त्रिकोणमितीय कोटँजेंट समीकरणे सोडवणे. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी मूलभूत पद्धती

त्रिकोणमितीच्या मूलभूत सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे - साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज, साइन आणि कोसाइनद्वारे स्पर्शिकेची अभिव्यक्ती आणि इतर. जे त्यांना विसरले आहेत किंवा त्यांना ओळखत नाहीत त्यांच्यासाठी आम्ही "" लेख वाचण्याची शिफारस करतो.
म्हणून, आम्हाला मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे माहित आहेत, ती सराव मध्ये वापरण्याची वेळ आली आहे. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणेयोग्य दृष्टिकोनासह, ही एक रोमांचक क्रियाकलाप आहे, उदाहरणार्थ, रुबिकचे घन सोडवणे.

नावावरच आधारित, हे स्पष्ट आहे की त्रिकोणमितीय समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली आहे.
तथाकथित सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत. ते कसे दिसतात ते येथे आहे: sinx = a, cos x = a, tan x = a. चला विचार करूया अशी त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची, स्पष्टतेसाठी आपण आधीच परिचित त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरू.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण दोन टप्प्यात सोडवले जाते: आम्ही समीकरण त्याच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी करतो आणि नंतर ते एक साधे त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवतो.
7 मुख्य पद्धती आहेत ज्याद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात.

1. व्हेरिएबल प्रतिस्थापन आणि प्रतिस्थापन पद्धत

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 हे समीकरण सोडवा

कपात सूत्रे वापरून आम्हाला मिळते:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

सामान्य चतुर्भुज समीकरण सोपे करण्यासाठी cos(x + /6) ला y ने बदला:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ज्याची मुळे y 1 = 1, y 2 = 1/2 आहेत

आता उलट क्रमाने जाऊया

आम्ही y ची सापडलेली मूल्ये बदलतो आणि दोन उत्तर पर्याय मिळवतो:

2. गुणांकनाद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

sin x + cos x = 1 हे समीकरण कसे सोडवायचे?

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू जेणेकरून 0 उजवीकडे राहील:

sin x + cos x – 1 = 0

समीकरण सोपे करण्यासाठी वर चर्चा केलेल्या ओळखीचा वापर करूया:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

चला फॅक्टराइज करूया:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

आपल्याला दोन समीकरणे मिळतात

3. एकसंध समीकरणात घट

साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात समीकरण एकसंध असते जर त्याच्या सर्व संज्ञा एकाच कोनाच्या समान बळाच्या साइन आणि कोसाइनशी संबंधित असतील. एकसंध समीकरण सोडवण्यासाठी खालीलप्रमाणे पुढे जा:

अ) त्याचे सर्व सदस्य डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा;

b) सर्व सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढा;

c) सर्व घटक आणि कंस 0 च्या समान करा;

d) कंसात कमी पदवीचे एकसंध समीकरण प्राप्त होते, जे उच्च पदवीच्या साइन किंवा कोसाइनमध्ये विभागले जाते;

e) tg चे परिणामी समीकरण सोडवा.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 हे समीकरण सोडवा

चला sin 2 x + cos 2 x = 1 हे सूत्र वापरू आणि उजवीकडील उघडलेल्या दोनपासून मुक्त होऊ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ने भागा:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ला y ने बदला आणि चतुर्भुज समीकरण मिळवा:

y 2 + 4y +3 = 0, ज्याची मुळे y 1 =1, y 2 = 3 आहेत

येथून आपल्याला मूळ समीकरणाचे दोन उपाय सापडतात:

x 2 = आर्कटान 3 + k

4. अर्ध्या कोनात संक्रमणाद्वारे समीकरणे सोडवणे

3sin x – 5cos x = 7 हे समीकरण सोडवा

चला x/2 वर जाऊ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ने भागा:

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. सहायक कोन परिचय

विचारासाठी, फॉर्मचे एक समीकरण घेऊ: a sin x + b cos x = c,

जेथे a, b, c काही अनियंत्रित गुणांक आहेत आणि x हे अज्ञात आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना खालीलप्रमाणे विभागू.



