यदि दोलन का वर्णन साइन नियम के अनुसार किया जाता है। दोलनों

>>हार्मोनिक कंपन

§ 22 हार्मोनिक कंपन

यह जानते हुए कि एक दोलनशील पिंड का त्वरण और समन्वय एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं, गणितीय विश्लेषण के आधार पर, समय पर समन्वय की निर्भरता का पता लगाना संभव है।

त्वरण समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है।एक बिंदु की तात्कालिक गति, जैसा कि आप गणित पाठ्यक्रम से जानते हैं, समय के संबंध में बिंदु के निर्देशांक का व्युत्पन्न है। किसी बिंदु का त्वरण समय के संबंध में इसकी गति का व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में समन्वय का दूसरा व्युत्पन्न है। इसलिए, समीकरण (3.4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहां एक्स " - समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न। समीकरण (3.11) के अनुसार, मुक्त दोलनों के दौरान, निर्देशांक x समय के साथ बदलता है ताकि समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न सीधे निर्देशांक के समानुपाती हो और संकेत में विपरीत हो।

गणित के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि साइन और कोसाइन के दूसरे व्युत्पन्न उनके तर्क के संबंध में स्वयं कार्यों के समानुपाती होते हैं, विपरीत चिह्न के साथ लिए जाते हैं। गणितीय विश्लेषण साबित करता है कि किसी अन्य फलन में यह गुण नहीं है। यह सब हमें वैध रूप से यह दावा करने की अनुमति देता है कि मुक्त दोलन करने वाले शरीर का समन्वय समय के साथ साइन या पासिन के नियम के अनुसार बदलता है। चित्र 3.6 कोसाइन नियम के अनुसार समय के साथ एक बिंदु के निर्देशांक में परिवर्तन को दर्शाता है।

समय के आधार पर किसी भौतिक मात्रा में साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होने वाले आवधिक परिवर्तनों को हार्मोनिक दोलन कहा जाता है।

दोलनों का आयाम.हार्मोनिक दोलनों का आयाम किसी पिंड के उसकी संतुलन स्थिति से सबसे बड़े विस्थापन का मापांक है।

समय के प्रारंभिक क्षण में हम शरीर को संतुलन स्थिति से कितना विस्थापित करते हैं, या शरीर को कौन सी गति प्रदान की जाती है, इसके आधार पर आयाम के अलग-अलग मूल्य हो सकते हैं। आयाम प्रारंभिक स्थितियों, या अधिक सटीक रूप से शरीर को प्रदान की गई ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है। लेकिन साइन मापांक और कोसाइन मापांक का अधिकतम मान एक के बराबर है। इसलिए, समीकरण (3.11) का समाधान केवल साइन या कोसाइन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसे साइन या कोसाइन द्वारा दोलन आयाम x मीटर के उत्पाद का रूप लेना चाहिए।

मुक्त कंपन का वर्णन करने वाले समीकरण का समाधान।आइए समीकरण (3.11) का हल निम्नलिखित रूप में लिखें:

और दूसरा व्युत्पन्न इसके बराबर होगा:

हमने समीकरण (3.11) प्राप्त किया है। नतीजतन, फलन (3.12) मूल समीकरण (3.11) का एक समाधान है। इस समीकरण का हल भी फलन होगा

(3.14) के अनुसार पिंड समन्वय बनाम समय का ग्राफ एक कोसाइन तरंग है (चित्र 3.6 देखें)।

हार्मोनिक दोलनों की अवधि और आवृत्ति. दोलन करते समय, शरीर की गतिविधियाँ समय-समय पर दोहराई जाती हैं। वह समयावधि T जिसके दौरान सिस्टम दोलनों का एक पूरा चक्र पूरा करता है, दोलनों की अवधि कहलाती है।

अवधि को जानकर, आप दोलनों की आवृत्ति निर्धारित कर सकते हैं, अर्थात समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या, उदाहरण के लिए प्रति सेकंड। यदि समय T में एक दोलन होता है, तो प्रति सेकंड दोलनों की संख्या

इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ़ यूनिट्स (SI) में, प्रति सेकंड एक दोलन होने पर दोलन की आवृत्ति एक के बराबर होती है। जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ के सम्मान में आवृत्ति की इकाई को हर्ट्ज़ (संक्षिप्त रूप में: हर्ट्ज़) कहा जाता है।

2 एस में दोलनों की संख्या बराबर है:

मात्रा दोलनों की चक्रीय, या गोलाकार, आवृत्ति है। यदि समीकरण (3.14) में समय t एक अवधि के बराबर है, तो T = 2। इस प्रकार, यदि समय t = 0 x = x m पर, तो समय t = T x = x m पर, अर्थात एक के बराबर समय अवधि के माध्यम से अवधि, दोलन दोहराए जाते हैं।

मुक्त कंपन की आवृत्ति दोलन प्रणाली 1 की प्राकृतिक आवृत्ति से निर्धारित होती है।

प्रणाली के गुणों पर मुक्त दोलनों की आवृत्ति और अवधि की निर्भरता।समीकरण (3.13) के अनुसार, स्प्रिंग से जुड़े किसी पिंड के कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति बराबर होती है:

स्प्रिंग की कठोरता k जितनी अधिक होगी, वह उतनी ही अधिक होगी, और जितनी कम होगी, शरीर का द्रव्यमान m उतना ही अधिक होगा। इसे समझना आसान है: एक कठोर स्प्रिंग शरीर को अधिक त्वरण प्रदान करता है और शरीर की गति को तेजी से बदलता है। और शरीर जितना अधिक विशाल होता है, बल के प्रभाव में उसकी गति उतनी ही धीमी होती है। दोलन अवधि इसके बराबर है:

विभिन्न कठोरता के स्प्रिंग्स और विभिन्न द्रव्यमानों के निकायों का एक सेट होने के कारण, अनुभव से यह सत्यापित करना आसान है कि सूत्र (3.13) और (3.18) k और m पर और T की निर्भरता की प्रकृति का सही वर्णन करते हैं।

यह उल्लेखनीय है कि स्प्रिंग पर किसी पिंड के दोलन की अवधि और विक्षेपण के छोटे कोणों पर पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलन के आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

समीकरण (3.10) में त्वरण टी और विस्थापन x के बीच आनुपातिकता गुणांक का मापांक, जो पेंडुलम के दोलनों का वर्णन करता है, समीकरण (3.11) के अनुसार, चक्रीय आवृत्ति का वर्ग है। नतीजतन, ऊर्ध्वाधर से धागे के विचलन के छोटे कोणों पर गणितीय पेंडुलम के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति पेंडुलम की लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है:

इस सूत्र को सबसे पहले डच वैज्ञानिक जी. ह्यूजेंस, जो आई. न्यूटन के समकालीन थे, द्वारा प्राप्त और प्रयोगात्मक रूप से परीक्षण किया गया था। यह केवल धागे के विक्षेपण के छोटे कोणों के लिए मान्य है।

1 अक्सर निम्नलिखित में, संक्षिप्तता के लिए, हम केवल चक्रीय आवृत्ति को आवृत्ति के रूप में संदर्भित करेंगे। आप संकेतन द्वारा चक्रीय आवृत्ति को सामान्य आवृत्ति से अलग कर सकते हैं।

पेंडुलम की लंबाई बढ़ने के साथ दोलन की अवधि बढ़ती है। यह लोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। इसे विभिन्न पेंडुलमों के साथ प्रयोगात्मक रूप से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर दोलन अवधि की निर्भरता का भी पता लगाया जा सकता है। g जितना छोटा होगा, पेंडुलम के दोलन की अवधि उतनी ही लंबी होगी और इसलिए, पेंडुलम घड़ी उतनी ही धीमी चलेगी। इस प्रकार, एक छड़ पर भार के रूप में पेंडुलम वाली एक घड़ी यदि बेसमेंट से मॉस्को विश्वविद्यालय की शीर्ष मंजिल (ऊंचाई 200 मीटर) तक उठाई जाती है, तो यह प्रति दिन लगभग 3 सेकंड पीछे हो जाएगी। और यह केवल ऊंचाई के साथ मुक्त गिरावट के त्वरण में कमी के कारण है।

g के मान पर पेंडुलम के दोलन की अवधि की निर्भरता का प्रयोग व्यवहार में किया जाता है। दोलन अवधि को मापकर, जी को बहुत सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। गुरुत्वाकर्षण का त्वरण भौगोलिक अक्षांश के साथ बदलता रहता है। लेकिन एक निश्चित अक्षांश पर भी यह हर जगह समान नहीं है। आख़िरकार, पृथ्वी की पपड़ी का घनत्व हर जगह समान नहीं है। जिन क्षेत्रों में सघन चट्टानें पाई जाती हैं, वहां त्वरण g कुछ अधिक होता है। खनिजों की खोज करते समय इसे ध्यान में रखा जाता है।

इस प्रकार, सामान्य चट्टानों की तुलना में लौह अयस्क का घनत्व अधिक होता है। शिक्षाविद् ए.ए. मिखाइलोव के नेतृत्व में किए गए कुर्स्क के पास गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के माप ने लौह अयस्क के स्थान को स्पष्ट करना संभव बना दिया। इन्हें सबसे पहले चुंबकीय माप के माध्यम से खोजा गया था।

अधिकांश इलेक्ट्रॉनिक तराजू के उपकरणों में यांत्रिक कंपन के गुणों का उपयोग किया जाता है। तौले जाने वाले शरीर को एक मंच पर रखा जाता है जिसके नीचे एक कठोर स्प्रिंग लगाई जाती है। परिणामस्वरूप, यांत्रिक कंपन उत्पन्न होते हैं, जिनकी आवृत्ति संबंधित सेंसर द्वारा मापी जाती है। इस सेंसर से जुड़ा माइक्रोप्रोसेसर दोलन आवृत्ति को तौले जा रहे पिंड के द्रव्यमान में परिवर्तित करता है, क्योंकि यह आवृत्ति द्रव्यमान पर निर्भर करती है।

दोलन अवधि के लिए परिणामी सूत्र (3.18) और (3.20) इंगित करते हैं कि हार्मोनिक दोलन की अवधि सिस्टम मापदंडों (स्प्रिंग कठोरता, धागे की लंबाई, आदि) पर निर्भर करती है।

मायकिशेव जी. हां., भौतिकी। 11वीं कक्षा: शैक्षणिक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / जी. हां. मायकिशेव, बी. वी. बुखोवत्सेव, वी. एम. चारुगिन; द्वारा संपादित वी. आई. निकोलेवा, एन. ए. पार्फ़ेंटिएवा। - 17वाँ संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: शिक्षा, 2008. - 399 पी.: बीमार।

ग्रेड के अनुसार विषयों की पूरी सूची, ऑनलाइन भौतिकी में स्कूल पाठ्यक्रम के अनुसार कैलेंडर योजना, ग्रेड 11 डाउनलोड के लिए भौतिकी पर वीडियो सामग्री

अधिकतम गति और त्वरण मान

निर्भरता v(t) और a(t) के समीकरणों का विश्लेषण करने के बाद, हम अनुमान लगा सकते हैं कि गति और त्वरण उस स्थिति में अधिकतम मान लेते हैं जब त्रिकोणमितीय कारक 1 या -1 के बराबर होता है। सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

निर्भरताएँ v(t) और a(t) कैसे प्राप्त करें

7. मुक्त कंपन. दोलन गति की गति, त्वरण और ऊर्जा। कंपन का योग

मुक्त कंपन(या प्राकृतिक कंपन) एक दोलन प्रणाली के दोलन हैं जो बाहरी प्रभावों की अनुपस्थिति में केवल आरंभिक रूप से प्रदान की गई ऊर्जा (संभावित या गतिज) के कारण होते हैं।

उदाहरण के लिए, प्रारंभिक विस्थापन या प्रारंभिक वेग के माध्यम से यांत्रिक प्रणालियों में संभावित या गतिज ऊर्जा प्रदान की जा सकती है।

स्वतंत्र रूप से दोलन करने वाले पिंड हमेशा अन्य पिंडों के साथ संपर्क करते हैं और उनके साथ मिलकर पिंडों की एक प्रणाली बनाते हैं जिसे कहा जाता है दोलन प्रणाली.

उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग, एक गेंद और एक ऊर्ध्वाधर खंभा जिससे स्प्रिंग का ऊपरी सिरा जुड़ा होता है (नीचे चित्र देखें) दोलन प्रणाली में शामिल हैं। यहां गेंद डोरी के अनुदिश स्वतंत्र रूप से फिसलती है (घर्षण बल नगण्य हैं)। यदि आप गेंद को दाहिनी ओर ले जाते हैं और उसे उसी पर छोड़ देते हैं, तो यह संतुलन स्थिति (बिंदु) के चारों ओर स्वतंत्र रूप से दोलन करेगी के बारे में) संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित स्प्रिंग के लोचदार बल की क्रिया के कारण।

यांत्रिक दोलन प्रणाली का एक और उत्कृष्ट उदाहरण एक गणितीय पेंडुलम है (नीचे चित्र देखें)। इस मामले में, गेंद दो बलों के प्रभाव में मुक्त दोलन करती है: गुरुत्वाकर्षण और धागे का लोचदार बल (पृथ्वी भी दोलन प्रणाली में शामिल है)। उनका परिणाम संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है।

दोलन प्रणाली के पिंडों के बीच कार्य करने वाले बलों को कहा जाता है आंतरिक बल. बाहरी ताकतों द्वाराकिसी तंत्र पर उसके बाहर के पिंडों से कार्य करने वाले बल कहलाते हैं। इस दृष्टिकोण से, सिस्टम को उसकी संतुलन स्थिति से हटाए जाने के बाद आंतरिक बलों के प्रभाव में सिस्टम में मुक्त दोलनों को दोलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

मुक्त दोलनों के घटित होने की स्थितियाँ हैं:

1) उनमें एक बल का उद्भव जो प्रणाली को इस अवस्था से हटाए जाने के बाद स्थिर संतुलन की स्थिति में लौटाता है;

2) सिस्टम में घर्षण की कमी।

मुक्त कंपन की गतिशीलता.

लोचदार बलों के प्रभाव में शरीर का कंपन. लोचदार बल की क्रिया के तहत किसी पिंड की दोलन गति का समीकरण एफ(आंकड़ा देखें) न्यूटन के दूसरे नियम को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है ( एफ = मा) और हुक का नियम ( एफ नियंत्रण= -kx), कहाँ एमगेंद का द्रव्यमान है, और लोचदार बल की कार्रवाई के तहत गेंद द्वारा प्राप्त त्वरण है, क- वसंत कठोरता गुणांक, एक्स- संतुलन स्थिति से शरीर का विस्थापन (दोनों समीकरण क्षैतिज अक्ष पर प्रक्षेपण में लिखे गए हैं) ओह). इन समीकरणों के दाहिने पक्षों को बराबर करना और त्वरण को ध्यान में रखना एनिर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है एक्स(विस्थापन), हमें मिलता है:

.

यह एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत दोलन करने वाले शरीर की गति का अंतर समीकरण है: समय (शरीर त्वरण) के संबंध में समन्वय का दूसरा व्युत्पन्न इसके समन्वय के सीधे आनुपातिक है, विपरीत संकेत के साथ लिया गया है।

गणितीय लोलक का दोलन.गणितीय लोलक (आकृति) के दोलन का समीकरण प्राप्त करने के लिए गुरुत्वाकर्षण बल का विस्तार करना आवश्यक है एफ टी= मिलीग्रामसामान्य से एफ.एन(धागे के साथ निर्देशित) और स्पर्शरेखीय एफ τ(गेंद के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा - वृत्त) घटक। गुरुत्वाकर्षण का सामान्य घटक एफ.एनऔर धागे का लोचदार बल Fynpकुल मिलाकर पेंडुलम सेंट्रिपेटल त्वरण प्रदान करता है, जो गति के परिमाण को प्रभावित नहीं करता है, बल्कि केवल इसकी दिशा बदलता है, और स्पर्शरेखा घटक एफ τवह बल है जो गेंद को उसकी संतुलन स्थिति में लौटाता है और उसे दोलनशील गति करने के लिए प्रेरित करता है। पिछले मामले की तरह, स्पर्शरेखीय त्वरण के लिए न्यूटन के नियम का उपयोग करना मा τ = एफ τऔर वह दिया एफ τ= -मिलीग्राम पापα, हम पाते हैं:

एक τ= -जी पापα,

ऋण चिह्न संतुलन स्थिति से विचलन के बल और कोण के कारण प्रकट हुआ α विपरीत लक्षण हैं. छोटे विक्षेपण कोणों के लिए पाप α ≈ α. इसकी बारी में, α = एस/एल, कहाँ एस- चाप ओ.ए., मैं- धागे की लंबाई। ध्यान में रख कर और τ= एस", हम अंततः प्राप्त करते हैं:

समीकरण का स्वरूप समीकरण के समान है . केवल यहां सिस्टम के पैरामीटर धागे की लंबाई और मुक्त गिरावट का त्वरण हैं, न कि स्प्रिंग की कठोरता और गेंद का द्रव्यमान; निर्देशांक की भूमिका चाप की लंबाई द्वारा निभाई जाती है (अर्थात, तय की गई दूरी, जैसा कि पहले मामले में है)।

इस प्रकार, मुक्त कंपनों का वर्णन एक ही प्रकार के समीकरणों द्वारा किया जाता है (समान कानूनों के अधीन) इन कंपनों को पैदा करने वाली ताकतों की भौतिक प्रकृति की परवाह किए बिना।

समीकरण हल करना और प्रपत्र का एक कार्य है:

एक्स = एक्स एमक्योंकि ω 0टी(या एक्स = एक्स एमपाप ω 0टी).

अर्थात्, मुक्त दोलन करने वाले पिंड का समन्वय समय के साथ कोसाइन या साइन के नियम के अनुसार बदलता है, और इसलिए, ये दोलन हार्मोनिक होते हैं:

Eq में. एक्स = एक्स एमक्योंकि ω 0टी(या एक्स = एक्स एमपाप ω 0टी), एक्स एम- कंपन आयाम, ω 0 - दोलनों की अपनी चक्रीय (गोलाकार) आवृत्ति।

मुक्त हार्मोनिक दोलनों की चक्रीय आवृत्ति और अवधि प्रणाली के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। इस प्रकार, स्प्रिंग से जुड़े किसी पिंड के कंपन के लिए, निम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

.

स्प्रिंग की कठोरता जितनी अधिक होगी या भार का द्रव्यमान जितना कम होगा, प्राकृतिक आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी, जिसकी अनुभव से पूरी तरह पुष्टि होती है।

गणितीय लोलक के लिए निम्नलिखित समानताएँ संतुष्ट होती हैं:

.

