यह लेख एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: समीकरण के ऐसे रूप को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में मानते हैं। आइए हम एक प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से दूसरी रेखा के समीकरणों के अन्य प्रकारों में संक्रमण कैसे किया जाता है। हम चित्रण और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के साथ पूरे सिद्धांत को मजबूत करेंगे।

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विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y दें।

प्रमेय १

पहली डिग्री का कोई समीकरण, फॉर्म ए x + बी y + C \u003d 0, जहां ए, बी, सी कुछ वास्तविक संख्याएं हैं (ए और बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक में सीधी रेखा को परिभाषित करता है एक विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, एक विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में किसी भी सीधी रेखा को एक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसमें ए, बी, सी के एक निश्चित सेट के लिए फार्म ए एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 होता है।

सबूत

इस प्रमेय में दो बिंदु शामिल हैं, हम उनमें से प्रत्येक को साबित करेंगे।

1. हम यह साबित करते हैं कि समीकरण A x + B y + C \u003d 0 समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

आज्ञा दें कि कोई बिंदु मौजूद है। इस प्रकार: एक x 0 + B y 0 + C \u003d 0। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ A x + B y + C \u003d 0 समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, हम प्रपत्र A (x) का एक नया समीकरण प्राप्त करते हैं - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0। यह A x + B y + C \u003d 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 वैक्टर n → \u003d (A, B) और M 0 M → \u003d (x - x 0, y) के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। - य ०)। इस प्रकार, अंक M (x, y) का सेट वेक्टर n → \u003d (A, B) की दिशा में सीधा आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब वैक्टर n → \u003d (A, B) और M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होगा, और समानता A (x) x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 सत्य नहीं होगा।

नतीजतन, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में कुछ सीधी रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 को परिभाषित करता है। वही सीधी रेखा। इस प्रकार हमने प्रमेय का पहला भाग सिद्ध किया।

1. आइए हम एक प्रमाण दें कि किसी समतल पर किसी आयताकार समन्वय प्रणाली में किसी भी सीधी रेखा को पहली डिग्री A x + B y + C \u003d 0 के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

आइए हम विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा सेट करें; बिंदु M 0 (x 0, y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य वेक्टर n → \u003d (A, B) है।

कुछ बिंदु M (x, y) - एक सीधी रेखा का एक तैरता बिंदु भी होने दें। इस मामले में, वैक्टर एन → \u003d (ए, बी) और एम 0 एम → \u003d (एक्स - एक्स 0, वाई - वाई 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका स्केलर उत्पाद शून्य है:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0 को परिभाषित करें, C: C \u003d - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंतिम परिणाम में हमें समीकरण A x + B y + C \u003d 0 मिलता है। ।

इस प्रकार, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध किया है, और हमने पूरे प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध किया है।

परिभाषा १

रूप का एक समीकरण एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 - ये है लाइन का सामान्य समीकरण एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर ओ x य।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक सीधी रेखा और उसके सामान्य समीकरण, जो एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर दिए गए हैं, का अटूट संबंध है। दूसरे शब्दों में, प्रारंभिक सीधी रेखा इसके सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण किसी दिए गए सीधी रेखा से मेल खाता है।

यह भी प्रमेय के प्रमाण से अनुसरण करता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है। ग \u003d ०।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

समीकरण 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 को दें, जो किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा से मेल खाता है। इस रेखा का सामान्य वेक्टर वेक्टर है n → \u003d (2, 3)। ड्राइंग में दी गई सीधी रेखा खींचें।

निम्नलिखित को मुखर करना भी संभव है: ड्राइंग में जो सीधी रेखा हम देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 से निर्धारित होती है, क्योंकि किसी दिए गए सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम एक गैर-संख्या संख्या λ द्वारा पंक्ति के सामान्य समीकरण के दोनों किनारों को गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह विमान पर एक ही सीधी रेखा का वर्णन करेगा।

लाइन का पूरा सामान्य समीकरण - स्ट्रेट लाइन A x + B y + C \u003d 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्या A, B, C नॉनजर हैं। अन्यथा समीकरण है अधूरा.

