विभिन्न हरों के साथ दशमलव भिन्नों का योग। भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

अगली क्रिया जो साधारण भिन्नों के साथ की जा सकती है वह है घटाव। इस सामग्री में, हम देखेंगे कि समान और असमान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर की सही गणना कैसे करें, किसी प्राकृतिक संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं और इसके विपरीत। सभी उदाहरणों को समस्याओं के साथ चित्रित किया जाएगा। आइए पहले ही स्पष्ट कर दें कि हम केवल उन मामलों की जांच करेंगे जहां भिन्नों के अंतर के परिणामस्वरूप सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है।

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समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें

आइए तुरंत एक स्पष्ट उदाहरण से शुरुआत करें: मान लीजिए कि हमारे पास एक सेब है जिसे आठ भागों में विभाजित किया गया है। आइए प्लेट में पांच हिस्से छोड़ दें और उनमें से दो ले लें. इस क्रिया को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमारे पास 3 आठवां हिस्सा बचा है, क्योंकि 5 − 2 = 3। यह पता चला कि 5 8 - 2 8 = 3 8.

इस सरल उदाहरण से, हमने देखा कि घटाव नियम उन भिन्नों के लिए कैसे काम करता है जिनके हर समान हैं। आइए इसे तैयार करें.

परिभाषा 1

समान हर वाली भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको एक के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा। इस नियम को a b - c b = a - c b के रूप में लिखा जा सकता है।

हम भविष्य में इस फॉर्मूले का उपयोग करेंगे.

आइए विशिष्ट उदाहरण लें.

उदाहरण 1

भिन्न 24 15 में से उभयनिष्ठ भिन्न 17 15 घटाएँ।

समाधान

हम देखते हैं कि इन भिन्नों के हर समान हैं। तो हमें बस 24 में से 17 घटाना है। हमें 7 प्राप्त होता है और इसमें हर को जोड़ने पर हमें 7 15 प्राप्त होता है।

हमारी गणना इस प्रकार लिखी जा सकती है: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

यदि आवश्यक हो, तो गिनती को अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए आप एक जटिल भिन्न को छोटा कर सकते हैं या एक अनुचित भिन्न से एक संपूर्ण भाग का चयन कर सकते हैं।

उदाहरण 2

अंतर ज्ञात कीजिए 37 12 - 15 12.

समाधान

आइए ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करें और गणना करें: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

यह नोटिस करना आसान है कि अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है (हमने इस बारे में पहले ही बात की थी जब हमने विभाज्यता के संकेतों की जांच की थी)। उत्तर को संक्षिप्त करने पर हमें 11 6 प्राप्त होता है। यह एक अनुचित भिन्न है, जिसमें से हम पूरा भाग चुनेंगे: 11 6 = 1 5 6.

विभिन्न हर वाले भिन्नों का अंतर कैसे ज्ञात करें

इस गणितीय संक्रिया को उस स्तर तक घटाया जा सकता है जिसका वर्णन हम पहले ही ऊपर कर चुके हैं। ऐसा करने के लिए, हम बस आवश्यक भिन्नों को एक ही हर में घटा देते हैं। आइए एक परिभाषा बनाएं:

परिभाषा 2

अलग-अलग हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको उन्हें एक ही हर में घटाना होगा और अंशों के बीच अंतर ढूंढना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3

2 9 में से भिन्न 1 15 घटाएँ।

समाधान

हर अलग-अलग हैं, और आपको उन्हें सबसे छोटे सामान्य मान तक कम करने की आवश्यकता है। इस मामले में, एलसीएम 45 है। पहले अंश के लिए 5 के अतिरिक्त गुणनखंड की आवश्यकता होती है, और दूसरे के लिए - 3 की।

आइए गणना करें: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

हमारे पास समान हर वाले दो भिन्न हैं, और अब हम पहले वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग करके आसानी से उनका अंतर पा सकते हैं: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

समाधान का संक्षिप्त सारांश इस प्रकार दिखता है: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45।

यदि आवश्यक हो तो परिणाम को कम करने या उसके पूरे हिस्से को अलग करने की उपेक्षा न करें। इस उदाहरण में हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 4

अंतर ज्ञात कीजिये 19 9 - 7 36.