इस सूत्र को सबसे पहले डच वैज्ञानिक ह्यूजेन्स (न्यूटन के समकालीन) द्वारा प्राप्त और प्रयोगात्मक रूप से परीक्षण किया गया था।

दोलन की अवधि पेंडुलम की लंबाई बढ़ने के साथ बढ़ती है और यह उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

इस तथ्य पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए कि हार्मोनिक दोलन कड़ाई से आवधिक होते हैं (क्योंकि वे साइन या कोसाइन के नियम का पालन करते हैं) और यहां तक ​​कि एक गणितीय पेंडुलम के लिए, जो एक वास्तविक (भौतिक) पेंडुलम का आदर्शीकरण है, केवल छोटे दोलन पर ही संभव है कोण. यदि विक्षेपण कोण बड़े हैं, तो भार का विस्थापन विक्षेपण कोण (कोण की ज्या) के समानुपाती नहीं होगा और त्वरण विस्थापन के समानुपाती नहीं होगा।

स्वतंत्र रूप से दोलन कर रहे किसी पिंड की गति और त्वरण भी हार्मोनिक दोलन से गुजरेगा। फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न लेना ( एक्स = एक्स एमक्योंकि ω 0टी(या एक्स = एक्स एमपाप ω 0टी)), हमें गति के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है:

वी = -वी एमपाप ω 0टी = -वी एमएक्स एमक्योंकि (ω 0टी + π/2),

कहाँ वी एम= ω 0 एक्स एम- वेग आयाम.

त्वरण के लिए समान अभिव्यक्ति एहम विभेदन करके प्राप्त करते हैं ( वी = -वी एमपाप ω 0टी = -वी एमएक्स एमक्योंकि (ω 0टी + π/2)):

ए = -ए एमक्योंकि ω 0टी,

कहाँ पूर्वाह्न= ω 2 0एक्स एम- त्वरण का आयाम. इस प्रकार, हार्मोनिक दोलनों की गति का आयाम आवृत्ति के समानुपाती होता है, और त्वरण का आयाम दोलन आवृत्ति के वर्ग के समानुपाती होता है।

हार्मोनिक कंपन
वे दोलन जिनमें भौतिक राशियों में कोसाइन या साइन के नियम (हार्मोनिक नियम) के अनुसार परिवर्तन होता है, कहलाते हैं। हार्मोनिक कंपन.उदाहरण के लिए, यांत्रिक हार्मोनिक कंपन के मामले में:. इन सूत्रों में, ω दोलन की आवृत्ति है, x m दोलन का आयाम है, φ 0 और φ 0 ' दोलन के प्रारंभिक चरण हैं। उपरोक्त सूत्र प्रारंभिक चरण की परिभाषा में भिन्न हैं और φ 0 ' = φ 0 +π/2 पर पूरी तरह से मेल खाते हैं।
यह आवर्ती दोलन का सबसे सरल प्रकार है। फ़ंक्शन का विशिष्ट रूप (साइन या कोसाइन) सिस्टम को उसकी संतुलन स्थिति से हटाने की विधि पर निर्भर करता है। यदि निष्कासन एक धक्का द्वारा होता है (गतिज ऊर्जा प्रदान की जाती है), तो t=0 पर विस्थापन x=0 है, इसलिए, φ 0 '=0 सेट करते हुए, पाप फ़ंक्शन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है; जब t = 0 पर संतुलन स्थिति (संभावित ऊर्जा की सूचना दी गई है) से विचलन होता है, तो विस्थापन x = x m होता है, इसलिए, cos फ़ंक्शन और φ 0 = 0 का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।
कॉस या पाप चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति को कहा जाता है। दोलन चरण:. दोलन का चरण रेडियन में मापा जाता है और एक निश्चित समय पर विस्थापन (दोलन मात्रा) का मान निर्धारित करता है।
दोलन का आयाम केवल प्रारंभिक विचलन (दोलन प्रणाली को प्रदान की गई प्रारंभिक ऊर्जा) पर निर्भर करता है।
हार्मोनिक दोलनों के दौरान वेग और त्वरण।
गति की परिभाषा के अनुसार, गति समय के संबंध में एक स्थिति का व्युत्पन्न है
इस प्रकार, हम देखते हैं कि हार्मोनिक दोलन गति के दौरान गति भी हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलती है, लेकिन गति दोलन चरण विस्थापन दोलनों से π/2 से आगे होते हैं।
मान - दोलन गति की अधिकतम गति (गति में उतार-चढ़ाव का आयाम)।
इसलिए, हार्मोनिक दोलन के दौरान गति के लिए हमारे पास है: , और शून्य प्रारंभिक चरण के मामले के लिए (ग्राफ़ देखें)।
त्वरण की परिभाषा के अनुसार, त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है: समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है। तब: । हार्मोनिक दोलन गति के दौरान त्वरण भी हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है, लेकिन त्वरण दोलन गति दोलनों से π/2 और विस्थापन दोलनों से π से आगे होते हैं (कहा जाता है कि दोलन होते हैं) प्रतिचरण में).
मान - अधिकतम त्वरण (त्वरण उतार-चढ़ाव का आयाम)। इसलिए, त्वरण के लिए हमारे पास है: , और शून्य प्रारंभिक चरण के मामले के लिए: (सूची देखें)।
दोलन गति की प्रक्रिया, ग्राफ़ और संबंधित गणितीय अभिव्यक्तियों के विश्लेषण से, यह स्पष्ट है कि जब दोलन करने वाला शरीर संतुलन स्थिति (विस्थापन शून्य है) से गुजरता है, तो त्वरण शून्य होता है, और शरीर की गति अधिकतम होती है ( शरीर जड़ता द्वारा संतुलन की स्थिति से गुजरता है), और जब विस्थापन का आयाम मान पहुंच जाता है, तो गति शून्य के बराबर होती है, और त्वरण निरपेक्ष मूल्य में अधिकतम होता है (शरीर अपनी गति की दिशा बदलता है)।
आइए हार्मोनिक कंपन के दौरान विस्थापन और त्वरण के भावों की तुलना करें: और .
आप लिख सकते हो: - अर्थात। विस्थापन का दूसरा व्युत्पन्न विस्थापन के सीधे आनुपातिक (विपरीत चिह्न के साथ) है। इस समीकरण को कहा जाता है हार्मोनिक कंपन का समीकरण. यह निर्भरता किसी भी हार्मोनिक दोलन पर लागू होती है, चाहे उसकी प्रकृति कुछ भी हो। चूँकि हमने कभी भी किसी विशिष्ट दोलन प्रणाली के मापदंडों का उपयोग नहीं किया है, केवल चक्रीय आवृत्ति ही उन पर निर्भर हो सकती है।
कंपन के समीकरणों को इस रूप में लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है: , जहां T दोलन अवधि है। फिर, यदि समय को किसी अवधि के अंशों में व्यक्त किया जाता है, तो गणना सरल हो जाएगी। उदाहरण के लिए, यदि हमें अवधि के 1/8 के बाद विस्थापन ज्ञात करना है, तो हमें मिलता है:। गति और त्वरण के लिए भी यही बात समान है।

अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब एक प्रणाली एक साथ एक दूसरे से स्वतंत्र दो या कई दोलनों में भाग लेती है। इन मामलों में, एक जटिल दोलन गति बनती है, जो दोलनों को एक-दूसरे पर आरोपित (जोड़कर) करके बनाई जाती है। जाहिर है, दोलनों के योग के मामले बहुत विविध हो सकते हैं। वे न केवल जोड़े गए दोलनों की संख्या पर निर्भर करते हैं, बल्कि दोलनों के मापदंडों, उनकी आवृत्तियों, चरणों, आयामों और दिशाओं पर भी निर्भर करते हैं। दोलनों के योग के सभी संभावित प्रकार के मामलों की समीक्षा करना संभव नहीं है, इसलिए हम केवल व्यक्तिगत उदाहरणों पर विचार करने तक ही खुद को सीमित रखेंगे।
1. एक दिशा के दोलनों का योग। आइए एक ही आवृत्ति के दो दोलन जोड़ें, लेकिन अलग-अलग चरण और आयाम।

(4.40)
जब दोलन एक दूसरे पर आरोपित होते हैं


आइए हम समीकरणों के अनुसार नए पैरामीटर ए और जे पेश करें:

(4.42)
समीकरणों की प्रणाली (4.42) को हल करना आसान है।

(4.43)

(4.44)
इस प्रकार, x के लिए हम अंततः समीकरण प्राप्त करते हैं

(4.45)
तो, समान आवृत्ति के यूनिडायरेक्शनल दोलनों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, हमें एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) दोलन प्राप्त होता है, जिसका आयाम और चरण सूत्र (4.43) और (4.44) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
आइए उन विशेष मामलों पर विचार करें जिनमें दो जोड़े गए दोलनों के चरणों के बीच संबंध भिन्न हैं:


(4.46)
आइए अब हम समान आयाम, समान चरणों, लेकिन विभिन्न आवृत्तियों के यूनिडायरेक्शनल दोलनों को जोड़ें।


(4.47)
आइए उस मामले पर विचार करें जब आवृत्तियाँ एक दूसरे के करीब हों, यानी w1~w2=w
तब हम लगभग मान लेंगे कि (w1+w2)/2= w, और (w2-w1)/2 एक छोटा मान है। परिणामी दोलन का समीकरण इस प्रकार दिखेगा:

(4.48)
इसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 4.5 इस दोलन को धड़कन कहा जाता है। यह आवृत्ति w के साथ होता है, लेकिन इसका आयाम एक बड़ी अवधि के साथ दोलन करता है।

2. दो परस्पर लंबवत दोलनों का योग। आइए मान लें कि एक दोलन x-अक्ष के अनुदिश होता है, दूसरा y-अक्ष के अनुदिश। परिणामी गति स्पष्ट रूप से xy तल में स्थित है।
1. आइए मान लें कि दोलन आवृत्तियाँ और चरण समान हैं, लेकिन आयाम भिन्न हैं।

