एक ऋण चिह्न एक ऋण चिह्न देता है। माइनस एक्शन

"दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है।"

माइनस और प्लस गणित में नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के संकेत हैं। वे अपने आप से अलग-अलग तरीकों से बातचीत करते हैं, इसलिए संख्याओं के साथ कोई भी क्रिया करते समय, उदाहरण के लिए, विभाजन, गुणन, घटाव, जोड़ आदि, आपको ध्यान में रखना चाहिए। संकेतों के नियम... इन नियमों के बिना, आप कभी भी सबसे सरल बीजीय या ज्यामितीय समस्या को हल करने में सक्षम नहीं होंगे। इन नियमों को जाने बिना, आप न केवल गणित, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और यहां तक \u200b\u200bकि भूगोल का भी अध्ययन नहीं कर पाएंगे।

आइए संकेतों के बुनियादी नियमों पर करीब से नज़र डालें।

विभाजन।

यदि हम "प्लस" को "माइनस" से विभाजित करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" मिलता है। यदि हम "माइनस" को "प्लस" से विभाजित करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" भी मिलता है। अगर हम प्लस को प्लस से विभाजित करते हैं, तो हमें प्लस मिलता है। यदि हम "माइनस" को "माइनस" से विभाजित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं, अजीब तरह से पर्याप्त, "प्लस" भी।

गुणन।

यदि हम शून्य से अधिक गुणा करते हैं, तो हम हमेशा ऋण प्राप्त करते हैं। यदि हम "प्लस" को "माइनस" से गुणा करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" भी मिलता है। यदि हम "प्लस" को "प्लस" से गुणा करते हैं, तो हमें एक सकारात्मक संख्या मिलती है, अर्थात "प्लस"। वही दो नकारात्मक संख्याओं के लिए जाता है। यदि हम शून्य से गुणा करते हैं, तो हमें प्लस मिलता है।

घटाव और जोड़।

वे पहले से ही अन्य सिद्धांतों पर आधारित हैं। यदि नकारात्मक संख्या हमारे सकारात्मक से अधिक पूर्ण मूल्य में है, तो निश्चित रूप से, परिणाम नकारात्मक होगा। निश्चित रूप से, आप सोच रहे हैं कि मॉड्यूल क्या है और यह यहाँ क्यों है। सब कुछ बहुत सरल है। मापांक एक संख्या का मूल्य है, लेकिन अहस्ताक्षरित। उदाहरण के लिए -7 और 3. मोडुलो -7 सिर्फ 7 होगा, और 3 रहेगा। नतीजतन, हम देखते हैं कि 7 अधिक है, अर्थात, यह पता चला है कि हमारी नकारात्मक संख्या अधिक है। तो यह बाहर आएगा -7 + 3 \u003d -4। इसे और भी आसान बनाया जा सकता है। बस पहले स्थान पर एक सकारात्मक संख्या डालें, और यह 3-7 \u003d -4 से बाहर आ जाएगी, शायद यह किसी के लिए अधिक समझ में आता है। घटाव पूरी तरह से एक ही सिद्धांत पर काम करता है।

दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं- यह एक नियम है जो हमने स्कूल में सीखा है और हमारे सभी जीवन को लागू कर रहा है। हमारे बीच किसने सोचा क्यों? बेशक, बिना अनावश्यक सवालों के इस बयान को याद रखना आसान है और मुद्दे के सार में गहराई से नहीं उतरना है। अब, और इसके बिना, पर्याप्त जानकारी है जिसे "पचाने" की आवश्यकता है। लेकिन जो लोग अभी भी इस प्रश्न में रुचि रखते हैं, हम इस गणितीय घटना का स्पष्टीकरण देने का प्रयास करेंगे।

प्राचीन काल से, लोग सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कर रहे हैं: 1, 2, 3, 4, 5, ... संख्याओं का उपयोग पशुधन, फसलों, दुश्मनों, आदि की गणना के लिए किया गया था। दो सकारात्मक संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर, एक सकारात्मक संख्या हमेशा प्राप्त की जाती थी, जब कुछ मूल्यों को दूसरों द्वारा विभाजित किया जाता था, प्राकृतिक संख्या हमेशा प्राप्त नहीं होती थी - यह है कि भिन्नात्मक संख्याएं कैसे दिखाई देती हैं। घटाव के बारे में क्या? बचपन से, हम जानते हैं कि बड़े से कम को जोड़ना बेहतर है और बड़े से छोटे को घटाना है, जबकि फिर से हम नकारात्मक संख्या का उपयोग नहीं करते हैं। यह पता चला है कि अगर मेरे पास 10 सेब हैं, तो मैं केवल 10 या 10 से कम किसी को दे सकता हूं। मैं 13 सेब नहीं दे सकता क्योंकि मैं उनके पास नहीं हूं। लंबे समय तक नकारात्मक संख्याओं की कोई आवश्यकता नहीं है।

केवल 7 वीं शताब्दी से ए.डी. कुछ गिनती प्रणालियों में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग सहायक मूल्यों के रूप में किया गया था, जो आपको उत्तर में एक सकारात्मक संख्या प्राप्त करने की अनुमति देता है।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें, 6x - 30 \u003d 3x - 9. उत्तर खोजने के लिए, बाईं ओर अज्ञात के साथ शर्तों को छोड़ना आवश्यक है, और बाकी - दाईं ओर: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. इस समीकरण को हल करते समय, हमारे पास कोई नकारात्मक संख्या भी नहीं थी। हम अज्ञात के साथ शब्दों को दाईं ओर ले जा सकते हैं, और अज्ञात के बिना - बाईं ओर: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x)। ऋणात्मक द्वारा ऋणात्मक संख्या को विभाजित करने पर, हमें एक सकारात्मक उत्तर मिलता है: x \u003d 7।

हम क्या देखते हैं?

नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने वाले कार्यों को हमें उसी उत्तर की ओर ले जाना चाहिए जो केवल सकारात्मक संख्याओं का उपयोग करते हुए कार्य करता है। हम अब कार्यों की व्यावहारिक व्यर्थता और अर्थपूर्णता के बारे में नहीं सोच सकते - वे केवल सकारात्मक संख्याओं के साथ एक रूप में समीकरण को कम किए बिना, समस्या को बहुत तेज़ी से हल करने में हमारी मदद करते हैं। हमारे उदाहरण में, हमने जटिल गणनाओं का उपयोग नहीं किया है, लेकिन बड़ी संख्या में शब्दों के साथ, नकारात्मक संख्याओं के साथ गणना हमारे काम को आसान बना सकती है।

समय के साथ, दीर्घकालिक प्रयोगों और गणनाओं के बाद, उन नियमों की पहचान करना संभव था जो उन पर सभी संख्याओं और कार्यों का पालन करते हैं (गणित में, उन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है)। यहाँ से आया एक स्वयंसिद्ध जिसमें कहा गया है कि जब दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो हम सकारात्मक होते हैं।

www.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक की आवश्यकता होती है।

जब एक गणित शिक्षक को सुनते हैं, तो अधिकांश छात्र सामग्री को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लेते हैं। उसी समय, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाते हैं कि "प्लस" द्वारा "माइनस" एक "माइनस" संकेत क्यों देता है, और जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक सकारात्मक सामने आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क स्वयं या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री को दृढ़ता से सीखा, लेकिन यह भी पता लगाने की कोशिश नहीं की कि ये नियम कहाँ से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भरोसेमंद नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की आवश्यकता होती है, कहते हैं, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी कब्रें विशेष रूप से मुश्किल सवालों को पूछती हैं ताकि पल का आनंद लिया जा सके जब वयस्क कोई समझदार जवाब नहीं दे सकते। और यह वास्तव में एक आपदा है अगर एक युवा शिक्षक मुसीबत में हो जाता है ...

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक ऋणात्मक और धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" होगा। यदि हम "-" चिह्न के साथ दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। वही विभाजन के लिए जाता है। यदि संख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल भी "-" चिन्ह के साथ होगा।

गणित के इस नियम की शुद्धता की व्याख्या करने के लिए, अंगूठी के स्वयंसिद्धों को तैयार करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है। गणित में, एक रिंग को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन एक उदाहरण के साथ इससे निपटना बेहतर है।

अँगूठी अक्षत

कई गणितीय कानून हैं।

• उनमें से सबसे पहले, उसके अनुसार, C + V \u003d V + C अप्रसन्न है।
• दूसरे को संयोजन (V + C) + D \u003d V + (C + D) कहा जाता है।

वे गुणा (V x C) x D \u003d V x (C x D) का भी पालन करते हैं।

किसी ने उन नियमों को रद्द नहीं किया है जिनके द्वारा कोष्ठक खुले (V + C) x D \u003d V x D + C x D, यह भी सत्य है कि C x (V + D) \u003d C x V + C x D

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया था कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को अंगूठी में पेश किया जा सकता है, जिसके उपयोग से यह सच होगा: सी + 0 \u003d सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो हो सकता है (-C) के रूप में चिह्नित। इस मामले में, C + (-C) \u003d 0।

नकारात्मक संख्याओं के लिए स्वयंसिद्धों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, कोई भी इस प्रश्न का उत्तर दे सकता है: "माइनस" के लिए "प्लस" का संकेत क्या है? ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के बारे में स्वयंसिद्ध को जानना, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V \u003d - (C x V)। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (- (- (सी)) \u003d सी।

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का केवल एक ही विपरीत है "भाई"। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि सी के लिए दो संख्याएं विपरीत हैं - वी और डी। इस से यह आता है कि सी + वी \u003d 0 और सी + डी \u003d 0, अर्थात् सी + वी \u003d 0 \u003d सी + डी विस्थापन कानूनों को याद रखना। और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D. चलो V का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि V \u003d V + 0 \u003d V + (C +) D) \u003d V + C + D, क्योंकि C + D का मान, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0. के बराबर है। इसलिए, V \u003d V + + D।

उसी तरह, डी के लिए मान प्रदर्शित किया जाता है: डी \u003d वी + सी + डी \u003d (वी + सी) + डी \u003d 0 + डी \u003d डी। इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि वी \u003d डी।

यह समझने के लिए कि क्यों, फिर भी, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" देता है, निम्नलिखित को समझना आवश्यक है। तो, तत्व (-सी) के लिए, सी और (- (- सी)) विपरीत हैं, अर्थात, वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V। इसका तात्पर्य है कि C x V, (-) C x V के विपरीत है, इसलिए (- C) x V \u003d - (C x V)।

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, किसी भी तत्व के लिए 0 x V \u003d 0 की पुष्टि करना भी आवश्यक है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V के अतिरिक्त सेट राशि को किसी भी तरह से नहीं बदलता है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य है।

इन सभी स्वयंसिद्धों को जानने के बाद, आप न केवल "घटा" पर कितने "प्लस" दे सकते हैं, बल्कि नकारात्मक संख्याओं को गुणा करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

एक "-" के साथ दो संख्याओं का गुणा और भाग

यदि आप गणितीय बारीकियों में तल्लीन नहीं करते हैं, तो आप नकारात्मक संख्याओं के साथ कार्रवाई के नियमों को समझाने के लिए सरल तरीके से प्रयास कर सकते हैं।

मान लीजिए कि C - (-V) \u003d D, इस पर आधारित है, C \u003d D + (-V), अर्थात C \u003d D - V। हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें C + V \u003d D. प्राप्त होता है। + वी \u003d सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "मिन्यूज़" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा से निपटते हैं।

(-C) x (-V) \u003d D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) वी) \u003d डी।

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हमें मिलता है:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

यह इस प्रकार है कि C x V \u003d (-C) x (-V)।

इसी तरह, आप यह साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से परिणाम सकारात्मक होगा।

