फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम. फंक्शनचा एक्स्ट्रेमा म्हणजे काय: फंक्शनचे कमाल आणि किमान एक्स्ट्रेमाचे गंभीर बिंदू कमाल आणि किमान

फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम पॉइंट हा फंक्शनच्या परिभाषेच्या डोमेनमधील बिंदू आहे ज्यावर फंक्शनचे मूल्य किमान किंवा कमाल मूल्य घेते. या बिंदूंवरील फंक्शनच्या मूल्यांना फंक्शनचा एक्स्ट्रेमा (किमान आणि कमाल) म्हणतात.

व्याख्या. डॉट x1 फंक्शन डोमेन f(x) असे म्हणतात फंक्शनचा कमाल बिंदू , जर या बिंदूवरील फंक्शनचे मूल्य त्याच्या उजवीकडे आणि डावीकडे स्थित असलेल्या पुरेशा जवळ असलेल्या बिंदूंवरील फंक्शनच्या मूल्यांपेक्षा मोठे असेल (म्हणजे असमानता धारण करते. f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 जास्तीत जास्त

व्याख्या. डॉट x2 फंक्शन डोमेन f(x) असे म्हणतात फंक्शनचा किमान बिंदू, जर या बिंदूवरील फंक्शनचे मूल्य त्याच्या अगदी जवळ असलेल्या बिंदूंवरील फंक्शनच्या मूल्यांपेक्षा कमी असेल तर, त्याच्या उजवीकडे आणि डावीकडे स्थित असेल (म्हणजे, असमानता धारण करते. f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). या प्रकरणात आम्ही म्हणतो की फंक्शन पॉइंटवर आहे x2 किमान.

बिंदू म्हणूया x1 - फंक्शनचा कमाल बिंदू f(x) . नंतर मध्यांतरात पर्यंत x1 कार्य वाढते, म्हणून फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्यापेक्षा मोठे आहे ( f "(x) > 0 ), आणि नंतरच्या मध्यांतरात x1 कार्य कमी होते, म्हणून, फंक्शनचे व्युत्पन्नशून्यापेक्षा कमी ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

तो मुद्दाही गृहीत धरू या x2 - फंक्शनचा किमान बिंदू f(x) . नंतर मध्यांतरात पर्यंत x2 फंक्शन कमी होत आहे आणि फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्यापेक्षा कमी आहे ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 फंक्शन वाढत आहे, आणि फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्यापेक्षा मोठे आहे ( f "(x) > ० ) या प्रकरणात देखील बिंदूवर x2 फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्य आहे किंवा अस्तित्वात नाही.

फर्मॅटचे प्रमेय (फंक्शनच्या टोकाच्या अस्तित्वाचे आवश्यक चिन्ह). जर मुद्दा x0 - फंक्शनचा टोकाचा बिंदू f(x) तर या टप्प्यावर फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्य असते ( f "(x) = 0 ) किंवा अस्तित्वात नाही.

व्याख्या. फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्य किंवा अस्तित्वात नसलेल्या बिंदूंना म्हणतात गंभीर मुद्दे .

उदाहरण १.चला कार्याचा विचार करूया.

बिंदूवर x= 0 फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्य आहे, म्हणून बिंदू x= 0 हा महत्त्वाचा मुद्दा आहे. तथापि, फंक्शनच्या आलेखावर पाहिल्याप्रमाणे, ते व्याख्येच्या संपूर्ण क्षेत्रामध्ये वाढते, त्यामुळे बिंदू x= 0 हा या फंक्शनचा टोकाचा बिंदू नाही.

अशा प्रकारे, एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्याच्या बरोबरीचे आहे किंवा अस्तित्वात नाही अशा अटी एक्सट्रॅममसाठी आवश्यक अटी आहेत, परंतु पुरेशा नाहीत, कारण फंक्शन्सची इतर उदाहरणे दिली जाऊ शकतात ज्यासाठी या अटी पूर्ण केल्या आहेत, परंतु फंक्शन संबंधित बिंदूवर एक्स्ट्रीमम नाही. म्हणून पुरेसे पुरावे असणे आवश्यक आहे, एखाद्या विशिष्ट निर्णायक बिंदूवर एखादे टोक आहे की नाही आणि ते कोणत्या प्रकारचे टोकाचे आहे - कमाल किंवा किमान हे ठरवू देते.

प्रमेय (फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वाचे पहिले पुरेसे चिन्ह).गंभीर मुद्दा x0 f(x) जर, या बिंदूतून जात असताना, फंक्शनचे व्युत्पन्न चिन्ह बदलले आणि जर चिन्ह “अधिक” वरून “वजा” मध्ये बदलले, तर तो कमाल बिंदू आहे आणि जर “वजा” वरून “प्लस” वर, तर तो किमान बिंदू आहे.

बिंदू जवळ असल्यास x0 , डावीकडे आणि उजवीकडे, व्युत्पन्न त्याचे चिन्ह टिकवून ठेवते, याचा अर्थ असा की फंक्शन एकतर फक्त कमी होते किंवा फक्त बिंदूच्या विशिष्ट परिसरात वाढते x0 . या प्रकरणात, बिंदूवर x0 कोणतेही टोक नाही.

तर, फंक्शनचे टोकाचे बिंदू निश्चित करण्यासाठी, तुम्हाला पुढील गोष्टी करणे आवश्यक आहे :

1. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
2. व्युत्पन्न शून्याशी समीकरण करा आणि गंभीर बिंदू निर्धारित करा.
3. मानसिकदृष्ट्या किंवा कागदावर, संख्या रेषेवरील गंभीर बिंदू चिन्हांकित करा आणि परिणामी मध्यांतरांमध्ये फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची चिन्हे निश्चित करा. व्युत्पन्नाचे चिन्ह “प्लस” वरून “वजा” मध्ये बदलल्यास, गंभीर बिंदू हा जास्तीत जास्त बिंदू आहे आणि जर “वजा” वरून “प्लस” असेल तर किमान बिंदू.
4. एक्स्ट्रीम पॉइंट्सवर फंक्शनच्या मूल्याची गणना करा.