(4.49)
परिणामी गति के प्रक्षेप पथ को खोजने के लिए, आपको समीकरणों (4.49) से समय को हटाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, समीकरण के एक पद को दूसरे पद से विभाजित करना पर्याप्त है, जिसके परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है

(4.50)
समीकरण (4.50) से पता चलता है कि इस मामले में, दोलनों के योग से एक सीधी रेखा में दोलन होता है, जिसका ढलान आयामों के अनुपात से निर्धारित होता है।
2. मान लीजिए कि जोड़े गए दोलनों के चरण एक दूसरे से /2 से भिन्न हैं और समीकरणों का रूप इस प्रकार है:

(4.51)
परिणामी गति के प्रक्षेपवक्र को खोजने के लिए, समय को छोड़कर, आपको वर्ग समीकरण (4.51) की आवश्यकता है, पहले उन्हें क्रमशः ए1 और ए2 में विभाजित करें, और फिर उन्हें जोड़ें। प्रक्षेपवक्र समीकरण का रूप लेगा:

(4.52)
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है. यह साबित किया जा सकता है कि किसी भी प्रारंभिक चरण और एक ही आवृत्ति के दो परस्पर लंबवत दोलनों के किसी भी आयाम के लिए, परिणामी दोलन एक दीर्घवृत्त के साथ घटित होगा। इसका अभिविन्यास अतिरिक्त दोलनों के चरणों और आयामों पर निर्भर करेगा।
यदि जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियाँ अलग-अलग हैं, तो परिणामी गति के प्रक्षेप पथ बहुत विविध हो जाते हैं। केवल यदि x और y में दोलन आवृत्तियाँ एक दूसरे के गुणज हैं, तो बंद प्रक्षेप पथ प्राप्त होते हैं। ऐसे आंदोलनों को आवधिक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। इस मामले में, आंदोलनों के प्रक्षेप पथ को लिसाजस आंकड़े कहा जाता है। आइए लिसाजस आंकड़ों में से एक पर विचार करें, जो आंदोलन की शुरुआत में समान आयाम और चरणों के साथ 1: 2 की आवृत्ति अनुपात के साथ दोलनों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

(4.53)
दोलन x-अक्ष की तुलना में y-अक्ष पर दो गुना अधिक बार होते हैं। इस तरह के दोलनों के जुड़ने से आकृति आठ के रूप में एक गति प्रक्षेप पथ प्राप्त होगा (चित्र 4.7)।

8. नम दोलन और उनके पैरामीटर: कमी और दोलन गुणांक, विश्राम समय

)नम दोलनों की अवधि:

टी = (58)

पर δ << ω o कंपन हार्मोनिक से भिन्न नहीं होते: टी = 2π/ ω ओ.

2) नम दोलनों का आयामसूत्र (119) द्वारा व्यक्त किया गया है।

3) क्षीणन में कमी,दो क्रमिक कंपन आयामों के अनुपात के बराबर ए(टी) और ए(टी+टी), एक अवधि में आयाम में कमी की दर को दर्शाता है:

= EDT (59)

4) लघुगणकीय अवमंदन कमी- एक अवधि से भिन्न समय के क्षणों के अनुरूप दो क्रमिक दोलनों के आयामों के अनुपात का प्राकृतिक लघुगणक

q = ln = ln e d Т =dT(60)

लॉगरिदमिक अवमंदन कमी किसी दिए गए दोलन प्रणाली के लिए एक स्थिर मान है।

5) आराम का समयसमय की अवधि को कॉल करने की प्रथा है ( टी) जिसके दौरान नम दोलनों का आयाम ई गुना कम हो जाता है:

ई डी τ = ई, δτ = 1,

टी = 1/डी, (61)

अभिव्यक्ति (60) और (61) की तुलना से हम प्राप्त करते हैं:

क्यू= = , (62)

कहाँ एन ई -विश्राम के दौरान किए गए दोलनों की संख्या।

यदि समय के दौरान टीसिस्टम प्रतिबद्ध है Ν फिर झिझक टी = Ν . Τ और नम दोलनों के समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

एस = ए 0 ई-डी एन टी कॉस(डब्ल्यूटी+जे)= ए 0 ई -क्यू एन कॉस(डब्ल्यूटी+जे).

6)दोलन प्रणाली का गुणवत्ता कारक(क्यू) को आमतौर पर दोलन अवधि के दौरान सिस्टम में ऊर्जा के नुकसान को दर्शाने वाली मात्रा कहा जाता है:

क्यू= 2पी , (63)

कहाँ डब्ल्यू- सिस्टम की कुल ऊर्जा, ΔW- एक अवधि में ऊर्जा नष्ट हो गई। जितनी कम ऊर्जा नष्ट होगी, सिस्टम का गुणवत्ता कारक उतना ही अधिक होगा। गणना यह दर्शाती है

क्यू = = पीएन ई = = . (64)

हालाँकि, गुणवत्ता कारक लघुगणकीय क्षीणन कमी के विपरीत आनुपातिक है। सूत्र (64) से यह निष्कर्ष निकलता है कि गुणवत्ता कारक दोलनों की संख्या के समानुपाती होता है एन ईविश्राम के दौरान सिस्टम द्वारा किया जाता है।

7) संभावित ऊर्जासमय t पर प्रणाली को स्थितिज ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है डब्ल्यूअधिकतम विचलन पर 0:

डब्ल्यू = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN। (65)

आमतौर पर यह परंपरागत रूप से माना जाता है कि यदि उनकी ऊर्जा 100 गुना कम हो गई है (आयाम 10 गुना कम हो गया है) तो दोलन व्यावहारिक रूप से बंद हो गए हैं। यहां से हम सिस्टम द्वारा निष्पादित दोलनों की संख्या की गणना के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं:

= ई 2qN= 100, एलएन100 = 2 क्यूएन;

एन = = . (66)

9. जबरदस्ती कंपन. प्रतिध्वनि। एपेरियोडिक दोलन. स्व-दोलन.

सिस्टम के लिए अवमंदित दोलन करने के लिए, बाहर से घर्षण के कारण दोलन ऊर्जा के नुकसान की भरपाई करना आवश्यक है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सिस्टम की दोलन ऊर्जा कम न हो, आमतौर पर एक बल लगाया जाता है जो समय-समय पर सिस्टम पर कार्य करता है (हम ऐसे बल को कहेंगे) जबरदस्ती, और दोलन मजबूर हैं)।

परिभाषा: मजबूरये वे दोलन हैं जो किसी बाहरी समय-समय पर बदलते बल के प्रभाव में एक दोलन प्रणाली में होते हैं।

यह बल आमतौर पर दोहरी भूमिका निभाता है:

सबसे पहले, यह सिस्टम को हिलाता है और इसे एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा प्रदान करता है;

दूसरे, यह प्रतिरोध और घर्षण की ताकतों पर काबू पाने के लिए समय-समय पर ऊर्जा हानि (ऊर्जा खपत) की भरपाई करता है।

कानून के अनुसार समय के साथ प्रेरक शक्ति को बदलने दें:

.

आइए हम ऐसे बल के प्रभाव में दोलन करने वाली प्रणाली के लिए गति का एक समीकरण बनाएं। हम मानते हैं कि सिस्टम अर्ध-लोचदार बल और माध्यम के प्रतिरोध बल से भी प्रभावित होता है (जो छोटे दोलनों की धारणा के तहत सच है)। तब सिस्टम की गति का समीकरण इस प्रकार दिखेगा:

या .

प्रतिस्थापन करने के बाद, - सिस्टम के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति, हम एक अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण 2 प्राप्त करते हैं वांआदेश देना:

अवकल समीकरणों के सिद्धांत से यह ज्ञात होता है कि एक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान एक सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और एक अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान के योग के बराबर होता है।

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात है:

,

कहाँ ; ए 0 और ए- मनमाना स्थिरांक।

.

एक वेक्टर आरेख का उपयोग करके, आप सत्यापित कर सकते हैं कि यह धारणा सत्य है, और "का मान भी निर्धारित कर सकते हैं" ए" और " जे”.

दोलनों का आयाम निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

.

अर्थ " जे”, जो कि मजबूर दोलन के चरण अंतराल का परिमाण है इसे निर्धारित करने वाली प्रेरक शक्ति से, वेक्टर आरेख से भी निर्धारित किया जाता है और इसकी मात्रा होती है:

.

अंत में, अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान रूप लेगा:

(8.18)

यह फ़ंक्शन, के साथ संयुक्त है

(8.19)

एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान देता है जो मजबूर दोलनों के तहत एक प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करता है। शब्द (8.19) प्रक्रिया के प्रारंभिक चरण में, तथाकथित दोलनों की स्थापना के दौरान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है (चित्र 8.10)। समय के साथ, घातीय कारक के कारण, दूसरे पद (8.19) की भूमिका अधिक से अधिक घटती जाती है, और पर्याप्त समय के बाद इसे उपेक्षित किया जा सकता है, समाधान में केवल पद (8.18) को बरकरार रखा जा सकता है।

इस प्रकार, फ़ंक्शन (8.18) स्थिर-अवस्था मजबूर दोलनों का वर्णन करता है। वे प्रेरक बल की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। मजबूर दोलनों का आयाम प्रेरक बल के आयाम के समानुपाती होता है। किसी दिए गए दोलन प्रणाली (डब्ल्यू 0 और बी द्वारा परिभाषित) के लिए, आयाम ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। चरण में मजबूर दोलन ड्राइविंग बल से पीछे रह जाते हैं, और अंतराल "जे" का परिमाण भी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है।

ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि किसी दिए गए सिस्टम के लिए निर्धारित एक निश्चित आवृत्ति पर, दोलनों का आयाम अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है। दोलन प्रणाली इस आवृत्ति पर प्रेरक शक्ति की कार्रवाई के प्रति विशेष रूप से उत्तरदायी होती है। इस घटना को कहा जाता है गूंज, और संगत आवृत्ति है गुंजयमान आवृत्ति.