सामान्य गणित के नियम

बेशक, इस तरह की व्याख्या प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए काम नहीं करेगी, जो सिर्फ अमूर्त नकारात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना बेहतर होता है, जो देखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कार किया गया है, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां नहीं हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दिखने वाली कांच की वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित करता है, जो वर्तमान के बराबर है, अर्थात, हमारे पास सकारात्मक संख्याएं हैं। लेकिन एक सकारात्मक द्वारा एक अमूर्त नकारात्मक संख्या का गुणन केवल परिणाम सभी को परिचित कराता है। आखिरकार "प्लस" को "माइनस" से गुणा "माइनस" देता है। सच है, बच्चे सभी गणितीय बारीकियों को समझने की बहुत कोशिश नहीं करते हैं।

यद्यपि, यदि आप सच्चाई का सामना करते हैं, तो कई लोगों के लिए, उच्च शिक्षा के साथ भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। हर कोई यह समझ लेता है कि शिक्षक उन्हें क्या सिखाते हैं, उन सभी कठिनाइयों को हल करने में नहीं हिचकिचाते हैं जो गणित के साथ होती है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - हर कोई, बिना किसी अपवाद के, इसके बारे में जानता है। यह संपूर्ण और आंशिक दोनों संख्याओं के लिए सही है।

जब एक गणित शिक्षक को सुनते हैं, तो अधिकांश छात्र सामग्री को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लेते हैं। उसी समय, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाते हैं कि "प्लस" द्वारा "माइनस" एक "माइनस" संकेत क्यों देता है, और जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक सकारात्मक सामने आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क स्वयं या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री को दृढ़ता से सीखा, लेकिन यह भी पता लगाने की कोशिश नहीं की कि ये नियम कहाँ से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भरोसेमंद नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की आवश्यकता होती है, कहते हैं, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी कब्रें विशेष रूप से मुश्किल सवालों को पूछती हैं ताकि पल का आनंद लिया जा सके जब वयस्क कोई समझदार जवाब नहीं दे सकते। और यह वास्तव में एक आपदा है अगर एक युवा शिक्षक मुसीबत में हो जाता है ...

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक ऋणात्मक और धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" होगा। यदि हम "-" चिह्न के साथ दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। वही विभाजन के लिए जाता है। यदि संख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल भी "-" चिन्ह के साथ होगा।

गणित के इस नियम की शुद्धता की व्याख्या करने के लिए, अंगूठी के स्वयंसिद्धों को तैयार करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है। गणित में, एक रिंग को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन एक उदाहरण के साथ इससे निपटना बेहतर है।

अँगूठी अक्षत

कई गणितीय कानून हैं।

• उनमें से सबसे पहले, उसके अनुसार, C + V \u003d V + C अप्रसन्न है।
• दूसरे को संयोजन (V + C) + D \u003d V + (C + D) कहा जाता है।

वे गुणा (V x C) x D \u003d V x (C x D) का भी पालन करते हैं।

किसी ने उन नियमों को रद्द नहीं किया है जिनके द्वारा कोष्ठक खुले (V + C) x D \u003d V x D + C x D, यह भी सत्य है कि C x (V + D) \u003d C x V + C x D

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया था कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को अंगूठी में पेश किया जा सकता है, जिसके उपयोग से यह सच होगा: सी + 0 \u003d सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो हो सकता है (-C) के रूप में चिह्नित। इस मामले में, C + (-C) \u003d 0।

नकारात्मक संख्याओं के लिए स्वयंसिद्धों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, कोई भी इस प्रश्न का उत्तर दे सकता है: "माइनस" के लिए "प्लस" का संकेत क्या है? ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के बारे में स्वयंसिद्ध को जानना, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V \u003d - (C x V)। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (- (- (सी)) \u003d सी।

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का केवल एक ही विपरीत है "भाई"। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि सी के लिए दो संख्याएं विपरीत हैं - वी और डी। इस से यह आता है कि सी + वी \u003d 0 और सी + डी \u003d 0, अर्थात् सी + वी \u003d 0 \u003d सी + डी विस्थापन कानूनों को याद रखना। और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D. चलो V का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि V \u003d V + 0 \u003d V + (C +) D) \u003d V + C + D, क्योंकि C + D का मान, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0. के बराबर है। इसलिए, V \u003d V + + D।

उसी तरह, डी के लिए मान प्रदर्शित किया जाता है: डी \u003d वी + सी + डी \u003d (वी + सी) + डी \u003d 0 + डी \u003d डी। इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि वी \u003d डी।

यह समझने के लिए कि क्यों, फिर भी, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" देता है, निम्नलिखित को समझना आवश्यक है। तो, तत्व (-सी) के लिए, सी और (- (- सी)) विपरीत हैं, अर्थात, वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V। इसका तात्पर्य है कि C x V, (-) C x V के विपरीत है, इसलिए (- C) x V \u003d - (C x V)।

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, किसी भी तत्व के लिए 0 x V \u003d 0 की पुष्टि करना भी आवश्यक है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V के अतिरिक्त सेट राशि को किसी भी तरह से नहीं बदलता है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य है।

इन सभी स्वयंसिद्धों को जानने के बाद, आप न केवल "घटा" पर कितने "प्लस" दे सकते हैं, बल्कि नकारात्मक संख्याओं को गुणा करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

एक "-" के साथ दो संख्याओं का गुणा और भाग

यदि आप गणितीय बारीकियों में तल्लीन नहीं करते हैं, तो आप नकारात्मक संख्याओं के साथ कार्रवाई के नियमों को समझाने के लिए सरल तरीके से प्रयास कर सकते हैं।

मान लीजिए कि C - (-V) \u003d D, इस पर आधारित है, C \u003d D + (-V), अर्थात C \u003d D - V। हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें C + V \u003d D. प्राप्त होता है। + वी \u003d सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "मिन्यूज़" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा से निपटते हैं।

(-C) x (-V) \u003d D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) वी) \u003d डी।

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हमें मिलता है:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

यह इस प्रकार है कि C x V \u003d (-C) x (-V)।

इसी तरह, आप यह साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से परिणाम सकारात्मक होगा।