समाधान

आइए शर्त में दर्शाए गए भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर 36 तक कम करें और क्रमशः 76 9 और 7 36 प्राप्त करें।

हम उत्तर की गणना करते हैं: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

परिणाम को 3 से घटाकर 23 12 प्राप्त किया जा सकता है। अंश, हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि हम पूरे भाग का चयन कर सकते हैं। अंतिम उत्तर 1 11 12 है।

संपूर्ण समाधान का संक्षिप्त सारांश 19 9 - 7 36 = 1 11 12 है।

एक सामान्य भिन्न से एक प्राकृतिक संख्या कैसे घटाएं

इस क्रिया को साधारण भिन्नों के सरल घटाव तक भी आसानी से घटाया जा सकता है। यह किसी प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करके किया जा सकता है। चलिए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण 5

अंतर ज्ञात कीजिए 83 21 – 3।

समाधान

3, 3 1 के समान है। फिर आप इसकी गणना इस प्रकार कर सकते हैं: 83 21 - 3 = 20 21.

यदि स्थिति में किसी अनुचित भिन्न से पूर्णांक घटाने की आवश्यकता होती है, तो पहले पूर्णांक को मिश्रित संख्या के रूप में लिखकर अलग करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर पिछले उदाहरण को अलग तरीके से हल किया जा सकता है।

भिन्न 83 21 से पूर्ण भाग अलग करने पर परिणाम 83 21 = 3 20 21 आता है।

अब इसमें से 3 घटाएं: 3 20 21 - 3 = 20 21।

किसी प्राकृत संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं

यह क्रिया पिछले वाले की तरह ही की जाती है: हम प्राकृतिक संख्या को भिन्न के रूप में फिर से लिखते हैं, दोनों को एक ही हर में लाते हैं और अंतर पाते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 6

अंतर ज्ञात करें: 7 - 5 3।

समाधान

आइए 7 को एक भिन्न 7 1 बनाएं। हम घटाव करते हैं और पूरे भाग को अलग करते हुए अंतिम परिणाम को बदलते हैं: 7 - 5 3 = 5 1 3।

गणना करने का एक और तरीका है. इसके कुछ फायदे हैं जिनका उपयोग उन मामलों में किया जा सकता है जहां समस्या में भिन्नों के अंश और हर बड़ी संख्या में होते हैं।

परिभाषा 3

यदि जिस अंश को घटाया जाना है वह उचित है, तो जिस प्राकृतिक संख्या से हम घटा रहे हैं उसे दो संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, जिनमें से एक 1 के बराबर है। इसके बाद आपको वांछित भिन्न को एक से घटाकर उत्तर प्राप्त करना होगा।

उदाहरण 7

अंतर 1 065 - 13 62 की गणना करें।

समाधान

घटाई जाने वाली भिन्न एक उचित भिन्न है क्योंकि इसका अंश इसके हर से छोटा है। इसलिए, हमें 1065 में से एक घटाना होगा और उसमें से वांछित भिन्न घटाना होगा: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

अब हमें इसका उत्तर ढूंढना होगा. घटाव के गुणों का उपयोग करके, परिणामी अभिव्यक्ति को 1064 + 1 - 13 62 के रूप में लिखा जा सकता है। आइए कोष्ठक में अंतर की गणना करें। ऐसा करने के लिए, आइए इकाई को भिन्न 1 1 के रूप में कल्पना करें।

यह पता चला कि 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62।

आइए अब 1064 के बारे में याद रखें और उत्तर तैयार करें: 1064 49 62।

हम यह साबित करने के लिए पुरानी पद्धति का उपयोग करते हैं कि यह कम सुविधाजनक है। ये वे गणनाएँ हैं जिनके साथ हम आएंगे:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

