Եռանկյունաչափական կոտանգենս հավասարումների լուծում. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները

Պահանջում է եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի իմացություն՝ սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը, սինուսի և կոսինուսի միջոցով շոշափողի արտահայտությունը և այլն: Նրանց, ովքեր մոռացել են դրանք կամ չգիտեն, խորհուրդ ենք տալիս կարդալ հոդվածը «»:
Այսպիսով, մենք գիտենք հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, ժամանակն է դրանք գործնականում օգտագործել: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումճիշտ մոտեցմամբ, դա բավականին հետաքրքիր գործունեություն է, ինչպես, օրինակ, Ռուբիկի խորանարդը լուծելը:

Ելնելով հենց անվանումից՝ պարզ է դառնում, որ եռանկյունաչափական հավասարումը հավասարում է, որում անհայտը գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Կան այսպես կոչված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունեն դրանք՝ sinx = a, cos x = a, tan x = a: Եկեք դիտարկենք ինչպես լուծել նման եռանկյունաչափական հավասարումներ, պարզության համար կօգտագործենք արդեն ծանոթ եռանկյունաչափական շրջանագիծը։

sinx = ա

cos x = a

tan x = a

մահճակալ x = ա

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում լուծվում է երկու փուլով՝ հավասարումը հասցնում ենք ամենապարզ ձևին, այնուհետև լուծում ենք որպես պարզ եռանկյունաչափական հավասարում։
Գոյություն ունեն 7 հիմնական մեթոդ, որոնցով լուծվում են եռանկյունաչափական հավասարումները։

1. Փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ

Լուծե՛ք 2cos 2 հավասարումը (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը, մենք ստանում ենք.

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Փոխարինեք cos(x + /6) y-ով, որպեսզի պարզեցնեք և ստացեք սովորական քառակուսի հավասարումը.

2տ 2 – 3տ + 1 + 0

Որի արմատներն են y 1 = 1, y 2 = 1/2

Հիմա գնանք հակառակ հերթականությամբ

Մենք փոխարինում ենք y-ի գտած արժեքները և ստանում պատասխանի երկու տարբերակ.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում ֆակտորիզացիայի միջոցով

Ինչպե՞ս լուծել sin x + cos x = 1 հավասարումը:

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում.

sin x + cos x – 1 = 0

Եկեք օգտագործենք վերը քննարկված նույնականությունները՝ հավասարումը պարզեցնելու համար.

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Եկեք ֆակտորիզացնենք.

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2 sin (x/2) * = 0

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ

3. Կրճատում միատարր հավասարման

Հավասարումը միատարր է սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ, եթե նրա բոլոր անդամները հարաբերական են նույն անկյան նույն ուժի սինուսին և կոսինուսին: Միատարր հավասարումը լուծելու համար գործեք հետևյալ կերպ.

ա) տեղափոխել իր բոլոր անդամները ձախ կողմում.

բ) փակագծերից հանել բոլոր ընդհանուր գործոնները.

գ) բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել 0-ի.

դ) փակագծերում ստացվում է ավելի ցածր աստիճանի միատարր հավասարում, որն իր հերթին բաժանվում է ավելի բարձր աստիճանի սինուսի կամ կոսինուսի.

ե) լուծել tg-ի ստացված հավասարումը.

Լուծե՛ք 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 հավասարումը

Եկեք օգտագործենք sin 2 x + cos 2 x = 1 բանաձևը և ազատվենք աջ կողմում գտնվող բաց երկուսից.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

մեղք 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Բաժանել cos x-ով.

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x-ը փոխարինեք y-ով և ստացեք քառակուսային հավասարում.

y 2 + 4y +3 = 0, որի արմատներն են y 1 =1, y 2 = 3

Այստեղից մենք գտնում ենք սկզբնական հավասարման երկու լուծում.

x 2 = արկտան 3 + k

4. Կես անկյան անցման միջոցով հավասարումների լուծում

Լուծե՛ք 3sin x – 5cos x = 7 հավասարումը

Անցնենք x/2-ին.

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ.

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Բաժանել cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Օժանդակ անկյունի ներդրում

Դիտարկելու համար վերցնենք ձևի հավասարումը. a sin x + b cos x = c,

որտեղ a, b, c որոշ կամայական գործակիցներ են, իսկ x-ը անհայտ է:

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք հետևյալի.