सामान्य गणित के नियम

बेशक, इस तरह की व्याख्या प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए काम नहीं करेगी, जो सिर्फ अमूर्त नकारात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना बेहतर होता है, जो देखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कार किया गया है, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां नहीं हैं। उन्हें "-" चिन्ह के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दिखने वाली कांच की वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित करता है, जो वर्तमान के बराबर है, अर्थात, हमारे पास सकारात्मक संख्याएं हैं। लेकिन एक सकारात्मक द्वारा एक अमूर्त नकारात्मक संख्या का गुणन केवल परिणाम सभी को परिचित कराता है। आखिरकार "प्लस" को "माइनस" से गुणा "माइनस" देता है। सच है, बच्चे सभी गणितीय बारीकियों को समझने की बहुत कोशिश नहीं करते हैं।

यद्यपि, यदि आप सच्चाई का सामना करते हैं, तो कई लोगों के लिए, उच्च शिक्षा के साथ भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। हर कोई यह समझ लेता है कि शिक्षक उन्हें क्या सिखाते हैं, उन सभी कठिनाइयों को हल करने में नहीं हिचकिचाते हैं जो गणित के साथ होती है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - हर कोई, बिना किसी अपवाद के, इसके बारे में जानता है। यह संपूर्ण और आंशिक दोनों संख्याओं के लिए सही है।

क्या हम गुणा को सही तरीके से समझते हैं?

"- ए और बी पाइप पर बैठ गए। ए गिर गया, बी गायब हो गया, पाइप पर क्या बचा था?"
- आपका पत्र मैं बना रहा। "

(फिल्म "टीन्स इन द यूनिवर्स") से

किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर यह शून्य क्यों है?

7 * 0 = 0

दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर यह सकारात्मक क्यों है?

7 * (-3) = + 21

इन दो सवालों के जवाब देने के लिए शिक्षक क्या नहीं करते हैं।

लेकिन किसी में यह स्वीकार करने का साहस नहीं है कि गुणन के निर्माण में तीन अर्थगत गलतियाँ हैं!

क्या मूल अंकगणित में त्रुटियां संभव हैं? आखिरकार, गणित खुद को एक सटीक विज्ञान के रूप में बताता है ...

स्कूल की गणित की पाठ्यपुस्तकें इन सवालों के जवाब नहीं देतीं, स्पष्टीकरण की जगह नियमों के एक सेट को याद रखना चाहिए। हो सकता है कि उन्हें मिडिल स्कूल में समझाना मुश्किल हो? आइए इन मुद्दों को समझने की कोशिश करते हैं।

7 - गुणा। 3 एक कारक है। 21- काम।

आधिकारिक शब्दों के अनुसार:

• एक संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करने का अर्थ है कि गुणक के रूप में कई गुणक जोड़ना।

स्वीकृत सूत्रीकरण के अनुसार, कारक 3 हमें बताता है कि समानता के दाईं ओर तीन सेविंग्स होने चाहिए।

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन गुणन का यह सूत्रीकरण उपरोक्त प्रश्नों की व्याख्या नहीं कर सकता है।

गुणन का शब्द सही है

आमतौर पर गणित में वे बहुत मायने रखते हैं, लेकिन वे इसके बारे में बात नहीं करते हैं और न ही इसे लिखते हैं।

यह समानता के दाईं ओर पहले सात के सामने प्लस चिन्ह को संदर्भित करता है। आइये इस प्लस को लिखते हैं।

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन जिसमें पहले सात को जोड़ा जाता है। इसका मतलब है कि शून्य करने के लिए, बिल्कुल। लिखता हूं और शून्य करता हूं।

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

क्या होगा अगर हम तीन शून्य से सात गुणा करें?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

हम गुणक -7 के जोड़ लिख रहे हैं, वास्तव में हम शून्य से कई घटाव कर रहे हैं। चलो कोष्ठक का विस्तार करें।

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

अब हम गुणा का अधिक सटीक रूप दे सकते हैं।

• गुणक (-7) गुणक (-7) के गुणक के अतिरिक्त गुणक है जो गुणक (-7) से कई गुना अधिक होता है। कारक (3) और इसका चिह्न (+ या -) शून्य से जोड़ या घटाव की संख्या को दर्शाता है।

गुणन का यह परिष्कृत और कुछ हद तक संशोधित सूत्रीकरण गुणक के नकारात्मक होने पर आसानी से "संकेतों के नियमों" को समझाता है।

7 * (-3) - शून्य के बाद तीन माइनस संकेत होने चाहिए \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21

7 * (-3) - फिर से शून्य \u003d के बाद तीन शून्य चिह्न होने चाहिए

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

शून्य से गुणा

* ० \u003d ० + ... कोई शून्य जोड़ परिचालन नहीं।

यदि गुणन शून्य में जोड़ रहा है, और गुणक शून्य में जोड़ने के लिए संचालन की संख्या को इंगित करता है, तो गुणक शून्य इंगित करता है कि शून्य में कुछ भी नहीं जोड़ा गया है। इसलिए, शून्य रहता है।

इसलिए, गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में, हमने तीन शब्दार्थ त्रुटियां पाईं जो दो "संकेतों के नियमों" (जब कारक नकारात्मक है) और एक संख्या को शून्य से गुणा करने की समझ को अवरुद्ध करता है।

1. आपको गुणक को जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसे शून्य में जोड़ें।
2. गुणन न केवल शून्य में जोड़ रहा है, बल्कि शून्य से घटाना है।
3. कारक और इसका संकेत शब्दों की संख्या नहीं दिखाता है, लेकिन गुणन के विस्तार में प्लस (या घटाया गया) में प्लस या माइनस के संकेतों की संख्या है।

कुछ हद तक सूत्रीकरण को स्पष्ट करने के बाद, हम गुणन के विस्थापन कानून की सहायता के बिना, वितरण विधि के बिना, संख्या रेखा के साथ उपमाओं को देखे बिना समीकरणों के बिना गुणन के गुणन और शून्य के गुणन के लिए नियमों की व्याख्या करने में सक्षम थे। विपरीत से प्रमाण के बिना, आदि।

गुणा के परिष्कृत सूत्रीकरण के संकेत नियम बहुत सरल हैं।

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

गुणक और उसके चिह्न (+3 या -3) समीकरण के दाईं ओर "+" या "-" संकेतों की संख्या दर्शाते हैं।

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण एक शक्ति को संख्या बढ़ाने के संचालन से मेल खाता है।

