ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എളുപ്പമുള്ള വിഷയമല്ല. അവ വളരെ വൈവിധ്യപൂർണ്ണമാണ്.) ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവ:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = കട്ടിൽ(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

തുടങ്ങിയവ...

എന്നാൽ ഈ (മറ്റെല്ലാ) ത്രികോണമിതി രാക്ഷസന്മാർക്ക് പൊതുവായതും നിർബന്ധിതവുമായ രണ്ട് സവിശേഷതകളുണ്ട്. ആദ്യം - നിങ്ങൾ വിശ്വസിക്കില്ല - സമവാക്യങ്ങളിൽ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്.) രണ്ടാമത്: x ഉള്ള എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളും കണ്ടെത്തി ഇതേ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ളിൽ.അവിടെ മാത്രം! X എവിടെയെങ്കിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ പുറത്ത്,ഉദാഹരണത്തിന്, sin2x + 3x = 3,ഇത് ഇതിനകം ഒരു സമവാക്യമായിരിക്കും മിശ്രിത തരം. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു വ്യക്തിഗത സമീപനം ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ അവരെ ഇവിടെ പരിഗണിക്കില്ല.

ഈ പാഠത്തിലും ഞങ്ങൾ ദുഷിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കില്ല.) ഇവിടെ നമ്മൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.എന്തുകൊണ്ട്? അതെ കാരണം പരിഹാരം ഏതെങ്കിലും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾരണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, പലതരം പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ദുഷിച്ച സമവാക്യം ലളിതമായ ഒന്നായി ചുരുങ്ങുന്നു. രണ്ടാമത്തേതിൽ, ഈ ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. വേറെ വഴിയില്ല.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ വലിയ അർത്ഥമില്ല.)

പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെയിരിക്കും?

sinx = a

cosx = a

tgx = എ

ctgx = എ

ഇവിടെ എ ഏത് സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും.

വഴിയിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു പ്യുവർ എക്‌സ് ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല, എന്നാൽ ചില തരത്തിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ:

cos(3x+π /3) = 1/2

തുടങ്ങിയവ. ഇത് ജീവിതത്തെ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന രീതിയെ ബാധിക്കില്ല.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കാം. ആദ്യ വഴി: യുക്തിയും ത്രികോണമിതി സർക്കിളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ പാത ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നോക്കും. രണ്ടാമത്തെ വഴി - മെമ്മറിയും ഫോർമുലകളും ഉപയോഗിക്കുന്നത് - അടുത്ത പാഠത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

ആദ്യ മാർഗം വ്യക്തവും വിശ്വസനീയവും മറക്കാൻ പ്രയാസവുമാണ്.) ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ, എല്ലാത്തരം തന്ത്രപരമല്ലാത്ത നിലവാരമില്ലാത്ത ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് നല്ലതാണ്. ലോജിക്ക് മെമ്മറിയേക്കാൾ ശക്തമാണ്!)

ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ പ്രാഥമിക യുക്തിയും ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. എങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലേ? എന്നിരുന്നാലും... ത്രികോണമിതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും...) പക്ഷെ അത് പ്രശ്നമല്ല. "ത്രികോണമിതി വൃത്തം...... അതെന്താണ്?" എന്ന പാഠഭാഗങ്ങൾ നോക്കുക. കൂടാതെ "ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ കോണുകൾ അളക്കുന്നു." അവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി...)

ഓ, നിങ്ങൾക്കറിയാമോ!? "ത്രികോണമിതി സർക്കിളുമായുള്ള പ്രായോഗിക ജോലി" പോലും മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്തു!? അഭിനന്ദനങ്ങൾ. ഈ വിഷയം നിങ്ങൾക്ക് അടുത്തും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതിലും ആയിരിക്കും.) ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ നിങ്ങൾ ഏത് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല എന്നതാണ്. Sine, cosine, tangent, cotangent - എല്ലാം അവനു തുല്യമാണ്. ഒരു പരിഹാര തത്വമേയുള്ളൂ.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എടുക്കുന്നു. കുറഞ്ഞത് ഇത്:

cosx = 0.5

നമുക്ക് X കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമ്മൾ സംസാരിച്ചാൽ മനുഷ്യ ഭാഷ, വേണം കോസൈൻ 0.5 ആയ ആംഗിൾ (x) കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ മുമ്പ് എങ്ങനെയാണ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ചത്? ഞങ്ങൾ അതിൽ ഒരു ആംഗിൾ വരച്ചു. ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ റേഡിയൻസിൽ. ഉടനെയും കണ്ടു ഈ കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഇനി നമുക്ക് വിപരീതമായി ചെയ്യാം. 0.5 ന് തുല്യമായ സർക്കിളിൽ ഒരു കോസൈൻ വരയ്ക്കാം നമുക്ക് കാണാം മൂല. ഉത്തരം എഴുതുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.) അതെ, അതെ!

ഒരു വൃത്തം വരച്ച് കോസൈൻ 0.5 ന് തുല്യമായി അടയാളപ്പെടുത്തുക. കോസൈൻ അക്ഷത്തിൽ, തീർച്ചയായും. ഇതുപോലെ:

ഇനി നമുക്ക് ഈ കോസൈൻ നൽകുന്ന ആംഗിൾ വരയ്ക്കാം. ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ നിങ്ങളുടെ മൗസ് ഹോവർ ചെയ്യുക (അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ടാബ്‌ലെറ്റിലെ ചിത്രത്തിൽ സ്പർശിക്കുക), കൂടാതെ നിങ്ങൾ കാണുംഈ മൂലയിൽ എക്സ്.

ഏത് കോണിൻ്റെ കോസൈൻ 0.5 ആണ്?

x = π /3

കോസ് 60°= cos( π /3) = 0,5

ചിലർ സംശയത്തോടെ ചിരിക്കും, അതെ... പോലെ, എല്ലാം ഇതിനകം വ്യക്തമായിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സർക്കിൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത് മൂല്യവത്തായിരുന്നോ... നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും ചിരിക്കാം...) എന്നാൽ ഇത് ഒരു തെറ്റായ ഉത്തരമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. അല്ലെങ്കിൽ, അപര്യാപ്തമാണ്. 0.5 കോസൈൻ നൽകുന്ന മറ്റ് കോണുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഇവിടെയുണ്ടെന്ന് സർക്കിൾ ആസ്വാദകർ മനസ്സിലാക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ ചലിക്കുന്ന വശം OA തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ മുഴുവൻ ടേൺ, പോയിൻ്റ് എ അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനത്തേക്ക് മടങ്ങും. 0.5 ന് തുല്യമായ അതേ കോസൈനിനൊപ്പം. ആ. ആംഗിൾ മാറും 360° അല്ലെങ്കിൽ 2π റേഡിയൻ, ഒപ്പം കോസൈൻ - ഇല്ല.പുതിയ ആംഗിൾ 60° + 360° = 420° നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിനും പരിഹാരമാകും, കാരണം

അത്തരം സമ്പൂർണ വിപ്ലവങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ടാക്കാം... കൂടാതെ ഈ പുതിയ കോണുകളെല്ലാം നമ്മുടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളായിരിക്കും. അവയെല്ലാം പ്രതികരണമായി എങ്ങനെയെങ്കിലും എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. എല്ലാം.അല്ലെങ്കിൽ, തീരുമാനം കണക്കാക്കില്ല, അതെ...)

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഇത് ലളിതമായും ഗംഭീരമായും ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഒരു ചെറിയ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതുക അനന്തമായ സെറ്റ്തീരുമാനങ്ങൾ. ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിന് ഇത് എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്നത് ഇതാ:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ഞാൻ അത് ഡീക്രിപ്റ്റ് ചെയ്യാം. ഇനിയും എഴുതൂ അർത്ഥപൂർണമായിമണ്ടത്തരമായി ചില നിഗൂഢ അക്ഷരങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നതിനേക്കാൾ മനോഹരമാണ് ഇത്, അല്ലേ?)

π /3 - ഇത് ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്ന അതേ മൂലയാണ് കണ്ടുസർക്കിളിലും നിശ്ചയിച്ചുകോസൈൻ പട്ടിക പ്രകാരം.

2π റേഡിയനിലെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ വിപ്ലവമാണ്.

എൻ - ഇത് പൂർണ്ണമായവയുടെ എണ്ണമാണ്, അതായത്. മുഴുവൻആർപിഎം എന്ന് വ്യക്തമാണ് എൻ 0, ± 1, ± 2, ± 3.... എന്നിങ്ങനെ തുല്യമാകാം. ഹ്രസ്വ എൻട്രി സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ:

n ∈ Z

എൻ വകയാണ് ( ∈ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം ( Z ). വഴിയിൽ, അക്ഷരത്തിന് പകരം എൻ അക്ഷരങ്ങൾ നന്നായി ഉപയോഗിക്കാം കെ, എം, ടി തുടങ്ങിയവ.

ഈ നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും എടുക്കാം എന്നാണ് എൻ . കുറഞ്ഞത് -3, കുറഞ്ഞത് 0, കുറഞ്ഞത് +55. നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് വേണമെങ്കിലും. നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ ഉത്തരത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക ആംഗിൾ ലഭിക്കും, അത് തീർച്ചയായും ഞങ്ങളുടെ കഠിനമായ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമാകും.)

അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, x = π /3 അനന്തമായ ഒരു ഗണത്തിൻ്റെ ഏക മൂലമാണ്. മറ്റെല്ലാ റൂട്ടുകളും ലഭിക്കാൻ, π /3 ( എൻ ) റേഡിയൻസിൽ. ആ. 2π n റേഡിയൻ.

എല്ലാം? ഇല്ല. ഞാൻ മനഃപൂർവ്വം സുഖം നീട്ടിവെക്കുന്നു. നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ.) ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഉത്തരങ്ങളുടെ ഒരു ഭാഗം മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചത്. പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗം ഞാൻ ഇതുപോലെ എഴുതും:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ഒരു റൂട്ട് മാത്രമല്ല, വേരുകളുടെ ഒരു മുഴുവൻ ശ്രേണിയും, ഒരു ഹ്രസ്വ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

എന്നാൽ 0.5 കോസൈൻ നൽകുന്ന കോണുകളും ഉണ്ട്!

ഉത്തരം എഴുതിയ ചിത്രത്തിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം. ഇതാ അവൾ:

ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ നിങ്ങളുടെ മൗസ് ഹോവർ ചെയ്യുക ഞങ്ങൾ കാണുന്നുമറ്റൊരു ആംഗിൾ 0.5 ൻ്റെ ഒരു കോസൈനും നൽകുന്നു.ഇത് എന്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? ത്രികോണങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്... അതെ! അവൻ കോണിന് തുല്യമാണ് എക്സ് , നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ മാത്രം വൈകി. ഇതാണ് മൂല -എക്സ്. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം x കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ട്. π /3 അല്ലെങ്കിൽ 60°. അതിനാൽ, നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി എഴുതാം:

x 2 = - π /3

ശരി, തീർച്ചയായും, പൂർണ്ണ വിപ്ലവങ്ങളിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന എല്ലാ കോണുകളും ഞങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ഇപ്പോൾ അത്രയേയുള്ളൂ.) ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടു(ആരാണ് മനസ്സിലാക്കുന്നത്, തീർച്ചയായും)) എല്ലാം 0.5 കോസൈൻ നൽകുന്ന കോണുകൾ. ഈ കോണുകൾ ചുരുക്കി എഴുതി ഗണിത രൂപം. ഉത്തരം അനന്തമായ രണ്ട് വേരുകൾക്ക് കാരണമായി:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

പ്രതീക്ഷ, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു തത്വംഒരു സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് വ്യക്തമാണ്. ഒരു സർക്കിളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കോസൈൻ (സൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ്) അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അതിന് അനുയോജ്യമായ കോണുകൾ വരച്ച് ഉത്തരം എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.തീർച്ചയായും, നമ്മൾ ഏത് കോണുകളാണെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് കണ്ടുസർക്കിളിൽ. ചിലപ്പോൾ അത് അത്ര വ്യക്തമല്ല. ശരി, ഇവിടെ യുക്തി ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ പറഞ്ഞു.)

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് മറ്റൊരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം നോക്കാം:

സമവാക്യങ്ങളിൽ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു സംഖ്യ 0.5 എന്ന സംഖ്യയല്ല എന്നത് ദയവായി കണക്കിലെടുക്കുക!) വേരുകളേക്കാളും ഭിന്നസംഖ്യകളേക്കാളും ഇത് എഴുതുന്നത് എനിക്ക് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഞങ്ങൾ പൊതു തത്വമനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക, അടയാളപ്പെടുത്തുക (സൈൻ അക്ഷത്തിൽ, തീർച്ചയായും!) 0.5. ഈ സൈനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ കോണുകളും ഞങ്ങൾ ഒരേസമയം വരയ്ക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഈ ചിത്രം ലഭിക്കുന്നു:

ആദ്യം ആംഗിൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാം എക്സ് ആദ്യ പാദത്തിൽ. ഞങ്ങൾ സൈനുകളുടെ പട്ടിക ഓർമ്മിക്കുകയും ഈ കോണിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതൊരു ലളിതമായ കാര്യമാണ്:

x = π /6

പൂർണ്ണമായ തിരിവുകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, വ്യക്തമായ മനസ്സാക്ഷിയോടെ, ഉത്തരങ്ങളുടെ ആദ്യ പരമ്പര എഴുതുക:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

പകുതി പണി കഴിഞ്ഞു. എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് രണ്ടാമത്തെ മൂല...ഇത് കോസൈനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ തന്ത്രപരമാണ്, അതെ... എന്നാൽ യുക്തി നമ്മെ രക്ഷിക്കും! രണ്ടാമത്തെ ആംഗിൾ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും x വഴി? അതെ ഈസി! ചിത്രത്തിലെ ത്രികോണങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ചുവന്ന മൂലയും എക്സ് കോണിന് തുല്യമാണ് എക്സ് . നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ π കോണിൽ നിന്ന് മാത്രമേ ഇത് കണക്കാക്കൂ. അതുകൊണ്ടാണ് ഇത് ചുവപ്പായത്.) ഉത്തരത്തിനായി നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് സെമി-ആക്സിസ് OX-ൽ നിന്ന് ശരിയായി അളക്കുന്ന ഒരു ആംഗിൾ ആവശ്യമാണ്, അതായത്. 0 ഡിഗ്രി കോണിൽ നിന്ന്.

ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിൽ കഴ്സർ ഹോവർ ചെയ്യുകയും എല്ലാം കാണുകയും ചെയ്യുന്നു. ചിത്രം സങ്കീർണ്ണമാക്കാതിരിക്കാൻ ഞാൻ ആദ്യത്തെ മൂല നീക്കം ചെയ്തു. ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ആംഗിൾ (പച്ചയിൽ വരച്ചത്) ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

π - x

X ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് അറിയാം π /6 . അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ആംഗിൾ ഇതായിരിക്കും:

π - π /6 = 5π /6

പൂർണ്ണ വിപ്ലവങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഓർമ്മിക്കുകയും ഉത്തരങ്ങളുടെ രണ്ടാം പരമ്പര എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

അത്രയേയുള്ളൂ. ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഉത്തരത്തിൽ രണ്ട് വേരുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതുവായ തത്വം ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും. തീർച്ചയായും, ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ ടാൻജെൻ്റും കോട്ടാൻജെൻ്റും എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഞാൻ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ പട്ടിക മൂല്യം ഉപയോഗിച്ചു: 0.5. ആ. വിദ്യാർത്ഥിക്ക് അറിയാവുന്ന അർത്ഥങ്ങളിൽ ഒന്ന് വേണം.ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാം മറ്റെല്ലാ മൂല്യങ്ങളും.തീരുമാനിക്കുക, അതിനാൽ തീരുമാനിക്കുക!)

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഈ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം:

അത്തരമൊരു കോസൈൻ മൂല്യം ഹ്രസ്വ പട്ടികകൾഇല്ല. ഈ ഭയാനകമായ യാഥാർത്ഥ്യം ഞങ്ങൾ തണുത്തുറയുന്നു. ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക, കോസൈൻ അക്ഷത്തിൽ 2/3 അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അനുബന്ധ കോണുകൾ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. ഞങ്ങൾക്ക് ഈ ചിത്രം ലഭിക്കുന്നു.

ആദ്യം, ആദ്യ പാദത്തിലെ കോണിൽ നോക്കാം. x എന്താണ് തുല്യമെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഉടൻ എഴുതും! ഞങ്ങൾക്കറിയില്ല... പരാജയം!? ശാന്തം! ഗണിതശാസ്ത്രം സ്വന്തം ആളുകളെ കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നില്ല! ഈ കേസിനായി അവൾ ആർക്ക് കോസൈനുകളുമായി വന്നു. അറിയില്ല? വെറുതെ. കണ്ടെത്തുക, നിങ്ങൾ കരുതുന്നതിലും വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത്. ഈ ലിങ്കിൽ "ഇൻവേഴ്‌സ് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ" എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഒരു തന്ത്രപരമായ അക്ഷരവിന്യാസം പോലും ഇല്ല... ഈ വിഷയത്തിൽ ഇത് അധികമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് അറിവുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങളോട് തന്നെ പറയുക: "X എന്നത് കോസൈൻ 2/3 ന് തുല്യമായ ഒരു കോണാണ്." ഉടൻ തന്നെ, ആർക്ക് കോസൈനിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം:

അധിക വിപ്ലവങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആദ്യ ശ്രേണി ശാന്തമായി എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

x 1 = ആർക്കോസ് 2/3 + 2π n, n ∈ Z

രണ്ടാമത്തെ കോണിനുള്ള വേരുകളുടെ രണ്ടാം ശ്രേണി ഏതാണ്ട് യാന്ത്രികമായി എഴുതപ്പെടും. എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, X (arccos 2/3) മാത്രമേ മൈനസ് ഉള്ളൂ:

x 2 = - ആർക്കോസ് 2/3 + 2π n, n ∈ Z

അത്രമാത്രം! ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം. പട്ടിക മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ എളുപ്പമാണ്. ഒന്നും ഓർക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.) വഴി, ഈ ചിത്രം ആർക്ക് കോസൈനിലൂടെ പരിഹാരം കാണിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ശ്രദ്ധിക്കുന്നവർ ശ്രദ്ധിക്കും. സാരാംശത്തിൽ, cosx = 0.5 എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല.

കൃത്യമായി! പൊതു തത്വംഅതുകൊണ്ടാണ് ഇത് സാധാരണമായത്! ഏതാണ്ട് ഒരേ പോലെയുള്ള രണ്ട് ചിത്രങ്ങൾ ഞാൻ മനഃപൂർവം വരച്ചു. സർക്കിൾ നമുക്ക് ആംഗിൾ കാണിക്കുന്നു എക്സ് അതിൻ്റെ കോസൈൻ വഴി. ഇത് ഒരു ടാബ്ലർ കോസൈനാണോ അല്ലയോ എന്നത് എല്ലാവർക്കും അജ്ഞാതമാണ്. ഇത് ഏത് തരത്തിലുള്ള കോണാണ്, π /3, അല്ലെങ്കിൽ ആർക്ക് കോസൈൻ എന്താണ് - അത് തീരുമാനിക്കേണ്ടത് നമ്മളാണ്.

സൈനിനൊപ്പം അതേ ഗാനം. ഉദാഹരണത്തിന്:

വീണ്ടും ഒരു സർക്കിൾ വരയ്ക്കുക, സൈൻ 1/3 ന് തുല്യമായി അടയാളപ്പെടുത്തുക, കോണുകൾ വരയ്ക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ചിത്രം ഇതാണ്:

വീണ്ടും ചിത്രം ഏതാണ്ട് സമവാക്യത്തിന് സമാനമാണ് sinx = 0.5.വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ആദ്യ പാദത്തിൽ മൂലയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ സൈൻ 1/3 ആണെങ്കിൽ X എന്നത് എന്താണ്? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല!

ഇപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആദ്യ പായ്ക്ക് തയ്യാറാണ്:

x 1 = ആർക്‌സിൻ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ആംഗിൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാം. 0.5 ടേബിൾ മൂല്യമുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ഇതിന് തുല്യമാണ്:

π - x

ഇവിടെയും അതുതന്നെയായിരിക്കും! x മാത്രം വ്യത്യസ്തമാണ്, arcsin 1/3. അതുകൊണ്ട്!? വേരുകളുടെ രണ്ടാമത്തെ പായ്ക്ക് നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി എഴുതാം:

x 2 = π - ആർക്‌സിൻ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ഇത് തികച്ചും ശരിയായ ഉത്തരമാണ്. വളരെ പരിചിതമായി തോന്നുന്നില്ലെങ്കിലും. എന്നാൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്, ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.)

ഒരു സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്. ഈ പാത വ്യക്തവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളിൽ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളിൽ സംരക്ഷിക്കുന്നത് അവനാണ് - അവ സാധാരണയായി എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു സർക്കിളിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ചുരുക്കത്തിൽ, സാധാരണ ജോലികളേക്കാൾ അൽപ്പം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഏത് ജോലികളിലും.

നമുക്ക് അറിവ് പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കാം?)

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യം, ഈ പാഠത്തിൽ നിന്ന് ലളിതമാണ്.

ഇപ്പോൾ അത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കുന്നു.

സൂചന: ഇവിടെ നിങ്ങൾ സർക്കിളിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വ്യക്തിപരമായി.)

ഇപ്പോൾ അവ ബാഹ്യമായി ലളിതമാണ്... അവയെ പ്രത്യേക കേസുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

സൂചന: ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിൽ രണ്ട് ഉത്തര പരമ്പരകളുണ്ടെന്നും ഒരെണ്ണം എവിടെയാണെന്നും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്... കൂടാതെ രണ്ട് ഉത്തര പരമ്പരകൾക്ക് പകരം ഒരെണ്ണം എങ്ങനെ എഴുതാം. അതെ, അനന്തമായ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ട് പോലും നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ!)

ശരി, വളരെ ലളിതമാണ്):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

സൂചന: ആർക്‌സൈനും ആർക്കോസിനും എന്താണെന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്? എന്താണ് ആർക്റ്റാൻജെൻ്റ്, ആർക്കോടാൻജെൻ്റ്? ഏറ്റവും ലളിതമായ നിർവചനങ്ങൾ. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പട്ടിക മൂല്യങ്ങളൊന്നും ഓർക്കേണ്ടതില്ല!)

ഉത്തരങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഒരു കുഴപ്പമാണ്:

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ? സംഭവിക്കുന്നു. പാഠം വീണ്ടും വായിക്കുക. മാത്രം ചിന്താപൂർവ്വം(അങ്ങനെയുണ്ട് കാലഹരണപ്പെട്ട വാക്ക്...) കൂടാതെ ലിങ്കുകൾ പിന്തുടരുക. പ്രധാന ലിങ്കുകൾ സർക്കിളിനെക്കുറിച്ചാണ്. അതില്ലാതെ, ത്രികോണമിതി കണ്ണടച്ച് റോഡ് മുറിച്ചുകടക്കുന്നതുപോലെയാണ്. ചിലപ്പോൾ ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.)

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ

പാപം x = a,
കോസ് x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഈ ഖണ്ഡികയിൽ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾഞങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം. അവയുടെ പരിഹാരം, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

ഉദാഹരണം 1 . സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പാപം 2 എക്സ്=കോസ് എക്സ്പാപം 2 x.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത് വശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പാപം 2 എക്സ്(1 - കോസ് എക്സ്) = 0.

രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, മറ്റൊന്ന് സംഖ്യാ മൂല്യം, അത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നിടത്തോളം.

എങ്കിൽ പാപം 2 എക്സ് = 0 , പിന്നെ 2 എക്സ്= എൻ π ; എക്സ് = π / 2n.

എങ്കിൽ 1 - കോസ് എക്സ് = 0 , പിന്നെ cos എക്സ് = 1; എക്സ് = 2kπ .

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളുടെ വേരുകൾ ലഭിച്ചു: എക്സ് = π / 2n; എക്സ് = 2kπ . n = 4k എന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ആയതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് വേരുകൾ ആദ്യത്തേതിൽ വ്യക്തമായും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എക്സ് = π / 2nമാറുന്നു
എക്സ് = 2kπ .

അതിനാൽ, ഉത്തരം ഒരു ഫോർമുലയിൽ എഴുതാം: എക്സ് = π / 2n, എവിടെ എൻ- ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ.

ഈ സമവാക്യം പാപം 2 വഴി കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക x. തീർച്ചയായും, കുറച്ചതിന് ശേഷം നമുക്ക് 1 - cos x = 0, എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും എക്സ്= 2k π . അതിനാൽ നമുക്ക് ചില വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടും, ഉദാഹരണത്തിന് π / 2 , π , 3π / 2 .

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഒരു അംശം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകൂ.
അതുകൊണ്ടാണ് പാപം 2 എക്സ് = 0 , എവിടെ നിന്ന് 2 എക്സ്= എൻ π ; എക്സ് = π / 2n.

ഈ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് എക്സ് നിങ്ങൾ ആ മൂല്യങ്ങളെ അധികമായി തള്ളിക്കളയേണ്ടതുണ്ട് പാപംഎക്സ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നു (സീറോ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് അർത്ഥമില്ല: പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല). ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകളാണ് π . ഫോർമുലയിൽ
എക്സ് = π / 2nഅവ തുല്യമായി ലഭിക്കുന്നു എൻ. അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സംഖ്യകളായിരിക്കും

എക്സ് = π / 2 (2k + 1),

ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണം 3 . സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

2 പാപം 2 എക്സ്+ 7കോസ് x - 5 = 0.

പ്രകടിപ്പിക്കാം പാപം 2 എക്സ് വഴി കോസ്x : പാപം 2 എക്സ് = 1 - കോസ് 2x . അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം

2 (1 - കോസ് 2 x) + 7കോസ് x - 5 = 0 , അഥവാ

2കോസ് 2 x- 7 കോസ് x + 3 = 0.

നിയോഗിക്കുന്നു കോസ്x വഴി ചെയ്തത്, ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ആരുടെ വേരുകൾ 1/2, 3 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്. ഒന്നുകിൽ cos എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം x= 1/2, അല്ലെങ്കിൽ കോസ് എക്സ്= 3. എന്നിരുന്നാലും, രണ്ടാമത്തേത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം ഏതെങ്കിലും കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കേവല മൂല്യത്തിൽ 1 കവിയരുത്.

അത് സമ്മതിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു കോസ് x = 1 / 2 , എവിടെ

x = ± 60° + 360° n.

ഉദാഹരണം 4 . സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

2 പാപം എക്സ്+ 3കോസ് x = 6.

പാപം മുതൽ xകൂടാതെ കോസ് xകേവല മൂല്യത്തിൽ 1 കവിയരുത്, തുടർന്ന് എക്സ്പ്രഷൻ
2 പാപം എക്സ്+ 3കോസ് x അതിലും വലിയ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയില്ല 5 . അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

ഉദാഹരണം 5 . സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പാപം എക്സ്+കോസ് x = 1

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പാപം 2 എക്സ്+ 2 പാപം xകോസ് x+ 2 x = 1,

പക്ഷേ പാപം 2 എക്സ് + ചെലവ് 2 x = 1 . അതുകൊണ്ടാണ് 2 പാപം xകോസ് x = 0 . എങ്കിൽ പാപം x = 0 , അത് എക്സ് = എൻπ ; എങ്കിൽ
കോസ് x , അത് എക്സ് = π / 2 + കെπ . ഈ രണ്ട് കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങളും ഒരു ഫോർമുലയിൽ എഴുതാം:

എക്സ് = π / 2n

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിച്ചതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിച്ച വേരുകൾക്കിടയിൽ പുറമേയുള്ള വേരുകൾ ഉണ്ടാകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. അതുകൊണ്ടാണ് ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഒരു പരിശോധന നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എല്ലാ അർത്ഥങ്ങളും

എക്സ് = π / 2n 4 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം

	1) എക്സ് = 2kπ .	(n = 4k)
	2) എക്സ് = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) എക്സ് = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) എക്സ് = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

ചെയ്തത് എക്സ് = 2kπപാപം x+കോസ് x= 0 + 1 = 1. അതിനാൽ, എക്സ് = 2kπഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

ചെയ്തത് എക്സ് = π / 2 + 2kπ. പാപം x+കോസ് x= 1 + 0 = 1 അങ്ങനെ എക്സ് = π / 2 + 2kπ- ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും.

ചെയ്തത് എക്സ് = π + 2kπപാപം x+കോസ് x= 0 - 1 = - 1. അതിനാൽ, മൂല്യങ്ങൾ എക്സ് = π + 2kπഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളല്ല. അതുപോലെ അത് കാണിക്കുന്നു എക്സ് = 3π / 2 + 2kπ. വേരുകളല്ല.

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന വേരുകളുണ്ട്: എക്സ് = 2kπഒപ്പം എക്സ് = π / 2 + 2mπ., എവിടെ കെഒപ്പം എം- ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ.

പലതും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ, പ്രത്യേകിച്ച് ഗ്രേഡ് 10 ന് മുമ്പ് സംഭവിക്കുന്നവ, ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം വ്യക്തമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, രേഖീയവും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ലീനിയർ ഒപ്പം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി കുറയ്ക്കുന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും. സൂചിപ്പിച്ച ഓരോ പ്രശ്നങ്ങളും വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ഇപ്രകാരമാണ്: നിങ്ങൾ ഏത് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നമാണ് പരിഹരിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആവശ്യമുള്ള ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആവശ്യമായ ക്രമം ഓർക്കുക, അതായത്. ഉത്തരം നൽകി ഈ ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കുക.

ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിലെ വിജയവും പരാജയവും പ്രധാനമായും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം എത്ര കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളുടെയും ക്രമം എത്ര കൃത്യമായി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും നടത്താനുള്ള കഴിവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

കൂടെ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.സമവാക്യം ത്രികോണമിതിയാണെന്ന വസ്തുത സ്ഥാപിക്കുന്നത് ഒട്ടും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ശരിയായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു.

എഴുതിയത് രൂപംസമവാക്യം, അതിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കാൻ ചിലപ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം അറിയാതെ, നിരവധി ഡസൻ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ശരിയായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് മിക്കവാറും അസാധ്യമാണ്.

ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും "ഒരേ കോണുകളിലേക്ക്" കൊണ്ടുവരിക;
2. സമവാക്യം "സമാനമായ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്ക്" കൊണ്ടുവരിക;
3. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തെ ഘടകം, മുതലായവ.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ.

I. ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള കുറവ്

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.എക്സ്പ്രസ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനംഅറിയപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങളിലൂടെ.

ഘട്ടം 2.സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തുക:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ടാൻ x = a; x = ആർക്റ്റാൻ a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

ഘട്ടം 3.അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

പരിഹാരം.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ±(π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ഉത്തരം: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യം ബീജഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക.

ഘട്ടം 2.തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്ഷൻ t എന്ന വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുക (ആവശ്യമെങ്കിൽ, t-യിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക).

ഘട്ടം 3.തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബീജഗണിത സമവാക്യം എഴുതി പരിഹരിക്കുക.

ഘട്ടം 4.ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുക.

ഘട്ടം 5.ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

പരിഹാരം.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) പാപം (x/2) = t, എവിടെ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 അല്ലെങ്കിൽ e = -3/2, |t| വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

ഉത്തരം: x = π + 4πn, n Є Z.

III. സമവാക്യ ക്രമം കുറയ്ക്കൽ രീതി

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം ഒരു ലീനിയർ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

ഘട്ടം 2. I, II രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

പരിഹാരം.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

ഉത്തരം: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.ഈ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കുക

a) a sin x + b cos x = 0 (ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം)

അല്ലെങ്കിൽ കാഴ്ചയിലേക്ക്

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം).

ഘട്ടം 2.സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുക

a) cos x ≠ 0;

b) കോസ് 2 x ≠ 0;

ഒപ്പം tan x ൻ്റെ സമവാക്യം നേടുക:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b ആർക്റ്റാൻ x + c = 0.

ഘട്ടം 3.അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

പരിഹാരം.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) അപ്പോൾ tg x = t എന്ന് അനുവദിക്കുക

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 അല്ലെങ്കിൽ t = -4, അതായത്

tg x = 1 അല്ലെങ്കിൽ tg x = -4.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x = π/4 + πn, n Є Z; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

ഉത്തരം: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

വി. ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന രീതി

പരിഹാര ഡയഗ്രം

ഘട്ടം 1.സാധ്യമായ എല്ലാ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, ഈ സമവാക്യം I, II, III, IV രീതികൾ വഴി പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുക.

ഘട്ടം 2.അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

പരിഹാരം.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 2cos x + 1 = 0;

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 2x = π/2 + πn, n Є Z; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് cos x = -1/2.

നമുക്ക് x = π/4 + πn/2, n Є Z; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

ഫലമായി, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ഉത്തരം: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവും വൈദഗ്ധ്യവും വളരെ വലുതാണ് പ്രധാനമായി, അവരുടെ വികസനത്തിന് വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഭാഗത്തുനിന്നും അധ്യാപകൻ്റെ ഭാഗത്തുനിന്നും കാര്യമായ പരിശ്രമം ആവശ്യമാണ്.

സ്റ്റീരിയോമെട്രി, ഫിസിക്‌സ് മുതലായ പല പ്രശ്‌നങ്ങളും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.അത്തരം പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയ ത്രികോണമിതിയുടെ മൂലകങ്ങൾ പഠിച്ച് നേടിയെടുക്കുന്ന നിരവധി അറിവുകളും കഴിവുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പഠന പ്രക്രിയയിലും പൊതുവായി വ്യക്തിഗത വികസനത്തിലും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു.

ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ? ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് അറിയില്ലേ?
ഒരു അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ, രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.
ആദ്യ പാഠം സൗജന്യമാണ്!

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ് - സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയിലൂടെയുള്ള സ്പർശനത്തിൻ്റെ പ്രകടനവും മറ്റുള്ളവയും. അവരെ മറന്നതോ അറിയാത്തതോ ആയവർക്ക്, "" എന്ന ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അവ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുചെയ്തത് ശരിയായ സമീപനം- മതി ആവേശകരമായ പ്രവർത്തനം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു റൂബിക്സ് ക്യൂബ് പരിഹരിക്കുന്നത് പോലെ.

പേരിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിൽ അജ്ഞാതമായത് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്.
ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. അവ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്നത് ഇതാ: sinx = a, cos x = a, tan x = a. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം അത്തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംവ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചിതമായ ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കും.

sinx = a

cos x = a

ടാൻ x = എ

കട്ടിൽ x = a

ഏതൊരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യവും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്: ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും തുടർന്ന് അതിനെ ഒരു ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന 7 പ്രധാന രീതികളുണ്ട്.

1. വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ആൻഡ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

ലളിതമാക്കാനും സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാനും cos(x + /6) y ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

2y 2 - 3y + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 എന്നിവയാണ് ഇതിൻ്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് വിപരീത ക്രമത്തിൽ പോകാം

y യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും രണ്ട് ഉത്തര ഓപ്ഷനുകൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

2. ഘടകവൽക്കരണത്തിലൂടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

sin x + cos x = 1 എന്ന സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം, അങ്ങനെ 0 വലതുവശത്ത് നിലനിൽക്കും:

sin x + cos x – 1 = 0

സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഐഡൻ്റിറ്റികൾ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

നമുക്ക് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

3. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ

ഒരു സമവാക്യം സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏകതാനമാണ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരേ കോണിൻ്റെ ഒരേ ശക്തിയുടെ സൈനും കോസൈനും ആപേക്ഷികമാണെങ്കിൽ. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക:

a) അതിൻ്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക;

b) ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എല്ലാ പൊതു ഘടകങ്ങളും എടുക്കുക;

സി) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ബ്രാക്കറ്റുകളും 0 ന് തുല്യമാക്കുക;

d) താഴ്ന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ലഭിക്കുന്നു, അത് ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു;

e) tg യുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് sin 2 x + cos 2 x = 1 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും വലതുവശത്തുള്ള തുറന്ന രണ്ട് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യാം:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x മാറ്റി y ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടുക:

y 2 + 4y +3 = 0, അതിൻ്റെ വേരുകൾ y 1 =1, y 2 = 3

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

x 2 = ആർക്റ്റാൻ 3 + കെ

4. പകുതി കോണിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിലൂടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

3sin x – 5cos x = 7 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് x/2 ലേക്ക് പോകാം:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. സഹായ കോണിൻ്റെ ആമുഖം

പരിഗണനയ്ക്കായി, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം എടുക്കാം: a sin x + b cos x = c,

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ചില അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങളാണ്, x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാതമാണ്.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കാം:



ഇപ്പോൾ അനുസരിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ sin, cos എന്നീ ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതായത്: അവയുടെ മോഡുലസ് 1-ൽ കൂടരുത്, സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = 1. നമുക്ക് അവയെ യഥാക്രമം cos, sin എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം, ഇവിടെ - ഇതാണ് ഓക്സിലറി ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത്. അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

cos * sin x + sin * cos x = C

അല്ലെങ്കിൽ sin(x + ) = C

ഈ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്

x = (-1) k * arcsin C - + k, എവിടെ



കോസ്, സിൻ എന്നീ നൊട്ടേഷനുകൾ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

sin 3x – cos 3x = 1 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഈ സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

a = , b = -1, അതിനാൽ ഇരുവശങ്ങളെയും = 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചത് സ്വകാര്യ വിവരംനിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിയമം അനുസരിച്ച്, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിലെ സർക്കാർ ഏജൻസികളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നതിന്. സുരക്ഷയ്‌ക്കോ നിയമ നിർവ്വഹണത്തിനോ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്കോ ​​അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.