उत्तर वही है, लेकिन गणनाएँ स्पष्ट रूप से अधिक बोझिल हैं।

हमने उस मामले को देखा जहां हमें एक उचित भिन्न को घटाने की आवश्यकता है। यदि यह गलत है, तो हम इसे मिश्रित संख्या से बदल देते हैं और परिचित नियमों के अनुसार घटा देते हैं।

उदाहरण 8

अंतर 644 - 73 5 की गणना करें।

समाधान

दूसरा अंश एक अनुचित भिन्न है, और पूरे भाग को इससे अलग किया जाना चाहिए।

अब हम पिछले उदाहरण की तरह ही गणना करते हैं: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

भिन्नों के साथ कार्य करते समय घटाने के गुण

प्राकृतिक संख्याओं को घटाने वाले गुण सामान्य भिन्नों को घटाने के मामलों पर भी लागू होते हैं। आइए देखें कि उदाहरणों को हल करते समय उनका उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 9

अंतर ज्ञात कीजिए 24 4 - 3 2 - 5 6.

समाधान

जब हम किसी संख्या से योग घटाने पर विचार करते हैं तो हम पहले ही इसी तरह के उदाहरण हल कर चुके हैं, इसलिए हम एक प्रसिद्ध एल्गोरिदम का पालन कर रहे हैं। सबसे पहले, आइए अंतर 25 4 - 3 2 की गणना करें, और फिर इसमें से अंतिम भिन्न घटाएँ:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

आइए उत्तर से संपूर्ण भाग को अलग करके उसे रूपांतरित करें। परिणाम - 3 11 12.

संपूर्ण समाधान का संक्षिप्त सारांश:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

यदि अभिव्यक्ति में अंश और प्राकृतिक संख्या दोनों शामिल हैं, तो गणना करते समय उन्हें प्रकार के आधार पर समूहित करने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 10

अंतर ज्ञात कीजिए 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

समाधान

घटाव और जोड़ के मूल गुणों को जानने के बाद, हम संख्याओं को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

आइए गणना पूरी करें: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

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इस पाठ में समान हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना शामिल होगा। हम पहले से ही जानते हैं कि समान हर वाली सामान्य भिन्नों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। यह पता चला है कि बीजगणितीय भिन्न समान नियमों का पालन करते हैं। समान हर वाली भिन्नों के साथ काम करना सीखना, बीजगणितीय भिन्नों के साथ काम करना सीखने की आधारशिलाओं में से एक है। विशेष रूप से, इस विषय को समझने से अधिक जटिल विषय पर महारत हासिल करना आसान हो जाएगा - विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना और घटाना। पाठ के भाग के रूप में, हम समान हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का अध्ययन करेंगे, और कई विशिष्ट उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे।

समान हर वाली बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने का नियम

स्फ़ोर-मु-ली-रु-एम प्रा-वि-लो स्लो-ज़े-निया (यू-ची-ता-निया) अल-गेब-रा-आई-चे-स्किह फ्रैक्शन्स फ्रॉम वन-ऑन-टू-यू -मी मुझे जानें-ना-ते-ला-मील (यह सामान्य शॉट-बीट्स के लिए समान नियम से मेल खाता है): यह एक-से-आप के साथ अल-गेब-रा-ए-चे-स्किह अंशों को जोड़ने या गणना करने के लिए है नो-मी-ऑन-द-ला-मी आवश्यक -हो-दी-मो-संख्याओं का एक संगत अल-गेब-रा-आई-चे-योग संकलित करें, और साइन-मी-ना-टेल बिना किसी के छोड़ दें।

हम इस नियम को साधारण वेन-ड्रॉ के उदाहरण और अल-गेब-रा-आई-चे-ड्रॉ हिट दोनों के लिए समझते हैं।

साधारण भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें: .

समाधान

आइए भिन्नों की संख्या जोड़ें, और चिह्न को वही छोड़ दें। इसके बाद, हम संख्या को विघटित करते हैं और सरल गुणन और संयोजन में हस्ताक्षर करते हैं। चलो इसे हासिल करते है: .

