फंक्शन sinx x चा आलेख. फंक्शन्स y=sin x आणि y=cos x आणि विषयावरील बीजगणित धड्यासाठी (ग्रेड 10) त्यांचे आलेख सादरीकरण

विषयावरील धडा आणि सादरीकरण: "कार्य y=sin(x). व्याख्या आणि गुणधर्म"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, पुनरावलोकने, शुभेच्छा देण्यास विसरू नका! सर्व साहित्य अँटी-व्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासले गेले आहे.

1C पासून ग्रेड 10 साठी इंटिग्रल ऑनलाइन स्टोअरमध्ये मॅन्युअल आणि सिम्युलेटर
आम्ही भूमितीमधील समस्या सोडवतो. ग्रेड 7-10 साठी परस्परसंवादी बांधकाम कार्ये
सॉफ्टवेअर वातावरण "1C: मॅथेमॅटिकल कन्स्ट्रक्टर 6.1"

आम्ही काय अभ्यास करू:

• Y=sin(X) फंक्शनचे गुणधर्म.
• कार्य आलेख.
• आलेख आणि त्याचे प्रमाण कसे तयार करावे.
• उदाहरणे.

साइनचे गुणधर्म. Y=sin(X)

मित्रांनो, आम्ही संख्यात्मक युक्तिवादाच्या त्रिकोणमितीय कार्यांशी आधीच परिचित झालो आहोत. तुम्हाला त्यांची आठवण येते का?

चला Y=sin(X) फंक्शन जवळून पाहू.

चला या फंक्शनचे काही गुणधर्म लिहू:
1) व्याख्येचे क्षेत्र वास्तविक संख्यांचा संच आहे.
२) फंक्शन विषम आहे. विषम कार्याची व्याख्या लक्षात ठेवूया. समानता धारण केल्यास फंक्शनला विषम म्हणतात: y(-x)=-y(x). जसे आपण भूत सूत्रांवरून लक्षात ठेवतो: sin(-x)=-sin(x). व्याख्या पूर्ण झाली आहे, याचा अर्थ Y=sin(X) हे विषम कार्य आहे.
3) फंक्शन Y=sin(X) सेगमेंटवर वाढते आणि सेगमेंटवर कमी होते [π/2; π]. जेव्हा आपण पहिल्या तिमाहीत (घड्याळाच्या उलट दिशेने) फिरतो, तेव्हा ऑर्डिनेट वाढते आणि जेव्हा आपण दुसऱ्या तिमाहीत फिरतो तेव्हा ते कमी होते.

4) फंक्शन Y=sin(X) खाली आणि वरून मर्यादित आहे. ही मालमत्ता वस्तुस्थितीवरून पुढे येते
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य -1 आहे (x = - π/2+ πk वर). फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य 1 आहे (x = π/2+ πk वर).

Y=sin(X) फंक्शन प्लॉट करण्यासाठी गुणधर्म 1-5 वापरू. आम्ही आमचा आलेख क्रमशः तयार करू, आमचे गुणधर्म लागू करू. चला सेगमेंटवर आलेख बनवण्यास सुरुवात करूया.

स्केलवर विशेष लक्ष दिले पाहिजे. ऑर्डिनेट अक्षावर 2 सेलच्या बरोबरीचा एकक विभाग घेणे अधिक सोयीचे आहे आणि ऍब्सिसा अक्षावर π/3 (आकृती पहा) च्या बरोबरीचे एकक खंड (दोन पेशी) घेणे अधिक सोयीचे आहे.

साइन फंक्शन x, y=sin(x) प्लॉटिंग

चला आपल्या विभागातील फंक्शनच्या मूल्यांची गणना करूया:

चला तिसरा गुणधर्म लक्षात घेऊन आमचे गुण वापरून आलेख तयार करू.

भूत सूत्रांसाठी रूपांतरण सारणी

चला दुसरा गुणधर्म वापरू या, जे म्हणते की आमचे कार्य विषम आहे, याचा अर्थ ते मूळच्या संदर्भात सममितीयपणे प्रतिबिंबित केले जाऊ शकते:

आपल्याला माहित आहे की sin(x+ 2π) = sin(x). याचा अर्थ मध्यांतरावर [- π; π] आलेख विभागाप्रमाणेच दिसतो [π; 3π] किंवा किंवा [-3π; - π] आणि असेच. आपल्याला फक्त पूर्वीच्या आकृतीतील आलेख संपूर्ण x-अक्षावर काळजीपूर्वक पुन्हा काढायचा आहे.

