Եռանկյունաչափական բանաձևերը հատուկ դեպքեր են: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

«Պարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ Integral առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. Ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու համար
Ծրագրային միջավայր «1C: Mathematical Constructor 6.1»

Այն, ինչ մենք կուսումնասիրենք.
1. Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման երկու հիմնական մեթոդ.
4. Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
5. Օրինակներ.

Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

Տղերք, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք արկսինը, արկկոզինը, արկտանգենսը և արկկոտանգենսը: Այժմ դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումները ընդհանրապես։

Եռանկյունաչափական հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։

Կրկնենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ձևը.

1)Եթե |a|≤ 1, ապա cos(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Եթե |a|≤ 1, ապա sin(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

3) Եթե |ա| > 1, ապա հավասարումը sin(x) = a և cos(x) = a լուծումներ չունեն 4) tg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arctg(a)+ πk.

5) ctg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arcctg(a)+ πk.

Բոլոր բանաձեւերի համար k-ն ամբողջ թիվ է

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն ձև՝ T(kx+m)=a, T-ն ինչ-որ եռանկյունաչափական ֆունկցիա է։

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) sin(3x)= √3/2

Լուծում:

Ա) Նշանակենք 3x=t, այնուհետև կվերագրենք մեր հավասարումը հետևյալ ձևով.

Այս հավասարման լուծումը կլինի՝ t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn:

Արժեքների աղյուսակից մենք ստանում ենք t=((-1)^n)×π/3+ πn:

Եկեք վերադառնանք մեր փոփոխականին՝ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ապա x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Պատասխան՝ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: (-1)^n – հանած մեկ n-ի հզորությանը:

Եռանկյունաչափական հավասարումների ավելի շատ օրինակներ:

Լուծում:

Ա) Այս անգամ եկեք անմիջապես անցնենք հավասարման արմատների հաշվարկին.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ապա x/5= πk => x=5πk

Պատասխան՝ x=5πk, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Բ) Գրում ենք այն ձևով՝ 3x- π/3=arctg(√3)+ πk: Մենք գիտենք, որ arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Պատասխան՝ x=2π/9 + πk/3, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ cos(4x)= √2/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա:

Լուծում:

Եկեք լուծենք մեր հավասարումը ընդհանուր ձևով՝ 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Հիմա տեսնենք, թե ինչ արմատներ են ընկնում մեր հատվածի վրա։ k At k=0, x= π/16, մենք գտնվում ենք տրված հատվածում։
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ով նորից խփում ենք։
k=2-ի համար x= π/16+ π=17π/16, բայց այստեղ մենք չխփեցինք, ինչը նշանակում է, որ մեծ k-ի համար մենք նույնպես ակնհայտորեն չենք հարվածի:

Պատասխան՝ x= π/16, x= 9π/16

Լուծման երկու հիմնական մեթոդ.

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Լուծում:
Մեր հավասարումը լուծելու համար կօգտագործենք նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը՝ նշելով t=tg(x):

Փոխարինման արդյունքում մենք ստանում ենք t 2 + 2t -1 = 0

Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատները՝ t=-1 և t=1/3

Այնուհետև tg(x)=-1 և tg(x)=1/3, մենք ստանում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը, եկեք գտնենք դրա արմատները:

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Պատասխան՝ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Հավասարման լուծման օրինակ

Լուծեք հավասարումներ՝ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Լուծում:

Օգտագործենք նույնականությունը՝ sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Մեր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ներկայացնենք t=cos(x) փոխարինումը. 2t 2 -3t - 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը արմատներն են՝ t=2 և t=-1/2

Այնուհետև cos(x)=2 և cos(x)=-1/2:

Որովհետեւ Կոսինուսը չի կարող վերցնել մեկից մեծ արժեքներ, այնուհետև cos(x)=2-ը արմատներ չունի:

cos(x)=-1/2 համար՝ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Պատասխան՝ x= ±2π/3 + 2πk

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Ձևի հավասարումներ

երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն բաժանեք cos(x) վրա. Դուք չեք կարող բաժանել կոսինուսի վրա, եթե այն հավասար է զրոյի, եկեք համոզվենք, որ դա այդպես չէ.
Թող cos(x)=0, ապա asin(x)+0=0 => sin(x)=0, բայց սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, մենք ստանում ենք հակասություն, այնպես որ կարող ենք ապահով բաժանել. զրոյով։

Լուծե՛ք հավասարումը.
Օրինակ՝ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Լուծում:

Եկեք հանենք ընդհանուր գործակիցը՝ cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Այնուհետև մենք պետք է լուծենք երկու հավասարումներ.