परिभाषा: वह घटना जिसमें मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि देखी जाती है, कहलाती है गूंज.

गुंजयमान आवृत्ति मजबूर दोलनों के आयाम के लिए अधिकतम स्थिति से निर्धारित होती है:

. (8.20)

फिर, इस मान को आयाम के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

. (8.21)

मध्यम प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, प्रतिध्वनि पर दोलनों का आयाम अनंत में बदल जाएगा; समान परिस्थितियों में गुंजयमान आवृत्ति (b=0) दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

ड्राइविंग बल की आवृत्ति (या, जो समान है, दोलन आवृत्ति पर) पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता को ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है (चित्र 8.11)। अलग-अलग वक्र "बी" के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप हैं। जितना छोटा "बी", उतना ऊंचा और दाईं ओर इस वक्र का अधिकतम भाग होता है (डब्ल्यू रेस के लिए अभिव्यक्ति देखें)। बहुत अधिक अवमंदन के साथ, प्रतिध्वनि नहीं देखी जाती है - बढ़ती आवृत्ति के साथ, मजबूर दोलनों का आयाम नीरस रूप से कम हो जाता है (चित्र 8.11 में निचला वक्र)।

b के विभिन्न मानों के अनुरूप प्रस्तुत ग्राफ़ के सेट को कहा जाता है अनुनाद वक्र.

टिप्पणियाँअनुनाद वक्रों के संबंध में:

जैसे-जैसे w®0 की प्रवृत्ति होती है, सभी वक्र समान गैर-शून्य मान के बराबर आ जाते हैं। यह मान संतुलन स्थिति से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है जो सिस्टम को एक स्थिर बल के प्रभाव में प्राप्त होता है एफ 0 .

चूंकि w®¥ सभी वक्र स्पर्शोन्मुख रूप से शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, क्योंकि उच्च आवृत्तियों पर, बल इतनी तेज़ी से अपनी दिशा बदलता है कि सिस्टम को अपनी संतुलन स्थिति से उल्लेखनीय रूप से स्थानांतरित होने का समय नहीं मिलता है।

बी जितना छोटा होगा, अनुनाद के पास का आयाम आवृत्ति के साथ उतना ही अधिक बदल जाएगा, अधिकतम "तीव्र" होगा।

अनुनाद की घटना अक्सर उपयोगी साबित होती है, खासकर ध्वनिकी और रेडियो इंजीनियरिंग में।

स्व-दोलन- गैर-रैखिक प्रतिक्रिया के साथ एक विघटनकारी गतिशील प्रणाली में अविभाजित दोलन, निरंतर ऊर्जा द्वारा समर्थित, अर्थात गैर आवधिकबाहरी प्रभाव.

स्व-दोलन भिन्न-भिन्न होते हैं मजबूर दोलनक्योंकि बाद वाले कारण बनते हैं आवधिकबाहरी प्रभाव और इस प्रभाव की आवृत्ति के साथ घटित होता है, जबकि स्व-दोलनों की घटना और उनकी आवृत्ति स्वयं-दोलन प्रणाली के आंतरिक गुणों द्वारा निर्धारित होती है।

अवधि आत्म-दोलन 1928 में ए. ए. एंड्रोनोव द्वारा रूसी शब्दावली में पेश किया गया।

उदाहरण[

स्व-दोलन के उदाहरणों में शामिल हैं:

· घुमावदार भार के गुरुत्वाकर्षण की निरंतर क्रिया के कारण घड़ी के पेंडुलम के अविभाजित दोलन;

समान रूप से घूमने वाले धनुष के प्रभाव में वायलिन स्ट्रिंग का कंपन

· निरंतर आपूर्ति वोल्टेज पर मल्टीवाइब्रेटर सर्किट और अन्य इलेक्ट्रॉनिक जनरेटर में प्रत्यावर्ती धारा की घटना;

· अंग के पाइप में वायु स्तंभ का दोलन, जिसमें हवा की एक समान आपूर्ति होती है। (स्टैंडिंग वेव भी देखें)

· एक चुंबक से निलंबित और मुड़ी हुई स्टील की धुरी के साथ पीतल के घड़ी गियर के घूर्णी कंपन (गामाज़कोव का प्रयोग) (पहिया की गतिज ऊर्जा, एक एकध्रुवीय जनरेटर की तरह, एक विद्युत क्षेत्र की संभावित ऊर्जा, संभावित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है) विद्युत क्षेत्र का, एकध्रुवीय मोटर की तरह, पहिये की गतिज ऊर्जा आदि में परिवर्तित हो जाता है)

मक्लाकोव का हथौड़ा

एक हथौड़ा जो विद्युत परिपथ में धारा की आवृत्ति से कई गुना कम आवृत्ति के साथ प्रत्यावर्ती धारा ऊर्जा का उपयोग करके हमला करता है।

ऑसिलेटिंग सर्किट का कॉइल एल टेबल (या अन्य वस्तु जिस पर प्रहार करने की आवश्यकता है) के ऊपर रखा गया है। नीचे से एक लोहे की ट्यूब प्रवेश करती है, जिसका निचला सिरा हथौड़े का प्रहार करने वाला भाग होता है। फौकॉल्ट धाराओं को कम करने के लिए ट्यूब में एक ऊर्ध्वाधर स्लॉट होता है। ऑसिलेटरी सर्किट के पैरामीटर ऐसे हैं कि इसके दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति सर्किट में करंट की आवृत्ति के साथ मेल खाती है (उदाहरण के लिए, वैकल्पिक शहर धारा, 50 हर्ट्ज)।

करंट चालू करने और दोलन स्थापित करने के बाद, सर्किट और बाहरी सर्किट की धाराओं की प्रतिध्वनि देखी जाती है, और लोहे की ट्यूब को कुंडल में खींचा जाता है। कुंडल का प्रेरकत्व बढ़ जाता है, दोलन सर्किट अनुनाद से बाहर हो जाता है, और कुंडल में वर्तमान दोलन का आयाम कम हो जाता है। इसलिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में ट्यूब अपनी मूल स्थिति - कुंडल के बाहर - पर लौट आती है। फिर सर्किट के अंदर वर्तमान दोलन बढ़ने लगते हैं, और प्रतिध्वनि फिर से होती है: ट्यूब फिर से कुंडल में खींची जाती है।

ट्यूब बनाती है आत्म-दोलन, यानी, समय-समय पर ऊपर और नीचे की हरकतें, और साथ ही हथौड़े की तरह जोर से मेज पर दस्तक देता है। इन यांत्रिक स्व-दोलनों की अवधि उन्हें सहारा देने वाली प्रत्यावर्ती धारा की अवधि से दसियों गुना अधिक लंबी होती है।

हथौड़े का नाम मॉस्को इंस्टीट्यूट ऑफ फिजिक्स एंड टेक्नोलॉजी के व्याख्यान सहायक एम.आई. मैकलाकोव के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने आत्म-दोलन प्रदर्शित करने के लिए इस तरह के एक प्रयोग का प्रस्ताव रखा और उसे अंजाम दिया।

स्व-दोलन तंत्र

चित्र .1।स्व-दोलन तंत्र

स्व-दोलनों की एक अलग प्रकृति हो सकती है: यांत्रिक, थर्मल, विद्युत चुम्बकीय, रासायनिक। विभिन्न प्रणालियों में स्व-दोलनों की घटना और रखरखाव का तंत्र भौतिकी या रसायन विज्ञान के विभिन्न नियमों पर आधारित हो सकता है। विभिन्न प्रणालियों के स्व-दोलनों के सटीक मात्रात्मक विवरण के लिए, विभिन्न गणितीय उपकरणों की आवश्यकता हो सकती है। फिर भी, सभी स्व-दोलन प्रणालियों के लिए एक सामान्य आरेख की कल्पना करना संभव है जो गुणात्मक रूप से इस तंत्र का वर्णन करता है (चित्र 1)।

आरेख पर: एस- निरंतर (गैर-आवधिक) प्रभाव का स्रोत; आर- एक अरेखीय नियंत्रक जो एक स्थिर प्रभाव को एक चर में परिवर्तित करता है (उदाहरण के लिए, समय में रुक-रुक कर), जो "स्विंग" करता है थरथरानवाला वी- सिस्टम के दोलन तत्व, और फीडबैक के माध्यम से थरथरानवाला दोलन बीनियामक के संचालन को नियंत्रित करें आर, पूछ रहा हूँ चरणऔर आवृत्तिउसके कार्य। एक स्व-दोलन प्रणाली में अपव्यय (ऊर्जा अपव्यय) की भरपाई निरंतर प्रभाव के स्रोत से इसमें ऊर्जा के प्रवाह द्वारा की जाती है, जिसके कारण स्व-दोलन समाप्त नहीं होते हैं।