आता त्रिकोणमितीय सूत्रांनुसार समीकरणाच्या गुणांकांमध्ये sin आणि cos हे गुणधर्म आहेत, म्हणजे: त्यांचे मॉड्यूलस 1 पेक्षा जास्त नाही आणि वर्गांची बेरीज = 1. आपण त्यांना अनुक्रमे cos आणि sin म्हणून दर्शवू, जिथे - हे आहे तथाकथित सहायक कोन. मग समीकरण फॉर्म घेईल:

cos * sin x + sin * cos x = C

किंवा sin(x + ) = C

या सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचा उपाय आहे

x = (-1) k * arcsin C - + k, कुठे



हे लक्षात घ्यावे की नोटेशन cos आणि sin परस्पर बदलण्यायोग्य आहेत.

sin 3x – cos 3x = 1 हे समीकरण सोडवा

या समीकरणातील गुणांक आहेत:

a = , b = -1, म्हणून दोन्ही बाजूंना = 2 ने विभाजित करा

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या मुख्य पद्धती आहेत: समीकरणे सर्वात सोप्या (त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून), नवीन व्हेरिएबल्सची ओळख करून देणे आणि फॅक्टरिंग करणे. उदाहरणांसह त्यांचा उपयोग पाहू. त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण लिहिण्याच्या स्वरूपाकडे लक्ष द्या.

त्रिकोणमितीय समीकरणे यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी आवश्यक अट म्हणजे त्रिकोणमितीय सूत्रांचे ज्ञान (काम 6 मधील विषय 13).

उदाहरणे.

1. समीकरणे सर्वात सोपी केली.

1) समीकरण सोडवा

उपाय:

उत्तर:

2) समीकरणाची मुळे शोधा

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, विभागाशी संबंधित.

उपाय:

उत्तर:

2. समीकरण जे चतुर्भुज कमी करतात.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 हे समीकरण सोडवा.

उपाय: sin 2 x = 1 – cos 2 x हे सूत्र वापरून, आपल्याला मिळते

उत्तर:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx हे समीकरण सोडवा.

उपाय: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 हे सूत्र वापरून, आपल्याला मिळते

उत्तर:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 हे समीकरण सोडवा

उपाय:

उत्तर:

3. एकसंध समीकरणे

1) 2sinx – 3cosx = 0 हे समीकरण सोडवा

ऊत्तराची: cosx = 0, नंतर 2sinx = 0 आणि sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 या वस्तुस्थितीचा विरोधाभास आहे. याचा अर्थ cosx ≠ 0 असा होतो आणि आपण cosx ने समीकरण भागू शकतो. आम्हाला मिळते

उत्तर:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x हे समीकरण सोडवा

उपाय:

आपण 1 = sin 2 x + cos 2 x आणि sin 2x = 2 sinxcosx ही सूत्रे वापरतो, आपल्याला मिळते

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0, नंतर sin 2 x = 0 आणि sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 या वस्तुस्थितीचा विरोधाभास.
याचा अर्थ cosx ≠ 0 आणि आपण समीकरण cos 2 x ने भागू शकतो . आम्हाला मिळते

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y दर्शवू
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

उत्तर: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. फॉर्मची समीकरणे a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) समीकरण सोडवा.

उपाय:

उत्तर:

5. घटकीकरणाद्वारे सोडवलेली समीकरणे.

1) sin2x – sinx = 0 हे समीकरण सोडवा.

समीकरणाचे मूळ f (एक्स) = φ ( एक्स) फक्त 0 क्रमांक म्हणून काम करू शकते. हे तपासूया:

cos 0 = 0 + 1 - समानता सत्य आहे.

संख्या 0 हे या समीकरणाचे एकमेव मूळ आहे.

उत्तर: 0.

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांसह तुमच्याशी संपर्क साधण्याची अनुमती देते.
• वेळोवेळी, महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायालयीन प्रक्रियेनुसार, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशातील सरकारी अधिकाऱ्यांच्या विनंत्यांच्या आधारावर - तुमची वैयक्तिक माहिती उघड करणे. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

आपण आपल्या समस्येचे तपशीलवार निराकरण ऑर्डर करू शकता !!!

त्रिकोणमितीय फंक्शन (`sin x, cos x, tan x` किंवा `ctg x`) च्या चिन्हाखाली अज्ञात असलेल्या समानतेला त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणतात, आणि ही त्यांची सूत्रे आहेत ज्यांचा आपण पुढे विचार करू.

सर्वात सोपी समीकरणे म्हणजे `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जेथे `x` हा शोधायचा कोन आहे, `a` ही कोणतीही संख्या आहे. चला त्या प्रत्येकाची मूळ सूत्रे लिहू.

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` साठी त्याला कोणतेही उपाय नाहीत.

जेव्हा `|a| \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` साठी - साइनच्या बाबतीत, त्यास वास्तविक संख्यांमध्ये कोणतेही निराकरण नाही.

जेव्हा `|a| \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

आलेखामध्ये साइन आणि कोसाइनसाठी विशेष केस.