Cos(x)=0 և cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ժամը x= π/2 + πk;

Դիտարկենք cos(x)+sin(x)=0 հավասարումը: Բաժանենք մեր հավասարումը cos(x-ի):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Պատասխան՝ x= π/2 + πk և x= -π/4+πk

Ինչպե՞ս լուծել երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Տղաներ, միշտ հետևեք այս կանոններին:

1. Տեսեք, թե ինչի է հավասար a գործակիցը, եթե a=0, ապա մեր հավասարումը կստանա cos(x)(bsin(x)+ccos(x) ձևը, որի լուծման օրինակը նախորդ սլայդում է.

2. Եթե a≠0, ապա պետք է հավասարման երկու կողմերը բաժանել կոսինուսի քառակուսու վրա, կստանանք.

Փոխում ենք t=tg(x) փոփոխականը և ստանում հավասարումը.

Լուծեք օրինակ թիվ:3

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք կոսինուսի քառակուսու վրա.

Փոխում ենք t=tg(x) փոփոխականը՝ t 2 + 2 t - 3 = 0

Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատները՝ t=-3 և t=1

Այնուհետև՝ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Պատասխան՝ x=-arctg(3) + πk և x= π/4+ πk

Լուծել օրինակ թիվ 4

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Մենք կարող ենք լուծել այսպիսի հավասարումներ՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Պատասխան՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Լուծել օրինակ թիվ:5

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Ներկայացնենք tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 փոխարինումը

Մեր քառակուսի հավասարման լուծումը կլինի արմատները՝ t=-2 և t=1/2

Այնուհետև ստանում ենք tg(2x)=-2 և tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Պատասխան՝ x=-arctg(2)/2 + πk/2 և x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Խնդիրներ անկախ լուծման համար.

Ա) sin(7x)= 1/2 բ) cos(3x)= √3/2 գ) cos(-x) = -1 դ) tg(4x) = √3 դ) ctg(0.5x) = -1.7

2) Լուծե՛ք հավասարումները՝ sin(3x)= √3/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա [π/2; π].

3) Լուծե՛ք հավասարումը. մահճակալ 2 (x) + 2 մահճակալ (x) + 1 =0

4) Լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Լուծե՛ք հավասարումը 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Լուծե՛ք հավասարումը cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Կարող եք պատվիրել ձեր խնդրի մանրամասն լուծում!!!

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի («sin x, cos x, tan x» կամ «ctg x») նշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարությունը կոչվում է եռանկյունաչափական հավասարում, և դրանց բանաձևերն են, որոնք մենք կքննարկենք հետագա:

Ամենապարզ հավասարումներն են՝ «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», որտեղ «x»-ը գտնելու անկյունն է, «a»-ն ցանկացած թիվ է: Եկեք գրենք դրանցից յուրաքանչյուրի արմատային բանաձևերը:

1. «sin x=a» հավասարումը:

«|a|>1»-ի համար այն լուծումներ չունի:

Երբ `|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z»

2. «cos x=a» հավասարումը

«|a|>1»-ի համար - ինչպես սինուսի դեպքում, այն իրական թվերի մեջ լուծումներ չունի:

Երբ `|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z»:

Սինուսի և կոսինուսի հատուկ դեպքեր գրաֆիկներում:

3. «tg x=a» հավասարումը

«a»-ի ցանկացած արժեքի համար ունի անսահման թվով լուծումներ:

Արմատային բանաձև՝ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. «ctg x=a» հավասարումը

Նաև ունի անսահման թվով լուծումներ «a»-ի ցանկացած արժեքի համար:

Արմատային բանաձև՝ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Աղյուսակում տրված եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների բանաձևերը

Սինուսի համար.
Կոսինուսի համար.
Շոշափողի և կոտանգենսի համար.
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող հավասարումների լուծման բանաձևեր.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու փուլից.

• այն ամենապարզին փոխակերպելու օգնությամբ.
• լուծել վերևում գրված արմատային բանաձևերի և աղյուսակների միջոցով ստացված ամենապարզ հավասարումը:

Դիտարկենք լուծման հիմնական մեթոդները՝ օգտագործելով օրինակներ:

Հանրահաշվական մեթոդ.

