युनिव्हर्सल त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन, सूत्रांचे व्युत्पन्न, उदाहरणे.

मूळ त्रिकोणमितीय कार्ये - साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट - यांच्यातील संबंध दिले आहेत. त्रिकोणमितीय सूत्रे. आणि त्रिकोणमितीय फंक्शन्समध्ये बरेच कनेक्शन असल्याने, हे त्रिकोणमितीय सूत्रांच्या विपुलतेचे स्पष्टीकरण देते. काही सूत्रे एकाच कोनाची त्रिकोणमितीय फंक्शन्स जोडतात, इतर - एकाधिक कोनाची फंक्शन्स, इतर - तुम्हाला डिग्री कमी करण्याची परवानगी देतात, चौथे - अर्ध्या कोनाच्या स्पर्शिकेद्वारे सर्व फंक्शन्स व्यक्त करतात.

या लेखात आम्ही सर्व मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रांची यादी करू, जे बहुसंख्य त्रिकोणमिती समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पुरेसे आहेत. लक्षात ठेवण्याच्या आणि वापरण्याच्या सुलभतेसाठी, आम्ही त्यांना उद्देशानुसार गटबद्ध करू आणि त्यांना टेबलमध्ये प्रविष्ट करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

मूळ त्रिकोणमितीय ओळख

मूळ त्रिकोणमितीय ओळखएका कोनातील साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट यांच्यातील संबंध परिभाषित करा. ते साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटच्या व्याख्येवरून तसेच एकक वर्तुळाच्या संकल्पनेचे अनुसरण करतात. ते तुम्हाला एक त्रिकोणमितीय कार्य इतर कोणत्याही संदर्भात व्यक्त करण्याची परवानगी देतात.

या त्रिकोणमिती सूत्रांच्या तपशीलवार वर्णनासाठी, त्यांची व्युत्पत्ती आणि अनुप्रयोगाची उदाहरणे, लेख पहा.

कपात सूत्रे

कपात सूत्रेसाइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटच्या गुणधर्मांचे अनुसरण करा, म्हणजेच ते त्रिकोणमितीय कार्यांच्या नियतकालिकतेचा गुणधर्म, सममितीचा गुणधर्म, तसेच दिलेल्या कोनाद्वारे बदलण्याचा गुणधर्म दर्शवतात. हे त्रिकोणमितीय सूत्र तुम्हाला अनियंत्रित कोनांसह कार्य करण्यापासून शून्य ते 90 अंशांपर्यंतच्या कोनांसह कार्य करण्यास परवानगी देतात.

या सूत्रांचे तर्क, त्यांना लक्षात ठेवण्यासाठी एक स्मृतीविषयक नियम आणि त्यांच्या अर्जाची उदाहरणे लेखात अभ्यासली जाऊ शकतात.

जोडणी सूत्रे

त्रिकोणमितीय जोड सूत्रेदोन कोनांच्या बेरीज किंवा फरकाची त्रिकोणमितीय कार्ये त्या कोनांच्या त्रिकोणमितीय कार्यांच्या संदर्भात कशी व्यक्त केली जातात ते दर्शवा. ही सूत्रे खालील त्रिकोणमितीय सूत्रे मिळवण्यासाठी आधार म्हणून काम करतात.

दुहेरी, तिप्पट, इत्यादीसाठी सूत्रे. कोन

दुहेरी, तिप्पट, इत्यादीसाठी सूत्रे. कोन (त्यांना एकाधिक कोन सूत्र देखील म्हणतात) दुहेरी, तिप्पट इ.ची त्रिकोणमितीय कार्ये कशी दर्शवतात. कोन () एका कोनाच्या त्रिकोणमितीय कार्यांनुसार व्यक्त केले जातात. त्यांची व्युत्पत्ती अतिरिक्त सूत्रांवर आधारित आहे.

दुहेरी, तिप्पट इ.च्या लेख सूत्रांमध्ये अधिक तपशीलवार माहिती गोळा केली आहे. कोन

अर्धकोन सूत्रे

अर्धकोन सूत्रेअर्धकोनाची त्रिकोणमितीय कार्ये संपूर्ण कोनाच्या कोसाइनमध्ये कशी व्यक्त केली जातात ते दाखवा. ही त्रिकोणमितीय सूत्रे दुहेरी कोन सूत्रांचे अनुसरण करतात.

