ശരാശരി നില

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്താണെന്നും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ എന്താണെന്നും മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ ആവശ്യമായി വരുന്നത് എന്ന് നിങ്ങൾ ഒരുപക്ഷേ ചിന്തിച്ചിട്ടുണ്ടോ? അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് (പാരബോള) എവിടെയാണ് ബാധകം? അതെ, നിങ്ങൾ ചുറ്റും നോക്കേണ്ടതുണ്ട്, എല്ലാ ദിവസവും നിങ്ങൾ അത് ശ്രദ്ധിക്കും ദൈനംദിന ജീവിതംനിങ്ങൾ അവളെ കണ്ടുമുട്ടുക. ശാരീരിക വിദ്യാഭ്യാസത്തിൽ എറിഞ്ഞ പന്ത് എങ്ങനെ പറക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടോ? "ഒരു കമാനത്തിൽ"? ഏറ്റവും ശരിയായ ഉത്തരം "പരവലയം" ആയിരിക്കും! ജലധാരയിൽ ഏത് പാതയിലൂടെയാണ് ജെറ്റ് നീങ്ങുന്നത്? അതെ, ഒരു പരവലയത്തിലും! ഒരു ബുള്ളറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഷെൽ എങ്ങനെയാണ് പറക്കുന്നത്? അത് ശരിയാണ്, ഒരു പരവലയത്തിലും! അങ്ങനെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും വലിയ ദൂരം ഉറപ്പാക്കാൻ ഒരു പന്ത് ഏത് കോണിൽ എറിയണം? അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ വിക്ഷേപിച്ചാൽ പ്രൊജക്റ്റൈൽ എവിടെ അവസാനിക്കും? തുടങ്ങിയവ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം

അതിനാൽ, നമുക്ക് അത് മനസ്സിലാക്കാം.

ഉദാ, . ഇവിടെ തുല്യർ എന്താണ്, കൂടാതെ? ശരി, തീർച്ചയായും!

എങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും, അതായത്. പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്? ശരി, തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ "സങ്കടമുള്ളവരാണ്", അതായത് ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടും! ഗ്രാഫ് നോക്കാം.

ഈ ചിത്രം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു. മുതൽ, അതായത്. പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, ഈ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ഇതിനകം ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം, അതായത് സമവാക്യത്തിന് 2 വേരുകളുണ്ട്, കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു!

തുടക്കത്തിൽ തന്നെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനം നൽകിയപ്പോൾ, അത് ചില സംഖ്യകളാണെന്നും പറഞ്ഞു. അവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമോ? ശരി, തീർച്ചയായും അവർക്ക് കഴിയും! ഞാൻ അത് വീണ്ടും തുറക്കും വലിയ രഹസ്യം(ഇത് ഒരു രഹസ്യമല്ല, പക്ഷേ ഇത് എടുത്തുപറയേണ്ടതാണ്): ഈ നമ്പറുകളിൽ (ഒപ്പം) നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല!

ശരി, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഗ്രാഫുകൾക്ക് എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പരിഗണനയിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ (ഒപ്പം) മാറിയതിനാൽ അവയുടെ ലംബങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതായത്, അക്ഷങ്ങളുടെ കവലയിൽ, ഇത് ദിശയെ ബാധിക്കില്ല. ശാഖകൾ. അതിനാൽ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിനൊപ്പം പരവലയ ഗ്രാഫിൻ്റെ "ചലനത്തിന്" അവർ ഉത്തരവാദികളാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ബിന്ദുവിൽ അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഞങ്ങൾ അതേ ലോജിക്ക് പിന്തുടരുന്നു. ഇത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതായത്.

അതിനാൽ, ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇത് നമുക്ക് വളരെ ഉപകാരപ്പെടും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം

അത്തരം അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയാണ് കൂടുതലോ കുറവോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ്. അതാണ്:

• നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ അസമത്വമുണ്ടെങ്കിൽ, വാസ്തവത്തിൽ ചുമതല നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു സംഖ്യാ ഇടവേളപരവലയം അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ കിടക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ.
• നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ അസമത്വമുണ്ടെങ്കിൽ, വാസ്തവത്തിൽ പരവലയം അച്ചുതണ്ടിന് താഴെയുള്ള x മൂല്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതല.