उदाहरण २.फंक्शनचा टोकाचा भाग शोधा .

उपाय. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधूया:

निर्णायक बिंदू शोधण्यासाठी व्युत्पन्नाची शून्याशी बरोबरी करू:

.

"x" च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी भाजक शून्याच्या समान नसल्यामुळे, आम्ही अंश शून्याशी समतुल्य करतो:

एक गंभीर मुद्दा समजला x= ३. या बिंदूद्वारे मर्यादित केलेल्या मध्यांतरांमध्ये व्युत्पन्नाचे चिन्ह निश्चित करूया:

वजा अनंत ते 3 पर्यंतच्या श्रेणीमध्ये - एक वजा चिन्ह, म्हणजेच कार्य कमी होते,

3 ते अधिक अनंतापर्यंतच्या मध्यांतरात एक अधिक चिन्ह आहे, म्हणजेच कार्य वाढते.

म्हणजेच कालावधी x= 3 हा किमान बिंदू आहे.

चला फंक्शनचे मूल्य किमान बिंदूवर शोधू:

अशा प्रकारे, फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम पॉइंट आढळतो: (3; 0), आणि तो किमान बिंदू आहे.

प्रमेय (फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वाचे दुसरे पुरेसे चिन्ह).गंभीर मुद्दा x0 फंक्शनचा टोकाचा बिंदू आहे f(x) जर या बिंदूवर फंक्शनचा दुसरा व्युत्पन्न शून्य असेल तर ( f ""(x) ≠ 0 ), आणि जर दुसरा व्युत्पन्न शून्यापेक्षा मोठा असेल ( f ""(x) > 0 ), नंतर कमाल बिंदू, आणि दुसरा व्युत्पन्न शून्यापेक्षा कमी असल्यास ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

टीप 1. बिंदूवर असल्यास x0 जर पहिले आणि दुसरे दोन्ही डेरिव्हेटिव्ह नाहीसे झाले, तर या टप्प्यावर दुसर्‍या पुरेशा निकषावर आधारित एक्स्ट्रीममच्या उपस्थितीचा न्याय करणे अशक्य आहे. या प्रकरणात, आपल्याला फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममसाठी प्रथम पुरेसा निकष वापरण्याची आवश्यकता आहे.

टिप्पणी 2. फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममसाठी दुसरा पुरेसा निकष जेव्हा स्थिर बिंदूवर पहिला व्युत्पन्न अस्तित्वात नसतो तेव्हाही लागू होत नाही (नंतर दुसरा व्युत्पन्न देखील अस्तित्वात नाही). या प्रकरणात, आपल्याला फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममचे पहिले पुरेसे चिन्ह देखील वापरण्याची आवश्यकता आहे.

फंक्शनच्या टोकाचे स्थानिक स्वरूप

वरील व्याख्येवरून असे दिसून येते की फंक्शनचा टोकाचा भाग स्थानिक स्वरूपाचा असतो - जवळच्या मूल्यांच्या तुलनेत ते फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य आहे.

समजा तुम्ही एका वर्षाच्या कालावधीतील तुमची कमाई पाहत आहात. मेमध्ये तुम्ही ४५,००० रुबल आणि एप्रिलमध्ये ४२,००० रुबल आणि जूनमध्ये ३९,००० रुबल कमावले असल्यास, जवळपासच्या मूल्यांच्या तुलनेत मेची कमाई ही कमाईची कमाल आहे. परंतु ऑक्टोबरमध्ये तुम्ही 71,000 रूबल, सप्टेंबरमध्ये 75,000 रूबल आणि नोव्हेंबरमध्ये 74,000 रूबल कमावले आहेत, म्हणून ऑक्टोबरची कमाई ही जवळपासच्या मूल्यांच्या तुलनेत कमाईच्या फंक्शनची किमान आहे. आणि आपण सहजपणे पाहू शकता की एप्रिल-मे-जूनच्या मूल्यांमधील कमाल सप्टेंबर-ऑक्टोबर-नोव्हेंबरच्या किमान मूल्यांपेक्षा कमी आहे.

साधारणपणे सांगायचे तर, एका मध्यांतरावर फंक्शनमध्ये अनेक एक्स्ट्रेमा असू शकतात आणि असे दिसून येते की फंक्शनचा काही किमान भाग कोणत्याही कमाल पेक्षा जास्त असतो. तर, वरील आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या कार्यासाठी, .

म्हणजेच, विचाराधीन संपूर्ण विभागातील फंक्शनची कमाल आणि किमान मूल्ये अनुक्रमे त्याची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये आहेत असा विचार करू नये. कमाल बिंदूवर, फंक्शनचे मूल्य केवळ त्या मूल्यांच्या तुलनेत सर्वात मोठे मूल्य असते जे सर्व बिंदूंमध्ये कमाल बिंदूच्या पुरेसे जवळ असतात आणि किमान बिंदूवर त्या मूल्यांच्या तुलनेत सर्वात लहान मूल्य असते. की त्याचे सर्व बिंदू किमान बिंदूच्या पुरेसे जवळ आहेत.

म्हणून, आपण फंक्शनच्या एक्स्ट्रीम पॉइंट्सची वरील संकल्पना स्पष्ट करू शकतो आणि किमान पॉइंट्सला लोकल मिनिमम पॉइंट्स आणि कमाल पॉइंट्सला लोकल कमाल पॉइंट्स म्हणू शकतो.