चावल। 2एक पेंडुलम घड़ी के शाफ़्ट तंत्र का आरेख

यदि सिस्टम का दोलन तत्व स्वयं सक्षम है नम दोलन(तथाकथित हार्मोनिक विघटनकारी थरथरानवाला), स्व-दोलन (अवधि के दौरान सिस्टम में समान अपव्यय और ऊर्जा इनपुट के साथ) के करीब एक आवृत्ति पर स्थापित होते हैं गुंजयमानइस थरथरानवाला के लिए, उनका आकार हार्मोनिक के करीब हो जाता है, और आयाम, मूल्यों की एक निश्चित सीमा में, निरंतर बाहरी प्रभाव का परिमाण जितना अधिक होता है।

इस प्रकार की प्रणाली का एक उदाहरण पेंडुलम घड़ी का रैचेट तंत्र है, जिसका आरेख चित्र में दिखाया गया है। 2. शाफ़्ट व्हील एक्सल पर ए(जो इस प्रणाली में एक अरेखीय नियामक का कार्य करता है) बल का एक स्थिर क्षण होता है एम, मेनस्प्रिंग से या किसी वज़न से गियर ट्रेन के माध्यम से प्रेषित। जब पहिया घूमता है एइसके दांत पेंडुलम को बल के अल्पकालिक आवेग प्रदान करते हैं पी(ऑसिलेटर), जिसकी बदौलत इसके दोलन फीके नहीं पड़ते। तंत्र की गतिकी प्रणाली में प्रतिक्रिया की भूमिका निभाती है, पेंडुलम के दोलनों के साथ पहिया के घूर्णन को इस तरह से सिंक्रनाइज़ करती है कि दोलन की पूरी अवधि के दौरान पहिया एक दांत के अनुरूप कोण से घूमता है।

सेल्फ-ऑसिलेटिंग सिस्टम जिनमें हार्मोनिक ऑसिलेटर नहीं होते हैं, कहलाते हैं विश्राम. उनमें कंपन हार्मोनिक से बहुत भिन्न हो सकते हैं, और आयताकार, त्रिकोणीय या समलम्बाकार आकार के हो सकते हैं। विश्राम स्व-दोलन का आयाम और अवधि निरंतर प्रभाव के परिमाण और सिस्टम की जड़ता और अपव्यय की विशेषताओं के अनुपात से निर्धारित होती है।

चावल। 3बिजली की घंटी

विश्राम स्व-दोलन का सबसे सरल उदाहरण एक विद्युत घंटी का संचालन है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3. यहां निरंतर (गैर-आवधिक) एक्सपोज़र का स्रोत एक इलेक्ट्रिक बैटरी है यू; एक नॉनलाइनियर रेगुलेटर की भूमिका एक हेलिकॉप्टर द्वारा निभाई जाती है टी, विद्युत सर्किट को बंद करना और खोलना, जिसके परिणामस्वरूप इसमें एक रुक-रुक कर धारा उत्पन्न होती है; दोलन करने वाले तत्व एक विद्युत चुंबक के मूल में समय-समय पर प्रेरित एक चुंबकीय क्षेत्र हैं इ, और लंगर ए, एक वैकल्पिक चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में घूम रहा है। आर्मेचर के दोलन ब्रेकर को सक्रिय करते हैं, जो फीडबैक बनाता है।

इस प्रणाली की जड़ता दो अलग-अलग भौतिक मात्राओं द्वारा निर्धारित होती है: आर्मेचर की जड़ता का क्षण एऔर इलेक्ट्रोमैग्नेट वाइंडिंग का प्रेरण इ. इनमें से किसी भी पैरामीटर में वृद्धि से स्व-दोलन की अवधि में वृद्धि होती है।

यदि सिस्टम में कई तत्व हैं जो एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से दोलन करते हैं और एक साथ एक गैर-रेखीय नियामक या नियामकों को प्रभावित करते हैं (जिनमें से कई भी हो सकते हैं), तो स्व-दोलन अधिक जटिल प्रकृति ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, अनावधिक, या गतिशील अराजकता.

प्रकृति और प्रौद्योगिकी में

स्व-दोलन कई प्राकृतिक घटनाओं का आधार हैं:

· एक समान वायु प्रवाह के प्रभाव में पौधों की पत्तियों का कंपन;

· नदियों के दरारों और वेगों पर अशांत प्रवाह का निर्माण;

· नियमित गीजर आदि की क्रिया.

बड़ी संख्या में विभिन्न तकनीकी उपकरणों और उपकरणों का संचालन सिद्धांत स्व-दोलन पर आधारित है, जिसमें शामिल हैं:

· सभी प्रकार की घड़ियों का संचालन, यांत्रिक और विद्युत दोनों;

· सभी पवन और तार वाले संगीत वाद्ययंत्रों की ध्वनि;

©2015-2019 साइट
सभी अधिकार उनके लेखकों के हैं। यह साइट लेखकत्व का दावा नहीं करती, लेकिन निःशुल्क उपयोग प्रदान करती है।
पेज निर्माण तिथि: 2017-04-04

दोलन गति- किसी पिंड की आवधिक या लगभग आवधिक गति, जिसका समन्वय, गति और त्वरण समय के समान अंतराल पर लगभग समान मान लेते हैं।

यांत्रिक कंपन तब होते हैं, जब किसी पिंड को संतुलन स्थिति से हटाया जाता है, तो एक बल प्रकट होता है जो शरीर को वापस लौटाने की प्रवृत्ति रखता है।

विस्थापन x संतुलन स्थिति से शरीर का विचलन है।

आयाम ए शरीर के अधिकतम विस्थापन का मापांक है।

दोलन अवधि टी - एक दोलन का समय:

दोलन आवृत्ति

समय की प्रति इकाई किसी पिंड द्वारा किए गए दोलनों की संख्या: दोलनों के दौरान, गति और त्वरण समय-समय पर बदलते रहते हैं। संतुलन स्थिति में गति अधिकतम और त्वरण शून्य होता है। अधिकतम विस्थापन के बिंदुओं पर त्वरण अधिकतम तक पहुँच जाता है और गति शून्य हो जाती है।

हार्मोनिक कंपन अनुसूची

लयबद्धसाइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होने वाले कंपन कहलाते हैं:

जहां x(t) समय t पर सिस्टम का विस्थापन है, A आयाम है, ω दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है।

यदि आप ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ संतुलन स्थिति से शरीर के विचलन और क्षैतिज अक्ष के साथ समय की साजिश रचते हैं, तो आपको दोलन x = x(t) का एक ग्राफ मिलेगा - समय पर शरीर के विस्थापन की निर्भरता। मुक्त हार्मोनिक दोलनों के लिए, यह एक साइन तरंग या कोसाइन तरंग है। यह चित्र समय पर विस्थापन x की निर्भरता, वेग V x के प्रक्षेपण और त्वरण a x का ग्राफ दिखाता है।

जैसा कि ग्राफ़ से देखा जा सकता है, अधिकतम विस्थापन x पर, दोलन करने वाले शरीर की गति V शून्य है, त्वरण a, और इसलिए शरीर पर कार्य करने वाला बल, अधिकतम है और विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित है। संतुलन स्थिति में विस्थापन एवं त्वरण शून्य हो जाता है तथा गति अधिकतम होती है। त्वरण प्रक्षेपण में सदैव विस्थापन का विपरीत चिह्न होता है।

कंपन गति की ऊर्जा

एक दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है और घर्षण की अनुपस्थिति में स्थिर रहती है:

जिस समय विस्थापन अधिकतम x = A तक पहुंचता है, गति और उसके साथ गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

इस मामले में, कुल ऊर्जा संभावित ऊर्जा के बराबर है:

किसी दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसके दोलनों के आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।

जब सिस्टम संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो विस्थापन और संभावित ऊर्जा शून्य होती है: x = 0, E p = 0. इसलिए, कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर है:

किसी दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा संतुलन स्थिति में उसकी गति के वर्ग के समानुपाती होती है। इस तरह:

गणितीय पेंडुलम

1. गणित पेंडुलमभारहीन अवितानीय धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु है।

संतुलन स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल की भरपाई धागे के तनाव से होती है। यदि पेंडुलम विक्षेपित और मुक्त हो जाता है, तो बल एक-दूसरे की क्षतिपूर्ति करना बंद कर देंगे, और परिणामी बल संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होगा। न्यूटन का दूसरा नियम:

छोटे दोलनों के लिए, जब विस्थापन x, l से बहुत कम है, तो सामग्री बिंदु लगभग क्षैतिज x अक्ष के साथ घूमेगा। तब त्रिभुज MAB से हमें प्राप्त होता है:

क्योंकि पाप ए = एक्स/एल, तो x अक्ष पर परिणामी बल R का प्रक्षेपण बराबर है

ऋण चिन्ह दर्शाता है कि बल R हमेशा विस्थापन x के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

2. तो, एक गणितीय पेंडुलम के दोलन के दौरान, साथ ही एक स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन के दौरान, पुनर्स्थापन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

आइए गणितीय और स्प्रिंग पेंडुलम की पुनर्स्थापन शक्ति के लिए अभिव्यक्तियों की तुलना करें:

यह देखा जा सकता है कि mg/l k का एक एनालॉग है। स्प्रिंग पेंडुलम की अवधि के सूत्र में k को mg/l से प्रतिस्थापित करना

हमें गणितीय पेंडुलम की अवधि के लिए सूत्र प्राप्त होता है:

गणितीय लोलक के छोटे दोलनों की अवधि आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

गणितीय पेंडुलम का उपयोग समय को मापने और पृथ्वी की सतह पर किसी दिए गए स्थान पर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

विक्षेपण के छोटे कोणों पर गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन हार्मोनिक होते हैं। वे गुरुत्वाकर्षण के परिणामी बल और धागे के तनाव बल के साथ-साथ भार की जड़ता के कारण घटित होते हैं। इन बलों का परिणाम पुनर्स्थापना बल है।

उदाहरण।उस ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण निर्धारित करें जहां 6.25 मीटर लंबे पेंडुलम की मुक्त दोलन अवधि 3.14 सेकेंड है।

गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि धागे की लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है:

समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

उत्तर:गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 25 m/s 2 है।

"विषय 4. "यांत्रिकी" विषय पर समस्याएं और परीक्षण। दोलन और लहरें।"

• अनुप्रस्थ एवं अनुदैर्ध्य तरंगें। वेवलेंथ

  पाठ: 3 कार्य: 9 परीक्षण: 1

• ध्वनि तरंगें। ध्वनि की गति - यांत्रिक कंपन और तरंगें। ध्वनि 9वीं कक्षा

हमने कई शारीरिक रूप से पूरी तरह से अलग प्रणालियों की जांच की, और सुनिश्चित किया कि गति के समीकरण एक ही रूप में कम हो जाएं

भौतिक प्रणालियों के बीच अंतर केवल मात्रा की विभिन्न परिभाषाओं में दिखाई देते हैं और चर की विभिन्न भौतिक इंद्रियों में एक्स: यह एक निर्देशांक, कोण, आवेश, धारा आदि हो सकता है। ध्यान दें कि इस मामले में, समीकरण (1.18) की संरचना के अनुसार, मात्रा में हमेशा व्युत्क्रम समय का आयाम होता है।

समीकरण (1.18) तथाकथित का वर्णन करता है हार्मोनिक कंपन.

हार्मोनिक कंपन समीकरण (1.18) एक दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण है (क्योंकि इसमें चर का दूसरा व्युत्पन्न शामिल है) एक्स). समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि

यदि कोई कार्य करता है एक्स(टी)इस समीकरण का एक समाधान है, फिर फ़ंक्शन सीएक्स(टी)उसका समाधान भी होगा ( सी- मनमाना स्थिरांक);

यदि कार्य करता है एक्स 1 (टी)और एक्स 2(टी)इस समीकरण के समाधान हैं, तो उनका योग एक्स 1 (टी) + एक्स 2 (टी)भी उसी समीकरण का हल होगा.

एक गणितीय प्रमेय भी सिद्ध हो चुका है, जिसके अनुसार दूसरे क्रम के समीकरण के दो स्वतंत्र समाधान होते हैं। अन्य सभी समाधान, रैखिकता के गुणों के अनुसार, उनके रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं। प्रत्यक्ष विभेदन द्वारा यह सत्यापित करना आसान है कि स्वतंत्र कार्य करता है और समीकरण (1.18) को संतुष्ट करता है। इसका मतलब यह है कि इस समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है:

कहाँ सी 1,सी 2- मनमाना स्थिरांक. इस समाधान को दूसरे रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है. मान दर्ज करें

और संबंधों द्वारा कोण निर्धारित करें:

फिर सामान्य समाधान (1.19) इस प्रकार लिखा जाता है

त्रिकोणमिति सूत्रों के अनुसार कोष्ठक में व्यंजक बराबर होता है

हम अंततः आ गए हार्मोनिक कंपन समीकरण का सामान्य समाधानजैसा:

गैर-नकारात्मक मान एबुलाया कंपन आयाम, - दोलन का प्रारंभिक चरण. संपूर्ण कोसाइन तर्क - संयोजन - कहा जाता है दोलन चरण.

अभिव्यक्ति (1.19) और (1.23) पूरी तरह से समकक्ष हैं, इसलिए हम सरलता के आधार पर उनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं। दोनों समाधान समय के आवधिक कार्य हैं। दरअसल, साइन और कोसाइन एक आवर्त के साथ आवर्त हैं . इसलिए, हार्मोनिक दोलन करने वाली प्रणाली की विभिन्न अवस्थाएँ एक समयावधि के बाद दोहराई जाती हैं टी*, जिसके दौरान दोलन चरण को एक वृद्धि प्राप्त होती है जो कि एक गुणक है :

यह इस प्रकार है कि

इनमें से कम से कम बार

बुलाया दोलन की अवधि (चित्र 1.8), और - उसका गोलाकार (चक्रीय) आवृत्ति.

चावल। 1.8.

वे भी प्रयोग करते हैं आवृत्ति उतार चढ़ाव

तदनुसार, वृत्ताकार आवृत्ति प्रति दोलनों की संख्या के बराबर है सेकंड

तो, अगर सिस्टम समय पर टीचर के मूल्य द्वारा विशेषता एक्स(टी),तो समय की अवधि के बाद चर का वही मान होगा (चित्र 1.9), अर्थात

वही अर्थ स्वाभाविक रूप से समय के साथ दोहराया जाएगा 2टी, ZTवगैरह।

चावल। 1.9. दोलन काल

सामान्य समाधान में दो मनमाने स्थिरांक शामिल हैं ( सी 1, सी 2या ए, ए), जिसका मान दो द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए आरंभिक स्थितियां. आमतौर पर (हालांकि जरूरी नहीं) उनकी भूमिका चर के प्रारंभिक मूल्यों द्वारा निभाई जाती है एक्स(0)और इसका व्युत्पन्न.

चलिए एक उदाहरण देते हैं. मान लीजिए कि हार्मोनिक दोलनों के समीकरण का समाधान (1.19) एक स्प्रिंग पेंडुलम की गति का वर्णन करता है। मनमाना स्थिरांक का मान इस बात पर निर्भर करता है कि हमने लोलक को किस प्रकार संतुलन से बाहर लाया। उदाहरण के लिए, हमने स्प्रिंग को कुछ दूरी तक खींच लिया और प्रारंभिक गति के बिना ही गेंद को छोड़ दिया। इस मामले में

स्थानापन्न टी = 0(1.19) में, हम स्थिरांक का मान पाते हैं सी 2

समाधान इस प्रकार दिखता है:

हम समय के सापेक्ष विभेदन द्वारा भार की गति ज्ञात करते हैं

यहाँ प्रतिस्थापित कर रहा हूँ टी = 0, अचर ज्ञात कीजिए सी 1:

अंत में

(1.23) से तुलना करने पर हम पाते हैं कि दोलनों का आयाम है, और इसका प्रारंभिक चरण शून्य है:।

आइए अब पेंडुलम को दूसरे तरीके से असंतुलित करें। आइए भार पर प्रहार करें ताकि वह प्रारंभिक गति प्राप्त कर ले, लेकिन प्रभाव के दौरान व्यावहारिक रूप से हिलता नहीं है। फिर हमारे पास अन्य प्रारंभिक शर्तें हैं:

हमारा समाधान दिखता है

भार की गति नियम के अनुसार बदलेगी:

आइए यहां स्थानापन्न करें:

किसी भी समय-समय पर दोहराई जाने वाली गति को दोलन कहा जाता है। इसलिए, दोलन के दौरान समय पर किसी पिंड के निर्देशांक और गति की निर्भरता को समय के आवधिक कार्यों द्वारा वर्णित किया जाता है। स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम में, कंपन पर विचार किया जाता है जिसमें शरीर की निर्भरता और वेग त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं , या उसका संयोजन, जहां एक निश्चित संख्या है। ऐसे दोलनों को हार्मोनिक (फ़ंक्शन) कहा जाता है और अक्सर हार्मोनिक फ़ंक्शंस कहा जाता है)। भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्यक्रम में शामिल दोलनों पर समस्याओं को हल करने के लिए, आपको दोलन गति की मुख्य विशेषताओं की परिभाषाओं को जानना होगा: आयाम, अवधि, आवृत्ति, परिपत्र (या चक्रीय) आवृत्ति और दोलनों का चरण। आइए हम ये परिभाषाएँ दें और सूचीबद्ध मात्राओं को समय पर शरीर के निर्देशांक की निर्भरता के मापदंडों से जोड़ें, जिसे हार्मोनिक दोलनों के मामले में हमेशा रूप में दर्शाया जा सकता है

कहाँ, और कुछ संख्याएँ हैं।

दोलनों का आयाम किसी दोलनशील पिंड का उसकी संतुलन स्थिति से अधिकतम विचलन है। चूँकि (11.1) में कोसाइन का अधिकतम और न्यूनतम मान ±1 के बराबर है, दोलन करने वाले पिंड के दोलनों का आयाम (11.1) बराबर है। दोलन की अवधि वह न्यूनतम समय है जिसके बाद किसी पिंड की गति दोहराई जाती है। निर्भरता (11.1) के लिए, अवधि निम्नलिखित विचारों से निर्धारित की जा सकती है। कोसाइन आवर्त के साथ एक आवर्ती फलन है। इसलिए, आंदोलन पूरी तरह से ऐसे मूल्य के माध्यम से दोहराया जाता है। यहीं से हमें मिलता है

दोलनों की गोलाकार (या चक्रीय) आवृत्ति समय की प्रति इकाई किए गए दोलनों की संख्या है। सूत्र (11.3) से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वृत्ताकार आवृत्ति सूत्र (11.1) की मात्रा है।

दोलन चरण एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क है जो समय पर समन्वय की निर्भरता का वर्णन करता है। सूत्र (11.1) से हम देखते हैं कि शरीर के दोलनों का चरण, जिसकी गति निर्भरता (11.1) द्वारा वर्णित है, के बराबर है . समय पर दोलन चरण का मान = 0 प्रारंभिक चरण कहलाता है। निर्भरता (11.1) के लिए, दोलनों का प्रारंभिक चरण बराबर है। जाहिर है, दोलनों का प्रारंभिक चरण समय संदर्भ बिंदु (पल = 0) की पसंद पर निर्भर करता है, जो हमेशा सशर्त होता है। समय की उत्पत्ति को बदलकर, दोलनों के प्रारंभिक चरण को हमेशा शून्य के बराबर "बनाया" जा सकता है, और सूत्र (11.1) में साइन को कोसाइन में "बदला" जा सकता है या इसके विपरीत।

एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्यक्रम में स्प्रिंग और गणितीय पेंडुलम के दोलनों की आवृत्ति के सूत्रों का ज्ञान भी शामिल है। स्प्रिंग पेंडुलम को आमतौर पर एक पिंड कहा जाता है जो स्प्रिंग की कार्रवाई के तहत एक चिकनी क्षैतिज सतह पर दोलन कर सकता है, जिसका दूसरा सिरा स्थिर होता है (बाएं चित्र)। एक गणितीय पेंडुलम एक विशाल पिंड है, जिसके आयामों की उपेक्षा की जा सकती है, जो एक लंबे, भारहीन और अविभाज्य धागे (सही आकृति) पर दोलन करता है। इस प्रणाली का नाम, "गणितीय पेंडुलम" इस तथ्य के कारण है कि यह एक अमूर्त का प्रतिनिधित्व करता है गणितीयवास्तविक का मॉडल ( भौतिक) पेंडुलम. स्प्रिंग और गणितीय पेंडुलम के दोलनों की अवधि (या आवृत्ति) के सूत्रों को याद रखना आवश्यक है। स्प्रिंग पेंडुलम के लिए

धागे की लंबाई कहां है, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है। आइए समस्या समाधान के उदाहरण का उपयोग करके इन परिभाषाओं और कानूनों के अनुप्रयोग पर विचार करें।

भार के दोलनों की चक्रीय आवृत्ति ज्ञात करना कार्य 11.1.1आइए पहले दोलन की अवधि ज्ञात करें, और फिर सूत्र (11.2) का उपयोग करें। चूँकि 10 मीटर 28 सेकंड 628 सेकंड है, और इस दौरान भार 100 बार दोलन करता है, भार के दोलन की अवधि 6.28 सेकंड है। इसलिए, दोलनों की चक्रीय आवृत्ति 1 s -1 है (उत्तर)। 2 ). में समस्या 11.1.2भार ने 600 सेकंड में 60 दोलन किए, इसलिए दोलन आवृत्ति 0.1 सेकंड -1 है (उत्तर) 1 ).

यह समझने के लिए कि भार 2.5 अवधियों में कितनी दूरी तय करेगा ( समस्या 11.1.3), आइए उनके आंदोलन का अनुसरण करें। एक अवधि के बाद, भार पूर्ण दोलन पूरा करते हुए, अधिकतम विक्षेपण के बिंदु पर वापस लौट आएगा। इसलिए, इस समय के दौरान, भार चार आयामों के बराबर दूरी तय करेगा: संतुलन स्थिति तक - एक आयाम, संतुलन स्थिति से दूसरी दिशा में अधिकतम विचलन के बिंदु तक - दूसरा, संतुलन स्थिति पर वापस - तीसरा, संतुलन स्थिति से प्रारंभिक बिंदु तक - चौथा। दूसरी अवधि के दौरान, भार फिर से चार आयामों से होकर गुजरेगा, और अवधि के शेष आधे हिस्से के दौरान - दो आयामों से होकर गुजरेगा। इसलिए, तय की गई दूरी दस आयामों के बराबर है (उत्तर)। 4 ).

शरीर की गति की मात्रा प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक की दूरी है। 2.5 से अधिक अवधियों में कार्य 11.1.4शरीर के पास दो पूर्ण और आधे पूर्ण दोलनों को पूरा करने का समय होगा, अर्थात। अधिकतम विचलन पर होगा, लेकिन संतुलन स्थिति के दूसरी तरफ होगा। इसलिए, विस्थापन का परिमाण दो आयामों के बराबर है (उत्तर)। 3 ).

परिभाषा के अनुसार, दोलन का चरण एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क है जो समय पर एक दोलनशील पिंड के निर्देशांक की निर्भरता का वर्णन करता है। इसलिए सही उत्तर है समस्या 11.1.5 - 3 .

आवर्त पूर्ण दोलन का समय है। इसका मतलब यह है कि किसी पिंड का उसी बिंदु पर वापस लौटना जहां से उसने चलना शुरू किया था, इसका मतलब यह नहीं है कि एक अवधि बीत गई है: शरीर को उसी बिंदु पर उसी गति से वापस लौटना होगा। उदाहरण के लिए, एक शरीर, जिसने एक संतुलन स्थिति से दोलन शुरू किया है, उसके पास एक दिशा में अधिकतम मात्रा में विचलन करने, वापस लौटने, दूसरी दिशा में अधिकतम मात्रा में विचलन करने और फिर से वापस लौटने का समय होगा। इसलिए, इस अवधि के दौरान शरीर के पास दो बार संतुलन स्थिति से अधिकतम मात्रा में विचलन करने और वापस लौटने का समय होगा। नतीजतन, संतुलन स्थिति से अधिकतम विचलन के बिंदु तक का मार्ग ( समस्या 11.1.6) शरीर एक चौथाई अवधि व्यतीत करता है (उत्तर)। 3 ).

हार्मोनिक दोलन वे होते हैं जिनमें समय पर दोलनशील पिंड के निर्देशांक की निर्भरता को समय के त्रिकोणमितीय (साइन या कोसाइन) फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है। में कार्य 11.1.7ये फ़ंक्शन हैं और, इस तथ्य के बावजूद कि उनमें शामिल पैरामीटर 2 और 2 के रूप में निर्दिष्ट हैं। फलन समय के वर्ग का एक त्रिकोणमितीय फलन है। इसलिए, केवल मात्राओं के कंपन हार्मोनिक होते हैं (उत्तर)। 4 ).

हार्मोनिक कंपन के दौरान शरीर की गति नियम के अनुसार बदलती रहती है , गति दोलनों का आयाम कहां है (समय संदर्भ बिंदु चुना गया है ताकि दोलनों का प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हो)। यहां से हमें समय पर शरीर की गतिज ऊर्जा की निर्भरता का पता चलता है
(समस्या 11.1.8). सुप्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र का आगे उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी पिंड की गतिज ऊर्जा हार्मोनिक दोलनों के दौरान भी हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलती है, लेकिन दोगुनी आवृत्ति के साथ (उत्तर) 2 ).

भार की गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध के पीछे ( समस्या 11.1.9) निम्नलिखित विचारों से अनुसरण करना आसान है। जब शरीर को संतुलन स्थिति से अधिकतम मात्रा में विक्षेपित किया जाता है, तो शरीर की गति शून्य होती है, और इसलिए, स्प्रिंग की संभावित ऊर्जा भार की गतिज ऊर्जा से अधिक होती है। इसके विपरीत, जब पिंड संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है, और इसलिए गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा से अधिक होती है। इसलिए, संतुलन स्थिति के पारित होने और अधिकतम विक्षेपण के बीच, गतिज और स्थितिज ऊर्जा की तुलना एक बार की जाती है। और चूंकि एक अवधि के दौरान शरीर संतुलन स्थिति से अधिकतम विक्षेपण या पीछे की ओर चार बार गुजरता है, तो अवधि के दौरान भार की गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग की संभावित ऊर्जा की एक दूसरे से चार बार तुलना की जाती है (उत्तर) 2 ).

गति में उतार-चढ़ाव का आयाम ( कार्य 11.1.10) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके इसे खोजना सबसे आसान है। अधिकतम विक्षेपण के बिंदु पर, दोलन प्रणाली की ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है , जहां स्प्रिंग कठोरता गुणांक है, कंपन आयाम है। संतुलन स्थिति से गुजरते समय शरीर की ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर होती है , जहां शरीर का द्रव्यमान है, संतुलन स्थिति से गुजरते समय शरीर की गति है, जो दोलन प्रक्रिया के दौरान शरीर की अधिकतम गति है और इसलिए, गति दोलन के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है। इन ऊर्जाओं की बराबरी करने पर, हम पाते हैं

(उत्तर 4 ).

सूत्र (11.5) से हम निष्कर्ष निकालते हैं ( समस्या 11.2.2), कि इसकी अवधि गणितीय पेंडुलम के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है, और लंबाई में 4 गुना वृद्धि के साथ, दोलन की अवधि 2 गुना बढ़ जाती है (उत्तर) 1 ).

घड़ी एक दोलन प्रक्रिया है जिसका उपयोग समय के अंतराल को मापने के लिए किया जाता है ( समस्या 11.2.3). शब्द "घड़ी जल्दी में है" का अर्थ है कि इस प्रक्रिया की अवधि जितनी होनी चाहिए उससे कम है। अतः इन घड़ियों की प्रगति को स्पष्ट करने के लिए प्रक्रिया की अवधि को बढ़ाना आवश्यक है। सूत्र (11.5) के अनुसार गणितीय लोलक के दोलन काल को बढ़ाने के लिए उसकी लंबाई बढ़ाना आवश्यक है (उत्तर) 3 ).

में दोलनों का आयाम ज्ञात करना समस्या 11.2.4, एकल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के रूप में समय पर शरीर के निर्देशांक की निर्भरता का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है। शर्त में दिए गए फ़ंक्शन के लिए, यह एक अतिरिक्त कोण पेश करके किया जा सकता है। इस फ़ंक्शन को गुणा और भाग करना और त्रिकोणमितीय फलनों को जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं

कोण ऐसा कहां है . इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि शरीर के दोलनों का आयाम है (उत्तर 4 ).