അസമത്വങ്ങൾ കർശനമല്ലെങ്കിൽ, കർശനമായ അസമത്വങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വേരുകൾ (അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ) ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അവ ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു.

ഇതെല്ലാം തികച്ചും ഔപചാരികമാണ്, പക്ഷേ നിരാശപ്പെടുകയോ ഭയപ്പെടുകയോ ചെയ്യരുത്! ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം, എല്ലാം ശരിയാകും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ പാലിക്കും, അനിവാര്യമായ വിജയം നമ്മെ കാത്തിരിക്കുന്നു!

അൽഗോരിതം	ഉദാഹരണം:
1) നമുക്ക് അനുബന്ധ അസമത്വം എഴുതാം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം(അസമത്വ ചിഹ്നം "=" എന്ന തുല്യ ചിഹ്നത്തിലേക്ക് മാറ്റുക).
2) ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം.
3) അച്ചുതണ്ടിൽ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ സ്കീമാറ്റിക്കായി കാണിക്കുകയും ചെയ്യുക ("മുകളിലേക്ക്" അല്ലെങ്കിൽ "താഴേക്ക്")
4) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ അക്ഷത്തിൽ നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാം: പരാബോള അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ളിടത്ത് ഞങ്ങൾ "", താഴെ എവിടെ - "" എന്നിവ ഇടുന്നു.
5) അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച്, "" അല്ലെങ്കിൽ "" എന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേള (കൾ) എഴുതുക. അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, അത് കർശനമാണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്;

മനസ്സിലായി? തുടർന്ന് മുന്നോട്ട് പോയി അത് പിൻ ചെയ്യുക!

ഉദാഹരണം:

ശരി, അത് പ്രവർത്തിച്ചോ? നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കുക.

പരിഹാരം:

അസമത്വ ചിഹ്നം "" ആയതിനാൽ "" എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. അസമത്വം കർശനമല്ല, അതിനാൽ വേരുകൾ ഇടവേളകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്:

നമുക്ക് അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ലഭിച്ച വേരുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

അസമത്വ ചിഹ്നം "" ആയതിനാൽ "" എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. അസമത്വം കർശനമാണ്, അതിനാൽ വേരുകൾ ഇടവേളകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല:

നമുക്ക് അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്

നമുക്ക് ലഭിച്ച വേരുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

അസമത്വ ചിഹ്നം " " ആയതിനാൽ " " എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. ഏതൊരു കാര്യത്തിനും, ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ, ഉത്തരം ആയിരിക്കും.

നമുക്ക് അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരച്ച് അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാം:

അസമത്വ ചിഹ്നം " " ആയതിനാൽ " " എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. ഏതൊരു കാര്യത്തിനും, ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതിനാൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയായിരിക്കും:

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ. ശരാശരി നില

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം.

"ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്താണെന്നും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് എന്താണെന്നും നമുക്ക് ഓർക്കാം.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ് (അത് എന്താണെന്ന് ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?). "a) ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലാറ്റിനും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ, രണ്ടാമത്തേതിൽ () - നെഗറ്റീവ് മാത്രം ആണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു:

() സമവാക്യത്തിന് കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉള്ളപ്പോൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ), ഗ്രാഫ് അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

തുടർന്ന്, മുമ്പത്തെ കേസിന് സമാനമായി, " .

അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെന്നും അത് എവിടെ കുറവാണെന്നും എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ അടുത്തിടെ പഠിച്ചു:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, വേരുകൾ സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അത് കർശനമാണെങ്കിൽ, അവ അങ്ങനെയല്ല.

ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ, കുഴപ്പമില്ല, എല്ലായിടത്തും ഒരേ അടയാളം ആയിരിക്കും. വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, എല്ലാം ഗുണകത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: "25((x)^(2))-30x+9 ആണെങ്കിൽ

ഉത്തരങ്ങൾ:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

വേരുകളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ ഇടതുവശത്തുള്ള മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും മുമ്പ് ഗുണകത്തിൻ്റെ അടയാളം എടുക്കുന്നു:

• ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേള കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, പരവലയം അക്ഷത്തിന് മുകളിലായി കിടക്കുന്ന സംഖ്യാ ഇടവേളയാണിത്.
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേള കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പരവലയം അക്ഷത്തിന് താഴെയായി കിടക്കുന്ന സംഖ്യാ ഇടവേളയാണിത്.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനംഫോമിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ്:,