आम्ही फंक्शनचा एक्स्ट्रेमा एकत्र शोधतो

उदाहरण ३.

उपाय: फंक्शन संपूर्ण संख्या रेषेवर परिभाषित आणि निरंतर आहे. त्याचे व्युत्पन्न संपूर्ण संख्या रेषेवर देखील अस्तित्वात आहे. म्हणून, या प्रकरणात, गंभीर मुद्दे फक्त तेच आहेत ज्यावर, म्हणजे. , कुठून आणि . क्रिटिकल पॉइंट्स आणि फंक्शनच्या व्याख्येच्या संपूर्ण डोमेनला मोनोटोनिसिटीच्या तीन मध्यांतरांमध्ये विभाजित करा: . चला त्या प्रत्येकामध्ये एक नियंत्रण बिंदू निवडू आणि या बिंदूवर व्युत्पन्नाचे चिन्ह शोधू.

मध्यांतरासाठी, नियंत्रण बिंदू असू शकतो: शोधा. मध्यंतरात एक बिंदू घेतल्यास आपल्याला मिळते आणि मध्यांतरात एक बिंदू घेतल्यास आपल्याला मिळते. तर, मध्यांतरांमध्ये आणि , आणि मध्यांतरात. एक्स्ट्रीममसाठी पहिल्या पुरेशा निकषानुसार, बिंदूवर कोणतेही टोक नसतात (कारण व्युत्पन्न मध्यांतरात त्याचे चिन्ह टिकवून ठेवते), आणि बिंदूवर फंक्शनमध्ये किमान असते (कारण व्युत्पन्न चिन्ह उत्तीर्ण होताना वजा ते प्लसमध्ये बदलते. या बिंदूद्वारे). फंक्शनची संबंधित मूल्ये शोधूया: , a. इंटरव्हलमध्ये फंक्शन कमी होते, या इंटरव्हलमध्ये, आणि इंटरव्हलमध्ये ते वाढते, या इंटरव्हलमध्ये.

आलेखाचे बांधकाम स्पष्ट करण्यासाठी, आम्हाला समन्वय अक्षांसह त्याचे छेदनबिंदू सापडतात. जेव्हा आपण एक समीकरण प्राप्त करतो ज्याची मुळे असतात आणि , म्हणजे, फंक्शनच्या आलेखाचे दोन बिंदू (0; 0) आणि (4; 0) आढळतात. प्राप्त झालेल्या सर्व माहितीचा वापर करून, आम्ही एक आलेख तयार करतो (उदाहरणाची सुरुवात पहा).

गणना दरम्यान स्वयं-तपासणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन व्युत्पन्न कॅल्क्युलेटर .

उदाहरण ४.फंक्शनचा टोकाचा भाग शोधा आणि त्याचा आलेख तयार करा.

फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन बिंदू वगळता संपूर्ण संख्यारेषा असते, म्हणजे. .

अभ्यास लहान करण्यासाठी, आपण हे कार्य सम आहे हे तथ्य वापरू शकता, पासून . म्हणून, त्याचा आलेख अक्षाबद्दल सममितीय आहे ओयआणि अभ्यास फक्त मध्यांतरासाठी केला जाऊ शकतो.

व्युत्पन्न शोधणे आणि कार्याचे महत्त्वपूर्ण मुद्दे:

1) ;

2) ,

परंतु या टप्प्यावर फंक्शनमध्ये खंड पडतो, त्यामुळे तो टोकाचा बिंदू असू शकत नाही.

अशा प्रकारे, दिलेल्या फंक्शनमध्ये दोन गंभीर मुद्दे आहेत: आणि . फंक्शनची समानता लक्षात घेऊन, आम्ही एक्स्ट्रीममसाठी दुसरा पुरेसा निकष वापरून फक्त बिंदू तपासू. हे करण्यासाठी, आम्हाला दुसरा व्युत्पन्न सापडतो आणि त्याचे चिन्ह येथे निश्चित करा: आम्हाला मिळते. पासून आणि , हा फंक्शनचा किमान बिंदू आहे, आणि .

फंक्शनच्या आलेखाचे अधिक संपूर्ण चित्र मिळविण्यासाठी, परिभाषाच्या डोमेनच्या सीमांवर त्याचे वर्तन शोधूया:

(येथे चिन्ह इच्छा दर्शवते xउजवीकडून शून्यावर, आणि xसकारात्मक राहते; त्याचप्रमाणे आकांक्षा xडावीकडून शून्यावर, आणि xनकारात्मक राहते). अशा प्रकारे, जर, तर. पुढे, आम्ही शोधतो

,

त्या जर तर .

फंक्शनच्या आलेखाला अक्षांसह कोणतेही छेदनबिंदू नाहीत. चित्र उदाहरणाच्या सुरुवातीला आहे.

गणना दरम्यान स्वयं-तपासणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन व्युत्पन्न कॅल्क्युलेटर .

आम्ही एकत्रितपणे फंक्शनच्या टोकाचा शोध सुरू ठेवतो

उदाहरण 8.फंक्शनचा टोकाचा भाग शोधा.

उपाय. फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन शोधू. असमानता समाधानी असणे आवश्यक असल्याने, आम्ही कडून प्राप्त करतो.

फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न शोधू.

एक्स्ट्रेमा शोधण्यासाठी एक साधा अल्गोरिदम..

• फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधणे
• आम्ही या व्युत्पन्नाची शून्याशी बरोबरी करतो
• आम्हाला परिणामी अभिव्यक्तीच्या व्हेरिएबलची मूल्ये सापडतात (ज्या व्हेरिएबलचे शून्यात रूपांतर होते त्या व्हेरिएबलची मूल्ये)
• या मूल्यांचा वापर करून, आम्ही समन्वय रेषा मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतो (ब्रेक पॉइंट्सबद्दल विसरू नका, ज्याला रेषेवर प्लॉट करणे देखील आवश्यक आहे), या सर्व बिंदूंना एक्स्ट्रीममसाठी "संशयास्पद" बिंदू म्हणतात.
• यापैकी कोणते मध्यांतर धनात्मक असेल आणि कोणते ऋण असेल याची आम्ही गणना करतो. हे करण्यासाठी, तुम्हाला मध्यांतरापासून व्युत्पन्न मध्ये मूल्य बदलण्याची आवश्यकता आहे.

एक्स्ट्रीममसाठी संशयास्पद बिंदूंपैकी, शोधणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही समन्वय रेषेवर आमचे मध्यांतर पाहतो. जर, एखाद्या बिंदूतून जात असताना, व्युत्पन्नाचे चिन्ह अधिक ते उणेमध्ये बदलले, तर हा बिंदू असेल जास्तीत जास्त, आणि जर वजा ते अधिक असेल तर किमान.

फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान व्हॅल्यू शोधण्यासाठी, तुम्हाला सेगमेंटच्या शेवटी आणि एक्स्ट्रीमम पॉइंट्सवर फंक्शनच्या मूल्याची गणना करणे आवश्यक आहे. नंतर सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य निवडा.

एक उदाहरण पाहू
आम्ही व्युत्पन्न शोधतो आणि ते शून्याशी समतुल्य करतो:

आम्ही समन्वय रेषेवर व्हेरिएबल्सची प्राप्त केलेली मूल्ये प्लॉट करतो आणि प्रत्येक मध्यांतरावर व्युत्पन्न चिन्हाची गणना करतो. बरं, उदाहरणार्थ, पहिल्यासाठी घेऊ-2 , नंतर व्युत्पन्न समान असेल-0,24 , दुसऱ्यासाठी आम्ही घेऊ0 , नंतर व्युत्पन्न होईल2 , आणि तिसऱ्यासाठी आम्ही घेतो2 , नंतर व्युत्पन्न होईल-0.24. आम्ही योग्य चिन्हे खाली ठेवतो.

आपण पाहतो की बिंदू -1 मधून जाताना, व्युत्पन्न बदल चिन्ह वजा ते अधिक, म्हणजे, हा किमान बिंदू असेल आणि 1 मधून जात असताना, ते अनुक्रमे अधिक ते वजा चिन्ह बदलेल, हे असेल कमाल बिंदू.

कार्य आणि त्याच्या वैशिष्ट्यांचा अभ्यास आधुनिक गणितातील मुख्य अध्यायांपैकी एक आहे. कोणत्याही फंक्शनचा मुख्य घटक म्हणजे आलेख हे केवळ त्याचे गुणधर्मच नव्हे तर या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाचे मापदंड देखील दर्शवितात. चला हा अवघड विषय समजून घेऊ. तर फंक्शनचे कमाल आणि किमान बिंदू शोधण्याचा सर्वोत्तम मार्ग कोणता आहे?

कार्य: व्याख्या

कोणत्याही व्हेरिएबल जे काही प्रमाणात दुसर्‍या प्रमाणाच्या मूल्यांवर अवलंबून असते त्याला फंक्शन म्हटले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, फंक्शन f(x 2) चतुर्भुज आहे आणि संपूर्ण x संचासाठी मूल्ये निर्धारित करते. समजा x = 9, तर आपल्या फंक्शनचे मूल्य 9 2 = 81 इतके होईल.

फंक्शन्स अनेक प्रकारात येतात: लॉजिकल, वेक्टर, लॉगरिदमिक, त्रिकोणमितीय, संख्यात्मक आणि इतर. त्यांचा अभ्यास लॅक्रोइक्स, लॅग्रेंज, लीबनिझ आणि बर्नौली यांसारख्या उत्कृष्ट विचारांनी केला होता. त्यांची कार्ये आधुनिक पद्धतींच्या कार्याचा अभ्यास करण्यासाठी मुख्य आधार म्हणून काम करतात. किमान गुण शोधण्यापूर्वी, फंक्शनचा अर्थ आणि त्याचे व्युत्पन्न समजून घेणे फार महत्वाचे आहे.

व्युत्पन्न आणि त्याची भूमिका

सर्व फंक्शन्स त्यांच्या व्हेरिएबल्सवर अवलंबून असतात, याचा अर्थ ते त्यांचे मूल्य कधीही बदलू शकतात. आलेखावर, हे एक वक्र म्हणून चित्रित केले जाईल जे एकतर ऑर्डिनेट अक्षावर पडते किंवा वर येते (हा उभ्या आलेखाच्या बाजूने “y” संख्यांचा संपूर्ण संच आहे). तर, फंक्शनचे कमाल आणि किमान बिंदू निश्चित करणे या "ओसिलेशन्स" शी तंतोतंत संबंधित आहे. हे नाते काय आहे ते समजावून घेऊ.

कोणत्याही फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह त्याच्या मूलभूत वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करण्यासाठी आणि फंक्शन किती लवकर बदलते याची गणना करण्यासाठी आलेख केले जाते (म्हणजे व्हेरिएबल "x" वर अवलंबून त्याचे मूल्य बदलते). ज्या क्षणी फंक्शन वाढेल, त्याच्या व्युत्पन्नाचा आलेख देखील वाढेल, परंतु कोणत्याही सेकंदाला फंक्शन कमी होऊ शकते आणि नंतर व्युत्पन्नाचा आलेख कमी होईल. ज्या बिंदूंवर व्युत्पन्न वजा चिन्हावरून अधिक चिन्हात बदल होतात त्यांना किमान बिंदू म्हणतात. किमान गुण कसे शोधायचे हे जाणून घेण्यासाठी, आपण अधिक चांगले समजून घेतले पाहिजे

व्युत्पन्न कसे मोजायचे?

