ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಪಕ್ಕದ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಆಚೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 72): ∠ABC ಮತ್ತು ∠CBD, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ BC ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು, AB ಮತ್ತು BD, ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೆರಡು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: ನಾವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆದರೆ (ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿಲ್ಲ), ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ∠ADF ಮತ್ತು ∠FDB ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 73).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 74).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಮೊತ್ತ ಪಕ್ಕದ ಮೂಲೆಗಳು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಕೋನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 54° ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಕೋನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

180° - 54° = l26°.

2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಮೀರಿ ಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು. ಚಿತ್ರ 75 ರಲ್ಲಿ, EOF ಮತ್ತು AOC ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಕೋನಗಳು AOE ಮತ್ತು COF ಸಹ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(ಚಿತ್ರ 76) ಎಂದು ಬಿಡಿ. ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, ಅಂದರೆ 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ∠3 ಮತ್ತು ∠4 ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (ಚಿತ್ರ 77).

ನಾವು ∠1 = ∠3 ಮತ್ತು ∠2 = ∠4 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 78):

∠a+∠ಸಿ= 180 °;

∠b+∠ಸಿ= 180 °;

(ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).

∠a+∠ಸಿ = ∠b+∠ಸಿ

(ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಲಭಾಗವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಜೊತೆಗೆ.

ನಾವು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ∠ಎ = ∠ಬಿ, ಅಂದರೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 79 ರಲ್ಲಿ, ∠1, ∠2, ∠3 ಮತ್ತು ∠4 ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

ಚಿತ್ರ 80 ರಲ್ಲಿ, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ಮತ್ತು ∠5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಕೋನಗಳು ಪೂರ್ಣ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

ರೇಖಾಗಣಿತವು ಬಹುಮುಖಿ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ತರ್ಕ, ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾನದಂಡಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅನೇಕ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಅವರನ್ನು ಆರಾಧಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆಗಳ ರಚನೆ

ಯಾವುದೇ ಕೋನವು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷರ ಅಥವಾ ಮೂರು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋನಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಲ ಕೋನವಿದೆ, ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ, ಚೂಪಾದ ಮತ್ತು ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೆಸರುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಳತೆಯು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಚೂಪಾದ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ 90 ಆಗಿರುವಾಗ ಕೋನವನ್ನು ಬಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ಒಂದು ನಿರಂತರ ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ 180 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳು, ಅದರ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಪರಸ್ಪರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಚೂಪಾದ ಅಥವಾ ಮೊಂಡಾಗಿರಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಛೇದಕವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

1. ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
2. ಮೊದಲ ಹಂತದಿಂದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಎರಡು ಚೂಪಾದ ಅಥವಾ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ, ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ.

ಲಂಬ ಕೋನಗಳು

ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಅಂತಹ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಅವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕೋನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬಹುದು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟುವಾಗ, ಹಲವಾರು ಇತರ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ-ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನರು. ಲಂಬ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನಗಳ ವಿಷಯವು ತುಂಬಾ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಕೋನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯ. ನಂತರ, ಪಾಪ ಮತ್ತು ಕಾಸ್ನ ಅಧ್ಯಯನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ, ನೀವು ಅನೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು, ಅವುಗಳ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನೀವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸುಲಭವಾದ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಆನಂದಿಸಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನ ಎಂದರೇನು

ಮೂಲೆ- ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ(ಚಿತ್ರ 1), OA ಮತ್ತು OB (ಕೋನದ ಬದಿಗಳು) ಎಂಬ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದ್ದು, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ O (ಕೋನದ ಶೃಂಗ) ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಮೂಲೆಗಳು- 180° ಆಗಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಕೋನಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು- (Agles adjacets) ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಈ ಹೆಸರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಎಳೆಯಲಾದ ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳ ಇತರ ಬದಿಗಳು ಪೂರಕ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು a1b ಮತ್ತು a2b ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಯ b ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು a1, a2 ಬದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 3

ಚಿತ್ರ 3 ನೇರ ರೇಖೆ AB ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ C ಬಿಂದುಗಳು A ಮತ್ತು B ನಡುವೆ ಇದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ D ಎಂಬುದು ನೇರವಾಗಿ AB ಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕೋನಗಳು BCD ಮತ್ತು ACD ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಡ್ಡ CD ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು CA ಮತ್ತು CB ಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯ AB ಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ A, B ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು C ಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯ

ಪ್ರಮೇಯ:ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ

ಪುರಾವೆ:
a1b ಮತ್ತು a2b ಕೋನಗಳು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ) ರೇ ಬಿ ಬಿಚ್ಚಿದ ಕೋನದ a1 ಮತ್ತು a2 ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a1b ಮತ್ತು a2b ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 180 °. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

90 ° ಗೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ತೀವ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 90° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನವನ್ನು ಓಬ್ಟ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನ ತೀವ್ರ ಕೋನ- ಚೂಪಾದ ಕೋನ. ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ತೀವ್ರ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು- ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳು, ಅದರ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ). ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಕೋನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.1.ಕೋನವು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ - ಕೋನದ ಶೃಂಗ - ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳು - ಕೋನದ ಬದಿಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Fig.1 ರಲ್ಲಿ ಕೋನ BOC ನಾವು ಮೊದಲು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಅವು ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ಲಂಬ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. 90 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ತೀವ್ರ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. 90 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ಚೂಪಾದ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಛೇದಿಸುವ ಸಾಲುಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6.ಎರಡು ಕೋನಗಳು, ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ:
ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ: 1 ಮತ್ತು 2; 2 ಮತ್ತು 3; 3 ಮತ್ತು 4; 4 ಮತ್ತು 1
ಲಂಬ: 1 ಮತ್ತು 3; 2 ಮತ್ತು 4
ಪ್ರಮೇಯ 1.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180 ಡಿಗ್ರಿ.
ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 4 ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು AOB ಮತ್ತು BOC. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಕೋನ AOC ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿ.

ಅಕ್ಕಿ. 4

ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ

"ಕಲೆ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಬಗ್ಗೆ, ಅವರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತವು ತೀವ್ರ ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇನೆ. ಮಾನವ ಆತ್ಮ"ಈ ಎರಡು ಆಂಟಿಪೋಡ್‌ಗಳು ಮನುಷ್ಯನ ಎಲ್ಲಾ ಸೃಜನಶೀಲ ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕಲೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾನವೀಯತೆಯು ರಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲವೂ ಇರುತ್ತದೆ."
ಜಿ. ನ್ಯೂಹೌಸ್
ಕಲೆಯು ಗಣಿತದಿಂದ ಬಹಳ ಅಮೂರ್ತ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ವಿಜ್ಞಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತವು ಕಲೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಅಮೂರ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಂಜನವು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಆಹ್ಲಾದಕರ ಧ್ವನಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ
ಈ ಸಂಗೀತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಮಹಾನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ - ಪೈಥಾಗರಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಟಾಸ್. ಇವು ಕಾನೂನುಗಳು:
1. ಎರಡು ಧ್ವನಿಯ ತಂತಿಗಳು 10=1+2+3+4 ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ವ್ಯಂಜನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. 1:2, 2:3, 3:4 ರಂತೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, n:(n+1) (n=1,2,3) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ n ಸಂಖ್ಯೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಂಜನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಧ್ವನಿಯ ತಂತಿಯ ಕಂಪನ ಆವರ್ತನ w ಅದರ ಉದ್ದ l ಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
w = a:l,
ಇಲ್ಲಿ a ಗುಣಾಂಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುತಂತಿಗಳು.

ಇಬ್ಬರು ಗಣಿತಜ್ಞರ ನಡುವಿನ ವಾದದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ನಿಮಗೆ ತಮಾಷೆಯ ವಿಡಂಬನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ =)

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ರೇಖಾಗಣಿತ

ನಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಿದಾಗ, ನಾವು ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅವರನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಬೀದಿಯಲ್ಲಿ, ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಮನೆಯಲ್ಲಿ, ಉದ್ಯಾನವನದಲ್ಲಿ, ಒಳಗೆ ಜಿಮ್, ಶಾಲೆಯ ಕೆಫೆಟೇರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನೀವು ಮತ್ತು ನಾನು ಎಲ್ಲಿದ್ದರೂ. ಆದರೆ ಇಂದಿನ ಪಾಠದ ವಿಷಯವು ಪಕ್ಕದ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನೀವು ಕಿಟಕಿಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಕೆಲವು ಮರದ ಕೊಂಬೆಗಳು ಪಕ್ಕದ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗೇಟ್ನಲ್ಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಅನೇಕ ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ನಿಮ್ಮ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ನೀವು ವೀಕ್ಷಿಸುವ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ವ್ಯಾಯಾಮ 1.

1. ಬುಕ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್ ಮೇಲೆ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಪುಸ್ತಕವಿದೆ. ಇದು ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ?
2. ಆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಲ್ಯಾಪ್ಟಾಪ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ?
3. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಫೋಟೋ ಫ್ರೇಮ್ ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ?
4. ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ?

ಕಾರ್ಯ 2.

ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರವಿದೆ. ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಆಕೃತಿ, ಹೆಸರಿಸಿ? ಈಗ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯ 3.

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಪೇಂಟಿಂಗ್‌ನ ಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಮೀನುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹರಿಸುವ

ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಗಣಿತದ ಡಿಕ್ಟೇಶನ್

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸು:

1. 2 ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 100 ° ಗೆ ಸಮನಾಗಬಹುದೇ? 370°?
2. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಮತ್ತು ಈಗ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು. ಈ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

3. ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ ನೀವು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
4. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಈ ಛೇದನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳು ರೂಪುಗೊಂಡವು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಒದಗಿಸಿದ:

a) ನಾಲ್ಕರಲ್ಲಿ 2 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 84°;
ಬಿ) 2 ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 45 ° ಆಗಿದೆ;
ಸಿ) ಒಂದು ಕೋನವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ;
d) ಈ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 290° ಆಗಿದೆ.

ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ

1. 2 ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ?
2. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಮನೆಕೆಲಸ:

1. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ 54° ಹೆಚ್ಚಿರುವಾಗ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. 2 ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಒಂದು ಕೋನವು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ 2 ಇತರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಎರಡನೆಯ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ 60 ° ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನವನ್ನು ಎರಡನೇ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಿದಾಗ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
4. 2 ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2 ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
5. 2 ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1:5 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
6. ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ 25% ಆಗಿದೆ. 2 ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ? 2 ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

1. ಕೋನ ಎಂದರೇನು?
2. ಯಾವ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳಿವೆ?
3. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಆಸ್ತಿ ಏನು?

ಪ್ರಶ್ನೆ 1.ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳ ಇತರ ಬದಿಗಳು ಪೂರಕ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಚಿತ್ರ 31 ರಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (a 2 b) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೈಡ್ ಬಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 1 ಮತ್ತು 2 ಬದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 2.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.1.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ.ಕೋನ (a 1 b) ಮತ್ತು ಕೋನ (a 2 b) ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ (ಚಿತ್ರ 31 ನೋಡಿ). ರೇ ಬಿ ನೇರ ಕೋನದ 1 ಮತ್ತು 2 ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು (a 1 b) ಮತ್ತು (a 2 b) ತೆರೆದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 180 °. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 3.ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 2.1 ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (c 1 d) ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳೋಣ. ಕೋನಗಳು (a 2 b) ಮತ್ತು (c 2 d) ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ. ಇದು a 1 b + a 2 b = 180° ಮತ್ತು c 1 d + c 2 d = 180° ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a 2 b = 180° - a 1 b ಮತ್ತು c 2 d = 180° - c 1 d. ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (c 1 d) ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅದು 2 ಬಿ = ಸಿ 2 ಡಿ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 4.ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ಬಲ (ತೀವ್ರ, ಚೂಪಾದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ. 90 ° ಗೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
90 ° ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕೋನವನ್ನು ತೀವ್ರ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
90° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ಓಬ್ಟ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 5.ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಇದು ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

ಪ್ರಶ್ನೆ 6.ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಬದಿಗಳ ಅರ್ಧ ರೇಖೆಗಳ ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 7.ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.(a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ನೀಡಲಾದ ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿರೋಣ (ಚಿತ್ರ 34). ಕೋನ (a 1 b 2) ಕೋನಕ್ಕೆ (a 1 b 1) ಮತ್ತು ಕೋನಕ್ಕೆ (a 2 b 2) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ಕೋನವನ್ನು (a 1 b 2) 180 ° ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 8.ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. AB ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕೋನ AOD 90 ° ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು AOC = 180 ° - AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೋನ COB ಕೋನ AOD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೋನ COB = 90 °. ಕೋನ COA ಕೋನ BOD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೋನ BOD = 90 °. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 9.ಯಾವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು \(\perp\) ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮೂದು \(a\perp b\) ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: "a ಲೈನ್ b ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಪ್ರಶ್ನೆ 10.ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.3.ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.
ಪುರಾವೆ. a ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗೆರೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ A ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು A (Fig. 38) ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ 1 ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅರ್ಧ-ಸಾಲಿನಿಂದ a 1 ರಿಂದ 90 ° ಗೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನು (a 1 b 1) ಕಳೆಯೋಣ. ನಂತರ ಕಿರಣ ಬಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು a ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

A ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು a ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲು ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ರೇ ಬಿ 1 ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಈ ಸಾಲಿನ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು c 1 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ.
ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 1 c 1), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 90 ° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯ a 1 ರಿಂದ ಒಂದು ಅರ್ಧ-ಸಮಲದಲ್ಲಿ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯಿಂದ 1 ಮಾತ್ರ 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಹಾಕಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, A ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆಯು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ ಮತ್ತು a ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 11.ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು ಯಾವುದು?
ಉತ್ತರ.ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ಈ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದಲಂಬವಾಗಿರುವ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 12.ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಯಾವ ಪುರಾವೆ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಈ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಹೇಳಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನಂತರ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಥವಾ ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 13.ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದರೇನು?
ಉತ್ತರ.ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳ ಇತರ ಬದಿಗಳು ಪೂರಕ ಕಿರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಚಿತ್ರ 20 ರಲ್ಲಿ, AOB ಮತ್ತು BOC ಕೋನಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಬೀಮ್ OB (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ) ತೆರೆದ ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಬದಿಗಳ ಪೂರಕ ಕಿರಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು AOB ಮತ್ತು COD, BOD ಮತ್ತು AOC, ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. AOB ಮತ್ತು COD ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ). BOD ಕೋನವು AOB ಮತ್ತು COD ಕೋನಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

ಇದರಿಂದ ನಾವು ∠ AOB = ∠ COD ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಲಂಬಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಎಸಿ ಮತ್ತು ಬಿಡಿ (ಚಿತ್ರ 3) ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವು ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಕೋನ 1), ನಂತರ ಉಳಿದ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 2, 1 ಮತ್ತು 4 ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ (ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. AC ಮತ್ತು BD ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: AC ⊥ BD.

ಒಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಎಎನ್ - ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ

ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 4). ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ H ಬಿಂದುವಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ. AN ಮತ್ತು a ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ a ಗೆರೆಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ AN ವಿಭಾಗವನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ H ಅನ್ನು ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಚೌಕ

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿಲ್ಲ, ಈ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ (ಚಿತ್ರ 5).

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭಾಗವು ಏನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ತೀರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ತೀರ್ಮಾನ - ಈ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯು "ಇಫ್" ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತೀರ್ಮಾನವು "ನಂತರ" ಪದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು: "ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 44° ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮ?

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ.
44° + x = 180°.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x = 136 ° ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇತರ ಕೋನವು 136 ° ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಚಿತ್ರ 21 ರಲ್ಲಿ ಕೋನ COD 45 ° ಆಗಿರಲಿ. AOB ಮತ್ತು AOC ಕೋನಗಳು ಯಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ. ಕೋನಗಳು COD ಮತ್ತು AOB ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 1.2 ರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ∠ AOB = 45 °. ಕೋನ AOC ಕೋನ COD ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಚಿಕ್ಕ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ 3x ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° (ಪ್ರಮೇಯ 1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ x + 3x = 180 °, ಅಲ್ಲಿಂದ x = 45 °.
ಇದರರ್ಥ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು 45 ° ಮತ್ತು 135 °.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 100 ° ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಚಿತ್ರ 2 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ COD ನಿಂದ AOB ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 2), ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 100°). ಕೋನ BOD (ಕೋನ AOC) ಕೋನ COD ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.