त्यांचे निष्कर्ष आणि अर्जाची उदाहरणे लेखात आढळू शकतात.

पदवी कमी करण्याचे सूत्र

अंश कमी करण्यासाठी त्रिकोणमितीय सूत्रेत्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या नैसर्गिक शक्तींपासून सायन्स आणि कोसाइनमध्ये पहिल्या अंशात, परंतु अनेक कोनांमध्ये संक्रमण सुलभ करण्यासाठी डिझाइन केलेले आहेत. दुसऱ्या शब्दांत, ते तुम्हाला त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची शक्ती पहिल्यापर्यंत कमी करण्याची परवानगी देतात.

त्रिकोणमितीय कार्यांची बेरीज आणि फरक यासाठी सूत्रे

मुख्य उद्देश त्रिकोणमितीय कार्यांची बेरीज आणि फरक यासाठी सूत्रेफंक्शन्सच्या उत्पादनावर जाणे आहे, जे त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ती सुलभ करताना खूप उपयुक्त आहे. ही सूत्रे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात, कारण ते तुम्हाला साइन्स आणि कोसाइनची बेरीज आणि फरक कारक करण्याची परवानगी देतात.

कोसाइन, कोसाइन आणि साइन बाय कोसाइनच्या गुणाकाराची सूत्रे

त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या गुणाकारापासून बेरीज किंवा फरकापर्यंतचे संक्रमण सायन्स, कोसाइन आणि साइन बाय कोसाइनच्या गुणाकारासाठी सूत्रे वापरून केले जाते.

हुशार विद्यार्थ्यांद्वारे कॉपीराइट

सर्व हक्क राखीव.
कॉपीराइट कायद्याद्वारे संरक्षित. www.site चा कोणताही भाग, अंतर्गत साहित्य आणि देखावा यासह, कॉपीराइट धारकाच्या पूर्व लेखी परवानगीशिवाय कोणत्याही स्वरूपात पुनरुत्पादित किंवा वापरला जाऊ शकत नाही.

वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न

दिलेल्या नमुन्यानुसार दस्तऐवजावर मुद्रांक करणे शक्य आहे का? उत्तर द्या होय, हे शक्य आहे. आमच्या ईमेल पत्त्यावर स्कॅन केलेली प्रत किंवा चांगल्या दर्जाचा फोटो पाठवा आणि आम्ही आवश्यक डुप्लिकेट बनवू.

तुम्ही कोणत्या प्रकारचे पेमेंट स्वीकारता? उत्तर द्या डिप्लोमा पूर्ण होण्याची शुद्धता आणि अंमलबजावणीची गुणवत्ता तपासल्यानंतर कुरिअरद्वारे प्राप्त झाल्यानंतर आपण दस्तऐवजासाठी पैसे देऊ शकता. कॅश ऑन डिलिव्हरी सेवा देणाऱ्या पोस्टल कंपन्यांच्या कार्यालयातही हे करता येते.
दस्तऐवजांसाठी डिलिव्हरी आणि पेमेंटच्या सर्व अटी "पेमेंट आणि डिलिव्हरी" विभागात वर्णन केल्या आहेत. दस्तऐवजाच्या वितरण आणि देयकाच्या अटींबाबत आम्ही तुमच्या सूचना ऐकण्यासाठी देखील तयार आहोत.

ऑर्डर दिल्यानंतर तुम्ही माझे पैसे घेऊन गायब होणार नाही याची मला खात्री आहे का? उत्तर द्या आमच्याकडे डिप्लोमा उत्पादन क्षेत्रात बराच मोठा अनुभव आहे. आमच्याकडे अनेक वेबसाइट्स आहेत ज्या सतत अपडेट केल्या जातात. आमचे विशेषज्ञ दिवसाला 10 पेक्षा जास्त दस्तऐवज तयार करून देशाच्या विविध भागात काम करतात. वर्षानुवर्षे, आमच्या दस्तऐवजांनी बर्‍याच लोकांना रोजगार समस्या सोडवण्यास किंवा उच्च पगाराच्या नोकऱ्यांमध्ये जाण्यास मदत केली आहे. आम्ही ग्राहकांमध्ये विश्वास आणि ओळख मिळवली आहे, त्यामुळे आमच्याकडे असे करण्याचे कोणतेही कारण नाही. शिवाय, हे शारीरिकरित्या करणे केवळ अशक्य आहे: जेव्हा तुम्ही तुमच्या ऑर्डरला तुमच्या हातात प्राप्त करता तेव्हा तुम्ही त्यासाठी पैसे देता, कोणतेही प्रीपेमेंट नसते.