व्याख्या आणि कार्ये अनेक संकल्पना सूचित करतात सर्वसाधारणपणे, व्युत्पन्नाची व्याख्या खालीलप्रमाणे व्यक्त केली जाऊ शकते: हे प्रमाण आहे जे फंक्शनच्या बदलाचा दर दर्शवते.

हे ठरवण्याचा गणिती मार्ग बर्‍याच विद्यार्थ्यांना क्लिष्ट वाटतो, परंतु प्रत्यक्षात सर्वकाही खूप सोपे आहे. कोणत्याही फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी तुम्हाला फक्त मानक योजनेचे अनुसरण करणे आवश्यक आहे. भिन्नतेचे नियम लागू न करता आणि व्युत्पन्न सारणी लक्षात न ठेवता तुम्ही फंक्शनचा किमान बिंदू कसा शोधू शकता याचे खाली आम्ही वर्णन करतो.

1. तुम्ही आलेख वापरून फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करू शकता. हे करण्यासाठी, तुम्हाला फंक्शनचेच चित्रण करणे आवश्यक आहे, नंतर त्यावर एक बिंदू घ्या (आकृतीमधील बिंदू A). abscissa अक्ष (बिंदू x 0) वर अनुलंब खाली रेखा काढा आणि बिंदू A वर स्पर्शिका काढा. फंक्शनचा आलेख. x-अक्ष आणि स्पर्शिका एक विशिष्ट कोन तयार करतात a. फंक्शन किती लवकर वाढते याचे मूल्य मोजण्यासाठी, तुम्हाला या कोनाची स्पर्शिका मोजावी लागेल.
2. असे दिसून आले की स्पर्शिका आणि x-अक्षाची दिशा यामधील कोनाची स्पर्शिका ही बिंदू A असलेल्या छोट्या क्षेत्रातील फंक्शनचे व्युत्पन्न आहे. व्युत्पन्न निश्चित करण्यासाठी ही पद्धत भौमितिक पद्धत मानली जाते.

कार्याचा अभ्यास करण्याच्या पद्धती

शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात फंक्शनचा किमान बिंदू दोन प्रकारे शोधणे शक्य आहे. आपण आलेख वापरून पहिल्या पद्धतीबद्दल आधीच चर्चा केली आहे, परंतु आपण व्युत्पन्नाचे संख्यात्मक मूल्य कसे ठरवू शकतो? हे करण्यासाठी, तुम्हाला अनेक सूत्रे शिकणे आवश्यक आहे जे व्युत्पन्नाच्या गुणधर्मांचे वर्णन करतात आणि "x" सारख्या व्हेरिएबल्सला संख्यांमध्ये रूपांतरित करण्यात मदत करतात. खालील पद्धत सार्वत्रिक आहे, म्हणून ती जवळजवळ सर्व प्रकारच्या फंक्शन्सवर लागू केली जाऊ शकते (भौमितिक आणि लॉगरिदमिक दोन्ही).

1. फंक्शनचे व्युत्पन्न फंक्शनशी बरोबरी करणे आवश्यक आहे आणि नंतर भिन्नतेचे नियम वापरून अभिव्यक्ती सुलभ करा.
2. काही प्रकरणांमध्ये, जेव्हा एखादे कार्य दिले जाते ज्यामध्ये "x" व्हेरिएबल विभाजकात आहे, तेव्हा स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी निश्चित करणे आवश्यक आहे, त्यातील "0" बिंदू वगळून (साध्या कारणास्तव की गणितात कधीही करू नये. शून्याने भागा).
3. यानंतर, तुम्ही फंक्शनचे मूळ स्वरूप एका साध्या समीकरणात बदलले पाहिजे, संपूर्ण अभिव्यक्ती शून्यावर समान करा. उदाहरणार्थ, जर फंक्शन असे दिसले: f(x) = 2x 3 +38x, तर भिन्नतेच्या नियमांनुसार त्याचे व्युत्पन्न f"(x) = 3x 2 +1 च्या बरोबरीचे आहे. मग आपण या अभिव्यक्तीचे रूपांतर एक मध्ये करू. खालील फॉर्मचे समीकरण: 3x 2 +1 = 0 .
4. समीकरण सोडवल्यानंतर आणि "x" बिंदू शोधल्यानंतर, तुम्ही त्यांना x-अक्षावर प्लॉट केले पाहिजे आणि चिन्हांकित बिंदूंमधील या विभागांमधील व्युत्पन्न सकारात्मक आहे की ऋण हे निर्धारित करा. पदनामानंतर, हे स्पष्ट होईल की कोणत्या टप्प्यावर फंक्शन कमी होण्यास सुरुवात होते, म्हणजेच वजा ते विरुद्ध चिन्ह बदलते. अशा प्रकारे आपण किमान आणि कमाल दोन्ही गुण शोधू शकता.

भिन्नतेचे नियम

फंक्शन आणि त्याचे व्युत्पन्न अभ्यास करण्याचा सर्वात मूलभूत घटक म्हणजे भिन्नतेच्या नियमांचे ज्ञान. केवळ त्यांच्या मदतीने आपण अवजड अभिव्यक्ती आणि मोठ्या जटिल कार्यांचे रूपांतर करू शकता. चला त्यांच्याशी परिचित होऊया, त्यापैकी बरेच आहेत, परंतु ते सर्व शक्ती आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सच्या नैसर्गिक गुणधर्मांमुळे खूप सोपे आहेत.

