9 च्या फरकासह लहान अंकगणित प्रगतीचे गुणधर्म. अंकगणित प्रगती

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या समस्या प्राचीन काळापासून अस्तित्वात होत्या. ते दिसले आणि त्यांनी उपायाची मागणी केली कारण त्यांना व्यावहारिक गरज होती.

तर, प्राचीन इजिप्तच्या एका पॅपिरीमध्ये, ज्यामध्ये गणितीय सामग्री आहे - रिंड पॅपिरस (XIX शतक BC) - मध्ये खालील समस्या आहेत: दहा लोकांमध्ये ब्रेडचे दहा माप विभाजित करा, जर त्या प्रत्येकातील फरक एक असेल. - मोजमापाचा आठवा.

आणि प्राचीन ग्रीक लोकांच्या गणितीय कार्यांमध्ये, अंकगणिताच्या प्रगतीशी संबंधित मोहक प्रमेये आहेत. म्हणून, अलेक्झांड्रियाचे Hypsicles (दुसरे शतक, ज्यांनी अनेक मनोरंजक समस्या निर्माण केल्या आणि युक्लिडच्या "तत्त्वे" मध्ये चौदावे पुस्तक जोडले, त्यांनी ही कल्पना मांडली: “अंकगणितीय प्रगतीमध्ये सदस्यांची संख्या सम संख्येने, दुसऱ्या सदस्यांची बेरीज अर्धा भाग पहिल्या सहामाहीच्या सदस्यांच्या बेरीज पेक्षा मोठा आहे प्रति वर्ग 1 / 2 सदस्य संख्या ".

क्रम a द्वारे दर्शविला जातो. अनुक्रमाच्या संख्यांना त्याचे सदस्य म्हणतात आणि सामान्यत: या सदस्याची क्रमिक संख्या दर्शविणार्‍या निर्देशांकांसह अक्षरे दर्शविली जातात (a1, a2, a3 ... वाचा: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" आणि असेच).

क्रम अंतहीन किंवा मर्यादित असू शकतो.

अंकगणित प्रगती म्हणजे काय? समान संख्या d सह मागील पद (n) जोडून प्राप्त केलेला एक समजला जातो, जो प्रगतीचा फरक आहे.

जर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, नंतर अशी प्रगती चढत्या मानली जाते.

अंकगणिताच्या प्रगतीला त्याच्या पहिल्या काही सदस्यांचा विचार केला तर त्याला मर्यादित असे म्हणतात. मोठ्या संख्येने सदस्यांसह, ही आधीच एक अंतहीन प्रगती आहे.

कोणतीही अंकगणित प्रगती खालील सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केली जाते:

an = kn + b, तर b आणि k काही संख्या आहेत.

विरुद्ध विधान पूर्णपणे सत्य आहे: जर समान सूत्राने अनुक्रम दिलेला असेल, तर ती अचूक अंकगणित प्रगती आहे ज्यामध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

1. प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य हा मागील सदस्याचा आणि पुढील सदस्याचा अंकगणितीय सरासरी असतो.
2. विरुद्ध: जर, 2 रा पासून सुरू होत असेल तर, प्रत्येक पद मागील टर्म आणि पुढील टर्मचा अंकगणितीय माध्य असेल, म्हणजे. जर अट पूर्ण झाली, तर हा क्रम अंकगणितीय प्रगती आहे. ही समानता देखील प्रगतीचे लक्षण आहे, म्हणून याला सामान्यतः प्रगतीचा वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म म्हणतात.
   त्याचप्रकारे, हा गुणधर्म प्रतिबिंबित करणारा प्रमेय सत्य आहे: अनुक्रम ही अंकगणितीय प्रगती असेल तरच ही समानता 2 रा पासून सुरू होणार्‍या अनुक्रमातील कोणत्याही सदस्यासाठी सत्य असेल.

अंकगणित प्रगतीच्या कोणत्याही चार संख्यांसाठी वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म an + am = ak + al या सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाऊ शकतात, जर n + m = k + l (m, n, k या प्रगतीच्या संख्या असतील).

अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये, खालील सूत्र वापरून कोणतीही आवश्यक (Nth) संज्ञा शोधली जाऊ शकते:

उदाहरणार्थ: अंकगणित प्रगतीमधील पहिली संज्ञा (a1) दिली आहे आणि ती तीन आहे आणि फरक (d) चार आहे. तुम्हाला या प्रगतीचा पंचेचाळीसवा टर्म शोधण्याची गरज आहे. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

an = ak + d (n - k) हे सूत्र तुम्हाला अंकगणिताच्या प्रगतीची nवी संज्ञा त्याच्या kth टर्ममधून निर्धारित करण्यास अनुमती देते, जर ते ज्ञात असेल.

अंकगणित प्रगतीच्या सदस्यांची बेरीज (म्हणजे अंतिम प्रगतीचे 1 ला सदस्य) खालीलप्रमाणे मोजली जाते:

Sn = (a1 + an) n / 2.

जर 1ली संज्ञा देखील ज्ञात असेल, तर गणनासाठी दुसरे सूत्र सोयीचे आहे:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

अंकगणित प्रगतीची बेरीज, ज्यामध्ये n सदस्य आहेत, खालीलप्रमाणे मोजले जातात:

गणनेसाठी सूत्रांची निवड समस्यांच्या परिस्थितीवर आणि प्रारंभिक डेटावर अवलंबून असते.

1,2,3, ..., n, ... सारख्या कोणत्याही संख्येची नैसर्गिक मालिका हे अंकगणिताच्या प्रगतीचे सर्वात सोपे उदाहरण आहे.

अंकगणित प्रगती व्यतिरिक्त, एक भौमितिक देखील आहे, ज्याचे स्वतःचे गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये आहेत.

जर प्रत्येक नैसर्गिक संख्या n वास्तविक संख्या जुळवा एक एन , नंतर ते म्हणतात की ते दिले आहे संख्यात्मक क्रम :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , एक एन , . . . .

तर, संख्यात्मक क्रम हे नैसर्गिक युक्तिवादाचे कार्य आहे.

क्रमांक a 1 म्हटले जाते क्रमाचा पहिला सदस्य , संख्या a 2 — दुसरी टर्म , संख्या a 3 — तिसऱ्या इ. क्रमांक एक एन म्हटले जाते अनुक्रमाची nवी संज्ञा , आणि नैसर्गिक संख्या n — त्याचा नंबर .

शेजारच्या दोन सदस्यांची एक एन आणि एक एन +1 अनुक्रम सदस्य एक एन +1 म्हटले जाते त्यानंतरचे (कडे एक एन ), अ एक एन — मागील (कडे एक एन +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करण्यासाठी, आपल्याला एक पद्धत निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे जी आपल्याला कोणत्याही संख्येसह अनुक्रमाचा सदस्य शोधण्याची परवानगी देते.

अनेकदा सह क्रम दिलेला आहे nवी टर्म सूत्रे , म्हणजे, एक सूत्र जो तुम्हाला अनुक्रमाचा सदस्य त्याच्या संख्येनुसार निर्धारित करण्यास अनुमती देतो.

उदाहरणार्थ,

सकारात्मक विषम संख्यांचा क्रम सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो

एक एन= 2n - 1,

आणि पर्यायी क्रम 1 आणि -1 - सूत्रानुसार

b n = (-1)n +1 . ◄

क्रम ठरवता येतो आवर्ती सूत्र, म्हणजे, एक सूत्र जे मागील (एक किंवा अधिक) सदस्यांद्वारे, काही पासून सुरू होणार्‍या, अनुक्रमातील कोणताही सदस्य व्यक्त करतो.

उदाहरणार्थ,

तर a 1 = 1 , अ एक एन +1 = एक एन + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

तर a 1= 1, a 2 = 1, एक एन +2 = एक एन + एक एन +1 , नंतर संख्यात्मक क्रमाचे पहिले सात सदस्य खालीलप्रमाणे सेट केले आहेत:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम असू शकतात अंतिम आणि अंतहीन .

क्रम म्हणतात अंतिम जर त्यात सदस्यांची मर्यादित संख्या असेल. क्रम म्हणतात अंतहीन जर त्यात असंख्य सदस्य असतील.

उदाहरणार्थ,

दोन-अंकी नैसर्गिक संख्यांचा क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम

प्राइम्सचा क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अंतहीन ◄

क्रम म्हणतात वाढत आहे जर त्याचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्यापेक्षा मोठा असेल.

क्रम म्हणतात कमी होत आहे जर त्याचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्यापेक्षा कमी असेल.

उदाहरणार्थ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - वाढत्या क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - कमी होत जाणारा क्रम. ◄

ज्याचे घटक वाढत्या संख्येने कमी होत नाहीत किंवा उलट वाढत नाहीत, अशा क्रमाला म्हणतात नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेषतः, चढत्या क्रम आणि उतरत्या क्रम आहेत.

अंकगणित प्रगती

अंकगणित प्रगती एक क्रम म्हणतात, ज्याचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील एकाच्या बरोबरीचा असतो, ज्यामध्ये समान संख्या जोडली जाते.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , एक एन, . . .

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी एक अंकगणित प्रगती आहे n अट पूर्ण केली आहे:

एक एन +1 = एक एन + d,

कुठे d - काही संख्या.

अशा प्रकारे, दिलेल्या अंकगणित प्रगतीच्या पुढील आणि मागील सदस्यांमधील फरक नेहमी स्थिर असतो:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = एक एन +1 - एक एन = d.

क्रमांक d म्हटले जाते अंकगणित प्रगतीचा फरक.

अंकगणित प्रगती सेट करण्यासाठी, त्याची पहिली संज्ञा आणि फरक दर्शविण्यास पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ,

तर a 1 = 3, d = 4 , नंतर अनुक्रमाचे पहिले पाच सदस्य खालीलप्रमाणे आढळतात:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

पहिल्या पदासह अंकगणित प्रगतीसाठी a 1 आणि फरक d तिला n

एक एन = a 1 + (n- 1)d

उदाहरणार्थ,

अंकगणिताच्या प्रगतीची तीसवी संज्ञा शोधा

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

एक 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक n-1 = a 1 + (n- 2)ड,

एक एन= a 1 + (n- 1)ड,

एक एन +1 = a 1 + एनडी,

मग स्पष्टपणे

अंकगणित प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, आधीच्या आणि त्यानंतरच्या सदस्यांच्या अंकगणितीय सरासरीइतका असतो.

संख्या a, b आणि c हे काही अंकगणितीय प्रगतीचे सलग सदस्य आहेत जर आणि फक्त जर त्यांपैकी एक इतर दोनच्या अंकगणितीय मध्याशी समान असेल.

उदाहरणार्थ,

एक एन = 2n- 7 , एक अंकगणित प्रगती आहे.

वरील विधान वापरू. आमच्याकडे आहे:

एक एन = 2n- 7,

एक n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

त्यामुळे,

◄

लक्षात ठेवा की n -अंकगणितीय प्रगतीची व्या संज्ञा केवळ द्वारेच आढळू शकत नाही a 1 , पण कोणत्याही मागील a k

एक एन = a k + (n- k)d.

उदाहरणार्थ,

च्या साठी a 5 लिहिले जाऊ शकते

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

एक एन = एक n-k + kd,

एक एन = a n + k - kd,

मग स्पष्टपणे

अंकगणित प्रगतीचा कोणताही सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, या अंकगणित प्रगतीच्या सदस्यांच्या अर्ध्या बेरजेएवढा असतो.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही अंकगणित प्रगतीसाठी, समानता सत्य आहे:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगती मध्ये

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, कारण

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ एक एन,

पहिला n अंकगणित प्रगतीचे सदस्य अटींच्या संख्येनुसार अत्यंत पदांच्या अर्ध्या बेरीजच्या गुणाकाराच्या समान आहेत:

म्हणून, विशेषतः, अटींची बेरीज करणे आवश्यक असल्यास ते खालीलप्रमाणे आहे

a k, a k +1 , . . . , एक एन,

नंतर मागील सूत्र त्याची रचना राखून ठेवते:

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगती मध्ये 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

जर अंकगणित प्रगती दिली असेल, तर मूल्ये a 1 , एक एन, d, nआणिएस n दोन सूत्रांनी जोडलेले:

म्हणून, यापैकी तीन प्रमाणांची मूल्ये दिली असल्यास, दोन अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये एकत्रित करून, या सूत्रांवरून इतर दोन प्रमाणांची संबंधित मूल्ये निर्धारित केली जातात.

एक अंकगणित प्रगती एक एकल क्रम आहे. ज्यामध्ये:

• तर d > 0 , नंतर ते वाढत आहे;
• तर d < 0 , नंतर ते कमी होत आहे;
• तर d = 0 , नंतर क्रम स्थिर असेल.

भौमितिक प्रगती

भौमितिक प्रगती एक क्रम म्हणतात, ज्याचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्याच्या समान असतो, त्याच संख्येने गुणाकार केला जातो.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी भौमितीय प्रगती आहे n अट पूर्ण केली आहे:

b n +1 = b n · q,

कुठे q ≠ 0 - काही संख्या.

अशा प्रकारे, दिलेल्या भूमितीय प्रगतीच्या पुढील सदस्याचे मागील सदस्याचे गुणोत्तर ही स्थिर संख्या आहे:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

क्रमांक q म्हटले जाते भौमितिक प्रगतीचा भाजक.

भौमितिक प्रगती सेट करण्यासाठी, त्याची पहिली संज्ञा आणि भाजक दर्शविणे पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ,

तर b 1 = 1, q = -3 , नंतर अनुक्रमाचे पहिले पाच सदस्य खालीलप्रमाणे आढळतात:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 आणि भाजक q तिला n व्या पद सूत्राद्वारे आढळू शकते:

b n = b 1 · q n -1 .

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगतीची सातवी संज्ञा शोधा 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = १ २ ६ = ६४. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

मग स्पष्टपणे

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

भौमितिक प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, आधीच्या आणि त्यानंतरच्या सदस्यांच्या भौमितिक माध्य (प्रमाणात) समान असतो.

संभाषण विधान देखील सत्य असल्याने, खालील विधान धारण करते:

संख्या a, b आणि c या काही भौमितिक प्रगतीचे सलग सदस्य आहेत जर आणि फक्त जर त्यांपैकी एकाचा वर्ग इतर दोनच्या गुणाकाराच्या समान असेल, म्हणजे, संख्यांपैकी एक हा इतर दोनचा भौमितीय मध्य असेल.

उदाहरणार्थ,

सूत्राने दिलेला क्रम सिद्ध करू b n= -3 2 n , एक घातांकीय प्रगती आहे. वरील विधान वापरू. आमच्याकडे आहे:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

त्यामुळे,

b n 2 = (-३ २ n) २ = (-३ २ n -1 ) (-३ २ n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

जे आवश्यक विधान सिद्ध करते. ◄

लक्षात ठेवा की n भौमितिक प्रगतीचा -वा टर्म केवळ द्वारेच आढळू शकत नाही b 1 पण कोणत्याही मागील मुदत b k , ज्यासाठी सूत्र वापरणे पुरेसे आहे

b n = b k · q n - k.

उदाहरणार्थ,

च्या साठी b 5 लिहिले जाऊ शकते

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

मग स्पष्टपणे

b n 2 = b n - k· b n + k

दुसर्‍यापासून सुरू होणार्‍या भौमितीय प्रगतीच्या कोणत्याही सदस्याचा वर्ग, या प्रगतीच्या सदस्यांच्या गुणाकाराच्या समान आहे.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही भौमितिक प्रगतीसाठी, समानता सत्य आहे:

b m· b n= b k· b l,

मी+ n= k+ l.

उदाहरणार्थ,

वेगाने

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , कारण

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

पहिला n भाजकासह भौमितिक प्रगतीचे सदस्य q ≠ 0 सूत्रानुसार गणना:

आणि कधी q = 1 - सूत्रानुसार

एस एन= nb 1

लक्षात ठेवा की जर तुम्हाला अटींची बेरीज करायची असेल

b k, b k +1 , . . . , b n,

नंतर सूत्र वापरले जाते:

उदाहरणार्थ,

वेगाने 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

भौमितिक प्रगती दिली असल्यास, मूल्ये b 1 , b n, q, nआणि एस एन दोन सूत्रांनी जोडलेले:

म्हणून, यापैकी कोणत्याही तीन प्रमाणांची मूल्ये दिली असल्यास, दोन अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये एकत्रित करून, या सूत्रांवरून इतर दोन प्रमाणांची संबंधित मूल्ये निर्धारित केली जातात.

पहिल्या पदासह भौमितिक प्रगतीसाठी b 1 आणि भाजक q खालील मोनोटोनिक गुणधर्म :

• पुढीलपैकी एक अटी पूर्ण झाल्यास प्रगती चढते आहे:

b 1 > 0 आणि q> 1;

b 1 < 0 आणि 0 < q< 1;

• पुढीलपैकी एक अटी पूर्ण केल्यास प्रगती कमी होत आहे:

b 1 > 0 आणि 0 < q< 1;

b 1 < 0 आणि q> 1.

तर q< 0 , नंतर भौमितिक प्रगती पर्यायी आहे: त्याच्या विषम-संख्येतील सदस्यांचे चिन्ह त्याच्या पहिल्या पदासारखेच असते आणि सम-संख्येच्या संज्ञांचे विरुद्ध चिन्ह असते. हे स्पष्ट आहे की पर्यायी भूमितीय प्रगती नीरस नाही.

पहिल्याचे काम n भौमितिक प्रगतीचे सदस्य सूत्रानुसार मोजले जाऊ शकतात:

पी एन= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

उदाहरणार्थ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

भौमितिक प्रगती असीमपणे कमी होत आहे

भौमितिक प्रगती असीमपणे कमी होत आहे याला अनंत भौमितीय प्रगती म्हणतात, ज्याच्या भाजकाचे मॉड्यूलस पेक्षा कमी आहे 1 , ते आहे

|q| < 1 .

लक्षात घ्या की अमर्यादपणे कमी होणारी भौमितिक प्रगती हा कमी होणारा क्रम असू शकत नाही. हे या प्रकरणात बसते

1 < q< 0 .

अशा भाजकासह, क्रम पर्यायी आहे. उदाहरणार्थ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

असीमपणे कमी होत असलेल्या भौमितिक प्रगतीची बेरीज ही संख्या आहे ज्याची बेरीज प्रथम आहे n संख्येत अमर्याद वाढीसह प्रगतीचे सदस्य n ... ही संख्या नेहमी मर्यादित असते आणि सूत्राद्वारे व्यक्त केली जाते

उदाहरणार्थ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित आणि भौमितिक प्रगती यांच्यातील संबंध

अंकगणित आणि भूमितीय प्रगती यांचा जवळचा संबंध आहे. फक्त दोन उदाहरणे पाहू.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , नंतर

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

उदाहरणार्थ,

1, 3, 5, . . . - फरकासह अंकगणित प्रगती 2 आणि

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - भाजकासह भौमितिक प्रगती 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - भाजकासह भौमितिक प्रगती q , नंतर

लॉग a b 1, लॉग a b 2, लॉग a b 3, . . . - फरकासह अंकगणित प्रगती लॉग aq .

उदाहरणार्थ,

2, 12, 72, . . . - भाजकासह भौमितिक प्रगती 6 आणि

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - फरकासह अंकगणित प्रगती lg 6 . ◄

धड्याचा प्रकार:नवीन साहित्य शिकणे.

धड्याची उद्दिष्टे:

• अंकगणित प्रगती वापरून सोडवलेल्या समस्यांबद्दल विद्यार्थ्यांच्या कल्पनांचा विस्तार आणि सखोलता; अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या n सदस्यांच्या बेरीजसाठी सूत्राच्या व्युत्पत्तीमध्ये विद्यार्थ्यांच्या शोध क्रियाकलापांची संघटना;
• स्वतंत्रपणे नवीन ज्ञान प्राप्त करण्यासाठी कौशल्यांचा विकास, निर्धारित कार्य साध्य करण्यासाठी आधीच प्राप्त केलेले ज्ञान वापरणे;
• इच्छेचा विकास आणि प्राप्त झालेल्या तथ्यांचे सामान्यीकरण करण्याची गरज, स्वातंत्र्याचा विकास.

कार्ये:

• "अंकगणित प्रगती" या विषयावरील विद्यमान ज्ञानाचे सामान्यीकरण आणि पद्धतशीरीकरण करणे;
• अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या n पदांच्या बेरजेची गणना करण्यासाठी सूत्रे काढा;
• विविध समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी प्राप्त सूत्रे कशी लागू करावी हे शिकवण्यासाठी;
• अंकीय अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधताना क्रियांच्या क्रमाकडे विद्यार्थ्यांचे लक्ष वेधण्यासाठी.

उपकरणे:

• गट आणि जोड्यांमध्ये काम करण्यासाठी असाइनमेंट असलेली कार्डे;
• मूल्यांकन पेपर;
• सादरीकरण"अंकगणित प्रगती".

I. मूलभूत ज्ञान अद्यतनित करणे.

1. जोड्यांमध्ये स्वतंत्र कार्य.

पहिला पर्याय:

अंकगणिताच्या प्रगतीची व्याख्या द्या. अंकगणिताच्या प्रगतीची व्याख्या करणारे आवर्ती सूत्र लिहा. हॅलो अंकगणित प्रगतीचे उदाहरण आणि त्यातील फरक दर्शवा.

दुसरा पर्याय:

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्र लिहा. अंकगणिताच्या प्रगतीची 100 वी संज्ञा शोधा ( एक एन}: 2, 5, 8 …
यावेळी बोर्डाच्या मागच्या बाजूला दोन विद्यार्थी त्याच प्रश्नांची उत्तरे तयार करतात.
विद्यार्थी मंडळाच्या विरोधात भागीदाराच्या कार्याचे मूल्यांकन करतात. (उत्तरपत्रिका सुपूर्द केल्या आहेत).

2. गेम क्षण.

व्यायाम १.

शिक्षक.मी काही अंकगणितीय प्रगतीची कल्पना केली आहे. मला फक्त दोन प्रश्न विचारा जेणेकरून उत्तरांनंतर तुम्ही या प्रगतीच्या 7 व्या टर्मचे नाव पटकन देऊ शकता. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

विद्यार्थ्यांचे प्रश्न.

1. प्रगतीमध्ये सहावे पद काय आहे आणि फरक काय आहे?
2. प्रगतीमध्ये आठवी संज्ञा काय आहे आणि फरक काय आहे?

आणखी प्रश्न नसल्यास, शिक्षक त्यांना उत्तेजित करू शकतात - d वर "बंदी" (फरक), म्हणजेच, फरक काय आहे हे विचारण्याची परवानगी नाही. तुम्ही प्रश्न विचारू शकता: प्रगतीची 6 वी टर्म काय आहे आणि प्रगतीची 8 वी टर्म काय आहे?

कार्य २.

बोर्डवर 20 अंक लिहिलेले आहेत: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

शिक्षक पाठीमागे काळ्या फळ्यावर उभा आहे. विद्यार्थी त्या नंबरवर कॉल करतात आणि शिक्षक लगेचच नंबरवर कॉल करतात. मी ते कसे करू ते स्पष्ट करा?

शिक्षकाला नववीचे सूत्र आठवते a n = 3n - 2आणि, n ची दिलेली मूल्ये बदलून, संबंधित मूल्ये शोधतात एक एन.

II. शैक्षणिक समस्येचे विधान.

मी इजिप्शियन पपीरीमध्ये सापडलेल्या 2 रा सहस्राब्दी बीसीच्या प्राचीन समस्येचे निराकरण करण्याचा प्रस्ताव देतो.

कार्य:"तुम्हाला असे म्हणू द्या: 10 लोकांमध्ये बार्लीचे 10 माप विभाजित करा, प्रत्येक व्यक्ती आणि त्याच्या शेजारी यांच्यातील फरक मोजण्याच्या 1/8 सारखा आहे."

• हे कार्य अंकगणित प्रगती विषयाशी कसे संबंधित आहे? (पुढील प्रत्येकाला 1/8 मोजमाप जास्त मिळते, याचा अर्थ फरक d = 1/8, 10 लोक, म्हणजे n = 10.)
• तुम्हाला 10 क्रमांकाचा अर्थ काय वाटतो? (प्रगतीच्या सर्व सदस्यांची बेरीज.)
• कार्याच्या स्थितीनुसार बार्ली विभाजित करणे सोपे आणि सोपे करण्यासाठी आपल्याला आणखी काय माहित असणे आवश्यक आहे? (प्रगतीतील पहिली टर्म.)

धड्याचे उद्दिष्ट- प्रगतीच्या सदस्यांच्या बेरजेची त्यांची संख्या, पहिली मुदत आणि फरक यावर अवलंबून राहणे आणि प्राचीन काळात समस्या योग्यरित्या सोडवली गेली आहे की नाही हे तपासणे.

सूत्राचा निष्कर्ष काढण्यापूर्वी, प्राचीन इजिप्शियन लोकांनी समस्येचे निराकरण कसे केले ते पाहू या.

आणि त्यांनी ते खालीलप्रमाणे सोडवले:

1) 10 उपाय: 10 = 1 उपाय - सरासरी शेअर;
2) 1 माप ∙ = 2 उपाय - दुप्पट सरासरीशेअर
दुप्पट सरासरीशेअर म्हणजे 5व्या आणि 6व्या लोकांच्या शेअर्सची बेरीज.
3) 2 उपाय - 1/8 उपाय = 1 7/8 उपाय - पाचव्या व्यक्तीच्या दुप्पट वाटा.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - पाचव्याचा वाटा; आणि याप्रमाणे, आपण प्रत्येक मागील आणि त्यानंतरच्या व्यक्तीचा वाटा शोधू शकता.

आम्हाला क्रम मिळतो:

III. समस्येचे निराकरण.

1. गटांमध्ये काम करणे

गट I:सलग 20 नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शोधा: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

सामान्यतः

II गट: 1 ते 100 (द लीजेंड ऑफ द लिटल गॉस) मधील नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शोधा.

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

आउटपुट:

III गट: 1 ते 21 पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शोधा.

ऊत्तराची: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

आउटपुट:

IV गट: 1 ते 101 पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शोधा.

आउटपुट:

विचारात घेतलेल्या समस्यांचे निराकरण करण्याच्या या पद्धतीस "गॉस पद्धत" म्हणतात.

2. प्रत्येक गट बोर्डवर समस्येचे निराकरण सादर करतो.

3. अनियंत्रित अंकगणित प्रगतीसाठी प्रस्तावित उपायांचे सामान्यीकरण:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

अशाच प्रकारे तर्क करून ही बेरीज शोधूया:

4. आम्ही हातातील काम सोडवले आहे का?(होय.)

IV. समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी प्राप्त सूत्रांचे प्राथमिक आकलन आणि वापर.

1. सूत्र वापरून जुन्या समस्येचे निराकरण तपासणे.

2. विविध समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी सूत्राचा वापर.

3. समस्या सोडवताना सूत्र लागू करण्याची क्षमता तयार करण्यासाठी व्यायाम.

अ) क्र. 613

दिले: ( a n) -अंकगणित प्रगती;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

शोधणे: एस १५००

उपाय: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,

ब) दिले: ( a n) -अंकगणित प्रगती;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

शोधणे: n
उपाय:

V. परस्पर पडताळणीसह स्वतंत्र कार्य.

डेनिस कुरिअर म्हणून कामावर गेला. पहिल्या महिन्यात, त्याचा पगार 200 रूबल होता, त्यानंतरच्या प्रत्येक महिन्यात तो 30 रूबलने वाढला. एका वर्षात त्याने किती कमाई केली?

दिले: ( a n) -अंकगणित प्रगती;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
शोधणे: एस १२
उपाय:

उत्तरः डेनिसला एका वर्षात 4380 रूबल मिळाले.

वि. गृहपाठ ब्रीफिंग.

1. p. 4.3 - सूत्राची व्युत्पत्ती जाणून घ्या.
2. №№ 585, 623 .
3. अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या n अटींच्या बेरजेसाठी सूत्र वापरून सोडवली जाणारी समस्या तयार करा.

vii. धड्याचा सारांश.

1. मूल्यमापन पत्रक

2. वाक्ये सुरू ठेवा

• आज मी धड्यात शिकलो...
• शिकलेली सूत्रे...
• मी असे वाटते की …

3. तुम्हाला 1 ते 500 पर्यंतच्या संख्येची बेरीज सापडेल का? ही समस्या सोडवण्यासाठी तुम्ही कोणती पद्धत वापराल?

संदर्भग्रंथ.

1. बीजगणित, 9वी इयत्ता. शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक. एड. जी.व्ही. डोरोफीवा.एम.: "शिक्षण", 2009.

I. व्ही. याकोव्लेव्ह | गणित साहित्य | MathUs.ru

अंकगणित प्रगती

अंकगणित प्रगती हा एक विशेष प्रकारचा क्रम आहे. म्हणून, अंकगणित (आणि नंतर भौमितिक) प्रगतीची व्याख्या करण्यापूर्वी, आपल्याला संख्या क्रमाच्या महत्त्वाच्या संकल्पनेची थोडक्यात चर्चा करणे आवश्यक आहे.

त्यानंतरचा

स्क्रीनवर एका उपकरणाची कल्पना करा ज्यावर एकामागून एक काही संख्या प्रदर्शित केल्या जातात. चला 2 म्हणूया; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: संख्यांचा हा संच अनुक्रमाचे फक्त एक उदाहरण आहे.

व्याख्या. संख्यात्मक क्रम हा संख्यांचा एक संच आहे ज्यामध्ये प्रत्येक संख्येला एक अनन्य संख्या नियुक्त केली जाऊ शकते (म्हणजे, एकच नैसर्गिक संख्या संबद्ध करण्यासाठी) 1. n या संख्येला अनुक्रमाचा n-वा सदस्य म्हणतात.

तर, वरील उदाहरणात, पहिल्या क्रमांकाला 2 हा क्रमांक आहे, हा क्रमाचा पहिला सदस्य आहे, ज्याला a1 असे सूचित केले जाऊ शकते; क्रमांक पाचमध्ये क्रमांक 6 आहे ही अनुक्रमातील पाचवी संज्ञा आहे, जी a5 म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. सर्वसाधारणपणे, अनुक्रमातील nवा पद an (किंवा bn, cn, इ.) दर्शविला जातो.

जेव्हा क्रमाची n-वी संज्ञा काही सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केली जाऊ शकते तेव्हा परिस्थिती अतिशय सोयीची असते. उदाहरणार्थ, सूत्र an = 2n 3 अनुक्रम परिभाषित करते: 1; 1; 3; 5; 7; ::: सूत्र an = (1) n अनुक्रम परिभाषित करते: 1; 1; 1; 1; :::

संख्यांचा प्रत्येक संच हा क्रम नसतो. म्हणून, एक खंड एक क्रम नाही; त्यामध्ये पुन्हा क्रमांकित करण्यासाठी "खूप जास्त" संख्या आहेत. सर्व वास्तविक संख्यांचा संच R हा देखील एक क्रम नाही. गणितीय विश्लेषणामध्ये ही तथ्ये सिद्ध होतात.

अंकगणित प्रगती: मूलभूत व्याख्या

आता आम्ही अंकगणित प्रगती परिभाषित करण्यास तयार आहोत.

व्याख्या. अंकगणितीय प्रगती हा एक क्रम आहे, ज्यातील प्रत्येक पद (दुसऱ्यापासून सुरू होणारी) मागील पदाच्या बेरीज आणि काही निश्चित संख्या (याला अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक म्हणतात) समान आहे.

उदाहरणार्थ, अनुक्रम 2; 5; आठ; अकरा; ::: ही पहिली संज्ञा 2 आणि फरक 3 असलेली अंकगणितीय प्रगती आहे. अनुक्रम 7; 2; 3; आठ; ::: ही पहिली संज्ञा 7 आणि फरक 5 असलेली अंकगणितीय प्रगती आहे. अनुक्रम 3; 3; 3; ::: शून्य फरक असलेली अंकगणित प्रगती आहे.

समतुल्य व्याख्या: अनुक्रम an ला अंकगणितीय प्रगती म्हणतात जर फरक a + 1 an हे स्थिर मूल्य असेल (n पासून स्वतंत्र).

अंकगणिताच्या प्रगतीस त्याचे फरक सकारात्मक असल्यास वाढणे आणि फरक नकारात्मक असल्यास कमी होणे म्हणतात.

1 आणि येथे एक अधिक लॅकोनिक व्याख्या आहे: अनुक्रम हे नैसर्गिक संख्यांच्या संचावर परिभाषित केलेले कार्य आहे. उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्यांचा क्रम म्हणजे फंक्शन f: N! आर.

डीफॉल्टनुसार, अनुक्रमांना अनंत मानले जाते, म्हणजे, अनंत संख्येचा समावेश आहे. परंतु मर्यादित अनुक्रमांचाही विचार करण्याची तसदी कोणी घेत नाही; खरं तर, संख्यांच्या कोणत्याही मर्यादित संचाला मर्यादित अनुक्रम म्हणता येईल. उदाहरणार्थ, अंतिम क्रम 1 आहे; 2; 3; 4; 5 मध्ये पाच संख्या असतात.

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र

हे समजणे सोपे आहे की अंकगणित प्रगती पूर्णपणे दोन संख्यांद्वारे निर्धारित केली जाते: पहिली संज्ञा आणि फरक. म्हणून, प्रश्न उद्भवतो: प्रथम पद आणि फरक जाणून, अंकगणित प्रगतीचा अनियंत्रित सदस्य कसा शोधायचा?

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी आवश्यक सूत्र प्राप्त करणे कठीण नाही. द्या एक

समस्या 1. अंकगणित प्रगती 2 मध्ये; 5; आठ; अकरा; ::: nव्या पदासाठी सूत्र शोधा आणि शंभरव्या पदाची गणना करा.

उपाय. सूत्र (1) नुसार, आमच्याकडे आहे:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

अंकगणिताच्या प्रगतीचे गुणधर्म आणि चिन्ह

अंकगणित प्रगती गुणधर्म. अंकगणित प्रगती मध्ये an for any

दुसऱ्या शब्दांत, अंकगणित प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य (दुसऱ्यापासून सुरू होणारा) शेजारच्या सदस्यांचा अंकगणितीय माध्य आहे.

आवश्यक.

अधिक सामान्यतः, अंकगणित प्रगती समानतेचे समाधान करते

a n = a n k + a n + k

कोणत्याही n> 2 आणि कोणत्याही नैसर्गिक k साठी< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

असे दिसून आले की फॉर्म्युला (2) केवळ एक आवश्यक नाही, तर अंकगणित प्रगती होण्यासाठी अनुक्रमासाठी एक पुरेशी अट देखील आहे.

अंकगणिताच्या प्रगतीचे लक्षण. जर समानता (2) सर्व n> 2 साठी धरली, तर अनुक्रम an ही अंकगणितीय प्रगती आहे.

पुरावा. खालीलप्रमाणे सूत्र (2) पुन्हा लिहू:

a na n 1 = a n + 1a n:

हे दर्शविते की फरक an + 1 an n वर अवलंबून नाही आणि याचा अर्थ असा की अनुक्रम an ही अंकगणितीय प्रगती आहे.

अंकगणिताच्या प्रगतीचे गुणधर्म आणि वैशिष्ट्य एकल विधान म्हणून तयार केले जाऊ शकते; सोयीसाठी, आम्ही हे तीन संख्यांसाठी करू (ही अशी परिस्थिती आहे जी बर्याचदा समस्यांमध्ये येते).

अंकगणिताच्या प्रगतीचे वैशिष्ट्य. तीन संख्या a, b, c एक अंकगणितीय प्रगती बनवतात जर आणि फक्त 2b = a + c असेल तर.

समस्या 2. (मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटी, इकॉनॉमिक्स फॅकल्टी, 2007) दर्शविलेल्या क्रमातील तीन संख्या 8x, 3 x2 आणि 4 कमी होत जाणारी अंकगणित प्रगती तयार करतात. x शोधा आणि या प्रगतीचा फरक दर्शवा.

उपाय. अंकगणित प्रगतीच्या गुणधर्मानुसार, आमच्याकडे आहे:

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

जर x = 1, तर आपल्याला 8, 2, 4 या फरकाने कमी होत जाणारी प्रगती मिळते 6. जर x = 5, तर आपल्याला वाढती प्रगती 40, 22, 4 मिळेल; हे प्रकरण चांगले नाही.

उत्तर: x = 1, फरक 6 आहे.

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज

आख्यायिका आहे की एकदा शिक्षकांनी मुलांना 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्येची बेरीज शोधण्यास सांगितले आणि शांतपणे वर्तमानपत्र वाचायला बसले. तथापि, काही मिनिटांनंतर, एका मुलाने सांगितले की त्याने समस्या सोडवली आहे. तो 9 वर्षांचा कार्ल फ्रेडरिक गॉस होता, जो नंतर इतिहासातील महान गणितज्ञांपैकी एक होता.

लिटल गॉसची ही कल्पना होती. असू द्या

S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

ही रक्कम उलट क्रमाने लिहू:

S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;

आणि ही दोन सूत्रे जोडा:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कंसातील प्रत्येक पद 101 च्या समान आहे आणि एकूण 100 अशा संज्ञा आहेत. म्हणून,

2S = 101 100 = 10100;

बेरीज फॉर्म्युला काढण्यासाठी आम्ही ही कल्पना वापरतो

S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)

सूत्र (3) चा उपयुक्त बदल nव्या पदासाठी an = a1 + (n 1) d या सूत्राच्या जागी करून मिळवला जातो:

समस्या 3. सर्व धनात्मक तीन अंकी संख्यांची बेरीज 13 ने भागा.

उपाय. तीन-अंकी संख्या, 13 च्या गुणाकार, प्रथम पद 104 आणि फरक 13 सह अंकगणित प्रगती तयार करतात; या प्रगतीचा नववा टर्म आहे:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

आपल्या प्रगतीमध्ये किती सदस्य आहेत ते शोधूया. हे करण्यासाठी, आम्ही असमानता सोडवतो:

एक 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n ६ ६९:

तर, आमच्या प्रगतीमध्ये 69 सदस्य आहेत. सूत्र (4) वापरून, आम्हाला आवश्यक बेरीज सापडते:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे "खूप नाही ..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

अंकगणित प्रगती ही संख्यांची एक मालिका असते ज्यामध्ये प्रत्येक संख्या मागील एकापेक्षा समान प्रमाणात जास्त (किंवा कमी) असते.

हा विषय अनेकदा कठीण आणि समजण्यासारखा नसतो. अक्षरांचे निर्देशांक, प्रगतीचा n-वा टर्म, प्रगतीमधील फरक - हे सर्व काही तरी लाजिरवाणे आहे, होय... चला अंकगणिताच्या प्रगतीचा अर्थ शोधूया आणि सर्वकाही लगेच कार्य करेल.)

अंकगणित प्रगती संकल्पना.

अंकगणित प्रगती ही अतिशय सोपी आणि स्पष्ट संकल्पना आहे. शंका? व्यर्थ.) स्वतःसाठी पहा.

मी संख्यांची एक अपूर्ण मालिका लिहीन:

1, 2, 3, 4, 5, ...

तुम्ही ही पंक्ती वाढवू शकता का? पाच नंतर कोणते आकडे पुढे जातील? प्रत्येकजण ... उह-उह ..., थोडक्यात, प्रत्येकाच्या लक्षात येईल की 6, 7, 8, 9, इत्यादी संख्या आणखी पुढे जातील.

चला कार्य क्लिष्ट करूया. मी संख्यांची अपूर्ण मालिका देतो:

2, 5, 8, 11, 14, ...

तुम्ही नमुना पकडू शकाल, मालिका वाढवू शकता आणि नाव देऊ शकता सातवापंक्ती क्रमांक?

जर तुम्हाला ही संख्या 20 असल्याचे समजले तर - मी तुमचे अभिनंदन करतो! नुसतं वाटलं नाही अंकगणित प्रगतीचे प्रमुख मुद्दे,परंतु त्यांचा व्यवसायात यशस्वीपणे वापर केला! जर तुम्हाला ते समजले नसेल तर वाचा.

आता मुख्य मुद्द्यांचे संवेदना ते गणितात भाषांतर करूया.)

पहिला कळीचा मुद्दा.

अंकगणित प्रगती संख्यांच्या मालिकेशी संबंधित आहे.हे सुरुवातीला गोंधळात टाकणारे आहे. आपल्याला समीकरणे सोडवण्याची, आलेखांची मांडणी करण्याची सवय आहे... आणि मग मालिका वाढवा, मालिकेची संख्या शोधा...

ठीक आहे. फक्त प्रगती म्हणजे गणिताच्या नवीन शाखेची पहिली ओळख. विभागाला "पंक्ती" म्हणतात आणि संख्या आणि अभिव्यक्तींच्या मालिकेसह कार्य करते. ह्याची सवय करून घे.)

दुसरा कळीचा मुद्दा.

अंकगणित प्रगतीमध्ये, कोणतीही संख्या मागील एकापेक्षा वेगळी असते त्याच रकमेने.

पहिल्या उदाहरणात, हा फरक एक आहे. तुम्ही जी काही संख्या घेता, ती मागील एकापेक्षा एक मोठी असते. दुसऱ्या मध्ये - तीन. मागील एक बाय तीन पेक्षा मोठी कोणतीही संख्या. वास्तविक, हाच क्षण आपल्याला नमुना पकडण्याची आणि त्यानंतरच्या संख्यांची गणना करण्याची संधी देतो.

तिसरा कळीचा मुद्दा.

हा क्षण आश्चर्यकारक नाही, होय ... परंतु तो खूप, खूप महत्वाचा आहे. येथे आहे: प्रगतीमधील प्रत्येक संख्या त्याच्या जागी उभी आहे.पहिला क्रमांक आहे, सातवा आहे, पंचेचाळीसवा आहे, इ. जर ते यादृच्छिकपणे गोंधळलेले असतील तर नमुना अदृश्य होईल. अंकगणिताची प्रगतीही नाहीशी होईल. फक्त संख्यांची एक पंक्ती असेल.

हा संपूर्ण मुद्दा आहे.

अर्थात, नवीन अटी आणि पदनाम नवीन विषयात दिसतात. आपण त्यांना जाणून घेणे आवश्यक आहे. अन्यथा, तुम्हाला कार्य समजणार नाही. उदाहरणार्थ, तुम्हाला असे काहीतरी ठरवावे लागेल:

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या सहा संज्ञा (a n) लिहा, जर a 2 = 5, d = -2.5 असेल.

ते प्रेरणा देते का?) अक्षरे, काही निर्देशांक ... आणि कार्य, तसे - सोपे असू शकत नाही. तुम्हाला फक्त अटी आणि पदनामांचा अर्थ समजून घेणे आवश्यक आहे. आता आम्ही या व्यवसायात प्रभुत्व मिळवू आणि कार्याकडे परत येऊ.

अटी आणि पदनाम.

अंकगणित प्रगतीही संख्यांची मालिका आहे ज्यामध्ये प्रत्येक संख्या मागील एकापेक्षा वेगळी आहे त्याच रकमेने.

हे प्रमाण म्हणतात ... चला या संकल्पनेशी अधिक तपशीलवार व्यवहार करूया.

अंकगणिताच्या प्रगतीतील फरक.

अंकगणिताच्या प्रगतीतील फरकही रक्कम आहे ज्याद्वारे प्रगतीची कितीही संख्या अधिकमागील एक.

एक महत्त्वाचा मुद्दा. कृपया शब्दाकडे लक्ष द्या "अधिक".गणितानुसार, याचा अर्थ प्रगतीमधील प्रत्येक संख्या प्राप्त होते जोडूनमागील संख्येच्या अंकगणित प्रगतीचा फरक.

गणनेसाठी, चला म्हणूया दुसरामालिका संख्या, तो आवश्यक आहे पहिलासंख्या जोडाअंकगणिताच्या प्रगतीचा हा फरक. गणनेसाठी पाचवा- फरक आवश्यक आहे जोडाला चौथा,बरं, इ.

अंकगणिताच्या प्रगतीतील फरककदाचित सकारात्मक,मग पंक्तीची प्रत्येक संख्या खरोखर बाहेर येईल मागील पेक्षा जास्त.याला प्रगती म्हणतात वाढत आहेउदाहरणार्थ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

येथे प्रत्येक क्रमांक प्राप्त होतो जोडूनसकारात्मक संख्या, मागील एकापेक्षा +5.

फरक असू शकतो नकारात्मकमग पंक्तीमधील प्रत्येक संख्या बाहेर येईल मागील पेक्षा कमी.अशा प्रगतीला म्हणतात (आपला विश्वास बसणार नाही!) कमी होत आहे.

उदाहरणार्थ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

येथे प्रत्येक क्रमांक देखील प्राप्त होतो जोडूनमागील, परंतु आधीच ऋण संख्या, -5.

तसे, प्रगतीसह कार्य करताना, त्याचे स्वरूप त्वरित निर्धारित करणे खूप उपयुक्त आहे - ते वाढत आहे की कमी होत आहे. सोल्यूशन नेव्हिगेट करण्यात, तुमच्या चुका शोधण्यात आणि खूप उशीर होण्यापूर्वी त्या दुरुस्त करण्यात खूप मदत होते.

अंकगणिताच्या प्रगतीतील फरकएक नियम म्हणून, पत्राद्वारे सूचित केले जाते d

कसे शोधायचे d? अगदी साधे. मालिकेच्या कोणत्याही संख्येतून वजा करणे आवश्यक आहे मागीलसंख्या वजा करा. तसे, वजाबाकीच्या परिणामास "फरक" म्हणतात.)

आम्ही परिभाषित करतो, उदाहरणार्थ, dअंकगणित प्रगती वाढवण्यासाठी:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आपण आपल्याला हवी असलेली पंक्तीची कितीही संख्या घेतो, उदाहरणार्थ, 11. त्यातून वजा करा मागील संख्या,त्या आठ:

हे बरोबर उत्तर आहे. या अंकगणित प्रगतीसाठी, फरक तीन आहे.

तुम्ही नक्की घेऊ शकता कितीही प्रगती,पासून विशिष्ट प्रगतीसाठी ड -नेहमीच सारख.किमान कुठेतरी पंक्तीच्या सुरुवातीला, किमान मध्यभागी, किमान कुठेही. तुम्ही फक्त पहिला क्रमांक घेऊ शकत नाही. अगदी पहिल्या क्रमांकावर असल्याने पूर्वीचे नाही.)

तैसे ते जाण d = 3, या प्रगतीचा सातवा क्रमांक शोधणे खूप सोपे आहे. पाचव्या क्रमांकावर 3 जोडा - आम्हाला सहावा मिळेल, तो 17 होईल. सहाव्या क्रमांकावर तीन जोडा, आम्हाला सातवा क्रमांक मिळेल - वीस.

आम्ही व्याख्या करतो dघटत्या अंकगणित प्रगतीसाठी:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की, चिन्हांची पर्वा न करता, निर्धारित करण्यासाठी dते कोणत्याही क्रमांकावरून आवश्यक आहे मागील काढून टाका.आम्ही प्रगतीची कोणतीही संख्या निवडतो, उदाहरणार्थ -7. मागील एक -2 आहे. मग:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणित प्रगतीचा फरक कोणतीही संख्या असू शकतो: संपूर्ण, अपूर्णांक, अपरिमेय, काहीही असो.

इतर अटी आणि पदनाम.

मालिकेतील प्रत्येक क्रमांकाला कॉल केला जातो अंकगणित प्रगतीचा सदस्य.

प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य स्वतःचा नंबर आहे.संख्या काटेकोरपणे क्रमाने आहेत, कोणत्याही युक्त्याशिवाय. पहिला, दुसरा, तिसरा, चौथा इ. उदाहरणार्थ, प्रगती 2, 5, 8, 11, 14, ... मध्ये दोन हे पहिले पद आहे, पाच हे दुसरे आहे, अकरा हे चौथे आहे, बरं, तुम्हाला समजले आहे ...) कृपया स्पष्टपणे समजून घ्या - संख्या स्वतःपूर्णपणे कोणतेही, संपूर्ण, अपूर्णांक, नकारात्मक, काहीही असू शकते, परंतु संख्यांची संख्या- काटेकोरपणे क्रमाने!

सामान्य प्रगती कशी नोंदवायची? काही हरकत नाही! पंक्तीतील प्रत्येक संख्या अक्षराप्रमाणे लिहिली आहे. नियमानुसार, अक्षराचा वापर अंकगणितीय प्रगती दर्शविण्यासाठी केला जातो a... सदस्य संख्या तळाशी उजवीकडे निर्देशांकाद्वारे दर्शविली जाते. आम्ही सदस्यांना स्वल्पविरामाने (किंवा अर्धविरामाने) विभक्त केलेले असे लिहितो:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1पहिला क्रमांक आहे, a 3- तिसरा, इ. काहीही अवघड नाही. ही मालिका तुम्ही थोडक्यात लिहू शकता: (a n).

प्रगती आहेत मर्यादित आणि अंतहीन.

परमप्रगतीमध्ये मर्यादित सदस्य आहेत. पाच, अडतीस, काहीही असो. पण - एक मर्यादित संख्या.

अंतहीनप्रगती - तुमच्या अंदाजाप्रमाणे सदस्यांची संख्या असीम आहे.)

आपण यासारख्या मालिकेद्वारे, सर्व सदस्य आणि शेवटी एक बिंदूद्वारे अंतिम प्रगती लिहू शकता:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

किंवा म्हणून, जर बरेच सदस्य असतील:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

छोट्या नोंदीमध्ये, तुम्हाला सदस्यांची संख्या देखील दर्शवावी लागेल. उदाहरणार्थ (वीस सदस्यांसाठी), यासारखे:

(a n), n = 20

या धड्यातील उदाहरणांप्रमाणे, पंक्तीच्या शेवटी लंबवर्तुळाद्वारे अंतहीन प्रगती ओळखली जाऊ शकते.

आता आपण कार्ये सोडवू शकता. कार्ये सोपी आहेत, पूर्णपणे अंकगणित प्रगतीचा अर्थ समजून घेण्यासाठी.

अंकगणित प्रगतीवरील कार्यांची उदाहरणे.

चला कार्याचे तपशीलवार विश्लेषण करूया, जे वर दिले आहे:

1. अंकगणित प्रगती (a n) च्या पहिल्या सहा संज्ञा लिहा, जर a 2 = 5, d = -2.5 असेल.

आम्ही कार्य समजण्यायोग्य भाषेत अनुवादित करतो. एक अमर्याद अंकगणित प्रगती दिली आहे. या प्रगतीचा दुसरा क्रमांक ज्ञात आहे: a 2 = 5.प्रगतीमधील फरक ओळखला जातो: d = -2.5.या प्रगतीचा पहिला, तिसरा, चौथा, पाचवा आणि सहावा सदस्य शोधणे आवश्यक आहे.

स्पष्टतेसाठी, मी समस्येच्या स्थितीनुसार एक मालिका लिहीन. पहिल्या सहा संज्ञा, जिथे दुसरी पद पाच आहे:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

अभिव्यक्तीमध्ये बदला a 2 = 5आणि d = -2.5... वजा बद्दल विसरू नका!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तिसरी टर्म दुसऱ्या पदापेक्षा लहान आहे. सर्व काही तार्किक आहे. जर संख्या मागील एकापेक्षा जास्त असेल तर नकारात्मकमूल्य, नंतर संख्या स्वतःच मागील एकापेक्षा कमी होईल. प्रगती कमी होत आहे. ठीक आहे, ते विचारात घेऊ.) आम्ही आमच्या मालिकेतील चौथ्या सदस्याचा विचार करू:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

तर, तिसरी ते सहावीपर्यंतच्या पदांची गणना केली जाते. परिणाम अशी मालिका आहे:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

प्रथम पद शोधणे बाकी आहे a 1सुप्रसिद्ध दुसऱ्या नुसार. हे डावीकडे दुसऱ्या दिशेने एक पाऊल आहे.) म्हणून, अंकगणित प्रगतीचा फरक dजोडण्याची गरज नाही a 2, अ काढून घेणे:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

त्यात एवढेच आहे. कार्य उत्तर:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

वाटेत, मी लक्षात घेईन की आम्ही हे कार्य सोडवले आहे वारंवारमार्ग या भितीदायक शब्दाचा अर्थ फक्त प्रगतीचा सदस्य शोधणे असा आहे. मागील (शेजारील) संख्येद्वारे.आम्ही नंतर प्रगतीसह कार्य करण्याच्या इतर मार्गांचा विचार करू.

या साध्या कार्यातून एक महत्त्वाचा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो.

लक्षात ठेवा:

जर आपल्याला किमान एक संज्ञा आणि अंकगणितीय प्रगतीचा फरक माहित असेल तर आपण या प्रगतीचा कोणताही सदस्य शोधू शकतो.

आठवतंय? हा साधा निष्कर्ष आपल्याला या विषयावरील शालेय अभ्यासक्रमातील बहुतेक कार्ये सोडविण्यास अनुमती देतो. सर्व कार्ये तीन मुख्य पॅरामीटर्सभोवती फिरतात: अंकगणित प्रगतीचा सदस्य, प्रगतीचा फरक, प्रगतीच्या सदस्याची संख्या.सर्व काही.

अर्थात, मागील सर्व बीजगणित रद्द केलेले नाही.) असमानता, समीकरणे आणि इतर गोष्टी प्रगतीशी संलग्न आहेत. परंतु अगदी प्रगतीने- प्रत्येक गोष्ट तीन पॅरामीटर्सभोवती फिरते.

उदाहरण म्हणून या विषयावरील काही लोकप्रिय असाइनमेंट्स पाहू.

2. n = 5, d = 0.4, आणि a 1 = 3.6 असल्यास अंतिम अंकगणिताची प्रगती मालिका म्हणून लिहा.

येथे सर्व काही सोपे आहे. सर्व काही आधीच दिले आहे. अंकगणित प्रगतीचे सदस्य कसे मोजले जातात, मोजले जातात आणि लिहून ठेवतात हे तुम्हाला लक्षात ठेवण्याची गरज आहे. कार्याच्या स्थितीत शब्द गमावू नका असा सल्ला दिला जातो: "अंतिम" आणि " n = 5". चेहरा पूर्णपणे निळा होईपर्यंत मोजू नये.) या प्रगतीमध्ये फक्त 5 (पाच) सदस्य आहेत:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिहिणे बाकी आहे:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

दुसरे कार्य:

3. अंक 7 अंकगणित प्रगतीचा सदस्य आहे की नाही हे निश्चित करा (a n), जर a 1 = 4.1; d = 1.2.

हम्म... कुणास ठाऊक? काहीतरी कसे ठरवायचे?

कसं, कसं... हो, मालिकेच्या स्वरूपात प्रगती लिहा आणि बघा तिथे सात असतील की नाही! आम्ही विचार करतो:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

आता आपण सात वर्षांचे आहोत हे स्पष्टपणे दिसत आहे माध्यमातून घसरले 6.5 आणि 7.7 दरम्यान! सात आमच्या संख्यांच्या मालिकेत आले नाहीत, आणि म्हणून, सात दिलेल्या प्रगतीचे सदस्य होणार नाहीत.

उत्तर नाही आहे.

आणि येथे GIA च्या वास्तविक आवृत्तीवर आधारित कार्य आहे:

4. अंकगणित प्रगतीचे अनेक सलग सदस्य लिहिलेले आहेत:

...; 15; एनएस; नऊ; 6; ...

येथे शेवट आणि सुरुवात न करता एक पंक्ती लिहिली आहे. सदस्य संख्या नाही, फरक नाही d... ठीक आहे. समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, अंकगणित प्रगतीचा अर्थ समजून घेणे पुरेसे आहे. आपण काय शक्य आहे ते पाहतो आणि विचार करतो माहित असणेया मालिकेतून? तीन मुख्य पॅरामीटर्स काय आहेत?

सदस्य संख्या? येथे एकही संख्या नाही.

पण तीन संख्या आहेत आणि - लक्ष! - शब्द "सलग"स्थितीत. याचा अर्थ असा की संख्या अंतराशिवाय, काटेकोरपणे क्रमाने आहेत. या रांगेत दोन आहेत का? शेजारीज्ञात संख्या? होय आहे! हे 9 आणि 6 आहेत. त्यामुळे आपण अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक काढू शकतो! आम्ही सहामधून वजा करतो मागीलसंख्या, म्हणजे नऊ:

फक्त क्षुल्लक गोष्टी शिल्लक आहेत. X साठी मागील संख्या किती आहे? पंधरा. याचा अर्थ साध्या बेरीज करून x सहज शोधता येतो. अंकगणित प्रगतीचा फरक 15 वर जोडा:

इतकंच. उत्तर: x = १२

आम्ही खालील समस्या स्वतः सोडवतो. टीप: या समस्या सूत्रांबद्दल नाहीत. केवळ अंकगणिताच्या प्रगतीचा अर्थ समजून घेण्यासाठी.) आम्ही फक्त संख्या-अक्षरे असलेली मालिका लिहितो, पहा आणि विचार करा.

5. 5 = -3 असल्यास अंकगणित प्रगतीची पहिली सकारात्मक संज्ञा शोधा; d = 1.1.

6. हे ज्ञात आहे की संख्या 5.5 अंकगणित प्रगतीचा सदस्य आहे (a n), जेथे 1 = 1.6; d = 1.3. या सदस्याची संख्या n निश्चित करा.

7. हे ज्ञात आहे की अंकगणित प्रगतीमध्ये 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 शोधा.

8. अंकगणित प्रगतीचे अनेक सलग सदस्य लिहिले:

...; 15.6; एनएस; 3.4; ...

x अक्षराने दर्शविलेल्या प्रगतीमधील संज्ञा शोधा.

9. ट्रेनने स्थानकावरून पुढे जाण्यास सुरुवात केली, तिचा वेग 30 मीटर प्रति मिनिटाने सतत वाढत गेला. पाच मिनिटांत ट्रेनचा वेग किती असेल? तुमचे उत्तर किमी/तास मध्ये द्या.

10. हे ज्ञात आहे की अंकगणित प्रगतीमध्ये 2 = 5; a 6 = -5. 1 शोधा.

उत्तरे (अव्यवस्थित): 7.7; 7.5; ९.५; नऊ; 0.3; 4.

सर्व काही घडले? अप्रतिम! खालील धड्यांमध्ये तुम्ही अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये उच्च स्तरावर प्रभुत्व मिळवू शकता.

सर्वकाही कार्य केले नाही? हरकत नाही. विशेष कलम 555 मध्ये, ही सर्व कार्ये तुकड्यांमध्ये वर्गीकृत केली आहेत.) आणि, अर्थातच, एक साधे व्यावहारिक तंत्र वर्णन केले आहे जे अशा कार्यांचे निराकरण ताबडतोब स्पष्टपणे, स्पष्टपणे हायलाइट करते, जसे की आपल्या हाताच्या तळहातावर!

तसे, ट्रेनबद्दलच्या कोड्यात दोन समस्या आहेत ज्यांना लोक अनेकदा अडखळतात. एक पूर्णपणे प्रगतीपथावर आहे, आणि दुसरा गणित आणि भौतिकशास्त्रातील कोणत्याही समस्यांसाठी सामान्य आहे. हे एका वरून दुसर्‍या परिमाणांचे भाषांतर आहे. त्यामध्ये या समस्या कशा सोडवल्या पाहिजेत हे दाखवले आहे.

या धड्यात, आम्ही अंकगणिताच्या प्रगतीचा प्राथमिक अर्थ आणि त्याचे मुख्य मापदंड तपासले. या विषयावरील जवळजवळ सर्व समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी हे पुरेसे आहे. अॅड dसंख्यांवर, मालिका लिहा, सर्वकाही निश्चित केले जाईल.

या धड्यातील उदाहरणांप्रमाणे, फिंगर सोल्यूशन सलग अगदी लहान तुकड्यांसाठी चांगले कार्य करते. जर पंक्ती मोठी असेल तर गणना अधिक क्लिष्ट होते. उदाहरणार्थ, प्रश्नात समस्या 9 असल्यास, बदला "पाच मिनिटे"वर "पस्तीस मिनिटे"समस्या लक्षणीयरीत्या तीव्र होईल.)

आणि अशी कार्ये देखील आहेत जी थोडक्यात सोपी आहेत, परंतु गणनांच्या बाबतीत अविश्वसनीय आहेत, उदाहरणार्थ:

तुम्हाला अंकगणितीय प्रगती (a n) दिली आहे. 1 = 3 आणि d = 1/6 असल्यास 121 शोधा.

आणि काय, आम्ही 1/6 ने अनेक, अनेक वेळा जोडू?! आपण ते मारू शकता!?

तुम्ही करू शकता.) जर तुम्हाला एक साधा फॉर्म्युला माहित नसेल, ज्यानुसार अशी कार्ये एका मिनिटात सोडवता येतील. हे सूत्र पुढील पाठात असेल. आणि ही समस्या तिथेच सोडवली जाते. एका मिनिटात.)

जर तुम्हाला ही साइट आवडली तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. झटपट प्रमाणीकरण चाचणी. शिकणे - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.