वेक्टरचे डॉट उत्पादन

आम्ही वेक्टरचा सामना करणे सुरू ठेवतो. पहिल्या धड्यात डमीसाठी वेक्टरआम्ही व्हेक्टरची संकल्पना, वेक्टरसह क्रिया, व्हेक्टरचे समन्वय आणि वेक्टरसह सर्वात सोपी कार्ये तपासली. जर तुम्ही या पृष्ठावर प्रथमच शोध इंजिनवरून आला असाल, तर मी वरील प्रास्ताविक लेख वाचण्याची शिफारस करतो, कारण सामग्रीमध्ये प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, तुम्हाला मी वापरत असलेल्या अटी आणि नोटेशन्समध्ये नेव्हिगेट करणे आवश्यक आहे, व्हेक्टरचे मूलभूत ज्ञान असणे आवश्यक आहे. प्राथमिक समस्या सोडविण्यास सक्षम. हा धडा विषयाचे तार्किक निरंतरता आहे आणि त्यात मी तपशीलवार विशिष्ट कार्यांचे विश्लेषण करेन ज्यामध्ये व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन वापरले जाते. हा एक अतिशय महत्वाचा उपक्रम आहे.... उदाहरणे वगळण्याचा प्रयत्न करू नका, त्यांच्यासोबत एक उपयुक्त बोनस आहे - सराव तुम्हाला कव्हर केलेली सामग्री एकत्रित करण्यात आणि विश्लेषणात्मक भूमितीमधील सामान्य समस्यांचे निराकरण करण्यात मदत करेल.

सदिशांची बेरीज, सदिशाचा संख्येने गुणाकार…. गणितज्ञांनी दुसरे काही सुचले नाही असा विचार करणे भोळेपणाचे ठरेल. आधीच विचारात घेतलेल्या क्रियांव्यतिरिक्त, व्हेक्टरसह इतर अनेक ऑपरेशन्स आहेत, म्हणजे: वेक्टरचे डॉट उत्पादन, वेक्टरचे वेक्टर उत्पादनआणि वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन... सदिशांचे स्केलर उत्पादन आम्हाला शाळेपासून परिचित आहे, इतर दोन उत्पादने पारंपारिकपणे उच्च गणिताच्या अभ्यासक्रमाशी संबंधित आहेत. विषय सोपे आहेत, अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम रूढीबद्ध आणि समजण्याजोगा आहे. एकच गोष्ट. माहितीची एक सभ्य रक्कम आहे, म्हणून मास्टर करण्याचा प्रयत्न करणे, सर्व काही एकाच वेळी सोडवणे अवांछित आहे. हे विशेषतः चहाच्या भांड्यांसाठी खरे आहे, माझ्यावर विश्वास ठेवा, लेखकाला गणितातून चिकाटिलो अजिबात वाटू इच्छित नाही. बरं, आणि गणितातून नाही, अर्थातच, सुद्धा =) अधिक तयार झालेले विद्यार्थी निवडकपणे साहित्य वापरू शकतात, एका अर्थाने, गहाळ ज्ञान "मिळवू" शकतात, तुमच्यासाठी मी एक निरुपद्रवी काउंट ड्रॅक्युला असेल =)

शेवटी, आपण दार थोडे उघडू या आणि दोन वेक्टर एकमेकांना भेटल्यावर काय होते ते उत्साहाने पाहूया….

वेक्टरच्या डॉट उत्पादनाचे निर्धारण.
डॉट उत्पादन गुणधर्म. ठराविक कामे

डॉट उत्पादन संकल्पना

बद्दल प्रथम वेक्टरमधील कोन... मला वाटते की वेक्टरमधील कोन काय आहे हे प्रत्येकाला अंतर्ज्ञानाने समजले आहे, परंतु फक्त बाबतीत, थोडे अधिक तपशीलवार. मुक्त नॉनझिरो वेक्टर आणि. जर तुम्ही या वेक्टर्सला अनियंत्रित बिंदूपासून पुढे ढकलल्यास, तुम्हाला एक चित्र मिळेल ज्याची कल्पना अनेकांनी त्यांच्या मनात आधीच केली आहे:

मी कबूल करतो की मी येथे केवळ समजुतीच्या पातळीवर परिस्थितीचे वर्णन केले आहे. जर तुम्हाला व्हेक्टरमधील कोनाची कठोर व्याख्या हवी असेल, तर कृपया पाठ्यपुस्तकाचा संदर्भ घ्या, परंतु व्यावहारिक समस्यांसाठी आम्हाला तत्त्वतः त्याची गरज नाही. तसेच इथे आणि पुढे मी शून्य व्हेक्टरकडे त्यांच्या कमी व्यावहारिक महत्त्वामुळे दुर्लक्ष करेन. मी विशेषतः प्रगत साइट अभ्यागतांसाठी आरक्षण केले आहे जे खालीलपैकी काही विधानांच्या सैद्धांतिक अपूर्णतेसाठी माझी निंदा करू शकतात.

साहित्यात, कोन चिन्हाकडे अनेकदा दुर्लक्ष केले जाते आणि ते सोपे लिहिले जाते.

व्याख्या:दोन सदिशांचे स्केलर गुणाकार हा NUMBER हा या सदिशांच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या बरोबरीच्या कोनाच्या कोनाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचा आहे:

ही आधीच एक कठोर व्याख्या आहे.

आम्ही आवश्यक माहितीवर लक्ष केंद्रित करतो:

पदनाम:डॉट उत्पादन द्वारे किंवा सरळ दर्शविले जाते.

ऑपरेशनचा परिणाम NUMBER आहे: सदिशाचा सदिशाने गुणाकार केला जातो, आणि परिणामी संख्या असते. खरंच, जर सदिशांची लांबी संख्या असेल, कोनाचा कोसाइन ही संख्या असेल, तर त्यांचे उत्पादन संख्या देखील असेल.

वार्मअपची फक्त दोन उदाहरणे:

उदाहरण १

उपाय:आम्ही सूत्र वापरतो ... या प्रकरणात:

उत्तर:

कोसाइन मूल्ये मध्ये आढळू शकतात त्रिकोणमितीय सारणी... मी ते मुद्रित करण्याची शिफारस करतो - ते टॉवरच्या जवळजवळ सर्व विभागांमध्ये आवश्यक असेल आणि बर्याच वेळा आवश्यक असेल.