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു എങ്കിൽ, താഴെയാണെങ്കിൽ:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ:

എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന നാല് തരങ്ങളായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

പരിഹാര അൽഗോരിതം:

അൽഗോരിതം	ഉദാഹരണം:
1) അസമത്വത്തിന് അനുയോജ്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം (അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ "" തുല്യ ചിഹ്നത്തിലേക്ക് മാറ്റുക).
2) ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം.
3) അച്ചുതണ്ടിൽ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ സ്കീമാറ്റിക്കായി കാണിക്കുകയും ചെയ്യുക ("മുകളിലേക്ക്" അല്ലെങ്കിൽ "താഴേക്ക്")
4) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ അച്ചുതണ്ടിൽ നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാം: പരാബോള അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ളിടത്ത് ഞങ്ങൾ "", താഴെ എവിടെ - "" എന്നിവ ഇടുന്നു.
5) അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച്, "" അല്ലെങ്കിൽ "" എന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേള (കൾ) എഴുതുക. അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, അത് കർശനമാണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്;

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം

കുറിപ്പ് 1

അസമത്വത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾ ചതുരാകൃതിയിലാണ്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു രണ്ടാം ഡിഗ്രിയിലെ അസമത്വങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 1

ഉദാഹരണം.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ - ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, $ax^2+bx+c > 0$ എന്ന ഫോമിൻ്റെ അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നിലവിലില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വത്തിൽ $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ എന്നതിൽ സ്വതന്ത്ര പദമില്ല ($с$), അസമത്വത്തിൽ $11z^2+8 \le 0$ $b$ എന്ന കോഫിഫിഷ്യൻ്റുമായി ഒരു നിബന്ധനയും ഇല്ല. അത്തരം അസമത്വങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയാണ്, എന്നാൽ അവയെയും വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ. $b$ അല്ലെങ്കിൽ $c$ എന്ന ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന അടിസ്ഥാന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഗ്രാഫിക്;
• ഇടവേള രീതി;
• ഒരു ദ്വിപദത്തിൻ്റെ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.

ഗ്രാഫിക് രീതി

കുറിപ്പ് 2

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി $ax^2+bx+c > 0$ (അല്ലെങ്കിൽ $ ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം

ഈ ഇടവേളകളാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു.

ഇടവേള രീതി

കുറിപ്പ് 3

$ax^2+bx+c > 0$ രൂപത്തിൻ്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഇടവേള രീതി (അസമത്വ ചിഹ്നവും $ ആകാം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ$""$ - പോസിറ്റീവ് ഇടവേളകൾ, $"≤"$, $"≥"$ എന്നീ ചിഹ്നങ്ങൾക്കൊപ്പം - നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് ഇടവേളകൾ (യഥാക്രമം), ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടെ.

ഒരു ദ്വിപദത്തിൻ്റെ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

ദ്വിപദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം വേർതിരിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി $(x-n)^2 > m$ (അല്ലെങ്കിൽ $ എന്ന ചിഹ്നത്തോടുകൂടിയ) ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് കടക്കുക എന്നതാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി കുറയ്ക്കുന്ന അസമത്വങ്ങൾ

കുറിപ്പ് 4

പലപ്പോഴും, അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവ $ax^2+bx+c > 0$ രൂപത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കേണ്ടതുണ്ട് (അസമത്വ ചിഹ്നം ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന $ അസമത്വങ്ങളും ആകാം.

കുറിപ്പ് 5

അസമത്വങ്ങളെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗ്ഗം യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിലെ നിബന്ധനകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയോ അവയെ കൈമാറ്റം ചെയ്യുകയോ ചെയ്യുക എന്നതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക്.

ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും $7x > 6-3x^2$ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, $3x^2+7x-6 > 0$ എന്ന ഫോമിൻ്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

$1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ എന്ന അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള നിബന്ധനകൾ $y$ എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിഗ്രിയുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിലേക്ക് നയിക്കും. $5.3x^2+1.5y-2 \ge 0$.

യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവ പലപ്പോഴും ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങളിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത് വശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 2

ഉദാഹരണം.

അസമത്വം $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഒന്നായി കുറയ്ക്കുക.

പരിഹാരം.