3. समीकरण `tg x=a`

`a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

तसेच `a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

टेबलमधील त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या मुळांसाठी सूत्रे

साइन साठी:
कोसाइनसाठी:
स्पर्शिका आणि कोटँजंटसाठी:
व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये असलेली समीकरणे सोडवण्यासाठी सूत्रे:

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याचे दोन टप्पे असतात:

• ते सर्वात सोप्यामध्ये रूपांतरित करण्याच्या मदतीने;
• वर लिहिलेली मूळ सूत्रे आणि तक्ते वापरून मिळवलेले सर्वात सोपे समीकरण सोडवा.

उदाहरणे वापरून मुख्य उपाय पद्धती पाहू.

बीजगणित पद्धत.

या पद्धतीमध्ये व्हेरिएबल बदलणे आणि त्यास समानतेमध्ये बदलणे समाविष्ट आहे.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

बदली करा: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, नंतर `2y^2-3y+1=0`,

आम्हाला मुळे सापडतात: `y_1=1, y_2=1/2`, ज्यावरून दोन प्रकरणे पुढे येतात:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

फॅक्टरीकरण.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `sin x+cos x=1`.

उपाय. समानतेच्या सर्व अटी डावीकडे हलवू: `sin x+cos x-1=0`. वापरून, आम्ही डाव्या बाजूचे रूपांतर करतो आणि फॅक्टराइज करतो:

`पाप x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एकसंध समीकरणात घट

प्रथम, तुम्हाला हे त्रिकोणमितीय समीकरण दोनपैकी एका रूपात कमी करावे लागेल:

`a sin x+b cos x=0` (प्रथम अंशाचे एकसमान समीकरण) किंवा `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

नंतर दोन्ही भागांना `cos x \ne 0` ने विभाजित करा - पहिल्या केससाठी आणि `cos^2 x \ne 0` ने - दुसऱ्यासाठी. आम्ही `tg x`: `a tg x+b=0` आणि `a tg^2 x + b tg x +c =0` साठी समीकरणे मिळवतो, ज्याचे निराकरण ज्ञात पद्धती वापरून करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

उपाय. चला उजवी बाजू `1=sin^2 x+cos^2 x` असे लिहू:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

हे दुसऱ्या अंशाचे एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरण आहे, आपण त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना `cos^2 x \ne 0` ने विभाजित करतो, आम्हाला मिळते:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. चला बदली `tg x=t` सादर करू, परिणामी `t^2 + t - 2=0`. या समीकरणाची मुळे `t_1=-2` आणि `t_2=1` आहेत. मग:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

अर्धकोनात हलवत आहे

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

उपाय. चला दुहेरी कोन सूत्र लागू करू, परिणामी: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

वर वर्णन केलेल्या बीजगणित पद्धतीचा अवलंब केल्याने, आम्हाला मिळते:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

सहायक कोन परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरणात `a sin x + b cos x =c`, जेथे a,b,c गुणांक आहेत आणि x हे चल आहे, दोन्ही बाजूंना `sqrt (a^2+b^2)` ने विभाजित करा:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

डाव्या बाजूला असलेल्या गुणांकांमध्ये साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म आहेत, म्हणजे त्यांच्या वर्गांची बेरीज 1 आहे आणि त्यांचे मॉड्यूल 1 पेक्षा जास्त नाहीत. आपण त्यांना खालीलप्रमाणे दर्शवूया: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, नंतर:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

चला पुढील उदाहरणाकडे जवळून पाहू:

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `3 sin x+4 cos x=2`.

उपाय. समानतेच्या दोन्ही बाजूंना `sqrt (3^2+4^2)` ​​ने विभाजित केल्यास, आपल्याला मिळते:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

चला `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` दर्शवू. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` असल्याने, आपण `\varphi=arcsin 4/5` हा सहायक कोन म्हणून घेतो. मग आम्ही आमची समानता फॉर्ममध्ये लिहितो:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

साइनसाठी कोनांच्या बेरजेसाठी सूत्र लागू करून, आम्ही आमची समानता खालील स्वरूपात लिहितो:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

अपूर्णांक परिमेय त्रिकोणमितीय समीकरणे

या अपूर्णांकांसह समानता आहेत ज्यांचे अंश आणि भाजक त्रिकोणमितीय कार्ये आहेत.

उदाहरण. समीकरण सोडवा. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

उपाय. समानतेच्या उजव्या बाजूस `(1+cos x)` ने गुणा आणि भागा. परिणामी आम्हाला मिळते:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

भाजक शून्याच्या बरोबरीचा असू शकत नाही हे लक्षात घेता, आपल्याला `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिळतात.

चला अपूर्णांकाच्या अंशाची शून्याशी बरोबरी करू: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. नंतर `sin x=0` किंवा `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

`x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` दिल्यास, `x=2\pi n, n \in Z` आणि `x=\pi /2+2\pi n` आहेत. , `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

त्रिकोणमिती आणि विशेषतः त्रिकोणमितीय समीकरणे भूमिती, भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीच्या जवळजवळ सर्व क्षेत्रांमध्ये वापरली जातात. 10 व्या वर्गात अभ्यास सुरू होतो, युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी नेहमीच कार्ये असतात, म्हणून त्रिकोणमितीय समीकरणांची सर्व सूत्रे लक्षात ठेवण्याचा प्रयत्न करा - ते निश्चितपणे आपल्यासाठी उपयुक्त ठरतील!

तथापि, आपल्याला ते लक्षात ठेवण्याची देखील आवश्यकता नाही, मुख्य गोष्ट म्हणजे सार समजून घेणे आणि ते प्राप्त करण्यास सक्षम असणे. हे दिसते तितके अवघड नाही. व्हिडिओ पाहून तुम्हीच बघा.

मूळ त्रिकोणमितीय कार्ये - साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटँजेंट - यांच्यातील संबंध दिले आहेत. त्रिकोणमितीय सूत्रे. आणि त्रिकोणमितीय फंक्शन्समध्ये बरेच कनेक्शन असल्याने, हे त्रिकोणमितीय सूत्रांच्या विपुलतेचे स्पष्टीकरण देते. काही सूत्रे एकाच कोनाची त्रिकोणमितीय फंक्शन्स जोडतात, इतर - एकाधिक कोनाची फंक्शन्स, इतर - तुम्हाला डिग्री कमी करण्याची परवानगी देतात, चौथे - अर्ध्या कोनाच्या स्पर्शिकेद्वारे सर्व फंक्शन्स व्यक्त करतात.

या लेखात आम्ही सर्व मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रांची यादी करू, जे बहुसंख्य त्रिकोणमिती समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पुरेसे आहेत. लक्षात ठेवण्याच्या आणि वापरण्याच्या सुलभतेसाठी, आम्ही त्यांना उद्देशानुसार गटबद्ध करू आणि त्यांना टेबलमध्ये प्रविष्ट करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

मूळ त्रिकोणमितीय ओळख

मूळ त्रिकोणमितीय ओळखएका कोनातील साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटँजेंट यांच्यातील संबंध परिभाषित करा. ते साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटँजेंटच्या व्याख्येवरून तसेच एकक वर्तुळाच्या संकल्पनेचे अनुसरण करतात. ते तुम्हाला एक त्रिकोणमितीय कार्य इतर कोणत्याही संदर्भात व्यक्त करण्याची परवानगी देतात.

या त्रिकोणमिती सूत्रांच्या तपशीलवार वर्णनासाठी, त्यांची व्युत्पत्ती आणि अनुप्रयोगाची उदाहरणे, लेख पहा.

कपात सूत्रे

कपात सूत्रेसाइन, कोसाइन, टॅन्जेंट आणि कोटॅन्जंटच्या गुणधर्मांचे अनुसरण करा, म्हणजेच ते त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या नियतकालिकतेचा गुणधर्म, सममितीचा गुणधर्म तसेच दिलेल्या कोनाद्वारे बदलण्याचा गुणधर्म दर्शवतात. हे त्रिकोणमितीय सूत्र तुम्हाला अनियंत्रित कोनांसह कार्य करण्यापासून शून्य ते 90 अंशांपर्यंतच्या कोनांसह कार्य करण्यास परवानगी देतात.

या सूत्रांचे तर्क, त्यांना लक्षात ठेवण्यासाठी एक स्मृतीविषयक नियम आणि त्यांच्या अर्जाची उदाहरणे लेखात अभ्यासली जाऊ शकतात.

जोडणी सूत्रे

त्रिकोणमितीय जोड सूत्रेदोन कोनांच्या बेरीज किंवा फरकाची त्रिकोणमितीय कार्ये त्या कोनांच्या त्रिकोणमितीय कार्यांच्या संदर्भात कशी व्यक्त केली जातात ते दर्शवा. ही सूत्रे खालील त्रिकोणमितीय सूत्रे मिळवण्यासाठी आधार म्हणून काम करतात.