ध्यान दें: एक मानक त्रुटि जिसे समान प्रकार के उदाहरणों को हल करते समय अनुमति दी जाती है, निम्नलिखित संभावित समाधान में शामिल है: . यह एक बड़ी गलती है, क्योंकि चिह्न वही रहता है जो मूल भिन्नों में था।

उदाहरण 2. भिन्न जोड़ें: .

समाधान

यह किसी भी तरह से पिछले वाले से अलग नहीं है: .

बीजगणितीय भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

सामान्य ड्रो-बीट्स से, हम अल-गेब-रा-ए-चे-स्किम की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें: .

समाधान: जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, अल-गेब-रा-ए-चे-फ्रेक्शन की संरचना किसी भी तरह से सामान्य शॉट-फ़ाइट्स के समान शब्द से अलग नहीं है। इसलिए, समाधान विधि वही है: .

उदाहरण 4. आप भिन्न हैं: .

समाधान

अल-गेब-रा-ए-चे-स्किह अंशों के यू-ची-ता-नी को केवल इस तथ्य से जोड़ा जाता है कि संख्या pi-sy-va-et-sya में प्रयुक्त अंशों की संख्या में अंतर होता है। इसीलिए ।

उदाहरण 5. आप एक भिन्न हैं: .

समाधान: ।

उदाहरण 6. सरल करें: .

समाधान: ।

कमी के बाद नियम लागू करने के उदाहरण

जिस भिन्न में संयोजन या गणना के परिणाम में समान अर्थ होता है, वहां संयोजन संभव है। इसके अलावा, आपको अल-गेब-रा-आई-चे-स्किह अंशों के ओडीजेड के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

उदाहरण 7. सरल करें: .

समाधान: ।

एक ही समय पर। सामान्य तौर पर, यदि प्रारंभिक अंशों का ODZ कुल के ODZ के साथ मेल खाता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (आखिरकार, अंश उत्तर में हो रहा है, संबंधित महत्वपूर्ण परिवर्तनों के साथ भी मौजूद नहीं होगा)। लेकिन यदि प्रयुक्त भिन्नों का ODZ और उत्तर मेल नहीं खाता है, तो ODZ को इंगित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 8. सरल करें: .

समाधान: । उसी समय, y (प्रारंभिक अंशों का ODZ परिणाम के ODZ से मेल नहीं खाता)।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना

अल-गेब-रा-ए-चे-अंशों को अलग-अलग ज्ञात-ऑन-द-ला-मील के साथ जोड़ने और पढ़ने के लिए, हम साधारण-वेन-एनवाई अंशों के साथ एना-लो-गियू करते हैं और इसे अल-गेब में स्थानांतरित करते हैं -रा-ए-चे-अंश.

आइए साधारण भिन्नों के लिए सबसे सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

आइए भिन्नों को जोड़ने के नियम याद रखें। भिन्न से आरंभ करने के लिए उसे एक सामान्य चिह्न पर लाना आवश्यक है। आप साधारण भिन्नों के लिए सामान्य चिह्न की भूमिका में कार्य करते हैं न्यूनतम समापवर्तक(एनओके) प्रारंभिक संकेत।

परिभाषा

सबसे छोटी संख्या, जो एक ही समय में संख्याओं और में विभाजित हो जाती है।

एनओसी खोजने के लिए, आपको ज्ञान को सरल सेटों में विभाजित करना होगा, और फिर उन सभी चीज़ों का चयन करना होगा जो दोनों संकेतों के विभाजन में शामिल हैं।

; . फिर संख्याओं के एलसीएम में दो दो और दो तीन शामिल होने चाहिए:।

सामान्य ज्ञान प्राप्त करने के बाद, प्रत्येक अंश के लिए पूर्ण बहुलता निवासी को ढूंढना आवश्यक है (वास्तव में, सामान्य चिह्न को संबंधित अंश के चिह्न पर डालना)।

फिर प्रत्येक भिन्न को आधे-पूर्ण गुणनखंड से गुणा किया जाता है। आइए उनमें से कुछ भिन्न प्राप्त करें जिन्हें आप जानते हैं, उन्हें जोड़ें और पढ़ें - पिछले पाठों में पढ़ा गया।

चलो खाते हैं: .

