प्राथमिक कार्यों का सिद्धांत. बुनियादी प्राथमिक कार्य

ज्ञान बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और ग्राफ़गुणन सारणी जानने से कम महत्वपूर्ण नहीं। वे नींव की तरह हैं, सब कुछ उन पर आधारित है, सब कुछ उनसे बनता है और सब कुछ उन्हीं तक आता है।

इस लेख में हम सभी मुख्य प्राथमिक कार्यों को सूचीबद्ध करेंगे, उनके ग्राफ़ प्रदान करेंगे और बिना किसी निष्कर्ष या प्रमाण के देंगे बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणयोजना के अनुसार:

• परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (यदि आवश्यक हो, तो किसी फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं का वर्गीकरण लेख देखें);
• सम और विषम;
• उत्तलता (ऊपर की ओर उत्तलता) और अवतलता (नीचे की ओर उत्तलता), विभक्ति बिंदु के अंतराल (यदि आवश्यक हो, तो लेख किसी फ़ंक्शन की उत्तलता, उत्तलता की दिशा, विभक्ति बिंदु, उत्तलता और विभक्ति की स्थिति देखें);
• तिरछा और क्षैतिज अनंतस्पर्शी;
• कार्यों के एकवचन बिंदु;
• कुछ कार्यों के विशेष गुण (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि)।

यदि आपकी रुचि या में है, तो आप सिद्धांत के इन अनुभागों में जा सकते हैं।

बुनियादी प्राथमिक कार्यहैं: स्थिर फलन (स्थिर), nवाँ मूल, घात फलन, घातांक, लघुगणक फलन, त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन।

पेज नेविगेशन.

स्थायी कार्य.

सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक स्थिर फलन को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ C कुछ वास्तविक संख्या है। एक स्थिर फ़ंक्शन स्वतंत्र चर x के प्रत्येक वास्तविक मान को आश्रित चर y के समान मान - मान C के साथ जोड़ता है। एक स्थिर फलन को स्थिरांक भी कहा जाता है।

एक स्थिर फलन का ग्राफ़ x-अक्ष के समानांतर और निर्देशांक (0,C) वाले बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। उदाहरण के लिए, आइए निरंतर फ़ंक्शन y=5, y=-2 और के ग्राफ़ दिखाएं, जो नीचे दिए गए चित्र में क्रमशः काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

एक स्थिर फलन के गुण.

• डोमेन: वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट.
• अचर फलन सम है.
• मानों की श्रेणी: एक सेट जिसमें एकवचन संख्या C शामिल है।
• एक स्थिर फलन न तो बढ़ता है और न ही घटता है (इसीलिए यह स्थिर है)।
• किसी स्थिरांक की उत्तलता और अवतलता के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं.
• फ़ंक्शन निर्देशांक तल के बिंदु (0,C) से होकर गुजरता है।

nवाँ मूल.

आइए मूल प्रारंभिक फ़ंक्शन पर विचार करें, जो सूत्र द्वारा दिया गया है, जहां n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है।

nवीं डिग्री का मूल, n एक सम संख्या है।

आइए मूल घातांक n के सम मानों के लिए nवें रूट फ़ंक्शन से प्रारंभ करें।

उदाहरण के तौर पर, यहां फ़ंक्शन ग्राफ़ की छवियों वाला एक चित्र है और, वे काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

सम-डिग्री रूट फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में घातांक के अन्य मानों के लिए समान उपस्थिति होती है।

सम n के लिए nवें रूट फ़ंक्शन के गुण।

nवाँ मूल, n एक विषम संख्या है।

विषम मूल घातांक n के साथ nवें मूल फ़ंक्शन को वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, यहां फ़ंक्शन ग्राफ़ हैं और, वे काले, लाल और नीले वक्रों के अनुरूप हैं।

मूल घातांक के अन्य विषम मानों के लिए, फ़ंक्शन ग्राफ़ का स्वरूप समान होगा।

विषम n के लिए nवें मूल फलन के गुण।

ऊर्जा समीकरण।

पावर फ़ंक्शन फॉर्म के सूत्र द्वारा दिया गया है।

आइए घातांक के मान के आधार पर पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप और पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें।