1. कोणत्याही स्थिरांकाचे व्युत्पन्न शून्य (f(x) = 0) च्या बरोबरीचे असते. म्हणजेच व्युत्पन्न f(x) = x 5 + x - 160 खालील फॉर्म घेईल: f" (x) = 5x 4 +1.
2. दोन संज्ञांच्या बेरजेचे व्युत्पन्न: (f+w)" = f"w + fw".
3. लॉगरिदमिक फंक्शनचे व्युत्पन्न: (लॉग a d)" = d/ln a*d. हे सूत्र सर्व प्रकारच्या लॉगरिदमला लागू होते.
4. पॉवरचे व्युत्पन्न: (x n)"= n*x n-1. उदाहरणार्थ, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. सायनसॉइडल फंक्शनचे व्युत्पन्न: (sin a)" = cos a. कोन a चे sin 0.5 असल्यास, त्याचे व्युत्पन्न √3/2 आहे.

एक्स्ट्रीम पॉइंट्स

किमान गुण कसे शोधायचे याबद्दल आपण आधीच चर्चा केली आहे, परंतु फंक्शनच्या जास्तीत जास्त बिंदूंची संकल्पना देखील आहे. जर किमान ते बिंदू दर्शवितात ज्यावर फंक्शन वजा चिन्हावरून प्लसमध्ये बदलते, तर कमाल बिंदू हे x-अक्षावरील ते बिंदू आहेत ज्यावर फंक्शनचे व्युत्पन्न प्लसपासून विरुद्ध - वजा मध्ये बदलते.

आपण वर वर्णन केलेल्या पद्धतीचा वापर करून ते शोधू शकता, परंतु आपण हे लक्षात घेतले पाहिजे की ते त्या क्षेत्रांना सूचित करतात ज्यामध्ये फंक्शन कमी होणे सुरू होते, म्हणजेच व्युत्पन्न शून्यापेक्षा कमी असेल.

गणितामध्ये, दोन्ही संकल्पनांचे सामान्यीकरण करण्याची प्रथा आहे, त्यांना "अंतराचे बिंदू" या वाक्यांशाने बदलून. जेव्हा एखादे कार्य तुम्हाला हे गुण निर्धारित करण्यास सांगते, तेव्हा याचा अर्थ असा होतो की तुम्हाला दिलेल्या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करणे आणि किमान आणि कमाल गुण शोधणे आवश्यक आहे.

फंक्शन y = f(x) विचारात घ्या, जे मध्यांतर (a, b) वर मानले जाते.

अंतराल (a, b) शी संबंधित x1 बिंदूचा b-परिसर दर्शवणे शक्य असल्यास सर्व x (x1, b) साठी असमानता f(x1) > f(x) धारण करते, तर y1 = f1(x1) म्हणतात फंक्शनची कमाल y = f(x) अंजीर पहा.

आम्ही फंक्शनची कमाल y = f(x) कमाल f(x) ने दर्शवतो. जर अंतराल (a, b) शी संबंधित x2 बिंदूचा b-शेजारी सूचित करणे शक्य असेल, जसे की सर्व x साठी ते O (x2, 6) च्या मालकीचे असेल, x हे x2 च्या बरोबरीचे नाही, असमानता धारण करते f(x2)< f(x) , नंतर y2= f(x2) याला y-f(x) फंक्शनचे किमान म्हणतात (आकृती पहा).

कमाल शोधण्याच्या उदाहरणासाठी, खालील व्हिडिओ पहा

किमान कार्ये

आम्ही फंक्शनचे किमान y = f(x) min f(x) द्वारे दर्शवतो. दुसऱ्या शब्दात, फंक्शनची कमाल किंवा किमान y = f(x) म्हणतातत्याचे मूल्य जे इतर सर्व मूल्यांपेक्षा मोठे (कमी) आहे जे दिलेल्या बिंदूंच्या पुरेशा जवळ असलेल्या आणि त्यापेक्षा वेगळे आहे.

टीप १. कमाल कार्य, असमानता द्वारे परिभाषित कठोर कमाल म्हणतात; कठोर नसलेली कमाल असमानता f(x1) > = f(x2) द्वारे निर्धारित केली जाते

टीप 2. स्थानिक वर्ण आहे (हे संबंधित बिंदूच्या पुरेसे लहान शेजारच्या फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्ये आहेत); फंक्शनचा वैयक्तिक मिनिमा त्याच फंक्शनच्या कमाल पेक्षा जास्त असू शकतो

परिणामी, फंक्शनची कमाल (किमान) कॉल केली जाते स्थानिक कमाल(स्थानिक किमान) परिपूर्ण कमाल (किमान) च्या उलट - फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनमधील सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य.

फंक्शनच्या कमाल आणि किमान यांना एक्स्ट्रीमम म्हणतात . फंक्शन्सचे आलेख तयार करण्यासाठी एक्स्ट्रीमा इन आढळतात

लॅटिन एक्स्ट्रीम म्हणजे "अत्यंत" अर्थ एक्स ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ ‍ द ची मु ा जिला एक्स्ट्रीमम ‍ पोचला आहे , त्याला एक्स्ट्रीमम पॉइंट म्‍हणतात. एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक स्थिती खालील प्रमेयाद्वारे व्यक्त केली जाते.

प्रमेय. भिन्नता कार्याच्या टोकाच्या बिंदूवर, त्याचे व्युत्पन्न शून्याच्या बरोबरीचे आहे.

प्रमेयाचा एक साधा भौमितिक अर्थ आहे: संबंधित बिंदूवरील भिन्नता कार्याच्या आलेखाची स्पर्शिका ऑक्स अक्षाच्या समांतर आहे

1°. फंक्शनच्या टोकाचे निर्धारण.

दोन व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनच्या कमाल, किमान आणि एक्स्ट्रीममच्या संकल्पना एका स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या संबंधित संकल्पनांच्या समान आहेत.

कार्य करू द्या z =f (x; y)काही क्षेत्रात परिभाषित डीबिंदू एन (x 0;y 0) डी.

डॉट (x 0;y 0)एक बिंदू म्हणतात जास्तीत जास्तकार्ये z= f (x;y)बिंदूचा असा -परिसर असल्यास (x 0;y 0),ते प्रत्येक बिंदूसाठी (x;y),पासून वेगळे (x 0;y 0)या अतिपरिचित क्षेत्रातून असमानता आहे f (x;y)< f (x 0;y 0).आकृती 12 मध्ये: N 1 -कमाल बिंदू, a N 2 -फंक्शनचा किमान बिंदू z =f (x;y).

बिंदू त्याच प्रकारे निर्धारित केला जातो किमानकार्ये: सर्व बिंदूंसाठी (x 0;y 0),पासून वेगळे (x 0;y 0),बिंदूच्या d -परिसरापासून (x 0;y 0)असमानता धारण करते: f (x 0;y 0) >f (x 0;y 0).

तीन किंवा अधिक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम त्याच प्रकारे निर्धारित केला जातो.

कमाल (किमान) बिंदूवरील फंक्शनचे मूल्य म्हणतात कमाल (किमान)कार्ये

फंक्शनची कमाल आणि किमान याला म्हणतात टोकाची

लक्षात घ्या की, व्याख्येनुसार, फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम पॉइंट फंक्शनच्या डेफिनेशनच्या डोमेनमध्ये असतो; कमाल आणि किमान आहे स्थानिक(स्थानिक) वर्ण: एका बिंदूवर फंक्शनचे मूल्य (x 0;y 0)त्याच्या मूल्यांशी पुरेशा जवळ असलेल्या बिंदूंवर तुलना केली जाते (x 0;y 0).परिसरात डीफंक्शनमध्ये अनेक एक्स्ट्रेमा असू शकतात किंवा एकही नाही.

2°. एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक अटी.

फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वाच्या अटींचा विचार करूया.

भौमितिकदृष्ट्या समानता f"y (x 0;y 0)= 0 आणि f"y (x 0;y 0) = 0 म्हणजे फंक्शनच्या टोकाच्या बिंदूवर z = f (x; y)फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करणार्‍या पृष्ठभागावर स्पर्शिका समतल f (x; y),विमानाला समांतर अरे होस्पर्शिकेचे समीकरण असल्याने z =z 0.

टिप्पणी.फंक्शनमध्ये पॉइंट्सवर एक्स्ट्रीमम असू शकतो जिथे किमान एक आंशिक डेरिव्हेटिव्ह अस्तित्वात नाही. उदाहरणार्थ, फंक्शन बिंदूवर कमाल आहे बद्दल(0;0), परंतु या बिंदूवर कोणतेही आंशिक डेरिव्हेटिव्ह नाहीत.

फंक्शनचे प्रथम ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्हज बिंदू z = f (x;y)शून्याच्या समान आहेत, म्हणजे f"x = 0, f" y = 0, म्हणतात स्थिर बिंदूकार्ये z

स्थिर बिंदू आणि बिंदू ज्यावर किमान एक आंशिक व्युत्पन्न अस्तित्वात नाही त्यांना म्हणतात गंभीर मुद्दे.

गंभीर बिंदूंवर, फंक्शनमध्ये एक्स्ट्रीमम असू शकतो किंवा नसू शकतो. आंशिक डेरिव्हेटिव्हची शून्यावर समानता ही एक आवश्यक आहे परंतु एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वासाठी पुरेशी स्थिती नाही. उदाहरणार्थ, फंक्शनचा विचार करा z = huत्यासाठी, बिंदू 0(0; 0) गंभीर आहे (तो शून्यावर वळतो). तथापि, त्यात extremum कार्य आहे z = xyनाही, कारण O(0;0) बिंदूच्या पुरेशा लहान शेजारी असे बिंदू आहेत ज्यासाठी z> 0 (पहिल्या आणि तिसऱ्या तिमाहीचे गुण) आणि z< 0 (II आणि IV तिमाहीचे गुण).

अशाप्रकारे, दिलेल्या क्षेत्रातील फंक्शनचा टोकाचा भाग शोधण्यासाठी, फंक्शनच्या प्रत्येक गंभीर बिंदूला अतिरिक्त संशोधन करणे आवश्यक आहे.

समीकरणांची प्रणाली सोडवून स्थिर बिंदू शोधले जातात

(एक्स्ट्रीमसाठी आवश्यक अटी).

प्रणाली (1) एका समीकरणाच्या समतुल्य आहे df(x, y)=0.सर्वसाधारणपणे, टोकाच्या बिंदूवर P(a, b)कार्ये f(x, y)किंवा df(x, y)=0, किंवा df(a, b) अस्तित्वात नाही.

३°. एक्स्ट्रीममसाठी पुरेशी परिस्थिती. द्या P(a; b)- फंक्शनचा स्थिर बिंदू f(x,y),म्हणजे . df(a, b) = 0. मग:

आणि जर d2f (a, b)< 0 येथे, नंतर f(a, b) तेथे आहे जास्तीत जास्तकार्ये f (x, y);

b) जर d2f (a, b) > 0येथे, नंतर f(a, b)तेथे आहे किमानकार्ये f (x,y);

c) जर d2f (a, b)बदल चिन्ह, नंतर f (a, b) हे फंक्शनचे टोक नाही f (x, y).

दिलेल्या अटी खालीलप्रमाणे समतुल्य आहेत: द्या आणि . चला रचना करूया भेदभाव करणारा Δ=AC -B².