उत्तर:.

आइए अब विभिन्न चिह्नों के साथ अल-गेब-रा-ए-चे-अंशों की संरचना को देखें। आइए अब भिन्नों को देखें और देखें कि क्या कोई संख्याएँ हैं।

विभिन्न हरों के साथ बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना

उदाहरण 2.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

पिछले उदाहरण के लिए निर्णय की अल-गो-लय अब-सो-ल्युट-लेकिन एना-लो-गि-चेन। दिए गए भिन्नों का सामान्य चिह्न लेना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त गुणक।

.

उत्तर:.

तो चलिए बनाते हैं विभिन्न चिह्नों के साथ अल-गेब-रा-आई-चे-स्किह अंशों के जोड़ और गणना की अल-गो-लय:

1. भिन्न का सबसे छोटा उभयनिष्ठ चिह्न ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक खोजें (वास्तव में, चिह्न का सामान्य चिह्न -वां अंश दिया गया है)।

3. संगत अप-टू-पूर्ण गुणन पर अप-टू-अनेक संख्याएँ।

4. लघु जोड़ के अधिकार का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या उनकी गणना करें और समान ज्ञान -मी-ना-ते-ला-मी के साथ भिन्नों की गणना करें।

आइए अब भिन्नों के साथ एक उदाहरण देखें, जिसके चिह्न में आप -निया अक्षर हैं।

क्या आपका बच्चा स्कूल से होमवर्क लेकर आया है और आप नहीं जानते कि इसे कैसे हल करें? तो फिर यह लघु पाठ आपके लिए है!

दशमलव कैसे जोड़ें

किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक है। दशमलव जोड़ने के लिए, आपको एक सरल नियम का पालन करना होगा:

• स्थान स्थान के नीचे होना चाहिए, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम होना चाहिए।

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, संपूर्ण इकाइयाँ एक दूसरे के नीचे स्थित हैं, दसवां और सौवां अंक एक दूसरे के नीचे स्थित हैं। अब हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्याओं को जोड़ते हैं। अल्पविराम का क्या करें? अल्पविराम को उस स्थान पर ले जाया जाता है जहां वह पूर्णांक श्रेणी में था।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना

एक सामान्य हर के साथ जोड़ करने के लिए, आपको हर को अपरिवर्तित रखना होगा, अंशों का योग ज्ञात करना होगा और एक भिन्न प्राप्त करना होगा जो कुल योग होगा।

उभयनिष्ठ गुणज विधि का उपयोग करके विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना

पहली चीज़ जिस पर आपको ध्यान देने की ज़रूरत है वह है हर। हर अलग-अलग होते हैं, चाहे एक दूसरे से विभाज्य हो, या चाहे वे अभाज्य संख्याएँ हों। सबसे पहले आपको इसे एक सामान्य विभाजक पर लाना होगा, ऐसा करने के कई तरीके हैं:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, इस उदाहरण को हल करने के लिए हमें वह लघुत्तम समापवर्तक (एलसीएम) खोजना होगा जो 2 हर से विभाज्य होगा। ए और बी के सबसे छोटे गुणज को दर्शाने के लिए - एलसीएम (ए;बी)। इस उदाहरण में LCM (3;4)=12. हम जाँच करते हैं: 12:3=4; 12:4=3.
• हम गुणनखंडों को गुणा करते हैं और परिणामी संख्याओं को जोड़ते हैं, हमें 13/12 मिलता है - एक अनुचित अंश।

• एक अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने के लिए, अंश को हर से विभाजित करने पर हमें पूर्णांक 1 प्राप्त होता है, शेष 1 अंश और 12 हर होता है।

क्रॉस-क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, "क्रॉस टू क्रॉस" सूत्र का उपयोग करने की एक और विधि है। यह हर को बराबर करने का एक गारंटीकृत तरीका है; ऐसा करने के लिए, आपको अंशों को एक भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इसके विपरीत। यदि आप अभी भिन्नों को सीखने के प्रारंभिक चरण में हैं, तो यह विधि विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ते समय सही परिणाम प्राप्त करने का सबसे सरल और सटीक तरीका है।

