त्रिकोणमितीय सूत्र विशेष प्रकरणे आहेत. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

विषयावरील धडा आणि सादरीकरण: "सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, पुनरावलोकने, शुभेच्छा देण्यास विसरू नका! सर्व साहित्य अँटी-व्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासले गेले आहे.

1C पासून ग्रेड 10 साठी इंटिग्रल ऑनलाइन स्टोअरमध्ये मॅन्युअल आणि सिम्युलेटर
भूमितीमधील समस्या सोडवणे. अंतराळात बांधण्यासाठी परस्पर कार्ये
सॉफ्टवेअर वातावरण "1C: मॅथेमॅटिकल कन्स्ट्रक्टर 6.1"

आम्ही काय अभ्यास करू:
1. त्रिकोणमितीय समीकरणे काय आहेत?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी दोन मुख्य पद्धती.
4. एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरणे.
5. उदाहरणे.

त्रिकोणमितीय समीकरणे काय आहेत?

मित्रांनो, आम्ही आधीच आर्क्साइन, आर्कोसाइन, आर्कटँजेंट आणि आर्कोटँजेंटचा अभ्यास केला आहे. आता सर्वसाधारणपणे त्रिकोणमितीय समीकरणे पाहू.

त्रिकोणमितीय समीकरणे ही समीकरणे आहेत ज्यामध्ये त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली चल समाविष्ट आहे.

सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या फॉर्मची पुनरावृत्ती करूया:

1)जर |a|≤ 1 असेल तर cos(x) = a ला एक उपाय आहे:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) जर |a|≤ 1, तर समीकरण sin(x) = a ला एक उपाय आहे:

3) जर |a| > 1, नंतर समीकरण sin(x) = a आणि cos(x) = a ला कोणतेही उपाय नाहीत 4) tg(x)=a समीकरणाचे समाधान आहे: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a समीकरणाला एक उपाय आहे: x=arcctg(a)+ πk

सर्व सूत्रांसाठी k हा पूर्णांक आहे

सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांचे स्वरूप आहे: T(kx+m)=a, T हे काही त्रिकोणमितीय कार्य आहे.

समीकरणे सोडवा: a) sin(3x)= √3/2

उपाय:

अ) आपण 3x=t दर्शवू, नंतर आपण आपले समीकरण फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू:

या समीकरणाचे समाधान असे असेल: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

मूल्यांच्या सारणीतून आपल्याला मिळते: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

चला आपल्या व्हेरिएबलकडे परत येऊ: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

नंतर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जेथे n पूर्णांक आहे. (-1)^n – उणे एक ते n च्या घात.

त्रिकोणमितीय समीकरणांची अधिक उदाहरणे.

उपाय:

अ) यावेळी आपण थेट समीकरणाच्या मुळांची गणना करू या:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. नंतर x/5= πk => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जेथे k हा पूर्णांक आहे.

ब) आम्ही ते फॉर्ममध्ये लिहू: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. आम्हाला माहित आहे की: arctan(√3)=π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जेथे k हा पूर्णांक आहे.

समीकरणे सोडवा: cos(4x)= √2/2. आणि विभागातील सर्व मुळे शोधा.

उपाय:

आपले समीकरण सामान्य स्वरूपात सोडवू: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

आता आपल्या विभागावर कोणती मुळे पडतात ते पाहू. k वर k=0, x= π/16, आपण दिलेल्या सेगमेंटमध्ये आहोत.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 सह, आपण पुन्हा दाबा.
k=2 साठी, x= π/16+ π=17π/16, परंतु येथे आपण हिट केले नाही, याचा अर्थ मोठ्या k साठी आपण निश्चितपणे हिट करणार नाही.

उत्तर: x= π/16, x= 9π/16

दोन मुख्य उपाय पद्धती.

चला समीकरण सोडवू:

उपाय:
आमचे समीकरण सोडवण्यासाठी, आम्ही एक नवीन व्हेरिएबल सादर करण्याची पद्धत वापरू, जे दर्शविते: t=tg(x).