Y=sin(X) फंक्शनच्या आलेखाला सायनसॉइड म्हणतात.

तयार केलेल्या आलेखानुसार आणखी काही गुणधर्म लिहू:
6) फंक्शन Y=sin(X) फॉर्मच्या कोणत्याही सेगमेंटवर वाढते: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k हा पूर्णांक आहे आणि फॉर्मच्या कोणत्याही खंडावर कमी होतो: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – पूर्णांक.
7) फंक्शन Y=sin(X) हे सतत फंक्शन आहे. फंक्शनचा आलेख पाहू आणि आपल्या फंक्शनला ब्रेक नाही याची खात्री करून घेऊ, याचा अर्थ सातत्य आहे.
8) मूल्यांची श्रेणी: विभाग [- 1; 1]. फंक्शनच्या आलेखावरूनही हे स्पष्टपणे दिसून येते.
9) कार्य Y=sin(X) - नियतकालिक कार्य. चला पुन्हा आलेख पाहू आणि फंक्शन ठराविक अंतराने समान मूल्ये घेते हे पाहू.

साइन सह समस्या उदाहरणे

1. sin(x)= x-π हे समीकरण सोडवा

उपाय: फंक्शनचे 2 आलेख बनवू: y=sin(x) आणि y=x-π (आकृती पहा).
आमचे आलेख A(π;0) एका बिंदूला छेदतात, हे उत्तर आहे: x = π

2. y=sin(π/6+x)-1 फंक्शनचा आलेख काढा

उपाय: फंक्शन y=sin(x) π/6 युनिट्सचा आलेख डावीकडे आणि 1 युनिट खाली हलवून इच्छित आलेख प्राप्त होईल.

उपाय: फंक्शन प्लॉट करू आणि आपल्या सेगमेंटचा विचार करू [π/2; ५π/४].
फंक्शनचा आलेख दर्शवितो की सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये विभागाच्या शेवटी, अनुक्रमे π/2 आणि 5π/4 बिंदूंवर प्राप्त केली जातात.
उत्तर: sin(π/2) = 1 – सर्वात मोठे मूल्य, sin(5π/4) = सर्वात लहान मूल्य.

स्वतंत्र निराकरणासाठी साइन समस्या

• समीकरण सोडवा: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• y=sin(π/3+x)-2 फंक्शनचा आलेख काढा
• y=sin(-2π/3+x)+1 फंक्शनचा आलेख काढा
• खंडावरील y=sin(x) फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधा
• मध्यांतरावर y=sin(x) फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधा [- π/3; ५π/६]

एका बिंदूवर केंद्रीत ए.
α - रेडियनमध्ये व्यक्त केलेला कोन.

व्याख्या
साइन (sin α)कर्ण आणि काटकोन त्रिकोणाचा पाय यांच्यातील α या कोनावर अवलंबून त्रिकोणमितीय कार्य आहे, विरुद्ध पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराप्रमाणे |BC| कर्णाच्या लांबीपर्यंत |AC|.

कोसाइन (cos α)कर्ण आणि काटकोन त्रिकोणाचा पाय यांच्यातील कोन α यावर अवलंबून त्रिकोणमितीय कार्य आहे, समीप पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराप्रमाणे |AB| कर्णाच्या लांबीपर्यंत |AC|.

स्वीकृत नोटेशन्स

;
;
.

;
;
.

साइन फंक्शनचा आलेख, y = sin x

कोसाइन फंक्शनचा आलेख, y = cos x

साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म

नियतकालिकता

कार्ये y = पाप xआणि y = cos xकालावधीसह नियतकालिक 2π.

समता

साइन फंक्शन विषम आहे. कोसाइन फंक्शन सम आहे.

परिभाषा आणि मूल्यांचे डोमेन, टोक, वाढ, घट

साइन आणि कोसाइन फंक्शन्स त्यांच्या परिभाषेच्या डोमेनमध्ये सतत असतात, म्हणजेच सर्व x साठी (सातत्यतेचा पुरावा पहा). त्यांचे मुख्य गुणधर्म टेबलमध्ये सादर केले आहेत (n - पूर्णांक).