Այժմ հավասարման գործակիցները, ըստ եռանկյունաչափական բանաձևերի, ունեն sin և cos հատկությունները, այն է՝ դրանց մոդուլը 1-ից ոչ ավելի է, իսկ քառակուսիների գումարը = 1։ Եկեք դրանք նշանակենք համապատասխանաբար որպես cos և sin, որտեղ սա է. այսպես կոչված օժանդակ անկյունը: Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

cos * sin x + sin * cos x = C

կամ sin(x + ) = C

Այս ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումն է

x = (-1) k * arcsin C - + k, որտեղ



Հարկ է նշել, որ cos և sin նշումները փոխարինելի են։

Լուծե՛ք sin 3x – cos 3x = 1 հավասարումը

Այս հավասարման գործակիցներն են.

a = , b = -1, այնպես որ երկու կողմերը բաժանեք = 2-ի

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդներն են՝ հավասարումները հասցնել պարզագույնի (եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործմամբ), նոր փոփոխականների ներմուծում և ֆակտորինգ։ Դիտարկենք դրանց օգտագործումը օրինակներով։ Ուշադրություն դարձրեք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումներ գրելու ձևաչափին:

Եռանկյունաչափական հավասարումների հաջող լուծման համար անհրաժեշտ պայման է եռանկյունաչափական բանաձեւերի իմացությունը (6-րդ աշխատանքի թեմա 13):

Օրինակներ.

1. Հավասարումներ՝ հասցված ամենապարզին:

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում:

Պատասխան.

2) Գտե՛ք հավասարման արմատները

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, հատվածին պատկանող:

Լուծում:

Պատասխան.

2. Հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի:

1) Լուծե՛ք 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 հավասարումը:

Լուծում:Օգտագործելով sin 2 x = 1 – cos 2 x բանաձևը, մենք ստանում ենք

Պատասխան.

2) Լուծե՛ք cos 2x = 1 + 4 cosx հավասարումը:

Լուծում:Օգտագործելով cos 2x = 2 cos 2 x – 1 բանաձևը, մենք ստանում ենք

Պատասխան.

3) Լուծե՛ք tgx – 2ctgx + 1 = 0 հավասարումը

Լուծում:

Պատասխան.

3. Միատարր հավասարումներ

1) Լուծե՛ք 2sinx – 3cosx = 0 հավասարումը

Լուծում. Եկեք cosx = 0, ապա 2sinx = 0 և sinx = 0 – հակասություն այն փաստի հետ, որ sin 2 x + cos 2 x = 1: Սա նշանակում է cosx ≠ 0, և մենք կարող ենք հավասարումը բաժանել cosx-ի: Մենք ստանում ենք

Պատասխան.

2) Լուծե՛ք 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x հավասարումը

Լուծում:

Մենք օգտագործում ենք 1 = sin 2 x + cos 2 x և sin 2x = 2 sinxcosx բանաձևերը, ստանում ենք.

մեղք 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
մեղք 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Թող cosx = 0, ապա sin 2 x = 0 և sinx = 0 - հակասություն այն փաստի հետ, որ sin 2 x + cos 2 x = 1:
Սա նշանակում է cosx ≠ 0 և մենք կարող ենք հավասարումը բաժանել cos 2 x-ի . Մենք ստանում ենք

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Նշենք tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ա) tgx = 4, x= arctan4 + 2 կ, կ
բ) tgx = 2, x= arctan2 + 2 կ, կ .

Պատասխան. arctg4 + 2 կ, arctan2 + 2 k, k

4. Ձևի հավասարումներ ա sinx + բ cosx = ս, ս≠ 0.

1) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

5. Ֆակտորիզացիայի միջոցով լուծված հավասարումներ.

1) Լուծե՛ք sin2x – sinx = 0 հավասարումը:

Հավասարման արմատը զ (X) = φ ( X) կարող է ծառայել միայն որպես 0 համար: Եկեք ստուգենք սա.

cos 0 = 0 + 1 - հավասարությունը ճշմարիտ է:

0 թիվը այս հավասարման միակ արմատն է։

Պատասխան. 0.

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այս պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության պրակտիկան և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկատվությունը մեզ թույլ է տալիս կապվել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Կարող եք պատվիրել ձեր խնդրի մանրամասն լուծում!!!