प्रतिस्थापनाच्या परिणामी आम्हाला मिळते: t 2 + 2t -1 = 0

चला द्विघात समीकरणाची मुळे शोधू: t=-1 आणि t=1/3

मग tg(x)=-1 आणि tg(x)=1/3, आपल्याला सर्वात सोपं त्रिकोणमितीय समीकरण मिळेल, त्याची मुळे शोधू.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

समीकरण सोडवण्याचे उदाहरण

समीकरणे सोडवा: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

उपाय:

चला ओळख वापरू: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

आमचे समीकरण फॉर्म घेईल: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

चला बदली t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 सादर करू

आपल्या द्विघात समीकरणाचे समाधान म्हणजे मुळे: t=2 आणि t=-1/2

नंतर cos(x)=2 आणि cos(x)=-1/2.

कारण कोसाइन एकापेक्षा जास्त मूल्ये घेऊ शकत नाही, तर cos(x)=2 ची मुळे नाहीत.

cos(x)=-1/2 साठी: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरणे.

फॉर्मची समीकरणे

द्वितीय अंशाची एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरणे.

पहिल्या अंशाचे एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, त्याला cos(x) ने विभाजित करा: तुम्ही कोसाइनने भागाकार करू शकत नाही जर ते शून्य असेल, तर असे नाही याची खात्री करूया:
cos(x)=0 समजा, नंतर asin(x)+0=0 => sin(x)=0, पण sine आणि cosine एकाच वेळी शून्यासारखे नसतात, आम्हाला विरोधाभास मिळतो, त्यामुळे आम्ही सुरक्षितपणे भागू शकतो. शून्याने.

समीकरण सोडवा:
उदाहरण: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

उपाय:

चला सामान्य घटक काढू: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

मग आपल्याला दोन समीकरणे सोडवायची आहेत:

Cos(x)=0 आणि cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 या समीकरणाचा विचार करा cos(x) ने आमचे समीकरण विभाजित करा:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk आणि x= -π/4+πk

द्वितीय अंशाची एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची?
मित्रांनो, नेहमी या नियमांचे पालन करा!

1. a गुणांक काय आहे ते पहा, जर a=0 असेल तर आपले समीकरण cos(x)(bsin(x)+ccos(x) असे रूप घेईल, ज्याचे समाधान मागील स्लाइडवर आहे.

2. जर a≠0 असेल, तर तुम्हाला समीकरणाच्या दोन्ही बाजू कोसाइन स्क्वेअरने विभाजित करणे आवश्यक आहे, आम्हाला मिळेल:

आम्ही t=tg(x) व्हेरिएबल बदलतो आणि समीकरण मिळवतो:

उदाहरण क्रमांक:3 सोडवा

समीकरणाच्या दोन्ही बाजू कोसाइन स्क्वेअरने विभाजित करू.

आपण t=tg(x) व्हेरिएबल बदलतो: t 2 + 2 t - 3 = 0

चला द्विघात समीकरणाची मुळे शोधू: t=-3 आणि t=1

नंतर: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

उत्तर: x=-arctg(3) + πk आणि x= π/4+ πk

उदाहरण क्रमांक:4 सोडवा

उपाय:
चला आपली अभिव्यक्ती बदलूया:

आपण अशी समीकरणे सोडवू शकतो: x= - π/4 + 2πk आणि x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - π/4 + 2πk आणि x=5π/4 + 2πk

उदाहरण क्रमांक:5 सोडवा

उपाय:
चला आपली अभिव्यक्ती बदलूया:

चला बदली tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 सादर करू.

आमच्या द्विघात समीकरणाचे समाधान मूळ असेल: t=-2 आणि t=1/2

मग आपल्याला मिळेल: tg(2x)=-2 आणि tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 आणि x=arctg(1/2)/2+ πk/2

स्वतंत्र निराकरणासाठी समस्या.

अ) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) समीकरणे सोडवा: sin(3x)= √3/2. आणि विभागातील सर्व मुळे शोधा [π/2; π].

3) समीकरण सोडवा: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) समीकरण सोडवा: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण सोडवा: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण सोडवा: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

आपण आपल्या समस्येचे तपशीलवार निराकरण ऑर्डर करू शकता !!!

त्रिकोणमितीय फंक्शन (`sin x, cos x, tan x` किंवा `ctg x`) च्या चिन्हाखाली अज्ञात असलेल्या समानतेला त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणतात, आणि ही त्यांची सूत्रे आहेत ज्यांचा आपण पुढे विचार करू.

सर्वात सोपी समीकरणे म्हणजे `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जेथे `x` हा शोधायचा कोन आहे, `a` ही कोणतीही संख्या आहे. चला त्या प्रत्येकाची मूळ सूत्रे लिहू.

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` साठी त्याला कोणतेही उपाय नाहीत.

जेव्हा `|a| \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` साठी - साइनच्या बाबतीत, त्यास वास्तविक संख्यांमध्ये कोणतेही निराकरण नाही.

जेव्हा `|a| \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

आलेखामध्ये साइन आणि कोसाइनसाठी विशेष केस.

3. समीकरण `tg x=a`

`a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

तसेच `a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

टेबलमधील त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या मुळांसाठी सूत्रे

साइन साठी:
कोसाइनसाठी:
स्पर्शिका आणि कोटँजंटसाठी:
व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये असलेली समीकरणे सोडवण्यासाठी सूत्रे:

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याचे दोन टप्पे असतात:

• ते सर्वात सोप्यामध्ये रूपांतरित करण्याच्या मदतीने;
• वर लिहिलेली मूळ सूत्रे आणि तक्ते वापरून मिळवलेले सर्वात सोपे समीकरण सोडवा.

उदाहरणे वापरून मुख्य उपाय पद्धती पाहू.

बीजगणित पद्धत.

या पद्धतीमध्ये व्हेरिएबल बदलणे आणि त्यास समानतेमध्ये बदलणे समाविष्ट आहे.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

बदली करा: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, नंतर `2y^2-3y+1=0`,

आम्हाला मुळे सापडतात: `y_1=1, y_2=1/2`, ज्यावरून दोन केसेस येतात:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

फॅक्टरीकरण.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `sin x+cos x=1`.

उपाय. समानतेच्या सर्व अटी डावीकडे हलवू: `sin x+cos x-1=0`. वापरून, आम्ही डाव्या बाजूचे रूपांतर करतो आणि फॅक्टराइज करतो:

`पाप x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एकसंध समीकरणात घट

प्रथम, तुम्हाला हे त्रिकोणमितीय समीकरण दोनपैकी एका रूपात कमी करावे लागेल:

`a sin x+b cos x=0` (प्रथम अंशाचे एकसमान समीकरण) किंवा `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

नंतर दोन्ही भागांना `cos x \ne 0` ने विभाजित करा - पहिल्या केससाठी आणि `cos^2 x \ne 0` ने - दुसऱ्यासाठी. आम्ही `tg x`: `a tg x+b=0` आणि `a tg^2 x + b tg x +c =0` साठी समीकरणे मिळवतो, ज्याचे निराकरण ज्ञात पद्धती वापरून करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

उपाय. चला उजवी बाजू `1=sin^2 x+cos^2 x` असे लिहू:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

हे दुसऱ्या अंशाचे एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरण आहे, आपण त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना `cos^2 x \ne 0` ने विभाजित करतो, आपल्याला मिळते:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. चला बदली `tg x=t` सादर करू, परिणामी `t^2 + t - 2=0`. या समीकरणाची मुळे `t_1=-2` आणि `t_2=1` आहेत. मग:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

अर्धकोनात हलवत आहे

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

उपाय. चला दुहेरी कोन सूत्र लागू करू, परिणामी: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

वर वर्णन केलेल्या बीजगणित पद्धतीचा अवलंब केल्याने, आम्हाला मिळते:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

सहायक कोन परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरणात `a sin x + b cos x =c`, जेथे a,b,c गुणांक आहेत आणि x हे चल आहे, दोन्ही बाजूंना `sqrt (a^2+b^2)` ने विभाजित करा:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

डाव्या बाजूला असलेल्या गुणांकांमध्ये साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म आहेत, म्हणजे त्यांच्या वर्गांची बेरीज 1 आहे आणि त्यांचे मॉड्यूल 1 पेक्षा जास्त नाहीत. आपण त्यांना खालीलप्रमाणे दर्शवूया: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, नंतर:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

चला पुढील उदाहरणाकडे जवळून पाहू:

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `3 sin x+4 cos x=2`.

उपाय. समानतेच्या दोन्ही बाजूंना `sqrt (3^2+4^2)` ​​ने विभाजित केल्यास, आपल्याला मिळते:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

चला `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` दर्शवू. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` असल्याने, आपण `\varphi=arcsin 4/5` हा सहायक कोन म्हणून घेतो. मग आम्ही आमची समानता फॉर्ममध्ये लिहितो:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

साइनसाठी कोनांच्या बेरजेसाठी सूत्र लागू करून, आम्ही आमची समानता खालील स्वरूपात लिहितो:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

अपूर्णांक परिमेय त्रिकोणमितीय समीकरणे

या अपूर्णांकांसह समानता आहेत ज्यांचे अंश आणि भाजक त्रिकोणमितीय कार्ये आहेत.

उदाहरण. समीकरण सोडवा. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

उपाय. समानतेच्या उजव्या बाजूस `(1+cos x)` ने गुणा आणि भागा. परिणामी आम्हाला मिळते:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

भाजक शून्याच्या बरोबरीचा असू शकत नाही हे लक्षात घेता, आपल्याला `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिळतात.

चला अपूर्णांकाच्या अंशाची शून्याशी बरोबरी करू: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. नंतर `sin x=0` किंवा `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

`x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` दिल्यास, `x=2\pi n, n \in Z` आणि `x=\pi /2+2\pi n` आहेत. , `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

त्रिकोणमिती आणि विशेषतः त्रिकोणमितीय समीकरणे भूमिती, भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीच्या जवळजवळ सर्व क्षेत्रांमध्ये वापरली जातात. 10 व्या वर्गात अभ्यास सुरू होतो, युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी नेहमीच कार्ये असतात, म्हणून त्रिकोणमितीय समीकरणांची सर्व सूत्रे लक्षात ठेवण्याचा प्रयत्न करा - ते निश्चितपणे आपल्यासाठी उपयुक्त ठरतील!

तथापि, आपल्याला ते लक्षात ठेवण्याची देखील आवश्यकता नाही, मुख्य गोष्ट म्हणजे सार समजून घेणे आणि ते प्राप्त करण्यास सक्षम असणे. हे दिसते तितके अवघड नाही. व्हिडिओ पाहून तुम्हीच बघा.

त्रिकोणमितीच्या मूलभूत सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे - साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज, साइन आणि कोसाइनद्वारे स्पर्शिकेची अभिव्यक्ती आणि इतर. जे त्यांना विसरले आहेत किंवा त्यांना ओळखत नाहीत त्यांच्यासाठी आम्ही "" लेख वाचण्याची शिफारस करतो.
म्हणून, आम्हाला मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे माहित आहेत, ती सराव मध्ये वापरण्याची वेळ आली आहे. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणेयोग्य दृष्टिकोनासह, ही एक रोमांचक क्रियाकलाप आहे, उदाहरणार्थ, रुबिकचे घन सोडवणे.

नावावरच आधारित, हे स्पष्ट आहे की त्रिकोणमितीय समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली आहे.
तथाकथित साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत. ते कसे दिसतात ते येथे आहे: sinx = a, cos x = a, tan x = a. चला विचार करूया अशी त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची, स्पष्टतेसाठी, आम्ही आधीच परिचित त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरू.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण दोन टप्प्यात सोडवले जाते: आम्ही समीकरण त्याच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी करतो आणि नंतर ते एक साधे त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवतो.
7 मुख्य पद्धती आहेत ज्याद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात.

1. व्हेरिएबल प्रतिस्थापन आणि प्रतिस्थापन पद्धत

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 हे समीकरण सोडवा

कपात सूत्रे वापरून आम्हाला मिळते:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

सामान्य चतुर्भुज समीकरण सोपे करण्यासाठी cos(x + /6) ला y ने बदला:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ज्याची मुळे y 1 = 1, y 2 = 1/2 आहेत

आता उलट क्रमाने जाऊया

आम्ही y ची सापडलेली मूल्ये बदलतो आणि दोन उत्तर पर्याय मिळवतो:

2. गुणांकनाद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

sin x + cos x = 1 हे समीकरण कसे सोडवायचे?

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू जेणेकरुन 0 उजवीकडे राहील:

sin x + cos x – 1 = 0

समीकरण सोपे करण्यासाठी वर चर्चा केलेल्या ओळखीचा वापर करूया:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

चला फॅक्टराइज करूया:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

आपल्याला दोन समीकरणे मिळतात

3. एकसंध समीकरणात घट

साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात समीकरण एकसंध असते जर त्याच्या सर्व संज्ञा एकाच कोनाच्या समान बळाच्या साइन आणि कोसाइनशी संबंधित असतील. एकसंध समीकरण सोडवण्यासाठी खालीलप्रमाणे पुढे जा:

अ) त्याचे सर्व सदस्य डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा;

b) सर्व सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढा;

c) सर्व घटक आणि कंस 0 च्या समान करा;

d) कंसात कमी पदवीचे एकसंध समीकरण प्राप्त होते, जे उच्च पदवीच्या साइन किंवा कोसाइनमध्ये विभागले जाते;

e) tg चे परिणामी समीकरण सोडवा.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 हे समीकरण सोडवा

चला sin 2 x + cos 2 x = 1 हे सूत्र वापरू आणि उजवीकडील उघडलेल्या दोनपासून मुक्त होऊ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ने भागा:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ला y ने बदला आणि चतुर्भुज समीकरण मिळवा:

y 2 + 4y +3 = 0, ज्याची मुळे y 1 =1, y 2 = 3 आहेत

येथून आपल्याला मूळ समीकरणाचे दोन उपाय सापडतात:

x 2 = आर्कटान 3 + k

4. अर्ध्या कोनात संक्रमणाद्वारे समीकरणे सोडवणे

3sin x – 5cos x = 7 हे समीकरण सोडवा

चला x/2 वर जाऊ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ने भागा:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. सहायक कोन परिचय

विचारासाठी, फॉर्मचे एक समीकरण घेऊ: a sin x + b cos x = c,

जेथे a, b, c काही अनियंत्रित गुणांक आहेत आणि x हे अज्ञात आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना खालीलप्रमाणे विभागू.



आता त्रिकोणमितीय सूत्रांनुसार समीकरणाच्या गुणांकांमध्ये sin आणि cos हे गुणधर्म आहेत, म्हणजे: त्यांचे मॉड्यूलस 1 पेक्षा जास्त नाही आणि वर्गांची बेरीज = 1. आपण त्यांना अनुक्रमे cos आणि sin म्हणून दर्शवू, जिथे - हे आहे तथाकथित सहायक कोन. मग समीकरण फॉर्म घेईल:

cos * sin x + sin * cos x = C

किंवा sin(x + ) = C

या सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचा उपाय आहे

x = (-1) k * arcsin C - + k, कुठे



हे लक्षात घ्यावे की नोटेशन cos आणि sin परस्पर बदलण्यायोग्य आहेत.

sin 3x – cos 3x = 1 हे समीकरण सोडवा

या समीकरणातील गुणांक आहेत:

a = , b = -1, म्हणून दोन्ही बाजूंना = 2 ने विभाजित करा

अनेक सोडवताना गणितीय समस्या, विशेषत: जे दहावीच्या आधी घडतात, त्या कृतींचा क्रम जो ध्येयाकडे नेईल ते स्पष्टपणे परिभाषित केले आहे. अशा समस्यांमध्ये, उदाहरणार्थ, रेखीय आणि द्विघातीय समीकरणे, रेखीय आणि द्विघाती असमानता, अपूर्णांक समीकरणे आणि समीकरणे यांचा समावेश होतो जे द्विघाती समीकरणांवर कमी होतात. नमूद केलेल्या प्रत्येक समस्येचे यशस्वीरित्या निराकरण करण्याचे तत्व खालीलप्रमाणे आहे: आपण कोणत्या प्रकारची समस्या सोडवत आहात हे स्थापित करणे आवश्यक आहे, आवश्यक क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवा ज्यामुळे इच्छित परिणाम मिळेल, उदा. उत्तर द्या आणि या चरणांचे अनुसरण करा.

हे स्पष्ट आहे की एखाद्या विशिष्ट समस्येचे निराकरण करण्यात यश किंवा अपयश हे मुख्यत्वे समीकरणाचा प्रकार किती योग्यरित्या निर्धारित केला जातो, त्याच्या निराकरणाच्या सर्व टप्प्यांचा क्रम किती योग्यरित्या पुनरुत्पादित केला जातो यावर अवलंबून असते. अर्थात, या प्रकरणात समान परिवर्तन आणि गणना करण्यासाठी कौशल्य असणे आवश्यक आहे.

सह परिस्थिती वेगळी आहे त्रिकोणमितीय समीकरणे.हे समीकरण त्रिकोणमितीय आहे हे सिद्ध करणे अजिबात अवघड नाही. कृतींचा क्रम ठरवताना अडचणी येतात ज्यामुळे योग्य उत्तर मिळेल.

समीकरणाच्या स्वरूपावर आधारित त्याचा प्रकार निश्चित करणे कधीकधी कठीण असते. आणि समीकरणाचा प्रकार जाणून घेतल्याशिवाय, अनेक डझन त्रिकोणमितीय सूत्रांमधून योग्य एक निवडणे जवळजवळ अशक्य आहे.

त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला प्रयत्न करणे आवश्यक आहे:

1. समीकरणात समाविष्ट केलेली सर्व कार्ये "समान कोनांवर" आणा;
2. समीकरण "समान कार्ये" वर आणा;
3. समीकरणाची डावी बाजू, इ.

चला विचार करूया त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धती.

I. सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये घट

समाधान आकृती

1 ली पायरी.ज्ञात घटकांच्या दृष्टीने त्रिकोणमितीय कार्य व्यक्त करा.

पायरी 2.सूत्रे वापरून फंक्शन वितर्क शोधा:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

पायरी 3.अज्ञात चल शोधा.

उदाहरण.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

उपाय.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट

समाधान आकृती

1 ली पायरी.त्रिकोणमितीय कार्यांपैकी एकाच्या संदर्भात समीकरण बीजगणितीय स्वरूपापर्यंत कमी करा.

पायरी 2.व्हेरिएबल t द्वारे परिणामी कार्य दर्शवा (आवश्यक असल्यास, t वर प्रतिबंध लागू करा).

पायरी 3.परिणामी बीजगणितीय समीकरण लिहा आणि सोडवा.

पायरी 4.उलट बदल करा.

पायरी 5.सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

उपाय.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t, कुठे |t| करू द्या ≤ १.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 किंवा e = -3/2, अट पूर्ण करत नाही |t| ≤ १.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.

III. समीकरण क्रम कमी करण्याची पद्धत

समाधान आकृती

1 ली पायरी.पदवी कमी करण्यासाठी सूत्र वापरून हे समीकरण रेखीय समीकरणाने बदला:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

पायरी 2. I आणि II पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

उपाय.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. एकसंध समीकरणे

समाधान आकृती

1 ली पायरी.हे समीकरण फॉर्ममध्ये कमी करा

a) a sin x + b cos x = 0 (प्रथम अंशाचे एकसंध समीकरण)

किंवा दृश्यासाठी

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

पायरी 2.समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी भागा

अ) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

आणि tan x साठी समीकरण मिळवा:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

पायरी 3.ज्ञात पद्धती वापरून समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

उपाय.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) चला tg x = t, नंतर

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 किंवा t = -4, म्हणजे

tg x = 1 किंवा tg x = -4.

पहिल्या समीकरणातून x = π/4 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून समीकरण बदलण्याची पद्धत

समाधान आकृती

1 ली पायरी.सर्व संभाव्य त्रिकोणमितीय सूत्रे वापरून, हे समीकरण I, II, III, IV या पद्धतींनी सोडवलेल्या समीकरणापर्यंत कमी करा.

पायरी 2.ज्ञात पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

उपाय.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 किंवा 2cos x + 1 = 0;

पहिल्या समीकरणातून 2x = π/2 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून cos x = -1/2.

आमच्याकडे x = π/4 + πn/2, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामी, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची क्षमता आणि कौशल्य खूप आहे महत्वाचे, त्यांच्या विकासासाठी विद्यार्थ्याकडून आणि शिक्षकाच्या दोन्ही बाजूंनी महत्त्वपूर्ण प्रयत्न करणे आवश्यक आहे.

स्टिरीओमेट्री, भौतिकशास्त्र इत्यादींच्या अनेक समस्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या निराकरणाशी संबंधित आहेत.

गणित शिकण्याच्या प्रक्रियेत आणि सर्वसाधारणपणे वैयक्तिक विकासामध्ये त्रिकोणमितीय समीकरणे महत्त्वपूर्ण स्थान व्यापतात.

अद्याप प्रश्न आहेत? त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
शिक्षकाकडून मदत मिळवण्यासाठी, नोंदणी करा.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

"A मिळवा" या व्हिडिओ कोर्समध्ये गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षा 60-65 गुणांसह यशस्वीरीत्या उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक असलेले सर्व विषय समाविष्ट आहेत. गणितातील प्रोफाइल युनिफाइड स्टेट परीक्षेची पूर्णपणे सर्व कार्ये 1-13. गणितातील मूलभूत युनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण होण्यासाठी देखील योग्य. जर तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षा 90-100 गुणांसह उत्तीर्ण करायची असेल, तर तुम्हाला भाग 1 30 मिनिटांत आणि चुकल्याशिवाय सोडवावा लागेल!

ग्रेड 10-11, तसेच शिक्षकांसाठी युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी अभ्यासक्रम. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेचा भाग 1 (पहिल्या 12 समस्या) आणि समस्या 13 (त्रिकोणमिति) सोडवण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट. आणि हे युनिफाइड स्टेट परीक्षेत 70 पेक्षा जास्त गुण आहेत आणि 100 गुणांचा विद्यार्थी किंवा मानवतेचा विद्यार्थी त्यांच्याशिवाय करू शकत नाही.

सर्व आवश्यक सिद्धांत. युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे द्रुत उपाय, तोटे आणि रहस्ये. FIPI टास्क बँकेच्या भाग 1 च्या सर्व वर्तमान कार्यांचे विश्लेषण केले गेले आहे. अभ्यासक्रम युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2018 च्या आवश्यकतांचे पूर्णपणे पालन करतो.

कोर्समध्ये 5 मोठे विषय आहेत, प्रत्येकी 2.5 तास. प्रत्येक विषय सुरवातीपासून, सरळ आणि स्पष्टपणे दिलेला आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये शेकडो. शब्द समस्या आणि संभाव्यता सिद्धांत. समस्या सोडवण्यासाठी सोपे आणि लक्षात ठेवण्यास सोपे अल्गोरिदम. भूमिती. सिद्धांत, संदर्भ साहित्य, सर्व प्रकारच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्यांचे विश्लेषण. स्टिरिओमेट्री. अवघड उपाय, उपयुक्त फसवणूक पत्रके, अवकाशीय कल्पनाशक्तीचा विकास. त्रिकोणमिती सुरवातीपासून समस्येपर्यंत 13. क्रॅमिंगऐवजी समजून घेणे. जटिल संकल्पनांचे स्पष्ट स्पष्टीकरण. बीजगणित. मूळ, शक्ती आणि लॉगरिदम, कार्य आणि व्युत्पन्न. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग 2 च्या जटिल समस्या सोडवण्याचा आधार.