मूलभूत सूत्रे

साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज

बेरीज आणि फरक पासून साइन आणि कोसाइन साठी सूत्रे

;
;

साइन्स आणि कोसाइनच्या उत्पादनासाठी सूत्रे

बेरीज आणि फरक सूत्रे

कोसाइनद्वारे साइन व्यक्त करणे

;
;
;
.

साइनद्वारे कोसाइन व्यक्त करणे

;
;
;
.

स्पर्शिकेद्वारे अभिव्यक्ती

; .

जेव्हा, आमच्याकडे आहे:
; .

येथे:
; .

साइन्स आणि कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट्सची सारणी

हे सारणी युक्तिवादाच्या विशिष्ट मूल्यांसाठी साइन्स आणि कोसाइनची मूल्ये दर्शविते.

जटिल चलांद्वारे अभिव्यक्ती

;

यूलरचे सूत्र

हायपरबोलिक फंक्शन्सद्वारे अभिव्यक्ती

;
;

व्युत्पन्न

; . सूत्रे प्राप्त करणे >>>

nव्या ऑर्डरचे व्युत्पन्न:
{ -∞ < x < +∞ }

सेकंट, कोसेकंट

व्यस्त कार्ये

साइन आणि कोसाइनची व्यस्त कार्ये अनुक्रमे आर्क्साइन आणि आर्कोसाइन आहेत.

आर्कसिन, आर्कसिन

अर्कोसाइन, अर्कोस

संदर्भ:
I.N. ब्रॉनस्टीन, के.ए. सेमेंद्याएव, अभियंते आणि महाविद्यालयीन विद्यार्थ्यांसाठी गणिताचे हँडबुक, "लॅन", 2009.

फंक्शन ग्राफिक्स

साइन फंक्शन

- चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड आरसर्व वास्तविक संख्या.

एकाधिक कार्य मूल्ये— विभाग [-१; 1], म्हणजे साइन फंक्शन - मर्यादित.

विषम कार्य: sin(−x)=−sin x सर्व x ∈ साठी आर.

कार्य नियतकालिक आहे

sin(x+2π k) = sin x, जेथे k ∈ झेडसर्व x ∈ साठी आर.

sin x = 0 x = π·k, k ∈ साठी झेड.

sin x > 0(सकारात्मक) सर्व x साठी ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ झेड.

पाप x< 0 (ऋण) सर्व x साठी ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ झेड.

कोसाइन फंक्शन

फंक्शन डोमेन- चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड आरसर्व वास्तविक संख्या.

एकाधिक कार्य मूल्ये— विभाग [-१; 1], म्हणजे कोसाइन फंक्शन - मर्यादित.

सम कार्य: cos(−x)=cos x सर्व x ∈ साठी आर.

कार्य नियतकालिक आहेसर्वात लहान सकारात्मक कालावधी 2π सह:

cos(x+2π k) = cos x, कुठे k ∈ झेडसर्व x ∈ साठी आर.

cos x = 0येथे
cos x > 0सगळ्यांसाठी
cos x< 0 सगळ्यांसाठी
कार्य वाढतेमध्यांतरांवर −1 ते 1 पर्यंत:
फंक्शन कमी होत आहेमध्यांतरांवर −1 ते 1 पर्यंत:
फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य sin x = 1बिंदूंवर:
फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य sin x = −1बिंदूंवर:

स्पर्शिका कार्य

एकाधिक कार्य मूल्ये— संपूर्ण संख्या रेखा, म्हणजे स्पर्शिका - कार्य अमर्यादित.

विषम कार्य: tg(−x)=−tg x
फंक्शनचा आलेख OY अक्षाबद्दल सममितीय आहे.

कार्य नियतकालिक आहेसर्वात लहान सकारात्मक कालावधी π सह, म्हणजे tg(x+π k) = टॅन x, k ∈ झेडपरिभाषेच्या डोमेनमधील सर्व x साठी.

कोटॅंजेंट फंक्शन

एकाधिक कार्य मूल्ये— संपूर्ण संख्या रेखा, म्हणजे cotangent - कार्य अमर्यादित.

कार्य नियतकालिक आहेसर्वात लहान सकारात्मक कालावधी π सह, म्हणजे cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ झेडपरिभाषेच्या डोमेनमधील सर्व x साठी.