आइए हम पंक्ति के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों की जांच करें।

1. जब A \u003d 0, B, 0, C the 0, सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 हो जाता है। इस तरह का एक अधूरा सामान्य समीकरण एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर होता है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए चर y मान लेगा - सी। बी। दूसरे शब्दों में, सीधी रेखा A x + B y + C \u003d 0 का सामान्य समीकरण, जब A \u003d 0, B the 0, बिंदुओं के स्थान (x, y) को परिभाषित करता है, जिसके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी। बी।
2. यदि A \u003d 0, B, 0, C \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 लेता है। यह अधूरा समीकरण एब्सिस्सा अक्ष ओ x को परिभाषित करता है।
3. जब A ≠ 0, B \u003d 0, C we 0, हम एक अधूरा सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 प्राप्त करते हैं, जो कि सीधी अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. A, 0, B \u003d 0, C \u003d 0 होने दें, फिर अपूर्ण सामान्य समीकरण x \u003d 0 का रूप ले लेगा, और यह समन्वय रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, A, 0, B for 0, C \u003d 0 के लिए, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y \u003d 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल से गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं की संख्या (0, 0) समानता ए एक्स + बी वाई \u003d 0 से मेल खाती है, क्योंकि ए · 0 + बी · 0 \u003d 0।

आइए हम एक सीधी रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी उपरोक्त प्रकारों का रेखांकन करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि एक दी गई सीधी रेखा ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर होती है और बिंदु 2 7, - 11 से होकर गुजरती है। किसी दिए गए सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा ए एक्स + सी \u003d 0 फॉर्म के एक समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें ए the 0 है। इसके अलावा, स्थिति उस बिंदु के निर्देशांक को निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0, अर्थात की शर्तों को पूरा करते हैं। समानता सत्य है:

ए · 2 7 + सी \u003d 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी से निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए \u003d 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 · 2 7 + C \u003d 0 - C \u003d - 2। हम गुणांक A और C दोनों जानते हैं, हम उन्हें समीकरण A x + C \u003d 0 में प्रतिस्थापित करते हैं और हम सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण को प्राप्त करते हैं: 7 x - 2 \u003d 0

उत्तर: 7 x - 2 \u003d 0

उदाहरण 2

ड्राइंग एक सीधी रेखा दिखाता है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा को आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम ड्राइंग में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से गुजरती है।

सीधी रेखा, जो कि एब्सिसा की आंखों के समानांतर है, अधूरा सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 द्वारा निर्धारित की जाती है। आइए बी और सी के मूल्यों को खोजें। बिंदु के निर्देशांक (0, 3), चूंकि एक दी गई सीधी रेखा वहां से गुजरती है, सीधी रेखा के समीकरण को y y + C \u003d 0 से संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: B · 3 + C \u003d 0। चलो बी के लिए शून्य के अलावा कुछ मूल्य निर्धारित करते हैं। मान लीजिए कि B \u003d 1, इस मामले में, समानता B 3 + C \u003d 0 से हम C: C \u003d - 3 पा सकते हैं। हम बी और सी के ज्ञात मूल्यों का उपयोग करते हैं, हम सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 \u003d 0।

उत्तर: y - 3 \u003d 0।

विमान के दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई सीधी रेखा को बिंदु M 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, फिर इसके निर्देशांक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं, अर्थात्। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0। हम इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को रेखा के सामान्य पूर्ण समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाते हैं। हम प्राप्त करते हैं: ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी \u003d 0, यह समीकरण मूल सामान्य के बराबर है, बिंदु एम 0 (एक्स 0, वाई 0) से गुजरता है और एक सामान्य वेक्टर है n → \u003d (ए, बी)।

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, वह सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और इस सीधी रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के साथ सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव बनाता है।

उदाहरण 3

बिंदु 0 (- 3, 4) को देखते हुए, जिसके माध्यम से एक सीधी रेखा गुजरती है, और इस सीधी रेखा का एक सामान्य वेक्टर n → \u003d (1, - 2)। किसी दिए गए सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

प्रारंभिक शर्तें हमें समीकरण को खींचने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, एक्स 0 \u003d - 3, वाई 0 \u003d 4। फिर:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 x 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ - x - 2 y + 22 \u003d 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। रेखा के सामान्य समीकरण में A A + B + Y \u003d C \u003d 0 है। दिए गए सामान्य वेक्टर आपको गुणांक A और B के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

A x + B y + C \u003d 0 + 1 x - 2 y + C \u003d 0 B x - 2 y + C \u003d 0

अब हम समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान पाएंगे, जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 y + C \u003d 0 के अनुरूप हैं, अर्थात - ३ - २ ४ + सी \u003d ०। इसलिए C \u003d 11। सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण फॉर्म लेता है: x - 2 y + 11 \u003d 0।

उत्तर: x - 2 y + 11 \u003d 0।

उदाहरण 4

एक सीधी रेखा 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 और इस सीधी रेखा पर एक बिंदु М 0 दिया गया है। केवल इस बिंदु का फरस्किसा ज्ञात है, और यह - 3 के बराबर है। दिए गए बिंदु के समन्वय को निर्धारित करना आवश्यक है।

फेसला

चलो बिंदु 0 के समन्वय के पदनाम को x 0 और y 0 के रूप में सेट करते हैं। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 \u003d - 3। चूँकि एक बिंदु एक सीधी रेखा का है, तो उसके निर्देशांक इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं। तब समानता सच होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

निर्धारित y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 5 - 5 2 - y 0 \u003d 0 5 y 0 \u003d - 5 2

उत्तर: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, विमान पर समान सीधी रेखा के लिए कई प्रकार के समीकरण हैं। समीकरण के प्रकार की पसंद समस्या की स्थितियों पर निर्भर करती है; इसे चुनना संभव है जो इसे हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। यह वह जगह है जहां एक तरह के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल बहुत उपयोगी है।

शुरू करने के लिए, फार्म के सामान्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 से कैनोनिकल समीकरण x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y के परिवर्तन पर विचार करें।

यदि А to 0 है, तो हम B y को सामान्य समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। बाईं ओर, कोष्ठक के बाहर A रखें। नतीजतन, हमें मिलता है: ए एक्स + सी ए \u003d - बी वाई।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B \u003d y A।

यदि on 0 है, तो हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल ए एक्स शब्द छोड़ते हैं, दूसरों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: ए एक्स \u003d - बी वाई - सी। हम बाहर निकालते हैं - कोष्ठक के बाहर बी, फिर: ए एक्स \u003d - बी वाई + सी बी।

आइए समानता के रूप में समानता को फिर से लिखें: x - B \u003d y + C B A।

बेशक, परिणामस्वरूप सूत्रों को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह सामान्य समीकरण से विहित एक के संक्रमण में क्रियाओं के एल्गोरिदम को जानने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण 5

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 3 y - 4 \u003d 0। इसे एक विहित समीकरण में बदलना आवश्यक है।

फेसला

मूल समीकरण को 3 y - 4 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखें। अगला, हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं: 0 x शब्द बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम बाहर निकालते हैं - कोष्ठक के बाहर 3; हमें मिलता है: 0 x \u003d - 3 y - 4 3।

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 \u003d y - 4 3 0। तो, हमें विहित रूप का एक समीकरण मिला।

उत्तर: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

स्ट्रेट लाइन के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक में बदलने के लिए, सबसे पहले एक विहित रूप में परिवर्तन किया जाता है, और फिर स्ट्रेट लाइन के कैनोनिकल समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण होता है।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 \u003d 0 द्वारा दी गई है। इस सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को लिखिए।

फेसला

आइए सामान्य समीकरण से विहित तक के परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 - 2 x \u003d 5 y + 1 \u003d 2 x \u003d 5 y + 1 5 + x 5 \u003d y + 1 5 2

अब हम परिणामी विहित समीकरण के दोनों किनारों को λ के बराबर लेते हैं, फिर:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ 5 x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ R

उत्तर: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ y R

सामान्य समीकरण को ढलान y \u003d k x + b के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में बदला जा सकता है, लेकिन केवल अगर B। 0। बाईं ओर संक्रमण के लिए, हम बी वाई शब्द को छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है। हमें मिलता है: बी वाई \u003d - ए एक्स - सी। B द्वारा परिणामी समानता के दोनों किनारों को विभाजित करें, शून्य से अलग: y \u003d - A B x - C B।

उदाहरण 7

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y \u003d 0। आपको उस समीकरण को ढलान समीकरण में बदलना होगा।

फेसला

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y \u003d 0 y 7 y - 2 x - y \u003d - 2 7 x

उत्तर: y \u003d - २ \u003d x।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x x a + y b \u003d 1 के खंडों में समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। इस तरह के एक संक्रमण को बनाने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप समानता के दोनों किनारों को विभाजित करते हैं - С और, अंत में, गुणांक x और y के लिए गुणांक को हर में स्थानांतरित करते हैं:

A x + B y + C \u003d 0 + A x + B y \u003d - C ⇔ B A - C x + B - C y \u003d 1 - x - C A + y - C B \u003d 1

उदाहरण 8

सेगमेंट में स्ट्रेट लाइन के समीकरण को स्ट्रेट लाइन x - 7 y + 1 2 \u003d 0 के सामान्य समीकरण में बदलना आवश्यक है।

फेसला

1 2 को दाईं ओर ले जाएँ: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 7 x - 7 y \u003d - 1 2।

समानता के दोनों पक्षों को -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 - 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1 से विभाजित करें।

उत्तर: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स संक्रमण भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से लेकर सामान्य एक तक।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण और ढलान गुणांक के साथ एक समीकरण को आसानी से एक सामान्य में बदला जा सकता है, बस सभी शब्दों को समानता के बाईं ओर एकत्र करके:

x a + y b a 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 B A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b - y - k x - b \u003d 0 + A x + B y + C \u003d 0

विहित समीकरण को निम्न योजना के अनुसार सामान्य एक में बदल दिया जाता है:

x - x 1 अक्ष \u003d y - y 1 ay (ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) \u003d ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 x A x + y + C \u003d 0

पैरामीट्रिक से स्विच करने के लिए, पहले, विहित के लिए संक्रमण किया जाता है, और फिर सामान्य करने के लिए:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ x x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y x A x + B y + C \u003d 0

उदाहरण 9

सीधी रेखा x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

चलो पैराओनिक समीकरणों से विहित एक तक संक्रमण करें:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 - x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ 1 λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 + x + 1 2 \u003d y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 1 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) - y - 4 \u003d 0

उत्तर: y - ४ \u003d ०

उदाहरण १०

सेगमेंट x 3 + y 1 2 \u003d 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य रूप में परिवर्तन करना आवश्यक है।

फेसला:

आइए समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 3 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को खींचना

ऊपर हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 द्वारा निर्धारित की जाती है। हमने वहां के संबंधित उदाहरण का भी विश्लेषण किया।

अब आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें, जिसमें पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण ११

सीधी रेखा 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 के समानांतर एक सीधी रेखा दी गई है। ज्ञात बिंदु एम 0 (4, 1) है, जिसके माध्यम से दी गई रेखा गुजरती है। किसी दिए गए सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

प्रारंभिक शर्तें हमें बताती हैं कि सीधी रेखाएं समानांतर हैं, फिर, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में, जिस समीकरण को लिखा जाना है, हम सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को लेते हैं n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0। अब हम सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करने के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 x 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 x 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

उत्तर: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0।

उदाहरण 12

निर्दिष्ट रेखा मूल से होकर गुजरती है रेखा x - 2 3 \u003d y + 4 5 तक। किसी दिए गए सीधी रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण तैयार करना आवश्यक है।

फेसला

दी गई रेखा का सामान्य वेक्टर दिशा की रेखा वेक्टर x - 2 3 \u003d y + 4 5 होगा।

फिर एन → \u003d (3, 5)। मूल के माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है, अर्थात्। बिंदु O (0, 0) के माध्यम से। आइए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 x 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 x 3 x + 5 y \u003d 0

उत्तर: 3 x + 5 y \u003d 0।

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बिंदु K (x 0; y 0) से गुजरने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा y \u003d kx + a के समानांतर सूत्र में पाया जाता है:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (१)

जहाँ k सीधी रेखा का ढलान है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1; y 1) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा Ax + By + C \u003d 0 के समानांतर समीकरण को दर्शाया गया है

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0 (२)

उदाहरण # 2। सीधी रेखा 2x + 5y \u003d 0 के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए और निर्देशांक अक्षों के साथ मिलकर एक त्रिकोण बनाइए, जिसका क्षेत्रफल 5 है।
फेसला ... चूंकि सीधी रेखाएं समानांतर हैं, वांछित सीधी रेखा का समीकरण 2x + 5y + C \u003d 0. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जहां a और b इसके पैर हैं। समन्वित अक्षों के साथ वांछित सीधी रेखा के चौराहे बिंदु खोजें:
;
.
तो ए (-सी / 2.0), बी (0, -सी / 5)। क्षेत्र के लिए सूत्र में स्थान: ... हमें दो समाधान मिलते हैं: 2x + 5y + 10 \u003d 0 और 2x + 5y - 10 \u003d 0।

उदाहरण संख्या 3। बिंदु (-2; 5) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाएं और सीधी रेखा 5x-7y-4 \u003d 0 के समानांतर।
फेसला। इस सीधी रेखा को समीकरण y \u003d 5/7 x - 4/7 (यहाँ a \u003d 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। आवश्यक सीधी रेखा का समीकरण y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)) है, अर्थात 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) या 5x-7y + 45 \u003d 0।

उदाहरण संख्या ४। उदाहरण 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) को हल करके (2), हम 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0 का उपयोग करते हैं।

उदाहरण संख्या 5। बिंदु (-2; 5) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाओ और सीधी रेखा 7x + 10 \u003d 0 के समानांतर।
फेसला। यहाँ ए \u003d 7, बी \u003d 0। सूत्र (2) 7 (x + 2) \u003d 0 देता है, अर्थात x + 2 \u003d 0। फॉर्मूला (1) अनुचित है, क्योंकि यह समीकरण y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह लाइन ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर है)।

श्रृंखला से सबक "ज्यामितीय एल्गोरिदम"

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम की खोज शुरू करेंगे। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की बहुत सारी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का सामना करता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उपप्रकारों पर ध्यान देंगे, जिन पर अधिकांश कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम एक कार्यक्रम बनाएंगे सीधी रेखा के समीकरण का पता लगानादिए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु... ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होगी। हम उन्हें जानने के लिए सबक का हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति अंतर्दृष्टि

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

ऐसे कार्यों के लिए प्रारंभिक डेटा एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक समूह, बहुभुज (निर्दिष्ट, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके कोने की सूची द्वारा) हो सकता है, आदि।

इसका परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु किसी खंड से संबंधित है, चाहे दो खंड प्रतिच्छेद हो, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल एक बहुभुज, आदि) ...

हम केवल विमान पर और केवल कार्तीय समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याओं पर विचार करेंगे।

क्षेत्र और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, संख्याओं की भाषा में ज्यामितीय छवियों का अनुवाद करना आवश्यक है। हम मान लेंगे कि एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली विमान पर दी गई है, जिसमें रोटेशन वामावर्त की दिशा को सकारात्मक कहा जाता है।

ज्यामितीय वस्तुओं को अब विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया गया है। तो, एक बिंदु सेट करने के लिए, यह अपने निर्देशांक को इंगित करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, एक सीधी रेखा को इसके बिंदुओं के एक जोड़े के निर्देशांक को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य उपकरण वैक्टर होगा। इसलिए, मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिलाऊंगा।

अनुभाग अब, कब तथा शुरुआत (बिंदु के बिंदु), और बिंदु को माना जाता है में - अंत को वेक्टर कहा जाता है अब और उदाहरण के लिए या तो एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर को दर्शाता है तथा .

एक सदिश की लंबाई (अर्थात् संबंधित खंड की लंबाई) को निरूपित करने के लिए, हम मापांक प्रतीक (उदाहरण के लिए,) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर में उसके अंत और शुरुआत के संगत निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ अंक ए तथा ख निर्देशांक है क्रमशः।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, वह है, कोण जो वैक्टर की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

वैक्टर के बीच उन्मुख कोण ए तथा ख सकारात्मक अगर वेक्टर से दूर रोटेशन ए वेक्टर के लिए ख सकारात्मक दिशा (वामावर्त) और नकारात्मक अन्यथा में किया जाता है। अंजीर देखें ।.1a, अंजीर ।1 बी। वे यह भी कहते हैं कि वैक्टर की एक जोड़ी ए तथा ख सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मूल्य उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें वैक्टर सूचीबद्ध हैं और सीमा में मान ले सकते हैं।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्कोलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

वैक्टर a और b का वेक्टर उत्पाद उनके बीच के कोण की साइन द्वारा इन वैक्टरों की लंबाई का उत्पाद है:

.

निर्देशांक में वैक्टर के वेक्टर उत्पाद:

दायीं ओर का भाव दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद साइन एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

ए तथा ख सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि एक मूल्य है, तो वैक्टर की एक जोड़ी ए तथा ख नकारात्मक रूप से उन्मुख।

नॉनजरो वैक्टर का वेक्टर उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल अगर वे कोलीनियर हैं ( ) का है। इसका मतलब है कि वे एक सीधी रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर झूठ बोलते हैं।

आइए अधिक जटिल लोगों को हल करते समय आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, उनके निर्देशकों द्वारा दिया गया।

आज्ञा देना दो गैर-संयोग बिंदुओं को एक सीधी रेखा पर दिया जाता है: निर्देशांक (X1; y1) और समन्वय के साथ (x2; y2)। तदनुसार, एक बिंदु पर एक शुरुआत और एक बिंदु पर एक अंत के साथ एक वेक्टर में निर्देशांक (x2-X1, y2-y1) है। यदि P (x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो वेक्टर निर्देशांक हैं (x-X1, y - y1)।

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करना, वैक्टर के लिए कोलिनियरिटी स्थिति और निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

उन। (x-X1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-X1) \u003d 0

(y2-y1) x + (X1-x2) y + X1 (y1-y2) + y1 (x2-X1) \u003d 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:

ax + by + c \u003d 0, (1)

c \u003d X1 (y1-y2) + y1 (x2-X1)

तो, फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा निर्धारित की जा सकती है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। कुल्हाड़ी के रूप में इसका प्रतिनिधित्व + सी \u003d 0 द्वारा खोजें।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने स्वयं के समीकरणों द्वारा दी गई दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए एक कार्यक्रम लिखेंगे।

दो अंक दिए जाएं म(एक्स1 ,है1) और एन(एक्स2, य२)। आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का पता लगाएं।

चूंकि यह रेखा बिंदु से होकर गुजरती है म, तब सूत्र (1.13) के अनुसार इसके समीकरण का रूप है

है – य1 = क(एक्स - एक्स1),

कहा पे क - अज्ञात ढलान।

इस गुणांक का मूल्य इस शर्त से निर्धारित होता है कि वांछित सीधी रेखा बिंदु से गुजरती है एन, और इसलिए, इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं (1.13)

य2 – य1 = क(एक्स2 – एक्स1),

यहाँ से आप इस सीधी रेखा का ढलान पा सकते हैं:

,

या रूपांतरण के बाद

(1.14)

फॉर्मूला (1.14) निर्धारित करता है दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण म(एक्स1, य1) और एन(एक्स2, य2).

विशेष मामले में जब अंक म(ए, 0), एन(0, ख), तथा ¹ 0, ख ¹ 0, समन्वय अक्षों पर झूठ, समीकरण (1.14) एक सरल रूप लेता है

समीकरण (1.15) बुला हुआ खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा, यहां तथा तथा ख कुल्हाड़ियों (चित्रा 1.6) पर एक सीधी रेखा से कटे हुए खंडों को निरूपित करें।

चित्र 1.6

उदाहरण 1.10। बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा को समान करें म(1, 2) और ख(3, –1).

. (1.14) के अनुसार, मांगी गई रेखा के समीकरण का रूप है

2(य – 2) = -3(एक्स – 1).

सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हुए, हम अंत में वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं

3एक्स + 2य – 7 = 0.

उदाहरण 1.11। एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा को समान करें म(2, 1) और रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु एक्स+ Y -1 = 0, एक्स - वाई+ 2 = 0.

. हम दिए गए समीकरणों को एक साथ हल करके सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक पाते हैं

यदि हम इन समीकरणों को शब्द द्वारा जोड़ते हैं, तो हमें 2 मिलते हैं एक्स + 1 \u003d 0, जहाँ। किसी भी समीकरण में पाए गए मूल्य को प्रतिस्थापित करते हुए, हम समन्वय के मूल्य को पाते हैं है:

अब हम अंक (2, 1) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखते हैं और:

या।

इसलिए, या -5 य – 1) = एक्स – 2.

अंत में, हम फॉर्म में वांछित सीधी रेखा के समीकरण को प्राप्त करते हैं एक्स + 5य – 7 = 0.

उदाहरण 1.12। बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का पता लगाएं म(2,1) और है एन(2,3).

सूत्र (1.14) का उपयोग करके, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि दूसरा हर शून्य है। यह समस्या कथन से देखा जा सकता है कि दोनों बिंदुओं के एब्सिसिस का एक ही मूल्य है। इसलिए, मांगी गई रेखा अक्ष के समानांतर है ओए और इसका समीकरण है: एक्स = 2.

टिप्पणी . यदि, सूत्र (1.14) के अनुसार एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखते समय, हर का एक शून्य के बराबर निकलता है, तो संबंधित समीकरण को शून्य के अनुरूप अंक प्राप्त करके प्राप्त किया जा सकता है।

एक विमान पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करने के अन्य तरीकों पर विचार करें।

1. बता दें कि नॉनजरो वेक्टर दी गई रेखा के लंबवत है एलऔर बिंदु म0(एक्स0, य0) इस सीधी रेखा (चित्र 1.7) पर स्थित है।

चित्र 1.7

हम निरूपित करते हैं म(एक्स, य) लाइन पर एक मनमाना बिंदु एल... वैक्टर और ऑर्थोगोनल। इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनलिटी स्थितियों का उपयोग करके, हम या तो प्राप्त करते हैं तथा(एक्स – एक्स0) + ख(य – य0) = 0.

हमें एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण मिला मवेक्टर के लिए लंबवत। यह वेक्टर कहा जाता है सामान्य वेक्टर सीधे करने के लिए एल... परिणामी समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

ओह + वू + से \u003d 0, जहां से = –(तथाएक्स0 + द्वारा0), (1.16),

कहा पे तथा तथा में- सामान्य वेक्टर के निर्देशांक।

हम पैरामीट्रिक रूप में सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को प्राप्त करते हैं।

2. एक विमान पर एक सीधी रेखा को निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जा सकता है: एक नॉनजरो वेक्टर को एक दी गई सीधी रेखा के समानांतर होने दें एल और बिंदु म0(एक्स0, य0) इस सीधी रेखा पर स्थित है। चलो फिर से एक मनमाना बिंदु लेते हैं म(एक्स, y) एक सीधी रेखा पर (चित्र 1.8)।

चित्र 1.8

वैक्टर और टकराना।

आइए हम इन वैक्टरों के लिए कोलिनियरिटी स्थिति को लिखते हैं :, जहां टी - एक मनमाना संख्या जिसे एक पैरामीटर कहा जाता है। आइए निर्देशांक में इस समानता को लिखें:

ये समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिक समीकरण सीधे... हम इन समीकरणों को पैरामीटर से बाहर करते हैं टी:

ये समीकरण अन्यथा प्रपत्र में लिखे जा सकते हैं

. (1.18)

परिणामी समीकरण कहा जाता है सीधी रेखा का विहित समीकरण... वेक्टर कहा जाता है सीधी रेखा की दिशा वेक्टर .

टिप्पणी . यह देखना आसान है कि क्या लाइन के लिए सामान्य वेक्टर है एल, तो इसकी दिशा वेक्टर एक वेक्टर हो सकती है, क्योंकि,

उदाहरण 1.13। बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए म0 (1, 1) सीधी रेखा 3 के समानांतर एक्स + 2है– 8 = 0.

फेसला . वेक्टर दी गई और इच्छित सीधी रेखाओं का सामान्य वेक्टर है। हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करेंगे म0 दिए गए सामान्य वेक्टर 3 के साथ ( एक्स –1) + 2(है (१) \u003d ० या ३ एक्स + 2y - 5 \u003d 0. वांछित सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

दी गई दिशा में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण। दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं की समानता और लंब की स्थिति। दो लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , य 1) ढलान द्वारा निर्धारित दिशा में क,

य - य 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के एक बंडल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , य 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , य 1) और ख(एक्स 2 , य 2) इस प्रकार लिखा जाता है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण ए तथा ख उस कोण को कहा जाता है जिसके लिए आपको पहली सीधी रेखा को मोड़ना होगा ए इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के आसपास जब तक यह दूसरी रेखा से मेल नहीं खाती तब तक वामावर्त ख... यदि ढलान के साथ समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएं दी जाती हैं

य = क 1 एक्स + ख 1 ,