मी कोणत्याही विद्यापीठातून डिप्लोमा मागवू शकतो का? उत्तर द्या सर्वसाधारणपणे, होय. आम्ही जवळपास 12 वर्षांपासून या क्षेत्रात काम करत आहोत. यावेळी, देशातील जवळजवळ सर्व विद्यापीठांनी जारी केलेल्या कागदपत्रांचा आणि विविध वर्षांच्या जारी केलेल्या कागदपत्रांचा जवळजवळ संपूर्ण डेटाबेस तयार करण्यात आला. तुम्हाला फक्त विद्यापीठ, खासियत, दस्तऐवज निवडणे आणि ऑर्डर फॉर्म भरणे आवश्यक आहे.

दस्तऐवजात टायपो आणि चुका आढळल्यास काय करावे? उत्तर द्या आमच्या कुरिअर किंवा पोस्टल कंपनीकडून दस्तऐवज प्राप्त करताना, आम्ही शिफारस करतो की तुम्ही सर्व तपशील काळजीपूर्वक तपासा. टायपो, एरर किंवा अयोग्यता आढळल्यास, डिप्लोमा न घेण्याचा अधिकार तुम्हाला आहे, परंतु तुम्ही आढळलेले दोष वैयक्तिकरित्या कुरियरला किंवा ईमेल पाठवून लिखित स्वरूपात सूचित केले पाहिजेत.
आम्ही शक्य तितक्या लवकर दस्तऐवज दुरुस्त करू आणि निर्दिष्ट पत्त्यावर पुन्हा पाठवू. अर्थात, आमच्या कंपनीद्वारे शिपिंगचे पैसे दिले जातील.
असे गैरसमज टाळण्यासाठी, मूळ फॉर्म भरण्यापूर्वी, आम्ही ग्राहकाला भविष्यातील दस्तऐवज तपासण्यासाठी आणि अंतिम आवृत्तीच्या मंजुरीसाठी एक मॉक-अप ईमेल करतो. कुरियर किंवा मेलद्वारे दस्तऐवज पाठवण्यापूर्वी, आम्ही अतिरिक्त फोटो आणि व्हिडिओ (अतिनील प्रकाशासह) देखील घेतो जेणेकरून तुम्हाला शेवटी काय प्राप्त होईल याची स्पष्ट कल्पना असेल.

तुमच्या कंपनीकडून डिप्लोमा ऑर्डर करण्यासाठी मी काय करावे? उत्तर द्या दस्तऐवज ऑर्डर करण्यासाठी (प्रमाणपत्र, डिप्लोमा, शैक्षणिक प्रमाणपत्र इ.), तुम्ही आमच्या वेबसाइटवर ऑनलाइन ऑर्डर फॉर्म भरला पाहिजे किंवा तुमचा ईमेल प्रदान केला पाहिजे जेणेकरून आम्ही तुम्हाला एक अर्ज पाठवू शकू, जो तुम्हाला भरून परत पाठवायचा आहे. आम्हाला.
ऑर्डर फॉर्म/प्रश्नावलीच्या कोणत्याही क्षेत्रात काय सूचित करायचे हे तुम्हाला माहीत नसेल, तर ते रिकामे ठेवा. म्हणून, आम्ही फोनवर सर्व गहाळ माहिती स्पष्ट करू.