आर्कसिन फंक्शन

फंक्शन डोमेन— विभाग [-१; १]

एकाधिक कार्य मूल्ये- खंड -π /2 arcsin x π /2, i.e. arcsine - कार्य मर्यादित.

विषम कार्य: arcsin(−x)=−arcsin x सर्व x ∈ साठी आर.
फंक्शनचा आलेख मूळ बद्दल सममितीय आहे.

संपूर्ण व्याख्या क्षेत्रामध्ये.

आर्क कोसाइन फंक्शन

फंक्शन डोमेन— विभाग [-१; १]

एकाधिक कार्य मूल्ये— खंड 0 arccos x π, i.e. arccosine - कार्य मर्यादित.

कार्य वाढत आहेसंपूर्ण व्याख्या क्षेत्रावर.

आर्कटांजेंट फंक्शन

फंक्शन डोमेन- चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड आरसर्व वास्तविक संख्या.

एकाधिक कार्य मूल्ये— खंड 0 π, म्हणजे arctangent - कार्य मर्यादित.

विषम कार्य: arctg(−x)=−arctg x सर्व x ∈ साठी आर.
फंक्शनचा आलेख मूळ बद्दल सममितीय आहे.

कार्य वाढत आहेसंपूर्ण व्याख्या क्षेत्रावर.

आर्क स्पर्शिका कार्य

फंक्शन डोमेन- चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड आरसर्व वास्तविक संख्या.

एकाधिक कार्य मूल्ये— खंड 0 π, म्हणजे arcotangent - कार्य मर्यादित.

कार्य सम किंवा विषम नाही.
फंक्शनचा आलेख मूळच्या संदर्भात किंवा Oy अक्षाच्या संदर्भात असममित आहे.

फंक्शन कमी होत आहेसंपूर्ण व्याख्या क्षेत्रावर.

या धड्यात आपण फंक्शन y = sin x, त्याचे मूलभूत गुणधर्म आणि आलेख तपशीलवार पाहू. धड्याच्या सुरुवातीला, आपण समन्वय वर्तुळावरील त्रिकोणमितीय कार्य y = sin t ची व्याख्या देऊ आणि वर्तुळ आणि रेषेवरील कार्याचा आलेख विचारात घेऊ. या फंक्शनची नियतकालिकता आलेखावर दाखवू आणि फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म विचारात घेऊ. धड्याच्या शेवटी, आपण फंक्शनचा आलेख आणि त्याचे गुणधर्म वापरून अनेक सोप्या समस्या सोडवू.

विषय: त्रिकोणमितीय कार्ये

धडा: फंक्शन y=sinx, त्याचे मूलभूत गुणधर्म आणि आलेख

फंक्शनचा विचार करताना, प्रत्येक वितर्क मूल्य एका फंक्शन मूल्याशी जोडणे महत्त्वाचे आहे. या पत्रव्यवहाराचा कायदाआणि त्याला फंक्शन म्हणतात.

साठी पत्रव्यवहार कायदा परिभाषित करूया.

कोणतीही वास्तविक संख्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूशी संबंधित असते. एका बिंदूमध्ये एकच ऑर्डिनेट असतो, ज्याला संख्येची साइन म्हणतात (चित्र 1).

प्रत्येक वितर्क मूल्य एका फंक्शन मूल्याशी संबंधित आहे.

साइनच्या व्याख्येनुसार स्पष्ट गुणधर्म येतात.

आकृती ते दर्शवते कारण एकक वर्तुळावरील बिंदूचा क्रम आहे.

फंक्शनचा आलेख विचारात घ्या. आपण युक्तिवादाचा भौमितिक व्याख्या आठवूया. युक्तिवाद हा मध्य कोन आहे, जो रेडियनमध्ये मोजला जातो. अक्षाच्या बाजूने आपण रेडियनमध्ये वास्तविक संख्या किंवा कोन प्लॉट करू, अक्षाच्या बाजूने फंक्शनची संबंधित मूल्ये.

उदाहरणार्थ, युनिट वर्तुळावरील कोन आलेखावरील एका बिंदूशी संबंधित आहे (चित्र 2)

आम्ही क्षेत्रफळातील फंक्शनचा आलेख मिळवला आहे. परंतु साइनचा कालावधी जाणून घेतल्याने, आम्ही संपूर्ण परिभाषा क्षेत्रावर फंक्शनचा आलेख चित्रित करू शकतो (चित्र 3).