आइए एक पूर्णांक घातांक a के साथ एक पावर फ़ंक्शन से शुरुआत करें। इस मामले में, पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ की उपस्थिति और फ़ंक्शंस के गुण घातांक की समता या विषमता के साथ-साथ उसके चिह्न पर भी निर्भर करते हैं। इसलिए, हम पहले घातांक a के विषम धनात्मक मानों के लिए घात फलनों पर विचार करेंगे, फिर सम धनात्मक घातांकों के लिए, फिर विषम ऋणात्मक घातांकों के लिए, और अंत में सम ऋणात्मक a के लिए।

भिन्नात्मक और अपरिमेय घातांक वाले घात फलन के गुण (साथ ही ऐसे घात फलन के ग्राफ़ के प्रकार) घातांक a के मान पर निर्भर करते हैं। हम उन पर विचार करेंगे, सबसे पहले, शून्य से एक तक के लिए, दूसरे, एक से अधिक के लिए, तीसरे, शून्य से एक से शून्य तक के लिए, चौथे, शून्य से एक से कम के लिए।

इस खंड के अंत में, पूर्णता के लिए, हम शून्य घातांक वाले एक पावर फ़ंक्शन का वर्णन करेंगे।

विषम धनात्मक घातांक के साथ घात फलन।

आइए एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात a = 1,3,5,... के साथ।

नीचे दिया गया चित्र पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। a=1 के लिए हमारे पास है रैखिक प्रकार्य y=x.

एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

सम सकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।

आइए एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात a = 2,4,6,... के लिए।

उदाहरण के तौर पर, हम पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ देते हैं - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा। a=2 के लिए हमारे पास एक द्विघात फलन है, जिसका ग्राफ है द्विघात परवलय.

एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

विषम ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन।

घातांक के विषम नकारात्मक मानों के लिए पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें, अर्थात a = -1, -3, -5,... के लिए।

चित्र उदाहरण के रूप में शक्ति कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। a=-1 के लिए हमारे पास है व्युत्क्रम आनुपातिकता, जिसका ग्राफ है अतिशयोक्ति.

एक विषम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

सम ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन।

आइए a=-2,-4,-6,… के लिए पावर फ़ंक्शन पर आगे बढ़ें।

चित्र शक्ति कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा।

एक सम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

परिमेय या अपरिमेय घातांक वाला एक घात फलन जिसका मान शून्य से अधिक और एक से कम होता है।

टिप्पणी!यदि a एक विषम हर वाला एक धनात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक पावर फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल मानते हैं। यह निर्धारित है कि घातांक a एक अघुलनशील भिन्न है। अब बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम हर के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम सटीक रूप से इस दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात, हम सेट को भिन्नात्मक सकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों की परिभाषा के डोमेन के रूप में मानेंगे। हम अनुशंसा करते हैं कि छात्र असहमति से बचने के लिए इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक की राय जानें।

आइए हम एक परिमेय या अपरिमेय घातांक a, और के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

आइए हम a=11/12 (काली रेखा), a=5/7 (लाल रेखा), (नीली रेखा), a=2/5 (हरी रेखा) के लिए पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रस्तुत करें।

एक गैर-पूर्णांक परिमेय या एक से अधिक अपरिमेय घातांक वाला घात फलन।

आइए एक गैर-पूर्णांक परिमेय या अपरिमेय घातांक a, और के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

आइए हम सूत्रों द्वारा दिए गए शक्ति कार्यों के ग्राफ़ प्रस्तुत करें (क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाएँ)।

घातांक a के अन्य मानों के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्वरूप समान होगा।

पर पावर फ़ंक्शन के गुण।

वास्तविक घातांक वाला एक घात फलन जो शून्य से एक से अधिक और शून्य से कम है।

टिप्पणी!यदि a एक विषम हर के साथ एक ऋणात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक पावर फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल मानते हैं . यह निर्धारित है कि घातांक a एक अघुलनशील भिन्न है। अब बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम हर के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम सटीक रूप से इस दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात्, हम भिन्नात्मक भिन्नात्मक नकारात्मक घातांक वाले शक्ति कार्यों की परिभाषा के डोमेन को क्रमशः एक सेट मानेंगे। हम अनुशंसा करते हैं कि छात्र असहमति से बचने के लिए इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक की राय जानें।

आइए पावर फ़ंक्शन पर चलते हैं, kgod।

पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के रूप का एक अच्छा विचार रखने के लिए, हम फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के उदाहरण देते हैं (क्रमशः काले, लाल, नीले और हरे रंग के वक्र)।