नवीनतम पुनरावलोकने

अॅलेक्सी:

व्यवस्थापक म्हणून नोकरी मिळविण्यासाठी मला डिप्लोमा घेणे आवश्यक होते. आणि सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे माझ्याकडे अनुभव आणि कौशल्ये दोन्ही आहेत, परंतु मला कागदपत्रांशिवाय नोकरी मिळू शकत नाही. एकदा मी तुमच्या साइटवर आलो, मी शेवटी डिप्लोमा खरेदी करण्याचा निर्णय घेतला. डिप्लोमा 2 दिवसात पूर्ण झाला!! आता माझ्याकडे अशी नोकरी आहे ज्याचा मी स्वप्नातही विचार केला नव्हता!! धन्यवाद!

आपण त्रिकोणमितीचा अभ्यास काटकोन त्रिकोणाने सुरू करू. साइन आणि कोसाइन काय आहेत, तसेच तीव्र कोनाची स्पर्शिका आणि कोटंजंट काय आहेत ते परिभाषित करूया. हे त्रिकोणमितीचे मूलतत्त्व आहे.

त्याची आठवण करून द्या काटकोन९० अंशांचा कोन आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अर्धा वळलेला कोन.

तीक्ष्ण कोपरा- 90 अंशांपेक्षा कमी.

विशाल कोन- 90 अंशांपेक्षा जास्त. अशा कोनाच्या संदर्भात, "ओब्ट्यूज" हा अपमान नसून एक गणितीय संज्ञा आहे :-)

चला एक काटकोन त्रिकोण काढू. काटकोन सहसा द्वारे दर्शविला जातो. कृपया लक्षात घ्या की कोपऱ्याच्या विरुद्ध बाजू समान अक्षराने दर्शविली आहे, फक्त लहान. अशा प्रकारे, बाजूचा विरुद्ध कोन A नियुक्त केला आहे.

कोन संबंधित ग्रीक अक्षराने दर्शविला जातो.

हायपोटेन्युजकाटकोन त्रिकोणाची काटकोनाच्या विरुद्ध बाजू आहे.

पाय- तीव्र कोनांच्या विरुद्ध असलेल्या बाजू.

कोनाच्या विरुद्ध पडलेल्या पायाला म्हणतात विरुद्ध(कोनाशी संबंधित). दुसरा पाय, जो कोनाच्या एका बाजूवर असतो, त्याला म्हणतात समीप.

सायनसकाटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोन हे कर्णाच्या विरुद्ध बाजूचे गुणोत्तर आहे:

कोसाइनकाटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोन - कर्णाच्या समीप पायाचे गुणोत्तर:

स्पर्शिकाकाटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोन - समीप बाजूच्या विरुद्ध बाजूचे गुणोत्तर:

दुसरी (समतुल्य) व्याख्या: तीव्र कोनाची स्पर्शिका म्हणजे कोनाच्या साइन आणि कोसाइनचे गुणोत्तर:

कोटॅंजेंटकाटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोन - समीप बाजूचे विरुद्ध बाजूचे गुणोत्तर (किंवा, जे समान आहे, कोसाइन ते साइनचे गुणोत्तर):

खाली साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंटसाठी मूलभूत संबंध लक्षात घ्या. समस्या सोडवताना ते आम्हाला उपयोगी पडतील.

चला त्यापैकी काही सिद्ध करूया.

ठीक आहे, आम्ही व्याख्या दिल्या आहेत आणि सूत्रे लिहिली आहेत. पण तरीही आपल्याला साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटची गरज का आहे?

ते आम्हाला माहीत आहे कोणत्याही त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज समान असते.

यांच्यातील संबंध आम्हाला माहीत आहेत पक्षकाटकोन त्रिकोण. हे पायथागोरियन प्रमेय आहे: .

असे दिसून आले की त्रिकोणातील दोन कोन जाणून घेतल्यास, आपण तिसरा शोधू शकता. काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू जाणून घेतल्यास, आपण तिसरी शोधू शकता. याचा अर्थ कोनांचे स्वतःचे गुणोत्तर असते आणि बाजूंना त्यांचे स्वतःचे असते. परंतु जर काटकोन त्रिकोणामध्ये तुम्हाला एक कोन (काटकोन सोडून) आणि एक बाजू माहित असेल, परंतु तुम्हाला इतर बाजू शोधण्याची आवश्यकता असेल तर तुम्ही काय करावे?