2^3 = 1*2*2*2 = 8

२ ^ ० \u003d १

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि एक संख्या को एक सकारात्मक शक्ति से बढ़ाकर एक से अधिक गुणा किया जा रहा है। और एक संख्या को ऋणात्मक शक्ति में बढ़ाना एक का एक कई विभाजन है।

गुणन ऑपरेशन घातांक ऑपरेशन के समान होना चाहिए।

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (शून्य में कुछ नहीं जोड़ा जाता है और शून्य से कुछ भी घटाया नहीं जाता है)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

गुणन का परिवर्तित सूत्र गणित में कुछ भी नहीं बदलता है, लेकिन यह गुणन ऑपरेशन के मूल अर्थ को लौटाता है, "संकेतों के नियम" की व्याख्या करता है, संख्या को शून्य से गुणा करता है, घातांक के साथ गुणा को जोड़ता है।

आइए देखें कि क्या विभाजन का हमारा सूत्रीकरण विभाजन ऑपरेशन के अनुरूप है।

15: 5 \u003d 3 (उलटा गुणा 5 * 3 \u003d 15)

भागफल (3) गुणा के अतिरिक्त संचालन की संख्या से मेल खाती है (+3)।

15 को 5 से विभाजित करने का मतलब है कि आपको 15 में से 5 को घटाने की कितनी बार जरूरत है। यह एक शून्य परिणाम प्राप्त होने तक क्रमिक घटाव द्वारा किया जाता है।

विभाजन का परिणाम जानने के लिए, आपको माइनस संकेतों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। उनमें से तीन हैं।

15: 5 \u003d 3 शून्य से प्राप्त करने के लिए 15 से पांच घटाना।

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (विभाजन 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (गुणा 5 * 3)

शेष के साथ विभाजन।

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 और 2 शेष

यदि शेष के साथ विभाजन है, तो उपांग के साथ गुणा क्यों नहीं है?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

कैलकुलेटर पर शब्दांकन में अंतर देखें

गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण (तीन पद)।

10 + 10 + 10 = 30

गुणन का सही शब्दांकन (शून्य में जोड़ने के तीन संचालन)।

0 + 10 = = = 30

(प्रेस "बराबर" तीन बार।)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 का गुणक इंगित करता है कि गुणक 10 को शून्य से तीन बार जोड़ा जाना चाहिए।

गुणा (-10) * (-3) शब्द को (-10) घटाकर तीन बार जोड़कर देखें!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

तीन के लिए माइनस साइन का क्या मतलब है? संभावित हो?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ऑप्स ... मैं शर्तों (-10) के योग (या अंतर) में उत्पाद को विघटित नहीं कर सकता।

संशोधित शब्दांकन के साथ, यह सही ढंग से किया जाता है।

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

गुणक (-3) इंगित करता है कि गुणक (-10) को शून्य से तीन बार घटाया जाना चाहिए।

जोड़ और घटाव के लिए नियम पर हस्ताक्षर करें

ऊपर, गुणन सूत्रीकरण के अर्थ को बदलकर, गुणन के लिए संकेतों के नियमों को प्राप्त करने का एक सरल तरीका दिखाया गया था।

लेकिन व्युत्पत्ति के लिए, हमने जोड़ और घटाव के लिए संकेतों के नियमों का उपयोग किया। वे लगभग गुणा के समान हैं। आइए इसके अलावा और घटाव के लिए संकेतों के नियमों का एक दृश्य बनाएं, ताकि पहला ग्रेडर इसे समझ सके।

"ऋण", "नकारात्मक" क्या है?

प्रकृति में कुछ भी नकारात्मक नहीं है। कोई नकारात्मक तापमान नहीं है, कोई नकारात्मक दिशा नहीं है, कोई नकारात्मक द्रव्यमान नहीं है, कोई ऋणात्मक आवेश नहीं है ... यहां तक \u200b\u200bकि इसकी प्रकृति द्वारा एक साइन केवल सकारात्मक हो सकता है।

लेकिन गणितज्ञ नकारात्मक संख्या के साथ आए हैं। किस लिए? "माइनस" का क्या अर्थ है?

माइनस का अर्थ है विपरीत दिशा। बाएँ दांए। ऊपर से नीचे। दक्षिणावर्त - वामावर्त। आगे पीछे। ठंडक गरमी। हलका भारी। धीरे - धीरे तेज। यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो कई अन्य उदाहरण हैं जहां नकारात्मक मूल्य सुविधाजनक हैं।

दुनिया में हम जानते हैं, अनंत शून्य से शुरू होता है और प्लस अनंत तक जाता है।

"माइनस इनफिनिटी" वास्तविक दुनिया में मौजूद नहीं है। यह "गणितीय" की अवधारणा के समान गणितीय सम्मेलन है।

तो, "माइनस" का अर्थ है विपरीत दिशा: आंदोलन, रोटेशन, प्रक्रिया, गुणा, जोड़। सकारात्मक और नकारात्मक (दूसरी दिशा में बढ़ती) संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय विभिन्न दिशाओं का विश्लेषण करते हैं।

जोड़ और घटाव के लिए संकेतों के नियमों को समझने की जटिलता इस तथ्य के कारण है कि आमतौर पर वे संख्या रेखा पर इन नियमों को समझाने की कोशिश करते हैं। संख्या रेखा पर, तीन अलग-अलग घटक मिश्रित होते हैं, जिनसे नियम प्राप्त होते हैं। और मिश्रण के कारण, विभिन्न अवधारणाओं को एक ढेर में रखने के कारण, समझने की कठिनाइयों का निर्माण होता है।

नियमों को समझने के लिए, हमें अलग होने की आवश्यकता है:

• पहला कार्यकाल और राशि (वे क्षैतिज अक्ष पर होंगे);
• दूसरा शब्द (यह ऊर्ध्वाधर अक्ष पर होगा);
• जोड़ और घटाव संचालन की दिशा।

यह विभाजन स्पष्ट रूप से चित्र में दिखाया गया है। कल्पना करें कि ऊर्ध्वाधर अक्ष क्षैतिज अक्ष के साथ अतिव्यापी घूम सकता है।