घातांक a, के साथ एक शक्ति फलन के गुण।

एक गैर-पूर्णांक वास्तविक घातांक वाला एक पावर फ़ंक्शन जो माइनस एक से कम है।

आइए हम इसके लिए शक्ति फलनों के ग्राफ़ के उदाहरण दें , उन्हें क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है।

माइनस एक से कम गैर-पूर्णांक नकारात्मक घातांक वाले पावर फ़ंक्शन के गुण।

जब a = 0, हमारे पास एक फ़ंक्शन होता है - यह एक सीधी रेखा है जिसमें से बिंदु (0;1) को बाहर रखा जाता है (अभिव्यक्ति 0 0 को कोई महत्व नहीं देने पर सहमति हुई थी)।

घातांक प्रकार्य।

मुख्य प्राथमिक कार्यों में से एक घातीय कार्य है।

घातीय फलन का ग्राफ, जहां और आधार a के मान के आधार पर अलग-अलग रूप लेता है। आइए इसका पता लगाएं।

सबसे पहले, उस मामले पर विचार करें जब घातीय फ़ंक्शन का आधार शून्य से एक तक मान लेता है, यानी।

उदाहरण के तौर पर, हम a = 1/2 - नीली रेखा, a = 5/6 - लाल रेखा के लिए घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं। घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ अंतराल से आधार के अन्य मानों के लिए समान दिखते हैं।

एक से कम आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

आइए उस स्थिति पर आगे बढ़ें जब घातांकीय फलन का आधार एक से बड़ा हो, अर्थात।

उदाहरण के तौर पर, हम घातीय फलनों के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं - नीली रेखा और - लाल रेखा। एक से अधिक आधार के अन्य मानों के लिए, घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्वरूप समान होगा।

एक से बड़े आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

लघुगणकीय कार्य.

अगला बुनियादी प्राथमिक फ़ंक्शन लॉगरिदमिक फ़ंक्शन है, जहां,। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को केवल तर्क के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ आधार a के मान के आधार पर विभिन्न रूप लेता है।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों की पूरी सूची

बुनियादी प्रारंभिक कार्यों के वर्ग में निम्नलिखित शामिल हैं:

1. स्थिर फलन $y=C$, जहां $C$ एक स्थिरांक है। ऐसा फ़ंक्शन किसी भी $x$ के लिए समान मान $C$ लेता है।
2. पावर फ़ंक्शन $y=x^(a) $, जहां घातांक $a$ एक वास्तविक संख्या है।
3. घातीय फ़ंक्शन $y=a^(x) $, जहां आधार डिग्री $a>0$, $a\ne 1$ है।
4. लघुगणक फ़ंक्शन $y=\log _(a) x$, जहां लघुगणक का आधार $a>0$, $a\ne 1$ है।
5. त्रिकोणमितीय फलन $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ सेकंड\,x$.
6. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , एक्स$.

शक्ति कार्य

हम उन सरलतम मामलों के लिए पावर फ़ंक्शन $y=x^(a) $ के व्यवहार पर विचार करेंगे जब इसका घातांक पूर्णांक घातांक और मूल निष्कर्षण निर्धारित करता है।

मामला एक

फ़ंक्शन $y=x^(a) $ का घातांक एक प्राकृतिक संख्या है, अर्थात, $y=x^(n) $, $n\in N$।

यदि $n=2\cdot k$ एक सम संख्या है, तो फ़ंक्शन $y=x^(2\cdot k) $ सम है और अनिश्चित काल तक बढ़ता है जैसे कि तर्क $\left(x\to +\infty \right) )$, और इसकी असीमित कमी के साथ $\left(x\to -\infty \right)$. फ़ंक्शन के इस व्यवहार को अभिव्यक्ति $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ और $\mathop(\lim )\ द्वारा वर्णित किया जा सकता है सीमा_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, जिसका अर्थ है कि दोनों मामलों में फ़ंक्शन बिना सीमा के बढ़ता है ($\lim $ सीमा है)। उदाहरण: फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=x^(2) $।

यदि $n=2\cdot k-1$ एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन $y=x^(2\cdot k-1) $ विषम है, जैसे-जैसे तर्क अनिश्चित काल तक बढ़ता है, अनिश्चित काल तक बढ़ता है, और तर्क के रूप में अनिश्चित काल तक घटता है अनिश्चित काल तक घटता है. फ़ंक्शन के इस व्यवहार को अभिव्यक्ति $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ और $\mathop(\lim) द्वारा वर्णित किया जा सकता है )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. उदाहरण: फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=x^(3) $.

केस 2

फ़ंक्शन $y=x^(a) $ का घातांक एक नकारात्मक पूर्णांक है, अर्थात, $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$।

यदि $n=2\cdot k$ एक सम संख्या है, तो फ़ंक्शन $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ सम है और असीमित वृद्धि तर्क के साथ स्पर्शोन्मुख रूप से (धीरे-धीरे) शून्य के करीब पहुंचता है , और इसकी असीमित कमी के साथ। फ़ंक्शन के इस व्यवहार को एकल अभिव्यक्ति $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि निरपेक्ष मान में तर्क में असीमित वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की सीमा शून्य है। इसके अलावा, जैसे-जैसे तर्क बाईं ओर $\left(x\to 0-0\right)$ और दाईं ओर $\left(x\to 0+0\right)$ दोनों पर शून्य हो जाता है, फ़ंक्शन बिना बढ़े बढ़ता है सीमा. इसलिए, अभिव्यक्ति $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ और $\mathop(\lim )\ सीमाएँ_ मान्य हैं (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) दोनों ही मामलों में $ की अनंत सीमा $+\infty $ के बराबर होती है। उदाहरण: फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

यदि $n=2\cdot k-1$ एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ विषम है और स्पर्शोन्मुख रूप से शून्य के करीब पहुंचता है जैसे कि दोनों जब तर्क कब बढ़ता है और कब घटता है, इसकी कोई सीमा नहीं है। फ़ंक्शन के इस व्यवहार को एकल अभिव्यक्ति $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसके अलावा, जैसे-जैसे तर्क बाईं ओर शून्य के करीब पहुंचता है, फ़ंक्शन बिना किसी सीमा के घटता जाता है, और जैसे-जैसे तर्क दाईं ओर शून्य के करीब पहुंचता है, फ़ंक्शन बिना किसी सीमा के बढ़ता है, यानी, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ और $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. उदाहरण: फ़ंक्शन का ग्राफ $y=\frac(1)(x) $.

केस 3

फ़ंक्शन $y=x^(a) $ का घातांक प्राकृतिक संख्या का व्युत्क्रम है, अर्थात, $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$।

यदि $n=2\cdot k$ एक सम संख्या है, तो फ़ंक्शन $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ दो-मूल्य वाला है और केवल $x\ge 0 के लिए परिभाषित है $. तर्क में असीमित वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ असीमित रूप से बढ़ता है, और फ़ंक्शन का मान $y=-\sqrt[(2\) cdot k)](x) $ असीमित रूप से घटता है, अर्थात, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ और $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. उदाहरण: फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=\pm \sqrt(x) $।

यदि $n=2\cdot k-1$ एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ विषम है, तर्क में असीमित वृद्धि के साथ असीमित रूप से बढ़ता है और असीमित होने पर असीमित रूप से घटता है, यह घटता है, अर्थात, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ और $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. उदाहरण: फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=\sqrt[(3)](x) $।

घातांकीय और लघुगणकीय कार्य

घातांक $y=a^(x) $ और लघुगणक $y=\log _(a) x$ फ़ंक्शन परस्पर व्युत्क्रम हैं। उनके ग्राफ़ पहले और तीसरे निर्देशांक कोणों के उभयनिष्ठ समद्विभाजक के संबंध में सममित हैं।

जब तर्क $\left(x\to +\infty \right)$ अनिश्चित काल तक बढ़ता है, तो घातीय फ़ंक्शन या $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ अनिश्चित काल तक बढ़ता है, यदि $a>1$, या असममित रूप से शून्य के करीब पहुंचता है $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, यदि $a1$, या $\mathop बिना किसी सीमा के बढ़ता है (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, यदि $a

फ़ंक्शन $y=a^(x) $ के लिए विशिष्ट मान $x=0$ है। इस मामले में, सभी घातीय फ़ंक्शन, $a$ की परवाह किए बिना, आवश्यक रूप से $Oy$ अक्ष को $y=1$ पर काटते हैं। उदाहरण: फ़ंक्शन के ग्राफ़ $y=2^(x) $ और $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन $y=\log _(a) x$ केवल $x > 0$ के लिए परिभाषित किया गया है।

जैसे-जैसे तर्क $\left(x\to +\infty \right)$ अनिश्चित काल तक बढ़ता है, लघुगणकीय फ़ंक्शन या $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ अनिश्चित काल तक $ बढ़ाता है, यदि $a>1$, या बिना किसी सीमा के घटता है $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, यदि $a1 $, या बिना सीमा के $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ बढ़ता है यदि $a

फ़ंक्शन $y=\log _(a) x$ के लिए विशिष्ट मान $y=0$ है। इस मामले में, सभी लघुगणकीय फ़ंक्शन, $a$ की परवाह किए बिना, आवश्यक रूप से $Ox$ अक्ष को $x=1$ पर काटते हैं। उदाहरण: फ़ंक्शन $y=\log _(2) x$ और $y=\log _(1/2) x$ के ग्राफ़।

कुछ लघुगणकीय कार्यों में विशेष अंकन होता है। विशेष रूप से, यदि लघुगणक का आधार $a=10$ है, तो ऐसे लघुगणक को दशमलव कहा जाता है, और संबंधित फ़ंक्शन को $y=\lg x$ के रूप में लिखा जाता है। और यदि अपरिमेय संख्या $e=2.7182818\ldots $ को लघुगणक के आधार के रूप में चुना जाता है, तो ऐसे लघुगणक को प्राकृतिक कहा जाता है, और संबंधित फ़ंक्शन को $y=\ln x$ के रूप में लिखा जाता है। इसका व्युत्क्रम फ़ंक्शन $y=e^(x) $ है, जिसे घातांक कहा जाता है।

अनुभाग में मुख्य प्राथमिक कार्यों और उनके गुणों पर संदर्भ सामग्री शामिल है। प्रारंभिक कार्यों का वर्गीकरण दिया गया है। नीचे उपखंडों के लिंक दिए गए हैं जो विशिष्ट कार्यों के गुणों पर चर्चा करते हैं - ग्राफ़, सूत्र, व्युत्पन्न, प्रतिअवकलन (अभिन्न), श्रृंखला विस्तार, जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्ति।

बुनियादी कार्यों के लिए संदर्भ पृष्ठ

प्राथमिक कार्यों का वर्गीकरण

बीजीय फलनएक फ़ंक्शन है जो समीकरण को संतुष्ट करता है:
,
आश्रित चर y और स्वतंत्र चर x में एक बहुपद कहाँ है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
,
बहुपद कहाँ हैं.

बीजगणितीय कार्यों को बहुपद (संपूर्ण तर्कसंगत कार्य), तर्कसंगत कार्य और अपरिमेय कार्य में विभाजित किया गया है।

संपूर्ण तर्कसंगत कार्य, जिसे भी कहा जाता है बहुपदया बहुपद, जोड़ (घटाव) और गुणा के अंकगणितीय संचालन का उपयोग करके चर x और संख्याओं की एक सीमित संख्या से प्राप्त किया जाता है। कोष्ठक खोलने के बाद, बहुपद को विहित रूप में घटा दिया जाता है:
.

भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्य, या केवल तर्कसंगत कार्य, जोड़ (घटाव), गुणा और भाग के अंकगणितीय संचालन का उपयोग करके चर x और संख्याओं की एक सीमित संख्या से प्राप्त किया जाता है। तर्कसंगत फ़ंक्शन को फॉर्म में घटाया जा सकता है
,
कहाँ और बहुपद हैं.

तर्कहीन कार्यएक बीजीय फलन है जो तर्कसंगत नहीं है। एक नियम के रूप में, एक अपरिमेय कार्य को जड़ों के रूप में और उनकी रचनाओं को तर्कसंगत कार्यों के रूप में समझा जाता है। डिग्री n के मूल को समीकरण के समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है
.
इसे इस प्रकार नामित किया गया है:
.