आठवीं कक्षा में स्कूल के विषय बीजगणित में अलग-अलग हर वाले भिन्नों को घटाने का अध्ययन मिलता है और यह कभी-कभी बच्चों के लिए समझने में कठिनाइयों का कारण बनता है। विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया जोड़ के समान है, क्योंकि यह संचालन के सिद्धांत को पूरी तरह से कॉपी करती है।

सबसे पहले, हम सबसे छोटी संख्या की गणना करते हैं जो दोनों हर का गुणज है।

दूसरे, हम प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को एक निश्चित संख्या से गुणा करते हैं जो हमें हर को दिए गए न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने की अनुमति देगा।

तीसरा, घटाव प्रक्रिया स्वयं तब होती है, जब अंत में हर को दोहराया जाता है, और दूसरे अंश के अंश को पहले से घटा दिया जाता है।

उदाहरण: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 पूर्ण 1/6

पहले आपको उन्हें एक ही हर में लाना होगा, और फिर घटाना होगा। उदाहरण के लिए, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. या, अधिक कठिन, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15। क्या आपको यह समझाने की आवश्यकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे घटाया जाता है?

विभिन्न हरों के साथ साधारण भिन्नों को जोड़ने या घटाने जैसे ऑपरेशन करते समय, एक सरल नियम लागू होता है - इन भिन्नों के हरों को एक संख्या में घटा दिया जाता है, और ऑपरेशन स्वयं अंश में संख्याओं के साथ किया जाता है। अर्थात्, भिन्नों को एक सामान्य हर प्राप्त होता है और वे एक में संयोजित होते प्रतीत होते हैं। मनमाना भिन्नों के लिए एक सामान्य हर ढूँढना आम तौर पर प्रत्येक भिन्न को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करने तक ही सीमित होता है। लेकिन सरल मामलों में, आप तुरंत ऐसे कारक ढूंढ सकते हैं जो भिन्नों के हरों को एक ही संख्या में लाएंगे।

भिन्नों को घटाने का उदाहरण: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

कई वयस्क पहले ही भूल चुके हैं विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे घटाएं, लेकिन यह क्रिया प्रारंभिक गणित से संबंधित है।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना, आपको उन्हें एक उभयनिष्ठ हर में लाने की आवश्यकता है, अर्थात, हर का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें, फिर अंशों को लघुत्तम समापवर्तक और हर के अनुपात के बराबर अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

भिन्न चिह्न संरक्षित हैं. एक बार जब भिन्नों के हर समान हो जाएं, तो आप घटा सकते हैं, और फिर, यदि संभव हो, तो भिन्न को कम कर सकते हैं।

ऐलेना, क्या आपने अपना स्कूल गणित पाठ्यक्रम दोहराने का फैसला किया है?)))

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, पहले उन्हें एक ही हर में घटाना होगा और फिर घटाना होगा। सबसे सरल विकल्प: पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करें। हमें समान हर वाले दो भिन्न प्राप्त होते हैं। अब हम दूसरी भिन्न के अंश को पहली भिन्न के अंश से घटाते हैं, और उनका हर समान होता है।

उदाहरण के लिए, दो सातवें को घटाने पर तीन-पांचवां, दस पैंतीसवें को घटाने पर इक्कीस पैंतीसवें के बराबर होता है और यह ग्यारह पैंतीसवें के बराबर होता है।

यदि हर बड़ी संख्याएँ हैं, तो आप उनका लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात्। एक संख्या जो एक और दूसरे हर से विभाज्य होगी। और दोनों भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर (न्यूनतम समापवर्तक) में लाएँ

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को कैसे घटाया जाए यह एक बहुत ही सरल कार्य है - हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और फिर अंश में घटाव करते हैं।

जब इन भिन्नों के आगे पूर्णांक होते हैं तो कई लोगों को कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं निम्नलिखित उदाहरण के साथ यह दिखाना चाहता था कि इसे कैसे किया जाए:

पूर्ण भागों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को घटाना

पहले हम पूर्ण भागों को घटाते हैं 8-5 = 3 (तीन पहले अंश के पास रहते हैं);

हम भिन्नों को एक सामान्य हर 6 में लाते हैं (यदि पहले भिन्न का अंश दूसरे से बड़ा है, तो हम घटाव करते हैं और इसे पूरे भाग के आगे लिखते हैं, हमारे मामले में हम आगे बढ़ते हैं);

हम पूरे भाग 3 को 2 और 1 में विघटित करते हैं;

हम 1 को भिन्न 6/6 के रूप में लिखते हैं;

हम उभयनिष्ठ हर 6 के अंतर्गत 6/6+3/6-4/6 लिखते हैं और अंश में संक्रियाएँ करते हैं;

हम प्राप्त परिणाम को 2 5/6 लिखते हैं।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि भिन्नों का हर समान हो तो उन्हें घटा दिया जाता है। इसलिए, जब हमारे पास अलग-अलग हर वाले भिन्न होते हैं, तो उन्हें बस एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता होती है, जो करना मुश्किल नहीं है। हमें बस प्रत्येक भिन्न के अंश का गुणनखंड करना होगा और लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करनी होगी, जो शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। अंशों को परिणामी अतिरिक्त कारकों से गुणा करना न भूलें, लेकिन सुविधा के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:



यदि आप असमान हर वाली भिन्नों को घटाना चाहते हैं, तो आपको पहले दो भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर खोजना होगा। और फिर पहले भिन्न के अंश में से दूसरा घटा दें। एक नया अंश प्राप्त होता है, एक नये अर्थ के साथ।

जहां तक ​​मुझे तीसरी कक्षा के गणित पाठ्यक्रम से याद है, विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको पहले सामान्य हर की गणना करनी होगी और उसे कम करना होगा, और फिर अंशों को एक-दूसरे से घटाना होगा और हर वही रहेगा।

असमान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, हमें सबसे पहले उन भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर ज्ञात करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:



बड़ी संख्या 25 को छोटी संख्या 20 से विभाजित करें। यह विभाज्य नहीं है। इसका मतलब है कि हम हर 25 को ऐसी संख्या से गुणा करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप योग को 20 से विभाजित किया जा सकता है। यह संख्या 4 होगी। 25x4=100। 100:20=5. इस प्रकार हमें सबसे कम सामान्य भाजक - 100 मिला।

अब हमें प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करना होगा। ऐसा करने के लिए, नए हर को पुराने से विभाजित करें।

9 को 4 से गुणा करें = 36। 7 को 5 से गुणा करें = 35।

एक सामान्य हर होने पर, हम उदाहरण में दिखाए अनुसार घटाव करते हैं और परिणाम प्राप्त करते हैं।

एक बच्चे के लिए भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को समझना कठिन होता है। अधिकांश लोगों को इससे कठिनाई होती है। "पूर्ण संख्याओं के साथ भिन्नों को जोड़ना" विषय का अध्ययन करते समय, बच्चा स्तब्ध हो जाता है, और समस्या को हल करना मुश्किल हो जाता है। कई उदाहरणों में, कोई कार्य करने से पहले, गणनाओं की एक श्रृंखला निष्पादित की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्नों को परिवर्तित करें या अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

आइए इसे बच्चे को स्पष्ट रूप से समझाएं। आइए तीन सेब लें, जिनमें से दो पूरे होंगे, और तीसरे को 4 भागों में काट लें। कटे हुए सेब से एक टुकड़ा अलग करें और बाकी तीन को दो साबुत फलों के बगल में रखें। हमें एक तरफ सेब का ¼ हिस्सा और दूसरी तरफ 2 ¾ हिस्सा मिलता है। यदि हम उन्हें मिला दें तो हमें तीन सेब मिलते हैं। आइए 2 ¾ सेब को ¼ से कम करने का प्रयास करें, यानी एक और टुकड़ा हटा दें, हमें 2 2/4 सेब मिलते हैं।