Այս մեթոդը ներառում է փոփոխականի փոխարինում և այն հավասարության փոխարինում:

Օրինակ։ Լուծեք հավասարումը` `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

կատարել փոխարինում՝ «cos(x+\frac \pi 6)=y», ապա՝ «2y^2-3y+1=0»,

մենք գտնում ենք արմատները՝ `y_1=1, y_2=1/2`, որից հետևում են երկու դեպք.

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`:

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Պատասխան՝ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`:

Ֆակտորիզացիա.

Օրինակ։ Լուծե՛ք «sin x+cos x=1» հավասարումը:

Լուծում. Հավասարության բոլոր անդամները տեղափոխենք ձախ՝ «sin x+cos x-1=0»: Օգտագործելով , մենք վերափոխում և ֆակտորիզացնում ենք ձախ կողմը.

«sin x — 2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0»,

1. «sin x/2 =0», «x/2 =\pi n», «x_1=2\pi n»:
2. «cos x/2-sin x/2=0», «tg x/2=1», «x/2=arctg 1+ \pi n», «x/2=\pi/4+ \pi n»: , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`:

Պատասխան՝ «x_1=2\pi n», «x_2=\pi/2+ 2\pi n»:

Կրճատում միատարր հավասարման

Նախ, դուք պետք է կրճատեք այս եռանկյունաչափական հավասարումը երկու ձևերից մեկին.

«a sin x+b cos x=0» (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում) կամ «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում):

Այնուհետև երկու մասերը բաժանեք «cos x \ne 0»-ով` առաջին դեպքի համար, և «cos^2 x \ne 0»-ով` երկրորդի համար: Մենք ստանում ենք «tg x»-ի հավասարումներ՝ «a tg x+b=0» և «a tg^2 x + b tg x +c =0», որոնք պետք է լուծվեն հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը` «2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1»:

Լուծում. Եկեք աջ կողմը գրենք որպես `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=``sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Սա երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է, որի ձախ և աջ կողմերը բաժանում ենք «cos^2 x \ne 0»-ի, ստանում ենք.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`: Ներկայացնենք «tg x=t» փոխարինումը, որի արդյունքում ստացվում է «t^2 + t - 2=0»: Այս հավասարման արմատներն են՝ «t_1=-2» և «t_2=1»: Ապա.

1. «tg x=-2», «x_1=arctg (-2)+\pi n», «n \in Z»
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Անցում դեպի կես անկյուն

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը` «11 sin x - 2 cos x = 10»:

Լուծում. Եկեք կիրառենք կրկնակի անկյան բանաձևերը, որոնց արդյունքում ստացվում է` «22 sin (x/2) cos (x/2) -` «2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` «10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 տգ^2 x/2 — 11 տգ x/2 +6=0`

Կիրառելով վերը նկարագրված հանրահաշվական մեթոդը՝ մենք ստանում ենք.

1. «tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n», «n \in Z»,
2. «tg x/2=3/4», «x_2=arctg 3/4+2\pi n», «n \in Z»:

Պատասխանել. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`:

Օժանդակ անկյունի ներդրում

«a sin x + b cos x =c» եռանկյունաչափական հավասարման մեջ, որտեղ a,b,c գործակիցներն են, իսկ x-ը փոփոխական է, երկու կողմերը բաժանեք «sqrt (a^2+b^2)»-ի.

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +բ^2))՚։

Ձախ կողմի գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այսինքն՝ դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է 1-ի, իսկ մոդուլները 1-ից մեծ չեն: Նշենք դրանք հետևյալ կերպ. «\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, ապա.

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`:

Եկեք մանրամասն նայենք հետևյալ օրինակին.

Օրինակ։ Լուծե՛ք «3 sin x+4 cos x=2» հավասարումը։

Լուծում. Հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք «sqrt (3^2+4^2)»-ի վրա, ստանում ենք.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))»:

«3/5 մեղք x+4/5 cos x=2/5»:

Նշանակենք `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`: Քանի որ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ապա որպես օժանդակ անկյուն վերցնում ենք `\varphi=arcsin 4/5`: Այնուհետև մենք գրում ենք մեր հավասարությունը ձևով.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Կիրառելով սինուսի անկյունների գումարի բանաձևը, մենք գրում ենք մեր հավասարությունը հետևյալ ձևով.

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Կոտորակի ռացիոնալ եռանկյունաչափական հավասարումներ

Սրանք հավասարություններ են այն կոտորակների հետ, որոնց համարիչները և հայտարարները պարունակում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`:

Լուծում. Հավասարության աջ կողմը բազմապատկեք և բաժանեք «(1+cos x)»-ով: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Հաշվի առնելով, որ հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի, մենք ստանում ենք `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`:

Կոտորակի համարիչը հավասարեցնենք զրոյի՝ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`: Այնուհետև՝ «sin x=0» կամ «1-sin x=0»:

1. «sin x=0», «x=\pi n», «n \in Z»:
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`:

Հաշվի առնելով, որ «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z», լուծումներն են՝ «x=2\pi n, n \in Z» և «x=\pi /2+2\pi n»: , `n \in Z`.

Պատասխանել. «x=2\pi n», «n \in Z», «x=\pi /2+2\pi n», «n \in Z»:

Եռանկյունաչափությունը և հատկապես եռանկյունաչափական հավասարումները կիրառվում են երկրաչափության, ֆիզիկայի և ճարտարագիտության գրեթե բոլոր ոլորտներում։ Ուսումը սկսվում է 10-րդ դասարանից, Միասնական պետական ​​քննության համար միշտ առաջադրանքներ կան, այնպես որ փորձեք հիշել եռանկյունաչափական հավասարումների բոլոր բանաձևերը. դրանք անպայման օգտակար կլինեն ձեզ համար:

Այնուամենայնիվ, դուք նույնիսկ կարիք չունեք դրանք անգիր անել, գլխավորն այն է, որ հասկանաք էությունը և կարողանաք ելնել այն: Դա այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է: Կհամոզվեք ինքներդ՝ դիտելով տեսանյութը։

Պահանջում է եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի իմացություն՝ սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը, սինուսի և կոսինուսի միջոցով շոշափողի արտահայտությունը և այլն: Նրանց, ովքեր մոռացել են դրանք կամ չգիտեն, խորհուրդ ենք տալիս կարդալ հոդվածը «»:
Այսպիսով, մենք գիտենք հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, ժամանակն է դրանք գործնականում օգտագործել: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումճիշտ մոտեցմամբ, դա բավականին հետաքրքիր գործունեություն է, ինչպես, օրինակ, Ռուբիկի խորանարդը լուծելը:

Ելնելով հենց անվանումից՝ պարզ է դառնում, որ եռանկյունաչափական հավասարումը հավասարում է, որում անհայտը գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Կան այսպես կոչված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունեն դրանք՝ sinx = a, cos x = a, tan x = a: Եկեք դիտարկենք ինչպես լուծել նման եռանկյունաչափական հավասարումներ, պարզության համար կօգտագործենք արդեն ծանոթ եռանկյունաչափական շրջանագիծը։

sinx = ա

cos x = a

tan x = a

մահճակալ x = ա

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում լուծվում է երկու փուլով՝ հավասարումը հասցնում ենք ամենապարզ ձևին, այնուհետև լուծում ենք որպես պարզ եռանկյունաչափական հավասարում։
Գոյություն ունեն 7 հիմնական մեթոդ, որոնցով լուծվում են եռանկյունաչափական հավասարումները։

1. Փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ

Լուծե՛ք 2cos 2 հավասարումը (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը, մենք ստանում ենք.

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Փոխարինեք cos(x + /6) y-ով, որպեսզի պարզեցնեք և ստացեք սովորական քառակուսի հավասարումը.

2տ 2 – 3տ + 1 + 0

Որի արմատներն են y 1 = 1, y 2 = 1/2

Հիմա գնանք հակառակ հերթականությամբ

Մենք փոխարինում ենք y-ի գտած արժեքները և ստանում պատասխանի երկու տարբերակ.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում ֆակտորիզացիայի միջոցով

Ինչպե՞ս լուծել sin x + cos x = 1 հավասարումը:

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում.

sin x + cos x – 1 = 0

Եկեք օգտագործենք վերը քննարկված նույնականությունները՝ հավասարումը պարզեցնելու համար.

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Եկեք ֆակտորիզացնենք.

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2 sin (x/2) * = 0

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ

3. Կրճատում միատարր հավասարման

Հավասարումը միատարր է սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ, եթե նրա բոլոր անդամները հարաբերական են նույն անկյան նույն ուժի սինուսին և կոսինուսին: Միատարր հավասարումը լուծելու համար գործեք հետևյալ կերպ.

ա) տեղափոխել իր բոլոր անդամները ձախ կողմում.

բ) փակագծերից հանել բոլոր ընդհանուր գործոնները.

գ) բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել 0-ի.