എല്ലാ നിബന്ധനകളും അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം:

$7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓപ്പണിംഗ് പരാൻതീസിസും ഉപയോഗിച്ച്, അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു:

$7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21.5x-19 > 0$.

ഉത്തരം: $x^2-21.5x-19 > 0$.

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക രീതിയായി ഇടവേളകളുടെ രീതി ശരിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു വേരിയബിളിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും ഈ മെറ്റീരിയലിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. മെറ്റീരിയലിൻ്റെ സ്വാംശീകരണം സുഗമമാക്കുന്നതിന്, വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള സങ്കീർണ്ണതയുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ഇടവേള രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു അഡാപ്റ്റഡ് പതിപ്പിൽ ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ബീജഗണിത പാഠങ്ങളിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് ഇടവേള രീതിയുടെ ഈ പതിപ്പാണ്. നമുക്കും ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കരുത്.

അൽഗോരിതത്തിലേക്ക് തന്നെ പോകാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് നമുക്ക് a · x 2 + b · x + c എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഉണ്ട്. ഈ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈൻ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അതിൽ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. സൗകര്യാർത്ഥം, കർശനമായതും അല്ലാത്തതുമായ അസമത്വങ്ങൾക്കായി പോയിൻ്റുകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. കർശനമായ അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ “ശൂന്യമായ” പോയിൻ്റുകളും കർശനമല്ലാത്ത ഒന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നതിന് സാധാരണ പോയിൻ്റുകളും ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് സമ്മതിക്കാം. പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നതിലൂടെ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ നമുക്ക് നിരവധി ഇടവേളകൾ ലഭിക്കും.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ ഇടവേളകൾക്കും ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. നമുക്ക് പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയിലും ഞങ്ങൾ ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു. "+" അല്ലെങ്കിൽ "-" അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിടവുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.

കൂടാതെ, അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ഷേഡിംഗ് അവതരിപ്പിക്കും > അല്ലെങ്കിൽ ≥ കൂടാതെ< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുകയും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ ഷേഡിംഗ് പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ ഗണത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ ചിത്രം നമുക്ക് ലഭിക്കും, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരമാണ്. ഉത്തരം എഴുതിയാൽ മതി.

അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി താമസിക്കാം, അതിൽ വിടവിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നതിന് നിരവധി സമീപനങ്ങളുണ്ട്. വേഗതയേറിയതല്ലെങ്കിലും ഏറ്റവും കൃത്യതയോടെ ആരംഭിച്ച് അവ ക്രമത്തിൽ നോക്കാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നത് ഈ രീതിയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ട്രൈനോമിയൽ x 2 + 4 · x - 5 എടുക്കാം.

ഈ ട്രൈനോമിയൽ 1, - 5 എന്നിവയുടെ വേരുകൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു (-∞, - 5), (− 5, 1), (1, + ∞).

നമുക്ക് ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം (1, + ∞). നമ്മുടെ ചുമതല ലളിതമാക്കാൻ, നമുക്ക് x = 2 എടുക്കാം. നമുക്ക് 2 2 + 4 · 2 - 5 = 7 ലഭിക്കും.

7 ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഇതിനർത്ഥം, ഇടവേളയിലെ (1, + ∞) ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും അത് "+" എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാമെന്നുമാണ്.

ഇടവേളയുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ (-5, 1) ഞങ്ങൾ x = 0 എടുക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് 0 2 + 4 · 0 - 5 = - 5 ഉണ്ട്. ഇടവേളയ്ക്ക് മുകളിൽ ഒരു "-" ചിഹ്നം സ്ഥാപിക്കുക.

ഇടവേളയ്ക്ക് (− - − 5) ഞങ്ങൾ x = - 6 എടുക്കുന്നു, നമുക്ക് (- 6) 2 + 4 · (- 6) - 5 = 7 ലഭിക്കും. ഈ ഇടവേള ഞങ്ങൾ "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുതകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് അടയാളങ്ങൾ വളരെ വേഗത്തിൽ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

പോസിറ്റീവ് വിവേചനത്തോടെ, രണ്ട് വേരുകളുള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളുടെ ഒരു മാറ്റം നൽകുന്നു, അതിൽ സംഖ്യാ രേഖയെ ഈ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഓരോ ഇടവേളകൾക്കും ഞങ്ങൾ അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കേണ്ടതില്ല എന്നാണ്. ഒന്നിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുകയും ബാക്കിയുള്ളവയുടെ അടയാളങ്ങൾ ഇടുകയും ചെയ്താൽ മതി, ഇതര തത്വം കണക്കിലെടുക്കുക.