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի («sin x, cos x, tan x» կամ «ctg x») նշանով անհայտ պարունակող հավասարությունը կոչվում է եռանկյունաչափական հավասարում, և դրանց բանաձևերն են, որոնք մենք կքննարկենք հետագա:

Ամենապարզ հավասարումներն են՝ «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», որտեղ «x»-ը գտնելու անկյունն է, «a»-ն ցանկացած թիվ է: Եկեք գրենք դրանցից յուրաքանչյուրի արմատային բանաձևերը:

1. «sin x=a» հավասարումը:

«|a|>1»-ի համար այն լուծումներ չունի:

Երբ `|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z»

2. «cos x=a» հավասարումը

«|a|>1»-ի համար - ինչպես սինուսի դեպքում, այն իրական թվերի մեջ լուծումներ չունի:

Երբ `|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z»:

Սինուսի և կոսինուսի հատուկ դեպքեր գրաֆիկներում:

3. «tg x=a» հավասարումը

«a»-ի ցանկացած արժեքի համար ունի անսահման թվով լուծումներ:

Արմատային բանաձև՝ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. «ctg x=a» հավասարումը

Նաև ունի անսահման թվով լուծումներ «a»-ի ցանկացած արժեքի համար:

Արմատային բանաձև՝ «x=arcctg a + \pi n, n \in Z»:

Աղյուսակում տրված եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների բանաձևերը

Սինուսի համար.
Կոսինուսի համար.
Շոշափողի և կոտանգենսի համար.
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող հավասարումների լուծման բանաձևեր.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու փուլից.

• այն ամենապարզին փոխակերպելու օգնությամբ;
• լուծել վերը գրված արմատային բանաձևերի և աղյուսակների միջոցով ստացված ամենապարզ հավասարումը:

Դիտարկենք լուծման հիմնական մեթոդները՝ օգտագործելով օրինակներ:

Հանրահաշվական մեթոդ.

Այս մեթոդը ներառում է փոփոխականի փոխարինում և այն հավասարության փոխարինում:

Օրինակ։ Լուծեք հավասարումը` «2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

կատարել փոխարինում՝ «cos(x+\frac \pi 6)=y», ապա՝ «2y^2-3y+1=0»,

մենք գտնում ենք արմատները՝ `y_1=1, y_2=1/2`, որից հետևում են երկու դեպք.

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`:

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Պատասխան՝ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`:

Ֆակտորիզացիա.

Օրինակ։ Լուծե՛ք «sin x+cos x=1» հավասարումը:

Լուծում. Հավասարության բոլոր պայմանները տեղափոխենք ձախ՝ «sin x+cos x-1=0»: Օգտագործելով , մենք վերափոխում և ֆակտորիզացնում ենք ձախ կողմը.

«sin x — 2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0»,

1. «sin x/2 =0», «x/2 =\pi n», «x_1=2\pi n»:
2. «cos x/2-sin x/2=0», «tg x/2=1», «x/2=arctg 1+ \pi n», «x/2=\pi/4+ \pi n»: , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`:

Պատասխան՝ «x_1=2\pi n», «x_2=\pi/2+ 2\pi n»:

Կրճատում միատարր հավասարման

Նախ, դուք պետք է կրճատեք այս եռանկյունաչափական հավասարումը երկու ձևերից մեկին.

«a sin x+b cos x=0» (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում) կամ «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում):

Այնուհետև երկու մասերը բաժանեք «cos x \ne 0»-ով` առաջին դեպքի համար, և «cos^2 x \ne 0»-ով` երկրորդի համար: Մենք ստանում ենք «tg x»-ի հավասարումներ՝ «a tg x+b=0» և «a tg^2 x + b tg x +c =0», որոնք պետք է լուծվեն հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը` «2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1»:

Լուծում. Եկեք աջ կողմը գրենք որպես `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=``sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Սա երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է, որի ձախ և աջ կողմերը բաժանում ենք «cos^2 x \ne 0»-ի, ստանում ենք.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`: Ներկայացնենք «tg x=t» փոխարինումը, որի արդյունքում ստացվում է «t^2 + t - 2=0»: Այս հավասարման արմատներն են՝ «t_1=-2» և «t_2=1»: Ապա.

1. «tg x=-2», «x_1=arctg (-2)+\pi n», «n \in Z»
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Անցում դեպի կես անկյուն

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը` «11 sin x - 2 cos x = 10»:

Լուծում. Եկեք կիրառենք կրկնակի անկյան բանաձևերը, որոնց արդյունքում ստացվում է` «22 sin (x/2) cos (x/2) -` «2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` «10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 տգ^2 x/2 — 11 տգ x/2 +6=0`

Կիրառելով վերը նկարագրված հանրահաշվական մեթոդը՝ մենք ստանում ենք.

