समानांतरपिंड गुण और सूत्र। समांतर चतुर्भुज और घन

इस पाठ में, हर कोई "आयताकार बॉक्स" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि एक मनमाना और सीधे समानांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत चेहरों और समानांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद करें। फिर हम विचार करेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मुख्य गुणों पर चर्चा करेंगे।

विषय: रेखाओं और विमानों की लंबवतता

पाठ: घनाभ

दो समान समांतर चतुर्भुज एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 और चार समांतर चतुर्भुज एबीबी 1 ए 1, बीसीसी 1 बी 1, सीडीडी 1 सी 1, डीएए 1 डी 1 से बना एक सतह कहलाता है। समानांतर खात(चित्र एक)।

चावल। 1 समानांतरपिंड

अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि भुजाएँ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुजों से बनी सतह को कहा जाता है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समानांतर चतुर्भुज की सतह समानांतर चतुर्भुज बनाने वाले सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है।

1. समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।

(आंकड़े बराबर हैं, यानी उन्हें ओवरले द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समांतर चतुर्भुज),

एए 1 बी 1 बी \u003d डीडी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 बी 1 बी और डीडी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं),

एए 1 डी 1 डी \u003d बीबी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 डी 1 डी और बीबी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं)।

2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

समानांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

3. समांतर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चौगुने होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, एसएस 1, डीडी 1.

परिभाषा। एक समानांतर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।

मान लीजिए कि भुजा AA 1 आधार से लंबवत है (चित्र 3)। इसका अर्थ है कि रेखा AA 1 रेखा AD और AB के लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित है। और, इसलिए, आयत पार्श्व फलकों में स्थित हैं। और आधार मनमानी समांतर चतुर्भुज हैं। निरूपित करें, BAD = , कोण कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 राइट बॉक्स

तो, एक दायां बॉक्स एक बॉक्स होता है जिसमें किनारे के किनारे बॉक्स के आधार पर लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं।

समांतर चतुर्भुज 1 В 1 С 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4) यदि:

1. AA 1 ABCD (पार्श्व किनारा आधार के तल पर लंबवत है, अर्थात एक सीधा समानांतर चतुर्भुज)।

2. ZBAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 घनाभ

एक आयताकार बॉक्स में एक मनमाना बॉक्स के सभी गुण होते हैं।लेकिन अतिरिक्त गुण हैं जो एक घनाभ की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, घनाभएक समानांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। घनाभ का आधार एक आयत है.

1. एक घनाभ में, सभी छह फलक आयताकार होते हैं।

एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 परिभाषा के अनुसार आयत हैं।

2. पार्श्व पसलियां आधार के लंबवत होती हैं. इसका अर्थ है कि घनाभ के सभी पार्श्व फलक आयताकार होते हैं।

3. घनाभ के सभी विकर्ण कोण समकोण होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक किनारे AB के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, यानी, एबीबी 1 और एबीसी के विमानों के बीच का डायहेड्रल कोण।

एबी एक किनारा है, बिंदु ए 1 एक विमान में स्थित है - विमान एबीबी 1 में और दूसरे में बिंदु डी - विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में है। तब माना गया द्विफलक कोण इस प्रकार भी निरूपित किया जा सकता है: 1 D।

बिंदु A को किनारे AB पर लें। एए 1 विमान एबीबी-1 में किनारे एबी के लंबवत है, एडी विमान एबीसी में किनारे एबी के लंबवत है। अत: A 1 AD दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। A 1 AD \u003d 90 °, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90 ° है।

(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = A 1 ABD= A 1 AD = 90°।

इसी प्रकार यह भी सिद्ध होता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण समकोण होता है।

एक घनाभ के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

ध्यान दें। घनाभ के एक ही शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई घनाभ की माप है। उन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

साबित:।

चावल। 5 घनाभ

प्रमाण:

रेखा CC 1 समतल ABC पर लंबवत है, और इसलिए रेखा AC पर। अतः त्रिभुज CC 1 A एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। तो बीसी = एडी। फिर:

इसलिये , लेकिन , फिर। चूँकि CC 1 = AA 1, तो क्या साबित करना आवश्यक था।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए हम समांतर चतुर्भुज एबीसी के आयामों को ए, बी, सी (आकृति 6 देखें) के रूप में नामित करें, फिर एसी 1 = सीए 1 = बी 1 डी = डीबी 1 =

पाठ मकसद:

1. शैक्षिक:

एक समानांतर चतुर्भुज और उसके प्रकारों की अवधारणा का परिचय दें;
- तैयार करें (एक समांतर चतुर्भुज और एक आयत के साथ सादृश्य का उपयोग करके) और एक समानांतर चतुर्भुज और एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के गुणों को साबित करें;
- अंतरिक्ष में समांतरता और लंबवतता से संबंधित प्रश्नों को दोहराएं।

2. विकासशील:

छात्रों में धारणा, समझ, सोच, ध्यान, स्मृति जैसी संज्ञानात्मक प्रक्रियाओं के विकास को जारी रखना;
- छात्रों में सोच के गुणों (अंतर्ज्ञान, स्थानिक सोच) के रूप में रचनात्मक गतिविधि के तत्वों के विकास को बढ़ावा देना;
- छात्रों में सादृश्य सहित निष्कर्ष निकालने की क्षमता का निर्माण करना, जो ज्यामिति में अंतर-विषय कनेक्शन को समझने में मदद करता है।

3. शैक्षिक:

संगठन की शिक्षा में योगदान, व्यवस्थित कार्य की आदत;
- अभिलेखों की तैयारी, चित्र के निष्पादन में सौंदर्य कौशल के गठन को बढ़ावा देना।

पाठ का प्रकार: पाठ-शिक्षण नई सामग्री (2 घंटे)।

पाठ संरचना:

1. संगठनात्मक क्षण।
2. ज्ञान की प्राप्ति।
3. नई सामग्री सीखना।
4. होमवर्क को सारांशित करना और सेट करना।

उपकरण: साक्ष्य के साथ पोस्टर (स्लाइड), विभिन्न ज्यामितीय निकायों के मॉडल, जिसमें सभी प्रकार के समानांतर चतुर्भुज, एक ग्राफ प्रोजेक्टर शामिल हैं।

कक्षाओं के दौरान।

1. संगठनात्मक क्षण।

2. ज्ञान की प्राप्ति।

पाठ के विषय की रिपोर्ट करना, छात्रों के साथ मिलकर लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करना, विषय का अध्ययन करने का व्यावहारिक महत्व दिखाना, इस विषय से संबंधित पहले से अध्ययन किए गए मुद्दों को दोहराना।

3. नई सामग्री सीखना।

3.1. पैरेलेपिपेड और इसके प्रकार।

समानांतर चतुर्भुज के मॉडल को उनकी विशेषताओं की पहचान के साथ प्रदर्शित किया जाता है जो प्रिज्म की अवधारणा का उपयोग करके समानांतर चतुर्भुज की परिभाषा तैयार करने में मदद करते हैं।

परिभाषा:

समानांतर खातएक प्रिज्म जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज होता है, कहलाता है।

एक समानांतर चतुर्भुज खींचा गया है (चित्र 1), समानांतर चतुर्भुज के तत्वों को एक प्रिज्म के विशेष मामले के रूप में सूचीबद्ध किया गया है। स्लाइड 1 दिखाया गया है।

परिभाषा का योजनाबद्ध संकेतन:

निष्कर्ष परिभाषा से तैयार किए गए हैं:

1) यदि ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 एक प्रिज्म है और ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 है समानांतर खात.

2) यदि एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 – समानांतर खात, तो ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 एक प्रिज्म है और ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

3) यदि ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 प्रिज्म नहीं है या ABCD समांतर चतुर्भुज नहीं है, तो
एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - नहीं समानांतर खात.