आइए उन भिन्नों की संक्रियाओं पर करीब से नज़र डालें जिनमें पूर्णांक होते हैं:

सबसे पहले, आइए एक सामान्य हर वाले भिन्नात्मक व्यंजकों के लिए गणना नियम को याद रखें:

पहली नज़र में, सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन यह केवल उन अभिव्यक्तियों पर लागू होता है जिनमें रूपांतरण की आवश्यकता नहीं होती है।

किसी अभिव्यक्ति का मान कैसे ज्ञात करें जहां हर भिन्न हैं

कुछ कार्यों में आपको ऐसे व्यंजक का अर्थ ढूंढना होगा जहां हर भिन्न हों। आइए एक विशिष्ट मामले पर नजर डालें:
3 2/7+6 1/3

आइए दो भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करके इस अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

संख्या 7 और 3 के लिए, यह 21 है। हम पूर्णांक भागों को वही छोड़ देते हैं, और भिन्नात्मक भागों को 21 पर लाते हैं, इसके लिए हम पहले भिन्न को 3 से गुणा करते हैं, दूसरे को 7 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है:
6/21+7/21, यह न भूलें कि पूरे भागों को परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें समान हर वाले दो भिन्न मिलते हैं और उनके योग की गणना करते हैं:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
क्या होगा यदि जोड़ का परिणाम एक अनुचित भिन्न हो जिसमें पहले से ही एक पूर्णांक भाग हो:
2 1/3+3 2/3
इस मामले में, हम पूर्णांक भागों और भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं, हमें मिलता है:
5 3/3, जैसा कि आप जानते हैं, 3/3 एक है, जिसका अर्थ है 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

योग ज्ञात करना सब स्पष्ट है, आइए घटाव पर नजर डालें:

जो कुछ कहा गया है, उसमें मिश्रित संख्याओं के साथ संक्रियाओं का नियम इस प्रकार है:

• यदि आपको भिन्नात्मक अभिव्यक्ति से एक पूर्णांक घटाने की आवश्यकता है, तो आपको दूसरी संख्या को भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल पूर्णांक भागों पर कार्रवाई करने के लिए पर्याप्त है;

आइए स्वयं भावों के अर्थ की गणना करने का प्रयास करें:

आइए "एम" अक्षर के तहत उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

4 5/11-2 8/11, पहले भिन्न का अंश दूसरे से छोटा है। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश से एक पूर्णांक उधार लेते हैं, हमें मिलता है,
3 5/11+11/11=3 पूर्णांक 16/11, पहले भिन्न से दूसरा घटाएँ:
3 16/11-2 8/11=1 पूरा 8/11

• कार्य पूरा करते समय सावधान रहें, पूरे भाग को उजागर करते हुए अनुचित भिन्नों को मिश्रित भिन्नों में बदलना न भूलें। ऐसा करने के लिए, आपको अंश के मान को हर के मान से विभाजित करना होगा, फिर जो होता है वह पूरे भाग का स्थान ले लेता है, शेष भाग अंश होगा, उदाहरण के लिए:

19/4=4 ¾, आइए जाँच करें: 4*4+3=19, हर 4 अपरिवर्तित रहता है।

आइए संक्षेप में बताएं:

इससे पहले कि आप भिन्नों से संबंधित किसी कार्य को पूरा करना शुरू करें, आपको यह विश्लेषण करने की आवश्यकता है कि यह किस प्रकार की अभिव्यक्ति है, समाधान सही होने के लिए भिन्न पर क्या परिवर्तन करने की आवश्यकता है। अधिक तर्कसंगत समाधान खोजें. कठिन रास्ता मत अपनाओ. सभी कार्यों की योजना बनाएं, पहले उन्हें ड्राफ्ट के रूप में हल करें, फिर उन्हें अपनी स्कूल नोटबुक में स्थानांतरित करें।

भिन्नात्मक व्यंजकों को हल करते समय भ्रम से बचने के लिए, आपको संगति के नियम का पालन करना चाहिए। हर बात सावधानी से, बिना जल्दबाजी के तय करें।