ಅಪವರ್ತನ ಬಹುಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಂಶ ಮಾಡುವುದು: ಸೂತ್ರ

ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ax^2 + bx + c ರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ≠ 0.

ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಆ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. (ಟ್ರಿನೋಮಿಯಲ್ 5x^2 + 3x- 2 ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆ)

ಗಮನಿಸಿ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ 5x^2 + 3x - 2 ಮೌಲ್ಯವು x ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: x = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 5x^2 + 3x - 2 = -2

x = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 5x^2 + 3x - 2 = 24

x = -1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1 ನಲ್ಲಿ, 5x^2 + 3x - 2 ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ -1 ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚೌಕ ತ್ರಿಪದಿಯ ಮೂಲ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

"x1 ಮತ್ತು x2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ax^2 + bx + c ನ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಈ ಸೂತ್ರವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಚೀನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಎಂದಿಗೂ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 5x^2 + 3x - 2 ಆಗಿದೆ.

1. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ (a ಎಂಬುದು X ^ 2 ನ ಗುಣಾಂಕ, b ಎಂಬುದು X ನ ಗುಣಾಂಕ, ಉಚಿತ ಪದ, ಅಂದರೆ X ಇಲ್ಲದ ಅಂಕಿ ):

ವರ್ಗಮೂಲದ ಮುಂದೆ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

ವರ್ಗಮೂಲದ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಮೂಲ:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವು ಸರಿಯಾಗಿವೆಯೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು: ಮೊದಲು ನಾವು ಮೊದಲ ಮೂಲವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎರಡನೆಯದು:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1 ಮತ್ತು X2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. ವಿಭಜನೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಗುಣಿಸಬಹುದು:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. ಇದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ನಿರ್ಧಾರದ.

ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆ

ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯೆಂದರೆ ವಿಯೆಟ್ಟೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕ a = 1, ಅಂದರೆ x^2 = 1 ರ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಈಗ ಯೋಚಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ? ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಇದು 1 * 1 ಮತ್ತು -1 * (-1) . ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಾವು x1 + x2 = 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಇದು 1 + 1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: x1 = 1, x2 = 1. ನಾವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ x^2 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ - 2x + 1 = 0.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಕೌಶಲ್ಯವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕಡಿತವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ .

ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ ನಿಜ:ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಗುರುತನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಚತುರ್ಭುಜ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್, ಅಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆ:

ಪುರಾವೆ ಈ ವಾಸ್ತವವಾಗಿನಾವು ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ನ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .

ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಈಗ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸತ್ಯದಿಂದ ನಾವು ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಈಗ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸತ್ಯದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ನಾವು ಸರಿಯಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊದಲಿಗೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ

ಮತ್ತು ನಾವು ಕಲಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, D 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಲಿತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ ಹೊಸ ಪ್ರಮೇಯ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ

ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದು: ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು 2 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿದ ಮೊದಲ ವಿಧಾನ ಇದು.

ಈ ವಿಧಾನವು ವಿಲೋಮ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ,, ಅಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಪದಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಪದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಪದಿಗಳು ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳಿರಬಹುದು.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬೇಕು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ರಿಂದ , ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (0 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕು), in ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , ಅಂದರೆ 5-5=0. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ಅಂದರೆ. .

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು:

ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ, ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ .

ಬದಲಿಯಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಛೇದವು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು, ಅಂದರೆ, .

ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗವನ್ನು ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಇಳಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯ)

ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ , ಪ್ರಶ್ನೆ: ಯಾವಾಗ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಕೌಶಲ್ಯವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕಡಿತವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ .

ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ ನಿಜ:ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಗುರುತನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಚತುರ್ಭುಜ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್, ಅಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆ:

ಈ ಸತ್ಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ನ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .

ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಈಗ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸತ್ಯದಿಂದ ನಾವು ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಈಗ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸತ್ಯದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ನಾವು ಸರಿಯಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊದಲಿಗೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ

ಮತ್ತು ನಾವು ಕಲಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, D 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಲಿತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಸ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ: ಒಂದು ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ

ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದು: ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು 2 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿದ ಮೊದಲ ವಿಧಾನ ಇದು.