वर्टिकल एक्सिस क्लॉकवाइज (प्लस साइन) को घुमाकर जोड़ ऑपरेशन हमेशा किया जाता है। घटाव हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष वामावर्त (माइनस साइन) को घुमाकर किया जाता है।

उदाहरण। निचले दाएं कोने में आरेख।

यह देखा जा सकता है कि दो आसन्न ऋण चिह्न (घटाव संचालन का संकेत और संख्या 3 का संकेत) के अलग-अलग अर्थ हैं। पहला माइनस घटाव की दिशा को इंगित करता है। दूसरा माइनस ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संख्या का संकेत है।

क्षैतिज अक्ष पर पहला शब्द (-2) खोजें। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूसरा शब्द (-3) खोजें। जब तक यह क्षैतिज अक्ष पर संख्या (+1) के साथ संरेखित (-3) हो जाता है, तब तक ऊर्ध्वाधर अक्ष वामावर्त को घुमाएं। संख्या (+1) जोड़ का परिणाम है।

घटाव संचालन

ऊपरी दाहिने कोने में आरेख में अतिरिक्त संचालन के समान परिणाम देता है।

इसलिए, दो आसन्न माइनस संकेतों को एक प्लस चिह्न के साथ बदल दिया जा सकता है।

हम सभी उनके अर्थ के बारे में सोचे बिना अंकगणित के तैयार नियमों का उपयोग करने के आदी हैं। इसलिए, हम अक्सर यह भी ध्यान नहीं देते हैं कि जोड़ (घटाव) के लिए संकेतों के नियम गुणन (विभाजन) के लिए संकेतों के नियमों से अलग कैसे हैं। क्या वे एक जैसे लगते हैं? लगभग ... निम्नलिखित चित्रण में थोड़ा अंतर देखा जा सकता है।

अब हमारे पास गुणन के लिए साइन नियमों को घटाने के लिए आवश्यक सब कुछ है। आउटपुट अनुक्रम निम्नानुसार है।

1. हम स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि जोड़ और घटाव के लिए संकेतों के नियम कैसे प्राप्त किए जाते हैं।
2. हम गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में शब्दार्थ परिवर्तन करते हैं।
3. गुणन के संशोधित सूत्रीकरण और इसके अलावा संकेतों के नियमों के आधार पर, हम गुणन के लिए संकेतों के नियमों को प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें।

नीचे n लिखा है जोड़ और घटाव के लिए नियम पर हस्ताक्षर करेंदृश्य से प्राप्त किया। और तुलना के लिए लाल रंग में, गणित की पाठ्यपुस्तक से संकेतों के समान नियम। कोष्ठक में ग्रे प्लस अदृश्य प्लस है, जो एक सकारात्मक संख्या के लिए नहीं लिखा गया है।

शर्तों के बीच हमेशा दो संकेत होते हैं: ऑपरेशन का संकेत और संख्या का संकेत (हम प्लस नहीं लिखते हैं, लेकिन हमारा मतलब है)। साइन नियम अतिरिक्त जोड़ (घटाव) के परिणाम को बदले बिना किसी अन्य जोड़ी के लिए एक जोड़ी संकेतों के प्रतिस्थापन को निर्धारित करते हैं। वास्तव में, केवल दो नियम हैं।

नियम 1 और 3 (विज़ुअलाइज़ेशन द्वारा) - डुप्लिकेट नियम 4 और 2 .. स्कूल व्याख्या में नियम 1 और 3 दृश्य योजना के साथ मेल नहीं खाते हैं, इसलिए, वे जोड़ते समय संकेतों के नियमों पर लागू नहीं होते हैं। ये हैं कुछ अन्य नियम ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) ठीक है

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ठीक है

स्कूल नियम 1 (लाल) एक पंक्ति में दो प्लस को एक प्लस से बदलने की अनुमति देता है। नियम इसके अतिरिक्त और घटाव में संकेतों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

स्कूल नियम 3. (लाल) घटाव ऑपरेशन के बाद एक सकारात्मक संख्या पर प्लस चिह्न नहीं लिखने की अनुमति देता है। नियम इसके अतिरिक्त और घटाव में संकेतों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

इसके अलावा संकेतों के नियमों का अर्थ इसके अतिरिक्त संकेतों के एक PAIR के साथ संकेतों के एक PAIR को बदलना है इसके अलावा परिणाम को बदलना।

स्कूल के पद्धतिविदों ने एक नियम में दो नियमों को मिलाया है:

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के दौरान संकेतों के दो नियम (वर्णों की एक जोड़ी को वर्णों की दूसरी जोड़ी के साथ बदलना);

दो नियम जिनके द्वारा आप सकारात्मक संख्या के लिए प्लस चिन्ह नहीं लिख सकते हैं।

एक में मिलाए गए दो अलग-अलग नियम गुणा में संकेतों के नियमों के समान हैं, जहां दो संकेतों का अनुसरण तीसरे द्वारा किया जाता है। एक से एक समान।

बहुत उलझन में है! बेहतर unraveling के लिए फिर से वही बात है। आइए संख्याओं के संकेतों से अलग करने के लिए लाल रंग में संचालन के संकेतों को उजागर करें।

1. जोड़ और घटाव। संकेतों के दो नियम, जिसके अनुसार शर्तों के बीच संकेतों के जोड़े परस्पर जुड़े होते हैं। ऑपरेशन साइन और नंबर साइन।

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. दो नियम जिसके अनुसार सकारात्मक संख्या के लिए प्लस चिह्न को लिखने की अनुमति नहीं है। ये प्रवेश पत्र के नियम हैं। जोड़ लागू नहीं होता है। एक सकारात्मक संख्या के लिए, केवल ऑपरेशन का संकेत दर्ज किया गया है।

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. गुणन के लिए संकेतों के चार नियम। जब कारकों के दो संकेतों से उत्पाद का तीसरा संकेत होता है। गुणन के लिए संकेतों के नियमों में, केवल संख्याओं के संकेत।

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

अब जब हमने अंकन नियमों को अलग कर दिया है, तो यह स्पष्ट होना चाहिए कि जोड़ और घटाव के लिए संकेत नियम गुणा के लिए संकेत नियमों की तरह बिल्कुल नहीं हैं।

वी। कोजारेंको

वास्तव में, क्यों? सबसे सरल उत्तर है: "क्योंकि ये नकारात्मक संख्याओं से निपटने के नियम हैं।" नियम जो हम स्कूल में पढ़ाते हैं और जीवन भर लागू करते हैं। हालांकि, ट्यूटोरियल यह नहीं समझाते हैं कि नियम वास्तव में इस तरह क्यों हैं। हमने याद किया है कि यह ठीक है कि हम अब अपने आप से एक सवाल नहीं पूछते हैं।

आइए खुद से पूछें ...