पूर्णपणे गणितीय दृष्टिकोनातून, बिंदू उत्पादन हे परिमाणहीन आहे, म्हणजेच, या प्रकरणात परिणाम, फक्त एक संख्या आहे आणि तेच आहे. भौतिकशास्त्राच्या समस्यांच्या दृष्टिकोनातून, स्केलर उत्पादनाचा नेहमीच एक विशिष्ट भौतिक अर्थ असतो, म्हणजेच निकालानंतर, एक किंवा दुसरे भौतिक एकक सूचित केले जाणे आवश्यक आहे. शक्तीच्या कार्याची गणना करण्याचे प्रमाणिक उदाहरण कोणत्याही पाठ्यपुस्तकात आढळू शकते (सूत्र हे बिंदूचे उत्पादन आहे). बलाचे कार्य जूलमध्ये मोजले जाते, म्हणून, आणि उत्तर अगदी विशिष्टपणे लिहिले जाईल, उदाहरणार्थ,.

उदाहरण २

तर शोधा , आणि सदिशांमधील कोन आहे.

हे स्वतः करा समाधानाचे उदाहरण आहे, उत्तर ट्यूटोरियलच्या शेवटी आहे.

वेक्टर आणि डॉट उत्पादन मूल्य यांच्यातील कोन

उदाहरण 1 मध्ये, बिंदू उत्पादन सकारात्मक असल्याचे दिसून आले आणि उदाहरण 2 मध्ये, ते नकारात्मक असल्याचे दिसून आले. बिंदू उत्पादनाचे चिन्ह कशावर अवलंबून आहे ते शोधूया. आम्ही आमचे सूत्र पाहतो: ... शून्य सदिशांची लांबी नेहमी सकारात्मक असते:, म्हणून चिन्ह केवळ कोसाइनच्या मूल्यावर अवलंबून असू शकते.

टीप: खालील माहिती अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, मॅन्युअलमधील कोसाइन आलेखाचा अभ्यास करणे चांगले आहे फंक्शन आलेख आणि गुणधर्म... कोसाइन सेगमेंटवर कसे वागते ते पहा.

आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, वेक्टरमधील कोन आत बदलू शकतात , आणि खालील प्रकरणे शक्य आहेत:

1) जर इंजेक्शनवेक्टर दरम्यान मसालेदार: (0 ते 90 अंशांपर्यंत), नंतर , आणि डॉट उत्पादन सकारात्मक असेल सह-दिग्दर्शित, नंतर त्‍यांच्‍यामध्‍ये असलेला कोन शून्‍य मानला जाईल आणि डॉट उत्‍पादन देखील धनात्‍मक असेल. कारण, सूत्र सरलीकृत आहे:.

2) जर इंजेक्शनवेक्टर दरम्यान बोथट: (90 ते 180 अंशांपर्यंत), नंतर , आणि त्या अनुषंगाने, डॉट उत्पादन नकारात्मक आहे:. विशेष केस: जर वेक्टर विरुद्ध दिशा, नंतर त्यांच्यामधील कोन मानला जातो तैनात: (180 अंश). बिंदू उत्पादन देखील नकारात्मक आहे, पासून

संभाषण विधाने देखील सत्य आहेत:

1) जर, तर या सदिशांमधील कोन तीव्र आहे. वैकल्पिकरित्या, सदिश सहदिशात्मक असतात.

2) जर, तर दिलेल्या वेक्टरमधील कोन स्थूल आहे. वैकल्पिकरित्या, वेक्टर विरुद्ध दिशेने निर्देशित केले जातात.

परंतु तिसरे प्रकरण विशेष स्वारस्यपूर्ण आहे:

3) जर इंजेक्शनवेक्टर दरम्यान सरळ: (90 अंश), नंतर डॉट उत्पादन शून्य आहे:. संभाषण देखील खरे आहे: जर, नंतर. विधान खालीलप्रमाणे संक्षिप्तपणे तयार केले आहे: दोन सदिशांचे स्केलर गुणाकार शून्य आहे आणि जर हे वेक्टर ऑर्थोगोनल असतील तरच... लहान गणित नोटेशन:

! नोंद : पुन्हा करा गणितीय तर्कशास्त्राचा पाया: दुहेरी बाजू असलेला तार्किक परिणाम चिन्ह सहसा "नंतर आणि फक्त नंतर", "जर आणि फक्त तर" असे वाचले जाते. जसे आपण पाहू शकता, बाण दोन्ही दिशानिर्देशांमध्ये निर्देशित केले आहेत - "यापासून हे अनुसरण करते आणि त्याउलट - यापासून जे पुढे जाते त्यापासून." तसे, वन-वे फॉलो आयकॉनमध्ये काय फरक आहे? आयकॉनचा दावा आहे फक्त तेचकी "हे यावरून पुढे येते", आणि हे खरं नाही की उलट सत्य आहे. उदाहरणार्थ: परंतु प्रत्येक प्राणी हा पँथर नसतो, म्हणून या प्रकरणात चिन्ह वापरले जाऊ शकत नाही. त्याच वेळी, चिन्हाऐवजी करू शकतावन-वे आयकॉन वापरा. उदाहरणार्थ, समस्येचे निराकरण करताना, आम्हाला आढळले की आम्ही निष्कर्ष काढला की वेक्टर ऑर्थोगोनल आहेत: - अशी नोंद योग्य असेल आणि त्याहूनही अधिक योग्य असेल .

तिसरे प्रकरण खूप व्यावहारिक महत्त्व आहे.कारण ते तुम्हाला वेक्टर ऑर्थोगोनल आहेत की नाही हे तपासण्याची परवानगी देते. आम्ही धड्याच्या दुसऱ्या विभागात ही समस्या सोडवू.

डॉट उत्पादन गुणधर्म

दोन वेक्टर असताना परिस्थितीकडे परत येऊ सह-दिग्दर्शित... या प्रकरणात, त्यांच्यामधील कोन शून्याच्या समान आहे आणि बिंदू उत्पादन सूत्र हे फॉर्म घेते:.

