പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള രസകരമായ വസ്തുതകൾ: പ്രശസ്തമായ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് പുതിയ കാര്യങ്ങൾ പഠിക്കുക

(ബെർലിൻ മ്യൂസിയത്തിന്റെ പാപ്പിറസ് 6619 പ്രകാരം). കാന്ററിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഹാർപിഡോനാപ്‌റ്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ "റോപ്പ്-ടെൻഷനറുകൾ", 3, 4, 5 വശങ്ങളുള്ള വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് കോണുകൾ നിർമ്മിച്ചു.

അവരുടെ നിർമ്മാണ രീതി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. 12 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കയർ എടുത്ത് ഒരറ്റത്ത് നിന്ന് 3 മീറ്ററും മറ്റേ അറ്റത്ത് നിന്ന് 4 മീറ്ററും അകലത്തിൽ നിറമുള്ള ഒരു സ്ട്രിപ്പിൽ കെട്ടുക. 3 മുതൽ 4 മീറ്റർ വരെ നീളമുള്ള വശങ്ങൾക്കിടയിൽ വലത് കോണിനെ അടച്ചിരിക്കും. എല്ലാ മരപ്പണിക്കാരും ഉപയോഗിക്കുന്ന തടി ചതുരം നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവരുടെ നിർമ്മാണ രീതി അതിരുകടന്നതായി മാറുമെന്ന് ഹാർപെഡോനാപ്റ്റുകൾ വാദിച്ചേക്കാം. തീർച്ചയായും, ഈജിപ്ഷ്യൻ ഡ്രോയിംഗുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു, അതിൽ അത്തരമൊരു ഉപകരണം കാണപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മരപ്പണി വർക്ക്ഷോപ്പ് ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗുകൾ.

ബാബിലോണിയൻ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി അറിയാം. ഹമ്മുറാബിയുടെ കാലം മുതൽ, അതായത് ബിസി 2000 വരെയുള്ള ഒരു വാചകത്തിൽ. എൻ. എസ്. , ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, മെസൊപ്പൊട്ടേമിയയിൽ, ചില സന്ദർഭങ്ങളിലെങ്കിലും വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എങ്ങനെ നടത്താമെന്ന് അവർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു. ഒരു വശത്ത്, ഈജിപ്ഷ്യൻ, ബാബിലോണിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിലവിലെ അറിവിന്റെ നിലവാരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മറുവശത്ത്, ഗ്രീക്ക് സ്രോതസ്സുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിമർശനാത്മക പഠനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വാൻ ഡെർ വേർഡൻ (ഡച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ) സിദ്ധാന്തത്തിന് ഉയർന്ന സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് നിഗമനം ചെയ്തു. ബിസി 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ തന്നെ ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ ചതുരം ഇന്ത്യയിൽ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. എൻ. എസ്.

ഏകദേശം 400 ബി.സി. ഇ., പ്രോക്ലസ് അനുസരിച്ച്, ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതിയും സംയോജിപ്പിച്ച് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി പ്ലേറ്റോ നൽകി. ഏകദേശം 300 ബി.സി. എൻ. എസ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഏറ്റവും പഴയ അച്ചുതണ്ട് തെളിവ് യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

പദപ്രയോഗം

ജ്യാമിതീയ രൂപീകരണം:

തുടക്കത്തിൽ, സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തി:

ബീജഗണിത രൂപീകരണം:

അതായത്, ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ നീളവും അതിലൂടെയുള്ള കാലുകളുടെ നീളവും സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രണ്ട് പ്രസ്താവനകളും തുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്, ഇതിന് ഏരിയ എന്ന ആശയം ആവശ്യമില്ല. അതായത്, പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെയും രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന പരിശോധിക്കാം.

വിപരീത പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം:

തെളിവ്

ഇപ്പോൾ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാത്രമാണ് ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഏക സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ അർത്ഥം കൊണ്ട് മാത്രമേ ഈ വൈവിധ്യത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്: ഏരിയ രീതിയിലുള്ള തെളിവുകൾ, ആക്സിയോമാറ്റിക്, എക്സോട്ടിക് തെളിവുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്).

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളിലൂടെ

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.

ആകട്ടെ എബിസിവലത് കോണുള്ള ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണമുണ്ട് സി... നമുക്ക് ഉയരം വരയ്ക്കാം സിഅതിന്റെ അടിസ്ഥാനം സൂചിപ്പിക്കുക എച്ച്... ത്രികോണം ACHഒരു ത്രികോണം പോലെ എബിസിരണ്ട് മൂലകളിൽ. അതുപോലെ, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്സമാനമാണ് എബിസി... നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നു

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് തുല്യം

കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

പ്രദേശങ്ങൾ തെളിവ്

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവിനേക്കാൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് ഇവയെല്ലാം ഏരിയയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

തുല്യ പൂരക തെളിവ്

1. ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നാല് തുല്യ വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുക.
2. വശങ്ങളുള്ള ചതുർഭുജം സിരണ്ട് നിശിത കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 90 ° ആയതിനാൽ ഒരു ചതുരം ആണ്, കാരണം മടക്കാത്ത കോൺ 180 ° ആണ്.
3. മുഴുവൻ രൂപത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം, ഒരു വശത്ത്, വശങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവും വിസ്തീർണ്ണവും അകത്തെ ചതുരം.

ക്യു.ഇ.ഡി.

യൂക്ലിഡിന്റെ തെളിവ്

യൂക്ലിഡിന്റെ തെളിവിന് പിന്നിലെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ പകുതിയും കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ ഭാഗങ്ങളുടെ പകുതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് പ്രദേശങ്ങൾ. വലുതും രണ്ട് ചെറുതുമായ സമചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കുക. അതിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച്, AB എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസിന് ലംബമായി C എന്ന വലത് കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണങ്ങൾ വരച്ചു, അത് ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ABIK എന്ന ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു - BHJI യഥാക്രമം HAKJ എന്നിവയും. ഈ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം അനുബന്ധ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

DECA ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരം AHJK യുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ നിരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഈ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ അതേ ഉയരവും അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്. നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം വരെ. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിന്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പകുതിയായി നിർവചിച്ചതിന്റെ അനന്തരഫലമാണിത്. ഈ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ACK ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHK ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല), ഇത് AHJK ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. .

ACK ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം DECA ചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇതിനായി ചെയ്യേണ്ട ഒരേയൊരു കാര്യം ACK, BDA എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് (മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് BDA ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). സമത്വം വ്യക്തമാണ്: ത്രികോണങ്ങൾ രണ്ട് വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിലും തുല്യമാണ്. അതായത് - AB = AK, AD = AC - CAK, BAD എന്നീ കോണുകളുടെ സമത്വം ചലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഞങ്ങൾ CAK എന്ന ത്രികോണത്തെ 90 ° എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ അനുബന്ധ വശങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. പരിഗണനയിൽ ഒത്തുചേരും (ചതുരത്തിന്റെ അഗ്രത്തിലുള്ള കോൺ 90 ° ആയതിനാൽ).

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള BCFG, ദീർഘചതുരം BHJI എന്നിവയുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ തുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ന്യായവാദം പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്.

അങ്ങനെ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. ഈ തെളിവിന് പിന്നിലെ ആശയം മുകളിലെ ആനിമേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കൂടുതൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

തെളിവിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ സമമിതിയും ചലനവുമാണ്.

ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കുക, സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, സെഗ്മെന്റ് ചതുരത്തെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു (ത്രികോണങ്ങളും നിർമ്മാണത്തിൽ തുല്യവും ആയതിനാൽ).

ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ 90 ഡിഗ്രി തിരിയുമ്പോൾ, ഷേഡുള്ള രൂപങ്ങളും തുല്യവും ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.

ഷേഡുള്ള രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചെറിയ ചതുരങ്ങളുടെ (കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ചത്) ഭാഗങ്ങളുടെ പകുതിയുടെയും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മറുവശത്ത്, ഇത് വലിയ ചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ചത്) കൂടാതെ യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും. അതിനാൽ, ചെറിയ ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ പകുതി വലിയ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

അനന്തമായ രീതിയിലുള്ള തെളിവ്

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവുകൾ പലപ്പോഴും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യ പകുതിയിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹാർഡിക്ക് കാരണമാകുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗിലേക്ക് നോക്കുകയും വശത്തിന്റെ മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എ, വശങ്ങളിലെ അനന്തമായ ചെറിയ ഇൻക്രിമെന്റുകൾക്കായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം എഴുതാം കൂടെഒപ്പം എ(ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനത ഉപയോഗിച്ച്):

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

രണ്ട് കാലുകളുടെയും വർദ്ധനവിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് മാറ്റുന്നതിനുള്ള കൂടുതൽ പൊതുവായ പദപ്രയോഗം

ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിച്ച് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ച ഉത്തരത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും ഇൻക്രിമെന്റുകളും തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ആനുപാതികത കാരണം അന്തിമ ഫോർമുലയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആശ്രിതത്വം ദൃശ്യമാകുന്നു, അതേസമയം തുക വ്യത്യസ്ത കാലുകളുടെ ഇൻക്രിമെന്റുകളിൽ നിന്നുള്ള സ്വതന്ത്ര സംഭാവനകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

കാലുകളിലൊന്ന് വർദ്ധനവ് അനുഭവപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാൽ ലളിതമായ ഒരു തെളിവ് ലഭിക്കും (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ലെഗ്). അപ്പോൾ ഏകീകരണത്തിന്റെ സ്ഥിരതയ്ക്കായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

വ്യതിയാനങ്ങളും പൊതുവൽക്കരണങ്ങളും

മൂന്ന് വശങ്ങളിലും സമാനമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ

സമാന ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം, പച്ച ആകൃതികളുടെ വിസ്തീർണ്ണം A + B = നീല C യുടെ വിസ്തീർണ്ണം

സമാനമായ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം യൂക്ലിഡ് തന്റെ കൃതിയിൽ ഉണ്ടാക്കി തുടക്കം, വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം സമാനമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകളിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിൽ സമാനമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ (യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി കാണുക) നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ട് ചെറിയ രൂപങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വലിയ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഈ സാമാന്യവൽക്കരണത്തിന്റെ പ്രധാന ആശയം, അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും രേഖീയ അളവുകളുടെ ചതുരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് ഏതെങ്കിലും വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന്. അതിനാൽ, പ്രദേശങ്ങളുമായി സമാനമായ കണക്കുകൾക്കായി എ, ബിഒപ്പം സിനീളമുള്ള വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു എ, ബിഒപ്പം സി, നമുക്ക് ഉണ്ട്:

പക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, എ 2 + ബി 2 = സി 2, പിന്നെ എ + ബി = സി.

നേരെമറിച്ച്, നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ എ + ബി = സിപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാതെ സമാനമായ മൂന്ന് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾക്കായി, നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം തന്നെ തെളിയിക്കാനാകും, വിപരീത ദിശയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആരംഭ കേന്ദ്ര ത്രികോണം ഒരു ത്രികോണമായി വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കാം സിഹൈപ്പോടെൻസിൽ, കൂടാതെ സമാനമായ രണ്ട് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ ( എഒപ്പം ബി), മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, കേന്ദ്ര ത്രികോണത്തെ അതിന്റെ ഉയരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന്റെ ഫലമായി രൂപം കൊള്ളുന്നു. ത്രികോണങ്ങളുടെ രണ്ട് ചെറിയ പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മൂന്നാമത്തേതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. എ + ബി = സിമുൻ പ്രൂഫ് റിവേഴ്സ് ഓർഡറിൽ നടത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം a 2 + b 2 = c 2 ലഭിക്കും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കൂടുതൽ പൊതുവായ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, ഇത് ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണത്തിൽ വശങ്ങളുടെ നീളം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു:

ഇവിടെ θ എന്നത് വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണാണ് എഒപ്പം ബി.

θ 90 ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ കോസ് θ = 0, സൂത്രവാക്യം സാധാരണ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണം

വശങ്ങളുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത ഏതെങ്കിലും കോണിലേക്ക് എ, ബി, സിഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം എഴുതുക, അതിന്റെ അടിത്തറയിലെ തുല്യ കോണുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത കോണിന് തുല്യമായിരിക്കും. തിരഞ്ഞെടുത്ത ആംഗിൾ θ അടയാളപ്പെടുത്തിയ വശത്തിന് എതിർവശത്താണെന്ന് കരുതുക സി... തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ആംഗിൾ θ ഉള്ള ഒരു ABD ത്രികോണം ലഭിച്ചു, അത് വശത്തിന് എതിർവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു എപാർട്ടികളും ആർ... രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നത് കോണിന്റെ θ ആണ്, അത് വശത്തിന് എതിർവശത്താണ് ബിപാർട്ടികളും കൂടെനീളം എസ്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. ഈ മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളിലെ വശങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് താബിത് ഇബ്‌നു ഖുറ വാദിച്ചു:

ആംഗിൾ π / 2 നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ അടിഭാഗം കുറയുന്നു, രണ്ട് വശങ്ങളും r, s എന്നിവ പരസ്പരം ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുന്നു. θ = π / 2 ആകുമ്പോൾ, ADB ഒരു വലത് ത്രികോണമാകും, ആർ + എസ് = സികൂടാതെ നമുക്ക് പ്രാരംഭ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ലഭിക്കും.

കാരണങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ട്രയാംഗിൾ എബിസിക്ക് എബിഡി ത്രികോണത്തിന്റെ അതേ കോണുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ വിപരീത ക്രമത്തിലാണ്. (രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾക്ക് B ശീർഷത്തിൽ ഒരു പൊതു കോണുണ്ട്, രണ്ടിനും θ കോണുണ്ട്, കൂടാതെ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അനുസരിച്ച് ഒരേ മൂന്നാമത്തെ കോണും ഉണ്ട്.) അതനുസരിച്ച്, ABC ത്രികോണം DBA യുടെ ABD പ്രതിഫലനത്തിന് സമാനമാണ്, താഴത്തെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. നമുക്ക് എതിർവശങ്ങളും കോണിനോട് ചേർന്നും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം എഴുതാം θ,

മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ പ്രതിഫലനവും,

നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിച്ച് ഈ രണ്ട് അനുപാതങ്ങൾ ചേർക്കാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

സമാന്തരരേഖകൾ വഴിയുള്ള അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം

അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം,
പച്ചനിറത്തിലുള്ള പ്രദേശം പ്ലോട്ട് = ഏരിയനീല

മുകളിലെ ചിത്രത്തിലുള്ള പ്രബന്ധത്തിന്റെ തെളിവ്

സമചതുരങ്ങൾക്ക് പകരം മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ സമാന്തരചലനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ദീർഘചതുരമല്ലാത്ത ത്രികോണങ്ങളിലേക്ക് കൂടുതൽ സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം. (ചതുരങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്.) മുകളിലെ ചിത്രം കാണിക്കുന്നത് ഒരു നിശിത-കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്, നീളമുള്ള വശത്തുള്ള സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ സമാന്തരചലനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നീളമുള്ള വശം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു (അമ്പടയാളങ്ങളാൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അളവുകൾ തുല്യമാണ് കൂടാതെ താഴത്തെ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു). സമാന്തരചലനങ്ങളുള്ള ചതുരങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് പൈതഗോറസിന്റെ പ്രാരംഭ സിദ്ധാന്തവുമായി വ്യക്തമായ സാമ്യം പുലർത്തുന്നു, ഇത് എഡി 4-ൽ അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ പാപ്പസ് രൂപപ്പെടുത്തിയതാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. എൻ. എസ്.

താഴെയുള്ള ചിത്രം തെളിവിന്റെ പുരോഗതി കാണിക്കുന്നു. ത്രികോണത്തിന്റെ ഇടതുവശം നോക്കാം. ഇടത് പച്ച സമാന്തരരേഖയ്ക്ക് നീല സമാന്തരരേഖയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട്, കാരണം അവയ്ക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുണ്ട് ബിഉയരവും എച്ച്... കൂടാതെ, ഇടത് പച്ച പാരലലോഗ്രാമിന് മുകളിലെ ചിത്രത്തിലെ ഇടത് പച്ച സമാന്തരചലനത്തിന്റെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട്, കാരണം അവയ്ക്ക് പൊതുവായ അടിത്തറയും (ത്രികോണത്തിന്റെ മുകളിൽ ഇടത് വശം) ത്രികോണത്തിന്റെ ആ വശത്തിന് ലംബമായി ആകെ ഉയരവും ഉണ്ട്. ത്രികോണത്തിന്റെ വലത് വശത്തിന് സമാനമായി വാദിച്ചുകൊണ്ട്, താഴത്തെ സമാന്തരചുറ്റത്തിന് രണ്ട് പച്ച സമാന്തരചലനങ്ങളുടെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ

ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്താൻ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഈ സിദ്ധാന്തം എല്ലാ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും ശരിയാണ്: ദൂരം: എസ്രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ ( എ, ബി) ഒപ്പം ( സി, ഡി) തുല്യമാണ്

നിങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ യഥാർത്ഥ ഘടകങ്ങളുള്ള വെക്റ്ററുകളായി കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ ഫോർമുലയിൽ ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല x + ഞാൻ വൈ = (x, വൈ). ... ഉദാഹരണത്തിന്, ദൂരം എസ് 0 + 1 ന് ഇടയിൽ ഐകൂടാതെ 1 + 0 ഐവെക്‌ടറിന്റെ മൊഡ്യൂളായി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), അഥവാ

എന്നിരുന്നാലും, സങ്കീർണ്ണമായ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, പൈതഗോറിയൻ ഫോർമുലയിൽ ഒരു നിശ്ചിത മെച്ചപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമാണ്. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ( എ, ബി) ഒപ്പം ( സി, ഡി); എ, ബി, സി, ഒപ്പം ഡിഎല്ലാം സങ്കീർണ്ണമായ, കേവല മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തും. ദൂരം എസ്വെക്റ്റർ വ്യത്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (എ − സി, ബി − ഡി) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ: വ്യത്യാസം അനുവദിക്കുക എ − സി = പി+ ഐ q, എവിടെ പി- വ്യത്യാസത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം, qസാങ്കൽപ്പിക ഭാഗമാണ്, i = √ (-1). അതുപോലെ, അനുവദിക്കുക ബി − ഡി = ആർ+ ഐ എസ്... അപ്പോൾ:

കോംപ്ലക്സ് കൺജഗേറ്റ് നമ്പർ എവിടെയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം (എ, ബി) = (0, 1) ഒപ്പം (സി, ഡി) = (ഐ, 0) , ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം കണക്കാക്കും (എ − സി, ബി − ഡി) = (−ഐ, 1) അതിന്റെ ഫലമായി സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചില്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് 0 ലഭിക്കും. അതിനാൽ, മെച്ചപ്പെട്ട ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

സ്റ്റീരിയോമെട്രി

ത്രിമാന ബഹിരാകാശത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രധാന സാമാന്യവൽക്കരണം ജെ.-പിയുടെ പേരിലുള്ള ഡി ഗ്വായുടെ സിദ്ധാന്തമാണ്. de Gua: ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് ഒരു വലത് കോണുണ്ടെങ്കിൽ (ഒരു ക്യൂബിലെന്നപോലെ), വലത് കോണിന് എതിർവശത്തായി കിടക്കുന്ന മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ചതുരം മറ്റ് മൂന്ന് മുഖങ്ങളിലെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ നിഗമനം ഇങ്ങനെ സംഗ്രഹിക്കാം " എൻ-ഡൈമൻഷണൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ":

ത്രിമാന സ്പേസിലെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഡയഗണൽ എഡിയെ മൂന്ന് വശങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു സാമാന്യവൽക്കരണം: സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തര പൈപ്പ് പരിഗണിക്കുക. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഡയഗണൽ ബിഡിയുടെ നീളം കണ്ടെത്താം:

ഇവിടെ മൂന്ന് വശങ്ങളും ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഡയഗണൽ എഡിയുടെ നീളം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ തിരശ്ചീന ഡയഗണൽ ബിഡിയും ലംബമായ എഡ്ജ് എബിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

അല്ലെങ്കിൽ, എല്ലാം ഒരു സമവാക്യത്തിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

ഈ ഫലം ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ വ്യാപ്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു 3D എക്സ്പ്രഷൻ ആണ് വി(ഡയഗണൽ എഡി) അതിന്റെ ലംബ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ( വി k) (പരസ്പര ലംബമായ മൂന്ന് വശങ്ങൾ):

ഈ സമവാക്യത്തെ മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണമായി കാണാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ഫലത്തിൽ, തുടർച്ചയായി ലംബമായ തലങ്ങളിൽ വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രയോഗമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

വെക്റ്റർ സ്പേസ്

വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു, ഇതിനെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്നും വിളിക്കുന്നു:

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണെങ്കിൽ, ഈ ഫോർമുല യൂക്ലിഡിയൻ ദൂരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു - വെക്റ്ററിന്റെ നീളം അതിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

വെക്‌ടറുകളുടെ അനന്തമായ സംവിധാനത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഈ സമത്വത്തിന്റെ ഒരു അനലോഗിനെ പാർസെവലിന്റെ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, വാസ്തവത്തിൽ, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന രൂപത്തിൽ യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ജ്യാമിതിക്ക് സാധുതയില്ല. (അതായത്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിന്റെ സമാന്തരത്വത്തിന്റെ ഒരു തരത്തിന് തുല്യമായി മാറുന്നു) മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ രൂപത്തിലായിരിക്കണം. . ഉദാഹരണത്തിന്, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളും (പറയുക എ, ബിഒപ്പം സി), യൂണിറ്റ് ഗോളത്തിന്റെ ഒക്ടന്റ് (എട്ടാം ഭാഗം) പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് വിരുദ്ധമായ നീളം π / 2 ഉണ്ട്, കാരണം എ 2 + ബി 2 ≠ സി 2 .

നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ രണ്ട് കേസുകൾ ഇവിടെ പരിഗണിക്കുക - ഗോളാകൃതിയും ഹൈപ്പർബോളിക് ജ്യാമിതിയും; രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിലെന്നപോലെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഫലം കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഹൈപ്പർബോളിക്, എലിപ്റ്റിക് ജ്യാമിതിക്ക് സാധുതയുള്ളതായി തുടരുന്നു, ത്രികോണത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ആവശ്യകതയ്ക്ക് പകരം ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക മൂന്നാമത്തേതിന് തുല്യമായിരിക്കണം, പറയുക എ+ബി = സി... അപ്പോൾ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: വ്യാസമുള്ള സർക്കിളുകളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുക എഒപ്പം ബിവ്യാസമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് സി.

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതി

റേഡിയസ് ഗോളത്തിലെ ഏതെങ്കിലും വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന് ആർ(ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോൺ γ ഒരു നേർരേഖയാണെങ്കിൽ) വശങ്ങളും എ, ബി, സികക്ഷികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഈ സമത്വം ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി ഉരുത്തിരിയാം, ഇത് എല്ലാ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്:

ഇവിടെ കോഷ് എന്നത് ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈൻ ആണ്. ഈ ഫോർമുല ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, ഇത് എല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും സാധുവാണ്:

ഇവിടെ γ എന്നത് വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണാണ് സി.

എവിടെ ജി ijമെട്രിക് ടെൻസർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് സ്ഥാനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനമാകാം. അത്തരം വളഞ്ഞ ഇടങ്ങളിൽ ഒരു പൊതു ഉദാഹരണമായി റീമാനിയൻ ജ്യാമിതി ഉൾപ്പെടുന്നു. കർവിലീനിയർ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ യൂക്ലിഡിയൻ സ്ഥലത്തിനും ഈ ഫോർമുലേഷൻ അനുയോജ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പോളാർ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക്:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വ്യാപ്തിക്കായി രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനത്തിന് അത് സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്:

ഈ ഫോർമുല ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തെ ഗ്രാം ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി, ഇത് ഈ രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രൂപം കൊള്ളുന്ന സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ ആവശ്യകതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ലംബമായിരിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയും എഒപ്പം ബി 0-, 1-ഡൈമൻഷണൽ സ്‌പെയ്‌സിൽ നിന്നുള്ള നിസ്സാര കേസുകൾ ഒഴികെ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം മൂന്ന്, ഏഴ് അളവുകളിൽ മാത്രമേ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളൂ. കോണിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എൻ-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ്:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി അതിന്റെ മൂല്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ നൽകുന്നു:

പൈതഗോറസിന്റെ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയിലൂടെ, അതിന്റെ മൂല്യം രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രൂപം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ബദൽ സമീപനം അതിന്റെ വ്യാപ്തിക്കായി ഒരു പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, വിപരീത ക്രമത്തിൽ വാദിക്കുമ്പോൾ, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവുമായി ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു കണക്ഷൻ ലഭിക്കും:

ഇതും കാണുക

കുറിപ്പുകൾ (എഡിറ്റ്)

1. ചരിത്ര വിഷയം: ബാബിലോണിയൻ ഗണിതത്തിലെ പൈതഗോറസിന്റെ സിദ്ധാന്തം
2. (, പി. 351) പേജ് 351
3. (, വാല്യം I, പേജ് 144)
4. ചരിത്രപരമായ വസ്തുതകളുടെ ഒരു ചർച്ച (, പേജ് 351) പേജ് 351 ൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു
5. കുർട്ട് വോൺ ഫ്രിറ്റ്സ് (ഏപ്രിൽ 1945). "ദി ഡിസ്കവറി ഓഫ് ഇൻ കോംമെൻസറബിലിറ്റി ബൈ ഹിപ്പാസസ് ഓഫ് മെറ്റാപോണ്ടം." ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വാർഷികം, രണ്ടാം പരമ്പര(ഗണിതത്തിന്റെ വാർഷികം) 46 (2): 242–264.
6. ലൂയിസ് കരോൾ, "എ സ്റ്റോറി വിത്ത് നോട്ട്സ്", എം., മിർ, 1985, പേ. 7
7. അസ്ഗർ ആബോഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആദ്യകാല ചരിത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള എപ്പിസോഡുകൾ. - മാത്തമാറ്റിക്കൽ അസോസിയേഷൻ ഓഫ് അമേരിക്ക, 1997. - പി. 51. - ISBN 0883856131
8. പൈതഗോറിയൻ നിർദ്ദേശം, എലിഷ സ്കോട്ട് ലൂമിസ് എഴുതിയത്
9. യൂക്ലിഡിന്റെ ഘടകങ്ങൾ: പുസ്തകം VI, പ്രൊപ്പോസിഷൻ VI 31: "വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളിൽ, വലത് കോണിനെ കീഴ്പ്പെടുത്തുന്ന വശത്തെ ചിത്രം, വലത് കോണിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വശങ്ങളിലെ സമാനവും സമാനമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുമായ രൂപങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്."
10. ലോറൻസ് എസ്. ലെഫ് ഉദ്ധരിക്കപ്പെട്ട ജോലി... - ബാരൺസ് എഡ്യൂക്കേഷണൽ സീരീസ് - പി. 326. - ISBN 0764128922
11. ഹോവാർഡ് വിറ്റ്ലി ഈവ്സ്§4.8: ... പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം // ഗണിതത്തിലെ മഹത്തായ നിമിഷങ്ങൾ (1650-ന് മുമ്പ്). - മാത്തമാറ്റിക്കൽ അസോസിയേഷൻ ഓഫ് അമേരിക്ക, 1983. - പി. 41. - ISBN 0883853108
12. താബിത് ഇബ്ൻ ഖോറ (മുഴുവൻ പേര് താബിത് ഇബ്ൻ ഖുറ ഇബ്ൻ മർവാൻ അൽ-ഷാബി അൽ-ഹറാനി) (എഡി 826-901) യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളെക്കുറിച്ചും മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചും വിപുലമായി എഴുതിയിരുന്ന ബാഗ്ദാദിൽ താമസിക്കുന്ന ഒരു വൈദ്യനായിരുന്നു.
13. അയ്ദിൻ സായിലി (മാർച്ച് 1960). "താബിത് ഇബ്നു ഖുറ"യുടെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം. ഐസിസ് 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. ജൂഡിത്ത് ഡി സാലി, പോൾ സാലിവ്യായാമം 2.10 (ii) // ഉദ്ധരിക്കപ്പെട്ട വർക്ക്. - പി. 62. - ISBN 0821844032
15. അത്തരമൊരു നിർമ്മാണത്തിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾക്ക്, കാണുക ജോർജ് ജെന്നിംഗ്സ്ചിത്രം 1.32: സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം // പ്രയോഗങ്ങളുള്ള ആധുനിക ജ്യാമിതി: 150 അക്കങ്ങൾ. - 3ആം. - സ്പ്രിംഗർ, 1997. - പി. 23. - ISBN 038794222X
16. ആർലെൻ ബ്രൗൺ, കാൾ എം. പിയർസിഇനം സി: ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു മാനദണ്ഡം എൻ-tuple ... // വിശകലനത്തിന് ഒരു ആമുഖം. - സ്പ്രിംഗർ, 1995. - പി. 124. - ISBN 0387943692 47-50 പേജുകളും കാണുക.
17. ആൽഫ്രഡ് ഗ്രേ, എൽസ അബ്ബേന, സൈമൺ സാലമൺഗണിതശാസ്ത്രത്തിനൊപ്പം വളവുകളുടെയും പ്രതലങ്ങളുടെയും ആധുനിക ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതി. - മൂന്നാമത്തേത്. - CRC പ്രസ്സ്, 2006 .-- P. 194 .-- ISBN 1584884487
18. രാജേന്ദ്ര ഭാട്ടിയമാട്രിക്സ് വിശകലനം. - സ്പ്രിംഗർ, 1997. - പി. 21. - ISBN 0387948465
19. സ്റ്റീഫൻ ഡബ്ല്യു. ഹോക്കിംഗ് ഉദ്ധരിക്കപ്പെട്ട ജോലി... - 2005. - പി. 4. - ISBN 0762419229
20. എറിക് ഡബ്ല്യു വെയ്‌സ്‌റ്റൈൻ CRC സംക്ഷിപ്ത വിജ്ഞാനകോശം ഗണിതശാസ്ത്രം. - 2nd. - 2003. - പി. 2147. - ISBN 1584883472
21. അലക്സാണ്ടർ ആർ. പ്രസ്

ഒരു കാര്യത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ വർഗ്ഗം എന്താണെന്ന് ചോദിച്ചാൽ, ഏതൊരു മുതിർന്നയാളും ധൈര്യത്തോടെ ഉത്തരം പറയും: "കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നൂറു ശതമാനം ഉറപ്പുണ്ട്. ഈ സിദ്ധാന്തം വിദ്യാസമ്പന്നരായ ഓരോ വ്യക്തിയുടെയും മനസ്സിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കുന്നു, പക്ഷേ അത് തെളിയിക്കാൻ ആരോടെങ്കിലും ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ മതിയാകും, തുടർന്ന് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകാം. അതിനാൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ ഓർക്കുകയും പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യാം.

ജീവചരിത്രത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്ത അവലോകനം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മിക്കവാറും എല്ലാവർക്കും പരിചിതമാണ്, പക്ഷേ ചില കാരണങ്ങളാൽ അതിന് ജന്മം നൽകിയ വ്യക്തിയുടെ ജീവചരിത്രം അത്ര ജനപ്രിയമല്ല. ഇത് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. അതിനാൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, നിങ്ങൾ അദ്ദേഹത്തിന്റെ വ്യക്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് ഹ്രസ്വമായി പരിചയപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്.

പൈതഗോറസ് ഒരു തത്ത്വചിന്തകനും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ചിന്തകനുമാണ്, ഈ മഹാനായ മനുഷ്യന്റെ ഓർമ്മയിൽ രൂപപ്പെട്ട ഇതിഹാസങ്ങളിൽ നിന്ന് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ജീവചരിത്രത്തെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ ഇന്ന് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നാൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ അനുയായികളുടെ രചനകളിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, സാമോസിലെ പൈതഗോറസ് സമോസ് ദ്വീപിൽ ജനിച്ചു. അവന്റെ അച്ഛൻ ഒരു സാധാരണ കല്ല് വെട്ടുകാരനായിരുന്നു, പക്ഷേ അവന്റെ അമ്മ ഒരു കുലീന കുടുംബത്തിൽ നിന്നാണ്.

ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പൈതഗോറസിന്റെ ജനനം പൈത്തിയ എന്ന സ്ത്രീയാണ് പ്രവചിച്ചത്, ആരുടെ ബഹുമാനാർത്ഥം ആൺകുട്ടിക്ക് പേര് നൽകി. അവളുടെ പ്രവചനമനുസരിച്ച്, ജനിച്ച ആൺകുട്ടി മനുഷ്യരാശിക്ക് ധാരാളം നേട്ടങ്ങളും നന്മകളും നൽകണം. അവൻ യഥാർത്ഥത്തിൽ ചെയ്തത്.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ജനനം

തന്റെ ചെറുപ്പത്തിൽ, പൈതഗോറസ് ഈജിപ്തിലെ പ്രശസ്ത ഈജിപ്ഷ്യൻ ഋഷികളെ കാണാൻ പോയി. അവരുമായി കൂടിക്കാഴ്ച നടത്തിയ ശേഷം, അദ്ദേഹത്തെ പഠനത്തിൽ പ്രവേശിപ്പിച്ചു, അവിടെ ഈജിപ്ഷ്യൻ തത്ത്വചിന്ത, ഗണിതശാസ്ത്രം, വൈദ്യശാസ്ത്രം എന്നിവയുടെ മഹത്തായ നേട്ടങ്ങളെല്ലാം അദ്ദേഹം പഠിച്ചു.

ഒരുപക്ഷേ, ഈജിപ്തിലാണ് പൈതഗോറസ് പിരമിഡുകളുടെ മഹത്വത്തിലും സൗന്ദര്യത്തിലും പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ട് തന്റെ മഹത്തായ സിദ്ധാന്തം സൃഷ്ടിച്ചത്. ഇത് വായനക്കാരെ ഞെട്ടിച്ചേക്കാം, എന്നാൽ പൈതഗോറസ് തന്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചിട്ടില്ലെന്ന് ആധുനിക ചരിത്രകാരന്മാർ വിശ്വസിക്കുന്നു. പിന്നീട് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളും പൂർത്തിയാക്കിയ അനുയായികൾക്ക് അദ്ദേഹം തന്റെ അറിവ് കൈമാറി.

അതെന്തായാലും, ഇന്ന് ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയല്ല അറിയപ്പെടുന്നത്, എന്നാൽ ഒരേസമയം നിരവധി. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർ അവരുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൃത്യമായി എങ്ങനെ നടത്തിയെന്ന് ഇന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ, അതിനാൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പരിഗണിക്കും.

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

ഏതെങ്കിലും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഏത് സിദ്ധാന്തമാണ് തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: "ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണുകളിൽ ഒന്ന് 90 ° ആണ്, കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ്."

മൊത്തത്തിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ 15 വ്യത്യസ്ത വഴികളുണ്ട്. ഇത് വളരെ വലിയ രൂപമാണ്, അതിനാൽ അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രചാരമുള്ളത് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

രീതി ഒന്ന്

ആദ്യം, നമുക്ക് എന്താണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്ന് നമുക്ക് നിശ്ചയിക്കാം. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രീതികൾക്കും ഈ ഡാറ്റ ബാധകമാകും, അതിനാൽ ലഭ്യമായ എല്ലാ നൊട്ടേഷനുകളും നിങ്ങൾ ഉടനടി ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക, കാലുകൾ a, b എന്നിവയും c ന് തുല്യമായ ഒരു ഹൈപ്പോടെൻസും. വലത് കോണിലുള്ള ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ഒരു ചതുരം വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് തെളിവിന്റെ ആദ്യ രീതി.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ലെഗ് b ന് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്മെന്റ് വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്, a ലെഗിന്റെ നീളവും തിരിച്ചും. ഇത് സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ട് തുല്യ വശങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കണം. രണ്ട് സമാന്തര വരകൾ വരയ്ക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, സ്ക്വയർ തയ്യാറാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രത്തിനുള്ളിൽ, യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന് തുല്യമായ ഒരു വശമുള്ള മറ്റൊരു ചതുരം വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ac, sv എന്നീ വെർട്ടിസുകളിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾ c ന് തുല്യമായ രണ്ട് സമാന്തര സെഗ്മെന്റുകൾ വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. അങ്ങനെ, നമുക്ക് ചതുരത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, അതിലൊന്നാണ് യഥാർത്ഥ വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസസ്. നാലാമത്തെ സെഗ്‌മെന്റ് പൂർത്തിയാക്കാൻ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന കണക്കിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ബാഹ്യ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b) 2 ആണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. നിങ്ങൾ ചിത്രത്തിനുള്ളിൽ നോക്കിയാൽ, ആന്തരിക ചതുരത്തിന് പുറമേ, അതിൽ നാല് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഓരോന്നിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം 0.5 എവിക്ക് തുല്യമാണ്.

അതിനാൽ, പ്രദേശം ഇതിന് തുല്യമാണ്: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

അതിനാൽ (a + b) 2 = 2ab + c 2

അതിനാൽ c 2 = a 2 + b 2

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

രീതി രണ്ട്: സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ജ്യാമിതി വിഭാഗത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവിനായുള്ള ഈ സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ കാൽ അതിന്റെ ഹൈപ്പോടെനസിനും 90 ° കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ ഭാഗത്തിനും ആനുപാതികമായ ശരാശരിയാണെന്ന് ഇത് പറയുന്നു.

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ അതേപടി തുടരുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് തെളിവുമായി ഉടൻ ആരംഭിക്കാം. AB വശത്തേക്ക് ലംബമായി SD യുടെ ഒരു ഭാഗം വരയ്ക്കാം. മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ത്രികോണങ്ങളുടെ കാലുകൾ ഇവയാണ്:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും സമചതുരമാക്കി തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കണം.

AC 2 = AB * HELL, SV 2 = AB * DV

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), ഇവിടെ HELL + DV = AB

ഇത് മാറുന്നു:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

അതിനാൽ:

AC 2 + CB 2 = AB 2

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവും അത് പരിഹരിക്കാനുള്ള വിവിധ മാർഗങ്ങളും ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഒരു ബഹുമുഖ സമീപനം ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഓപ്ഷൻ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഒന്നാണ്.

മറ്റൊരു കണക്കുകൂട്ടൽ സാങ്കേതികത

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികളുടെ വിവരണം നിങ്ങൾ സ്വയം പരിശീലിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതുവരെ ഒന്നും പറയില്ല. പല സാങ്കേതിക വിദ്യകളും ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മാത്രമല്ല, യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൽ നിന്നുള്ള പുതിയ രൂപങ്ങളുടെ നിർമ്മാണവും നൽകുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബിസിയുടെ കാലിൽ നിന്ന് VSD യുടെ മറ്റൊരു വലത് കോണിലുള്ള ത്രികോണം പൂർത്തിയാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, ഇപ്പോൾ ഒരു സാധാരണ ലെഗ് BC ഉള്ള രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്.

അത്തരം രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾക്ക് അവയുടെ സമാന രേഖീയ അളവുകളുടെ ചതുരങ്ങളായി ഒരു അനുപാതമുണ്ടെന്ന് അറിയുമ്പോൾ:

S avd * s 2 - S avd * a 2 = S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

ഗ്രേഡ് 8 ന് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ നിന്ന് ഈ ഓപ്ഷൻ അനുയോജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കാം.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനുള്ള എളുപ്പവഴി. അവലോകനങ്ങൾ

പുരാതന ഗ്രീസിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ ഈ രീതി ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചതായി ചരിത്രകാരന്മാർ വിശ്വസിക്കുന്നു. ഇത് ഏറ്റവും ലളിതമാണ്, കാരണം ഇതിന് തികച്ചും കണക്കുകൂട്ടലുകളൊന്നും ആവശ്യമില്ല. നിങ്ങൾ ചിത്രം ശരിയായി വരച്ചാൽ, 2 + ഇൻ 2 = സി 2 എന്ന പ്രസ്താവനയുടെ തെളിവ് വ്യക്തമായി ദൃശ്യമാകും.

ഈ രീതിയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, വലത് കോണുള്ള ത്രികോണമായ എബിസി ഐസോസിലിസ് ആണെന്ന് കരുതുക.

ഞങ്ങൾ ചതുരത്തിന്റെ വശമായി എസി ഹൈപ്പോടെനസ് എടുത്ത് അതിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു. കൂടാതെ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചതുരത്തിൽ രണ്ട് ഡയഗണൽ ലൈനുകൾ വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ അതിനുള്ളിൽ നാല് ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്.

AB, CB എന്നീ കാലുകളിലേക്ക് നിങ്ങൾ ഒരു ചതുരം വരയ്ക്കുകയും അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒരു ഡയഗണൽ ലൈൻ വരയ്ക്കുകയും വേണം. ആദ്യ വരി എ ശീർഷത്തിൽ നിന്നും രണ്ടാമത്തേത് സിയിൽ നിന്നും വരച്ചതാണ്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഡ്രോയിംഗ് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എസി ഹൈപ്പോടെൻസിൽ ഒറിജിനൽ ഒന്നിന് തുല്യമായ നാല് ത്രികോണങ്ങളും കാലുകളിൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും ഉള്ളതിനാൽ, ഇത് ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സത്യസന്ധതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

വഴിയിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്ന ഈ രീതിക്ക് നന്ദി, പ്രശസ്തമായ വാക്യം പിറന്നു: "പൈതഗോറിയൻ പാന്റ്സ് എല്ലാ ദിശകളിലും തുല്യമാണ്."

ജെ. ഗാർഫീൽഡിന്റെ തെളിവ്

ജെയിംസ് ഗാർഫീൽഡ് അമേരിക്കൻ ഐക്യനാടുകളുടെ 20-ാമത് പ്രസിഡന്റാണ്. യുണൈറ്റഡ് സ്റ്റേറ്റ്സിന്റെ ഭരണാധികാരിയെന്ന നിലയിൽ ചരിത്രത്തിൽ തന്റെ മുദ്ര പതിപ്പിച്ചതിനു പുറമേ, സ്വയം പഠിക്കാൻ കഴിവുള്ള വ്യക്തി കൂടിയായിരുന്നു അദ്ദേഹം.

തന്റെ കരിയറിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, അദ്ദേഹം ഒരു നാടോടി സ്കൂളിലെ ഒരു സാധാരണ അധ്യാപകനായിരുന്നു, എന്നാൽ താമസിയാതെ ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലൊന്നിന്റെ ഡയറക്ടറായി. സ്വയം വികസനത്തിനുള്ള ആഗ്രഹം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പുതിയ സിദ്ധാന്തം നിർദ്ദേശിക്കാൻ അദ്ദേഹത്തെ അനുവദിച്ചു. സിദ്ധാന്തവും അതിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണവും ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്.

ആദ്യം, നിങ്ങൾ ഒരു കടലാസിൽ രണ്ട് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവയിലൊന്നിന്റെ കാൽ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ തുടർച്ചയാണ്. ആത്യന്തികമായി ഒരു ട്രപസോയിഡ് രൂപപ്പെടുന്നതിന് ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിന്റെയും പകുതി തുകയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

S = a + b / 2 * (a + b)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ട്രപസോയിഡിനെ മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു രൂപമായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ രണ്ട് യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ തുല്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചും അതിന്റെ തെളിവുകളുടെ രീതികളെക്കുറിച്ചും ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ ഒന്നിലധികം വാല്യങ്ങൾ എഴുതാം. എന്നാൽ ഈ അറിവ് പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയാത്തപ്പോൾ അർത്ഥമുണ്ടോ?

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം

നിർഭാഗ്യവശാൽ, ആധുനിക സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ മാത്രം ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് നൽകുന്നു. തങ്ങളുടെ അറിവും നൈപുണ്യവും പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് അറിയാതെ ബിരുദധാരികൾ ഉടൻ തന്നെ സ്കൂൾ മതിലുകൾ ഉപേക്ഷിക്കും.

വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാവർക്കും അവരുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും. പ്രൊഫഷണൽ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല, സാധാരണ വീട്ടുജോലികളിലും. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തവും അതിന്റെ തെളിവുകളുടെ രീതികളും വളരെ അത്യാവശ്യമായേക്കാവുന്ന നിരവധി കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

സിദ്ധാന്തവും ജ്യോതിശാസ്ത്രവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

പേപ്പറിലെ നക്ഷത്രങ്ങളും ത്രികോണങ്ങളും എങ്ങനെ ബന്ധിപ്പിക്കാമെന്ന് തോന്നുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്ര മേഖലയാണ് ജ്യോതിശാസ്ത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു പ്രകാശകിരണത്തിന്റെ ചലനം പരിഗണിക്കുക. പ്രകാശം ഒരേ വേഗതയിൽ രണ്ട് ദിശകളിലേക്കും നീങ്ങുന്നുവെന്ന് അറിയാം. ലൈറ്റ് ബീം ചലിക്കുന്ന പാതയെ AB എന്ന് വിളിക്കുന്നു എൽ. പിന്നെ A പോയിന്റിൽ നിന്ന് B പോയിന്റിലേക്ക് വെളിച്ചം എത്താൻ എടുക്കുന്ന സമയത്തിന്റെ പകുതിയും നമുക്ക് വിളിക്കാം ടി... ഒപ്പം ബീമിന്റെ വേഗതയും - സി. ഇത് മാറുന്നു: c * t = l

നിങ്ങൾ മറ്റൊരു വിമാനത്തിൽ നിന്ന് ഈ കിരണത്തിലേക്ക് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്പീഡ് v ഉപയോഗിച്ച് നീങ്ങുന്ന ഒരു സ്‌പേസ് ലൈനറിൽ നിന്ന്, ശരീരങ്ങളുടെ അത്തരം നിരീക്ഷണത്തിലൂടെ അവയുടെ വേഗത മാറും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിശ്ചല ഘടകങ്ങൾ പോലും എതിർ ദിശയിൽ v വേഗതയിൽ നീങ്ങും.

കോമിക് ലൈനർ വലത്തോട്ട് സഞ്ചരിക്കുകയാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അപ്പോൾ കിരണങ്ങൾ വലിച്ചെറിയപ്പെടുന്ന എ, ബി പോയിന്റുകൾ ഇടത്തേക്ക് നീങ്ങും. മാത്രമല്ല, ബീം എയിൽ നിന്ന് ബി പോയിന്റിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, പോയിന്റ് എയ്ക്ക് നീങ്ങാൻ സമയമുണ്ട്, അതനുസരിച്ച്, പ്രകാശം ഇതിനകം തന്നെ ഒരു പുതിയ പോയിന്റ് സിയിൽ എത്തും. എ പോയിന്റ് മാറിയതിന്റെ പകുതി ദൂരം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ലൈനറിന്റെ വേഗത ബീമിന്റെ യാത്രാ സമയത്തിന്റെ പകുതിയായി (t ").

ഈ സമയത്ത് ഒരു പ്രകാശകിരണത്തിന് എത്ര ദൂരം സഞ്ചരിക്കാനാകുമെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പാതയുടെ പകുതിയും പുതിയ അക്ഷരം s ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ നേടുകയും വേണം:

പ്രകാശം സി, ബി എന്നിവയുടെ പോയിന്റുകളും സ്‌പേസ് ലൈനറും ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബങ്ങളാണെന്ന് ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പോയിന്റ് എ മുതൽ ലൈനർ വരെയുള്ള സെഗ്‌മെന്റ് അതിനെ രണ്ട് വലത് കോണുകളായി വിഭജിക്കും. അതിനാൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് നന്ദി, ഒരു പ്രകാശകിരണം സഞ്ചരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

ഈ ഉദാഹരണം തീർച്ചയായും മികച്ച ഒന്നല്ല, കാരണം ഇത് പ്രായോഗികമായി പരീക്ഷിക്കാൻ കുറച്ച് പേർക്ക് മാത്രമേ ഭാഗ്യമുണ്ടാകൂ. അതിനാൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ കൂടുതൽ ലൗകിക പ്രയോഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഒരു മൊബൈൽ സിഗ്നലിന്റെ പ്രക്ഷേപണത്തിന്റെ ദൂരം

സ്മാർട്ട്ഫോണുകളുടെ അസ്തിത്വമില്ലാതെ ആധുനിക ജീവിതം സങ്കൽപ്പിക്കാൻ ഇതിനകം അസാധ്യമാണ്. എന്നാൽ മൊബൈൽ കമ്മ്യൂണിക്കേഷനുകൾ വഴി വരിക്കാരെ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ അവർക്ക് കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ അവർക്ക് വളരെയധികം പ്രയോജനം ലഭിക്കുമോ?!

മൊബൈൽ ആശയവിനിമയത്തിന്റെ ഗുണനിലവാരം നേരിട്ട് മൊബൈൽ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ആന്റിന സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഉയരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. മൊബൈൽ ടവറിൽ നിന്ന് ഫോണിന് എത്ര ദൂരം സിഗ്നൽ ലഭിക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.

ഒരു സ്റ്റേഷണറി ടവറിന്റെ ഏകദേശ ഉയരം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം, അതുവഴി 200 കിലോമീറ്റർ ചുറ്റളവിൽ ഒരു സിഗ്നൽ പ്രചരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

AB (ടവർ ഉയരം) = x;

വിമാനം (സിഗ്നൽ ട്രാൻസ്മിഷൻ റേഡിയസ്) = 200 കി.മീ;

OS (ഗോളത്തിന്റെ ആരം) = 6380 കി.മീ;

OB = OA + ABOV = r + x

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഗോപുരത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉയരം 2.3 കിലോമീറ്ററായിരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം

വിചിത്രമെന്നു പറയട്ടെ, ഒരു വാർഡ്രോബിന്റെ ഉയരം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പോലുള്ള ദൈനംദിന കാര്യങ്ങളിൽ പോലും പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗപ്രദമാകും. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, അത്തരം സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടേപ്പ് അളവ് ഉപയോഗിച്ച് അളവുകൾ എടുക്കാം. എല്ലാ അളവുകളും കൃത്യമായി എടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അസംബ്ലി പ്രക്രിയയിൽ ചില പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് പലരും ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു.

വാർഡ്രോബ് ഒരു തിരശ്ചീന സ്ഥാനത്ത് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും അതിനുശേഷം മാത്രമേ അത് ഉയരുകയും മതിലിന് നേരെ സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. അതിനാൽ, ഘടന ഉയർത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ കാബിനറ്റിന്റെ വശം മുറിയുടെ ഉയരത്തിലും ഡയഗണലായും സ്വതന്ത്രമായി കടന്നുപോകണം.

നിങ്ങൾക്ക് 800 മില്ലീമീറ്റർ ആഴമുള്ള ഒരു വാർഡ്രോബ് ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. തറയിൽ നിന്ന് സീലിംഗിലേക്കുള്ള ദൂരം 2600 മില്ലിമീറ്ററാണ്. പരിചയസമ്പന്നനായ ഒരു ഫർണിച്ചർ നിർമ്മാതാവ് നിങ്ങളോട് പറയും, കാബിനറ്റിന്റെ ഉയരം മുറിയുടെ ഉയരത്തേക്കാൾ 126 മില്ലിമീറ്റർ കുറവായിരിക്കണം. എന്നാൽ കൃത്യമായി 126 എംഎം എന്തുകൊണ്ട്? ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

കാബിനറ്റിന്റെ അനുയോജ്യമായ അളവുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

എസി = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - എല്ലാം ഒത്തുചേരുന്നു.

കാബിനറ്റിന്റെ ഉയരം 2474 മില്ലിമീറ്ററല്ല, 2505 മില്ലിമീറ്ററാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അപ്പോൾ:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

അതിനാൽ, ഈ മുറിയിൽ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യാൻ ഈ കാബിനറ്റ് അനുയോജ്യമല്ല. നേരായ സ്ഥാനത്തേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് ശരീരത്തിന് കേടുവരുത്തും.

ഒരുപക്ഷേ, വ്യത്യസ്ത ശാസ്ത്രജ്ഞർ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ പരിഗണിച്ച്, അത് സത്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനും എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഉപയോഗപ്രദമാകുമെന്ന് മാത്രമല്ല, ശരിയായിരിക്കുമെന്നും ഉറപ്പാക്കുക.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആനിമേറ്റഡ് തെളിവ് അതിലൊന്നാണ് അടിസ്ഥാനപരമായയൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പൈതഗോറസാണ് ഇത് തെളിയിച്ചതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ പേരിലാണ് ഇതിന് പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നത് (മറ്റ് പതിപ്പുകളുണ്ട്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഈ സിദ്ധാന്തം പൊതു രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത് പൈതഗോറിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹിപ്പാസസ് ആണെന്ന് ഒരു ബദൽ അഭിപ്രായം).
സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു:

ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു സി,കാലുകളുടെ നീളവും എഒപ്പം b,നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ലഭിക്കും:

അങ്ങനെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു, മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും നീളം അറിയുന്നു. അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം നിർണ്ണയിക്കുന്ന കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.
സംഭാഷണ പ്രസ്താവനയും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് (വിപരീതമായ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു):

a, b, c എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക്? + ബി? = c?, a, b എന്നീ കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണമുണ്ട്, ഹൈപ്പോട്ടെനസ് c.