भूतकाळातील लोकांना या क्षेत्राचे आणि तारकीय आकाशाचे नकाशे बनवताना याचा सामना करावा लागला. शेवटी, त्रिकोणाच्या सर्व बाजू थेट मोजणे नेहमीच शक्य नसते.

साइन, कोसाइन आणि स्पर्शिका - त्यांना देखील म्हणतात त्रिकोणमितीय कोन कार्ये- दरम्यान संबंध द्या पक्षआणि कोपरेत्रिकोण कोन जाणून घेतल्यास, आपण विशेष सारण्या वापरून तिची सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये शोधू शकता. आणि त्रिकोणाच्या कोनांचे साइन्स, कोसाइन आणि स्पर्शरेषा आणि त्याची एक बाजू जाणून घेतल्यास, आपण उर्वरित शोधू शकता.

वरून ते “चांगल्या” कोनांसाठी आपण साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटच्या मूल्यांची एक सारणी देखील काढू.

कृपया टेबलमधील दोन लाल डॅश लक्षात घ्या. योग्य कोन मूल्यांवर, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट अस्तित्वात नाहीत.

चला FIPI टास्क बँकेच्या अनेक त्रिकोणमिती समस्या पाहू.

1. त्रिकोणामध्ये, कोन आहे , . शोधणे .

चार सेकंदात समस्या सोडवली जाते.

कारण , .

2. त्रिकोणामध्ये, कोन , , . शोधणे .

पायथागोरियन प्रमेय वापरून ते शोधू.

समस्या सुटली आहे.

अनेकदा समस्यांमध्ये कोन आणि किंवा कोनांसह त्रिकोण असतात आणि. त्यांच्यासाठी मूलभूत गुणोत्तरे मनापासून लक्षात ठेवा!

कोन असलेल्या त्रिकोणासाठी आणि कोनाच्या विरुद्ध असलेला पाय समान आहे कर्णाचा अर्धा भाग.

कोन असलेला त्रिकोण आणि समद्विभुज आहे. त्यामध्ये कर्ण पायापेक्षा पटीने मोठा असतो.

आम्ही काटकोन त्रिकोण सोडवण्याच्या समस्यांकडे पाहिले - म्हणजे, अज्ञात बाजू किंवा कोन शोधणे. पण ते सर्व नाही! गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेत अनेक समस्या आहेत ज्यात त्रिकोणाच्या बाह्य कोनाच्या साइन, कोसाइन, स्पर्शिका किंवा कोटॅंजंटचा समावेश होतो. पुढील लेखात याबद्दल अधिक.

या लेखात आम्ही सर्वसमावेशकपणे पाहू. मूळ त्रिकोणमितीय ओळख ही समानता आहेत जी एका कोनाच्या साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंट यांच्यात संबंध स्थापित करतात आणि एखाद्याला ज्ञात इतर द्वारे यापैकी कोणतेही त्रिकोणमितीय कार्य शोधण्याची परवानगी देतात.

चला मुख्य त्रिकोणमितीय ओळखींची यादी करूया ज्यांचे आपण या लेखात विश्लेषण करू. चला ते टेबलमध्ये लिहू आणि खाली आम्ही या सूत्रांचे आउटपुट देऊ आणि आवश्यक स्पष्टीकरण देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

एका कोनाच्या साइन आणि कोसाइनमधील संबंध

काहीवेळा ते वरील सारणीमध्ये सूचीबद्ध केलेल्या मुख्य त्रिकोणमितीय ओळखींबद्दल बोलत नाहीत, परंतु एका एकलबद्दल बोलतात मूळ त्रिकोणमितीय ओळखदयाळू . या वस्तुस्थितीचे स्पष्टीकरण अगदी सोपे आहे: मुख्य त्रिकोणमितीय ओळखीमधून समानता त्याच्या दोन्ही भागांना अनुक्रमे आणि समानतेने विभाजित केल्यानंतर प्राप्त केली जाते. आणि sine, cosine, tangent आणि cotangent च्या व्याख्यांचे अनुसरण करा. आम्ही पुढील परिच्छेदांमध्ये याबद्दल अधिक तपशीलवार चर्चा करू.

म्हणजेच, ही समानता आहे जी विशिष्ट रूची आहे, ज्याला मुख्य त्रिकोणमितीय ओळखीचे नाव देण्यात आले होते.

मुख्य त्रिकोणमितीय ओळख सिद्ध करण्यापूर्वी, आम्ही त्याचे सूत्र देतो: एका कोनाच्या साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज एकसारखी असते. आता सिद्ध करूया.

मूलभूत त्रिकोणमितीय ओळख खूप वेळा वापरली जाते तेव्हा त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ती रूपांतरित करणे. हे एका कोनाच्या साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज एकाने बदलण्याची परवानगी देते. कमी वेळा नाही, मूळ त्रिकोणमितीय ओळख उलट क्रमाने वापरली जाते: एकक कोणत्याही कोनाच्या साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांच्या बेरजेने बदलले जाते.

साइन आणि कोसाइनद्वारे स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट

एका दृश्याच्या कोनाच्या साइन आणि कोसाइनसह स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट जोडणारी ओळख आणि साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटच्या व्याख्यांमधून लगेच अनुसरण करा. खरंच, व्याख्येनुसार, sine हा y चा ordinate आहे, cosine हा x चा abscissa आहे, tangent हा ordinate to abscissa चे गुणोत्तर आहे, म्हणजेच, , आणि कोटॅन्जंट हे अॅब्सिसा आणि ऑर्डिनेटचे गुणोत्तर आहे, म्हणजे, .

ओळखीच्या अशा स्पष्टतेबद्दल धन्यवाद आणि स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंटची व्याख्या बहुतेक वेळा abscissa आणि ordinate च्या गुणोत्तराद्वारे केली जात नाही, तर sine आणि cosine च्या गुणोत्तराद्वारे केली जाते. म्हणून कोनाची स्पर्शिका हे या कोनाच्या कोसाइनचे साइन आणि कोसाइनचे गुणोत्तर आहे आणि कोटॅंजेंट हे कोसाइन आणि साइनचे गुणोत्तर आहे.

या परिच्छेदाच्या शेवटी, हे लक्षात घेतले पाहिजे की ओळख आणि सर्व कोनांसाठी स्थान घ्या ज्यामध्ये त्रिकोणमितीय फंक्शन्स समाविष्ट आहेत त्यांना अर्थ आहे. त्यामुळे सूत्र कोणत्याही व्यतिरिक्त वैध आहे (अन्यथा भाजक शून्य असेल, आणि आम्ही शून्याने भागाकार परिभाषित केला नाही), आणि सूत्र - सर्वांसाठी, पेक्षा वेगळे, जेथे z कोणतेही आहे.

स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट यांच्यातील संबंध

मागील दोनपेक्षा अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय ओळख म्हणजे फॉर्मच्या एका कोनाची स्पर्शिका आणि कोटॅंजंट जोडणारी ओळख. . हे स्पष्ट आहे की ते व्यतिरिक्त इतर कोणत्याही कोनांसाठी धारण करते, अन्यथा स्पर्शिका किंवा कोटॅंजेंट परिभाषित केले जात नाहीत.

सूत्राचा पुरावा खूप सोपे. व्याख्येनुसार आणि कुठून . पुरावा थोडा वेगळा करता आला असता. पासून , ते .

तर, ज्या कोनात त्यांचा अर्थ होतो त्याच कोनाची स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट आहेत.

दोन कोनांची बेरीज आणि फरक यांचा कोसाइन

या विभागात खालील दोन सूत्रे सिद्ध होतील:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (२)

दोन कोनांच्या बेरजेचा (फरक) कोसाइन हा या कोनांच्या कोसाइनच्या गुणाकार वजा (अधिक) या कोनांच्या साइन्सच्या गुणाकाराइतका असतो.

सूत्र (2) च्या पुराव्याने सुरुवात करणे आपल्यासाठी अधिक सोयीचे होईल. सादरीकरणाच्या साधेपणासाठी, प्रथम आपण कोन असे गृहीत धरू α आणि β खालील अटी पूर्ण करा:

1) यातील प्रत्येक कोन गैर-ऋणात्मक आणि कमी आहे 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

0x अक्षाचा धनात्मक भाग कोनांची सामान्य सुरुवातीची बाजू असू द्या α आणि β .