दुहेरी, तिप्पट, इत्यादीसाठी सूत्रे. कोन

दुहेरी, तिप्पट, इत्यादीसाठी सूत्रे. कोन (त्यांना एकाधिक कोन सूत्र देखील म्हणतात) दुहेरी, तिप्पट इ.ची त्रिकोणमितीय कार्ये कशी दर्शवतात. कोन () एका कोनाच्या त्रिकोणमितीय कार्यांनुसार व्यक्त केले जातात. त्यांची व्युत्पत्ती अतिरिक्त सूत्रांवर आधारित आहे.

दुहेरी, तिप्पट इ.च्या लेख सूत्रांमध्ये अधिक तपशीलवार माहिती गोळा केली आहे. कोन

अर्धकोन सूत्रे

अर्धकोन सूत्रेअर्धकोनाची त्रिकोणमितीय कार्ये संपूर्ण कोनाच्या कोसाइनमध्ये कशी व्यक्त केली जातात ते दाखवा. ही त्रिकोणमितीय सूत्रे दुहेरी कोन सूत्रांचे अनुसरण करतात.

त्यांचे निष्कर्ष आणि अर्जाची उदाहरणे लेखात आढळू शकतात.

पदवी कमी करण्याचे सूत्र

अंश कमी करण्यासाठी त्रिकोणमितीय सूत्रेत्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या नैसर्गिक शक्तींपासून सायन्स आणि कोसाइनमध्ये पहिल्या अंशात, परंतु अनेक कोनांमध्ये संक्रमण सुलभ करण्यासाठी डिझाइन केलेले आहेत. दुसऱ्या शब्दांत, ते तुम्हाला त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची शक्ती पहिल्यापर्यंत कमी करण्याची परवानगी देतात.

त्रिकोणमितीय कार्यांची बेरीज आणि फरक यासाठी सूत्रे

मुख्य उद्देश त्रिकोणमितीय कार्यांची बेरीज आणि फरक यासाठी सूत्रेफंक्शन्सच्या उत्पादनावर जाणे आहे, जे त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ती सुलभ करताना खूप उपयुक्त आहे. ही सूत्रे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात, कारण ते तुम्हाला साइन्स आणि कोसाइनची बेरीज आणि फरक कारक करण्याची परवानगी देतात.

कोसाइन, कोसाइन आणि साइन बाय कोसाइनच्या गुणाकाराची सूत्रे

त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या गुणाकारापासून बेरीज किंवा फरकापर्यंतचे संक्रमण सायन्स, कोसाइन आणि साइन बाय कोसाइनच्या गुणाकारासाठी सूत्रे वापरून केले जाते.

सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

आम्ही त्रिकोणमितीच्या मूलभूत सूत्रांचे आमचे पुनरावलोकन अर्धकोनाच्या स्पर्शिकेच्या दृष्टीने त्रिकोणमितीय कार्ये व्यक्त करणाऱ्या सूत्रांसह पूर्ण करतो. ही बदली पुकारण्यात आली सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. त्याची सोय या वस्तुस्थितीत आहे की सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये मुळांशिवाय तर्कशुद्धपणे अर्धकोनाच्या स्पर्शिकेच्या संदर्भात व्यक्त केली जातात.

संदर्भग्रंथ.

• बीजगणित:पाठ्यपुस्तक 9 व्या वर्गासाठी. सरासरी शाळा/यु. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; एड. एस. ए. तेल्याकोव्स्की - एम.: एज्युकेशन, 1990. - 272 पीपी.: ISBN 5-09-002727-7
• बाश्माकोव्ह एम. आय.बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात: पाठ्यपुस्तक. 10-11 ग्रेडसाठी. सरासरी शाळा - तिसरी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 1993. - 351 पी.: आजारी. - ISBN 5-09-004617-4.
• बीजगणितआणि विश्लेषणाची सुरुवात: Proc. 10-11 ग्रेडसाठी. सामान्य शिक्षण संस्था / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn आणि इतर; एड. ए. एन. कोल्मोगोरोव - 14 वा संस्करण - एम.: एज्युकेशन, 2004. - 384 पीपी.
• गुसेव व्ही.ए., मोर्डकोविच ए.जी.गणित (तांत्रिक शाळांमध्ये प्रवेश करणाऱ्यांसाठी एक पुस्तिका): Proc. भत्ता.- एम.; उच्च शाळा, 1984.-351 पी., आजारी.

हुशार विद्यार्थ्यांद्वारे कॉपीराइट

सर्व हक्क राखीव.
कॉपीराइट कायद्याद्वारे संरक्षित. साइटचा कोणताही भाग, अंतर्गत सामग्री आणि देखावा यासह, कॉपीराइट धारकाच्या पूर्व लेखी परवानगीशिवाय कोणत्याही स्वरूपात पुनरुत्पादित किंवा वापरला जाऊ शकत नाही.