500-200 ബിസി "ചു പേയ്" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ (3, 4, 5) ദൃശ്യ തെളിവുകൾ. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചരിത്രത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കാം: പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്, അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ അനുപാതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്, സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ്.
ബിസി 2500-നടുത്ത് മെഗാലിത്തിക് ഘടനകൾ ഈജിപ്തിലും വടക്കൻ യൂറോപ്പിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വശങ്ങളുള്ള വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അക്കാലത്ത് പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ ബീജഗണിതത്തിൽ കണ്ടെത്തിയിരുന്നുവെന്ന് ബാർട്ടൽ ലീൻഡർട്ട് വാൻ ഡെർ വേർഡൻ അനുമാനിച്ചു.
ബിസി 2000 നും 1876 നും ഇടയിൽ എഴുതിയത് മധ്യ ഈജിപ്ഷ്യൻ രാജ്യത്തിന്റെ പാപ്പിറസ് ബെർലിൻ 6619പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളുടെ പരിഹാരമായ ഒരു പ്രശ്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
മഹാനായ ഹമുറാബിയുടെ ഭരണകാലത്ത്, ബാബിലോണിയൻ ഗുളിക പ്ലിംപ്ടൺ 322,ബിസി 1790 നും 1750 നും ഇടയിൽ എഴുതിയതിൽ പൈതഗോറസിന്റെ സംഖ്യകളുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ള നിരവധി എൻട്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
ബിസി എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലോ രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലോ ഉള്ള വിവിധ പതിപ്പുകൾ അനുസരിച്ച് തീയതി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ബുധായാന സൂത്രങ്ങളിൽ. ഇന്ത്യയിൽ, ബീജഗണിതത്തിൽ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപീകരണം, സാഗിറ്റൽ വലത് ത്രികോണത്തിനുള്ള ജ്യാമിതീയ തെളിവ് എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
അപസ്തംബ സൂത്രങ്ങൾ (ഏകദേശം ബിസി 600) പ്രദേശത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സംഖ്യാപരമായ തെളിവ് നൽകുന്നു. അത് അതിന്റെ മുൻഗാമികളുടെ പാരമ്പര്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്ന് വാൻ ഡെർ വേർഡൻ വിശ്വസിക്കുന്നു. ആൽബർട്ട് ബർക്കോ പറയുന്നതനുസരിച്ച്, ഇത് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ തെളിവാണ്, പൈതഗോറസ് അരക്കോണുകൾ സന്ദർശിച്ച് അത് പകർത്തിയതായി അദ്ദേഹം അനുമാനിക്കുന്നു.
പൈതഗോറസ്, ആരുടെ ജീവിത വർഷങ്ങൾ സാധാരണയായി ബിസി 569 - 475 ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. യൂക്ലിഡിനെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രോക്ലോവിന്റെ വ്യാഖ്യാനമനുസരിച്ച്, പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കാൻ ബീജഗണിത രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. പ്രൊക്ലസ്, 410-നും 485-നും ഇടയിലാണ് ജീവിച്ചിരുന്നത്. തോമസ് ഗീസിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, പൈതഗോറസിന് ശേഷം അഞ്ച് നൂറ്റാണ്ടുകളായി ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ കർത്തൃത്വത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു സൂചനയും ഇല്ല. എന്നിരുന്നാലും, പ്ലൂട്ടാർക്ക് അല്ലെങ്കിൽ സിസറോയെപ്പോലുള്ള രചയിതാക്കൾ ഈ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറസിന് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ, കർത്തൃത്വം പരക്കെ അറിയപ്പെടുന്നതും നിഷേധിക്കാനാവാത്തതുമാണെന്ന മട്ടിലാണ് അവർ അങ്ങനെ ചെയ്യുന്നത്.
ഏകദേശം 400 ബി.സി പ്രോക്ലസ് അനുസരിച്ച്, ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതിയും സംയോജിപ്പിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി പ്ലേറ്റോ നൽകി. ഏകദേശം 300 BC, ൽ തുടക്കംയൂക്ലിഡ്, ഇന്നുവരെ നിലനിൽക്കുന്ന ഏറ്റവും പഴയ ആക്സിയോമാറ്റിക് തെളിവ് ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്.
ബിസി 500 ന് ഇടയിൽ എവിടെയോ എഴുതിയതാണ് 200 ബിസി, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്ര പുസ്തകം "ചു പേ" (????), ചൈനയിൽ ഗുഗു (????) സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ദൃശ്യ തെളിവ് നൽകുന്നു, വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന് (3) , 4, 5). ഹാൻ രാജവംശത്തിന്റെ ഭരണകാലത്ത്, ബിസി 202 മുതൽ 220 എഡിക്ക് മുമ്പ് പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര കലയുടെ ഒമ്പത് വിഭാഗങ്ങളിൽ വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പരാമർശത്തോടൊപ്പം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.
ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഉപയോഗം ആദ്യമായി രേഖപ്പെടുത്തിയത് ചൈനയിലാണ്, അവിടെ അത് ഗുഗു (????) സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു, ഇന്ത്യയിലും ഇത് ബാസ്‌ക്കറിന്റെ സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഒന്നോ അതിലധികമോ തവണ കണ്ടെത്തിയതായി ചർച്ച ചെയ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ബോയർ (1991) വിശ്വസിക്കുന്നത് ഷുൽബ സൂത്രത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ അറിവ് മെസപ്പൊട്ടേമിയൻ ഉത്ഭവം ആയിരിക്കാം എന്നാണ്.
ബീജഗണിത തെളിവ്
നാല് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ചതുരങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നത്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നൂറിലധികം തെളിവുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ തെളിവ് ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്:

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നാല് ഒരേ വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുക.
വശങ്ങളുള്ള ചതുരാകൃതി സിരണ്ട് നിശിതകോണുകളുടെ ആകെത്തുകയായതിനാൽ, ഒരു ചതുരം ഒരു കോണാണ്.
മുഴുവൻ രൂപത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം, ഒരു വശത്ത്, "a + b" വശങ്ങളുള്ള ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെയും ആന്തരിക ചതുരത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം.

ഏതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനതയാൽ
സമാന ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആകട്ടെ എബിസികോണുള്ള ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണമാണ് സിചിത്രീകരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നേരെ. പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഉയരം വരയ്ക്കാം സി,പിന്നെ വിളിക്കാം എച്ച്സൈഡ് ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റ് എബി.ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നു ACHഒരു ത്രികോണം പോലെ എബിസി,അവ രണ്ടും ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ളതിനാൽ (ഉയരത്തിന്റെ നിർവചനപ്രകാരം) അവയ്‌ക്ക് ഒരു പൊതു കോണുമുണ്ട് എ,ഈ ത്രികോണങ്ങളിലും മൂന്നാമത്തെ കോണും സമാനമായിരിക്കും. അതുപോലെ mirkuyuchy, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്ഒരു ത്രികോണം പോലെ എബിസി.ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനതയിൽ നിന്ന്: എങ്കിൽ

ഇങ്ങനെ എഴുതാം

ഈ രണ്ട് തുല്യതകൾ ചേർത്താൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

HB + c തവണ AH = c തവണകൾ (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം:

യൂക്ലിഡിന്റെ തെളിവ്
യൂക്ലിഡിയൻ "തത്ത്വങ്ങളിൽ" യൂക്ലിഡിന്റെ തെളിവ്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം സമാന്തരരേഖകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. ആകട്ടെ എ, ബി, സിവലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങൾ എ.പോയിന്റിൽ നിന്ന് ലംബമായി ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യുക എഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിലെ ഹൈപ്പോടെനസിന് എതിർവശത്തേക്ക്. രേഖ ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട്. തെളിവിലെ പ്രധാന ആശയം, മുകളിലെ ചതുരങ്ങൾ ഒരേ പ്രദേശത്തിന്റെ സമാന്തരരേഖകളായി മാറുന്നു, തുടർന്ന് അവ തിരികെ വന്ന് താഴത്തെ ചതുരത്തിലും വീണ്ടും അതേ പ്രദേശത്തും ദീർഘചതുരങ്ങളായി മാറുന്നു എന്നതാണ്.

നമുക്ക് സെഗ്മെന്റുകൾ വരയ്ക്കാം CFഒപ്പം എ.ഡി.നമുക്ക് ത്രികോണങ്ങൾ ലഭിക്കും ബി.സി.എഫ്ഒപ്പം ബി.ഡി.എ.
കോണുകൾ വാടകവണ്ടിഒപ്പം ബാഗ്- നേർരേഖകൾ; യഥാക്രമം പോയിന്റുകൾ സി, എഒപ്പം ജികോളിനിയർ ആണ്. ഒരേ വഴി ബി, എഒപ്പം എച്ച്.
കോണുകൾ സി.ബി.ഡിഒപ്പം FBA- രണ്ട് നേർരേഖകൾ, പിന്നെ ആംഗിൾ എബിഡികോണിന് തുല്യമാണ് FBC,കാരണം രണ്ടും ഒരു വലത് കോണിന്റെയും ഒരു കോണിന്റെയും ആകെത്തുകയാണ് എബിസി.
ത്രികോണം എബിഡിഒപ്പം FBCഇരുവശത്തും നിരപ്പും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള മൂലയും.
പോയിന്റുകൾ മുതൽ എ, കെഒപ്പം എൽ- കോളിനിയർ, ദീർഘചതുരം BDLK യുടെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് മേഖലകൾക്ക് തുല്യമാണ് എബിഡി (ബിഡിഎൽകെ = BAGF = എബി 2)
അതുപോലെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു CKLE = എസിഐഎച്ച് = എസി 2
ഒരു സൈഡ് ഏരിയ സി.ബി.ഡി.ഇദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് ബി.ഡി.എൽ.കെഒപ്പം CKLE,മറുവശത്ത്, ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ബിസി 2,അഥവാ എബി 2 + എസി 2 = ബിസി 2.

വ്യത്യാസങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു
വ്യത്യാസങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ സൈഡ് ഗെയിൻ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ മൂല്യത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു എന്ന് പഠിച്ച് ഒരു ചെറിയ കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രയോഗിച്ചാൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും.
വശത്തെ വർദ്ധനവിന്റെ ഫലമായി a,അനന്തമായ ഇൻക്രിമെന്റുകൾക്ക് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ

സമന്വയിപ്പിക്കൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എങ്കിൽ എ= 0 അപ്പോൾ സി = b,അതിനാൽ "സ്ഥിരം" ആണ് ബി 2.പിന്നെ

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഇൻക്രിമെന്റുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം മൂലമാണ് സ്ക്വയറുകൾ ലഭിക്കുന്നത്, അതേസമയം തുക എന്നത് വശങ്ങളുടെ ഇൻക്രിമെന്റുകളുടെ സ്വതന്ത്ര സംഭാവനയുടെ ഫലമാണ്, ജ്യാമിതീയ തെളിവുകളിൽ നിന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ദാഒപ്പം ഡിസി- യഥാക്രമം, വശങ്ങളിലെ അനന്തമായ ചെറിയ വർദ്ധനവ് എഒപ്പം സി.എന്നാൽ അവയ്ക്ക് പകരം നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്? എഒപ്പം? സി,അപ്പോൾ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി, അവർ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ദാ / ഡിസി,ഡെറിവേറ്റീവ്, കൂടാതെ തുല്യമാണ് സി / a,ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ അനുപാതം, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും.
വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു, ഇതിനെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്നും വിളിക്കുന്നു:

എങ്കിൽ - ഇത് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്, ഈ ഫോർമുല യൂക്ലിഡിയൻ ദൂരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, വെക്റ്ററിന്റെ നീളം അതിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
വെക്‌ടറുകളുടെ അനന്തമായ സംവിധാനത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഈ സമത്വത്തിന്റെ ഒരു അനലോഗിനെ പാർസെവലിന്റെ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

തെളിവ്

ഇപ്പോൾ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാത്രമാണ് ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഏക സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ അർത്ഥം കൊണ്ട് മാത്രമേ ഈ വൈവിധ്യത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.
തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്: ഏരിയ രീതിയിലുള്ള തെളിവുകൾ, ആക്സിയോമാറ്റിക്, എക്സോട്ടിക് തെളിവുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്).

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളിലൂടെ

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.
ABC എന്നത് വലത് കോണുള്ള ഒരു ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ C. C യിൽ നിന്ന് ഉയരം വരച്ച് അതിന്റെ അടിത്തറയെ H കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക. ACH രണ്ട് കോണുകളിലെ ABC ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ്.
അതുപോലെ, CBH ത്രികോണം ABC ന് സമാനമാണ്. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നു

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് തുല്യം

കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

അഥവാ

പ്രദേശങ്ങൾ തെളിവ്

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവിനേക്കാൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് ഇവയെല്ലാം ഏരിയയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

തുല്യ പൂരക തെളിവ്

സ്കെയിലിംഗിലൂടെയുള്ള തെളിവുകൾ

അത്തരം തെളിവുകളിലൊന്നിന്റെ ഉദാഹരണം വലതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരം ക്രമമാറ്റം വഴി കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് ചതുരങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു.

യൂക്ലിഡിന്റെ തെളിവ്

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

തെളിവിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ സമമിതിയും ചലനവുമാണ്.

സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ, ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കുക, സെഗ്മെന്റ് CI ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ABHJ യെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു (നിർമ്മാണത്തിൽ ABC, JHI ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ). 90 ഡിഗ്രി എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള ഭ്രമണം ഉപയോഗിച്ച്, ഷേഡുള്ള CAJI, GDAB എന്നിവ തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഷേഡുള്ള രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ ഭാഗങ്ങളുടെയും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയുടെയും പകുതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മറുവശത്ത്, ഇത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിനും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും തുല്യമാണ്. തെളിവിന്റെ അവസാന ഘട്ടം വായനക്കാരന് വിടുന്നു.

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഏറ്റവും രസകരമായ തെളിവുകൾ

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, ഇത് ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു. c2 = a2 + b2 ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും രസകരമായവ തിരഞ്ഞെടുത്തു ...

വധുവിന്റെ കസേര ചിത്രത്തിൽ, കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ കണക്ക്, AD 9-ആം നൂറ്റാണ്ടിലെ തെളിവുകളിൽ കാണപ്പെടുന്നു. ഇ., ഇന്ത്യക്കാർ "വധുവിന്റെ കസേര" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഹൈപ്പോടെനസിന് തുല്യമായ വശമുള്ള ഒരു ചതുരം നിർമ്മിക്കുന്ന രീതി ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് ചതുരങ്ങളുടെയും ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിന്റെയും പൊതുവായ ഭാഗം ക്രമരഹിതമായ ഷേഡുള്ള പെന്റഗണാണ് 5. ത്രികോണങ്ങൾ 1 ഉം 2 ഉം ഘടിപ്പിച്ചാൽ, കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് ചതുരങ്ങളും നമുക്ക് ലഭിക്കും; ത്രികോണങ്ങൾ 1 ഉം 2 ഉം 3 ഉം 4 ഉം തുല്യ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരം ലഭിക്കും. ചുവടെയുള്ള കണക്കുകൾ ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് അടുത്തുള്ള രണ്ട് വ്യത്യസ്ത സ്ഥലങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.

ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭാസ്‌കരിയുടെ തെളിവ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചതുരം പരിഗണിക്കുക. ചതുരത്തിന്റെ വശം b ന് തുല്യമാണ്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, a, c കാലുകളുള്ള 4 യഥാർത്ഥ ത്രികോണങ്ങൾ ചതുരത്തിൽ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. മധ്യഭാഗത്തുള്ള ചെറിയ ചതുരത്തിന്റെ വശം c - a, പിന്നെ: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തെളിവ്. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചതുരം പരിഗണിക്കുക. ചതുരത്തിന്റെ വശം a + c ആണ്. ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ (ഇടത്), ചതുരം b വശമുള്ള ഒരു ചതുരമായും a, c കാലുകളുള്ള നാല് വലത് കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളായും തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു സാഹചര്യത്തിൽ (വലതുവശത്ത്), ചതുരത്തെ a, c എന്നീ വശങ്ങളുള്ള രണ്ട് ചതുരങ്ങളായും a, c കാലുകളുള്ള നാല് വലത് കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളായും തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, b വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം a, c എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

സമാന ത്രികോണങ്ങളിലൂടെയുള്ള തെളിവ് ABC വലത് കോണുള്ള C ഉള്ള ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ. C യിൽ നിന്ന് ഉയരം വരച്ച് അതിന്റെ അടിത്തറയെ H കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക. ത്രികോണം ACH രണ്ട് കോണുകളിലുള്ള ABC ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ്. അതുപോലെ, CBH ത്രികോണം ABC ന് സമാനമാണ്. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യമായത് ലഭിക്കുന്നു. ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ

ഹോക്കിൻസിന്റെ തെളിവ് ഇവിടെ ഒരു തെളിവ് കൂടിയുണ്ട്, അത് ഒരു കംപ്യൂട്ടേഷണൽ സ്വഭാവമുള്ളതാണ്, എന്നാൽ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തമാണ്. 1909-ൽ ഇംഗ്ലീഷുകാരനായ ഹോക്കിൻസ് ആണ് ഇത് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. ഇത് മുമ്പ് അറിയാമായിരുന്നോ എന്ന് പറയാൻ പ്രയാസമാണ്. വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം ABC വലത് കോണിൽ C ഉപയോഗിച്ച് 90 ° കൊണ്ട് തിരിക്കുക, അങ്ങനെ അത് A "CB" എന്ന സ്ഥാനം എടുക്കുന്നു. നമുക്ക് A "B" എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസ് A ബിന്ദുവിനപ്പുറം നീട്ടാം "അത് D പോയിന്റിൽ AB രേഖയെ വിഭജിക്കുന്നതുവരെ. B സെഗ്മെന്റ് B" D ത്രികോണം B "AB" യുടെ ഉയരമായിരിക്കും. ഇപ്പോൾ ഷേഡുള്ള ചതുർഭുജമായ A" AB "B പരിഗണിക്കുക. ഇത് ആകാം. CAA", CBB "(അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ A" B "A, A" B "B) എന്നീ രണ്ട് ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളായി വിഘടിക്കുന്നു. SCAA" = b² / 2 SCBB "= a² / 2 SA" AB "B = (a² + b²) / 2 ത്രികോണങ്ങൾ A" B " A, A "B" B എന്നിവയ്ക്ക് ഒരു പൊതു അടിത്തറ c ഉം ഉയരം DA ഉം DB ഉം ഉണ്ട്, അതിനാൽ: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 ഏരിയയ്ക്കായി ലഭിച്ച രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a ² + b ² = c ² സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

വോൾഡ്ഹൈമിന്റെ തെളിവ് ഈ തെളിവ് കണക്കുകൂട്ടൽ സ്വഭാവമുള്ളതാണ്. ആദ്യ ചിത്രം ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിന്, ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് തരത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും. Strapeziums = (a + b) ² / 2 Strapeziums = a²b² + c² / 2 വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും: a² + b² = c² സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.