भुज के विभिन्न रूपों के लिए समस्याओं का समाधान अक्सर गंभीर कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, तो यह पता लगाना कुछ अधिक कठिन होता है कि किस चतुर्भुज को समलम्बाकार कहा जाता है।

परिभाषा और प्रकार

स्कूल के पाठ्यक्रम में अध्ययन किए गए अन्य चतुर्भुजों के विपरीत, एक ट्रेपोजॉइड को ऐसी आकृति कहा जाता है, जिसके दो विपरीत पक्ष एक दूसरे के समानांतर होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं। एक और परिभाषा है: यह एक चतुर्भुज है जिसमें पक्षों की एक जोड़ी होती है जो एक दूसरे के बराबर नहीं होती है और समानांतर होती है।

नीचे दी गई तस्वीर में विभिन्न प्रकार दिखाए गए हैं.

नंबर 1 पर छवि एक मनमाना ट्रेपोजॉइड दिखाती है। नंबर 2 एक विशेष मामले को दर्शाता है - एक आयताकार ट्रेपोजॉइड, जिसका एक पक्ष इसके आधारों के लंबवत है। अंतिम आंकड़ा भी एक विशेष मामला है: यह एक समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार है, जो समान पार्श्व भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है।

सबसे महत्वपूर्ण गुण और सूत्र

चतुर्भुज के गुणों का वर्णन करने के लिए, कुछ तत्वों का चयन करने की प्रथा है। एक उदाहरण के रूप में, एक मनमाना समलम्ब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें।

इसमें शामिल है:

• आधार बीसी और एडी - दो पक्ष एक दूसरे के समानांतर;
• पार्श्व पक्ष एबी और सीडी - दो गैर-समानांतर तत्व;
• विकर्ण AC और BD - आकृति के विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड;
• समलम्बाकार ऊंचाई सीएच - आधारों के लंबवत खंड;
• मध्य रेखा EF - भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा।

तत्वों के मूल गुण

ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए या किसी भी कथन को साबित करने के लिए, सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले गुण हैं जो एक चतुर्भुज के विभिन्न तत्वों को जोड़ते हैं। वे निम्नानुसार तैयार किए गए हैं:

इसके अलावा, निम्नलिखित कथनों को जानना और लागू करना अक्सर सहायक होता है:

1. एक मनमाना कोण से खींचा गया एक द्विभाजक आधार पर एक खंड को अलग करता है, जिसकी लंबाई आकृति के किनारे के बराबर होती है।
2. जब विकर्ण खींचे जाते हैं, तो 4 त्रिभुज बनते हैं; उनमें से आधारों और विकर्णों के खंडों से बने 2 त्रिभुजों में समानता है, और शेष जोड़े का क्षेत्रफल समान है।
3. विकर्णों के चौराहे के बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है O, आधारों के मध्य बिंदु, साथ ही वह बिंदु जिस पर पार्श्व पक्षों के विस्तार प्रतिच्छेद करते हैं।

परिधि और क्षेत्र की गणना

परिधि की गणना सभी चार पक्षों की लंबाई के योग के रूप में की जाती है (किसी भी अन्य ज्यामितीय आकार के समान):

पी = एडी + बीसी + एबी + सीडी।

अंकित और परिचालित वृत्त

चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन तभी किया जा सकता है जब चतुर्भुज की भुजाएँ समान हों।

परिचालित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने के लिए, आपको विकर्ण, भुजा और बड़े आधार की लंबाई जानने की आवश्यकता है। मात्रा पी,सूत्र में प्रयुक्त सभी उपरोक्त तत्वों के आधे योग के रूप में गणना की जाती है: पी = (ए + सी + डी) / 2.

एक उत्कीर्ण वृत्त के लिए, शर्त इस प्रकार होगी: आधारों का योग आकृति की भुजाओं के योग के साथ मेल खाना चाहिए। इसकी त्रिज्या ऊंचाई के माध्यम से ज्ञात की जा सकती है, और यह के बराबर होगी आर = एच / 2।

विशेष स्थितियां

एक सामान्य मामले पर विचार करें - एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्ब। इसके चिन्ह पक्षों की समानता या विपरीत कोणों की समानता हैं। सभी कथन उस पर लागू होते हैं।, जो एक मनमाना ट्रेपोजॉइड की विशेषता है। समद्विबाहु समलम्बाकार के अन्य गुण:

आयताकार समलम्बाकार समस्याओं में इतना आम नहीं है। इसके संकेत 90 डिग्री के बराबर दो आसन्न कोणों की उपस्थिति और आधारों के लंबवत पार्श्व पक्ष की उपस्थिति हैं। इस तरह के चतुर्भुज में ऊंचाई एक ही समय में इसकी एक भुजा होती है।

सभी माने गए गुण और सूत्र आमतौर पर प्लेनिमेट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। हालांकि, उन्हें स्टीरियोमेट्री पाठ्यक्रम से कुछ कार्यों में भी उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक काटे गए पिरामिड के सतह क्षेत्र का निर्धारण करते समय, जो बाहरी रूप से एक वॉल्यूमेट्रिक ट्रेपेज़ॉइड जैसा दिखता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्षों की एक जोड़ी एक दूसरे के समानांतर होती है, और दूसरी नहीं होती है।

समलम्ब चतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज की परिभाषा के आधार पर, समलम्ब चतुर्भुज के समानांतर पक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते हैं। अन्यथा, भुजाओं का अन्य युग्म भी एक दूसरे के समानांतर और बराबर हो जाएगा। इस मामले में, हम एक समांतर चतुर्भुज से निपटेंगे।

समलम्ब चतुर्भुज के समानांतर विपरीत पक्ष इसे कहते हैं मैदान... अर्थात्, समलम्ब चतुर्भुज के दो आधार होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज के गैर-समानांतर विपरीत पक्ष इसे कहते हैं पार्श्व पक्ष.

किस पार्श्व पक्ष के आधार पर, वे आधारों के साथ कौन से कोण बनाते हैं, विभिन्न प्रकार के ट्रेपेज़ियम को प्रतिष्ठित किया जाता है। सबसे अधिक बार, ट्रेपेज़ियम को गैर-समद्विबाहु (एकतरफा), समद्विबाहु (समद्विबाहु) और आयताकार में विभाजित किया जाता है।

पास होना अनियमित समलम्बाकारपक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। इसके अलावा, एक बड़े आधार के साथ, वे दोनों केवल तेज कोनों का निर्माण कर सकते हैं, या एक कोना मोटा होगा, और दूसरा नुकीला होगा। पहले मामले में, समलंब चतुर्भुज कहा जाता है तीव्र कोण, क्षण में - कुंठित.

पास होना समद्विबाहु समलम्बाकारपक्ष एक दूसरे के बराबर हैं। इसके अलावा, एक बड़े आधार के साथ, वे केवल तेज कोनों का निर्माण कर सकते हैं, अर्थात। सभी समद्विबाहु समलम्बाकार तीव्र कोण वाले होते हैं। इसलिए, वे तीव्र-कोण और अधिक-कोण में विभाजित नहीं हैं।

पास होना आयताकार समलम्ब चतुर्भुजएक पक्ष आधारों के लंबवत है। दूसरा पक्ष उनके लिए लंबवत नहीं हो सकता है, क्योंकि इस मामले में हम एक आयत के साथ काम करेंगे। आयताकार ट्रेपेज़ियम में, गैर-लंबवत पार्श्व पक्ष हमेशा एक बड़े आधार के साथ एक न्यून कोण बनाता है। लंबवत भुजा दोनों आधारों पर लंबवत है क्योंकि आधार समानांतर हैं।

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पाठ का उद्देश्य:

• शिक्षण- एक समलम्ब की अवधारणा का परिचय दें, समलम्ब के प्रकारों से परिचित हों, एक समलंब के गुणों का अध्ययन करें, छात्रों को समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में प्राप्त ज्ञान को लागू करना सिखाएं;
• विकसित होना- छात्रों के संचार गुणों का विकास, प्रयोग करने की क्षमता का विकास, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालना, विषय में रुचि विकसित करना।
• शिक्षात्मक- ध्यान को शिक्षित करना, सफलता की स्थिति बनाना, कठिनाइयों पर अपने आप पर काबू पाने से खुशी, विभिन्न प्रकार के कार्यों के माध्यम से छात्रों की आत्म-अभिव्यक्ति की आवश्यकता का विकास करना।

काम के रूप:ललाट, स्टीम रूम, समूह।

बच्चों की गतिविधियों के संगठन का रूप:सुनने की क्षमता, एक चर्चा का निर्माण, एक विचार, प्रश्न, जोड़ व्यक्त करना।

उपकरण:कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन। छात्र तालिकाओं पर: डेस्क पर प्रत्येक छात्र के लिए एक ट्रेपोजॉइड बनाने के लिए कट सामग्री; असाइनमेंट के साथ कार्ड (पाठ की रूपरेखा से चित्र और असाइनमेंट के प्रिंटआउट)।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

नमस्ते, पाठ के लिए कार्यस्थल की तत्परता की जाँच करना।

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन

• वस्तुओं को वर्गीकृत करने के कौशल का विकास;
• वर्गीकरण में मुख्य और माध्यमिक विशेषताओं पर प्रकाश डालना।

चित्र 1 माना जाता है।

इसके बाद ड्राइंग की चर्चा आती है।
- यह ज्यामितीय आकृति किससे बनी है? लोग तस्वीरों में जवाब ढूंढते हैं: [एक आयत और त्रिकोण से]।
- एक समलम्ब चतुर्भुज बनाने वाले त्रिभुज क्या होने चाहिए?
सभी राय सुनी जाती है और उन पर चर्चा की जाती है, एक विकल्प चुना जाता है: [त्रिकोण आयताकार होने चाहिए]।
- त्रिभुज और आयत कैसे बनते हैं? [ताकि आयत की सम्मुख भुजाएँ प्रत्येक त्रिभुज के पाद के साथ मेल खाती हों]।
- आयत के विपरीत पक्षों के बारे में आप क्या जानते हैं? [वे समानांतर हैं]।
- तो, ​​इस चतुर्भुज में समानांतर भुजाएँ होंगी? [हां]।
- कितने हैं? [दो]।
चर्चा के बाद, शिक्षक "पाठ की रानी" - ट्रेपोजॉइड प्रदर्शित करता है।

III. नई सामग्री की व्याख्या

1. समलम्बाकार, समलम्बाकार तत्वों की परिभाषा

• छात्रों को एक समलम्ब को परिभाषित करना सिखाएं;
• इसके तत्वों को नाम दें;
• सहयोगी स्मृति का विकास।

- अब समलम्ब की पूरी परिभाषा देने का प्रयास करें। प्रत्येक छात्र प्रश्न के उत्तर के बारे में सोचता है। वे जोड़ियों में विचारों का आदान-प्रदान करते हैं, एक प्रश्न का एकल उत्तर तैयार करते हैं। मौखिक उत्तर एक छात्र द्वारा 2-3 जोड़े में से दिया जाता है।
[एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं]।

- समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? [समांतर भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज का आधार कहा जाता है और अन्य दो भुजाओं को कहा जाता है]।

शिक्षक कटे हुए आकृतियों से समलंबों को मोड़ने का प्रस्ताव करता है। छात्र जोड़े में काम करते हैं, आंकड़े जोड़ते हैं। यह अच्छा है यदि छात्रों के जोड़े अलग-अलग स्तरों के हैं, तो छात्रों में से एक सलाहकार है और कठिनाई के मामले में एक दोस्त की मदद करता है।

