ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ನಿರ್ಣಯ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

1 ಪಕ್ಕದ ಕೋನ + 1 ಪಕ್ಕದ ಕೋನ = 180 ಡಿಗ್ರಿ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಎರಡು ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ 120 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ (180-60) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

AOC ಮತ್ತು BOC ಕೋನಗಳು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:

1.OS - ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ

2.AO - ಮೂಲೆಯ AOS ನ ಬದಿ, OB - ಮೂಲೆಯ BOS ನ ಬದಿ. ಈ ಬದಿಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ AOB ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

3. ಎರಡು ಕೋನಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 180 ಡಿಗ್ರಿ.

ಶಾಲೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು:

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, SOB ಮತ್ತು BOA ಕೋನಗಳು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕೋನವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.



ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸುಲಭವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು, ಒಂದು ಕೋನ ಮತ್ತು ಕೋನ, 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಒಂದು ಬಿಚ್ಚಿದ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಈ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವು ಕೋನದ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ, ಕಿರಣವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಳಿಜಾರಾದ ಕಿರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಕೋನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ- ಮೊದಲಿಗೆ ನೀವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಡೆದಿದ್ದೀರಿ, ನಂತರ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಹಿಂತಿರುಗಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೊರಟರು.



ಹಾಗಾದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನ ಎಂದರೇನು? ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಯನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳ ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ.



ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ವೀಡಿಯೊಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪಾಠ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳು, ಜೊತೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಇದು ಪಕ್ಕದ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಕೋನವು ಹಲವಾರು ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕೋನವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.



ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ, (6 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನನಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ), ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಬದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಿರಣಗಳು, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180. ಎರಡರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ವಿಸ್ತರಿತ ಕೋನಕ್ಕೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಉದಾಹರಣೆ:



ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ (ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ). ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೂರ ಎಂಬತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗೂಗಲ್ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 1.ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳ ಇತರ ಬದಿಗಳು ಪೂರಕ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಚಿತ್ರ 31 ರಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (a 2 b) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು 1 ಮತ್ತು 2 ಬದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 2.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.1.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ.ಕೋನ (a 1 b) ಮತ್ತು ಕೋನ (a 2 b) ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ (ಚಿತ್ರ 31 ನೋಡಿ). ರೇ ಬಿ ನೇರ ಕೋನದ 1 ಮತ್ತು 2 ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು (a 1 b) ಮತ್ತು (a 2 b) ತೆರೆದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 180 °. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 3.ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 2.1 ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (c 1 d) ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳೋಣ. ಕೋನಗಳು (a 2 b) ಮತ್ತು (c 2 d) ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ. ಇದು a 1 b + a 2 b = 180° ಮತ್ತು c 1 d + c 2 d = 180° ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a 2 b = 180° - a 1 b ಮತ್ತು c 2 d = 180° - c 1 d. ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (c 1 d) ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅದು 2 ಬಿ = ಸಿ 2 ಡಿ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 4.ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ಬಲ (ತೀವ್ರ, ಚೂಪಾದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ. 90 ° ಗೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
90 ° ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕೋನವನ್ನು ತೀವ್ರ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
90° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ಓಬ್ಟ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 5.ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಇದು ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

ಪ್ರಶ್ನೆ 6.ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಬದಿಗಳ ಅರ್ಧ ರೇಖೆಗಳ ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 7.ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.(a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ನೀಡಲಾದ ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿರೋಣ (ಚಿತ್ರ 34). ಕೋನ (a 1 b 2) ಕೋನಕ್ಕೆ (a 1 b 1) ಮತ್ತು ಕೋನಕ್ಕೆ (a 2 b 2) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ಕೋನವನ್ನು (a 1 b 2) 180 ° ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 8.ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. AB ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕೋನ AOD 90 ° ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು AOC = 180 ° - AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೋನ COB ಕೋನ AOD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೋನ COB = 90 °. ಕೋನ COA ಕೋನ BOD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೋನ BOD = 90 °. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 9.ಯಾವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು \(\perp\) ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮೂದು \(a\perp b\) ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: "a ಲೈನ್ b ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಪ್ರಶ್ನೆ 10.ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.3.ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.
ಪುರಾವೆ. a ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗೆರೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ A ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಎ (ಚಿತ್ರ 38) ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ 1 ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅರ್ಧ-ಸಾಲಿನಿಂದ a 1 ರಿಂದ 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನವನ್ನು (a 1 b 1) ಕಳೆಯೋಣ. ನಂತರ ಕಿರಣ ಬಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು a ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಎ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ರೇ ಬಿ 1 ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಈ ಸಾಲಿನ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು c 1 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ.
ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 1 c 1), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 90 ° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯ a 1 ರಿಂದ ಒಂದು ಅರ್ಧ-ಸಮಲದಲ್ಲಿ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯಿಂದ 1 ಮಾತ್ರ 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಹಾಕಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, A ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆಯು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 11.ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು ಯಾವುದು?
ಉತ್ತರ.ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ಈ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದಲಂಬವಾಗಿರುವ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 12.ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಯಾವ ಪುರಾವೆ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಈ ವಿಧಾನವು ನಾವು ಮೊದಲು ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಹೇಳಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನಂತರ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಥವಾ ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 13.ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದರೇನು?
ಉತ್ತರ.ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಗಣಿತವು ಬಹುಮುಖಿ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ತರ್ಕ, ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾನದಂಡಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅನೇಕ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಅವರನ್ನು ಆರಾಧಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆಗಳ ರಚನೆ

ಯಾವುದೇ ಕೋನವು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷರ ಅಥವಾ ಮೂರು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋನಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಲ ಕೋನವಿದೆ, ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ, ಚೂಪಾದ ಮತ್ತು ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೆಸರುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಳತೆಯು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಚೂಪಾದ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ 90 ಆಗಿರುವಾಗ ಕೋನವನ್ನು ಬಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ಒಂದು ನಿರಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ 180 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳು, ಅದರ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಪರಸ್ಪರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಚೂಪಾದ ಅಥವಾ ಮೊಂಡಾಗಿರಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಛೇದಕವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

1. ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
2. ಮೊದಲ ಹಂತದಿಂದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಎರಡು ಚೂಪಾದ ಅಥವಾ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ, ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ.

ಲಂಬ ಕೋನಗಳು

ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಅಂತಹ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಅವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕೋನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬಹುದು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟುವಾಗ, ಹಲವಾರು ಇತರ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ-ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನರು. ಲಂಬ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನಗಳ ವಿಷಯವು ತುಂಬಾ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಕೋನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯ. ನಂತರ, ಪಾಪ ಮತ್ತು ಕಾಸ್ನ ಅಧ್ಯಯನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ, ನೀವು ಅನೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು, ಅವುಗಳ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನೀವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸುಲಭವಾದ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಆನಂದಿಸಬಹುದು.

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಆಚೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 72): ∠ABC ಮತ್ತು ∠CBD, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ BC ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು, AB ಮತ್ತು BD, ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೆರಡು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: ನಾವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆದರೆ (ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿಲ್ಲ), ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ∠ADF ಮತ್ತು ∠FDB ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 73).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 74).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಕೋನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 54° ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಕೋನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

180° - 54° = l26°.

2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಮೀರಿ ಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 75 ರಲ್ಲಿ, EOF ಮತ್ತು AOC ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ; AOE ಮತ್ತು COF ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(ಚಿತ್ರ 76) ಎಂದು ಬಿಡಿ. ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, ಅಂದರೆ 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ∠3 ಮತ್ತು ∠4 ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (ಚಿತ್ರ 77).

ನಾವು ∠1 = ∠3 ಮತ್ತು ∠2 = ∠4 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 78):

∠a +∠ಸಿ= 180 °;

∠b+∠ಸಿ= 180 °;

(ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).

∠a +∠ಸಿ = ∠b+∠ಸಿ

(ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಲಭಾಗವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಜೊತೆಗೆ.

ನಾವು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ∠ಎ = ∠ಬಿ, ಅಂದರೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಚಿತ್ರ 79 ರಲ್ಲಿ, ∠1, ∠2, ∠3 ಮತ್ತು ∠4 ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

ಚಿತ್ರ 80 ರಲ್ಲಿ, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ಮತ್ತು ∠5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಕೋನಗಳು ಪೂರ್ಣ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, "ಕೋನ", "ಲಂಬ ಕೋನಗಳು", "ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು - ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

"ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು" ಎಂಬ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಿರಣದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕಿರಣಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಬರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಎರಡೂ ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು - ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು 180 ° ಆಗಿದೆ:

• μ ಮತ್ತು η ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, μ + η = 180°.
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, μ), ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ η = 180 ° - μ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡನೇ ಕೋನದ (η) ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.

2. ಕೋನಗಳ ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನ ಲಂಬ ಕೋನ, ನೇರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು(sin, cos, tg, ctg), ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ μ ಮತ್ತು η ಗಾಗಿ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

• sinη = ಪಾಪ(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು - ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

M, P, Q - ΔMPQ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM ಕೋನಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

• ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕೋನದವರೆಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠QMP ∠LMP,

ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠MPQ ∠SPQ,

ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠PQM ∠HQP ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಒಂದು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು 35 ° ಆಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಏನು?

• ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು 180 ° ವರೆಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.
• ∠μ = 35° ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠η = 180° – 35° = 145°.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು ಇತರ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

• ನಾವು ಒಂದು (ಸಣ್ಣ) ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ – ∠μ = λ.
• ನಂತರ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡನೇ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು ∠η = 3λ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, μ + η = 180 ° ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

ಇದರರ್ಥ ಮೊದಲ ಕೋನ ∠μ = λ = 45°, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕೋನ ∠η = 3λ = 135°.

ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.