դ) փակագծերում ստացվում է ավելի ցածր աստիճանի միատարր հավասարում, որն իր հերթին բաժանվում է ավելի բարձր աստիճանի սինուսի կամ կոսինուսի.

ե) լուծել tg-ի ստացված հավասարումը.

Լուծե՛ք 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 հավասարումը

Եկեք օգտագործենք sin 2 x + cos 2 x = 1 բանաձևը և ազատվենք աջ կողմում գտնվող բաց երկուսից.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

մեղք 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Բաժանել cos x-ով.

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x-ը փոխարինեք y-ով և ստացեք քառակուսային հավասարում.

y 2 + 4y +3 = 0, որի արմատներն են y 1 =1, y 2 = 3

Այստեղից մենք գտնում ենք սկզբնական հավասարման երկու լուծում.

x 2 = արկտան 3 + k

4. Կես անկյան անցման միջոցով հավասարումների լուծում

Լուծե՛ք 3sin x – 5cos x = 7 հավասարումը

Անցնենք x/2-ին.

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ.

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Բաժանել cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Օժանդակ անկյունի ներդրում

Դիտարկելու համար վերցնենք ձևի հավասարումը. a sin x + b cos x = c,

որտեղ a, b, c որոշ կամայական գործակիցներ են, իսկ x-ը անհայտ է:

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք հետևյալի.



Այժմ հավասարման գործակիցները, ըստ եռանկյունաչափական բանաձևերի, ունեն sin և cos հատկությունները, այն է՝ դրանց մոդուլը 1-ից ոչ ավելի է, իսկ քառակուսիների գումարը = 1։ Եկեք դրանք նշանակենք համապատասխանաբար որպես cos և sin, որտեղ սա է. այսպես կոչված օժանդակ անկյունը: Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

cos * sin x + sin * cos x = C

կամ sin(x + ) = C

Այս ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումն է

x = (-1) k * arcsin C - + k, որտեղ



Հարկ է նշել, որ cos և sin նշումները փոխարինելի են։

Լուծե՛ք sin 3x – cos 3x = 1 հավասարումը

Այս հավասարման գործակիցներն են.

a = , b = -1, այնպես որ երկու կողմերը բաժանեք = 2-ի

Շատերը լուծելիս մաթեմատիկական խնդիրներ, հատկապես նրանք, որոնք տեղի են ունենում մինչև 10-րդ դասարանը, հստակ սահմանված է կատարված գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք կհանգեցնեն նպատակին: Նման խնդիրները ներառում են, օրինակ, գծային և քառակուսային հավասարումներ, գծային և քառակուսի անհավասարումներ, կոտորակային հավասարումներ և հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի: Նշված խնդիրներից յուրաքանչյուրը հաջողությամբ լուծելու սկզբունքը հետևյալն է՝ դուք պետք է սահմանեք, թե ինչ տեսակի խնդիր եք լուծում, հիշեք գործողությունների անհրաժեշտ հաջորդականությունը, որը կհանգեցնի ցանկալի արդյունքի, այսինքն. պատասխանեք և հետևեք այս քայլերին.

Ակնհայտ է, որ որոշակի խնդրի լուծման հաջողությունը կամ ձախողումը հիմնականում կախված է նրանից, թե որքան ճիշտ է որոշվում լուծվող հավասարման տեսակը, որքան ճիշտ է վերարտադրվում դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, այս դեպքում անհրաժեշտ է ունենալ նույնական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու հմտություններ։

Իրավիճակն այլ է եռանկյունաչափական հավասարումներ.Բոլորովին դժվար չէ հաստատել այն փաստը, որ հավասարումը եռանկյունաչափական է։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս, որոնք կհանգեցնեն ճիշտ պատասխանին:

Երբեմն դժվար է որոշել դրա տեսակը՝ հիմնվելով հավասարման տեսքի վրա: Եվ առանց հավասարման տեսակը իմանալու՝ մի քանի տասնյակ եռանկյունաչափական բանաձեւերից ճիշտը ընտրելը գրեթե անհնար է։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար հարկավոր է փորձել.

1. Հավասարման մեջ ներառված բոլոր գործառույթները բերեք «նույն անկյուններին».
2. հավասարումը բերել «նույնական ֆունկցիաների».
3. գործակից հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Եկեք դիտարկենք Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

I. Կրճատում դեպի ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները

Լուծման դիագրամ

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիան արտահայտել հայտնի բաղադրիչներով:

Քայլ 2.Գտեք ֆունկցիայի փաստարկը՝ օգտագործելով բանաձևերը.