ಈ ವಿಧಾನವು ವಿಲೋಮ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ,, ಅಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಪದಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಪದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಪದಿಗಳು ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳಿರಬಹುದು.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬೇಕು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. , ಚಿಹ್ನೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (0 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕು), ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , ಅಂದರೆ 5-5=0. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ಅಂದರೆ. .

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು:

ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ, ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ .

ಬದಲಿಯಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಛೇದವು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು, ಅಂದರೆ, .

ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗವನ್ನು ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಇಳಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯ)

ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ , ಪ್ರಶ್ನೆ: ಯಾವಾಗ.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಅದು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೇಖನವು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರಿಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿಗೆ ಇದು ನಿರರ್ಥಕ ವ್ಯಾಯಾಮದಂತೆ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಏನೂ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸುಲಭತೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ರೂಪಾಂತರವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ - ax²+bx+c, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ."ಎ" ಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು.

ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ!ಬಹುಪದವನ್ನು ಚೌಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಪದವಿ, ಚೌಕ. ಮತ್ತು ತ್ರಿಪದಿ - 3 ಘಟಕಗಳ ಕಾರಣ.

ಇತರ ಕೆಲವು ವಿಧದ ಬಹುಪದಗಳು:

• ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದ (6x+8);
• ಘನ ಚತುರ್ಭುಜ (x³+4x²-2x+9).

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನೀವು x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರಬಹುದು. ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: D=b²-4ac.

ಫಲಿತಾಂಶ D ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವು ಒಂದು. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ: -b / 2a.

ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳುತಾರತಮ್ಯಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಡಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ:

D ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ:

ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು

ಅಂತರ್ಜಾಲದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್. ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸೇವೆಗಳು ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು.

ಉಪಯುಕ್ತ ವೀಡಿಯೊ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಂಶ ಮಾಡುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

D ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು x ಗಳು ಎಂದು ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಬೇರುಗಳು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ: a(x-x1)(x-x2). ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: (x+3)(x+2/3). ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ಅವಧಿಯ ಮೊದಲು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇದೆ, ಅದು ಕೆಳಗಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 5x²+3x+7

ಮೊದಲಿಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಂತೆ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಮೂಲ ತ್ರಿಪದಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಪರ್ಯಾಯ ಪರಿಹಾರ

ಕೆಲವು ಜನರು ತಾರತಮ್ಯ ಮಾಡುವವರೊಂದಿಗೆ ಎಂದಿಗೂ ಸ್ನೇಹ ಬೆಳೆಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: x²+3x-10

ನಾವು 2 ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ: (_)(_). ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ರೀತಿ ಕಂಡುಬಂದಾಗ: x²+bx+c, ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು x: (x_)(x_) ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಉಳಿದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಸಿ" ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ -10. ಇವುಗಳು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ. ಬದಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿದ ಅವಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ -10 ನೀಡುತ್ತದೆ:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. ಸಂ.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. ಸಂ.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. ಸಂ.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ x2+3x-10 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (x-2)(x+5).

ಪ್ರಮುಖ!ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸದಂತೆ ನೀವು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ತ್ರಿಪದಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆ

"ಎ" ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ತೊಂದರೆಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅಂದುಕೊಂಡಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ.

ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು, ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೀವು ಮೊದಲು ನೋಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 3x²+9x-30. ಇಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ:

3(x²+3x-10). ಫಲಿತಾಂಶವು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ತ್ರಿಪದಿಯಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: 3(x-2)(x+5)

ಚೌಕದಲ್ಲಿರುವ ಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಕೊಳೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ -1 ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: -x²-10x-8. ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಯೋಜನೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಹೊಸ ವಿಷಯಗಳಿವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: 2x²+7x+3. ಉತ್ತರವನ್ನು 2 ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಅದನ್ನು (_)(_) ನಲ್ಲಿ ತುಂಬಬೇಕು. 2 ನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ x ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 1 ರಲ್ಲಿ ಏನು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (2x_)(x_). ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ 2x²+7x+3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (2x+1)(x+3).

ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳುಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಉಪಯುಕ್ತ ವೀಡಿಯೊ: ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು

ತೀರ್ಮಾನ

ನೀವು ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಎರಡನ್ನೂ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗುವವರೆಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಅಲ್ಲದೆ, ತಮ್ಮ ಜೀವನವನ್ನು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲು ಯೋಜಿಸುತ್ತಿರುವವರಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಇದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದುಸಮಸ್ಯೆ C3 ನಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ C5 ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ, ನೀವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅನೇಕ B13 ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 8 ನೇ ತರಗತಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಯಾರಿ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪಾಠವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಅನೇಕ ಜನರು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ನೋಡಿದ್ದಾರೆ):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ಇಲ್ಲಿ `a, b` ಮತ್ತು `c` ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ `ax^2+bx+c` ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು, ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ).

ನಾವು `ax^2+ bx+ c = 0` ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಅದನ್ನು `a` ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` ಪಡೆಯಿರಿ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ ಕಡಿಮೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮುಖ ಪಾಠ ಕಲ್ಪನೆ: ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದವನ್ನು ಆವರಣಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.ನಮ್ಮದನ್ನು `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲಿ `k` ಮತ್ತು ` l` - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

ಹೀಗಾಗಿ, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ- ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ವಿಭಜನೆ- ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಮೈನಸ್ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). ಅಂತಹ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಕು, ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಸರಾಸರಿ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಮಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಬೇಕಾದರೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಬೇರುಗಳು `x=-k` ಅಥವಾ `x=-l` (ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ )

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಒಂದು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾರ್ಗವು ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ `x^2+5x+4` ಆಗಿದೆ.

ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ (`x^2` ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಅವನಿಗೆ ಬೇರುಗಳಿವೆ. (ಖಚಿತವಾಗಿರಲು, ನೀವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.)

ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳು (ಎಲ್ಲಾ ತರಬೇತಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು):

1. ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಮುಕ್ತ ಜಾಗವನ್ನು ಬಿಡಿ, ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳು.
2. ಎಲ್ಲಾ ವೀಕ್ಷಿಸಿ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆ `4` ಅನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ" ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: `2, 2` ಮತ್ತು `1, 4`.
3. ನೀವು ಯಾವ ಜೋಡಿಯಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು `1, 4`.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ ಬರೆಯಿರಿ.
5. ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಂದೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಇಡುವುದು ಮುಂದಿನ ಹಂತವಾಗಿದೆ.

   ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ (ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು). ಮೊದಲ ಪವರ್‌ಗೆ `x` ಮೊದಲು ಗುಣಾಂಕವು `(± 4 ± 1)` ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ - ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಅದು `5` ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಪ್ಲಸಸ್ $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ ಇರುತ್ತದೆ.

   ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿ (ಹಲೋ, ತರಬೇತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು!) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಇದು ಎಂದಿಗೂ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು `x^2+5x+4` ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಈಗ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು `-4, -1`.

ಉದಾಹರಣೆ ಎರಡು. ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಅಪವರ್ತನ

ನಾವು `x^2-x-2=0` ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ತಪ್ಪಾಗಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಎರಡನ್ನು ಒಂದೇ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವಿದೆ: `2 · 1`.
3. ನಾವು ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ - ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (`-2` ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ), ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
   ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು `-1` (`x` ನ ಗುಣಾಂಕ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ `2` ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ವಿವರಣೆಯೆಂದರೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ "ಎಳೆಯುತ್ತದೆ" ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಭಾಗ) ನಾವು $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.$$

ಮೂರನೇ ಉದಾಹರಣೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು

ಸಮೀಕರಣವು `x^2+5x -84 = 0` ಆಗಿದೆ.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ 84 ರ ವಿಭಜನೆ: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಅಥವಾ ಮೊತ್ತ) 5 ಆಗಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ `7, 12`.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

ಭರವಸೆ, ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದುಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ನಿಮಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಬೇಕಾದರೆ, ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ: `12, -7`.

ತರಬೇತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸುಲಭವಾದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇನೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.(ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಯತಕಾಲಿಕ "ಗಣಿತ", 2002 ರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

ಲೇಖನವನ್ನು ಬರೆದ ಒಂದೆರಡು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು 150 ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.

ಲೈಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ!