ಬಣ್ಣ ಪುಸ್ತಕ ರಸ್ತೆ. ಕಾರುಗಳಿಗೆ ನೇರ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ

(ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಸಹಾನುಭೂತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಓದುಗರಿಗೆ ಈ ನಮೂದು ಆಸಕ್ತಿಕರವಾಗಿರಬಹುದು)

ಇನ್ನೊಂದು ದಿನ ನಾನು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಓದಿದ್ದೇನೆ - ರಸ್ತೆ ಬಣ್ಣ ಕಲ್ಪನೆ. ಈ ಊಹೆಯು 37 ವರ್ಷಗಳಿಂದ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಇಸ್ರೇಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಅಬ್ರಹಾಂ ಟ್ರಾಕ್ಟ್ಮನ್ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ತೊಂದರೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ನನ್ನ ಮೆದುಳು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಕಾರಣ) ನಾನು ಅದನ್ನು ಓದಲು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಮತ್ತು ನಾನು ಅದನ್ನು ಈ ಪೋಸ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉತ್ತರ, ದಕ್ಷಿಣ, ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮ - ಪ್ರತಿ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಹೋಗಬಹುದಾದ ನಗರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಕಾರು ಕೆಲವು ಛೇದಕದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾದರೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸೂಚನೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ - "ಉತ್ತರ, ಉತ್ತರ, ಪೂರ್ವ", ಇತ್ಯಾದಿ. - ನಂತರ ಅವಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತಾಳೆ. ದಿಕ್ಕುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ, ಪ್ರಾಯಶಃ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೂ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಅದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆಯೇ? ನಕ್ಷೆಯು ಮ್ಯಾನ್‌ಹ್ಯಾಟನ್‌ನಂತೆ ಕಂಡುಬಂದರೆ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಿಡ್ - ಆಗ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಹುಶಃ ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಸತ್ತ ತುದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ತಿರುವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಅವರು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜಟಿಲ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿತು, ಮತ್ತು ಅವರು ಸಹಾಯ ಕೇಳುವ ನೀವು ಎಂದು. ಜಟಿಲ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಎಲ್ಲಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನನ್ನು ಅವನು ಎಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಕರೆತರುವ ಆಜ್ಞೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಇರಬಹುದೇ?

ಈ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ "ದಿಕ್ಕುಗಳು" ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೇಳುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ "ಪಶ್ಚಿಮ, ಉತ್ತರ, ಪೂರ್ವ, ದಕ್ಷಿಣ" ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು "ಸಿಂಕ್ ಪದ" ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು - ಆಜ್ಞೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಯಾವುದಾದರೂ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ "ಬಾಣ" ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಗ್ರಾಫ್ G ಇರಲಿ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಏಕರೂಪದ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ d - ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ನಿಖರವಾಗಿ d ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಡಿ. ನಾವು ಕೆಲವು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ d ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದೋಣ, ಅದನ್ನು ನಾವು "ಬಣ್ಣಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಗ್ರಾಫ್‌ನ "ಬಣ್ಣ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಅದರ d ಹೊರಹೋಗುವ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ d ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದಾದರೂ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು α ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲೋ "ಹೋಗಲು" ಬಯಸಿದರೆ, ಬಣ್ಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಾವು ಯಾವ ಹೊಸ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. "ಪದ" ಎಂಬುದು ಅಕ್ಷರಗಳ-ಬಣ್ಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮತ್ತು x ಕೆಲವು ಶೃಂಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು w ಕೆಲವು ಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, xw ನಾವು x ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ w ಪದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಣ್ಣ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್, ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ x ಅನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ x 0 ಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುವ ಪದವು w ಇದ್ದರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ w ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಪದ. ರಸ್ತೆ ಬಣ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣ ಯಾವಾಗಲೂ ಇದೆಯೇ? ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಓದಬಹುದು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಆಟೋಮ್ಯಾಟಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೇಳೋಣ. ಬಣ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರಿಮಿತ ಆಟೊಮ್ಯಾಟನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳು ರಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಹೇಗೆ ಚಲಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಈ ಯಂತ್ರವನ್ನು ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿ ಚಾನಲ್ ಮೂಲಕ ಆಜ್ಞೆಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಗಿತಗಳಿಂದಾಗಿ ಈ ಚಾನಲ್ ಕಲುಷಿತಗೊಂಡಿದೆ, ಯಂತ್ರವು ಕೆಲವು ತಪ್ಪಾದ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಅದು ಯಾವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ನಂತರ, ಸಿಂಕ್ ಪದವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈಗ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತರಬಹುದು.

ಹಾಗಾದರೆ ಸಿಂಕ್ ಬಣ್ಣವು ಯಾವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ? ರಸ್ತೆ ಬಣ್ಣ ಕಲ್ಪನೆಯು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ನಿಖರವಾಗಿ d ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಲವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕು - ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರಬಾರದು. ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು V 1, V 2, ... V n ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಚು ಕೆಲವು Vi ಮತ್ತು Vi+1 ಅಥವಾ V n ಮತ್ತು V 0 ನಿಂದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ V ಯಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಚುಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವುದೇ V ನಡುವೆ "ಜಂಪ್" ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಣ್ಣಿಸಿದರೂ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೂ, ವಿಭಿನ್ನ V i ನಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ - ಅವು ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತವೆ.

ರಸ್ತೆ ಬಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ d ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ, ಬಲವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶನದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 1970 ರಲ್ಲಿ ಊಹೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಅಂದಿನಿಂದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅನೇಕ ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆ 2007 ರವರೆಗೆ ಗೋಚರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನದು ನನ್ನ ಬಹುತೇಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ (ಒಂದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ).

ಆವರ್ತಕತೆ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ N>1 ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ. ನಮ್ಮ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಅಂತಹ N ಇಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳ ಉದ್ದಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವು 1 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣ.

ಆವರ್ತಕತೆಯು "ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ N>1" ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸುಲಭ. ನೀವು ಇದನ್ನು ನಂಬಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು; ಉಳಿದ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಶೃಂಗಗಳನ್ನು V 1, V 2, ... V n ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಚುಗಳು ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವು n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಹೊಸ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ನಿರ್ದೇಶನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಬದಲಿಗಾಗಿ ನಮಗೆ ಎರಡನೇ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದ N>1 ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. r ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಿತ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ x ಈ ಮರದಲ್ಲಿ l(x) ಉದ್ದದ ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಚಿನ p-->q ಗೆ ಅದು l(q) = l (p) + 1 (mod N) ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು l(x) mod N ಪ್ರಕಾರ V i ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆ ಏಕೆ ನಿಜ? p-->q ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮರದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಳವಾಗಿ l(q) = l(p) + 1. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ರೂಟ್ r ನಿಂದ ಗೆ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ p,q ಶೃಂಗಗಳು R p ಮತ್ತು Rq. R r ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ q ನಿಂದ r ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ (ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ). ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು: R p p-->q R r , ಮತ್ತು R q R r . ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಚಕ್ರಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು N ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ನಾವು l (p)+1 = l (q) mod N ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಣೆ

ಗ್ರಾಫ್ G ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕೆಲವು ಪದವು ಒಂದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ತಂದರೆ ನಾವು p, q ಸ್ನೇಹಿತರ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯೋಣ: pw = qw. ಅವರು "ಎಂದಿಗೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರದಿದ್ದರೆ" p,q ಶತ್ರುಗಳೆಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಅವರು ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ p,q ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರನ್ನು ಕರೆಯೋಣ: pw qw ನಂತೆ ಅದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಬರದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು w" ನಂತರ ಅದು ಬರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರು ಎಂದಿಗೂ ಶತ್ರುಗಳಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ (ಇದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣ) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ರಚನೆಯಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ: p, q ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿದ್ದರೆ, p ಒಂದು ಅಂಚಿನಿಂದ p, q ನಿಂದ q ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ", ಮತ್ತು ಈ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣ, ನಂತರ p" ಮತ್ತು q" ಸಹ ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರು. ಇದರರ್ಥ ಸ್ನೇಹವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬಹುದು: ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್ G ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ", ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು G ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. G ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ ಇದ್ದರೆ, G" G ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಾಗಿ, ಮೂಲ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ G ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ d ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ G" ನಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, P ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಶೃಂಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಮೂಲ ಶೃಂಗಗಳ p1, p2... , ಮತ್ತು α ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಂಚುಗಳು p1--α--> q1, p2---α-->q2, ಇತ್ಯಾದಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ q1, q2..., ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹದಲ್ಲಿದೆ , ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಹೊಸ ಶೃಂಗದ Q ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಹೊಸ ಅಂಚಿನ P --α-->Q ಆಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು d ಬಣ್ಣಗಳಿಗೂ.

ಮೇಲಾಗಿ, G ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ, G" ಕೂಡ ಹಾಗೆಯೇ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ - ಆವರ್ತಕತೆಯ ನಮ್ಮ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು - G ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರವು G" ನಲ್ಲಿ ಚಕ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ G ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳ ಉದ್ದಗಳು n > 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ನಂತರ G ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ G ಯ ಆವರ್ತಕತೆಯು G ಯ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು G ಯಲ್ಲಿ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಅದನ್ನು ಈಗ G ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಅಂಚಿನ p-->q ಹೊಸ ಬಣ್ಣವನ್ನು P ಅಂಚಿನ ಹೊಸ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ -->Q. ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರಬೇಕು: ಗ್ರಾಫ್ G ನ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ P ಎಲ್ಲಾ ಬಣ್ಣಗಳ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ಹೊಸ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ π P: ಬಣ್ಣದಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿದ ಅಂಚು ಹೊಸ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ α ಪಿ (α). ನಂತರ ಮೂಲ ಗ್ರಾಫ್ G ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ವರ್ಗ P ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ p ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬಣ್ಣಿಸಲು ಅದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು π P ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ G ಯ ಹೊಸ ಬಣ್ಣವು "ಸ್ನೇಹ", "ಹಗೆತನ" ಮತ್ತು "ಸ್ಥಿರತೆ" ಯ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೋಲುವಂತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಹಳೆಯ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ p, q ಎಂಬ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿದ್ದರೆ - ಅವರು ಒಂದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವರು - ನಂತರ ಅವರು ಹೊಸದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತಾರೆ. ಏಕೆಂದರೆ p,q ಅನ್ನು ಒಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ತರುವ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಹಳೆಯ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಹೊಸದಕ್ಕೆ "ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು" ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ p ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು π P ಬಳಸಿ. ಹಳೆಯ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ p,q ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು "ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ" ಉಳಿಯುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳು p n , q n ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ p,q ನಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದವರೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ P n ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ π P n .

ಹೊಸ ಬಣ್ಣವು G ಗಾಗಿ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮವು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು P ಗೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ತರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ G ಯಲ್ಲಿನ ಹೊಸ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ w ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು "P ಒಳಗೆ" ಎಲ್ಲೋ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, P ವರ್ಗದೊಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಹೊಸ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಈಗ w ಅನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದು ಶೃಂಗ G ಆಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವವರೆಗೆ ಉಳಿದಿರುವ ಇನ್ನೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೊಸ ಬಣ್ಣವು ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸ್ ಆಗುತ್ತಿದೆ ಜಿ.

ಈ ಎಲ್ಲದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರ ಜೋಡಿ ಇರುವ ಬಣ್ಣವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಏಕೆಂದರೆ ನಂತರ ಗ್ರಾಫ್ G ನಿಂದ ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಗಾತ್ರದ ಗ್ರಾಫ್ G ಗೆ ಹೋಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಅನುಗಮನದ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣ G ಗಾಗಿ" ಸಹ G ಗಾಗಿ ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸ್ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್‌ಗಳು

ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗ ಮತ್ತು w ಪದಕ್ಕಾಗಿ, Aw ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು A ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು w ಪದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇದನ್ನು Gw ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣ ಎಂದರೆ Gw ಒಂದು ಅಂಶದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವಂತಹ w ಇದೆ.

A ಶೃಂಗಗಳ ಸೆಟ್ ಕೆಲವು w ಗೆ Gw ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, A ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಶತ್ರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಎಂದಿಗೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಎ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಗುಂಪು. ಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪೂರ್ಣ G ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸ್ನೇಹಿತ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ w ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು; ಶತ್ರುಗಳು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಒಂದು ಶೃಂಗವು ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪು, ಸರಳವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ.

A ಒಂದು ಗುಂಪು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪದಕ್ಕೆ w Aw ಕೂಡ ಒಂದು ಗುಂಪು; ಶತ್ರುಗಳು ಶತ್ರುಗಳಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. x ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವಾಗಿದ್ದರೆ, x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕ್ಲಿಕ್ ಎ (ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ನೋಡಿ) ಇದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; p ಒಂದು ಶೃಂಗವಾಗಿದ್ದರೆ, p ನಿಂದ x ಗೆ w ಎಂಬ ಪದವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್; ನಂತರ Aw ಎಂಬುದು x ಸೇರಿದಂತೆ ಒಂದು ಗುಂಪು.

ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಬಣ್ಣವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕ್ಲಿಕ್‌ಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ - ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಸಾಕು. ಈ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು A ಮತ್ತು B ಎಂಬ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು A ಮತ್ತು B ಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಂಪುಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ತೂಕವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗ x ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ತೂಕದ w(x) ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ x x ನಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ತೂಕವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಂತರ ನಾವು d*w(x) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ d ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹ w(x) ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. M ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ G ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಸೆಲ್ (i,j) ಒಂದು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ i-->j ಇದ್ದರೆ 1, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅಂಚು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0), ನಂತರ w(x), ನಾನು ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಬಿಟ್ಟರುಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂ d ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ d ಒಂದು ಐಜೆನ್ವಾಲ್ಯೂ ಆಗಿದೆ: ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ(1,1,....1) - ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ d ಅಂಚುಗಳು ಹೊರಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

A ಎಂಬುದು ಶೃಂಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, W(A) A ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು w(G) ಎಂಬುದು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, s ಯಾವುದೇ ಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು s ಜೊತೆಗೆ "ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ" ಹೋದರೆ ನೀವು A ನಿಂದ ಬರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು As -1 ಸೂಚಿಸಲಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಆ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ) ಸೂಕ್ತವಾದ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಅವಳ ಬಳಿಗೆ ಹೋಗಿ.

ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು w Aw ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ತೂಕ w(A) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಣ್ಣವು ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ (ಅನನ್ಯ), ಆದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲ.

A ಶೃಂಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ d ಬಣ್ಣಗಳ ಮೇಲೆ α ಚಲಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ w (Aα -1) ಮೊತ್ತವು d*w(A) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಇದು ಕೇವಲ ತೂಕದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವು A. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ A ಗರಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು w(Aα -1) w(A) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ . ಮತ್ತು ಈ ತೂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು d*w(A) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ w (A) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಹ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, A ಗರಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪದ w ಗೆ Aw -1 ಸಹ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಅಸಂಯೋಜಿತ ನಿದರ್ಶನಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಆವರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು ಗರಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ A 1 ...A n , ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ a 1 ...a n ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ w (ಆರಂಭಿಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n=1 ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ ಹೊಂದಿಸಿ, ಇದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಸುಲಭ). ಎಲ್ಲಾ 1 ...a n ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಅಂತಿಮ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದರ ಅಂಶಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ A i ಒಟ್ಟಿಗೆ G ಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಖಾಲಿ ಮಾಡಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು x ಎಲ್ಲಾ A i ನ ಹೊರಗೆ ಶೃಂಗವಾಗಿರಲಿ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, 1 ರಿಂದ x ವರೆಗೆ ಕೆಲವು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ನಂತರ n ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್‌ಗಳು A i h -1 w -1 whw ಪದದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂತಿಮ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ a 1 ...a n , ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ A 1 ಕೆಲವು ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ Awhw = (Aw)hw = (a 1 h) w = xw. ಈ ಶೃಂಗವು xw ಎಲ್ಲಾ a 1 ...a n ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ A i ಅನ್ನು x ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ n+1 ಸೆಟ್‌ಗಳು - ಎಲ್ಲಾ A i h -1 w -1 ಜೊತೆಗೆ A 1 - ವಿವಿಧ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ whw ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೆಟ್‌ನ ಹೊರಗೆ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಗಳು ಉಳಿಯದವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ G ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕವರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವು ಗರಿಷ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ w max ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕವರೇಜ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ N max = w(G)/w max .

ಈಗ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಶತ್ರುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಅಂತಹ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು Gw ರೂಪವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ). ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ ಶತ್ರುಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ N ಗರಿಷ್ಠ ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗರಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಸದಸ್ಯ A ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ A ನ ಗಾತ್ರವು ಗರಿಷ್ಠ N max ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

A ಎಂಬುದು Gw ರೂಪದ ಒಂದು ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ, ಇಲ್ಲಿ w ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ಪದವಾಗಿದೆ. ನಂತರ G = Aw -1, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ w(G) ಮೊತ್ತವು w(aw -1) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರಕಾರ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ N max, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ aw -1 ಅನ್ನು ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಬಿಂದು a ನಲ್ಲಿ w ಪದದೊಂದಿಗೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ತೂಕವು ಗರಿಷ್ಠ w max ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವು w(G) = N max *w max ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು N max ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದವು w max ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ: ನಿಖರವಾಗಿ N ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳು.

A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಿರಲಿ, A ಒಳಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು B ಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ: |A| - |A∩B| = 1.

A ಮತ್ತು B ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಕಾರಣ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ |B| - |A∩B| = 1, ಅಂದರೆ. A ಮತ್ತು B ಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಶೃಂಗದ p, ಮತ್ತು B ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೃಂಗ q ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಶೃಂಗಗಳು p,q ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಪದವು ಅವರನ್ನು ಶತ್ರುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. pw ಮತ್ತು qw ಶತ್ರುಗಳು. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, Aw ಮತ್ತು Bw ಕೂಡ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಶತ್ರುಗಳು pw ಮತ್ತು qw ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅವುಗಳು ಮತ್ತೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಂತರ Aw ∪ Bw ಎಂಬುದು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಶತ್ರುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದರಲ್ಲಿ Aw ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಶತ್ರುಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಒಂದು ಗುಂಪು; Bw ಅಂಶಗಳಿಗೂ ಇದು ನಿಜ; ಮತ್ತು pw,qw ಜೋಡಿ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ - ಶತ್ರುಗಳೂ ಸಹ. ಆದರೆ ಈ ಸೆಟ್ N max +1 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ವೈರಿಗಳ ಸೆಟ್ N max ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ pw ಮತ್ತು qw ಯಾವುದೇ w ನ ಶತ್ರುಗಳಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, p ಮತ್ತು q ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರು.

ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳು

ನಾವು ನೀಡಿದ ಗ್ರಾಫ್ G ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಹೊರಹೋಗುವ ಅಂಚನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್(ವ್ಯಾಪಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್). ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವು ಹೇಗಿವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸೋಣ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ R ಇರಲಿ. ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನಮಗೆ ಒಂದೇ ಆಯ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ R ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಚು ಮಾತ್ರ ಹೊರಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ನಾವು ಚಕ್ರವನ್ನು ಮುಚ್ಚುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಶಃ ಈ ಚಕ್ರವು x ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲೋ "ಮುಂದೆ" ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x-->y-->z-->s-->y. ನಂತರ ಈ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ "ಬಾಲ" x ನಿಂದ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಶೃಂಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಚಕ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು. ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ R ಒಂದು ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಅದರಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಇರಬಹುದು), ಅಥವಾ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ "ಬಾಲ" ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ R ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ "ತಲೆಕೆಳಗಾದ" ಮರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ: ಪ್ರತಿ ಮರವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಮೂಲ" ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ನಾವು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮಟ್ಟದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಅದರ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ R. ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಶೃಂಗಗಳು ಹಂತ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಮರದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಶೃಂಗಗಳು ತಮ್ಮ ಮರದಲ್ಲಿನ “ಮೂಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ” ಸೈಕಲ್ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಕೆಲವು ಶೃಂಗಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ L ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬಹುಶಃ ಇದು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಅಂದರೆ. ಮರಗಳಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಚಕ್ರಗಳು. ಬಹುಶಃ ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ವಿವಿಧ ಮರಗಳ ಮೇಲೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಚಕ್ರಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ.

ನಾವು ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ R ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಮರದ ಮೇಲೆ ಇಡುತ್ತವೆ. ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ನಂಬಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವು ವಿವಿಧ ಮರಗಳಲ್ಲಿ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ - ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಅಂತಹ ಗರಿಷ್ಠ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು x ಮತ್ತು R ಗೆ ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. x ಗೆ. ನಂತರ ಕೆಲವು ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಹಾನಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ ... ಆದರೆ ಇದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಂತರ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಇದು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿ ತುಂಬಾ ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.

ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು R ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಮರದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಮರವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟ L > 0. ಈ ಊಹೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಬಣ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ A ಮತ್ತು B ಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಜೋಡಿ ಇದೆ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಸ್ನೇಹಿತರು.

ಬಣ್ಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಆರಿಸಿ α, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ R ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಈ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ G ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇತರ ಕೆಲವು ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿ (ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಣ್ಣ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ R G ಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, α ಬಣ್ಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳು R ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಮರಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಕ್ರಗಳ ಕಡೆಗೆ "ತಳ್ಳುತ್ತವೆ" ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಚಕ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಓಡಿಸುತ್ತವೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಇವು ಮಾತ್ರ ಪದಗಳು.

R ನಲ್ಲಿ x ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ L ನ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ K ಯಾವುದೇ ಕ್ಲೈಕ್ ಆಗಿರಲಿ; ಅಂತಹ ಒಂದು ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. K ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ L ನ ಕೆಲವು ಶೃಂಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದೇ? ನಮ್ಮ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು x ನಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಮರದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ α L ಪದವು ಅವುಗಳನ್ನು x ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ - ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಈ ಮರದ ಮೂಲಕ್ಕೆ. ಇದರರ್ಥ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು x ನ ಸ್ನೇಹಿತರು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, x ಜೊತೆಗೆ, K ಕೇವಲ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

A = Kα L-1 ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು R ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಚಕ್ರವನ್ನು ತಲುಪಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ x ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ A ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು L ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕೇವಲ x ಮಾತ್ರ ಚಕ್ರದ ಹೊರಗೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ 1 ಅಂತರ. ಈಗ R ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ m ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. m ಅಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರೆ ಶೃಂಗ y R ನಲ್ಲಿ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪದ α m ಅದನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ: yα m = y. ಗುಂಪು B = Aα m ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. x ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ B ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು x ಮಾತ್ರ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದರ ಚಕ್ರವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿತು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೋ ಅಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿತು. ಇದರರ್ಥ A ಮತ್ತು B ನ ಛೇದಕವು ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: |A| - |A∩B| = 1. ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಕಾರ, ನಮ್ಮ ಬಣ್ಣವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು.

ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ R ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ, ಅದು ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟ L > 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಮರದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪುರಾವೆಯ ಭಾಗವು ನೀರಸ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಲೆಮ್ಮಾ ಆಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾನು ಓದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವವರಿಗೆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಈ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ.

ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ G ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, G ಗೆ ಯಾವುದೇ ಕುಣಿಕೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಅಂದರೆ. ಶೃಂಗದಿಂದ ಅದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಅಂಚುಗಳು. ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೂಪ್ ಇದ್ದರೆ, ಸಿಂಕ್ರೊನೈಸಿಂಗ್ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಈ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬಣ್ಣ α ಬಣ್ಣ ಮಾಡೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ, ಈ ಶೃಂಗದಿಂದ "ಬಾಣಗಳ ವಿರುದ್ಧ" ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋಗಿ, ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿ ಇದರಿಂದ ಬಣ್ಣ α ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರಣ, ಇದನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಲೂಪ್ ಕೆಲವು ಡಿಗ್ರಿ α ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ಕೆಲವು ಶೃಂಗದಿಂದ p ಎಲ್ಲಾ d ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಶೃಂಗ q ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಗುಂಪನ್ನು. ನಮ್ಮ ಎರಡನೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವು ಇದು: ವಿವಿಧ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ p ಮತ್ತು q ಎರಡು ಲಿಂಕ್‌ಗಳು ಮುನ್ನಡೆಸುವ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ r ಇಲ್ಲ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಏಕೆ ವಿಧಿಸಬಹುದು? ಏಕೆಂದರೆ ಕನೆಕ್ಟಿವ್‌ಗಳು p ಮತ್ತು q ನಿಂದ r ಗೆ ಹೋದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ p, q ಮೊದಲ ಬಣ್ಣದ ನಂತರ r ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಮಾಣ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಾವು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಸ್ಥಿರ ಸ್ನೇಹಿತರನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ R ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮರಗಳಿವೆ. ಕೆಲವು R ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಗ್ರಾಫ್ G ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಬಿಡುವ ಎಲ್ಲಾ d ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ - ನಂತರ R ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಪ್ರತಿ ಲಿಂಕ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಆರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, R ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಚಕ್ರವಿರಬಹುದು (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, R ನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ G ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ - G ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು R ನ ಅಂಚುಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳು ಸಂಯೋಜಕಗಳಾಗಿವೆ - ಮತ್ತು G ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ), ಮತ್ತು G ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರವು ಈ ಚಕ್ರದ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಂದ ಇತರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದು ಒಂದೇ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ, ಅದೇ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ G ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಈ ಉದ್ದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು G ಯ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, G ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವಂತಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಕೆಲವು ಎರಡು ಅಂಚುಗಳಿವೆ p-- >q R ನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು p-->s ಹೊರಗೆ R (p ನಿಂದ ಕೆಲವು ಅಂಚುಗಳು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಶೃಂಗದ s ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಕನೆಕ್ಟಿವ್‌ಗಳ ಕುರಿತು ದೀರ್ಘವಾದ ವಾದದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ). ನಂತರ ನಾವು p-->q ಅನ್ನು p-->s ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಚಕ್ರವನ್ನು "ಮುರಿಯುತ್ತದೆ", ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಬಾಲವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಾಲವು ನಮಗೆ ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಂದ R ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು R ಅನ್ನು ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಇದು ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಮಿತಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ L ನ ಕೆಲವು ಶೃಂಗಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ವಿವಿಧ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ಒಂದು ಶೃಂಗ x ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಶೃಂಗವು ಮರದ ದೀರ್ಘ ಮಾರ್ಗದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ, L ಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಮರಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವು ಒಂದೇ ಮರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಬೇಕು. ನೀವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:

a) ಸ್ವಲ್ಪ ಅಂಚಿನ y-->x ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು R ಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಚನ್ನು y-->z ಅನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ;
b) b-->r ಅಂಚನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು x ನಿಂದ ಅದರ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ (ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ r) ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದು, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಸೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇತರ b-->z ಸೇರಿಸಿ.
c) ಚಕ್ರದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ c-->r ಅಂಚನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇತರ c-->z ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಈ ಬದಲಾವಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಟ್ರಾಕ್ಟ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾ 7 ವಿವರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು R ನ ಗರಿಷ್ಟತೆ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸುತ್ತದೆ (ಕೆಲವು ಬದಲಾವಣೆಯು R ಗಿಂತ ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಇದು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಎರಡು ಲಿಂಕ್‌ಗಳು ಕಾರಣವಾಗುವ ಶೃಂಗವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ R ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮರದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವಾರದ ನಂತರ ನವೀಕರಿಸಿ:ಆದಾಗ್ಯೂ ನಾನು ಈ ನಮೂದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವಾವಲಂಬಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಹ ಪುನಃ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಆದರೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಲೇಖನದಿಂದ ಕಿತ್ತುಹಾಕಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ R ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. R ಅನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಮರದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದ ತಕ್ಷಣ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮುಗಿಸುತ್ತೇವೆ (ಮತ್ತು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠತೆಯು ಕಳೆದುಹೋಗಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೆದರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಸ್ವತಃ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ). x ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ L ನ ಶೃಂಗವಾಗಿರಲಿ, T ಅದು ಇರುವ ಮರದ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ, r ಆವರ್ತ C ಯಲ್ಲಿ T ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ, b-->r x ನಿಂದ C ಚಕ್ರದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ r ಗಿಂತ ಹಿಂದಿನ ಕೊನೆಯ ಅಂಚು. ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು , ಈ ಚಕ್ರವನ್ನು ಸೇರುವ ಇತರ ಕೆಲವು ಮರಗಳು ಅಥವಾ ಇತರವುಗಳು ಎಲ್ ಮಟ್ಟದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಈಗಾಗಲೇ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು T ನಿಂದ L ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಇತರ ಮರಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಎ) ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: G ನಲ್ಲಿ y-->x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ - ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಲೂಪ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಮತ್ತು R ನಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ x ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟ. ಅದನ್ನು R ಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಇದ್ದ ಕೆಲವು y-->z ಅನ್ನು ಹೊರಹಾಕೋಣ. y ಮರದ T ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y-->x ಹೊಸ ಚಕ್ರವನ್ನು ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮರಗಳು (ಕನಿಷ್ಠ R ನಲ್ಲಿದ್ದವುಗಳು) ಇವೆ. R ನ ಗರಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. y T ಮೇಲೆ ಇರದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು y-->z ಒಂದು ಚಕ್ರದ ಭಾಗವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, y-->z ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಈ ಚಕ್ರವನ್ನು ಮುರಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ y-->x ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ T ಮರದ ಮಟ್ಟ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಇತರ ಮರಗಳು ಉದ್ದವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಆಯ್ಕೆಯು y-->z ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದಾಗ, ಅದು ಈಗ ಮುರಿದುಹೋಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಚಕ್ರವು ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ: r ನಿಂದ y ಗೆ, ನಂತರ y-->x, ನಂತರ x ನಿಂದ r ಗೆ ಹಿಂದಿನ ಮರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ. ಈ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವು l(ry)+1+L, ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಚಕ್ರ C ನ ಉದ್ದವು l(ry)+1+l(zr). ಹೊಸ ಚಕ್ರವು ಹಳೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿರಬಾರದು, ಇದು R ನ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು L ≤ l(zr), ಅಂದರೆ. ಹಳೆಯ ಲೂಪ್‌ನಲ್ಲಿ z ನಿಂದ r ಗೆ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹೊಸ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ, ಶೃಂಗ z ಈಗ ಕನಿಷ್ಠ l(zr) ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು L ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು l(zr)=L ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: a) ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ y-->z ಚಕ್ರ C, l(zr) = L ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ b): ಅಂಚಿನ b-->r ಅನ್ನು ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ b-->d ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಹೊಸ ಶೃಂಗ ಡಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. T ಮರದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಮುರಿಯದೆ ಹೊಸ ಚಕ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು R ನ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಮರದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, x ಸೇರಿದಂತೆ T ಯ ಗರಿಷ್ಠ ಶೃಂಗಗಳು ಈಗ L ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಮರಗಳು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಾವು ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ . ಮತ್ತೊಂದು ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ, C ಅಲ್ಲ, ನಾವು ಈಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ b) a): y-->z C ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು C ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹೊಸ ಚಕ್ರವಲ್ಲ ಈಗ ಮರದ T ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮರದ ಮೇಲೆ ಈಗ L ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಶೃಂಗಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಉಳಿದಿರುವ ಆಯ್ಕೆಯು b-->d ಅನ್ನು ಚಕ್ರ C ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ, r ಗಿಂತ ಬೇರೆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ ಅದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ d=r. ನಾವು b-->r ಅನ್ನು b-->d ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - ಟ್ರೀ T, ಮಟ್ಟದ L ನ ಶೃಂಗ x, ಇತ್ಯಾದಿ. - ಕೇವಲ ಮರವು ಈಗ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ ಡಿ. ಈಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a), l(zd) = L ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ), ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ l(zr) = L. ಆದರೆ l(zd) = l(zr), ಅಂದರೆ. z ನಿಂದ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅಂತರವು d ಮತ್ತು r ಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇದು ಒಂದೇ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ: d=r. ಆದ್ದರಿಂದ, b) ಕೆಲಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, b ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಂಚು r ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬೇಕು, ಅಂದರೆ. b ನಿಂದ ಅಂಚುಗಳು ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, C ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುವ c-->r ಅಂಚನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. b ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು r ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಲಿಂಕ್‌ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಲಿಂಕ್‌ಗಳು ಇರಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವಿಧಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಶೃಂಗ, c ನಿಂದ r ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಅಂಚು c-->e ಇರುತ್ತದೆ. c-->r ಅನ್ನು c-->e ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಶೃಂಗವು ಎಲ್ಲಿ ಮಲಗಬಹುದು? T ಮರದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು R ನ ಗರಿಷ್ಟತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ C ಚಕ್ರವನ್ನು "ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ". ಆದ್ದರಿಂದ e ಮತ್ತೊಂದು ಮರದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದೇ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ C ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ r ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ನಂತರ T ಮರವು ಲೂಪ್‌ಗೆ ಸೇರುವ ಮೊದಲು, ಈಗ r ನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಚಿನಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚು (ಇ r ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ ಸುಳ್ಳು ಮತ್ತು c-->e ಲೂಪ್ C ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ, ಅದರಿಂದ r ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ). ಇದರರ್ಥ ಶೃಂಗದ x ಮತ್ತು ಇತರ ಗರಿಷ್ಠ ಶೃಂಗಗಳು T ಈಗ L+1 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಮರಗಳು ಉದ್ದವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಡಿಸ್ನಿ ಮತ್ತು ಪಿಕ್ಸರ್‌ಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಜೂನ್ 2006 ರಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಜಗತ್ತು ಕಾರ್ಟೂನ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿತು, ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರುಗಳು ಮಾತ್ರ ನಾಯಕರಾದರು.

ಕಾರ್ಟೂನ್ ಕಾರ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೀವನವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತವೆ - ಒಬ್ಬರು ಟೈರ್ ಅಂಗಡಿಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಟ್ಯೂನಿಂಗ್ ಸ್ಟುಡಿಯೋ, ಮತ್ತು ಕೆಲವರು ಹಿಪ್ಪಿ ಫಿಲ್‌ಮೋರ್ (ವೋಕ್ಸ್‌ವ್ಯಾಗನ್ ಟಿ 1) ಅಥವಾ ಅವನ ಸ್ನೇಹಿತ, ಎರಡನೆಯ ಮಹಾಯುದ್ಧದ ಅನುಭವಿಯಂತೆ ತಮ್ಮ ಸಂತೋಷಕ್ಕಾಗಿ ಬದುಕುತ್ತಾರೆ. ಸೆರ್ಗೆ (ವಿಲ್ಲೀಸ್). ಚಿತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರ, "ಮಿಂಚು" ಎಂಬ ಅಡ್ಡಹೆಸರಿನ ಮೆಕ್ಕ್ವೀನ್, ರೇಸಿಂಗ್, ವಿಜಯಗಳು ಮತ್ತು ವೈಭವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕನಸು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅಮೇರಿಕನ್ ಹೆದ್ದಾರಿ 66 ರಲ್ಲಿ ರೇಡಿಯೇಟರ್ ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೂ "ಹಸಿರು" ಮೆಕ್ಕ್ವೀನ್ ಅವರು ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ತಂಪಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, NASCAR ಓಟದಲ್ಲಿ ಅವನ ಮೊದಲ ಆರಂಭವು ಅವನ ಭ್ರಮೆಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ. ಸ್ನೇಹಿತರು ನಾಯಕನಿಗೆ ನಷ್ಟದಿಂದ ಬದುಕುಳಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ - ಹಳೆಯ ಟವ್ ಟ್ರಕ್ ಮೇಟರ್ (ಜಿಎಂಸಿ ಪಿಕ್-ಅಪ್), ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಡಾಕ್ ಹಡ್ಸನ್ (ಹಡ್ಸನ್ ಹಾರ್ನೆಟ್) ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಫೆರಾರಿಯನ್ನು ನೋಡುವ ಕನಸು ಕಾಣುವ ಪುಟ್ಟ ಲುಯಿಗಿ (ಫಿಯೆಟ್ 600).

ಸರಿ, ರೊಮ್ಯಾಂಟಿಕ್ ಬ್ಯೂಟಿ ಸ್ಯಾಲಿ (ಆಕರ್ಷಕ 911 ಟ್ಯಾಟೂದೊಂದಿಗೆ ಪೋರ್ಷೆ) ಇಲ್ಲದೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ! ಅವರಿಗೆ ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಮೆಕ್‌ಕ್ವೀನ್ ಇನ್ನೂ ಓಟವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ, ಚಿಕೋನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರತಿಸ್ಪರ್ಧಿಯನ್ನು (ಪ್ಲೈಮೌತ್ ಹೆಮಿ ಕುಡಾ) ಸೋಲಿಸುತ್ತಾನೆ. ಲುಯಿಗಿ ಅವರ ಕನಸು ಕೂಡ ನನಸಾಗುತ್ತದೆ - ಒಂದು ದಿನ "ಮಾರನೆಲ್ಲೊದಿಂದ ಸ್ಟಾಲಿಯನ್", "ರೆಡ್ ಬ್ಯಾರನ್" ಸ್ವತಃ ಮೈಕೆಲ್ ಶುಮಾಕರ್ ಅವರು ಟೈರ್ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅವರ ಅಂಗಡಿಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ.

ಚಿತ್ರದ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತರು ಮತ್ತು ಧ್ವನಿ ನೀಡಿದವರು ಇಬ್ಬರೂ ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡವರು ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಕ ಜೋ ಲ್ಯಾಸ್ಸೆಟರ್ ತನ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಾಲ್ಯವನ್ನು ಚೆವ್ರೊಲೆಟ್ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ಕಳೆದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರ ತಂದೆ ಮುಖ್ಯ ವಿನ್ಯಾಸಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾಗಿದ್ದರು. ಫೋರ್ಡ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ವಿನ್ಯಾಸಕ ಜೇ ಮೇಸ್ ಸಲಹೆಗಾರರಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದರು. ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಏಳು ಬಾರಿ ಫಾರ್ಮುಲಾ 1 ವಿಶ್ವ ಚಾಂಪಿಯನ್ ಮೈಕೆಲ್ ಶುಮಾಕರ್ ಜೊತೆಗೆ, NASCAR ತಾರೆಗಳಾದ ರಿಚರ್ಡ್ ಪೆಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ನ್ಯೂಮನ್, ಹಾಗೆಯೇ ಪೌರಾಣಿಕ ರೇಸರ್ ಮೈಕೆಲ್ ಆಂಡ್ರೆಟ್ಟಿ ಪಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಧ್ವನಿ ನೀಡುವಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರು.

ಕಾರುಗಳ ಮೂಲ ಶಬ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರೇಸಿಂಗ್ ಸಂಚಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಎನ್ಎಎಸ್ಸಿಎಆರ್ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೇರಿಕನ್ ಅಂಡಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಾರಗಳವರೆಗೆ ಧ್ವನಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಲನಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಎರಡು ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು, ಅದರ ಬಜೆಟ್ 70 ಮಿಲಿಯನ್ USD ಆಗಿತ್ತು. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, 43 ಸಾವಿರ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರುಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು 17 ಗಂಟೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 120 ಕಾರ್ ಪಾತ್ರಗಳಿವೆ - ಹೊಸ ಪೋರ್ಷೆಸ್ ಮತ್ತು ಫೆರಾರಿಸ್‌ನಿಂದ ಪುರಾತನ ಫೋರ್ಡ್ ಟಿ ವರೆಗೆ.

ರಸ್ತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಗುವಿನ ಜ್ಞಾನವು ಬೀದಿಯಲ್ಲಿ ಅವನ ಸುರಕ್ಷತೆಗಾಗಿ ಮುಖ್ಯ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವಯಸ್ಕರು ಸೇರಿದಂತೆ ಅನೇಕ ಪಾದಚಾರಿಗಳು ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿವಿಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಅಪಘಾತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಜನನಿಬಿಡ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬೀದಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ, ಅವರು ರಸ್ತೆ ಸಂಚಾರದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಎಂದು ಮಕ್ಕಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಚಾರ ನಿಯಮಗಳ ಅನುಸರಣೆ ಅವರ ಜವಾಬ್ದಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ಬಣ್ಣ ಪುಟಗಳು ಮಕ್ಕಳಿಗಾಗಿ ಸಂಚಾರ ನಿಯಮಗಳು.

ಬೀದಿಯಲ್ಲಿ (ರಸ್ತೆಗಳು, ಕಾಲುದಾರಿಗಳು, ನಗರ ಸಾರಿಗೆ) ನಡವಳಿಕೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮಗುವಿಗೆ ಕಲಿಸುವುದು ಚಿಕ್ಕ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು, ಅವನು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಓಡಲು ಕಲಿಯುವ ಮೊದಲು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮಗು ಬೀದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪೋಷಕರು ಮತ್ತು ಇತರ ವಯಸ್ಕರ ಉದಾಹರಣೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ನಿಮ್ಮ ಮಗುವಿಗೆ ರಸ್ತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೇಳುವುದು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ನಿಯಮಗಳ ಬಣ್ಣ ಪುಟಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಶಾಲಾಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಕ್ಕಳು ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

1. ಬಣ್ಣ ಪುಟ ಸಂಚಾರ ಬೆಳಕು.

ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ದಾಟಲು ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಳವೆಂದರೆ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಹೊಂದಿದ ಪಾದಚಾರಿ ದಾಟುವಿಕೆ. ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್‌ಗಳ ಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಪುಟಗಳು ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಾಸಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

• ಯಾವಾಗಲೂ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಹಸಿರು ಇರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಚಾಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.
• ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳು ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ಹಳದಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಾಹನಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಎಂದಿಗೂ ರಸ್ತೆ ದಾಟಬೇಡಿ.
• ಹಸಿರು ದೀಪಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದಾಗ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಸುರಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ - ಎಡಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಬಲಕ್ಕೆ ನೋಡಿ.

2. ಬಣ್ಣ ಪುಟ ಪಾದಚಾರಿ ದಾಟುವಿಕೆ.

ಪಾದಚಾರಿ ದಾಟುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ರಸ್ತೆಮಾರ್ಗವನ್ನು ದಾಟಲು ನಿಮ್ಮ ಮಗುವಿಗೆ ಕಲಿಸಿ. ಪಾದಚಾರಿ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್‌ಗಳ ಬಣ್ಣ ಪುಟಗಳು ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ದಾಟಲು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತದೆ. ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಲೈಟ್ ಹೊಂದಿರದ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

• ಪಾದಚಾರಿ ದಾಟುವಿಕೆಯನ್ನು ರಸ್ತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಜೀಬ್ರಾ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.
• ರಸ್ತೆ ದಾಟುವ ಮೊದಲು, ಅದನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
• ರಸ್ತೆ ದಾಟಿ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಓಡಬೇಡಿ.
• ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ರಸ್ತೆ ದಾಟಬೇಡಿ.
• ನಿಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಸ್ಥಾಯಿ ವಾಹನಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಕೊಡಿ.
• ಪಾದಚಾರಿ ದಾಟುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಫೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ.
• ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಭೂಗತ ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಸೇತುವೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ; ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ದಟ್ಟಣೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಕಾಲುದಾರಿಗಳು.

ಪಾದಚಾರಿ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪಾದಚಾರಿಗಳ ಸಂಚಾರಕ್ಕೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾದಚಾರಿ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದಟ್ಟಣೆ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ವರ್ತಿಸಲು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸಿ.

• ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪಾದಚಾರಿ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಹತ್ತಿರ ಹೋಗಬೇಡಿ.
• ಪ್ರಾಂಗಣಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲುದಾರಿಗಳಿಂದ ಹೊರಡುವ ಸಂಭವನೀಯ ವಾಹನಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಿ.
• ಪಾದಚಾರಿ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಆಡಬೇಡಿ ಅಥವಾ ಓಡಬೇಡಿ.

4. ನಗರದ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಸ್ ನಿಲ್ದಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಕ್ಕಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುಟಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವುದು.

ಈ ಬಣ್ಣ ಪುಟಗಳು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತದೆ.

• ರಸ್ತೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಕಳಪೆ ನೋಟ ಮತ್ತು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಮಗುವನ್ನು ಕಾಲುದಾರಿಯಿಂದ ರಸ್ತೆಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ತಳ್ಳುವ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನಿಂದಾಗಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆ ನಿಲ್ದಾಣವು ಅಪಾಯಕಾರಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು.
• ವಾಹನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಂತ ನಂತರವೇ ಅದರ ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿ.
• ವಾಹನದಿಂದ ಇಳಿದ ನಂತರ, ಅದು ನಿಲ್ಲಿಸಿದ ನಂತರವೇ ರಸ್ತೆ ದಾಟಲು ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಚಾರ ನಿಯಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ರಸ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಮಕ್ಕಳು ಆಸಕ್ತಿ ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸಂಚಾರ ನಿಯಮಗಳ ಬಣ್ಣ ಪುಟಗಳು ಅಂಬೆಗಾಲಿಡುವವರಿಗೆ, ಶಾಲಾಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶಿಶುವಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಚಾರ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಿತ್ರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಚಿತ - ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಮುದ್ರಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ಸ್ಯಾಂಡ್‌ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಲು ಹುಡುಗರನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಿದರೆ ನೀವು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಹುಡುಗರನ್ನು ಕಾರ್ಯನಿರತವಾಗಿರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಹೊರಗೆ ತಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಗುವಿಗೆ ಬೇಸರವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕಾರುಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ರಸ್ತೆ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಮುದ್ರಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಉಂಗುರಗಳು, ತಿರುವುಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರಸ್ತೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ವಿನೋದವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್‌ಗಳಿಂದ, ಮಗುವು ಯಾವುದೇ ಆಕಾರದ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು; ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ A4 ಹಾಳೆಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಕಾರುಗಳಿಗೆ ನೇರ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ

ಈ ಹಾಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. A4 ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು 3 ರಸ್ತೆಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಸಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ಮಗುವಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಕೋನದಲ್ಲಿ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕತ್ತರಿಸಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಿ, ವಿಭಾಗವು ಅವನಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾಡಲು.

ಕಾರುಗಳಿಗೆ ರಸ್ತೆ: ರಿಂಗ್

ರಸ್ತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ನಿಮಗೆ ರಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಮೂಲಸೌಕರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.

ಕಾರುಗಳಿಗೆ ರಸ್ತೆ: ನೇರ ತಿರುವು

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ತಿರುವುಗಳು ಹುಡುಗನಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಕಾರುಗಳಿಗೆ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ತಿರುವು ಅಲ್ಲ

ಕೆಳಗಿನ A4 ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.