- नोटबुक में एक ट्रेपोजॉइड बनाएं, ट्रेपोजॉइड के किनारों के नाम लिखें। अपने पड़ोसी से ड्राइंग के बारे में प्रश्न पूछें, उसके उत्तर सुनें, उत्तर के लिए अपने विकल्प बताएं।

ऐतिहासिक संदर्भ

"ट्रेपेज़ियम"- ग्रीक शब्द, जिसका प्राचीन काल में अर्थ था "टेबल" (ग्रीक में "ट्रैपेडज़ियन" का अर्थ है एक टेबल, एक डाइनिंग टेबल। ज्यामितीय आकृति का नाम इसके बाहरी समानता से एक छोटी सी मेज पर रखा गया था।
"एलिमेंट्स" (ग्रीक Στοιχεῖα, lat। Elementa) में - यूक्लिड का मुख्य कार्य, लगभग 300 ईसा पूर्व लिखा गया था। एन.एस. और ज्यामिति के व्यवस्थित निर्माण के लिए समर्पित) शब्द "ट्रेपेज़ॉइड" का उपयोग आधुनिक में नहीं, बल्कि दूसरे अर्थ में किया जाता है: कोई भी चतुर्भुज (समांतर चतुर्भुज नहीं)। हमारे अर्थ में "ट्रेपेज़ियम" पहली बार प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पॉसिडोनियस (पहली शताब्दी) में पाया जाता है। मध्य युग में, यूक्लिड के अनुसार, एक समलंब चतुर्भुज कहा जाता था, कोई भी चतुर्भुज (समांतर चतुर्भुज नहीं); केवल XVIII सदी में। यह शब्द आधुनिक अर्थ लेता है।

अपने निर्दिष्ट तत्वों से एक समलम्ब चतुर्भुज का निर्माण। लोग कार्ड नंबर 1 पर कार्य करते हैं।

छात्रों को विभिन्न प्रकार के स्थानों और शैलियों में ट्रेपेज़ॉइड का निर्माण करना होता है। चरण 1 में, आपको एक आयताकार ट्रेपोजॉइड बनाने की आवश्यकता है। बिंदु 2 में, समद्विबाहु समलम्बाकार बनाना संभव हो जाता है। बिंदु 3 पर, समलम्ब चतुर्भुज "अपनी तरफ झूठ" होगा। पैराग्राफ 4 में, ड्राइंग ऐसे ट्रेपोजॉइड के निर्माण के लिए प्रदान करता है, जिसमें से एक आधार असामान्य रूप से छोटा हो जाता है।
छात्र एक सामान्य नाम वाले विभिन्न आकृतियों वाले शिक्षक को "आश्चर्य" करते हैं - ट्रेपेज़ॉइड। शिक्षक ट्रेपेज़ॉइड के निर्माण के लिए संभावित विकल्पों का प्रदर्शन करता है।

समस्या १... क्या दो समलम्ब चतुर्भुज समान होंगे, जिनके लिए क्रमशः एक आधार और दो भुजाएँ समान हैं?
समूह में समस्या के समाधान पर चर्चा करें, तर्क की शुद्धता साबित करें।
प्रति समूह एक छात्र बोर्ड पर एक चित्र बनाता है, तर्क की रेखा की व्याख्या करता है।

2. ट्रेपोजॉइड के प्रकार

• मोटर मेमोरी का विकास, समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक प्रसिद्ध आंकड़ों में ट्रेपोजॉइड को तोड़ने की क्षमता;
• सामान्यीकरण करने, तुलना करने, सादृश्य द्वारा एक परिभाषा देने, परिकल्पनाओं को सामने रखने के कौशल का विकास।

आकृति पर विचार करें:

- आकृति में दिखाए गए समलंबों के बीच क्या अंतर है?
लोगों ने देखा कि ट्रेपेज़ॉइड का प्रकार बाईं ओर त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करता है।
- वाक्य पूरा करो:

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि...
एक समलम्ब को समद्विबाहु कहा जाता है यदि...