4)। यदि एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 नहीं है समानांतर खात, तो ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 एक प्रिज्म नहीं है या ABCD एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।

अगला, एक समानांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों को एक वर्गीकरण योजना के निर्माण के साथ माना जाता है (चित्र 3 देखें), मॉडल प्रदर्शित किए जाते हैं और एक सीधे और आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विशिष्ट गुणों को प्रतिष्ठित किया जाता है, उनकी परिभाषाएं तैयार की जाती हैं।

परिभाषा:

समानांतर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके किनारे आधार के लंबवत हों।

परिभाषा:

समांतर चतुर्भुज कहा जाता है आयताकार, यदि इसके किनारे आधार के लंबवत हैं, और आधार एक आयत है (चित्र 2 देखें)।

परिभाषाओं को योजनाबद्ध रूप में लिखने के बाद उनसे निष्कर्ष तैयार किए जाते हैं।

3.2. समानांतर चतुर्भुज के गुण।

प्लैनिमेट्रिक आकृतियों की खोज करें, जिनमें से स्थानिक एनालॉग एक समानांतर चतुर्भुज और एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (समांतर चतुर्भुज और आयत) हैं। इस मामले में, हम आंकड़ों की दृश्य समानता के साथ काम कर रहे हैं। सादृश्य द्वारा अनुमान नियम का उपयोग करते हुए, तालिकाओं को भर दिया जाता है।

सादृश्य द्वारा अनुमान नियम:

1. पहले अध्ययन की गई आकृतियों में से इस आकृति से मिलती-जुलती आकृति चुनें।
2. चयनित आकृति का एक गुणधर्म निरूपित करें।
3. मूल आकृति का एक समान गुणधर्म बनाइए।
4. तैयार किए गए कथन को सिद्ध या खंडन करें।

गुणों के निर्माण के बाद, उनमें से प्रत्येक का प्रमाण निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जाता है:

• सबूत योजना की चर्चा;
• प्रूफ स्लाइड प्रदर्शन (स्लाइड 2-6);
• छात्रों द्वारा नोटबुक में साक्ष्य का पंजीकरण।

3.3 घन और उसके गुण।

परिभाषा: एक घन एक घनाभ होता है जिसकी तीनों विमाएँ समान होती हैं।

समानांतर चतुर्भुज के अनुरूप, छात्र स्वतंत्र रूप से परिभाषा का एक योजनाबद्ध रिकॉर्ड बनाते हैं, इसके परिणाम प्राप्त करते हैं, और घन के गुणों को तैयार करते हैं।

4. होमवर्क को सारांशित करना और सेट करना।

होम वर्क:

1. कक्षा 10-11 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तक के अनुसार पाठ की रूपरेखा का उपयोग करते हुए, एल.एस. अतानासियन और अन्य, अध्याय 1, 4, पृष्ठ 13, अध्याय 2, 3, पृष्ठ 24 का अध्ययन करें।
2. तालिका के आइटम 2 समानांतर चतुर्भुज की संपत्ति को साबित या अस्वीकृत करें।
3. सुरक्षा प्रश्नों का उत्तर दें।

परीक्षण प्रश्न।

1. यह ज्ञात है कि समांतर चतुर्भुज के केवल दो पार्श्व फलक आधार के लंबवत होते हैं। किस प्रकार का समानांतर चतुर्भुज?

2. एक समांतर चतुर्भुज के आयताकार आकार के कितने पार्श्व फलक हो सकते हैं?

3. क्या केवल एक तरफ के चेहरे के साथ समानांतर चतुर्भुज होना संभव है:

1) आधार के लंबवत;
2) एक आयत का आकार है।

4. एक समांतर चतुर्भुज में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं। क्या यह आयताकार है?

5. क्या यह सच है कि एक समांतर चतुर्भुज में विकर्ण खंड आधार के तलों के लंबवत होते हैं?

6. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के वर्ग पर प्रमेय के विलोम रूप में एक प्रमेय बनाइए।

7. कौन-सी अतिरिक्त विशेषताएँ घन को घनाभ से अलग करती हैं?

8. क्या एक घन एक समांतर चतुर्भुज होगा जिसके एक शीर्ष पर सभी किनारे बराबर होंगे?

9. एक घन के मामले के लिए एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के वर्ग पर एक प्रमेय तैयार करें।

या (समान रूप से) छह चेहरों वाला एक पॉलीहेड्रॉन और उनमें से प्रत्येक - समानांतर चतुर्भुज.

बॉक्स के प्रकार

समानांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं:

• घनाभ एक घनाभ है जिसके फलक सभी आयत हैं।
• एक समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें 4 पार्श्व फलक होते हैं जो आयत होते हैं।
• एक तिरछा बॉक्स एक ऐसा बॉक्स होता है जिसके पार्श्व फलक आधारों के लंबवत नहीं होते हैं।

आवश्यक तत्व

समानांतर चतुर्भुज के दो चेहरे जिनमें एक आम किनारा नहीं होता है उन्हें विपरीत कहा जाता है, और जिनके पास एक आम किनारा होता है उन्हें आसन्न कहा जाता है। समानांतर चतुर्भुज के दो शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं, विपरीत कहलाते हैं। सम्मुख शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड को समांतर चतुर्भुज का विकर्ण कहा जाता है। एक घनाभ के तीन किनारों की लंबाई जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है, इसकी विमाएँ कहलाती हैं।

गुण

• समानांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य बिंदु के बारे में सममित है।
• समानांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित और इसके विकर्ण के बीच से गुजरने वाले किसी भी खंड को इसके द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।
• समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।
• एक घनाभ के विकर्ण की लंबाई का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

मूल सूत्र

दायां समांतर चतुर्भुज

पार्श्व सतह क्षेत्रएस बी \u003d आर ओ * एच, जहां आर ओ आधार की परिधि है, एच ऊंचाई है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी \u003d एस बी + 2 एस ओ, जहां एस ओ आधार का क्षेत्र है

आयतनवी = एस ओ * एच

घनाभ

पार्श्व सतह क्षेत्र S b \u003d 2c (a + b), जहां a, b आधार की भुजाएँ हैं, c आयताकार समांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी \u003d 2 (एबी + बीसी + एसी)

आयतन V=abc, जहाँ a, b, c घनाभ की विमाएँ हैं।

घनक्षेत्र

सतह क्षेत्रफल: $एस=6ए^2$
आयतन: $वी=ए^3$, कहाँ पे $ए$- घन का किनारा।

मनमाना बॉक्स

एक तिरछा बॉक्स में आयतन और अनुपात को अक्सर वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले समानांतर चतुर्भुज के तीन पक्षों द्वारा परिभाषित तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद के निरपेक्ष मान के बराबर होता है। समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोणों के बीच का अनुपात यह कथन देता है कि इन तीन वैक्टरों का ग्राम निर्धारक उनके मिश्रित उत्पाद के वर्ग के बराबर है: 215।

गणितीय विश्लेषण में

गणितीय विश्लेषण में, एक n-आयामी आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तहत $बी$कई बिंदु समझें $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$दयालु $बी\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Parallelepiped . की विशेषता वाला एक अंश

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार समांतर चतुर्भुज है। इस मामले में, सभी किनारे होंगे समानांतर चतुर्भुज.
प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज को तीन अलग-अलग तरीकों से प्रिज्म के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक दो विपरीत चेहरों को आधार के रूप में लिया जा सकता है (चित्र 5 में, ABCD और A "B" C "D", या ABA "B" और CDC "D की ओर मुख किए हुए हैं" ", या बीसी "सी" और एडीए "डी")।
विचाराधीन शरीर में बारह किनारे हैं, चार समान और एक दूसरे के समानांतर।
प्रमेय 3 . समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, उनमें से प्रत्येक के मध्य बिंदु के साथ मेल खाते हैं।
समानांतर चतुर्भुज ABCDA"B"C"D" (चित्र 5) में चार विकर्ण AC", BD", CA", DB" हैं। हमें यह साबित करना होगा कि उनमें से किन्हीं दो के मध्यबिंदु, उदाहरण के लिए, AC और BD, संपाती हैं। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि आकृति ABC "D", जिसकी समान और समानांतर भुजाएँ AB और C "D" हैं, एक समांतर चतुर्भुज है। .
परिभाषा 7 . एक समांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है जो एक सीधा प्रिज्म भी है, यानी एक समानांतर चतुर्भुज जिसके किनारे के किनारे आधार तल के लंबवत हैं।
परिभाषा 8 . एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसका आधार एक आयत है। इस स्थिति में, इसके सभी फलक आयत होंगे।
एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक सही प्रिज्म है, चाहे हम इसके किसी भी चेहरे को आधार के रूप में लें, क्योंकि इसका प्रत्येक किनारा इसके साथ एक ही शीर्ष से निकलने वाले किनारों के लंबवत है, और इसलिए, विमानों के लंबवत होगा इन किनारों द्वारा परिभाषित चेहरे। इसके विपरीत, एक सीधा, लेकिन आयताकार नहीं, बॉक्स को केवल एक ही तरह से एक सही प्रिज्म के रूप में देखा जा सकता है।
परिभाषा 9 . एक घनाभ के तीन किनारों की लंबाई, जिनमें से कोई भी दो एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं (उदाहरण के लिए, एक ही शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारे), इसके आयाम कहलाते हैं। दो आयताकार समानांतर चतुर्भुज जिनके समान आयाम हैं, स्पष्ट रूप से एक दूसरे के बराबर हैं।
परिभाषा 10 एक घन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, जिसके तीनों आयाम एक दूसरे के बराबर हैं, ताकि इसके सभी फलक वर्ग हों। दो घन जिनके किनारे बराबर हैं बराबर हैं।
परिभाषा 11 . एक झुका हुआ समानांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे समान होते हैं और सभी चेहरों के कोण समान या पूरक होते हैं, एक समचतुर्भुज कहलाता है।
समचतुर्भुज के सभी फलक समान समचतुर्भुज होते हैं। (एक rhombohedron का आकार बहुत महत्व के कुछ क्रिस्टल में पाया जाता है, जैसे कि आइसलैंड स्पर के क्रिस्टल।) एक rhombohedron में एक ऐसा शीर्ष (और यहां तक ​​​​कि दो विपरीत कोने) मिल सकता है कि इसके आस-पास के सभी कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। .
प्रमेय 4 . एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं। विकर्ण का वर्ग तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज ABCDA "B" C "D" (चित्र 6) में, विकर्ण AC "और BD" बराबर हैं, क्योंकि चतुर्भुज ABC "D" एक आयत है (रेखा AB समतल BC "C" के लंबवत है। , जिसमें BC ") है।
इसके अलावा, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 कर्ण वर्ग प्रमेय पर आधारित है। लेकिन उसी प्रमेय AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 पर आधारित है; इसलिए हमारे पास है:
एसी "2 \u003d एबी 2 + एए" 2 + ए "डी" 2 \u003d एबी 2 + एए "2 + एडी 2.

ज्यामिति में, प्रमुख अवधारणाएँ समतल, बिंदु, रेखा और कोण हैं। इन शब्दों का प्रयोग करके किसी भी ज्यामितीय आकृति का वर्णन किया जा सकता है। पॉलीहेड्रा को आमतौर पर सरल आकृतियों के रूप में वर्णित किया जाता है जो एक ही विमान में स्थित होते हैं, जैसे कि एक वृत्त, त्रिकोण, वर्ग, आयत, आदि। इस लेख में, हम विचार करेंगे कि एक समानांतर चतुर्भुज क्या है, समानांतर चतुर्भुज के प्रकारों का वर्णन करें, इसके गुण, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं, और प्रत्येक प्रकार के समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र और आयतन की गणना के लिए बुनियादी सूत्र भी देंगे।

परिभाषा

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है, जिसके सभी पक्ष समांतर चतुर्भुज हैं। तदनुसार, इसमें समांतर चतुर्भुजों के केवल तीन जोड़े या छह फलक हो सकते हैं।

बॉक्स की कल्पना करने के लिए, एक नियमित मानक ईंट की कल्पना करें। एक ईंट घनाभ का एक अच्छा उदाहरण है जिसकी कल्पना एक बच्चा भी कर सकता है। अन्य उदाहरण बहु-मंजिला पूर्वनिर्मित घर, अलमारियाँ, उचित आकार के खाद्य भंडारण कंटेनर आदि हैं।

आकृति की किस्में

केवल दो प्रकार के समानांतर चतुर्भुज हैं:

1. आयताकार, जिसके सभी पार्श्व फलक आधार से 90 o के कोण पर हैं और आयत हैं।
2. झुका हुआ, जिसके किनारे के चेहरे आधार के एक निश्चित कोण पर स्थित हैं।

इस आकृति को किन तत्वों में विभाजित किया जा सकता है?

• किसी भी अन्य ज्यामितीय आकृति की तरह, एक समानांतर चतुर्भुज में, एक समान किनारे वाले किन्हीं 2 चेहरों को आसन्न कहा जाता है, और जिनके पास यह नहीं है उन्हें समानांतर कहा जाता है (एक समानांतर चतुर्भुज की संपत्ति के आधार पर जिसमें जोड़ीदार समानांतर विपरीत पक्ष होते हैं)।
• समान्तर चतुर्भुज के वे शीर्ष जो एक ही फलक पर नहीं होते हैं, विपरीत शीर्ष कहलाते हैं।
• ऐसे शीर्षों को जोड़ने वाला खंड एक विकर्ण है।
• एक घनाभ के तीन किनारों की लंबाई जो एक शीर्ष पर जुड़ती है, इसके आयाम (अर्थात्, इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) हैं।

आकार गुण

1. यह हमेशा विकर्ण के मध्य के संबंध में सममित रूप से बनाया गया है।
2. सभी विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण को दो बराबर खंडों में विभाजित करता है।
3. विपरीत फलक लंबाई में बराबर होते हैं और समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं।
4. यदि आप बॉक्स के सभी आयामों के वर्गों को जोड़ते हैं, तो परिणामी मान विकर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होगा।

गणना सूत्र

समानांतर चतुर्भुज के प्रत्येक विशेष मामले के सूत्र अलग-अलग होंगे।

एक मनमाना समानांतर चतुर्भुज के लिए, यह दावा सही है कि इसका आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले तीन पक्षों के वैक्टर के ट्रिपल स्केलर उत्पाद के निरपेक्ष मूल्य के बराबर है। हालांकि, एक मनमानी समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना के लिए कोई सूत्र नहीं है।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:

• वी = ए * बी * सी;
• एसबी = 2 * सी * (ए + बी);
• एसपी=2*(ए*बी+बी*सी+ए*सी)।

• V आकृति का आयतन है;
• एसबी - साइड सतह क्षेत्र;
• सपा - कुल सतह क्षेत्र;
• ए - लंबाई;
• बी - चौड़ाई;
• सी - ऊंचाई।

एक समानांतर चतुर्भुज का एक और विशेष मामला जिसमें सभी पक्ष वर्ग हैं, एक घन है। यदि वर्ग की किसी भी भुजा को अक्षर a से निरूपित किया जाता है, तो इस आकृति के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है:

• एस=6*ए*2;
• वी = 3 * ए।

• S आकृति का क्षेत्रफल है,
• V आकृति का आयतन है,
• ए - आकृति के चेहरे की लंबाई।

अंतिम प्रकार की समानांतर चतुर्भुज जिस पर हम विचार कर रहे हैं वह एक सीधी समानांतर चतुर्भुज है। आप पूछें कि घनाभ और घनाभ में क्या अंतर है। तथ्य यह है कि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आधार कोई भी समांतर चतुर्भुज हो सकता है, और एक सीधी रेखा का आधार केवल एक आयत हो सकता है। यदि हम आधार की परिधि को सभी पक्षों की लंबाई के योग के बराबर पो के रूप में नामित करते हैं, और ऊंचाई को एच के रूप में नामित करते हैं, तो हमें पूर्ण और पार्श्व के आयतन और क्षेत्रों की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करने का अधिकार है। सतहें।