1) जर Δ > 0 असेल, तर फंक्शनला बिंदूवर एक्स्ट्रीमम आहे P(a;b)म्हणजे, जास्तीत जास्त जर ए<0 (किंवा सह<0 ), आणि किमान असल्यास A>0(किंवा С>०);

2) जर Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b)नाही;

3) जर Δ =0 असेल, तर बिंदूवर फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममच्या उपस्थितीचा प्रश्न P(a; b)खुले राहते (पुढील संशोधन आवश्यक).

४°. अनेक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनचे केस. तीन किंवा अधिक व्हेरिएबल्सच्या कार्यासाठी, एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक परिस्थिती परिस्थिती (1) सारखीच असते आणि पुरेशी परिस्थिती अ), ब), c) 3° सारखीच असते.

उदाहरण. एक्स्ट्रीम फंक्शनचे परीक्षण करा z=x³+3xy²-15x-12y.

उपाय. चला आंशिक डेरिव्हेटिव्ह शोधू आणि समीकरणांची एक प्रणाली तयार करूया (1):

सिस्टम सोडवताना, आम्हाला चार स्थिर बिंदू मिळतात:

चला 2रा ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह शोधू

आणि भेदभाव निर्माण करा Δ=AC - B²प्रत्येक स्थिर बिंदूसाठी.

1) बिंदूसाठी: , Δ=AC-B²=36-144<0 . याचा अर्थ बिंदूवर कोणतेही टोक नाही.

२) पॉइंट P2 साठी: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. पॉइंट P2 वर फंक्शन किमान आहे. हे किमान वरील फंक्शनच्या मूल्याच्या बरोबरीचे आहे x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) बिंदूसाठी: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . अतिरेक नाही.

४) पॉइंट पी ४ साठी: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. पॉइंट P4 वर फंक्शनमध्ये कमाल समान असते Zmax=-8-6+30+12=28.

५°. सशर्त टोक. सर्वात सोप्या प्रकरणात सशर्त टोककार्ये f(x,y) हे या फंक्शनचे कमाल किंवा किमान आहे, ज्याचे वितर्क समीकरणाशी संबंधित आहेत या स्थितीत प्राप्त झाले. φ(x,y)=0 (कनेक्शन समीकरण). फंक्शनचा कंडिशनल एक्स्ट्रीमम शोधण्यासाठी f(x, y) नात्याच्या उपस्थितीत φ(x,y) = 0, तथाकथित तयार करा Lagrange कार्य

F (x,y ) =f (x,y )+λφ (x,y)

जेथे λ हा अपरिभाषित स्थिर घटक आहे आणि या सहायक कार्याचा नेहमीचा एक्स्ट्रीमम शोधला जातो. एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक परिस्थिती तीन समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये कमी केली जाते

तीन अज्ञातांसह x, y, λ, ज्यावरून हे अज्ञात, सामान्यतः बोलणे, निर्धारित केले जाऊ शकते.

लॅग्रेंज फंक्शनच्या दुसर्‍या भिन्नतेच्या चिन्हाचा अभ्यास करून कंडिशनल एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वाचा आणि स्वरूपाचा प्रश्न सोडवला जातो.

चाचणी अंतर्गत मूल्य प्रणालीसाठी x, y, λ, (2) कडून प्राप्त केले आहे dxआणि dуसमीकरणाने संबंधित

.

बहुदा, कार्य f(x,y) मध्ये सशर्त कमाल असल्यास d²F< 0, आणि सशर्त किमान असल्यास d²F>0. विशेषतः, कार्यासाठी भेदभाव Δ असल्यास F(x,y)स्थिर बिंदूवर सकारात्मक आहे, नंतर या टप्प्यावर फंक्शनची सशर्त कमाल आहे f(x, y), तर ए< 0 (किंवा सह< 0), आणि सशर्त किमान असल्यास अ > ओ(किंवा С>०).

त्याचप्रमाणे, तीन किंवा अधिक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनचा कंडिशनल एक्स्ट्रीमम एक किंवा अधिक कनेक्शन समीकरणांच्या उपस्थितीत आढळतो (ज्यांची संख्या, तथापि, व्हेरिएबल्सच्या संख्येपेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे). येथे आपल्याला लॅग्रेंज फंक्शनमध्ये जितके अनिश्चित घटक आहेत तितके जोडणी समीकरणे आहेत.

उदाहरण. फंक्शनचा टोकाचा भाग शोधा z =6-4x -3yप्रदान केले की व्हेरिएबल्स एक्सआणि येथेसमीकरण पूर्ण करा x²+y²=1.

उपाय. भौमितिकदृष्ट्या, समस्या अर्जाची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्यात येते zविमान z=6 - 4x - Zuसिलेंडरच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंसाठी x2+y2=1.

Lagrange फंक्शन संकलित करत आहे F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

आमच्याकडे आहे . आवश्यक परिस्थिती समीकरणांची प्रणाली देतात

ज्याचे निराकरण आम्हाला आढळते:

.

,

d²F = 2λ (dx²+dy²).

जर आणि, तर d²F >0, आणि, म्हणून, या टप्प्यावर फंक्शनमध्ये सशर्त किमान आहे. तर आणि, नंतर d²एफ<0, आणि, म्हणून, या टप्प्यावर फंक्शनची सशर्त कमाल आहे.

अशा प्रकारे,

६°. फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये.

कार्य करू द्या z =f (x; y)मर्यादित बंद प्रदेशात परिभाषित आणि सतत . मग ती काही ठिकाणी पोहोचते तुमचा सर्वात मोठा एमआणि किमान टमूल्ये (तथाकथित ग्लोबल एक्स्ट्रीम).ही मूल्ये प्रदेशाच्या आत असलेल्या बिंदूंवर फंक्शनद्वारे प्राप्त केली जातात , किंवा प्रदेशाच्या सीमेवर असलेल्या बिंदूंवर.