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

մեղք x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Քայլ 3.Գտեք անհայտ փոփոխականը:

Օրինակ։

2 cos(3x – π/4) = -√2:

Լուծում.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Պատասխան՝ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Փոփոխական փոխարինում

Լուծման դիագրամ

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ հավասարումը դարձրեք հանրահաշվական:

Քայլ 2.Ստացված ֆունկցիան նշեք t փոփոխականով (անհրաժեշտության դեպքում սահմանափակումներ մտցրեք t-ի վրա):

Քայլ 3.Դուրս գրի՛ր և լուծի՛ր ստացված հանրահաշվական հավասարումը։

Քայլ 4.Կատարեք հակադարձ փոխարինում:

Քայլ 5.Լուծե՛ք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Օրինակ։

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0:

Լուծում.

1) 2(1 – մեղք 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0:

2) Թող մեղք (x/2) = t, որտեղ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 կամ e = -3/2, չի բավարարում պայմանը |t| ≤ 1.

4) մեղք (x/2) = 1:

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = π + 4πn, n Є Z.

III. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդ

Լուծման դիագրամ

Քայլ 1.Փոխարինեք այս հավասարումը գծայինով, օգտագործելով աստիճանի նվազեցման բանաձևը.

մեղք 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x):

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք I և II մեթոդներով:

Օրինակ։

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Լուծում.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Միատարր հավասարումներ

Լուծման դիագրամ

Քայլ 1.Կրճատել այս հավասարումը ձևի

ա) a sin x + b cos x = 0 (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում)

կամ դեպի տեսարան

բ) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում):

Քայլ 2.Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

ա) cos x ≠ 0;

բ) cos 2 x ≠ 0;

և ստացիր tan x-ի հավասարումը.

ա) tan x + b = 0;

բ) a tan 2 x + b arctan x + c = 0:

Քայլ 3.Լուծե՛ք հավասարումը հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ։

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0:

Լուծում.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0:

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0:

3) Թող tg x = t, ապա

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 կամ t = -4, ինչը նշանակում է

tg x = 1 կամ tg x = -4:

Առաջին հավասարումից x = π/4 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով հավասարման փոխակերպման մեթոդ

Լուծման դիագրամ

Քայլ 1.Օգտագործելով բոլոր հնարավոր եռանկյունաչափական բանաձևերը, այս հավասարումը վերածեք I, II, III, IV մեթոդներով լուծված հավասարման:

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ։

մեղք x + մեղք 2x + մեղք 3x = 0:

Լուծում.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) մեղք 2x (2cos x + 1) = 0;

մեղք 2x = 0 կամ 2cos x + 1 = 0;

Առաջին հավասարումից 2x = π/2 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից cos x = -1/2.

Մենք ունենք x = π/4 + πn/2, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Արդյունքում, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու ունակությունն ու հմտությունը շատ է կարևոր է, որ դրանց զարգացումը զգալի ջանքեր է պահանջում ինչպես աշակերտի, այնպես էլ ուսուցչի կողմից:

Ստերեոմետրիայի, ֆիզիկայի և այլնի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարևոր տեղ են գրավում մաթեմատիկայի ուսուցման և առհասարակ անձի զարգացման գործընթացում։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

«Ստացեք A» տեսադասընթացը ներառում է բոլոր այն թեմաները, որոնք անհրաժեշտ են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը 60-65 միավորով հաջողությամբ հանձնելու համար: Մաթեմատիկայի պրոֆիլի միասնական պետական ​​քննության 1-13-րդ առաջադրանքները ամբողջությամբ։ Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննություն հանձնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք միասնական պետական ​​քննություն հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար։ Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 1-ին մասի (առաջին 12 խնդիրների) և 13-րդ (եռանկյունաչափության) առաջադրանքները լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ 100 բալանոց ուսանողը, ոչ հումանիտար առարկան առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Միասնական պետական ​​քննության արագ լուծումներ, ծուղակներ և գաղտնիքներ. FIPI Task Bank-ի 1-ին մասի բոլոր ընթացիկ առաջադրանքները վերլուծվել են: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է 2018 թվականի միասնական պետական ​​քննության պահանջներին։

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ. Բառի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի միասնական պետական ​​քննական առաջադրանքների վերլուծություն. Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում: Եռանկյունաչափությունը զրոյից մինչև խնդիր 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների հստակ բացատրություններ: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Պետական ​​միասնական քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.