വേണമെങ്കിൽ, മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അടയാളങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകളില്ലാതെ തന്നെ ചെയ്യാൻ കഴിയും. a > 0 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് +, -, + എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി ലഭിക്കും, എങ്കിൽ a< 0 – то − , + , − .

ഒരു റൂട്ട് ഉള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലുകൾക്ക്, വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, ഒരേ ചിഹ്നങ്ങളുള്ള കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ നമുക്ക് രണ്ട് ഇടവേളകൾ ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ ഒരു ഇടവേളയുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുകയും രണ്ടാമത്തേതിന് അത് സജ്ജമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്.

ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്ന രീതിയും ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കുന്നു: a > 0 ആണെങ്കിൽ, അത് +, + ആയിരിക്കും< 0 , то − , − .

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന് വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, മുഴുവൻ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിനുമുള്ള അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ മുൻനിര ഗുണകമായ a യുടെ ചിഹ്നവും സ്വതന്ത്ര പദമായ c യുടെ ചിഹ്നവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ - 4 x 2 - 7 എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന് വേരുകളില്ല (അതിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്). x 2 ൻ്റെ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് - 4 ആണ്, കൂടാതെ ഇൻ്റർസെപ്റ്റ് - 7 നെഗറ്റീവും ആണ്. ഇതിനർത്ഥം ഇടവേളയിൽ (-∞, + ∞) അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ്.

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

8 x 2 - 4 x - 1 ≥ 0 അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം

അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, 8 x 2 - 4 x - 1 ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം. x-നുള്ള കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് തുല്യമായതിനാൽ, വിവേചനമല്ല, മറിച്ച് വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം കണക്കാക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും: D " = (- 2) 2 - 8 · (− 1) = 12 .

വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 ഒപ്പം x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . നമുക്ക് ഈ മൂല്യങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം. സമവാക്യം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൽ സാധാരണ പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ, ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂന്ന് ഇടവേളകളുടെ അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. x 2 ൻ്റെ ഗുണകം 8 ന് തുല്യമാണ്, അതായത്, പോസിറ്റീവ്, അതിനാൽ, ചിഹ്നങ്ങളുടെ ക്രമം +, -, + ആയിരിക്കും.

≥ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, പ്ലസ് ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾ ഷേഡിംഗ് വരയ്ക്കുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗ്രാഫിക് ഇമേജിൽ നിന്ന് നമുക്ക് സംഖ്യാ സെറ്റ് വിശകലനപരമായി എഴുതാം. നമുക്ക് ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം:

ഉത്തരം:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

ഉദാഹരണം 3

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുക - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

പരിഹാരം

ആദ്യം, അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

ഇതൊരു കർശനമായ അസമത്വമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൽ ഒരു "ശൂന്യമായ" പോയിൻ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് 7 ഉപയോഗിച്ച്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ (-∞, 7), (7, + ∞) അടയാളങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം പൂജ്യവും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അടയാളങ്ങൾ ഇടുന്നു - , -:

ഒരു അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിഹാരങ്ങൾ രണ്ട് ഇടവേളകളാണ് (-∞ , 7) , (7 , + ∞) .

ഉത്തരം:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x ≠ 7 .

ഉദാഹരണം 4

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം x 2 + x + 7 ആണോ< 0 решения?

പരിഹാരം

അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് വിവേചനം കണ്ടെത്താം: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27 . വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, അതായത് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല.

ഗ്രാഫിക് ഇമേജ് പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താതെ ഒരു നമ്പർ ലൈൻ പോലെ കാണപ്പെടും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. ഡിയിൽ< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "-" ചിഹ്നമുള്ള ഇടങ്ങളിൽ നമുക്ക് ഷേഡിംഗ് പ്രയോഗിക്കാം. എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് അത്തരം വിടവുകളില്ല. അതിനാൽ, ഡ്രോയിംഗ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ശൂന്യമായ സെറ്റ് ലഭിച്ചു. ഇതിനർത്ഥം ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല എന്നാണ്.

ഉത്തരം:ഇല്ല.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും ആശംസകളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആൻ്റി വൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

ഗ്രേഡ് 9-നുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ വിദ്യാഭ്യാസ സഹായങ്ങളും സിമുലേറ്ററുകളും
7-9 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഇലക്ട്രോണിക് പാഠപുസ്തകം "മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ജ്യാമിതി"
വിദ്യാഭ്യാസ സമുച്ചയം 1C: "ജ്യാമിതി, ഗ്രേഡ് 9"

സുഹൃത്തുക്കളേ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഇനി നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാം.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വംഇത്തരത്തിലുള്ള അസമത്വത്തെ വിളിക്കുന്നു:

$ax^2+bx+c>0$.

അസമത്വ ചിഹ്നം ഏതെങ്കിലും ആകാം, ഗുണകങ്ങൾ a, b, c ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ ($a≠0$) ആകാം.
രേഖീയ അസമത്വങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ച എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഇവിടെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ നിയമങ്ങൾ സ്വയം ആവർത്തിക്കുക!

നമുക്ക് മറ്റൊരു പ്രധാന നിയമം അവതരിപ്പിക്കാം:
$ax^2+bx+c$ എന്ന ട്രൈനോമിയലിന് നെഗറ്റീവ് ഡിസ്‌ക്രിമിനൻ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ x ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ട്രിനോമിയലിൻ്റെ ചിഹ്നം a എന്ന ഗുണകത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണങ്ങൾ.
1. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക: $x^2-2x-8
പരിഹാരം:
$x^2-2x-8=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം.
$x_1=4$, $x_2=-2$.

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഗ്രാഫ് ചെയ്യാം. x-അക്ഷം 4, -2 എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു.
ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷത്തിന് താഴെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നിടത്ത് ഞങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.
ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നോക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: $x^2-2x-8 ഉത്തരം: $-2

2. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക: $5x-6

പരിഹാരം:
നമുക്ക് അസമത്വത്തെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: $-x^2+5x-6 അസമത്വത്തെ മൈനസ് ഒന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. അടയാളം മാറ്റാൻ മറക്കരുത്: $x^2-5x+6>0$.
നമുക്ക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം: $x_1=2$, $x_2=3$.

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം, x-അക്ഷം പോയിൻ്റ് 2, 3 എന്നിവയിൽ വിഭജിക്കുന്നു.


ഞങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അവിടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നോക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: $5x-6 ഉത്തരം: $x 3$.

3. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക: $2^2+2x+1≥0$.

പരിഹാരം:
നമുക്ക് നമ്മുടെ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം, ഇതിനായി നമ്മൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു: $D=2^2-4*2=-4 വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്. തുടക്കത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ച നിയമം നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം ചതുരത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെ അടയാളം തന്നെയായിരിക്കും. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഗുണകം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും നമ്മുടെ സമവാക്യം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
ഉത്തരം: എല്ലാ x-നും, അസമത്വം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്.

4. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക: $x^2+x-2
പരിഹാരം:
നമുക്ക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി അവയെ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ സ്ഥാപിക്കാം: $x_1=-2$, $x_2=1$.

$x>1$ ഉം $x എങ്കിൽ $x>-2$ ഉം $x ഉം ആണെങ്കിൽ ഉത്തരം: $x>-2$, $x

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

ശരാശരി നില

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ. ദി ആൾട്ടിമേറ്റ് ഗൈഡ് (2019)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്താണെന്നും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ എന്താണെന്നും മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ ആവശ്യമായി വരുന്നത് എന്ന് നിങ്ങൾ ഒരുപക്ഷേ ചിന്തിച്ചിട്ടുണ്ടോ? അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് (പാരബോള) എവിടെയാണ് ബാധകം? അതെ, നിങ്ങൾ ചുറ്റും നോക്കേണ്ടതുണ്ട്, ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ നിങ്ങൾ ഇത് എല്ലാ ദിവസവും കണ്ടുമുട്ടുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും. ശാരീരിക വിദ്യാഭ്യാസത്തിൽ എറിഞ്ഞ പന്ത് എങ്ങനെ പറക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടോ? "ആർക്ക് സഹിതം"? ഏറ്റവും ശരിയായ ഉത്തരം "പരവലയം" ആയിരിക്കും! ജലധാരയിൽ ഏത് പാതയിലൂടെയാണ് ജെറ്റ് നീങ്ങുന്നത്? അതെ, ഒരു പരവലയത്തിലും! ഒരു ബുള്ളറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഷെൽ എങ്ങനെയാണ് പറക്കുന്നത്? അത് ശരിയാണ്, ഒരു പരവലയത്തിലും! അങ്ങനെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും വലിയ ദൂരം ഉറപ്പാക്കാൻ ഒരു പന്ത് ഏത് കോണിൽ എറിയണം? അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ വിക്ഷേപിച്ചാൽ പ്രൊജക്റ്റൈൽ എവിടെ അവസാനിക്കും? തുടങ്ങിയവ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം

അതിനാൽ, നമുക്ക് അത് മനസ്സിലാക്കാം.

ഉദാ, . ഇവിടെ തുല്യർ എന്താണ്, കൂടാതെ? ശരി, തീർച്ചയായും!

എങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും, അതായത്. പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവോ? ശരി, തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ "സങ്കടമുള്ളവരാണ്", അതായത് ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടും! ഗ്രാഫ് നോക്കാം.

ഈ ചിത്രം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു. മുതൽ, അതായത്. പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, ഈ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ഇതിനകം ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം, അതായത് സമവാക്യത്തിന് 2 വേരുകളുണ്ട്, കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു!

തുടക്കത്തിൽ തന്നെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനം നൽകിയപ്പോൾ, അത് ചില സംഖ്യകളാണെന്നും പറഞ്ഞു. അവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമോ? ശരി, തീർച്ചയായും അവർക്ക് കഴിയും! ഞാൻ ഇതിലും വലിയ ഒരു രഹസ്യം പോലും വെളിപ്പെടുത്തും (ഇത് ഒരു രഹസ്യമല്ല, പക്ഷേ അത് എടുത്തുപറയേണ്ടതാണ്): ഈ നമ്പറുകളിൽ (കൂടാതെ) നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല!

ശരി, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഗ്രാഫുകൾക്ക് എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പരിഗണനയിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ (ഒപ്പം) മാറിയതിനാൽ അവയുടെ ലംബങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതായത്, അക്ഷങ്ങളുടെ കവലയിൽ, ഇത് ദിശയെ ബാധിക്കില്ല. ശാഖകൾ. അതിനാൽ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിനൊപ്പം പരവലയ ഗ്രാഫിൻ്റെ "ചലനത്തിന്" അവർ ഉത്തരവാദികളാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ബിന്ദുവിൽ അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഞങ്ങൾ അതേ ലോജിക്ക് പിന്തുടരുന്നു. ഇത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതായത്.

അതിനാൽ, ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇത് നമുക്ക് വളരെ ഉപകാരപ്പെടും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം

അത്തരം അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയാണ് കൂടുതലോ കുറവോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ്. അതാണ്:

• നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ അസമത്വമുണ്ടെങ്കിൽ, വാസ്തവത്തിൽ പരവലയം അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിലായി കിടക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതല.
• നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ അസമത്വമുണ്ടെങ്കിൽ, വാസ്തവത്തിൽ പരവലയം അച്ചുതണ്ടിന് താഴെയുള്ള x മൂല്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതല.

അസമത്വങ്ങൾ കർശനമല്ലെങ്കിൽ, കർശനമായ അസമത്വങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വേരുകൾ (അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ) ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അവ ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു.

ഇതെല്ലാം തികച്ചും ഔപചാരികമാണ്, പക്ഷേ നിരാശപ്പെടുകയോ ഭയപ്പെടുകയോ ചെയ്യരുത്! ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം, എല്ലാം ശരിയാകും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ പാലിക്കും, അനിവാര്യമായ വിജയം നമ്മെ കാത്തിരിക്കുന്നു!

അൽഗോരിതം	ഉദാഹരണം:
1) അസമത്വത്തിന് അനുയോജ്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം (അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ "=" എന്ന തുല്യ ചിഹ്നത്തിലേക്ക് മാറ്റുക).
2) ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം.
3) അച്ചുതണ്ടിൽ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ സ്കീമാറ്റിക്കായി കാണിക്കുകയും ചെയ്യുക ("മുകളിലേക്ക്" അല്ലെങ്കിൽ "താഴേക്ക്")
4) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ അക്ഷത്തിൽ നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാം: പരാബോള അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ളിടത്ത് ഞങ്ങൾ "", താഴെ എവിടെ - "" എന്നിവ ഇടുന്നു.
5) അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച്, "" അല്ലെങ്കിൽ "" എന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേള (കൾ) എഴുതുക. അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, അത് കർശനമാണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്;

മനസ്സിലായി? തുടർന്ന് മുന്നോട്ട് പോയി അത് പിൻ ചെയ്യുക!