जर सदिश स्वतःच गुणाकार केला तर काय होईल? हे स्पष्ट आहे की वेक्टर स्वतःसह सहदिशात्मक आहे, म्हणून आम्ही वरील सरलीकृत सूत्र वापरतो:

क्रमांकावर कॉल केला जातो स्केलर स्क्वेअरवेक्टर, आणि म्हणून दर्शविले जाते.

अशा प्रकारे, वेक्टरचा स्केलर स्क्वेअर दिलेल्या वेक्टरच्या लांबीच्या स्क्वेअरच्या बरोबरीचा असतो:

या समानतेवरून, आपण वेक्टरची लांबी मोजण्यासाठी एक सूत्र मिळवू शकता:

जरी ते अस्पष्ट वाटत असले तरी धड्याची कार्ये सर्व काही त्याच्या जागी ठेवतील. समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला देखील आवश्यक आहे डॉट उत्पादन गुणधर्म.

अनियंत्रित वेक्टर आणि कोणत्याही संख्येसाठी, खालील गुणधर्म वैध आहेत:

1) - विस्थापित करण्यायोग्य किंवा बदलीस्केलर उत्पादन कायदा.

2) - वितरण किंवा वितरणात्मकस्केलर उत्पादन कायदा. फक्त, तुम्ही कंस विस्तृत करू शकता.

3) - संयोजन किंवा सहयोगीस्केलर उत्पादन कायदा. डॉट उत्पादनातून स्थिरांक काढला जाऊ शकतो.

बर्‍याचदा, सर्व प्रकारचे गुणधर्म (ज्याला सिद्ध करणे देखील आवश्यक आहे!) विद्यार्थ्यांना अनावश्यक कचरा म्हणून समजले जाते, जे फक्त लक्षात ठेवणे आणि परीक्षेनंतर लगेचच सुरक्षितपणे विसरणे आवश्यक आहे. असे दिसते की येथे काय महत्वाचे आहे, प्रत्येकाला प्रथम श्रेणीपासून माहित आहे की घटकांच्या पुनर्रचनामुळे उत्पादन बदलत नाही :. मी तुम्हाला चेतावणी दिली पाहिजे, या दृष्टिकोनाने उच्च गणितामध्ये, लाकूड तोडणे सोपे आहे. म्हणून, उदाहरणार्थ, विस्थापन मालमत्ता वैध नाही बीजगणित मॅट्रिक्स... साठी देखील ते खरे नाही वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन... म्हणूनच, काय करता येईल आणि काय करता येत नाही हे समजून घेण्यासाठी उच्च गणिताच्या अभ्यासक्रमात तुम्हाला आढळणाऱ्या कोणत्याही गुणधर्माचा शोध घेणे किमान चांगले आहे.

उदाहरण ३

.

उपाय:प्रथम, वेक्टरसह परिस्थिती स्पष्ट करूया. तरीही हे काय आहे? सदिशांची बेरीज आणि एक सु-परिभाषित सदिश आहे, जे द्वारे दर्शविले जाते. वेक्टरसह क्रियांची भौमितीय व्याख्या लेखात आढळू शकते डमीसाठी वेक्टर... वेक्टरसह समान अजमोदा (ओवा) ही व्हेक्टरची बेरीज आहे आणि.

म्हणून, स्थितीनुसार डॉट उत्पादन शोधणे आवश्यक आहे. सिद्धांततः, आपल्याला कार्यरत सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे , परंतु अडचण अशी आहे की आपल्याला वेक्टरची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन माहित नाही. परंतु स्थिती व्हेक्टरसाठी समान पॅरामीटर्स देते, म्हणून आम्ही दुसऱ्या मार्गाने जाऊ:

(1) वेक्टर अभिव्यक्ती बदला.

(२) आम्ही बहुपदांच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार कंसाचा विस्तार करतो, लेखात एक अश्लील जीभ ट्विस्टर आढळू शकते. जटिल संख्याकिंवा फ्रॅक्शनल रॅशनल फंक्शनचे एकत्रीकरण... मी स्वतःची पुनरावृत्ती करणार नाही =) तसे, स्केलर उत्पादनाची वितरण गुणधर्म आम्हाला कंस विस्तृत करण्यास अनुमती देते. आम्हाला अधिकार आहे.

(३) पहिल्या आणि शेवटच्या शब्दात, आम्ही वेक्टरचे स्केलर वर्ग संक्षिप्तपणे लिहितो: ... दुस-या टर्ममध्ये, आम्ही स्केलर उत्पादनाची परम्युटेबिलिटी वापरतो:.

(4) आम्ही समान अटी देतो:.

(५) पहिल्या टर्ममध्ये, आम्ही स्केलर स्क्वेअर फॉर्म्युला वापरतो, ज्याचा उल्लेख फार पूर्वी झाला नव्हता. शेवटच्या टर्ममध्ये, अनुक्रमे, समान गोष्ट कार्य करते:. आम्ही मानक सूत्रानुसार दुसरी संज्ञा विस्तृत करतो .

(6) आम्ही या अटी बदलतो , आणि काळजीपूर्वक अंतिम गणना करा.

उत्तर:

बिंदू उत्पादनाचे ऋण मूल्य हे वस्तुस्थिती दर्शवते की सदिशांमधील कोन स्थूल आहे.

कार्य वैशिष्ट्यपूर्ण आहे, स्वतंत्र समाधानासाठी येथे एक उदाहरण आहे:

उदाहरण ४

व्हेक्टरचे बिंदू उत्पादन शोधा आणि, जर ते माहित असेल तर .

आता आणखी एक सामान्य कार्य, फक्त वेक्टरच्या लांबीच्या नवीन सूत्रासाठी. येथील पदनाम थोडेसे ओव्हरलॅप होतील, त्यामुळे स्पष्टतेसाठी, मी ते वेगळ्या अक्षराने पुन्हा लिहीन:

उदाहरण ५

जर सदिशाची लांबी शोधा .

उपायखालीलप्रमाणे असेल:

(1) सदिश अभिव्यक्ती द्या.

(2) आम्ही लांबीचे सूत्र वापरतो:, तर संपूर्ण अभिव्यक्ती सदिश "ve" म्हणून कार्य करते.

(3) आपण बेरीजच्या वर्गासाठी शालेय सूत्र वापरतो. हे येथे कुतूहलाने कसे कार्य करते ते लक्षात घ्या: - खरं तर, हा फरकाचा वर्ग आहे आणि खरं तर, तो आहे. ज्यांना स्वारस्य आहे ते ठिकाणी वेक्टरची पुनर्रचना करू शकतात: - ते अटींच्या पुनर्रचनापर्यंत सारखेच झाले.

(4) बाकीच्या आधीच्या दोन समस्यांपासून आधीच परिचित आहेत.

उत्तर:

आम्ही लांबीबद्दल बोलत असल्याने, परिमाण दर्शविण्यास विसरू नका - "युनिट्स".

उदाहरण 6

जर सदिशाची लांबी शोधा .

हे स्वतः करा समाधानाचे उदाहरण आहे. ट्यूटोरियलच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

आम्ही डॉट उत्पादनातून उपयुक्त गोष्टी पिळून काढणे सुरू ठेवतो. चला आपले सूत्र पुन्हा पाहू ... प्रमाणाच्या नियमानुसार, व्हेक्टरची लांबी डाव्या बाजूच्या भाजकावर रीसेट करूया:

आणि आम्ही भाग अदलाबदल करू:

या सूत्राचा अर्थ काय? जर तुम्हाला दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांचे बिंदू उत्पादन माहित असेल, तर तुम्ही या व्हेक्टरमधील कोनाच्या कोसाइनची गणना करू शकता आणि म्हणून, कोन स्वतःच काढू शकता.

बिंदू उत्पादन एक संख्या आहे? क्रमांक. सदिश संख्यांची लांबी आहे का? संख्या. म्हणून, अपूर्णांक देखील एक विशिष्ट संख्या आहे. आणि जर कोनाचा कोसाइन ज्ञात असेल तर: , नंतर व्युत्क्रम फंक्शन वापरून कोन स्वतः शोधणे सोपे आहे: .

उदाहरण 7

व्हेक्टरमधील कोन शोधा आणि, जर ते माहित असेल तर.

उपाय:आम्ही सूत्र वापरतो:

गणनेच्या अंतिम टप्प्यावर, एक तंत्र वापरले गेले - भाजकातील असमंजसपणाचे उच्चाटन. अपरिमेयता दूर करण्यासाठी, मी अंश आणि भाजक यांचा गुणाकार केला.

तर जर , नंतर:

व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची मूल्ये द्वारे शोधली जाऊ शकतात त्रिकोणमितीय सारणी... जरी हे क्वचितच घडते. विश्लेषणात्मक भूमितीच्या समस्यांमध्ये, काही प्रकारचे अनाड़ी अस्वल जास्त वेळा दिसतात आणि कोनाचे मूल्य अंदाजे कॅल्क्युलेटर वापरून शोधले पाहिजे. वास्तविक, असे चित्र आपण एकापेक्षा जास्त वेळा पाहणार आहोत.

उत्तर:

पुन्हा, परिमाण दर्शविण्यास विसरू नका - रेडियन आणि अंश. वैयक्तिकरित्या, जाणूनबुजून "सर्व प्रश्न साफ ​​करण्यासाठी", मी ते आणि ते दोन्ही सूचित करण्यास प्राधान्य देतो (अर्थातच, अटीनुसार, उत्तर फक्त रेडियनमध्ये किंवा फक्त अंशांमध्ये सादर करणे आवश्यक आहे).

आता आपण स्वतःहून अधिक कठीण कामाचा सामना करण्यास सक्षम असाल:

उदाहरण 7*

सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दिले आहेत. सदिशांमधील कोन शोधा.

कार्य बहु-चरण इतके अवघड नाही.
चला सोल्यूशन अल्गोरिदमचे विश्लेषण करूया:

1) स्थितीनुसार, व्हेक्टरमधील कोन शोधणे आवश्यक आहे आणि म्हणून, आपल्याला सूत्र वापरणे आवश्यक आहे .

2) डॉट उत्पादन शोधा (उदाहरणे क्र. 3, 4 पहा).

3) वेक्टरची लांबी आणि वेक्टरची लांबी शोधा (उदाहरणे क्र. 5, 6 पहा).

4) सोल्यूशनचा शेवट उदाहरण क्रमांक 7 शी एकरूप होतो - आम्हाला संख्या माहित आहे, याचा अर्थ कोन शोधणे सोपे आहे:

ट्यूटोरियलच्या शेवटी एक लहान उपाय आणि उत्तर.

धड्याचा दुसरा विभाग समान बिंदू उत्पादनावर केंद्रित आहे. समन्वय. पहिल्या भागापेक्षा हे अगदी सोपे होईल.

वेक्टरचे बिंदू उत्पादन,
ऑर्थोनॉर्मल आधारावर निर्देशांकांद्वारे दिले जाते

उत्तर:

हे सांगण्याची गरज नाही की समन्वयांशी व्यवहार करणे अधिक आनंददायी आहे.

उदाहरण 14

व्हेक्टरचे बिंदू उत्पादन शोधा आणि, जर

हे स्वतः करा समाधानाचे उदाहरण आहे. येथे तुम्ही ऑपरेशनची सहयोगीता वापरू शकता, म्हणजे, मोजू नका, परंतु स्केलर उत्पादनामधून तिप्पट ताबडतोब बाहेर हलवा आणि शेवटचा गुणाकार करा. धड्याच्या शेवटी उपाय आणि उत्तर.

परिच्छेदाच्या शेवटी, वेक्टरच्या लांबीची गणना करण्याचे उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

वेक्टरची लांबी शोधा , तर

उपाय:पुन्हा मागील विभागाचा मार्ग स्वतःच सूचित करतो:, परंतु दुसरा मार्ग आहे:

वेक्टर शोधा:

आणि त्याची लांबी क्षुल्लक सूत्रानुसार :

डॉट प्रोडक्ट येथे अजिबात प्रश्न नाही!

वेक्टरच्या लांबीची गणना करताना हे व्यवसायाबाहेर आहे:
थांबा. वेक्टर लांबीच्या स्पष्ट गुणधर्माचा फायदा का घेऊ नये? वेक्टरच्या लांबीचे काय? हा वेक्टर वेक्टरपेक्षा 5 पट लांब आहे. दिशा विरुद्ध आहे, पण काही फरक पडत नाही, कारण चर्चा लांबीची आहे. स्पष्टपणे, वेक्टरची लांबी उत्पादनाच्या समान आहे मॉड्यूलप्रति वेक्टर लांबी संख्या:
- मॉड्यूलचे चिन्ह संख्येचे संभाव्य वजा "खाते".

अशा प्रकारे:

उत्तर:

वेक्टरमधील कोनाच्या कोसाइनचे सूत्र, जे निर्देशांकांद्वारे दिले जाते

सदिशांच्या समन्वयाच्या संदर्भात व्हेक्टरमधील कोनाच्या कोसाइनसाठी पूर्वी व्युत्पन्न केलेले सूत्र व्यक्त करण्यासाठी आता आपल्याकडे संपूर्ण माहिती आहे:

विमानाच्या वेक्टरमधील कोनाचा कोसाइनआणि ऑर्थोनॉर्मल आधारावर दिलेला, सूत्राद्वारे व्यक्त:
.

स्पेस वेक्टरमधील कोनाचा कोसाइनऑर्थोनॉर्मल आधारावर दिलेला, सूत्राद्वारे व्यक्त:

उदाहरण 16

त्रिकोणाचे तीन शिरोबिंदू दिले आहेत. शोधा (वर्टेक्स कोन).

उपाय:अटीनुसार, रेखांकन करणे आवश्यक नाही, परंतु तरीही:

आवश्यक कोन हिरव्या कमानीने चिन्हांकित केले आहे. आम्ही ताबडतोब कोनाचे शाळेचे पदनाम आठवते: - विशेष लक्ष सरासरीअक्षर - हे आपल्याला आवश्यक असलेल्या कोपऱ्याचे शिरोबिंदू आहे. संक्षिप्ततेसाठी, ते सोपे देखील लिहिले जाऊ शकते.

रेखांकनावरून हे अगदी स्पष्ट आहे की त्रिकोणाचा कोन सदिशांमधील कोनाशी जुळतो आणि दुसऱ्या शब्दांत: .

मानसिकरित्या केलेले विश्लेषण कसे पार पाडायचे हे शिकणे इष्ट आहे.

वेक्टर शोधा:

चला डॉट उत्पादनाची गणना करूया:

आणि वेक्टरची लांबी:

कोनाचा कोसाइन:

मी टीपॉट्सना शिफारस केलेले कार्य पूर्ण करण्याचा हा क्रम आहे. अधिक प्रगत वाचक गणना "एका ओळीत" लिहू शकतात:

येथे "खराब" कोसाइन मूल्याचे उदाहरण आहे. परिणामी मूल्य अंतिम नाही, म्हणून भाजकातील असमंजसपणापासून मुक्त होण्यात काही अर्थ नाही.

चला कोपरा स्वतः शोधूया:

आपण रेखाचित्र पाहिल्यास, परिणाम जोरदार प्रशंसनीय आहे. तपासणीसाठी, कोन प्रोट्रेक्टरने देखील मोजला जाऊ शकतो. मॉनिटरचे कव्हर खराब करू नका =)

उत्तर:

उत्तरात, हे विसरू नका त्रिकोणाच्या कोनाबद्दल विचारले(आणि वेक्टरमधील कोनाबद्दल नाही), अचूक उत्तर सूचित करण्यास विसरू नका: आणि कोनाचे अंदाजे मूल्य: कॅल्क्युलेटरसह सापडले.

ज्यांनी प्रक्रियेचा आनंद घेतला आहे ते कोनांची गणना करू शकतात आणि प्रमाणित समानता सत्य असल्याची खात्री करू शकतात

उदाहरण 17

अंतराळात त्रिकोण त्याच्या शिरोबिंदूंच्या समन्वयाने परिभाषित केला जातो. बाजू आणि मधील कोन शोधा

हे स्वतः करा समाधानाचे उदाहरण आहे. ट्यूटोरियलच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर

एक लहान अंतिम विभाग प्रोजेक्शनसाठी समर्पित असेल, ज्यामध्ये स्केलर उत्पादन देखील "मिश्रित" आहे:

वेक्टर-टू-वेक्टर प्रोजेक्शन. वेक्टरचे समन्वय अक्षांवर प्रक्षेपण.
वेक्टरची दिशा कोसाइन

वेक्टर विचारात घ्या आणि:

आम्ही वेक्टरला वेक्टरवर प्रक्षेपित करतो, यासाठी आम्ही व्हेक्टरच्या सुरुवातीपासून आणि शेवटपासून वगळतो लंबप्रति वेक्टर (हिरव्या ठिपके असलेल्या रेषा). वेक्टरवर लंब पडणाऱ्या प्रकाशाच्या किरणांची कल्पना करा. मग सेगमेंट (लाल रेषा) व्हेक्टरची "सावली" असेल. या प्रकरणात, वेक्टरवरील वेक्टरचे प्रक्षेपण विभागाची LENGTH असते. म्हणजेच, प्रोजेक्शन एक नंबर आहे.

हा NUMBER खालीलप्रमाणे दर्शविला जातो:, "मोठा वेक्टर" सदिश दर्शवितो जेप्रकल्प, "स्मॉल सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर दर्शवतो वरजे प्रक्षेपित केले जात आहे.

रेकॉर्ड स्वतः असे वाचतो: "वेक्टरचे प्रक्षेपण" ए "वेक्टरवर" bh "".

व्हेक्टर "bs" "खूप लहान" असल्यास काय होईल? आम्ही "be" वेक्टर असलेली सरळ रेषा काढतो. आणि व्हेक्टर "a" आधीच प्रक्षेपित केला जाईल वेक्टर "bh" च्या दिशेने, फक्त - "be" सदिश असलेल्या सरळ रेषेवर. जर वेक्टर "a" तिसाव्या राज्यात पुढे ढकलला गेला तर असेच होईल - तरीही ते "bh" सदिश असलेल्या सरळ रेषेवर सहजपणे प्रक्षेपित केले जाईल.

जर कोनवेक्टर दरम्यान मसालेदार(चित्राप्रमाणे), नंतर

जर वेक्टर ऑर्थोगोनल, नंतर (प्रक्षेपण हा एक बिंदू आहे ज्याचे परिमाण शून्य मानले जातात).

जर कोनवेक्टर दरम्यान बोथट(आकृतीमध्ये, वेक्टरच्या बाणाची मानसिकरित्या पुनर्रचना करा), नंतर (समान लांबी, परंतु वजा चिन्हासह घेतले).

चला हे वेक्टर एका बिंदूपासून पुढे ढकलूया:

साहजिकच, जेव्हा वेक्टर हलतो तेव्हा त्याचे प्रक्षेपण बदलत नाही.

I. बिंदू उत्पादन नाहीसे होते जर आणि फक्त जर सदिशांपैकी किमान एक शून्य असेल किंवा व्हेक्टर लंब असतील. खरंच, जर किंवा, किंवा नंतर.

याउलट, जर गुणाकार केले जाणारे वेक्टर शून्य नसतील, तर स्थितीवरून

जेव्हा ते खालीलप्रमाणे होते:

शून्य सदिशाची दिशा अपरिभाषित असल्यामुळे, शून्य सदिश कोणत्याही सदिशाला लंब मानला जाऊ शकतो. म्हणून, स्केलर उत्पादनाची सूचित केलेली मालमत्ता लहान स्वरूपात तयार केली जाऊ शकते: स्केलर उत्पादन नाहीसे होते जर आणि फक्त जर सदिश लंब असतील.

II. डॉट उत्पादनामध्ये ट्रान्सपोसेबिलिटीची मालमत्ता आहे:

ही मालमत्ता थेट व्याख्येवरून खालीलप्रमाणे आहे:

कारण एकाच कोनासाठी भिन्न पदनाम.

III. वितरण कायदा अत्यंत महत्त्वाचा आहे. त्याचा अनुप्रयोग सामान्य अंकगणित किंवा बीजगणित प्रमाणेच उत्कृष्ट आहे, जिथे तो खालीलप्रमाणे तयार केला जातो: बेरीज गुणाकार करण्यासाठी, आपल्याला प्रत्येक पदाचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि परिणामी उत्पादने जोडणे आवश्यक आहे, उदा.

अर्थात, बीजगणितातील अंकगणित किंवा बहुपदीतील बहुमूल्य संख्यांचा गुणाकार या गुणाकाराच्या गुणधर्मावर आधारित असतो.

या कायद्याचा सदिश बीजगणितात समान मूलभूत अर्थ आहे, कारण त्याच्या आधारावर आपण सदिशांना बहुपदींच्या गुणाकाराचा नेहमीचा नियम लागू करू शकतो.

कोणत्याही तीन सदिश A, B, C साठी समानता सिद्ध करू

सूत्राद्वारे व्यक्त केलेल्या डॉट उत्पादनाच्या दुसऱ्या व्याख्येनुसार, आम्हाला मिळते:

आता § 5 मधील अंदाजांपैकी प्रॉपर्टी 2 लागू करताना, आम्हाला आढळते:

Q.E.D.

IV. बिंदू उत्पादनामध्ये संख्यात्मक घटकाच्या संदर्भात एकत्रित करण्याची मालमत्ता आहे; ही मालमत्ता खालील सूत्राद्वारे व्यक्त केली जाते:

म्हणजेच, व्हेक्टरच्या बिंदूचे गुणाकार संख्येने गुणाकार करण्यासाठी, या संख्येने घटकांपैकी एक गुणाकार करणे पुरेसे आहे.

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये देखील असतील, ज्याची तुम्ही उत्तरे पाहू शकता.

जर समस्येमध्ये व्हेक्टरची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दोन्ही "चांदीच्या ताटावर" सादर केले असतील, तर समस्येची स्थिती आणि त्याचे निराकरण असे दिसते:

उदाहरण १.वेक्टर दिले. व्हेक्टरची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन खालील मूल्यांद्वारे दर्शविल्यास त्यांचे बिंदू गुण शोधा:

दुसरी व्याख्या देखील वैध आहे, जी पूर्णपणे व्याख्या 1 च्या समतुल्य आहे.

व्याख्या २... सदिशांचे स्केलर गुणाकार ही संख्या (स्केलर) आहे जी यापैकी एका सदिशाच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराने दर्शविलेल्या पहिल्या वेक्टरद्वारे निर्धारित केलेल्या अक्षावर दुसऱ्या वेक्टरच्या प्रक्षेपणाद्वारे असते. परिभाषा 2 नुसार सूत्र:

पुढील महत्त्वाच्या सैद्धांतिक मुद्द्यानंतर आपण हे सूत्र वापरून समस्या सोडवू.

निर्देशांकांच्या दृष्टीने व्हेक्टरचे बिंदू उत्पादन निश्चित करणे

गुणाकार केल्या जाणार्‍या सदिशांना त्‍यांच्‍या निर्देशांकांद्वारे दिलेल्‍यास समान संख्‍या मिळू शकते.

व्याख्या ३.व्हेक्टरचे बिंदू गुणाकार ही त्यांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या जोडीनिहाय उत्पादनांच्या बेरजेइतकी संख्या असते.

पृष्ठभागावर

जर दोन सदिश आणि समतल त्यांच्या दोन द्वारे परिभाषित केले असेल कार्टेशियन आयताकृती समन्वय

मग या सदिशांचे स्केलर गुणाकार त्यांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या जोडीनिहाय उत्पादनांच्या बेरजेइतके असते:

.

उदाहरण २.वेक्टरच्या समांतर अक्षावर वेक्टरच्या प्रक्षेपणाचे संख्यात्मक मूल्य शोधा.

उपाय. आम्‍हाला सदिशांचे बिंदू उत्‍पादन त्‍यांच्‍या निर्देशांकांची जोडीवार उत्‍पादने जोडून सापडते:

आता आपल्याला परिणामी स्केलर उत्पादनाचे वेक्टरच्या लांबीच्या गुणाकाराशी आणि वेक्टरच्या समांतर अक्षावरील वेक्टरचे प्रक्षेपण (सूत्रानुसार) समान करणे आवश्यक आहे.

आम्हाला वेक्टरची लांबी त्याच्या निर्देशांकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ म्हणून आढळते:

.

आम्ही एक समीकरण काढतो आणि ते सोडवतो:

उत्तर द्या. इच्छित संख्यात्मक मूल्य उणे 8 आहे.

अंतराळात

जर दोन सदिश आणि अंतराळातील त्यांच्या तीन कार्टेशियन आयताकृती समन्वयाने परिभाषित केले असेल

,

मग या सदिशांचे स्केलर गुणाकार देखील त्यांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या जोडीनिहाय उत्पादनांच्या बेरजेइतकेच असतात, फक्त आधीपासून तीन समन्वय असतात:

.

डॉट उत्पादनाच्या गुणधर्मांचे विश्लेषण केल्यानंतर विचारात घेतलेल्या पद्धतीद्वारे डॉट उत्पादन शोधण्याची समस्या आहे. कारण कार्यामध्ये गुणाकार सदिश कोणता कोन तयार करतात हे निर्धारित करणे आवश्यक असेल.

वेक्टर डॉट उत्पादन गुणधर्म

बीजगणितीय गुणधर्म

1. (विस्थापन मालमत्ता: गुणाकार केल्या जाणार्‍या सदिशांच्या स्वॅपिंगपासून त्यांच्या बिंदू उत्पादनाची परिमाण बदलत नाही).

2. (गुणक एकत्रित गुणधर्म: एका सदिशाचे बिंदू गुणाकार काही घटकाने गुणाकार केला जातो आणि दुसरा सदिश समान घटकाने गुणाकार केलेल्या या सदिशांच्या बिंदू गुणाकाराच्या समान असतो).

3. (वेक्टरच्या बेरजेच्या संदर्भात वितरण मालमत्ता: तिसर्‍या सदिशाद्वारे दोन सदिशांच्या बेरजेचे बिंदू गुणाकार हे पहिल्या सदिशाच्या तिसर्‍या सदिशाच्या आणि दुसर्‍या सदिशाच्या तिसर्‍या सदिशाच्या बेरजेइतके असते).

4. (सदिशाचा स्केलर वर्ग शून्यापेक्षा मोठा आहे), जर शून्य सदिश असेल, आणि, जर, शून्य सदिश असेल.

भौमितिक गुणधर्म

अभ्यासाअंतर्गत ऑपरेशनच्या व्याख्येमध्ये, आम्ही दोन वेक्टरमधील कोनाच्या संकल्पनेला आधीच स्पर्श केला आहे. ही संकल्पना स्पष्ट करण्याची वेळ आली आहे.

वरील चित्रात, दोन वेक्टर दृश्यमान आहेत, जे एका सामान्य मूळवर आणले आहेत. आणि लक्ष देण्याची पहिली गोष्ट: या वेक्टरमध्ये दोन कोन आहेत - φ 1 आणि φ 2 ... यापैकी कोणता कोन व्हेक्टरच्या डॉट उत्पादनाच्या व्याख्या आणि गुणधर्मांमध्ये दिसतो? विचारात घेतलेल्या कोनांची बेरीज 2 आहे π आणि म्हणून या कोनांचे कोसाइन समान आहेत. बिंदू उत्पादनाच्या व्याख्येमध्ये फक्त कोनाचा कोसाइन समाविष्ट आहे, त्याच्या अभिव्यक्तीचे मूल्य नाही. परंतु गुणधर्मांमध्ये फक्त एक कोपरा मानला जातो. आणि हे दोन कोनांपैकी एक आहे जे ओलांडत नाही π , म्हणजे, 180 अंश. आकृतीमध्ये, हा कोन म्हणून नियुक्त केला आहे φ 1 .

1. दोन वेक्टर म्हणतात ऑर्थोगोनल आणि या वेक्टरमधील कोन एक सरळ रेषा आहे (90 अंश किंवा π / 2) जर या सदिशांचे बिंदू गुणाकार शून्य आहे :

.

वेक्टर बीजगणितातील ऑर्थोगोनॅलिटी ही दोन वेक्टरची लंबकता आहे.

2. दोन नॉनझिरो वेक्टर बनतात तीक्ष्ण कोपरा (0 ते 90 अंशांपर्यंत, किंवा, जे समान आहे - कमी π डॉट उत्पादन सकारात्मक आहे .

3. दोन नॉनझिरो वेक्टर बनतात विशाल कोन (90 ते 180 अंशांपर्यंत, किंवा, जे समान आहे - अधिक π / 2) जर आणि फक्त त्यांच्या डॉट उत्पादन नकारात्मक आहे .

उदाहरण ३.वेक्टर निर्देशांकात दिले आहेत:

.

दिलेल्या वेक्टरच्या सर्व जोड्यांच्या बिंदू उत्पादनांची गणना करा. या वेक्टरच्या जोड्या कोणता कोन (तीव्र, सरळ, स्थूल) बनतात?

उपाय. आम्ही संबंधित निर्देशांकांची उत्पादने जोडून गणना करू.

एक ऋण संख्या प्राप्त झाली, त्यामुळे वेक्टर एक ओबटस कोन तयार करतात.

आम्हाला एक धन संख्या मिळाली, त्यामुळे वेक्टर एक तीव्र कोन तयार करतात.

आम्हाला शून्य मिळाले, त्यामुळे वेक्टर काटकोन बनवतात.

आम्हाला एक धन संख्या मिळाली, त्यामुळे वेक्टर एक तीव्र कोन तयार करतात.

.

आम्हाला एक धन संख्या मिळाली, त्यामुळे वेक्टर एक तीव्र कोन तयार करतात.

स्वयं-चाचणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोनाचा कोसाइन.

उदाहरण ४.दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दिले आहेत:

.

सदिश संख्येच्या कोणत्या मूल्यावर आहेत आणि ऑर्थोगोनल (लंब) आहेत ते ठरवा.

उपाय. बहुपदी गुणाकार करण्याच्या नियमानुसार आम्ही सदिश गुणाकार करतो:

आता प्रत्येक पदाची गणना करूया:

.

चला एक समीकरण तयार करू (उत्पादनाची समानता शून्यावर), समान संज्ञा देऊ आणि समीकरण सोडवू:

उत्तरः आम्हाला अर्थ समजला λ = 1.8, ज्यासाठी वेक्टर ऑर्थोगोनल आहेत.

उदाहरण ५.सदिश सिद्ध करा ऑर्थोगोनल (लंब) वेक्टरला

उपाय. ऑर्थोगोनॅलिटी तपासण्यासाठी, आम्ही सदिश आणि बहुपदी म्हणून गुणाकार करतो, त्याऐवजी समस्या विधानात दिलेली अभिव्यक्ती बदलतो:

.

हे करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या बहुपदीच्या प्रत्येक पदाचा (टर्म) दुसऱ्याच्या प्रत्येक पदाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि परिणामी उत्पादने जोडणे आवश्यक आहे:

.

परिणामी, खर्चात अंश कमी होतो. परिणाम खालीलप्रमाणे आहे:

निष्कर्ष: गुणाकाराच्या परिणामी, आम्हाला शून्य मिळाले, म्हणून, व्हेक्टरची ऑर्थोगोनॅलिटी (लंबता) सिद्ध होते.

समस्या स्वतः सोडवा, आणि मग उपाय पहा

उदाहरण 6.सदिशांची लांबी दिली आहे आणि, आणि या सदिशांमधील कोन आहे π /4. कोणते मूल्य निश्चित करा μ वेक्टर आणि परस्पर लंब असतात.

स्वयं-चाचणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोनाचा कोसाइन.

व्हेक्टरच्या डॉट उत्पादनाचे मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व आणि एन-डायमेंशनल व्हेक्टरचे उत्पादन

काहीवेळा मॅट्रिक्सच्या रूपात गुणाकार केलेल्या दोन सदिशांचे प्रतिनिधित्व करणे स्पष्टतेसाठी फायदेशीर आहे. मग पहिला वेक्टर पंक्ती मॅट्रिक्स म्हणून दर्शविला जातो आणि दुसरा - स्तंभ मॅट्रिक्स म्हणून:

मग सदिशांचे स्केलर उत्पादन असेल या मॅट्रिक्सचे उत्पादन :

आम्ही आधीच विचारात घेतलेल्या पद्धतीद्वारे प्राप्त केलेला परिणाम समान आहे. एक एकल संख्या प्राप्त होते, आणि स्तंभ मॅट्रिक्सद्वारे पंक्ती मॅट्रिक्सचा गुणाकार देखील एक एकल संख्या आहे.

मॅट्रिक्स स्वरूपात अमूर्त n-डायमेंशनल व्हेक्टरचे उत्पादन प्रस्तुत करणे सोयीचे आहे. तर, दोन चार-आयामी सदिशांचे गुणाकार हे चार घटकांसह पंक्ती मॅट्रिक्सचे गुणाकार असेल आणि चार घटकांसह स्तंभ मॅट्रिक्सचे गुणाकार असेल, दोन पंच-मितीय सदिशांचे गुणाकार हे पाच घटकांसह एका पंक्ती मॅट्रिक्सचे गुणाकार असेल आणि एक स्तंभ मॅट्रिक्स देखील पाच घटकांसह, आणि असेच.

उदाहरण 7.वेक्टरच्या जोड्यांचे बिंदू उत्पादने शोधा

,

मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व वापरून.

उपाय. वेक्टरची पहिली जोडी. आम्ही पहिल्या वेक्टरला रो मॅट्रिक्स म्हणून आणि दुसरा कॉलम मॅट्रिक्स म्हणून दाखवतो. स्तंभ मॅट्रिक्सद्वारे पंक्ती मॅट्रिक्सचे गुणाकार म्हणून या सदिशांचे बिंदू उत्पादन आम्हाला आढळते:

त्याचप्रमाणे, आम्ही दुसऱ्या जोडीचे प्रतिनिधित्व करतो आणि शोधतो:

तुम्ही बघू शकता, परिणाम उदाहरण २ मधील समान जोड्यांसारखेच आहेत.

दोन वेक्टरमधील कोन

दोन सदिशांमधील कोनाच्या कोसाइनसाठी सूत्राची व्युत्पत्ती अतिशय सुंदर आणि संक्षिप्त आहे.

व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन व्यक्त करण्यासाठी

(1)

समन्वय स्वरूपात, आपण प्रथम एकक सदिशांचे स्केलर उत्पादन शोधतो. व्याख्येनुसार वेक्टरचे बिंदू गुण:

वरील सूत्रात काय लिहिले आहे याचा अर्थः वेक्टरचे बिंदू गुण स्वतःच त्याच्या लांबीच्या चौरसाइतके असतात... शून्याचा कोसाइन एक बरोबर आहे, म्हणून प्रत्येक ऑर्टचा वर्ग एक समान असेल:

वेक्टर पासून

जोडीनुसार लंब असतात, तर युनिट व्हेक्टरची जोडीनिहाय उत्पादने शून्यासारखी असतील:

आता सदिश बहुपदींचा गुणाकार करू.

आम्ही समानतेच्या उजव्या बाजूला युनिट वेक्टरच्या संबंधित स्केलर उत्पादनांची मूल्ये बदलतो:

दोन सदिशांमधील कोनाच्या कोसाइनसाठी आपल्याला सूत्र मिळते:

उदाहरण 8.तीन गुण दिले ए(1;1;1), बी(2;2;1), सी(2;1;2).

कोपरा शोधा.

उपाय. वेक्टरचे निर्देशांक शोधा:

,

.

कोनाच्या कोसाइनच्या सूत्रानुसार, आपल्याला मिळते:

म्हणून, .

स्वयं-चाचणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोनाचा कोसाइन.

उदाहरण ९.दोन वेक्टर दिले आहेत

बेरीज, फरक, लांबी, बिंदू उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोन शोधा.

२.फरक