एक लंबे समय से पहले, केवल प्राकृतिक संख्याएं लोगों को ज्ञात थीं: 1, 2, 3, ... उनका उपयोग बर्तन, शिकार, दुश्मन, आदि की गिनती के लिए किया जाता था, लेकिन खुद से संख्या काफी बेकार है - आपको यह जानना होगा कि कैसे संभालना है उन्हें। जोड़ स्पष्ट और समझ में आता है, इसके अलावा, दो प्राकृतिक संख्याओं का योग भी एक प्राकृतिक संख्या है (एक गणितज्ञ यह कहेगा कि प्राकृतिक संख्याओं का समूह जोड़ ऑपरेशन के संबंध में बंद है)। यदि हम प्राकृतिक संख्या के बारे में बात कर रहे हैं तो गुणन अनिवार्य रूप से एक ही है। जीवन में, हम अक्सर इन दो ऑपरेशनों से जुड़े कार्यों को करते हैं (उदाहरण के लिए, जब हम खरीदारी करते हैं और गुणा करते हैं), और यह सोचना अजीब है कि हमारे पूर्वजों ने उन्हें कम बार सामना किया - इसके अलावा और गुणन में मानव जाति द्वारा बहुत लंबे समय तक महारत हासिल थी पहले। अक्सर कुछ मात्राओं को दूसरों द्वारा विभाजित करना आवश्यक होता है, लेकिन यहां परिणाम को हमेशा एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है - यह है कि भिन्नात्मक संख्याएं कैसे दिखाई देती हैं।

घटाव, ज़ाहिर है, अपरिहार्य भी है। लेकिन व्यवहार में, हम छोटी को बड़ी संख्या से घटाते हैं, और नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। (यदि मेरे पास 5 कैंडीज हैं और मैं अपनी बहन को 3 देता हूं, तो मेरे पास 5 - 3 \u003d 2 कैंडीज होंगी, लेकिन मैं अपनी पूरी इच्छा के साथ उसे 7 कैंडीज नहीं दे सकता। लंबे समय तक।


भारतीय दस्तावेजों में, 7 वीं शताब्दी ईस्वी के बाद से नकारात्मक संख्याएं दिखाई देती हैं; चीनी ने स्पष्ट रूप से उन्हें थोड़ा पहले इस्तेमाल करना शुरू कर दिया था। वे समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए ऋण के लिए या मध्यवर्ती गणना में उपयोग किए गए थे - यह केवल एक सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने के लिए एक उपकरण था। यह तथ्य कि नकारात्मक संख्याएं, सकारात्मक के विपरीत, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती हैं, मजबूत अविश्वास जगाती हैं। शब्द के शाब्दिक अर्थ में लोग नकारात्मक संख्या से बचते हैं: यदि किसी समस्या को नकारात्मक उत्तर मिला है, तो उनका मानना \u200b\u200bथा कि इसका कोई जवाब नहीं था। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक \u200b\u200bकि डेसकार्टेस - आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक - उन्हें "गलत" (17 वीं शताब्दी में!) कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 7x - 17 \u003d 2x - 2. पर विचार करें। इसे निम्नानुसार हल किया जा सकता है: अज्ञात को बाईं ओर ले जाएं, और शेष दाईं ओर, आपको 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. इस समाधान के साथ, हमने नकारात्मक संख्याओं का सामना भी नहीं किया।

लेकिन गलती से इसे अलग तरीके से करना संभव था: अज्ञात को दाईं ओर स्थानांतरित करें और 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x प्राप्त करें। अज्ञात को खोजने के लिए, आपको एक नकारात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करने की आवश्यकता है: x \u003d (-15) / (- 5)। लेकिन सही उत्तर ज्ञात है, और यह निष्कर्ष निकाला है कि (-15) / (- 5) \u003d 3।

यह सरल उदाहरण क्या प्रदर्शित करता है? सबसे पहले, यह तर्क स्पष्ट हो जाता है जिसके द्वारा नकारात्मक संख्याओं के साथ क्रियाओं के नियम निर्धारित किए गए थे: इन कार्यों के परिणामों को नकारात्मक संख्याओं के बिना, एक अलग तरीके से प्राप्त उत्तरों के साथ मेल खाना चाहिए। दूसरे, नकारात्मक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर, हम थकाऊ से छुटकारा पा लेते हैं (यदि समीकरण अधिक जटिल हो जाता है, बड़ी संख्या में शब्दों के साथ) एक समाधान पथ की तलाश करें जिसमें सभी क्रियाएं केवल प्राकृतिक संख्याओं पर ही की जाती हैं। इसके अलावा, हम अब हर बार परिवर्तित मूल्यों की सार्थकता के बारे में नहीं सोच सकते - और यह पहले से ही गणित को एक सार विज्ञान में बदलने की दिशा में एक कदम है।

नकारात्मक संख्याओं पर कार्रवाई के नियम तुरंत नहीं बनाए गए थे, लेकिन लागू होने वाली समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाले कई उदाहरणों का एक सामान्यीकरण बन गया। सामान्य तौर पर, गणित के विकास को सशर्त रूप से चरणों में विभाजित किया जा सकता है: प्रत्येक अगला चरण वस्तुओं के अध्ययन में अमूर्तता के एक नए स्तर से पिछले एक से भिन्न होता है। इसलिए, 19 वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने महसूस किया कि पूर्णांक और बहुपद, उनकी सभी बाहरी असमानता के लिए, बहुत कुछ सामान्य है: दोनों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। ये ऑपरेशन समान कानूनों का पालन करते हैं - संख्याओं के मामले में और बहुपद के मामले में दोनों। लेकिन पूर्णांकों को एक दूसरे से विभाजित करना, ताकि परिणाम फिर से पूर्णांक हो, शायद हमेशा नहीं। बहुपद के साथ भी ऐसा ही है।