ഉദാഹരണം:

ശരി, അത് പ്രവർത്തിച്ചോ? നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കുക.

പരിഹാരം:

അസമത്വ ചിഹ്നം "" ആയതിനാൽ "" എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. അസമത്വം കർശനമല്ല, അതിനാൽ വേരുകൾ ഇടവേളകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്:

നമുക്ക് അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ലഭിച്ച വേരുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

അസമത്വ ചിഹ്നം "" ആയതിനാൽ "" എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. അസമത്വം കർശനമാണ്, അതിനാൽ വേരുകൾ ഇടവേളകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല:

നമുക്ക് അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്

നമുക്ക് ലഭിച്ച വേരുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

അസമത്വ ചിഹ്നം " " ആയതിനാൽ " " എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. ഏതൊരു കാര്യത്തിനും, ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ, ഉത്തരം ആയിരിക്കും.

നമുക്ക് അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരച്ച് അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാം:

അസമത്വ ചിഹ്നം " " ആയതിനാൽ " " എന്ന ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് എഴുതാം. ഏതൊരു കാര്യത്തിനും, ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതിനാൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയായിരിക്കും:

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ. ശരാശരി നില

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം.

"ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്താണെന്നും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് എന്താണെന്നും നമുക്ക് ഓർക്കാം.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ് (അത് എന്താണെന്ന് ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?). "a) ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലാറ്റിനും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ, രണ്ടാമത്തേതിൽ () - നെഗറ്റീവ് മാത്രം ആണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു:

() സമവാക്യത്തിന് കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉള്ളപ്പോൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ), ഗ്രാഫ് അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

തുടർന്ന്, മുമ്പത്തെ കേസിന് സമാനമായി, " .

അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെന്നും അത് എവിടെ കുറവാണെന്നും എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ അടുത്തിടെ പഠിച്ചു:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, വേരുകൾ സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അത് കർശനമാണെങ്കിൽ, അവ അങ്ങനെയല്ല.

ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ, കുഴപ്പമില്ല, എല്ലായിടത്തും ഒരേ അടയാളം ആയിരിക്കും. വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, എല്ലാം ഗുണകത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: "25((x)^(2))-30x+9 ആണെങ്കിൽ

ഉത്തരങ്ങൾ:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

വേരുകളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ ഇടതുവശത്തുള്ള മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും മുമ്പ് ഗുണകത്തിൻ്റെ അടയാളം എടുക്കുന്നു:

• ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേള കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, പരവലയം അക്ഷത്തിന് മുകളിലായി കിടക്കുന്ന സംഖ്യാ ഇടവേളയാണിത്.
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേള കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പരവലയം അക്ഷത്തിന് താഴെയായി കിടക്കുന്ന സംഖ്യാ ഇടവേളയാണിത്.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനംഫോമിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ്:,

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു എങ്കിൽ, താഴെയാണെങ്കിൽ:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ:

എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന നാല് തരങ്ങളായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

പരിഹാര അൽഗോരിതം:

അൽഗോരിതം	ഉദാഹരണം:
1) അസമത്വത്തിന് അനുയോജ്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം (അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ "" തുല്യ ചിഹ്നത്തിലേക്ക് മാറ്റുക).
2) ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം.
3) അച്ചുതണ്ടിൽ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ സ്കീമാറ്റിക്കായി കാണിക്കുകയും ചെയ്യുക ("മുകളിലേക്ക്" അല്ലെങ്കിൽ "താഴേക്ക്")
4) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് അനുയോജ്യമായ അച്ചുതണ്ടിൽ നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാം: പരാബോള അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ളിടത്ത് ഞങ്ങൾ "", താഴെ എവിടെ - "" എന്നിവ ഇടുന്നു.
5) അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച്, "" അല്ലെങ്കിൽ "" എന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഇടവേള (കൾ) എഴുതുക. അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, അത് കർശനമാണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്;