फंक्शनचा मुख्य कालावधी म्हणजे एका सेगमेंटवर आलेख मिळवता येतो आणि नंतर संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनमध्ये चालू ठेवता येतो.

फंक्शनच्या गुणधर्मांचा विचार करा:

1) व्याख्येची व्याप्ती:

2) मूल्यांची श्रेणी:

3) विषम कार्य:

4) सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी:

5) आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंचे अॅब्सिसा अक्षासह समन्वय:

6) ऑर्डिनेट अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूचे निर्देशांक:

7) मध्यांतर ज्यामध्ये फंक्शन सकारात्मक मूल्ये घेते:

8) मध्यांतर ज्यामध्ये फंक्शन नकारात्मक मूल्ये घेते:

९) वाढती अंतराल:

10) अंतराल कमी करणे:

11) किमान गुण:

12) किमान कार्ये:

13) कमाल गुण:

14) कमाल कार्ये:

आम्ही फंक्शनचे गुणधर्म आणि त्याचा आलेख पाहिला. समस्या सोडवताना गुणधर्मांचा वारंवार वापर केला जाईल.

संदर्भग्रंथ

1. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 10 (दोन भागांमध्ये). सामान्य शिक्षण संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड. ए.जी. मोर्डकोविच. -एम.: निमोसिन, 2009.

2. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 10 (दोन भागांमध्ये). शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड. ए.जी. मोर्डकोविच. -एम.: निमोसिन, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. इयत्ता 10 साठी बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषण (गणिताचा सखोल अभ्यास असलेल्या शाळा आणि वर्गांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक) - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 1996.

4. गॅलित्स्की M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषणाचा सखोल अभ्यास.-एम.: शिक्षण, 1997.

5. उच्च शैक्षणिक संस्थांमध्ये अर्जदारांसाठी गणितातील समस्यांचे संकलन (M.I. Skanavi द्वारे संपादित). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. बीजगणितीय सिम्युलेटर.-के.: A.S.K., 1997.

7. सहक्यान एस.एम., गोल्डमन ए.एम., डेनिसोव्ह डी.व्ही. बीजगणित आणि विश्लेषणाच्या तत्त्वांवरील समस्या (सामान्य शिक्षण संस्थांच्या ग्रेड 10-11 मधील विद्यार्थ्यांसाठी एक पुस्तिका) - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 2003.

8. कार्प ए.पी. बीजगणितावरील समस्यांचा संग्रह आणि विश्लेषणाची तत्त्वे: पाठ्यपुस्तक. 10-11 ग्रेडसाठी भत्ता. खोली सह अभ्यास गणित.-एम.: शिक्षण, 2006.

गृहपाठ

बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 10 (दोन भागांमध्ये). शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड.

ए.जी. मोर्डकोविच. -एम.: निमोसिन, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

अतिरिक्त वेब संसाधने

3. परीक्षेच्या तयारीसाठी शैक्षणिक पोर्टल ().

या धड्यात आपण फंक्शन y = sin x, त्याचे मूलभूत गुणधर्म आणि आलेख तपशीलवार पाहू. धड्याच्या सुरुवातीला, आपण समन्वय वर्तुळावरील त्रिकोणमितीय कार्य y = sin t ची व्याख्या देऊ आणि वर्तुळ आणि रेषेवरील कार्याचा आलेख विचारात घेऊ. या फंक्शनची नियतकालिकता आलेखावर दाखवू आणि फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म विचारात घेऊ. धड्याच्या शेवटी, आपण फंक्शनचा आलेख आणि त्याचे गुणधर्म वापरून अनेक सोप्या समस्या सोडवू.

विषय: त्रिकोणमितीय कार्ये

धडा: फंक्शन y=sinx, त्याचे मूलभूत गुणधर्म आणि आलेख

फंक्शनचा विचार करताना, प्रत्येक वितर्क मूल्य एका फंक्शन मूल्याशी जोडणे महत्त्वाचे आहे. या पत्रव्यवहाराचा कायदाआणि त्याला फंक्शन म्हणतात.

साठी पत्रव्यवहार कायदा परिभाषित करूया.