तब गणितीय वस्तुओं के अन्य सेटों की खोज की गई थी, जिस पर इस तरह के ऑपरेशन किए जा सकते हैं: औपचारिक बिजली श्रृंखला, निरंतर कार्य ... अंत में, समझ यह आई कि यदि हम स्वयं संचालन के गुणों का अध्ययन करते हैं, तो परिणाम फिर से लागू किए जा सकते हैं। वस्तुओं के ये सभी सेट (यह दृष्टिकोण सभी आधुनिक गणित के लिए विशिष्ट है)।

नतीजतन, एक नई अवधारणा दिखाई दी: एक अंगूठी। यह केवल तत्वों का एक सेट है और उन पर की जाने वाली कार्रवाइयाँ भी हैं। यहां मौलिक केवल नियम हैं (उन्हें एक्सिओम्स कहा जाता है), जो क्रियाओं का पालन करते हैं, न कि सेट के तत्वों की प्रकृति (यहां यह है, अमूर्तता का एक नया स्तर!)। इस बात पर जोर देने की इच्छा है कि यह संरचना है जो स्वयंसिद्धों की शुरूआत के बाद उत्पन्न होती है, महत्वपूर्ण है, गणितज्ञ कहते हैं: पूर्णांक की अंगूठी, बहुपद की अंगूठी आदि, जो कि स्वयंसिद्धों से शुरू होती है, एक अंगूठी के अन्य गुणों को घटा सकती है।

हम रिंग के स्वयंसिद्धों को तैयार करेंगे (जो, निश्चित रूप से, पूर्णांकों से निपटने के लिए नियमों के समान हैं), और फिर हम यह साबित करेंगे कि किसी भी रिंग में, शून्य से गुणा करके एक प्लस में परिणाम होता है।

एक अंगूठी दो बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट है (यानी, प्रत्येक ऑपरेशन में रिंग के दो तत्व शामिल होते हैं), जिन्हें पारंपरिक रूप से जोड़ और गुणा और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध कहा जाता है:

रिंग तत्वों का जोड़ विस्थापन का पालन करता है (ए + बी \u003d बी + ए किसी भी तत्व ए और बी के लिए) और संयोजन (ए + (बी + सी) \u003d (ए + बी) + सी) कानून; अंगूठी में एक विशेष तत्व 0 (जोड़ के लिए एक तटस्थ तत्व) होता है जैसे कि A + 0 \u003d A, और किसी भी तत्व A के लिए एक विपरीत तत्व होता है (द्वारा निरूपित) (-ए) ऐसा कि A + (-A) \u003d 0 ;
- गुणन संयोजन कानून का पालन करता है: ए · (बी · सी) \u003d (ए · बी) · सी;
जोड़ और गुणा निम्नलिखित कोष्ठक विस्तार नियमों द्वारा संबंधित हैं: (ए + बी) सी \u003d ए सी + बी सी और ए (बी + सी) \u003d ए बी + ए सी।

ध्यान दें कि छल्ले, सबसे सामान्य निर्माण में, न तो गुणा की अनुमति की आवश्यकता होती है, न ही इसकी प्रतिवर्तीता (यानी, यह हमेशा विभाजित करना संभव नहीं है), और न ही एक इकाई का अस्तित्व - गुणन में एक तटस्थ तत्व। यदि हम इन स्वयंसिद्धों का परिचय देते हैं, तो हमें अन्य बीजीय संरचनाएं मिलती हैं, लेकिन उनमें रिंगों के लिए सिद्ध सभी सिद्धांत सही होंगे।

अब हम यह साबित करते हैं कि मनमानी रिंग के किसी भी तत्व ए और बी के लिए, पहला (-ए) बी \u003d - (ए बी), और दूसरा, और (- (- ए)) \u003d ए। यह आसानी से इकाइयों के बारे में बयान का संकेत देता है: ( -1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 और (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1।

ऐसा करने के लिए, हमें कुछ तथ्यों को स्थापित करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, हम यह साबित करते हैं कि प्रत्येक तत्व में केवल एक ही विपरीत हो सकता है। वास्तव में, तत्व A में दो विपरीत हैं: B और C. अर्थात A + B \u003d 0 \u003d A + C. योग पर विचार करें A + B + C. संयोजन और ट्रांसपोज़ेशन कानूनों और शून्य संपत्ति का उपयोग करके, हम इसे प्राप्त करते हैं। , एक ओर, योग बी के बराबर है: बी \u003d बी + 0 \u003d बी + (ए + सी) \u003d ए + बी + सी, और दूसरी ओर, यह सी: ए + बी + के बराबर है। सी \u003d (ए + बी) + सी \u003d 0 + सी \u003d सी। तो बी \u003d सी।

ध्यान दें कि ए और (- (- ए) दोनों एक ही तत्व (-ए) के विपरीत हैं, इसलिए उन्हें समान होना चाहिए।

पहला तथ्य इस तरह से निकलता है: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-ए) B, अर्थात (-ए) B A B के विपरीत है, इसलिए यह बराबर है - (एबी)।

गणितीय रूप से कठोर होने के लिए, आइए हम बताते हैं कि किसी भी तत्व के लिए 0 · B \u003d 0 क्यों। यानी 0 · B जोड़ने से राशि नहीं बदलती है। इसलिए, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

और तथ्य यह है कि रिंग में बिल्कुल एक शून्य है (आखिरकार, स्वयंसिद्ध कहते हैं कि ऐसा तत्व मौजूद है, लेकिन इसकी विशिष्टता के बारे में कुछ भी नहीं कहा गया है!), हम एक साधारण अभ्यास के रूप में पाठक को छोड़ देंगे।

एवगेनी एपिफ़ानोव