पारलौकिक कार्यगैर-बीजीय फलन कहलाते हैं। ये घातांकीय, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण और उनके व्युत्क्रम फलन हैं।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों का अवलोकन

सभी प्रारंभिक कार्यों को प्रपत्र की अभिव्यक्ति पर किए गए जोड़, घटाव, गुणा और भाग संचालन की एक सीमित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है:
जेड टी .
व्युत्क्रम फलनों को लघुगणक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। बुनियादी प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध हैं।

ऊर्जा समीकरण :
y(x) = x p ,
जहाँ p घातांक है। यह डिग्री x के आधार पर निर्भर करता है.
पावर फ़ंक्शन का व्युत्क्रम भी पावर फ़ंक्शन है:
.
घातांक पी के पूर्णांक गैर-नकारात्मक मान के लिए, यह एक बहुपद है। पूर्णांक मान p के लिए - एक तर्कसंगत कार्य। तर्कसंगत अर्थ के साथ - एक तर्कहीन कार्य।

पारलौकिक कार्य

घातांक प्रकार्य :
y(x) = a x ,
जहां a डिग्री का आधार है. यह घातांक x पर निर्भर करता है।
व्युत्क्रम फलन आधार a का लघुगणक है:
एक्स = एक y लॉग इन करें.

घातांक, ई से एक्स घात:
y(x) = e x ,
यह एक घातीय फलन है जिसका व्युत्पन्न स्वयं फलन के बराबर है:
.
घातांक का आधार संख्या e है:
≈ 2,718281828459045... .
व्युत्क्रम फलन - प्राकृतिक लघुगणक - आधार ई का लघुगणक:
एक्स = एलएन वाई ≡ लॉग ई वाई.

त्रिकोणमितीय कार्य:
साइन: ;
कोसाइन: ;
स्पर्शरेखा: ;
कोटैंजेंट: ;
यहाँ i काल्पनिक इकाई है, i 2 = -1.

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन:
आर्कसाइन: x = आर्क्सिन वाई, ;
चाप कोज्या: x = आर्ककोस वाई, ;
आर्कटिक: x = आर्कटान वाई, ;
चाप स्पर्शरेखा: x = आर्कसीटीजी वाई, .

बुनियादी प्राथमिक कार्यहैं: स्थिर कार्य (स्थिर), जड़ एन-वीं डिग्री, पावर फ़ंक्शन, घातांक, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन।

स्थायी कार्य.

सूत्र द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक स्थिर फलन दिया जाता है, जहाँ सी– कुछ वास्तविक संख्या. एक स्थिर फ़ंक्शन स्वतंत्र चर के प्रत्येक वास्तविक मान को निर्दिष्ट करता है एक्सआश्रित चर का समान मान य- अर्थ साथ. एक स्थिर फलन को स्थिरांक भी कहा जाता है।

एक स्थिर फलन का ग्राफ़ x-अक्ष के समानांतर और निर्देशांक वाले बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है (0,सी). उदाहरण के लिए, आइए स्थिर फलनों के ग्राफ़ दिखाएं y=5,y=-2और, जो नीचे दिए गए चित्र में क्रमशः काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप है।

एक स्थिर फलन के गुण.

डोमेन: वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट.

अचर फलन सम है.

मानों की सीमा: एक एकल संख्या से युक्त सेट साथ.

एक स्थिर फलन न तो बढ़ता है और न ही घटता है (इसीलिए यह स्थिर है)।

किसी स्थिरांक की उत्तलता और अवतलता के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।

कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं.

फ़ंक्शन बिंदु से होकर गुजरता है (0,सी)विमान का समन्वय।

nवीं डिग्री की जड़.

आइए मूल प्राथमिक फ़ंक्शन पर विचार करें, जो सूत्र द्वारा दिया गया है, जहां एन- एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या।

nवाँ मूल, n एक सम संख्या है।

आइए रूट फ़ंक्शन से शुरू करें एनमूल घातांक के सम मानों के लिए -वीं शक्ति एन.

उदाहरण के तौर पर, यहां फ़ंक्शन ग्राफ़ की छवियों वाला एक चित्र है और, वे काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

सम-डिग्री रूट फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में घातांक के अन्य मानों के लिए समान उपस्थिति होती है।

रूट फ़ंक्शन के गुणएन -सम के लिए शक्तिएन .

nवाँ मूल, n एक विषम संख्या है।

मूल कार्य एनएक विषम मूल घातांक के साथ -वीं शक्ति एनवास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, यहां फ़ंक्शन ग्राफ़ हैं और, वे काले, लाल और नीले वक्रों के अनुरूप हैं।