कोणतीही वास्तविक संख्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूशी संबंधित असते. एका बिंदूमध्ये एकच ऑर्डिनेट असतो, ज्याला संख्येची साइन म्हणतात (चित्र 1).

प्रत्येक वितर्क मूल्य एका फंक्शन मूल्याशी संबंधित आहे.

साइनच्या व्याख्येनुसार स्पष्ट गुणधर्म येतात.

आकृती ते दर्शवते कारण एकक वर्तुळावरील बिंदूचा क्रम आहे.

फंक्शनचा आलेख विचारात घ्या. आपण युक्तिवादाचा भौमितिक व्याख्या आठवूया. युक्तिवाद हा मध्य कोन आहे, जो रेडियनमध्ये मोजला जातो. अक्षाच्या बाजूने आपण रेडियनमध्ये वास्तविक संख्या किंवा कोन प्लॉट करू, अक्षाच्या बाजूने फंक्शनची संबंधित मूल्ये.

उदाहरणार्थ, युनिट वर्तुळावरील कोन आलेखावरील एका बिंदूशी संबंधित आहे (चित्र 2)

आम्ही क्षेत्रफळातील फंक्शनचा आलेख मिळवला आहे. परंतु साइनचा कालावधी जाणून घेतल्याने, आम्ही संपूर्ण परिभाषा क्षेत्रावर फंक्शनचा आलेख चित्रित करू शकतो (चित्र 3).

फंक्शनचा मुख्य कालावधी म्हणजे एका सेगमेंटवर आलेख मिळवता येतो आणि नंतर संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनमध्ये चालू ठेवता येतो.

फंक्शनच्या गुणधर्मांचा विचार करा:

1) व्याख्येची व्याप्ती:

2) मूल्यांची श्रेणी:

3) विषम कार्य:

4) सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी:

5) आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंचे अॅब्सिसा अक्षासह समन्वय:

6) ऑर्डिनेट अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूचे निर्देशांक:

7) मध्यांतर ज्यामध्ये फंक्शन सकारात्मक मूल्ये घेते:

8) मध्यांतर ज्यामध्ये फंक्शन नकारात्मक मूल्ये घेते:

९) वाढती अंतराल:

10) अंतराल कमी करणे:

11) किमान गुण:

12) किमान कार्ये:

13) कमाल गुण:

14) कमाल कार्ये:

आम्ही फंक्शनचे गुणधर्म आणि त्याचा आलेख पाहिला. समस्या सोडवताना गुणधर्मांचा वारंवार वापर केला जाईल.

संदर्भग्रंथ

1. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 10 (दोन भागांमध्ये). सामान्य शिक्षण संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड. ए.जी. मोर्डकोविच. -एम.: निमोसिन, 2009.

2. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 10 (दोन भागांमध्ये). शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड. ए.जी. मोर्डकोविच. -एम.: निमोसिन, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. इयत्ता 10 साठी बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषण (गणिताचा सखोल अभ्यास असलेल्या शाळा आणि वर्गांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक) - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 1996.

4. गॅलित्स्की M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषणाचा सखोल अभ्यास.-एम.: शिक्षण, 1997.

5. उच्च शैक्षणिक संस्थांमध्ये अर्जदारांसाठी गणितातील समस्यांचे संकलन (M.I. Skanavi द्वारे संपादित). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. बीजगणितीय सिम्युलेटर.-के.: A.S.K., 1997.

7. सहक्यान एस.एम., गोल्डमन ए.एम., डेनिसोव्ह डी.व्ही. बीजगणित आणि विश्लेषणाच्या तत्त्वांवरील समस्या (सामान्य शिक्षण संस्थांच्या ग्रेड 10-11 मधील विद्यार्थ्यांसाठी एक पुस्तिका) - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 2003.

8. कार्प ए.पी. बीजगणितावरील समस्यांचा संग्रह आणि विश्लेषणाची तत्त्वे: पाठ्यपुस्तक. 10-11 ग्रेडसाठी भत्ता. खोली सह अभ्यास गणित.-एम.: शिक्षण, 2006.

गृहपाठ

बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 10 (दोन भागांमध्ये). शैक्षणिक संस्थांसाठी समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड.

ए.जी. मोर्डकोविच. -एम.: निमोसिन, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

अतिरिक्त वेब संसाधने

3. परीक्षेच्या तयारीसाठी शैक्षणिक पोर्टल ().