आम्ही या कोनांच्या शेवटच्या बाजूंना अनुक्रमे 0A आणि 0B ने दर्शवतो. साहजिकच कोण α - β बीम 0B हा बिंदू 0 भोवती घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवण्याची आवश्यकता असलेला कोन मानला जाऊ शकतो जेणेकरून त्याची दिशा बीम 0A च्या दिशेशी एकरूप होईल.

0A आणि 0B किरणांवर आम्ही निर्देशांक 0 च्या उत्पत्तीपासून 1 च्या अंतरावर असलेले बिंदू M आणि N चिन्हांकित करतो, जेणेकरून 0M = 0N = 1.

x0y कोऑर्डिनेट सिस्टीममध्ये, पॉइंट M मध्ये निर्देशांक असतात ( cos α, sin α), आणि बिंदू N हा निर्देशांक आहे ( cos β, sin β). म्हणून, त्यांच्यामधील अंतराचा वर्ग आहे:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

आमच्या गणनेत आम्ही ओळख वापरली

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

आता दुसरी कोऑर्डिनेट सिस्टीम B0C विचारात घ्या, जी 0x आणि 0y अक्षांना बिंदू 0 भोवती घड्याळाच्या उलट दिशेने कोनात फिरवून मिळवली जाते. β .

या समन्वय प्रणालीमध्ये बिंदू M, निर्देशांक (cos ( α - β ), पाप ( α - β )), आणि बिंदू N हा निर्देशांक (1,0) आहे. म्हणून, त्यांच्यामधील अंतराचा वर्ग आहे:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

परंतु बिंदू M आणि N मधील अंतर आपण कोणत्या समन्वय प्रणालीच्या संबंधात या बिंदूंचा विचार करत आहोत यावर अवलंबून नाही. म्हणून

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

येथे सूत्र (2) खालीलप्रमाणे आहे.

आता आपण ते दोन निर्बंध लक्षात ठेवले पाहिजेत जे आपण कोनांवर सादरीकरणाच्या साधेपणासाठी लादले होते. α आणि β .

आवश्यकता की प्रत्येक कोपरा α आणि β गैर-नकारात्मक होते, खरोखर लक्षणीय नव्हते. शेवटी, यापैकी कोणत्याही कोनात तुम्ही 2 चा गुणाकार असलेला कोन जोडू शकता, जो सूत्र (2) च्या वैधतेवर परिणाम करणार नाही. त्याच प्रकारे, या प्रत्येक कोनातून तुम्ही एक कोन वजा करू शकता जो गुणाकार आहे 2π. म्हणून आपण असे गृहीत धरू शकतो 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

स्थिती देखील नगण्य असल्याचे दिसून येते α > β . खरंच, जर α < β , ते β >α ; म्हणून, कार्याची समानता दिली कारण एक्स , आम्हाला मिळते:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

जे मूलत: सूत्र (2) शी जुळते. तर सूत्र

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

सर्व कोनांसाठी सत्य α आणि β . विशेषतः, त्यात बदलणे β वर - β आणि ते कार्य दिले कारणएक्स सम आहे, आणि कार्य पापएक्स विचित्र, आम्हाला मिळते:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

जे सूत्र सिद्ध करते (1).

तर, सूत्रे (1) आणि (2) सिद्ध आहेत.

उदाहरणे.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

व्यायाम

1 . त्रिकोणमितीय सारण्या न वापरता गणना करा:

अ) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.अभिव्यक्ती सुलभ करा:

अ). कारण( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) पाप ( α - 24°).

व्ही). पाप(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α पाप 2 α .

3 . गणना करा :

अ) cos(α - β), तर

cos α = - 2 / 5 , पाप β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) कारण ( α + π / 6), जर cos α = 0,6;

३π/२< α < 2π.

4 . शोधणे cos(α + β)आणि कारण (α - β) , जर हे ज्ञात असेल की पाप α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 आणि दोन्ही कोन ( α आणि β ) त्याच तिमाहीत समाप्त.

5 .गणना करा:

अ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

व्ही). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]