3. समलम्ब चतुर्भुज के गुण। एक समद्विबाहु समलम्बाकार के गुण।

• एक समद्विबाहु त्रिभुज के सादृश्य द्वारा, एक समद्विबाहु समलम्बाकार के गुण के बारे में एक परिकल्पना को सामने रखते हुए;
• विश्लेषणात्मक कौशल का विकास (तुलना करना, परिकल्पना करना, साबित करना, निर्माण करना)।

• विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है।
• समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी आधार पर समान कोण होते हैं।
• एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में समान विकर्ण होते हैं।
• एक समद्विबाहु समलम्बाकार में, ऊपर से बड़े आधार तक की ऊँचाई इसे दो खंडों में विभाजित करती है, जिनमें से एक आधारों के आधे योग के बराबर है, दूसरा आधारों का आधा-अंतर है।

उद्देश्य २.सिद्ध करें कि एक समद्विबाहु समलम्ब में: क) प्रत्येक आधार पर कोण बराबर होते हैं; बी) विकर्ण बराबर हैं। समद्विबाहु समलम्बाकार के इन गुणों को सिद्ध करने के लिए, हम त्रिभुजों की समानता के मानदंड को याद करते हैं। छात्र समूहों में कार्य करते हैं, चर्चा करते हैं, एक नोटबुक में समाधान लिखते हैं।
समूह का एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर प्रूफ़ का संचालन करता है।

4. ध्यान के लिए व्यायाम

5. दैनिक जीवन में समलंब आकृतियों के अनुप्रयोग के उदाहरण:

• अंदरूनी हिस्सों में (सोफे, दीवारें, निलंबित छत);
• लैंडस्केप डिज़ाइन में (लॉन की सीमाएँ, कृत्रिम जलाशय, पत्थर);
• फैशन उद्योग में (कपड़े, जूते, सहायक उपकरण);
• रोजमर्रा की वस्तुओं के डिजाइन में (लैंप, व्यंजन, ट्रेपोजॉइड आकृतियों का उपयोग करके);
• वास्तुकला में।

व्यावहारिक कार्य(विकल्पों के अनुसार)।

- एक समन्वय प्रणाली में, दिए गए तीन शीर्षों के लिए समद्विबाहु समलंब की रचना करें।

विकल्प 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) और (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3), (...; ...)।
विकल्प 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) और (1; - 2), (4; - 3), (4; - ७), (...; ...)

- चौथे शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करें।
समाधान की समीक्षा की जाती है और पूरी कक्षा द्वारा उस पर टिप्पणी की जाती है। छात्र चौथे पाए गए बिंदु के निर्देशांक को इंगित करते हैं और मौखिक रूप से यह समझाने की कोशिश करते हैं कि दी गई शर्तें केवल एक बिंदु को क्यों परिभाषित करती हैं।

एक मनोरंजक कार्य।इसमें से एक समलम्ब जोड़ें: a) चार समकोण त्रिभुज; b) तीन समकोण त्रिभुजों का; c) दो समकोण त्रिभुजों के।

चतुर्थ। होम वर्क

• सही आत्मसम्मान की शिक्षा;
• प्रत्येक छात्र के लिए "सफलता" की स्थिति बनाना।

p.44, परिभाषा को जानें, समलम्ब के तत्व, इसके प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज के गुणों को जानें, उन्हें सिद्ध करने में सक्षम हों, 388, 390।

वी सबक सारांश। पाठ के अंत में, बच्चों को दिया जाता है प्रश्नावली,जो आत्मनिरीक्षण की अनुमति देता है, पाठ का गुणात्मक और मात्रात्मक मूल्यांकन करने के लिए .

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