1. «tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n», «n \in Z»,
2. «tg x/2=3/4», «x_2=arctg 3/4+2\pi n», «n \in Z»:

Պատասխանել. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`:

Օժանդակ անկյունի ներդրում

«a sin x + b cos x =c» եռանկյունաչափական հավասարման մեջ, որտեղ a,b,c գործակիցներն են, իսկ x-ը փոփոխական է, երկու կողմերը բաժանեք «sqrt (a^2+b^2)»-ի.

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +բ^2))՚։

Ձախ կողմի գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այսինքն՝ դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է 1-ի, իսկ մոդուլները 1-ից մեծ չեն: Նշենք դրանք հետևյալ կերպ. «\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, ապա.

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`:

Եկեք մանրամասնորեն նայենք հետևյալ օրինակին.

Օրինակ։ Լուծե՛ք «3 sin x+4 cos x=2» հավասարումը։

Լուծում. Հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք «sqrt (3^2+4^2)»-ի վրա, ստանում ենք.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))»:

«3/5 մեղք x+4/5 cos x=2/5»:

Նշանակենք `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`: Քանի որ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ապա որպես օժանդակ անկյուն վերցնում ենք `\varphi=arcsin 4/5`: Այնուհետև մենք գրում ենք մեր հավասարությունը ձևով.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Կիրառելով սինուսի անկյունների գումարի բանաձևը, մենք գրում ենք մեր հավասարությունը հետևյալ ձևով.

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Կոտորակի ռացիոնալ եռանկյունաչափական հավասարումներ

Սրանք հավասարություններ են այն կոտորակների հետ, որոնց համարիչները և հայտարարները պարունակում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`:

Լուծում. Հավասարության աջ կողմը բազմապատկեք և բաժանեք «(1+cos x)»-ով: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Հաշվի առնելով, որ հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի, մենք ստանում ենք `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`:

Կոտորակի համարիչը հավասարեցնենք զրոյի՝ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`: Այնուհետև՝ «sin x=0» կամ «1-sin x=0»:

1. «sin x=0», «x=\pi n», «n \in Z»:
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`:

Հաշվի առնելով, որ «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z», լուծումներն են՝ «x=2\pi n, n \in Z» և «x=\pi /2+2\pi n»: , `n \in Z`.

Պատասխանել. «x=2\pi n», «n \in Z», «x=\pi /2+2\pi n», «n \in Z»:

Եռանկյունաչափությունը և հատկապես եռանկյունաչափական հավասարումները կիրառվում են երկրաչափության, ֆիզիկայի և ճարտարագիտության գրեթե բոլոր ոլորտներում։ Ուսումը սկսվում է 10-րդ դասարանից, Միասնական պետական ​​քննության համար միշտ առաջադրանքներ կան, այնպես որ փորձեք հիշել եռանկյունաչափական հավասարումների բոլոր բանաձևերը. դրանք անպայման օգտակար կլինեն ձեզ համար:

Այնուամենայնիվ, դուք նույնիսկ կարիք չունեք դրանք անգիր անել, գլխավորն այն է, որ հասկանաք էությունը և կարողանաք ելնել այն: Դա այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է: Ինքներդ համոզվեք՝ դիտելով տեսանյութը։

Տրված են հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի միջև փոխհարաբերությունները. եռանկյունաչափական բանաձևեր. Եվ քանի որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև բավականին շատ կապեր կան, սա բացատրում է եռանկյունաչափական բանաձևերի առատությունը։ Որոշ բանաձևեր միացնում են նույն անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, մյուսները՝ բազմակի անկյան ֆունկցիաները, մյուսները՝ թույլ են տալիս նվազեցնել աստիճանը, չորրորդը՝ արտահայտել բոլոր ֆունկցիաները կիսանկյան շոշափողով և այլն։

Այս հոդվածում մենք հերթականությամբ կթվարկենք բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, որոնք բավարար են եռանկյունաչափության խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը լուծելու համար: Անգիր սովորելու և օգտագործելու համար մենք դրանք կխմբավորենք ըստ նպատակի և մուտքագրենք աղյուսակների մեջ:

Էջի նավարկություն.

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններսահմանել մեկ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հարաբերությունները: Դրանք բխում են սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումից, ինչպես նաև միավոր շրջանագծի հասկացությունից։ Նրանք թույլ են տալիս արտահայտել մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա ցանկացած մյուսի առումով:

Այս եռանկյունաչափության բանաձևերի մանրամասն նկարագրությունը, դրանց ածանցումը և կիրառման օրինակները տե՛ս հոդվածը:

Կրճատման բանաձևեր

Կրճատման բանաձևերհետևում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հատկություններին, այսինքն՝ արտացոլում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականության հատկությունը, համաչափության հատկությունը, ինչպես նաև տվյալ անկյան տակ տեղաշարժվելու հատկությունը։ Այս եռանկյունաչափական բանաձևերը թույլ են տալիս կամայական անկյուններով աշխատելուց անցնել զրոյից մինչև 90 աստիճան անկյունների հետ աշխատելու:

Այս բանաձևերի հիմնավորումը, դրանք անգիր անելու մնեմոնիկ կանոնը և դրանց կիրառման օրինակները կարելի է ուսումնասիրել հոդվածում։

Հավելման բանաձևեր

Եռանկյունաչափական գումարման բանաձևերցույց տվեք, թե ինչպես են երկու անկյունների գումարի կամ տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտվում այդ անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով։ Այս բանաձևերը հիմք են հանդիսանում հետևյալ եռանկյունաչափական բանաձևերի ստացման համար.

Կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևեր: անկյուն

Կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևեր: անկյունը (դրանք նաև կոչվում են բազմակի անկյան բանաձևեր) ցույց են տալիս, թե ինչպես են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կրկնակի, եռակի և այլն: անկյունները () արտահայտվում են մեկ անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով: Նրանց ածանցումը հիմնված է գումարման բանաձևերի վրա:

Ավելի մանրամասն տեղեկատվություն հավաքագրված է հոդվածի բանաձևերում կրկնակի, եռակի և այլնի համար: անկյուն

Կես անկյունային բանաձևեր

Կես անկյունային բանաձևերցույց տվեք, թե ինչպես են կիսանկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները արտահայտվում ամբողջ անկյան կոսինուսով: Այս եռանկյունաչափական բանաձևերը հետևում են կրկնակի անկյունային բանաձևերին:

Նրանց եզրակացությունը և կիրառման օրինակները կարելի է գտնել հոդվածում:

Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր

Աստիճանների կրճատման եռանկյունաչափական բանաձևերնախագծված են հեշտացնելու եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բնական հզորություններից առաջին աստիճանի սինուսների և կոսինուսների անցումը, բայց բազմաթիվ անկյուններ: Այլ կերպ ասած, դրանք թույլ են տալիս նվազեցնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուժերը մինչև առաջինը:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևեր

Հիմնական նպատակը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևերֆունկցիաների արտադրյալին անցնելն է, ինչը շատ օգտակար է եռանկյունաչափական արտահայտությունները պարզեցնելիս։ Այս բանաձևերը լայնորեն կիրառվում են նաև եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, քանի որ դրանք թույլ են տալիս հաշվի առնել սինուսների և կոսինուսների գումարն ու տարբերությունը։

Սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալից անցումը գումարի կամ տարբերության իրականացվում է սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուս արտադրյալի բանաձևերի միջոցով։

Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում

Եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի մեր վերանայումն ավարտում ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կիսանկյան շոշափողով արտահայտող բանաձևերով: Այս փոխարինումը կոչվում էր ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում. Դրա հարմարությունը կայանում է նրանում, որ բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ռացիոնալ կերպով արտահայտվում են առանց արմատների կես անկյան շոշափման առումով:

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:Դասագիրք 9-րդ դասարանի համար. միջին դպրոց/Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա; Էդ. S. A. Telyakovsky - M.: Կրթություն, 1990. - 272 pp.: ill
• Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք. 10-11-րդ դասարանների համար. միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։
• Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11-րդ դասարանների համար. հանրակրթական հաստատություններ / Ա.Ն.Կոլմոգորով, Ա.Մ.Աբրամով, Յու.Պ.Դուդնիցին և ուրիշներ; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորով - 14-րդ հրատ.: Կրթություն, 2004. - 384 էջ: ISBN.
• Գուսև Վ. Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Հեղինակային իրավունք խելացի ուսանողների կողմից

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են։
Պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով: Կայքի ոչ մի մաս, ներառյալ ներքին նյութերը և արտաքին տեսքը, չի կարող վերարտադրվել որևէ ձևով կամ օգտագործվել առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության: