जागा अपघाती आहे? यादृच्छिक घटनांचा संच अंदाजे आहे, जरी वैयक्तिक घटना नसतील तरीही.

सामान्य फासावर ऑनलाइन फासे जनरेटरचा फायदा स्पष्ट आहे - तो कधीही गमाणार नाही! व्हर्च्युअल क्यूब त्याच्या कार्यांस वास्तविकपेक्षा अधिक चांगले सामोरे जाईल - परिणामांची हाताळणी पूर्णपणे वगळण्यात आली आहे आणि एखाद्याला केवळ महाराजांच्या संधीची आशा असू शकते. ऑनलाइन फासे म्हणजे इतर गोष्टींबरोबरच आपल्या मोकळ्या वेळातील उत्तम मनोरंजन. निकालाच्या निर्मितीस तीन सेकंद लागतात, यामुळे खेळाडूंची उत्साह आणि आवड वाढते. फासे रोलचे नक्कल करण्यासाठी, आपल्याला फक्त कीबोर्डवरील "1" बटण दाबावे लागेल, जे आपल्याला विचलित होऊ देणार नाही, उदाहरणार्थ, एक रोमांचक बोर्ड गेममधून.

क्यूबस:

कृपया एका क्लिकने सेवेस मदत करा: आपल्या मित्रांना जनरेटरबद्दल सांगा!

जेव्हा आपण "पासे" असा हा शब्द ऐकतो तेव्हा लगेच कॅसिनोची संगत येते, जिथे ते सहजपणे त्यांच्याशिवाय करू शकत नाहीत. सुरूवातीस, हा ऑब्जेक्ट काय आहे ते थोडेसे लक्षात घेऊ या.

डाईस चौकोनी तुकडे असतात, त्या प्रत्येक चेहर्यावर 1 ते 6 मधील अंक ठिपके दर्शवितात जेव्हा आपण त्यांना टाकतो, तेव्हा आम्ही नेहमी आशा बाळगतो की आपण ज्याची कल्पना केली आणि इच्छित संख्या कमी होईल. परंतु असे वेळा असतात जेव्हा घन, काठावर पडणे, संख्या दर्शवित नाही. याचा अर्थ असा की ज्याने असा फेकला तो कोणालाही निवडू शकतो.

असेही घडते की घन बेड किंवा वॉर्डरोबच्या खाली रोल होऊ शकते आणि जेव्हा तिथून काढून टाकले जाते तेव्हा त्यानुसार संख्या बदलते. या प्रकरणात, हाड पुन्हा फेकले गेले जेणेकरुन प्रत्येकजण स्पष्टपणे संख्या पाहू शकेल.

1 क्लिकमध्ये ऑनलाइन फासे रोल

सामान्य फासे असलेल्या गेममध्ये, फसवणूक करणे खूप सोपे आहे. इच्छित क्रमांक मिळविण्यासाठी, आपल्याला घनची बाजू वरच्या बाजूस ठेवण्याची आणि त्यास फिरविणे आवश्यक आहे जेणेकरून ती तशीच राहील (फक्त बाजूचा भाग फिरत असेल). ही संपूर्ण हमी नाही, परंतु विजयी टक्केवारी पंच्याहत्तर टक्के असेल.

जर आपण दोन फासे वापरत असाल तर शक्यता तीस पर्यंत कमी होईल परंतु ही टक्केवारी कमी नाही. फसवणूकीमुळे बर्\u200dयाच खेळाडूंच्या मोहिमांना फासे वापरायला आवडत नाही.

अशा परिस्थिती टाळण्यासाठी आमची अप्रतिम सेवा तंतोतंत कार्य करते. आमच्याबरोबर फसवणूक करणे अशक्य होईल, कारण ऑनलाइन फासे रोल बनावट करणे शक्य नाही. पृष्ठावर 1 ते 6 पर्यंतची संख्या पूर्णपणे यादृच्छिक आणि अनियंत्रित मार्गाने दिसून येईल.

सोयीस्कर फासे जनरेटर

एक मोठा फायदा म्हणजे ऑनलाइन फासे जनरेटर गमावू शकत नाही (विशेषत: तो बुकमार्क केला जाऊ शकतो) आणि एक सामान्य लहान फासे सहज कुठेतरी गमावू शकतो. तसेच, परिणामांचे हेराफेरी पूर्णपणे वगळले गेले आहे ही वस्तुस्थिती देखील एक प्रचंड असेल. जनरेटरचे कार्य आहे जे आपल्याला एकाच वेळी रोल करण्यासाठी एक ते तीन फासे निवडण्याची परवानगी देते.

ऑनलाइन फासे जनरेटर एक मनोरंजक मनोरंजन आहे, अंतर्ज्ञान विकसित करण्याचा एक मार्ग. आमच्या सेवा वापरा आणि त्वरित आणि विश्वासार्ह परिणाम मिळवा.

सर्वात सामान्य प्रकार घन स्वरूपात आहे, त्या प्रत्येक बाजूला एक ते सहा पर्यंत चित्रित केलेली आहेत. प्लेयर, सपाट पृष्ठभागावर फेकून, त्याचा परिणाम वरच्या काठावर दिसतो. हाडे संधी, शुभेच्छा किंवा नशीबासाठी वास्तविक मुखपत्र असतात.

अपघात.
क्यूब्स (हाडे) बर्\u200dयाच काळापासून अस्तित्वात आहेत, परंतु त्यांनी पूर्व पारंपारिक 2600 च्या आसपास सहा बाजूंनी पारंपारिक देखावा मिळविला. ई. प्राचीन ग्रीक लोकांना पासे खेळणे आवडत होते आणि त्यांच्या कथांमध्ये नायक पलामेड, ज्यावर ओडिसीने अन्यायकारकपणे देशद्रोहाचा आरोप केला होता, त्यांचा शोधकर्ता म्हणून संबोधले जाते. पौराणिक कथेनुसार, त्याने हा खेळ शोधून काढला ज्याने ट्रॉयला वेढा घातला अशा सैनिकांच्या करमणुकीसाठी, ज्यांनी लाकडाच्या प्रचंड घोड्याने पकडले. ज्यूलियस सीझरच्या काळात रोमी लोकांनीही अनेक प्रकारचे पासे खेळून आपले मनोरंजन केले. लॅटिनमध्ये क्यूबला डटम म्हणतात, म्हणजे "दिले."

मनाई.
मध्ययुगात, 12 व्या शतकाच्या आसपास, फासेचा खेळ युरोपमध्ये खूप लोकप्रिय झाला: आपण सर्वत्र आपल्याबरोबर घेऊ शकता असे चौकोनी योद्धा आणि शेतकरी दोघेही लोकप्रिय आहेत. असे म्हणतात की सहाशेहून अधिक वेगवेगळे खेळ होते! पासा उत्पादन एक स्वतंत्र व्यवसाय होत आहे. राजा लुई नववा (१२११-१२70०) यांनी, धर्मयुद्धातून परत येऊन जुगार खेळण्यास मान्यता दिली नाही आणि संपूर्ण राज्यभर पासा उत्पादनावर बंदी घालण्याचे आदेश दिले. खेळाशीच अधिक संबंधित अधिकार्\u200dयांशी संबंधित दंगलीबद्दल असमाधानी होते - मग ते प्रामुख्याने बुजविण्यांमध्ये खेळत असत आणि पक्ष बहुधा भांडण आणि वारांनी संपत असत. परंतु कोणत्याही निषेधांमुळे पासे वेळेवर टिकून राहू शकले नाहीत आणि आजपर्यंत जगू शकले नाहीत.

"चार्ज" असणारी हाडे!
डाई रोलचा निकाल नेहमीच यादृच्छिक असतो, परंतु काही चीटर्स ते बदलण्याचा प्रयत्न करतात. क्यूबमध्ये एक भोक ड्रिल करून आणि त्यात शिसे किंवा पारा ओतणे, प्रत्येक वेळी जेव्हा आपण टाकता तेव्हा आपण समान परिणाम मिळवू शकता. अशा घनला "चार्ज" म्हणतात. वेगवेगळ्या सामग्रीपासून बनविलेले, ते सोन्याचे, दगड, क्रिस्टल, हाडे, पासाचे वेगवेगळे आकार असू शकतात. पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) च्या आकारात लहान पासे मोठ्या पिरामिड बनविणार्\u200dया इजिप्शियन फारोच्या कबरेत सापडले आहेत! वेगवेगळ्या वेळी, हाडे 8, 10, 12, 20 आणि अगदी 100 बाजूंनी बनविल्या गेल्या. सहसा त्यांना संख्या लागू केली जाते परंतु अक्षरे किंवा प्रतिमा देखील त्यांच्या जागी दिसू शकतात ज्यायोगे त्यांना कल्पनाशक्ती दिली जाईल.

फासे कसे रोल करावे.
डाईस केवळ वेगवेगळ्या आकारातच येत नाहीत, तर त्यांच्यात खेळण्याचेही वेगवेगळे मार्ग आहेत. काही गेममध्ये रोल विशिष्ट प्रकारे बनविला जाणे आवश्यक असते, सामान्यत: गणना केलेली रोल टाळण्यासाठी किंवा झुकलेल्या स्थितीत मरण्यापासून रोखण्यासाठी. कधीकधी फसवणूक होऊ नये किंवा प्ले टेबलवरून खाली पडू नये यासाठी एक विशेष ग्लास त्यांच्याशी जोडला जातो. क्रेपच्या इंग्रजी गेममध्ये, फसवणूक करणार्\u200dयांना फक्त फासे हलवून थ्रो फेकण्यापासून रोखण्यासाठी, तिन्ही फासे आवश्यकतेने गेम टेबलवर किंवा भिंतीवर आदळले पाहिजेत, परंतु ते वळत नाहीत.

यादृच्छिकता आणि संभाव्यता.
डाई नेहमीच यादृच्छिक परिणाम देते ज्याचा अंदाज येऊ शकत नाही. एका मरणानंतर, खेळाडूला 1 ते 6 रोल होण्याची अनेक शक्यता असते - सर्व काही योगायोगाने निश्चित केले जाते. उलटपक्षी, दोन फासेसह, यादृच्छिकतेची पातळी कमी होते, कारण खेळाडूकडे निकालाबद्दल अधिक माहिती असते: उदाहरणार्थ, दोन फासे सह, 7 क्रमांक अनेक प्रकारे मिळवता येतो - 1 आणि 6, 5 आणून 2 किंवा 4 आणि 3 ... परंतु क्रमांक 2 मिळविण्याची संधी फक्त एक आहे: दोनदा रोलिंग 1. अशा प्रकारे, 2 मिळवण्यापेक्षा 7 मिळण्याची शक्यता जास्त आहे! याला संभाव्यता सिद्धांत म्हणतात. बरेच खेळ या तत्त्वाशी संबंधित आहेत, विशेषत: रोख खेळ.

फासे वापरावर
इतर घटकांशिवाय पासा हा स्वतंत्र खेळ असू शकतो. केवळ एकाच घनसाठी खेळ ही प्रत्यक्षरित्या अस्तित्त्वात नाही. नियमांना कमीतकमी दोन आवश्यक आहेत (उदाहरणार्थ, क्रेप). फासे पोकर खेळण्यासाठी आपल्याकडे पाच फासे, एक पेन आणि कागद आवश्यक आहेत. एका खास टेबलमध्ये त्यांच्यासाठी गुण लिहून त्याच नावाच्या कार्ड गेमच्या संयोजनांसारखेच संयोजन भरण्याचे उद्दीष्ट आहे. याव्यतिरिक्त, क्यूब बोर्डाच्या खेळासाठी एक अतिशय लोकप्रिय भाग आहे, ज्यामुळे आपल्याला चिप्स हलविता येतो किंवा गेमच्या लढायांचा निकाल निश्चित होतो.

डाई टाकले जाते.
इ.स.पू. 49 मध्ये. ई. तरुण ज्यूलियस सीझरने गॉलवर विजय मिळवला आणि पोम्पे येथे परतला. परंतु त्यांच्या शक्तीने सेनेटरांमध्ये चिंता निर्माण केली, ज्यांनी परत येण्यापूर्वी आपले सैन्य तोडण्याचा निर्णय घेतला. भावी सम्राट, प्रजासत्ताकाच्या सीमेवर येऊन पोहोचला आणि सैन्यासह ओलांडून ऑर्डरचे उल्लंघन करण्याचा निर्णय घेतला. रुबिकॉन (सीमेवरची नदी) ओलांडण्यापूर्वी, त्याने आपल्या सैनिकांना "अलेआ जस्ता इस्स्ट" ("लॉट टाकले") सांगितले. हा डिक्युम एक झेल वाक्यांश बनला आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की खेळाप्रमाणे काही निर्णय घेतल्यानंतर मागे हटविणे शक्य होणार नाही.

गमसूत्रावर डिझायनर टायलर सिग्मन यांनी लिहिलेले. मी त्यास प्रेमापोटी "ओआरसीच्या नाकपुड्यांमधील केस" असे म्हटले आहे, परंतु गेममध्ये संभाव्यतेची मुलभूत गोष्टी सांगणे हे एक चांगले कार्य करते.

या आठवड्याचा विषय

आजपर्यंत आपण ज्या जवळजवळ बोललो आहोत त्या प्रत्येक गोष्ट निरोधक आहे आणि गेल्या आठवड्यात आम्ही ट्रान्झिटिव्ह मेकॅनिक्सवर बारीक नजर टाकली आणि मी त्यास जितके तपशील सांगू शकेन त्यानुसार सुसज्ज केले. परंतु आतापर्यंत आम्ही बर्\u200dयाच खेळांच्या विशाल पैलूकडे लक्ष दिले नाही, म्हणजेच विना-निरोधक पैलू, दुस words्या शब्दांत, यादृच्छिकपणा. गेम डिझाइनर्ससाठी यादृच्छिकतेचे स्वरुप समजणे फार महत्वाचे आहे कारण आम्ही अशा गेम तयार करतो ज्या एखाद्या गेममधील प्लेअरच्या अनुभवावर परिणाम करतात, म्हणून या सिस्टम कशा कार्य करतात हे आम्हाला माहित असणे आवश्यक आहे. जर सिस्टममध्ये यादृच्छिकपणा असेल तर आपण ते समजून घेणे आवश्यक आहे निसर्गआम्हाला आवश्यक असलेले निकाल मिळविण्यासाठी हे यादृच्छिकता आणि ते कसे बदलावे.

फासा

चला काही सोप्या गोष्टीसह प्रारंभ करू: फासे रोलिंग. जेव्हा बहुतेक लोक फासेचा विचार करतात तेव्हा ते डी -6 म्हणून ओळखल्या जाणार्\u200dया सहा बाजूंनी मरण्याचा विचार करतात. परंतु बर्\u200dयाच गेम्सनी इतर बर्\u200dयाच पासे पाहिले आहेत: टेट्राहेड्रल (डी 4), ऑक्टेड्रल (डी 8), बारा (डी 12), वीस (डी 20) ... आणि जर आपण उपस्थितगीक, आपल्याकडे कदाचित 30-बाजूंनी किंवा 100-बाजूंनी हाडे असू शकतात. आपण या संज्ञेविषयी परिचित नसल्यास, "डी" म्हणजे मरणे आणि त्यानंतरची संख्या, त्याचे किती चेहरे आहेत. जर ए समोर“डी” म्हणजे एका संख्येचा अर्थ, मग त्याचा अर्थ प्रमाण फासे तेव्हा फासे. उदाहरणार्थ, एकाधिकारात, आपण 2d6 रोल करा.

तर, या प्रकरणात, "फासे" हा शब्द एक पारंपरिक पदनाम आहे. असे बरेच इतर यादृच्छिक संख्येचे जनरेटर आहेत जे प्लास्टिकच्या ढेकूळ्याच्या आकारात नाहीत, परंतु 1 ते एन पर्यंत यादृच्छिक संख्या निर्माण करण्याचे समान कार्य करतात. एक सामान्य नाणे डी 2 डायहेड्रल म्हणून देखील विचार केला जाऊ शकतो. मी सात बाजू असलेल्या फासेच्या दोन डिझाईन्स पाहिल्या: एक फासे सारखा दिसत होता, तर दुसरा लाकडी पेन्सिलसारखा दिसत होता. टेट्राशेड्रल ड्रिइडल (ज्याला टायटोटम देखील म्हणतात) हे टेट्राशेड्रल हाडांशी एकरूप आहे. गेम “चुट्स अँड लेडर” मध्ये फिरणार्\u200dया बाणांसह खेळण्याचे मैदान, ज्याचा निकाल 1 ते 6 पर्यंत मिळू शकेल, हेक्स फासाशी संबंधित. संगणकामध्ये यादृच्छिक क्रमांकाचा क्रमांक जनरेटर 1 ते 19 पर्यंत कोणतीही संख्या तयार करू शकतो, परंतु संगणकात तेथे १ ided बाजू असलेला फासे नसले तरी (सर्वसाधारणपणे, मी क्रमांक मिळविण्याच्या संभाव्यतेबद्दल अधिक तपशीलवार चर्चा करतो) येथे संगणकावर पुढेआठवडा). या वस्तू सर्व भिन्न दिसल्या तरी त्या प्रत्यक्षात सारख्याच आहेत: कित्येक परीणामांपैकी एक मिळण्याची आपणास समान संधी आहे.

पासाचे काही मनोरंजक गुणधर्म आहेत ज्याबद्दल आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे. प्रथम, कोणत्याही चेहर्यावर पडण्याची शक्यता समान आहे (मी असे गृहित धरत आहे की आपण अनियमित भौमितिक आकार नव्हे तर आपण योग्य डाई रोल करीत आहात). अशा प्रकारे, आपण जाणून घेऊ इच्छित असल्यास म्हणजे फेकणे (ज्यांना संभाव्यतेच्या विषयावर “गणिताची अपेक्षित” म्हणून पसंती आहे त्यांच्यातही ओळखले जाते), सर्व काठाचे मूल्ये एकत्र करून या बेरीजचे विभाजन करा प्रमाणचेहरे. प्रमाणित सहा-बाजूंनी मरण्यासाठीची सरासरी रोल 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21 आहे, सरासरी 21/6 \u003d 3.5 मिळविण्यासाठी कडा (6) च्या संख्येने विभाजित करा. हे एक विशेष प्रकरण आहे कारण आम्ही असे गृहीत धरतो की सर्व परिणाम तितकेच संभव आहेत.

आपल्याकडे खास फासे असल्यास काय? उदाहरणार्थ, मी काठावर विशेष स्टिकर्स असलेला षटकोनी फासे असलेला एक खेळ पाहिला: 1, 1, 1, 2, 2, 3, म्हणून ते 2 पेक्षा 1 नंबर मिळविण्याच्या अधिक चांगल्या संधीसह विचित्र त्रिकोणी पासासारखे वर्तन करते, आणि 2 पेक्षा 3. या मरण्यासाठी सरासरी रोल मूल्य किती आहे? तर, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, 6 ने विभाजित, 5/3 किंवा साधारण 1.66 इतके असेल. म्हणून जर आपल्याकडे असा खास मरणार असेल आणि खेळाडू तीन फासे फेडतील आणि मग त्यात निकाल वाढतील तर आपणास माहित आहे की त्यांचे अंदाजे एकूण अंदाजे 5 असेल आणि आपण या समजानुसार गेम संतुलित करू शकता.

फासे आणि स्वातंत्र्य

मी म्हटल्याप्रमाणे, आम्ही असे मानतो की प्रत्येक चेहरा तितकाच कमी पडण्याची शक्यता आहे. आपण किती फासे कराल हे महत्त्वाचे नाही. फासे प्रत्येक रोल जे काही, याचा अर्थ असा की मागील थ्रो नंतरच्या परिणामांवर परिणाम करीत नाहीत. पुरेशी चाचण्या सह, आपण आवश्यक आहे सूचना मोठ्या संख्येने मोठ्या किंवा लहान मूल्यांमधून किंवा इतर वैशिष्ट्यांमधून बाहेर पडण्यासारख्या संख्येची एक "मालिका" आणि नंतर आपण त्याबद्दल बोलू पण याचा अर्थ असा नाही की फासे "गरम" किंवा "थंड" आहेत. जर आपण प्रमाणित सहा-बाजूंनी मरत रहाल आणि 6 क्रमांक सलग दोनदा आला तर पुढील रोल 6 मध्ये होईल याची शक्यता देखील 1/6 आहे. घन “वार्म अप” झाल्याची शक्यता वाढविली जात नाही. संभाव्यता कमी होत नाही, कारण 6 क्रमांक सलग दोन वेळा खाली घसरला, याचा अर्थ असा आहे की आता दुसरा चेहरा बाहेर पडेल. (अर्थात, जर तुम्ही वीस वेळा पासा फेडला आणि प्रत्येक वेळी number नंबर आला की एकवीसवेळा 6 व्या क्रमांकावर येण्याची शक्यता खूपच जास्त आहे ... कारण याचा अर्थ असा आहे की आपल्याकडे चुकीचा फासे आहे!) परंतु आपल्याकडे योग्य फासे असल्यास, इतर रोलच्या परिणामाकडे दुर्लक्ष करून प्रत्येक चेहर्यावरुन पडण्याची शक्यता समान आहे. आपण अशी कल्पना देखील करू शकता की प्रत्येक वेळी जेव्हा आम्ही मरण्याऐवजी बदलतो, म्हणून जर 6 क्रमांक सलग दोनदा आला तर गेममधून "हॉट" डाई काढा आणि त्यास नवीन सहा-बाजूने मरुन बदला. आपल्यापैकी कोणालाही याबद्दल आधीच माहिती असल्यास मला दिलगीर आहे, परंतु पुढे जाण्यापूर्वी मला हे स्पष्ट करण्याची आवश्यकता आहे.

अधिक किंवा कमी यादृच्छिक फासे कोसळणे कसे

वेगवेगळ्या फासेवर भिन्न परिणाम कसे मिळवायचे याबद्दल बोलूया. जर आपण फक्त एकदाच किंवा कित्येकदा फासे फिरवला तर, फासाला अधिक कडा असल्यास खेळ अधिक यादृच्छिक दिसेल. आपण जितके अधिक पासे कराल किंवा जितके अधिक फासे कराल तितके परिणाम सरासरीच्या जवळ येतील. उदाहरणार्थ, जर आपण 1 डी 6 + 4 रोल केले तर (म्हणजेच एकदा प्रमाणित हेक्स फासे एकदा आणि परिणामी 4 जोडले), सरासरी 5 ते 10 आहे. जर तुम्ही 5 डी 2 रोल केले तर सरासरी देखील 5 ते 10 आहे. सहा बाजूंनी फासे, 5, 8 किंवा 10 क्रमांक मिळण्याची शक्यता समान आहे. 5 डी 2 टाकल्याचा परिणाम मुख्यत: 7 आणि 8 क्रमांक असेल, इतर मूल्ये कमी वेळा. समान मालिका, अगदी समान सरासरी (दोन्ही प्रकरणांमध्ये 7.5), परंतु यादृच्छिकतेचे स्वरूप भिन्न आहे.

एक मिनिट थांब. मी फक्त असे म्हटले नाही की पासे गरम किंवा थंड होत नाहीत? आता मी असे म्हणत आहे की आपण बर्\u200dयापैकी पासे रोल केले तर रोल सरासरीच्या जवळ येतात का? का?

मला समजावून सांगा. आपण टाकल्यास एकफासे, प्रत्येक चेहर्यावरुन पडण्याची शक्यता समान आहे. याचा अर्थ असा की आपण बर्\u200dयाच फासे रोल केल्या तर प्रत्येक चेहरा काही कालावधीत अंदाजे समान वेळा बाहेर पडतो. आपण जितके अधिक फासे कराल तितके एकत्रित निकाल सरासरीच्या जवळ येतील. हे नाही कारण सोडलेली संख्या बाहेर काढलेली अजून एक संख्या बनवते. परंतु 6 (किंवा 20, किंवा इतर काही संख्या) ची एक लहान मालिका शेवटी जास्त फरक पडणार नाही जर आपण दहा हजार वेळा आणखी डाईस घातला आणि मुळात सरासरी निघून जाईल ... कदाचित आता आपल्याकडे काही संख्ये असतील उच्च मूल्यासह, परंतु नंतर कदाचित काही संख्या कमी मूल्यासह आणि कालांतराने ते सरासरी मूल्याकडे जातील. मागील रोल्स फासेवर परिणाम करतात म्हणून नव्हे (गंभीरपणे, एक फासे बनलेला आहे) प्लास्टिक, तिच्याकडे विचार करण्याचा मेंदू नाही: "अरे, हे बर्\u200dयाच काळापासून गुंडाळले जात नाही"), परंतु बहुतेकदा मोठ्या संख्येने पासे रोलसह हेच घडते. पुनरावृत्ती होणार्\u200dया संख्यांची एक छोटी मालिका मोठ्या संख्येने निकालात जवळजवळ अदृश्य होईल.

अशा प्रकारे, फासेच्या एका यादृच्छिक रोलसाठी गणना करणे अगदी सोपे आहे, किमान सरासरी रोल मूल्याची गणना करणे तरी. "किती यादृच्छिक" आहे हे मोजण्याचे मार्ग देखील आहेत, असे म्हणण्याचा एक मार्ग आहे की 1 डी 6 + 4 रोलिंगचे निकाल 5 डी 2 पेक्षा "अधिक यादृच्छिक" असतील, 5 डी 2 साठी निकालांचे वितरण आणखीनच होईल, सहसा यासाठी आपण प्रमाण विचलनाची गणना करा आणि अधिक मूल्य, अधिक यादृच्छिक निकाल लागतील परंतु यासाठी मी आज देऊ इच्छित असलेल्यापेक्षा अधिक गणना आवश्यक आहे (मी नंतर या विषयाचे स्पष्टीकरण देईन). फक्त मी तुम्हाला सांगण्यासाठीच विचारत आहे की सामान्य नियम म्हणून, कमी पासे रोल केलेले असतात, यादृच्छिकता जास्त असते. आणि या विषयावर आणखी एक जोडः आपल्याकडे अधिक पर्याय असल्याने पासाचा चेहरा जितका चेहरा तितका अधिक यादृच्छिकता आहे.

मोजणी करून संभाव्यतेची गणना कशी करावी

आपणास आश्चर्य वाटेल: विशिष्ट निकाल मिळण्याची अचूक संभाव्यता आम्ही कशी मोजू शकतो? बर्\u200dयाच गेमसाठी हे खरोखरच महत्वाचे आहे कारण आपण फासे फिरवत असाल तर सुरुवातीला काही चांगल्या परिणामाची शक्यता असते. उत्तर आहे: आम्हाला दोन मूल्ये मोजणे आवश्यक आहे. प्रथम, फासेच्या रोलवर जास्तीत जास्त निकालांची मोजणी करा (परिणाम काय असेल तरीही). मग अनुकूल निकालांची संख्या मोजा. प्रथमद्वारे दुसर्\u200dया मूल्याचे विभाजन करून, आपल्याला पाहिजे असलेली संभाव्यता मिळेल. टक्केवारी मिळविण्यासाठी, आपला निकाल 100 ने गुणाकार करा.

उदाहरणे:

येथे एक अतिशय सोपी उदाहरण आहे. एकदा आपण हेक्स फासे एकदा रोल आणि रोल करण्यासाठी 4 किंवा त्यापेक्षा जास्त आकाराचे इच्छित आहात. परिणामांची जास्तीत जास्त संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) आहे. यापैकी 3 निकाल (4, 5, 6) अनुकूल आहेत. तर, संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, 3 ने 6 ने विभाजित करा आणि 0.5 किंवा 50% मिळवा.

हे एक उदाहरण आहे जे थोडे अधिक क्लिष्ट आहे. आपल्याला 2 डी 6 रोल वर सम क्रमांक मिळवायचा आहे. जास्तीत जास्त निकालांची संख्या 36 (प्रत्येक मृत्यूसाठी 6 असते आणि एका मृत्यूमुळे दुसर्\u200dयावर परिणाम होत नाही, म्हणून आम्ही 6 परिणाम 6 ने गुणाकार 36 करतो.) या प्रकारच्या प्रश्नाची अडचण म्हणजे दोनदा मोजणे सोपे आहे. उदाहरणार्थ, 2 डी 6 रोलवर 3 च्या निकालासाठी प्रत्यक्षात दोन पर्याय आहेतः 1 + 2 आणि 2 + 1. ते समान दिसत आहेत, परंतु फरक असा आहे की प्रथम डाईवर कोणती संख्या दर्शविली जाते आणि दुसर्\u200dया क्रमांकावर. आपण अशी कल्पना देखील करू शकता की फासे वेगवेगळ्या रंगाचे आहेत, उदाहरणार्थ, या प्रकरणात, एक फासे लाल आणि दुसरा निळा आहे. तर सम संख्येच्या पर्यायांची संख्या मोजा: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). हे आढळले की 36 पैकी अनुकूल परिणामासाठी 18 पर्याय आहेत, मागील प्रकरणांप्रमाणे, संभाव्यता 0.5 किंवा 50% असेल. कदाचित अनपेक्षित, परंतु अगदी अचूक.

माँटे कार्लो सिमुलेशन

आपल्याकडे मोजण्याइतके फासे असल्यास काय? उदाहरणार्थ, आपण संभाव्यता काय आहे हे जाणून घेऊ इच्छित आहात की एकूण 15 किंवा त्यापेक्षा जास्त 8 डी 6 रोलवर आणले जातील. आठ फासे साठी, बरेच भिन्न वैयक्तिक परिणाम आहेत आणि व्यक्तिचलितपणे त्यांची मोजणी करण्यास बराच वेळ लागेल. जरी आपल्याला फासे रोलच्या वेगवेगळ्या मालिका गटबद्ध करण्यासाठी काही चांगले समाधान सापडले तरीही, मोजण्यासाठी अद्याप बराच वेळ लागेल. या प्रकरणात, संभाव्यतेची गणना करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे तो स्वत: मोजणे नव्हे तर संगणक वापरणे होय. संगणकावर संभाव्यतेची गणना करण्याचे दोन मार्ग आहेत.

अचूक उत्तर मिळविण्यासाठी पहिली पद्धत वापरली जाऊ शकते, परंतु त्यात थोडे प्रोग्रामिंग किंवा स्क्रिप्टिंग समाविष्ट आहे. मूलभूतपणे, संगणक प्रत्येक संधीकडे लक्ष देईल, पुनरावृत्तीची एकूण संख्या आणि इच्छित परिणामाशी जुळणारी पुनरावृत्तीची संख्या मोजेल आणि नंतर उत्तर देईल. आपला कोड यासारखे दिसू शकेल:

इंट विंकॉन्ट \u003d 0, एकूण खाते \u003d 0;

साठी (इंट i \u003d 1; i)<=6; i++) {

साठी (इंट j \u003d 1; j<=6; j++) {

साठी (इंट के \u003d 1; के<=6; k++) {

… // येथे आणखी लूप घाला

जर (i + j + k +…\u003e \u003d 15) (

फ्लोट संभाव्यता \u003d विनकउंट / टोटलकाउंट;

आपण प्रोग्रामिंगशी परिचित नसल्यास आणि आपल्याला फक्त खोडसाळपणा, परंतु अंदाजे उत्तर आवश्यक असल्यास आपण एक्सेलमध्ये या परिस्थितीचे अनुकरण करू शकता, जिथे आपण 8d6 कित्येक हजार वेळा टॉस करून उत्तर मिळवा. एक्सेलमध्ये 1d6 टाकण्यासाठी खालील सूत्र वापरा:

फ्लोअर (रँड () * 6) +1

अशा परिस्थितीचे एक नाव आहे जिथे आपल्याला उत्तर माहित नाही आणि बर्\u200dयाचदा प्रयत्न करा - मोंटे कार्लो सिमुलेशनआणि आपण संभाव्यतेची गणना करण्याचा प्रयत्न करीत असताना हे वापरण्याचे एक उत्तम समाधान आहे आणि ते खूप अवघड आहे. मोठी गोष्ट म्हणजे या प्रकरणात, आपल्याला गणिताची गणना कशी कार्य करते हे समजून घेण्याची आवश्यकता नाही, आणि आम्हाला हे माहित आहे की उत्तर "खूप चांगले" असेल कारण आपल्याला आधीपासूनच माहित आहे की, जितके जास्त फेकले जाईल तितके अधिक परिणाम सरासरी मूल्यापर्यंत पोहोचतो.

स्वतंत्र चाचण्या एकत्र कसे करावे

आपण एकाधिक पुनरावृत्ती परंतु स्वतंत्र आव्हानांबद्दल विचारल्यास, एका रोलच्या परिणामाचा परिणाम इतर रोलच्या परिणामावर होत नाही. या परिस्थितीसाठी आणखी एक सोपी स्पष्टीकरण आहे.

अवलंबून असलेल्या आणि स्वतंत्र गोष्टींमध्ये फरक कसा करावा? मूलभूतपणे, जर आपण फासेच्या प्रत्येक रोलला (किंवा रोलची मालिका) वेगळा कार्यक्रम म्हणून वेगळे करू शकत असाल तर ते स्वतंत्र आहे. उदाहरणार्थ, आम्हाला 8 डी 6 वर एकूण 15 रॉल करायचे असल्यास, हे प्रकरण एकाधिक स्वतंत्र फासे रोलमध्ये विभागले जाऊ शकत नाही. परिणामासाठी आपण सर्व फासेच्या मूल्यांची बेरीज मोजली आहे, एका फासावर पडलेल्या परिणामाचा परिणाम दुस d्या फासावर पडणा the्या परिणामांवर होतो, कारण सर्व मूल्ये जोडल्यास आपल्याला अपेक्षित निकाल मिळेल .

येथे स्वतंत्र थ्रो चे एक उदाहरण आहे: आपण फासे सह खेळत आहात आणि आपण बर्\u200dयाच वेळा हेक्स पासा फेकत आहात. गेममध्ये राहण्यासाठी, आपली प्रथम रोल 2 किंवा त्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. दुसर्\u200dया रोलसाठी, 3 किंवा त्याहून अधिक. तिसर्\u200dयाला 4 किंवा त्याहून अधिक आवश्यक आहे, चौथ्यास 5 किंवा त्यापेक्षा जास्त आवश्यक आहे आणि पाचव्याला 6 आवश्यक आहेत. जर सर्व पाच रोल यशस्वी असतील तर आपण जिंकता. या प्रकरणात, सर्व रोल स्वतंत्र आहेत. होय, जर एखादा थ्रो अयशस्वी झाला तर त्याचा परिणाम संपूर्ण खेळाच्या परिणामावर होईल, परंतु एका फेक्याने दुसर्\u200dया थ्रोवर परिणाम होणार नाही. उदाहरणार्थ, जर फासेची आपली दुसरी रोल खूपच यशस्वी झाली असेल तर पुढच्या रोल तितक्या यशस्वी होण्याच्या शक्यतेवर याचा कोणताही परिणाम होत नाही. म्हणून, आम्ही फासेच्या प्रत्येक रोलची संभाव्यता स्वतंत्रपणे विचारात घेऊ शकतो.

आपल्याकडे स्वतंत्र, स्वतंत्र संभाव्यता असल्यास आणि संभाव्यता काय आहे हे जाणून घेऊ इच्छित असल्यास सर्व कार्यक्रम येतील, आपण प्रत्येक वैयक्तिक संभाव्यता निश्चित कराल आणि त्यास गुणाकार कराल. दुसरा मार्ग: आपण कंडिशन वापरत असल्यास “आणि” अनेक अटींचे वर्णन करण्यासाठी (उदाहरणार्थ, यादृच्छिक घटनेची संभाव्यता किती आहे आणि काही इतर स्वतंत्र यादृच्छिक कार्यक्रम?), वैयक्तिक संभाव्यता मोजा आणि त्यांना गुणाकार करा.

आपणास काय वाटते ते काही फरक पडत नाही कधीही नाहीस्वतंत्र संभाव्यता जोडू नका. ही एक सामान्य चूक आहे. हे का चुकीचे आहे हे समजण्यासाठी, जेव्हा आपण 50/50 नाणे पलटवित आहात अशा परिस्थितीची कल्पना करा, आपल्याला सलग दोन वेळा "डोकं" घालण्याची संभाव्यता काय आहे हे जाणून घ्यायचे आहे. प्रत्येक बाजूने मारण्याची शक्यता 50% आहे, म्हणून जर आपण या दोन संभाव्यता जोडल्या तर आपल्याकडे डोके मारण्याची 100% शक्यता आहे परंतु हे आपल्याला ठाऊक आहे की हे खरं नाही कारण सलग दोन वेळा डोके मिळू शकते. त्याऐवजी आपण या दोन संभाव्यतेची गुणाकार केल्यास आपल्याला 50% * 50% \u003d 25% मिळेल जे सलग दोनदा डोके मारण्याच्या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी योग्य उत्तर आहे.

उदाहरण

चला सहा-बाजू असलेला फासेसह परत गेमवर जाऊ या, जेथे आपल्याला प्रथम 2 पेक्षा जास्त, नंतर 3 पेक्षा जास्त इत्यादी मिळवणे आवश्यक आहे. to. What. टॉसच्या दिलेल्या मालिकेत सर्व निकाल अनुकूल असण्याची शक्यता काय आहे?

वर म्हटल्याप्रमाणे, ही स्वतंत्र चाचण्या आहेत आणि म्हणून आम्ही प्रत्येक वैयक्तिक रोलसाठी संभाव्यतेची गणना करतो आणि नंतर त्यास गुणाकार करतो. पहिल्या रोलचा निकाल अनुकूल असण्याची शक्यता 5/6 आहे. दुसरा 4/6 आहे. तिसरा 3/6 आहे. चौथा - 2/6, पाचवा - 1/6. आम्ही हे सर्व निकाल गुणाकार करतो आणि आम्हाला सुमारे 1.5% मिळते ... अशाप्रकारे, या गेममध्ये जिंकणे फारच दुर्मिळ आहे, म्हणून जर आपण आपल्या गेममध्ये हे घटक जोडले तर आपल्याला बर्\u200dयापैकी मोठ्या जॅकपॉटची आवश्यकता असेल.

नकारात्मक

येथे आणखी एक उपयुक्त संकेत आहेः काहीवेळा घटना घडून येण्याची संभाव्यता मोजणे कठिण असते परंतु इव्हेंटची शक्यता किती आहे हे निर्धारित करणे सोपे आहे येणार नाही.

उदाहरणार्थ, समजा आमच्याकडे दुसरा गेम आहे आणि आपण 6 डी 6 ला रोल कराल आणि जर एकदा तरी 6 रोल केलेले आहे, आपण जिंकता. जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

या प्रकरणात, गणना करण्यासाठी बरेच पर्याय आहेत. हे शक्य आहे की एक नंबर 6 सोडला जाईल, म्हणजे. फासेपैकी एकावर number नंबर आणला जाईल आणि दुसर्\u200dया क्रमांकावर १ ते from पर्यंत, आणि त्यामध्ये options पर्याय आहेत ज्यापैकी पासापैकी कोणत्या क्रमांकाची संख्या 6. असेल तर तुम्हाला दोन फासेवर 6 नंबर मिळू शकेल, किंवा तीन किंवा त्याहूनही अधिक आणि प्रत्येक वेळी आम्हाला वेगळी गणना करणे आवश्यक आहे, म्हणून याबद्दल गोंधळ होणे सोपे आहे.

परंतु या समस्येचे निराकरण करण्याचा आणखी एक मार्ग आहे, चला त्याकडे दुसरीकडे पाहूया. आपण गमावणेतर ए काहीही नाही 6 क्रमांक फासे बाहेर पडणार नाही या प्रकरणात आमच्याकडे सहा स्वतंत्र चाचण्या आहेत, त्या प्रत्येकाची संभाव्यता 5/6 आहे (6 सोडून इतर कोणतीही संख्या फासावर दिसू शकते). त्यांना गुणाकार करा आणि आपल्याला सुमारे 33% मिळेल. अशा प्रकारे, हरण्याची शक्यता २०१ in मध्ये १ आहे.

म्हणून, जिंकण्याची शक्यता 67% (किंवा 2 ते 3) आहे.

हे या उदाहरणावरून स्पष्ट आहे आपण हा कार्यक्रम होणार नाही या संभाव्यतेचा विचार केल्यास आपण निकाल 100% पासून वजा करणे आवश्यक आहे. जर जिंकण्याची शक्यता 67% असेल तर संभाव्यता गमावू — 100% वजा 67%, किंवा 33%. आणि उलट. एखाद्या संभाव्यतेची गणना करणे कठिण असल्यास, परंतु त्यास उलट गणना करणे, उलट गणना करणे आणि नंतर 100% वजा करणे सोपे आहे.

एका स्वतंत्र चाचणीसाठी एकत्रित अटी

मी अगदी वर म्हटले आहे की स्वतंत्र चाचण्यांमध्ये आपण कधीही संभाव्यतेची बेरीज करू नये. अशी काही प्रकरणे आहेत जेथे करू शकतासंभाव्यतेची बेरीज करायची? - होय, एका विशेष परिस्थितीत.

एकाच चाचणीत आपल्याला अनेक असंबंधित अनुकूल परीणामांची संभाव्यता मोजायची असल्यास, प्रत्येक अनुकूल परिणामाची संभाव्यता जोडा. उदाहरणार्थ, 1d6 वर 4, 5 किंवा 6 क्रमांक मिळण्याची शक्यता आहे बेरीज क्रमांक getting मिळण्याची संभाव्यता, 5 नंबर मिळण्याची संभाव्यता आणि getting. नंबर मिळण्याची संभाव्यता आपण या परिस्थितीची खालीलप्रमाणे कल्पना देखील करू शकताः आपण संभाव्यतेबद्दलच्या प्रश्नामध्ये “किंवा” संयोजन वापरल्यास (उदाहरणार्थ , संभाव्यता काय आहे किंवा एका यादृच्छिक घटनेचा भिन्न परिणाम?), वैयक्तिक संभाव्यतेची गणना करा आणि त्यांचा बेरीज करा.

लक्षात ठेवा की आपण जोडता तेव्हा सर्व शक्य परिणाम खेळ, सर्व संभाव्यतेची बेरीज 100% इतकी असणे आवश्यक आहे. जर रक्कम 100% नसेल तर आपली गणना चुकीची होती. आपल्या गणितांची पुन्हा तपासणी करण्याचा हा एक चांगला मार्ग आहे. उदाहरणार्थ, जर आपण पोकरमध्ये सर्व हात मारण्याच्या संभाव्यतेचे विश्लेषण केले, जर आपण सर्व निकाल जोडले तर आपल्याला अगदी अचूक 100% (किंवा किमान 100% च्या जवळील मूल्य प्राप्त झाले पाहिजे), जर आपण कॅल्क्युलेटर वापरत असाल तर, आपल्याकडे असू शकतात एक छोटी गोलाकार त्रुटी, परंतु आपण हातांनी अचूक संख्या जोडल्यास ते कार्य केले पाहिजे.) जर बेरीज जोडली गेली नाही तर बहुधा आपण काही संयोजन विचारात घेतले नाहीत किंवा काही जोडांच्या संभाव्यतेची चुकीची गणना केली आहे आणि नंतर आपल्याला आपली गणना दोनदा तपासण्याची आवश्यकता आहे.

असमान संभाव्यता

आत्तापर्यंत आम्ही असे गृहित धरले आहे की पासाचा प्रत्येक चेहरा समान कालावधीने बाहेर पडतो, कारण फासे अशा प्रकारे कार्य करतात. परंतु कधीकधी आपल्याला अशा परिस्थितीला सामोरे जावे लागते जेव्हा भिन्न परीणाम शक्य आहेत आणि त्या आहेत भिन्न बाहेर पडण्याची शक्यता उदाहरणार्थ, "न्यूक्लियर वॉर" कार्ड गेमच्या addड-ऑन्समध्ये बाणाचे एक खेळण्याचे मैदान आहे, ज्यावर रॉकेटच्या प्रक्षेपणाचा परिणाम अवलंबून असतो: मुळात ते सामान्य नुकसान, सामर्थ्यवान किंवा कमकुवत, परंतु काहीवेळा तोटा दोन किंवा तीन वेळा वाढविला जातो, किंवा रॉकेट लॉन्च पॅडवर फुटतो आणि आपणास दुखवतो, किंवा दुसरी घटना उद्भवते. “च्यूट्स अँड लेडर” किंवा “एक गेम ऑफ लाईफ” मधील बाणासह खेळाचे मैदान विपरीत, “परमाणु युद्ध” मधील खेळाच्या मैदानाचे निकाल असमान आहेत. खेळण्याच्या क्षेत्राचे काही भाग मोठे असतात आणि बाण त्यांच्याकडे अधिक वेळा थांबतो, तर इतर विभाग खूपच लहान असतात आणि बाण त्यांच्याकडे क्वचितच थांबतो.

तर, पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हाड असे काहीतरी दिसते: 1, 1, 1, 2, 2, 3; आम्ही आधीपासूनच याबद्दल बोललो आहोत, हे वजन 1 डी 3 सारखे आहे, म्हणून आपल्याला या सर्व विभागांना समान भागांमध्ये विभाजन करणे आवश्यक आहे, मोजण्याचे सर्वात लहान एकक शोधणे आवश्यक आहे, जे सर्वकाहीचे बहुगुणित आहे आणि नंतर परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करते. डी 522 (किंवा इतर काही), जेथे फासे चे अनेक चेहरे समान परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करतील, परंतु अधिक निकालांसह. आणि ही समस्या सोडवण्याचा एक मार्ग आहे, आणि तो तांत्रिकदृष्ट्या व्यवहार्य आहे, परंतु एक सोपा मार्ग आहे.

चला परत आमच्या स्टँडर्ड हेक्स फासे वर जाऊ. आम्ही म्हटले आहे की सामान्य डाईची सरासरी रोल व्हॅल्यू काढण्यासाठी आपल्याला सर्व काठावरील मूल्यांची बेरीज करणे आवश्यक आहे आणि त्यांना कडाच्या संख्येने विभाजित करणे आवश्यक आहे, परंतु कसे नक्कीगणना प्रगतीपथावर आहे का? आपण ते वेगळ्या प्रकारे ठेवू शकता. षटकोनी पासासाठी, प्रत्येक चेहरा बाहेर पडण्याची शक्यता अगदी 1/6 आहे. आता आपण गुणाकार करतो निर्गमप्रत्येक चेहरा चालू संभाव्यता हा परिणाम (या प्रकरणात, प्रत्येक चेहर्यासाठी 1/6), नंतर आम्ही प्राप्त केलेल्या मूल्यांचा सारांश करतो. तर (1 * 1/66) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , आम्हाला वरील गणना प्रमाणेच निकाल (result..) मिळेल. खरं तर, आम्ही प्रत्येक वेळी हे मोजतो: आम्ही त्या परिणामाच्या संभाव्यतेनुसार प्रत्येक परिणामाची गुणाकार करतो.

न्यूक्लियर वॉरमधील खेळाच्या मैदानावरील नेमबाजांसाठी आपण अशीच गणना करू शकतो? अर्थात आम्ही करू शकतो. आणि आढळले सर्व निकाल जोडल्यास आम्हाला सरासरी मिळते. आपल्याला फक्त तेच आहे की बोर्डवरील बाणांच्या प्रत्येक परिणामाच्या संभाव्यतेची गणना करणे आणि निकालाद्वारे गुणाकार करणे.

आणखी एक उदाहरण

प्रत्येक परिणामाची वैयक्तिक संभाव्यतेने गुणाकार करून सरासरी मोजण्याची ही पद्धत देखील योग्य आहे जर परीणाम तितकेच शक्यता असतील परंतु त्याचे भिन्न फायदे आहेत, उदाहरणार्थ आपण मरण पत्करल्यास आणि इतरांपेक्षा काही काठावर अधिक जिंकल्यास. उदाहरणार्थ, कॅसिनो खेळाचा विचार करा: आपण बाजी मारू आणि 2d6 रोल करा. जर सर्वात कमी मूल्यासह तीन संख्या (2, 3, 4) किंवा सर्वाधिक मूल्य असलेल्या चार क्रमांक (9, 10, 11, 12) आले तर आपण आपल्या भागभांडवलाच्या प्रमाणात रक्कम जिंकू शकता. सर्वात कमी आणि सर्वोच्च मूल्यांसह संख्या विशेष आहेत: जर आपण 2 किंवा 12 रोल केले तर आपण जिंकता दुप्पटआपल्या दरापेक्षा इतर कोणतीही संख्या कमी झाल्यास (5, 6, 7, 8), आपण आपली पैज गमावाल. हा एक अतिशय साधा खेळ आहे. पण जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

आपण किती वेळा जिंकू शकता हे मोजून प्रारंभ करूया:

• 2 डी 6 रोलवरील निकालांची कमाल संख्या 36 आहे. किती चांगले निकाल आहेत?
• दोनसाठी 1 आणि बारासाठी 1 पर्याय आहे.
• तीन आणि अकरा बाहेर येण्यासाठी 2 पर्याय आहेत.
• चारसाठी तीन आणि दहासाठी 3 पर्याय आहेत.
• नऊसाठी 4 पर्याय आहेत.
• सर्व पर्यायांचा सारांश, आम्हाला 36 पैकी 16 परीणामांच्या अनुकूल निकालांची संख्या मिळते.

तर, सामान्य परिस्थितीत आपण 36 पैकी 16 वेळा जिंकू शकाल ... जिंकण्याची शक्यता 50% पेक्षा किंचित कमी आहे.

परंतु या 16 पैकी दोन प्रकरणांमध्ये आपण दुप्पट जिंकलात, म्हणजे. हे दोन वेळा जिंकण्यासारखे आहे! जर आपण हा खेळ प्रत्येक वेळी $ 1 चा पैज लावताना 36 वेळा खेळला आणि प्रत्येक संभाव्य निकाल एकदा आला तर आपण $ 18 जिंकू शकता (खरं तर आपण 16 वेळा जिंकलात, परंतु दोन वेळा दोन विजय म्हणून मोजले जातील). आपण 36 वेळा खेळल्यास आणि 18 डॉलर जिंकल्यास याचा अर्थ असा नाही की ही बरोबरीची संधी आहे?

घाई नको. आपण किती हरवू शकता याची मोजणी केल्यास आपण 18 नसाल 20 मिळवाल. आपण प्रत्येक वेळी $ 1 चा सट्टा लावल्यास 36 वेळा खेळल्यास सर्व अनुकूल परिणामांवर आपण एकूण $ 18 जिंकू शकता ... परंतु आपण पराभूत व्हाल सर्व 20 प्रतिकूल परिणामांसह एकूण $ 20 ची रक्कम! परिणामी, आपण थोडे मागे असाल: आपण प्रत्येक games games गेमसाठी सरासरी $ 2 जाळे गमावले (आपण असे देखील म्हणू शकता की दररोज आपण सरासरी $ 1/18 गमावाल). या प्रकरणात चूक करणे आणि संभाव्यतेची चुकीची गणना करणे किती सोपे आहे हे आपण आता पाहू शकता!

परमिटेशन

आतापर्यंत आम्ही असे गृहित धरले आहे की फासे टाकताना क्रमवारी लावण्याने काही फरक पडत नाही. 2 + 4 चा रोल 4 + 2 च्या रोलसारखेच आहे. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, आम्ही अनुकूल परिणामांची संख्या व्यक्तिचलितपणे मोजतो, परंतु काहीवेळा ही पद्धत अव्यवहार्य असते आणि गणिताचा फॉर्म्युला वापरणे चांगले.

या परिस्थितीचे एक उदाहरण म्हणजे फासे असलेल्या “फार्कल” खेळाकडून. प्रत्येक नवीन फेरीसाठी आपण 6d6 रोल करा. आपण भाग्यवान असल्यास आणि सर्व संभाव्य निकाल 1-2-3-4-5-5-6 ("सरळ") असल्यास, आपल्याला मोठा बोनस मिळेल. हे घडण्याची शक्यता काय आहे? या प्रकरणात, या संयोजनासाठी बरेच पर्याय आहेत!

सोल्यूशन असे दिसते: पासापैकी एक (आणि फक्त एक) नंबर 1 असावा! एका पासावरुन नंबर 1 चे किती प्रकार आहेत? सहा, तेथे 6 फासे आहेत आणि त्यापैकी कोणाकडेही 1 संख्या असू शकते. त्यानुसार, एक फासे घ्या आणि बाजूला ठेवा. आता उरलेल्या पासापैकी एकाची संख्या २ असावी. यासाठी पाच पर्याय आहेत. आणखी एक फासे घ्या आणि बाजूला ठेवा. नंतर असे होते की उर्वरित फासेपैकी चार नंबर 3 खाली घसरू शकेल, उर्वरित फासेपैकी तीन वर क्रमांक 4 खाली घसरू शकेल, दोन वर - संख्या 5 आणि परिणामी आपल्याकडे एक पासा आहे ज्यावर 6 नंबर पाहिजे पडणे (नंतरच्या प्रकरणात मरण एक आहे आणि पर्याय नाही). “सरळ” संयोजनासाठी अनुकूल निकालांची संख्या काढण्यासाठी आम्ही सर्व भिन्न, स्वतंत्र पर्यायांची गुणाकार करतो: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - असे दिसते की या संयोजनात बरेच पर्याय आहेत.

सरळ होण्याची संभाव्यता मोजण्यासाठी, आम्हाला 6 डी 6 रोलच्या सर्व संभाव्य निकालांच्या संख्येनुसार 720 विभाजित करणे आवश्यक आहे. सर्व संभाव्य निकालांची संख्या किती आहे? प्रत्येक डाईचे 6 चेहरे असू शकतात, म्हणून आम्ही 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (संख्या जास्त मोठी आहे!) गुणाकार करतो. आम्ही 720/46656 चे विभाजन करतो आणि आम्हाला सुमारे 1.5% ची संभाव्यता मिळते. आपण हा गेम डिझाइन करीत असल्यास, हे जाणून घेणे आपल्यास उपयुक्त ठरेल जेणेकरून आपण योग्य स्कोअरिंग सिस्टम तयार करू शकाल. आता आम्हाला समजले आहे की “फार्कल” गेममध्ये आपल्याला “सरळ” संयोजन मिळाल्यास आपल्याला इतका मोठा बोनस का मिळेल, कारण ही परिस्थिती अगदीच दुर्मिळ आहे!

दुसर्\u200dया कारणास्तव निकाल देखील मनोरंजक आहे. उदाहरणावरून हे दिसून येते की थोड्या काळामध्ये, संभाव्यतेशी संबंधित निकाल किती कमी पडतो. अर्थात, जर आपण हजारो पासे फेकत असाल तर, फासेचे वेगवेगळे चेहरे बर्\u200dयाचदा बाहेर पडतात. पण जेव्हा आम्ही जवळजवळ फक्त सहा फासे रोल करतो कधीही नाहीअसे होत नाही की प्रत्येक चेहरा बाहेर पडतो! यातून पुढे जाणे, हे स्पष्ट होते की आता आणखी एक ओळ निघेल, जी अद्याप सोडली नाही, ही अपेक्षा करणे मूर्खपणाचे आहे कारण “आपल्याकडे बर्\u200dयाच काळापासून क्रमांक 6 नाही, म्हणजेच ती आता बाहेर पडेल.” .

ऐका, आपला यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटला आहे ...

हे आपल्याला संभाव्यतेबद्दल सामान्य गैरसमज ठरवते: सर्व परिणाम समान वारंवारतेने समोर येतात असा समज. थोड्या काळासाठीप्रत्यक्षात तसे नाही. जर आम्ही अनेकदा फासे रोल केले तर प्रत्येक काठाची वारंवारता एकसारखी नसते.

आपण यापूर्वी कधीही काही यादृच्छिक संख्येच्या जनरेटरसह ऑनलाइन गेमवर कार्य केले असेल तर आपण बहुधा अशी परिस्थिती उद्भवली आहे की एखाद्या खेळाडूने आपले यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेले आहे आणि यादृच्छिक संख्या दर्शवित नाही असे म्हणण्यासाठी तांत्रिक पाठिंबा दर्शविला आहे. तो या निष्कर्षाप्रत आला, कारण त्याने नुकत्याच एकापाठोपाठ 4 राक्षस ठार केले आणि 4 समान बक्षिसे प्राप्त झाली आणि हे बक्षीस फक्त 10% प्रकरणातच घसरले पाहिजेत, म्हणूनच बहुदा कधिच नाही करू नये घडणेम्हणजेच स्पष्टपणेकी आपला यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेला आहे.

आपण गणिताची गणना करत आहात. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 10,000 मधील 1 च्या बरोबरीचे आहे, याचा अर्थ असा की हा एक दुर्लभ प्रकरण आहे. आणि तेच खेळाडू आपल्याला सांगण्याचा प्रयत्न करीत आहे. या प्रकरणात काही समस्या आहे का?

हे सर्व परिस्थितीवर अवलंबून असते. आता आपल्या सर्व्हरवर किती खेळाडू आहेत? समजू की आपल्याकडे बर्\u200dयापैकी लोकप्रिय खेळ आहे आणि दररोज 100,000 लोक हा खेळतात. किती खेळाडू सलग चार राक्षस मारतील? काहीही शक्य आहे, दिवसातून अनेक वेळा, परंतु समजा त्यापैकी निम्मे लोक लिलावात वेगवेगळ्या वस्तूंची देवाणघेवाण करीत आहेत किंवा आरपी सर्व्हरवर पुनर्लेखन करीत आहेत किंवा इतर खेळ क्रिया करीत आहेत, तर खरं तर त्यापैकी निम्मे लोक अक्राळविक्राळांचे शिकार करतात. अशी शक्यता काय आहे कोणालातरी समान बक्षीस सोडले जाईल? या परिस्थितीत, आपण अशी अपेक्षा करू शकता की समान प्रतिफळ दिवसातून बर्\u200dयाचदा कमी होईल!

तसे, असे दिसते की प्रत्येक काही आठवड्यात किमान कुणीतरी लॉटरी जिंकतो, जरी एखाद्याने कधीही नाहीआपण किंवा आपले मित्र नाही. जर प्रत्येक आठवड्यात पुरेसे लोक खेळत असतील तर कमीतकमी शक्यता आहेत एकभाग्यवान ... पण असेल तर आपणलॉटरी खेळत असताना तुम्हाला इन्फिनिटी वॉर्डमध्ये नोकरी मिळण्याची शक्यता कमी आहे.

नकाशे आणि व्यसन

आम्ही फासे फिरविणे यासारख्या स्वतंत्र घटनांबद्दल चर्चा केली आहे आणि आता आम्हाला बर्\u200dयाच खेळांमध्ये यादृच्छिकतेचे विश्लेषण करण्यासाठी अनेक सामर्थ्यवान साधने माहित आहेत. जेव्हा डेकमधून कार्ड घेण्याची वेळ येते तेव्हा संभाव्यतेची गणना करणे थोडे अवघड असते कारण आपण घेतलेली प्रत्येक कार्ड डेकमधील उर्वरित कार्डांवर परिणाम करते. आपल्याकडे 52-कार्ड्सची मानक डेक आणि रेखांकन असल्यास, उदाहरणार्थ, 10 ह्रदये आणि पुढील कार्ड समान खटल्याची संभाव्यता जाणून घेऊ इच्छित असल्यास, संभाव्यता बदलली आहे कारण आपण ह्रदयाच्या सूटचे एक कार्ड आधीच काढून टाकले आहे. डेक पासून. आपण काढलेली प्रत्येक कार्ड डेकमधील पुढील कार्डेची संभाव्यता बदलते. या प्रकरणात मागील घटनेचा पुढील एक परिणाम होतो, आम्ही याला संभाव्यता म्हणतो अवलंबून.

कृपया लक्षात घ्या की जेव्हा मी कार्ड म्हणतो तेव्हा मला म्हणायचे आहे कोणत्याही गेम मेकॅनिक्स, ज्यामध्ये ऑब्जेक्ट्सचा एक संच आहे आणि आपण त्यापैकी एखादी वस्तू न बदलता काढून टाकता, या प्रकरणात “कार्ड्सची डेक” ही टोकनच्या पिशवीशी एकरूप आहे, ज्यामधून आपण एक टोकन काढून घ्या आणि त्याऐवजी बदलणार नाही. ते किंवा एखादे कलश ज्यापासून आपण रंगीत गोळे घेता (खरं सांगायच तर रंगीत गोळे काढण्याचा कलश असलेला असा खेळ मी कधी पाहिलेला नाही, परंतु असे दिसते की संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे शिक्षक काही कारणास्तव हे उदाहरण पसंत करतात).

अवलंबित्व गुणधर्म

मी हे स्पष्ट करू इच्छितो की जेव्हा हे कार्ड्स येते तेव्हा मी असे गृहीत धरतो की आपण कार्ड काढता, त्याकडे पहा आणि त्यास डेकमधून काढा. या प्रत्येक कृती महत्वाची संपत्ती आहे.

माझ्याकडे १ ते from क्रमांकाची सहा कार्डे असतील तर मी ती बदलली आणि एक कार्ड बाहेर काढले आणि पुन्हा सर्व सहा कार्डे पुन्हा बदलली तर ते सहा बाजूंनी मरून टाकण्यासारखे आहे; एक परिणाम पुढील परिणाम देत नाही. केवळ मी कार्ड काढले आणि त्याऐवजी बदलले नाही तरच, मी 1 क्रमांकासह कार्ड काढल्याच्या परिणामी पुढील वेळी मी 6 क्रमांकासह कार्ड काढण्याची शक्यता वाढेल (अखेरीस मी रेखांकन करेपर्यंत संभाव्यता वाढेल) हे कार्ड किंवा मी कार्ड शफल करेपर्यंत).

आम्ही की दिसतकार्डवर देखील महत्वाचे आहे. जर मी डेकच्या बाहेर कार्ड काढले आणि त्याकडे न पाहिले तर माझ्याकडे अतिरिक्त माहिती नाही आणि खरं तर संभाव्यता बदलत नाही. हे प्रतिरोधक वाटेल. कार्डची साधी फ्लिप संभाव्यतेत जादूने कशी बदलू शकते? परंतु हे शक्य आहे कारण आपण केवळ त्या अज्ञात वस्तूंच्या संभाव्यतेची गणना करू शकता यावर आधारित तुला माहित आहे... उदाहरणार्थ, आपण कार्ड्सची एक मानक डेक बदलली तर cards१ कार्ड दाखवा आणि त्यापैकी कोणतीही क्लबची राणी नसल्यास १००% निश्चिततेसह आपल्याला कळेल की उर्वरित कार्ड म्हणजे क्लबची राणी. आपण कार्ड्सची मानक डेक बदलली आणि 51 कार्डे काढल्यास, असूनहीत्यांच्यावर, उर्वरित कार्ड क्लबची राणी असल्याची शक्यता अद्याप 1/52 असेल. प्रत्येक कार्ड उघडल्यास, आपल्याला अधिक माहिती मिळेल.

अवलंबून असलेल्या घटनांच्या संभाव्यतेची गणना करणे स्वतंत्र घटनांप्रमाणेच तत्त्वे पाळतात, त्याशिवाय ते थोडे अधिक क्लिष्ट आहे, कारण जेव्हा आपण कार्ड उघडता तेव्हा संभाव्यता बदलते. अशाप्रकारे, आपल्याला समान मूल्य गुणाकारण्याऐवजी अनेक भिन्न मूल्ये गुणाकार करण्याची आवश्यकता आहे. याचा वास्तविक अर्थ असा आहे की आपण केलेल्या सर्व गणित्यांची एकत्रित करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण

आपण प्रमाणित 52-कार्ड डेक शफल आणि दोन कार्ड काढता. आपण एक जोडी घेण्याची शक्यता काय आहे? या संभाव्यतेची गणना करण्याचे बरेच मार्ग आहेत, परंतु कदाचित सर्वात सोपा खालीलप्रमाणे आहेः जेव्हा आपण एखादे कार्ड काढता तेव्हा आपण एखादी जोड काढू शकणार नाही याची संभाव्यता काय आहे? ही संभाव्यता शून्य आहे, म्हणूनच आपण दुसरे जेवढे कार्ड जुळले तितके आपण कोणते प्रथम कार्ड काढले हे फरक पडत नाही. आम्ही प्रथम कोणते कार्ड बाहेर काढतो याने काही फरक पडत नाही, तरीही आम्हाला जोड्या बाहेर काढण्याची संधी आहे, जेणेकरुन प्रथम कार्ड काढल्यानंतर आपण जोडी काढू शकतो ही शक्यता 100% आहे.

दुसरे कार्ड पहिल्याशी जुळण्याची शक्यता काय आहे? डेकमध्ये cards१ कार्डे शिल्लक आहेत आणि त्यापैकी cards कार्ड्स पहिल्या कार्डाशी जुळतात (प्रत्यक्षात of२ पैकी been असणे आवश्यक होते, परंतु आपण पहिले कार्ड बाहेर काढले तेव्हा आपण एक जुळणारे कार्ड आधीच काढून टाकले आहे!), तर संभाव्यता 1/17 आहे. (म्हणून पुढच्या वेळी टेक्सास होल्डम खेळत तुमच्याकडून टेबलावरचा मुलगा म्हणतो, “मस्त, अजून एक जोडी? मी आज भाग्यवान आहे,” तुम्हाला कळेल की तो लज्जास्पद असण्याची शक्यता खूप जास्त आहे.) )

जर आम्ही दोन जोकर जोडले आणि आता आपल्याकडे डेकमध्ये 54 कार्डे आहेत आणि आम्ही जोडी घेण्याची शक्यता काय आहे हे जाणून घेऊ इच्छितो? प्रथम कार्ड एक जोकर असू शकते आणि नंतर त्या डेकमध्ये फक्त असेल एकटाकार्ड, तीन नाही, जे जुळेल. या प्रकरणात संभाव्यता कशी शोधायची? आम्ही संभाव्यता विभाजित करू आणि प्रत्येक शक्यता गुणाकार करू.

आमचे पहिले कार्ड एक जोकर किंवा इतर काही कार्ड असू शकते. जोकर रेखाटण्याची संभाव्यता 2/54 आहे, इतर कोणतेही कार्ड रेखाटण्याची संभाव्यता 52/54 आहे.

जर पहिले कार्ड एक जोकर असेल (2/54), तर दुसरे कार्ड पहिल्याशी जुळण्याची शक्यता 1/53 आहे. मूल्ये गुणाकार करा (आम्ही त्यास गुणाकार करू कारण हे स्वतंत्र कार्यक्रम आहेत आणि आम्हाला हवे आहेत दोन्हीइव्हेंट्स घडले) आणि आम्हाला 1/1431 प्राप्त झाले - दहा टक्केपेक्षा कमी.

आपण प्रथम काही अन्य कार्ड काढल्यास (52/54), दुसर्\u200dया कार्डसह योगायोगाची शक्यता 3/53 आहे. मूल्ये गुणाकार करा आणि 78/1431 (5.5% पेक्षा किंचित जास्त) मिळवा.

या दोन निकालांचे आम्ही काय करू? ते आच्छादित होत नाहीत आणि आम्हाला संभाव्यता जाणून घ्यायची आहे प्रत्येकत्यापैकी, म्हणून आम्ही मूल्ये जोडू! आम्हाला अंतिम निकाल / / / १3131१ (अद्याप सुमारे .5..5%) मिळतो.

जर आम्हाला उत्तराच्या अचूकतेबद्दल खात्री पाहिजे असेल तर आम्ही इतर सर्व संभाव्य निकालांच्या संभाव्यतेची गणना करू शकतोः जोकर बाहेर काढणे आणि दुसरे कार्ड न जुळविणे किंवा काही अन्य कार्ड काढणे आणि दुसरे कार्ड न जुळविणे आणि त्या सर्वांचा सारांश जिंकण्याची शक्यता अगदी अचूक 100% मिळाली. मी येथे गणिताची गणना देणार नाही, परंतु आपण त्यास डबल-चेक करण्यासाठी मोजण्याचा प्रयत्न करू शकता.

मोंटी हॉल विरोधाभास

यामुळे आम्हाला बर्\u200dयापैकी बहुतेक - मॉन्टी हॉल विरोधाभास गोंधळात टाकणारी बर्\u200dयापैकी सुप्रसिद्ध विरोधाभास येते. विरोधाभास "लेट्स मेक डील" यजमान मोंटी हॉल नंतर ठेवले गेले आहे. आपण हा शो कधीही पाहिला नसेल तर तो प्राइस इज राईट टीव्ही शोच्या विरुद्ध होता. “किंमत बरोबर आहे,” मध्ये होस्ट (पूर्वी बॉब बार्कर, आता… ड्र्यू कॅरी? असो…) तुमचा मित्र आहे. तो इच्छितेजेणेकरून आपण पैसे किंवा उत्कृष्ट बक्षिसे जिंकू शकता. तो आपल्याला जिंकण्याची प्रत्येक संधी देण्याचा प्रयत्न करतो, तर प्रायोजकांकडून खरेदी केलेल्या वस्तू खरोखर किती खर्च करतात याचा अंदाज लावता येईल.

मोंटी हॉल वेगळ्या पद्धतीने वागला. तो बॉब बार्करच्या वाईट जुळ्या मुलासारखा होता. आपणास राष्ट्रीय दूरदर्शनवरील मूर्खसारखे दिसणे हे त्याचे ध्येय होते. जर आपण शोमध्ये असाल तर तो तुमचा प्रतिस्पर्धी होता, आपण त्याच्या विरुद्ध खेळत होता आणि जिंकण्याची शक्यता त्याच्या बाजूने होती. मी खूप कठोर असू शकते, परंतु जेव्हा आपण एखादा हास्यास्पद खटला घातला आहे की नाही हे प्रतिस्पर्धी म्हणून निवडले जाण्याची शक्यता थेट प्रमाणात दिसते तेव्हा मी या निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो.

पण शोची सर्वात प्रसिद्ध मेम्स अशी होती: आपल्या समोर तीन दरवाजे होते आणि त्यांना डोर नंबर 1, दरवाजा क्रमांक 2 आणि दरवाजा क्रमांक 3 असे म्हटले गेले होते. आपण कोणताही एक दरवाजा विनामूल्य निवडू शकता! यापैकी एका दरवाजाच्या मागे नवीन पॅसेंजर कारसारखे उत्कृष्ट पुरस्कार होते. इतर दरवाजांच्या मागे कोणतीही बक्षिसे नव्हती, या दोन दाराचे काही मूल्य नव्हते. त्यांचा हेतू आपल्याला अपमानित करणे हा होता आणि म्हणून असे नाही की त्यांच्या मागे काहीही नव्हते, त्यांच्या मागे काहीतरी असे दिसत होते जे मूर्ख दिसत होते, उदाहरणार्थ, त्यांच्या मागे एक बकरी किंवा दात स्वच्छ करण्याची एक मोठी नळी किंवा काहीतरी ... काहीतरी, काय नक्की होते नाही एक नवीन प्रवासी कार

आपण एक दरवाजा निवडला आणि मोंटी हे उघडत होते जेणेकरून आपण जिंकलात की नाही हे आपण शोधू शकाल ... परंतु थांबा, आम्हाला माहित करण्यापूर्वीचला, त्यापैकी एकावर नजर टाकू त्या दारे आपण निवडलेले नाही... मोंटीला माहित आहे की बक्षीस कोणत्या दाराच्या मागे आहे आणि तेथे फक्त एक बक्षीस आहे आणि दोन आपण न निवडलेले दरवाजे, काहीही असो, तो नेहमी दरवाजा उघडू शकतो ज्यासाठी कोणतेही पुरस्कार नसतात. “आपण दरवाजा क्रमांक 3 निवडता का? तर त्यामागे कोणतेही पुरस्कार नसल्याचे दर्शविण्यासाठी दरवाजा 1 उघडू. आणि आता, औदार्य दाखवून, तो तुम्हाला दरवाजा २ मागे असलेल्यासाठी निवडलेला दरवाजा क्रमांक trade व्यापार करण्याची संधी देतो. या क्षणी संभाव्यतेचा प्रश्न उद्भवतो: दुसरा दरवाजा निवडण्याची शक्यता तुमची जिंकण्याची शक्यता वाढवते का? किंवा ती कमी करा, किंवा ती तशीच राहील? तुला काय वाटत?

बरोबर उत्तरः दुसरा दरवाजा निवडण्याची क्षमता वाढते1/3 ते 2/3 पर्यंत जिंकण्याची शक्यता. हे अतार्किक आहे. जर आपणास या विरोधाभासाचा सामना पूर्वी झाला नसेल तर बहुधा आपण विचार करीत आहात: प्रतीक्षा करा, एक दरवाजा उघडून, आम्ही जादूने संभाव्यता बदलली? परंतु आपण वरील नकाशांसह उदाहरणात आधीच पाहिले आहे, तसे आहे नक्कीजेव्हा आम्हाला अधिक माहिती प्राप्त होते तेव्हा काय होते. हे स्पष्ट आहे की आपण निवडलेल्या पहिल्यांदा जिंकण्याची शक्यता 1/3 आहे आणि मला असे वाटते की प्रत्येकजण त्यास सहमत असेल. जेव्हा एक दरवाजा उघडतो, तेव्हा पहिल्या पसंतीसाठी अजिबात जिंकण्याची संभाव्यता बदलत नाही, तरीही ही संभाव्यता 1/3 आहे, परंतु याचा अर्थ असा आहे की संभाव्यता इतरयोग्य दरवाजा आता 2/3 आहे.

चला या उदाहरणाकडे वेगळ्या दृष्टीकोनातून पाहूया. आपण दार निवडा. जिंकण्याची शक्यता 1/3 आहे. मी तुम्हाला बदल सुचवितो दोनइतर दरवाजे, जे मोंटी हॉल प्रत्यक्षात सुचवते. त्यामागे कोणतेही पुरस्कार नसल्याचे दर्शविण्यासाठी तो एक दरवाजा उघडतो, पण तो नेहमीच असतेहे करू शकता, जेणेकरून ते काहीही बदलत नाही. नक्कीच, आपल्याला एक वेगळा दरवाजा निवडायचा आहे!

आपण या प्रश्नावर पूर्णपणे स्पष्ट नसल्यास आणि आपल्याला अधिक खात्रीपूर्वक स्पष्टीकरण आवश्यक असल्यास, एका विस्मयकारक लहान फ्लॅश अनुप्रयोगात नेव्हिगेट करण्यासाठी या दुव्यावर क्लिक करा जे आपल्याला या विरोधाभास अधिक तपशीलात एक्सप्लोर करण्यास अनुमती देईल. आपण सुमारे 10 दरवाजे प्रारंभ करुन खेळू शकता आणि नंतर हळू हळू तीन दारासह खेळात जाऊ शकता; एक सिम्युलेटर देखील आहे जेथे आपण 3 ते 50 पर्यंत कितीही दरवाजे निवडू शकता आणि अनेक हजार सिम्युलेशन प्ले करू किंवा चालवू शकता आणि आपण खेळल्यास आपण किती वेळा जिंकला हे पहा.

उच्च गणितातील शिक्षक आणि गेम बॅलेन्स मधील तज्ञांची टिप्पणी, मॅक्सिम सोल्डाटोव्ह, ज्यात अर्थातच श्रायबर नव्हते, परंतु त्याशिवाय हे जादूई परिवर्तन समजणे फार कठीण आहे:

तीनपैकी एक, एक दरवाजा निवडा, "विजयी" होण्याची शक्यता 1/3 आहे. आता आपल्याकडे 2 धोरणे आहेत: चुकीचा दरवाजा उघडल्यानंतर बदला किंवा नाही. जर आपण आपली निवड बदलली नाही, तर संभाव्यता १/ the राहील, कारण निवड केवळ पहिल्या टप्प्यावर आहे आणि आपण लगेचच अंदाज लावावा, जर आपण बदलले तर आपण प्रथम चुकीचे दरवाजे निवडल्यास आपण जिंकू शकता (मग ते आणखी एक चुकीचे उघडतील, विश्वासू राहतील, आपण आपला निर्णय बदलत आहात आणि फक्त ते घ्या)
सुरुवातीला चुकीचा दरवाजा निवडण्याची संभाव्यता 2/3 आहे, म्हणूनच आपला निर्णय बदलून आपण 2 पट जास्त विजय मिळवण्याची शक्यता वर्तविली

आणि पुन्हा मोंटी हॉल विरोधाभास बद्दल

शोच्या बाबतीतच, मॉन्टी हॉलला हे माहित होते कारण त्याचे प्रतिस्पर्धी गणितावर चांगले नसले तरीही, तो आहे हे चांगले समजते. गेम थोडा बदलण्यासाठी त्याने काय केले ते येथे आहे. आपण ज्या दरवाजाच्या मागे बक्षीस आहे त्याचे दरवाजा निवडल्यास, त्यातील संभाव्यता १/ 1/ असेल नेहमीच असतेआपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी दिली. सर्व केल्यानंतर, आपण एक प्रवासी कार निवडली आणि नंतर आपण त्यास बकरीमध्ये बदलले आणि आपण अगदी मूर्ख दिसेल, जे त्याला आवश्यक आहे तेच आहे, कारण तो एक वाईट माणूस आहे. परंतु जर आपण त्यामागचा दरवाजा निवडला तर तेथे कोणतेही बक्षीस मिळणार नाही, फक्त अर्ध्या वेळी अशा परिस्थितीत तो आपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देईल आणि इतर प्रकरणांमध्ये तो आपल्याला फक्त आपली नवीन बकरी दर्शवेल, आणि आपण स्टेज सोडाल. या नवीन गेमचे विश्लेषण करू या ज्यामध्ये मोंटी हॉल करू शकेल निवडाआपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी उपलब्ध आहे किंवा नाही.

समजा, तो या अल्गोरिदमचे अनुसरण करतो: आपण बक्षीस असलेला दरवाजा निवडल्यास, तो आपल्याला नेहमीच दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी देईल, अन्यथा तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची किंवा बकरी देण्याची शक्यता 50/50 आहे. आपल्या जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

तीनपैकी एका पर्यायात, आपण ताबडतोब दरवाजा निवडला ज्याच्या मागे बक्षीस आहे आणि होस्ट आपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्यासाठी आमंत्रित करतो.

तीन पैकी उर्वरित दोन पर्यायांपैकी (आपण प्रारंभी बक्षीस नसलेला दरवाजा निवडता) अर्ध्या प्रकरणात, होस्ट आपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देईल, आणि इतर अर्ध्या प्रकरणांमध्ये, नाही. २/3 मधील अर्धा भाग म्हणजे 1/3, म्हणजे. तीन पैकी एका प्रकरणात तुम्हाला एक बकरी मिळेल, एका प्रकरणात तीन पैकी आपण चुकीचा दरवाजा निवडला आणि यजमान तुम्हाला दुसरा एक निवडण्याची ऑफर देईल आणि एकापैकी तीन पैकी आपण निवड कराल उजवा दरवाजा, आणि तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्यास सांगेल.

जर नेता दुसर्या दरवाजाची निवड करण्याची ऑफर देत असेल तर आम्हाला आधीच माहित आहे की जेव्हा तो आम्हाला एक बकरी देईल आणि आम्ही निघून गेले तेव्हा तिघांपैकी एक प्रकरण घडले नाही. ही उपयुक्त माहिती आहे कारण याचा अर्थ असा आहे की आपल्या विजयाची शक्यता बदलली आहे. तीन पैकी दोन प्रकरणांमध्ये, जेव्हा आपल्याला निवडण्याची संधी असते, एका बाबतीत याचा अर्थ असा होतो की आपण योग्य अंदाज लावला होता आणि दुसर्\u200dया बाबतीत आम्ही चुकीचा अंदाज लावला होता, तर जर आपल्याला निवडण्याची संधी दिली गेली तर याचा अर्थ असा की आमच्या जिंकण्याची शक्यता 50/50 आहे, आणि नाही आहे गणिती फायदे, आपल्या निवडीसह रहा किंवा दुसरा दरवाजा निवडा.

निर्विकार प्रमाणे, हा आता एक मानसिक खेळ आहे, गणिताचा नाही. मोंटीने आपल्याला एक निवड दिली कारण त्याला असे वाटते की आपण एक सिंपलटन आहात ज्याला हे माहित नाही की वेगळा दरवाजा निवडणे हा "योग्य" निर्णय आहे आणि आपण जिद्दीने आपल्या आवडीवर धरून रहाल कारण जेव्हा आपण कार निवडली तेव्हा मानसिकदृष्ट्या अशी परिस्थिती होती, आणि मग ते गमावले, अजून? किंवा त्याला वाटते की आपण हुशार आहात आणि दुसरा दरवाजा निवडला आहे आणि तो आपल्याला ही संधी देतो कारण आपल्याला माहित आहे की सुरुवातीला आपण अंदाज केला आहे आणि आपल्याला अडकवेल आणि अडकतील? किंवा कदाचित तो स्वत: वर दयाळूपणे वागला आहे आणि आपल्या वैयक्तिक स्वार्थासाठी आपल्याला काहीतरी करायला उद्युक्त करतो कारण त्याने बराच काळ गाडी दिली नाही आणि त्याचे निर्माता त्याला सांगतात की प्रेक्षक कंटाळले आहेत आणि जर ते दिले तर ते अधिक चांगले होईल रेटिंग्स कोसळण्यापासून वाचण्यासाठी लवकरच एक मोठे बक्षीस?

अशा प्रकारे, मोंटी निवड (कधीकधी) ऑफर करण्यास व्यवस्थापित करते आणि जिंकण्याची एकूण संभाव्यता 1/3 च्या समान आहे. लक्षात ठेवा की आपण ताबडतोब गमावण्याची शक्यता 1/3 आहे. आपल्याला त्वरित मिळण्याची शक्यता १/3 आहे आणि यापैकी %०% प्रकरणांमध्ये आपण विजयी व्हाल (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). प्रथम आपण चुकीचा अंदाज लावण्याची संभाव्यता, परंतु नंतर आपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी मिळेल, ते 1/3 आहे आणि यापैकी 50% प्रकरणांमध्ये आपण जिंकू शकाल (देखील 1/6). दोन स्वतंत्र जिंकण्याची शक्यता जोडा आणि आपल्याला 1/3 च्या बरोबरीची संभाव्यता मिळेल, म्हणून आपण आपल्या आवडीनिवडीत राहिल्यास किंवा दुसरा दरवाजा निवडल्यास काही फरक पडत नाही, संपूर्ण गेममध्ये आपल्या विजयाची एकूण संभाव्यता 1/3 च्या बरोबरीची आहे. .. जेव्हा आपण दरवाजाचा अंदाज लावला असता आणि दुसरे दरवाजा निवडण्याची शक्यता न करता प्रस्तुतकर्ता आपल्याला या दरवाजाच्या मागे काय आहे हे दर्शवितो अशा परिस्थितीत संभाव्यता जास्त होत नाही! म्हणूनच, दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी देण्याचा मुद्दा म्हणजे शक्यता बदलणे नव्हे तर दूरदर्शन पाहण्याच्या निर्णयाची प्रक्रिया अधिक मनोरंजक बनविणे होय.

तसे, पोकर इतके मनोरंजक असू शकते यामागील कारणांपैकी हे एक आहे: फेरी दरम्यान बहुतेक स्वरूपांमध्ये जेव्हा दांव बनविला जातो (उदाहरणार्थ, टेक्सास होल्ड'ममधील फ्लॉप, टर्न आणि नदी), हळूहळू कार्डे प्रकट होतात, आणि जर खेळाच्या सुरूवातीस आपल्यात जिंकण्याची संभाव्यता असेल तर प्रत्येक फेरीच्या नंतर जेव्हा अधिक कार्डे उघडली जातात तेव्हा ही शक्यता बदलते.

मुलगा आणि मुलगी विरोधाभास

हे आपल्याला आणखी एक सुप्रसिद्ध विरोधाभासकडे घेऊन जाते, जे नियम म्हणून प्रत्येकाला कोडी सोडवते - मुलगा आणि मुलगी यांचे विरोधाभास. मी आज फक्त एकाच गोष्टीबद्दल लिहित आहे जे थेट खेळाशी संबंधित नाही (जरी मी असे गृहीत धरले की याचा अर्थ असा आहे की योग्य खेळ मेकॅनिक तयार करण्यासाठी मी तुम्हाला ढकलले पाहिजे). हे आणखी एक कोडे आहे, परंतु मनोरंजक आहे आणि ते सोडविण्यासाठी आपल्याला सशर्त संभाव्यता समजून घेणे आवश्यक आहे, ज्याबद्दल आपण वर चर्चा केले.

आव्हान: माझा दोन मुलांसह मित्र आहे, कमीत कमी एक मुल मुलगी आहे. दुसर्\u200dया मुलाची शक्यता काय आहे देखीलमुलगी? समजू की कोणत्याही कुटुंबात मुलगी किंवा मुलगा होण्याची शक्यता 50/50 आहे आणि प्रत्येक मुलासाठी हे खरे आहे (खरं तर काही पुरुषांमध्ये एक्स क्रोमोसोम किंवा वाय क्रोमोसोमसह शुक्राणू असतात, म्हणून संभाव्यता थोडीशी बदलते एक मुलगी एक मुलगी आहे हे जाणून घ्या, मुलीला जन्म देण्याची संभाव्यता थोडी जास्त आहे, याव्यतिरिक्त, इतर काही अटी देखील आहेत, उदाहरणार्थ, हर्माफ्रोडिटिझम, परंतु या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आम्ही हे विचारात घेत नाही आणि असे समजू शकत नाही की मुलाचा जन्म ही एक स्वतंत्र घटना आहे आणि मुलगा किंवा मुलगी असण्याची शक्यता समान आहे).

आपण १/२ संधीबद्दल बोलत आहोत, म्हणून अंतर्ज्ञानाने आम्ही उत्तर बहुधा १/२ किंवा १/4, किंवा दोन पैकी काही इतर मिळण्याची अपेक्षा करतो. पण उत्तरः 1/3 ... प्रतीक्षा का?

या प्रकरणात अडचण अशी आहे की आपल्याकडे असलेली माहिती शक्यतांची संख्या कमी करते. समजा, पालक तिल स्ट्रीटचे चाहते आहेत आणि मुलगा किंवा मुलगी जन्मली की नाही याची पर्वा न करता त्यांनी आपल्या मुलांचे नाव ए आणि बी ठेवले. सामान्य परिस्थितीत चार तितक्या संभाव्य शक्यता आहेतः ए आणि बी दोन मुले, ए आणि बी दोन मुली आहेत, ए एक मुलगा आहे, आणि बी मुलगी आहे, ए मुलगी आहे आणि बी एक मुलगा आहे. आम्हाला ते माहित असल्याने कमीत कमी एक मुल मुलगी आहे, आम्ही ए आणि बी दोन मुले असल्याची शक्यता दूर करू शकतो, म्हणून आपल्याकडे तीन (अजूनही तितकेच संभाव्य) शक्यता राहिल्या आहेत. जर सर्व शक्यता तितकेच संभाव्य असतील आणि त्यापैकी तीन असतील तर आम्हाला माहित आहे की त्या प्रत्येकाची संभाव्यता 1/3 आहे. या तीनपैकी एका पर्यायातच दोन्ही मुले दोन मुली आहेत, तर त्याचे उत्तर 1/3 आहे.

आणि पुन्हा मुलगा आणि मुलीच्या विरोधाभासांबद्दल

समस्येचे निराकरण अधिक विलक्षण बनते. कल्पना करा जर मी तुम्हाला सांगितले की माझ्या मित्राला दोन मुले आणि एक मूल आहे - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी... समजा सामान्य परिस्थितीत आठवड्याच्या सात दिवसांपैकी एखाद्यास मूल होण्याची शक्यता समान आहे. दुसरी मुलगी देखील मुलगी असण्याची शक्यता काय आहे? आपणास असे वाटेल की उत्तर अद्याप 1/3 असेल; मंगळवार म्हणजे काय? परंतु या प्रकरणातही अंतर्ज्ञान आपल्याला अपयशी ठरते. उत्तरः 13/27 जे केवळ अंतर्ज्ञानी नाही, ते खूप विचित्र आहे. काय झला या प्रकरणात?

खरं तर, मंगळवारी संभाव्यता बदलते कारण आम्हाला माहित नाही कोणतामुलाचा जन्म मंगळवारी किंवा शक्यतो झाला दोन मुले मंगळवारी जन्म झाला. या प्रकरणात, आम्ही वरील प्रमाणेच तर्कशास्त्र वापरतो, आम्ही मंगळवारी जन्माला आलेल्या मुलीची मुलगी असताना आम्ही सर्व शक्य जोड्यांची गणना करतो. मागील उदाहरणाप्रमाणे, समजा या मुलांची नावे ए आणि बी अशी आहेत, त्या जोड्या खालीलप्रमाणे आहेतः

• अ - मंगळवारी जन्माला आलेली एक मुलगी, बी - एक मुलगा (या परिस्थितीत 7 शक्यता आहेत, जेव्हा आठवड्यातल्या प्रत्येक दिवसासाठी एक मुलगा जन्माला येऊ शकतो).
• बी - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, ए - एक मुलगा (देखील 7 शक्यता).
• अ - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, बी - ज्या मुलीचा जन्म झाला इतर आठवड्याचा दिवस (6 शक्यता)
• बी - मंगळवारी जन्मलेली एक मुलगी, ए - मंगळवार नसलेल्या (6 संभाव्यते देखील) जन्मलेली मुलगी.
• ए आणि बी - मंगळवारी जन्मलेल्या दोन मुली (1 शक्यता, आपल्याला याकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे, जेणेकरून दोनदा मोजू नये).

आम्ही जोडतो आणि मंगळवारी मुलगी होण्याची किमान एक शक्यता आणि मुले आणि दिवस यांच्या जन्माची 27 भिन्न तितकी शक्य जोड्या मिळवतो. यापैकी 13 शक्यता अशी आहेत जेव्हा दोन मुली जन्माला येतात. हे पूर्णपणे अतार्किक देखील दिसते आणि असे दिसते की हे कार्य केवळ डोकेदुखी निर्माण करण्यासाठी तयार केले गेले आहे. आपण अद्याप या उदाहरणाने चकित असाल तर, गेम सिद्धांताकार जेस्पर यूल यांचे वेबसाइटवर या विषयाचे चांगले स्पष्टीकरण आहे.

आपण सध्या एखाद्या गेमवर काम करत असल्यास ...

आपण डिझाइन करीत असलेल्या गेममध्ये यादृच्छिकता असल्यास, त्याचे विश्लेषण करण्याची ही एक उत्तम संधी आहे. आपण विश्लेषण करू इच्छित असलेले काही घटक निवडा. प्रथम, स्वत: ला विचारा की दिलेल्या घटकाची संभाव्यता आपण काय अपेक्षा करता, खेळाच्या संदर्भात काय असावे असे आपल्याला वाटते. उदाहरणार्थ, जर आपण आरपीजी तयार करीत असाल आणि जर एखाद्याला लढाईत एखाद्या राक्षसाचा पराभव करण्याची क्षमता असण्याची शक्यता काय असेल तर आपण स्वत: ला विचारा की विजयाची टक्केवारी आपल्याला योग्य वाटते काय? सहसा जेव्हा कन्सोल आरपीजी खेळत असतात तेव्हा ते हरतात तेव्हा खेळाडू खूप निराश होतात, म्हणूनच हे चांगले आहे की ते बहुतेक वेळा गमावत नाहीत ... कदाचित 10% वेळ किंवा त्याहूनही कमी? जर आपण आरपीजी डिझायनर असाल तर कदाचित माझ्यापेक्षा चांगले तुम्हाला माहिती असेल, परंतु संभाव्यता काय असावी याची आपल्याला मूलभूत कल्पना असणे आवश्यक आहे.

मग स्वत: ला विचारा की हे काहीतरी आहे का? व्यसनी(कार्ड्स सारखे) किंवा स्वतंत्र(फासे सारखे). सर्व संभाव्य परिणाम आणि त्यांच्या संभाव्यतेचे पुनरावलोकन करा. सर्व संभाव्यतेची बेरीज 100% असल्याची खात्री करा. शेवटी, अर्थातच, आपल्या अपेक्षेनुसार तुम्हाला मिळालेल्या निकालांची तुलना करा. आपण इच्छित असलेल्या मार्गाने फासे टाकत असाल किंवा कार्ड रेखांकन करीत असलात किंवा आपल्याला मूल्ये समायोजित करण्याची आवश्यकता असल्याचे आपण पाहू शकता. आणि, अर्थातच, तर आपण शोधणेकाय समायोजित करणे आवश्यक आहे, आपण काहीतरी समायोजित करण्याची आवश्यकता निर्धारित करण्यासाठी समान गणना वापरू शकता!

गृहपाठ

या आठवड्यात आपला "गृहपाठ" आपल्याला आपल्या संभाव्य कौशल्यांमध्ये कमाई करण्यात मदत करेल. येथे दोन फासे खेळ आणि कार्ड गेम आहेत जे आपण संभाव्यतेचा वापर करून विश्लेषण कराल तसेच एक विचित्र गेम मॅकेनिक जो मी एकदा विकसित केला आहे की आपण मॉन्टे कार्लो पद्धतीची चाचणी घेण्यासाठी वापरू शकता.

गेम नंबर 1 - ड्रॅगन हाडे

हा एक फासेचा खेळ आहे जो आम्ही एकदा सहकार्यांसह शोधला होता (जेब हेव्हन्स आणि जेसी किंगचे आभार!) आणि जे संभाव्यतेने लोकांचे मेंदू जाणूनबुजून घेतात. हा एक साधा कॅसिनो गेम आहे ज्याला "ड्रॅगन बोन" म्हणतात आणि तो खेळाडू आणि घरातील जुगार पासा स्पर्धा आहे. आपल्याला नेहमीचा 1d6 डाय दिला जातो. घराचा हेतू म्हणजे घरापेक्षा जास्त संख्या फेकणे. टॉमला एक नॉन-स्टँडर्ड 1 डी 6 दिला जातो - आपल्यासारखाच, परंतु एका बाजूला एकाऐवजी - ड्रॅगनची प्रतिमा (अशा प्रकारे, कॅसिनोमध्ये ड्रॅगन-२--4--5--5--6 क्यूब आहे). जर घराने ड्रॅगन सोडला तर ते आपोआपच जिंकते आणि आपण हरले. जर आपल्या दोघांना समान क्रमांक मिळाला तर, हा एक ड्रॉ आहे आणि आपण पुन्हा फासे रोल करा. सर्वाधिक संख्या जिंकणारा एक.

नक्कीच, सर्वकाही पूर्णपणे प्लेअरच्या बाजूने जात नाही, कारण ड्रॅगनज एजच्या रूपात कॅसिनोचा एक फायदा आहे. पण खरंच असं आहे का? आपण हे शोधून काढावे लागेल. पण त्यापूर्वी, आपल्या अंतर्ज्ञान तपासा. चला जिंकणे 2 ते 1 असल्याचे समजा म्हणून आपण जिंकल्यास आपण आपली पैज ठेवता आणि दुप्पट होऊ. उदाहरणार्थ, आपण bet 1 पैज लावल्यास आणि जिंकल्यास आपण ते डॉलर ठेवता आणि एकूण $ 3 साठी वर आणखी 2 मिळवाल. आपण हरल्यास, आपण फक्त आपला पैज गमावाल. तू खेळशील का? तर, संभाव्यता 2 ते 1 पेक्षा जास्त आहे असे आपल्याला अंतर्ज्ञानाने जाणवते काय किंवा तरीही असे वाटते की ते कमी आहे? दुसर्\u200dया शब्दांत सांगायचे तर, सरासरी games गेममध्ये, आपण एकापेक्षा जास्त वेळा किंवा कमी वेळा किंवा एकदा जिंकण्याची अपेक्षा कराल?

एकदा तुमची अंतर्ज्ञान व्यवस्थित झाली की गणित लावा. दोन्ही फासेसाठी फक्त 36 संभाव्य पोझिशन्स आहेत, ज्यामुळे आपण कोणत्याही अडचणीशिवाय त्या सर्वांची गणना करू शकता. या 2-ते -1 वाक्याबद्दल आपल्याला खात्री नसल्यास याबद्दल विचार करा: समजा आपण 36 वेळा हा खेळ खेळला (प्रत्येक वेळी time 1 चा पैज लावता). प्रत्येक विजयासाठी आपल्याला $ 2 मिळते, प्रत्येक नुकसानात आपण $ 1 गमावतो आणि ड्रॉमध्ये काहीही बदल होत नाही. आपल्या सर्व संभाव्य विजय आणि नुकसानाची गणना करा आणि आपण काही डॉलर्स किंवा तोटा गमावाल की नाही हे ठरवा. मग स्वत: ला विचारा की तुमची अंतर्ज्ञान किती योग्य आहे? आणि मग - मी खलनायक आहे हे लक्षात घ्या.

आणि, हो, आपण या प्रश्नाबद्दल आधीच विचार केला असेल तर - फासे खेळांच्या वास्तविक तंत्रज्ञानाचा विकृत रूप देऊन मी जाणूनबुजून तुम्हाला गोंधळात टाकत आहे, परंतु मला खात्री आहे की आपण केवळ या चांगल्या विचाराने या अडथळ्यावर मात करू शकता. ही समस्या स्वतःच सोडवण्याचा प्रयत्न करा. मी सर्व उत्तरे पुढील आठवड्यात येथे पोस्ट करेन.

खेळ # 2 - नशीब नाणेफेक

हा लकी रोल (बर्डकेज देखील नावाचा एक फासा खेळ आहे, कारण काहीवेळा फासा फेकला जात नाही, परंतु बिंगोच्या पिंज in्याची आठवण करुन देणा large्या मोठ्या वायरच्या पिंज .्यात ठेवला जातो). हा एक सोपा खेळ आहे जो यासारख्या गोष्टीला उकळतो: 1 आणि 6 दरम्यानच्या क्रमांकावर 1, 1 सांगा, म्हणा, $ 1 नंतर आपण 3 डी 6 रोल करा. आपला नंबर मारणार्\u200dया प्रत्येक मृत्यूसाठी आपल्याला $ 1 प्राप्त होते (आणि आपला मूळ भागभांडवल ठेवा). जर आपला नंबर कोणत्याही फासेवर दिसत नसेल तर, कॅसिनोला आपला डॉलर मिळेल आणि आपण - काहीही नाही. अशा प्रकारे, आपण 1 वर पैज लावल्यास आणि आपल्याला काठावर तीन वेळा 1 मिळते, तर आपल्याला $ 3 मिळते.

अंतर्ज्ञानाने, या खेळास समान शक्यता असल्याचे दिसते. प्रत्येक फासे जिंकण्याची 6 पैकी एक वैयक्तिक संधी असते, म्हणूनच तिन्हीच्या बेरीजवर आपली जिंकण्याची संधी 3 ते 6 असते. तथापि, लक्षात ठेवा की आपण तीन स्वतंत्र फासे तयार करीत आहात, आणि आपल्याला फक्त जोडण्याची परवानगी आहे आम्ही त्याच फासेच्या स्वतंत्र विजयी संयोगांबद्दल बोलत आहोत. काहीतरी आपल्याला गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

एकदा आपण सर्व संभाव्य निकाल शोधून काढल्यानंतर (एक्सेलमध्ये हातांनी हे करणे अधिक सोपे आहे कारण त्यापैकी 216 आहेत), खेळ अद्याप विचित्र आणि अगदी पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसत आहे. पण प्रत्यक्षात, कॅसिनो अजूनही जिंकण्यासाठी अधिक शक्यता आहे - किती अधिक? विशेषतः, आपण गेमच्या प्रत्येक फेरीसाठी सरासरी किती पैसे गमावण्याची अपेक्षा करता? आपल्याला फक्त 216 च्या निकालांचे विजय आणि तोटे जोडणे आणि नंतर 216 ने विभाजित करणे खूपच सोपे असावे ... परंतु आपण पाहू शकता की असे अनेक धोके आपण पडू शकता, म्हणूनच मी मी सांगत आहे: या गेममध्ये जिंकण्याची अगदी शक्यता आहे असे आपल्याला वाटत असल्यास, हे सर्व चुकीचे आहे.

गेम # 3 - 5 कार्ड स्टड पोकर

आपण मागील गेममध्ये उबदार झाल्यास या कार्ड गेमसह सशर्त संभाव्यतेबद्दल आम्हाला काय माहित आहे ते पाहूया. विशेषतः, 52-कार्ड डेकसह निर्विकार कल्पना करूया. 5 कार्ड स्टडची कल्पना करू या जेथे प्रत्येक खेळाडूला फक्त 5 कार्ड मिळतात. आपण कार्ड टाकू शकत नाही, आपण नवीन काढू शकत नाही, सामान्य डेक नाही - आपल्याला केवळ 5 कार्डे मिळतात.

रॉयल फ्लश एका हातात 10-जे-क्यू-के-ए आहे, एकूण चार आहेत, त्यामुळे रॉयल फ्लश मिळण्याचे चार संभाव्य मार्ग आहेत. आपणास असे एक संयोजन मिळेल या संभाव्यतेची गणना करा.

मी तुम्हाला एका गोष्टीबद्दल सावध केले पाहिजे: लक्षात ठेवा की आपण ही पाच कार्डे कोणत्याही क्रमाने काढू शकता. म्हणजेच, आपण प्रथम ऐस किंवा दहा काढू शकता, काही फरक पडत नाही. म्हणून याची गणना करताना हे लक्षात ठेवा की कार्डे व्यवस्थित पार पाडली गेली आहेत असे गृहित धरुन रॉयल फ्लश मिळविण्यासाठी चारपेक्षा जास्त मार्ग आहेत!

खेळ # 4 - आयएमएफ लॉटरी

आज आपण ज्या पद्धतींबद्दल बोललो त्याद्वारे चौथ्या समस्येचे निराकरण करणे इतके सोपे नाही, परंतु आपण प्रोग्रामिंग किंवा एक्सेलचा वापर करून परिस्थितीचे सहज अनुकरण करू शकता. या समस्येच्या उदाहरणावरूनच आपण माँटे कार्लो पद्धतीने कार्य करू शकता.

मी पूर्वीचा "क्रोन एक्स" गेमचा उल्लेख केला, ज्यावर मी काम केले आणि तेथे एक अतिशय मनोरंजक कार्ड होते - आयएमएफ लॉटरी. हे कसे कार्य करते ते येथे आहे: आपण गेममध्ये याचा वापर केला. फेरी संपल्यानंतर, कार्ड पुन्हा वितरीत केले गेले आणि 10% अशी शक्यता होती की कार्ड गेम सोडेल आणि यादृच्छिक खेळाडूला प्रत्येक कार्डच्या 5 प्रकारच्या युनिट्स प्राप्त होतील ज्यांचे टोकन या कार्डवर उपस्थित होते. हे कार्ड एका टोकनशिवाय खेळण्यात आले होते, परंतु प्रत्येक वेळी जेव्हा दुसर्\u200dया फेरीच्या सुरूवातीस ते प्ले केले जाते तेव्हा त्यांना एक टोकन प्राप्त झाले. तर अशी 10% शक्यता होती की आपण त्यास खेळामध्ये आणाल, फेरी संपेल, कार्ड गेम सोडेल आणि कोणालाही काहीही मिळणार नाही. जर असे झाले नाही (90% संभाव्यतेसह), तर 10% संधी आहे (वास्तविक 9%, कारण 90% पैकी 10% आहे) पुढच्या फेरीमध्ये ती खेळ सोडेल, आणि एखाद्याला 5 प्राप्त होईल स्त्रोत युनिट्स जर कार्ड एका फेरीनंतर गेम सोडते (उपलब्ध 81% पैकी 10%, म्हणजे संभाव्यता 8.1% आहे), तर एखाद्याला 10 युनिट्स मिळतील, दुसर्\u200dया फेरीनंतर - 15, आणखी 20 आणि इतर. प्रश्नः अखेरीस गेम सोडल्यावर आपल्याला या कार्डमधून प्राप्त झालेल्या स्त्रोतांच्या संख्येचे सर्वसाधारण अपेक्षित मूल्य किती आहे?

थोडक्यात, आम्ही प्रत्येक निकालाची शक्यता शोधून आणि सर्व निकालांच्या संख्येने गुणाकार करून ही समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करू. तर 10% शक्यता आहे की आपल्याला 0 (0.1 * 0 \u003d 0) मिळेल. 9% की आपल्याला 5 युनिट संसाधने प्राप्त होतील (9% * 5 \u003d 0.45 संसाधने). आपल्\u200dयाला जे मिळेल त्यापैकी 8.1% (8.1% * 10 \u003d 0.81 एकूण स्त्रोत, अपेक्षित मूल्य). इत्यादी. आणि मग आम्ही हे सर्व जोडू.

आणि आता समस्या आपल्यासाठी स्पष्ट आहे: कार्डची नेहमीच शक्यता असते नाही गेम सोडेल जेणेकरून ती गेममध्ये राहू शकेल कायमचे आणि सदासर्वकाळ, असंख्य फेs्यांसाठी, जेणेकरून गणनाची शक्यता प्रत्येक संधी अस्तित्वात नाही. आज आपण ज्या पद्धती शिकलो त्या आम्हाला अपरिमित पुनरावृत्तीची गणना करण्याची क्षमता देत नाहीत, म्हणून आम्हाला ते कृत्रिमरित्या तयार करावे लागेल.

आपण प्रोग्रामिंगमध्ये चांगले असल्यास, एक कार्ड लिहा जे या कार्डचे अनुकरण करेल. आपल्याकडे टाईम लूप असावा जो व्हेरिएबलला त्याच्या मूळ शून्य स्थितीत परत आणेल, यादृच्छिक संख्या प्रदर्शित करतो आणि 10% च्या संभाव्यतेसह व्हेरिएबल लूपमधून बाहेर पडेल. अन्यथा, ते व्हेरिएबलमध्ये 5 जोडेल आणि लूप पुन्हा होईल. जेव्हा हे लूपमधून बाहेर पडते तेव्हा चाचणीची एकूण संख्या 1 ने वाढवा आणि एकूण संसाधनांची संख्या (व्हेरिएबल कुठे थांबले यावर किती अवलंबून आहे). नंतर व्हेरिएबल रीसेट करा आणि पुन्हा प्रारंभ करा. कार्यक्रम अनेक हजार वेळा चालवा. सरतेशेवटी, एकूण संसाधनांना एकूण धावांनी विभाजित करा - हे आपले अपेक्षित मॉन्टे कार्लो मूल्य आहे. आपल्याला मिळणा numbers्या संख्येचे अंदाजे समान आहेत याची खात्री करण्यासाठी बर्\u200dयाच वेळा प्रोग्राम चालवा; जर हा प्रसार अद्याप मोठा असेल तर आपल्याकडून सामने मिळणे सुरू होईपर्यंत बाह्य लूपमध्ये पुनरावृत्तीची संख्या वाढवा. आपणास खात्री असू शकते की आपण जे काही अंक संपविले ते जवळजवळ अचूक असतील.

आपण प्रोग्रामिंगशी परिचित नसल्यास (किंवा आपण असलात तरीही), आपल्या एक्सेल कौशल्यांचा अभ्यास करण्यासाठी येथे थोडासा व्यायाम आहे. आपण गेम डिझायनर असल्यास, एक्सेल कौशल्ये कधीही अनावश्यक नसतात.

आयएफ आणि आरएएनडी कार्ये आत्ताच उपयोगी होतील. RAND ला मूल्य आवश्यक नसते, ते फक्त 0 आणि 1 दरम्यान यादृच्छिक दशांश दर्शविते. सहसा आम्ही ते मरण च्या रोलची नक्कल करण्यासाठी फ्लोअर आणि साधक आणि बाधकांसह एकत्र करतो. तथापि, या प्रकरणात, आम्ही फक्त 10% संधी सोडतो की कार्ड गेम सोडेल, म्हणून आम्ही फक्त तपासू शकतो की आरएएनएल मूल्य 0.1 पेक्षा कमी आहे की नाही आणि आता त्यास त्रास देऊ नये.

आयएफचे तीन अर्थ आहेत. क्रमाने, अशी अट जी एकतर खरी आहे की नाही किंवा नाही, जर ती स्थिती योग्य असेल तर परत मिळते आणि अट सत्य नसल्यास परत मिळविलेले मूल्य. तर खालील कार्य the% वेळ आणि ०% अन्य ०% परत करेल:
\u003d आयएफ (रँड ()<0.1,5,0)

ही आज्ञा सेट करण्याचे बरेच मार्ग आहेत, परंतु मी पहिल्या फेरीचे प्रतिनिधित्व करीत सेलसाठी असे एक सूत्र वापरेन, असे समजूया, हा सेल A1 आहे:

आयएफ (रॅन्ड ()<0.1,0,-1)

येथे “हे कार्ड गेम सोडला नाही आणि अद्याप कोणतीही संसाधने दिली नाही” असे म्हणण्यासाठी मी नकारात्मक चल वापरत आहे. म्हणून जर प्रथम फेरी संपली असेल आणि कार्ड प्ले आउट झाले असेल तर, ए 1 0 आहे; अन्यथा ते -1 आहे.

दुसर्\u200dया फेरीचे प्रतिनिधित्व करीत पुढील सेलसाठीः

आयएफ (ए 1\u003e -1, ए 1, आयएफ (रॅंड ()<0.1,5,-1))

म्हणून जर प्रथम फेरी संपली आणि कार्ड त्वरित गेम सोडला तर ए 1 0 आहे (संसाधनांची संख्या) आणि हे सेल त्या मूल्याची केवळ कॉपी करेल. उलट प्रकरणात ए 1 -1 आहे (कार्डने अद्याप गेम सोडला नाही) आणि हा सेल यादृच्छिकपणे हलवित आहे: 10% जेव्हा ते 5 युनिट्स संसाधनांकडे परत येईल, उर्वरित वेळ त्याचे मूल्य अद्याप असेल -1. जर आम्ही हे सूत्र अतिरिक्त पेशींवर लागू केले तर आम्हाला अतिरिक्त फेs्या मिळतील आणि शेवटी ज्या सेलमध्ये आपणास काही सापडेल त्याचा अंतिम निकाल मिळेल (किंवा -1 आपण खेळलेल्या सर्व फे after्यांनंतर कार्ड गेम सोडला नसेल तर) .

सेलची ही पंक्ती घ्या, जी या कार्डासह एकमेव गोल आहे आणि कित्येक शंभर (किंवा हजारो) पंक्ती कॉपी आणि पेस्ट करा. आम्ही करू शकणार नाही अंतहीनएक्सेलसाठी चाचणी (टेबलमध्ये पेशींची मर्यादित संख्या आहे), परंतु कमीतकमी आम्ही बर्\u200dयाच प्रकरणांचा समावेश करू शकतो. त्यानंतर एक कक्ष निवडा जिथे आपण सर्व फे of्यांच्या निकालांची सरासरी ठेवता (एक्सेल दयाळूपणाने या साठी सरासरी कार्य () फंक्शन प्रदान करते).

विंडोजवर, सर्व यादृच्छिक क्रमांकाची संख्या मोजण्यासाठी आपण किमान F9 दाबा. पूर्वीप्रमाणेच हे बर्\u200dयाच वेळा करा आणि तुम्हाला मिळालेली मूल्ये एकसारखी आहेत का ते पहा. जर प्रसार खूप विस्तृत असेल तर धावांची संख्या दुप्पट करा आणि पुन्हा प्रयत्न करा.

निराकरण न केलेली कार्ये

जर तुमच्याकडे संभाव्यतेमध्ये पीएचडी झाल्यास आणि वरील समस्या तुमच्यासाठी खूपच सोपी वाटल्या आहेत, तर येथे दोन समस्या मी बर्\u200dयाच वर्षांपासून त्रास देत आहे, परंतु, निराकरण करण्यासाठी मी गणितामध्ये इतके चांगले नाही. जर आपणास अचानक तो उपाय माहित असेल तर कृपया येथे टिप्पण्यांमध्ये पोस्ट करा, मी ते आनंदाने वाचतो.

निराकरण न केलेली समस्या क्रमांक 1: लॉटरीआयएमएफ

प्रथम निराकरण न झालेली समस्या ही मागील गृहपाठ असाइनमेंटची आहे. मी सहजपणे मॉन्टे कार्लो पद्धत (सी ++ किंवा एक्सेल वापरुन) लागू करू शकतो आणि “खेळाडूला किती संसाधने मिळतील” या प्रश्नाच्या उत्तरात माझा आत्मविश्वास आहे, परंतु नेमके काय सिद्ध करावे हे मला ठाऊक नाही गणिताचे उत्तर द्या (ही एक अंतहीन मालिका आहे). जर आपल्याला उत्तर माहित असेल तर ते येथे पोस्ट करा ... नक्कीच मॉन्टे कार्लो पद्धतीने हे तपासून काढल्यानंतर.

निराकरण न केलेली समस्या # 2: आकारांचे अनुक्रम

ही समस्या (आणि पुन्हा या ब्लॉगमध्ये सोडवलेल्या कार्यांच्या पलीकडे जाऊन) 10 वर्षांपूर्वी एका परिचित गेमरने माझ्याकडे टाकली होती. वेगासमध्ये ब्लॅकजॅक खेळताना त्याने एक मनोरंजक वैशिष्ट्य लक्षात घेतले: जेव्हा त्याने आपल्या बुटातून 8 डेकसाठी कार्ड काढले तेव्हा त्याने पाहिले दहा सलग तुकडे (एक तुकडा, किंवा तुकडा कार्ड - 10, जोकर, किंग किंवा क्वीन, तर त्यापैकी 16 प्रमाणित कार्ड-कार्ड डेकमध्ये 16 आहेत, तर त्यापैकी 418 कार्डच्या जोडामध्ये 128 आहेत). या बूट मध्ये शक्यता काय आहे किमान एक क्रम दहा किंवा जास्तआकडेवारी? समजा ते यादृच्छिक क्रमाने प्रामाणिकपणे बदलले गेले आहेत. (किंवा, आपणास हे अधिक चांगले वाटल्यास, संभाव्यता कोणती आहे कोठेही सापडला नाही दहा किंवा अधिक आकारांचा क्रम?)

आम्ही कार्य सुलभ करू शकतो. येथे 416-भाग अनुक्रम आहे. प्रत्येक तुकडा ० किंवा १ आहे. या क्रमवारीत १२8 आणि २88 शून्य सहजगत्या विखुरलेले आहेत. 288 शून्यांसह 128 रॅंडम्ली काटू करण्याचे किती मार्ग आहेत आणि या पद्धतींमध्ये किमान दहा किंवा त्यापेक्षा जास्त गट किती वेळा आहेत?

प्रत्येक वेळी जेव्हा मी ही समस्या सोडवण्यास सुरुवात केली, तेव्हा ती माझ्यासाठी सोपी आणि स्पष्ट वाटली, परंतु जेव्हा मी तपशिलात गेलो, तेव्हा अचानक ते खाली पडले आणि मला अशक्य वाटले. तर उत्तर अस्पष्ट करण्यासाठी घाई करू नका: खाली बसून, काळजीपूर्वक विचार करा, समस्येच्या परिस्थितीचा अभ्यास करा, वास्तविक संख्या घेण्याचा प्रयत्न करा, कारण ज्यांच्याशी मी या समस्येबद्दल बोललो आहे असे सर्व लोक (या क्षेत्रात कार्यरत असलेल्या अनेक पदवीधर विद्यार्थ्यांसह) याबद्दल याबद्दल प्रतिक्रिया व्यक्त केली: "हे अगदी स्पष्ट आहे ... अरे, नाही, थांबा, हे अगदी स्पष्ट नाही." हे असेच प्रकरण आहे ज्यासाठी सर्व पर्यायांची गणना करण्याची माझ्याकडे पद्धत नाही. संगणकाच्या अल्गोरिदमद्वारे मी या समस्येवर नक्कीच जबरदस्ती करू शकत असे, परंतु या समस्येचे निराकरण करण्याचा गणिताचा मार्ग जाणून घेणे अधिक उत्सुकतेचे ठरेल.

भाषांतर - वाय. टाकाचेन्को, आय. मिखेवा

पाळीचा वापर मानव हजारो वर्षांपासून करत आहेत.

२१ व्या शतकात नवीन तंत्रज्ञान आपल्याला कोणत्याही सोयीच्या वेळी फासे फिरवण्याची परवानगी देते आणि आपल्याकडे सोयीस्कर ठिकाणी इंटरनेट असल्यास. फासे आपल्याबरोबर घरी किंवा रस्त्यावर नेहमीच असतात.

फासे जनरेटर आपल्याला 1 ते 4 फासे पर्यंत ऑनलाइन रोल करू देते.

ऑनलाइन फासे रोल करा

वास्तविक फासे वापरताना, एका बाजूने मॅन्युअल निपुणता किंवा विशेषतः बनविलेले फासे अधिक वापरले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, आपण एका कोनातून घन फिरवू शकता आणि नंतर संभाव्यता वितरण बदलेल. आमच्या व्हर्च्युअल क्यूबचे वैशिष्ट्य म्हणजे सॉफ्टवेअर स्यूडो-रँडम नंबर जनरेटरचा वापर. हे आपल्याला या किंवा त्या परिणामासाठी खरोखर यादृच्छिक पर्याय प्रदान करण्यास अनुमती देते.

आणि आपण हे पृष्ठ आपल्या बुकमार्कमध्ये जोडल्यास, नंतर आपल्या ऑनलाइन फासा कोठेही गमावला जाणार नाही आणि योग्य वेळी नेहमीच हातात असेल!

काही लोक भविष्य सांगण्यासाठी किंवा भविष्य सांगण्यासाठी किंवा पत्रिकांसाठी ऑनलाइन फासे वापरण्यास अनुकूल आहेत.

शुभेच्छा, शुभेच्छा आणि शुभेच्छा!