भिन्न वितर्कांसह साइन्स आणि स्पर्शकांची बेरीज. साइन्स आणि कोसाइनची बेरीज आणि फरक: सूत्रांची व्युत्पत्ती, उदाहरणे

α आणि β या दोन कोनांसाठी साइन्स आणि कोसाइनची बेरीज आणि फरकाची सूत्रे आपल्याला या कोनांच्या बेरजेपासून α + β 2 आणि α - β 2 च्या गुणाकाराकडे जाण्याची परवानगी देतात. आपण ताबडतोब लक्षात घेऊ या की आपण साइन्स आणि कोसाइनच्या बेरीज आणि फरकाची सूत्रे आणि बेरीज आणि फरकाच्या साइन्स आणि कोसाइनच्या सूत्रांसह गोंधळात टाकू नये. खाली आम्ही या सूत्रांची यादी करतो, त्यांची व्युत्पत्ती देतो आणि विशिष्ट समस्यांसाठी अर्जाची उदाहरणे दाखवतो.

Yandex.RTB R-A-339285-1

साइन्स आणि कोसाइनच्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्रे

साइन्स आणि कोसाइनसाठी बेरीज आणि फरक सूत्रे कशी दिसतात ते लिहू

साइन्ससाठी बेरीज आणि फरक सूत्रे

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

कोसाइनसाठी बेरीज आणि फरक सूत्रे

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

ही सूत्रे α आणि β कोणत्याही कोनासाठी वैध आहेत. कोन α + β 2 आणि α - β 2 यांना अनुक्रमे अल्फा आणि बीटा कोनांची अर्धी बेरीज आणि अर्धा फरक म्हणतात. प्रत्येक फॉर्म्युला साठी फॉर्म्युलेशन देऊ.

साइन्स आणि कोसाइनच्या बेरीज आणि फरकांसाठी सूत्रांची व्याख्या

दोन कोनांच्या साइन्सची बेरीजया कोनांच्या अर्ध्या बेरीजच्या साइनच्या आणि अर्ध्या फरकाच्या कोसाइनच्या दुप्पट गुणाकाराच्या समान आहे.

दोन कोनातील साइन्समधील फरकया कोनांच्या अर्ध्या-अंतराच्या साइनच्या गुणाकाराच्या आणि अर्ध्या-रजेच्या कोसाइनच्या दुप्पट समान आहे.

दोन कोनांच्या कोसाइनची बेरीजअर्ध्या बेरीजच्या कोसाइनच्या दुप्पट गुणाकार आणि या कोनांच्या अर्ध्या फरकाच्या कोसाइनच्या दुप्पट समान आहे.

दोन कोनांच्या कोसाइनमधील फरकऋण चिन्हासह घेतलेल्या, अर्ध्या बेरजेच्या साइन आणि या कोनांच्या अर्ध्या-अंतराच्या कोसाइनच्या दुप्पट गुणाकाराच्या समान आहे.

साइन्स आणि कोसाइनच्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्रे काढणे

दोन कोनांच्या साइन आणि कोसाइनच्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्रे काढण्यासाठी, जोड सूत्रे वापरली जातात. चला खाली त्यांची यादी करूया

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

कोनांची स्वतःची अर्धी बेरीज आणि अर्धी फरकांची बेरीज म्हणून कल्पना करूया.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

आम्ही थेट sin आणि cos च्या बेरीज आणि फरक सूत्रांच्या व्युत्पन्नाकडे जाऊ.

साइन्सच्या बेरजेसाठी सूत्राची व्युत्पत्ती

बेरीज sin α + sin β मध्ये, आम्ही वर दिलेल्या या कोनांसाठी α आणि β ला बदलतो. आम्हाला मिळते

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

आता आपण पहिल्या अभिव्यक्तीला जोड सूत्र लागू करतो आणि दुसऱ्याला - कोनातील फरकांच्या साइनसाठीचे सूत्र (वरील सूत्र पहा)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 कंस उघडा, समान संज्ञा जोडा आणि आवश्यक सूत्र मिळवा

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

उर्वरित सूत्रे मिळवण्याच्या पायऱ्या सारख्याच आहेत.

साइन्सच्या फरकासाठी सूत्राची व्युत्पत्ती

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 पाप α - β 2 cos α + β 2

कोसाइनच्या बेरजेसाठी सूत्राची व्युत्पत्ती

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

कोसाइनच्या फरकासाठी सूत्राची व्युत्पत्ती

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 पाप α - β 2

व्यावहारिक समस्या सोडवण्याची उदाहरणे

प्रथम, त्यामध्ये विशिष्ट कोन मूल्ये बदलून एक सूत्र तपासूया. α = π 2, β = π 6 समजा. या कोनांच्या साइन्सच्या बेरजेचे मूल्य काढू. प्रथम, आपण त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूलभूत मूल्यांची सारणी वापरू आणि नंतर आपण साइन्सच्या बेरजेसाठी सूत्र लागू करू.

उदाहरण 1. दोन कोनांच्या साइन्सच्या बेरजेसाठी सूत्र तपासत आहे

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 पाप π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

कोनाची मूल्ये सारणीमध्ये सादर केलेल्या मूलभूत मूल्यांपेक्षा भिन्न असतात तेव्हा आता प्रकरणाचा विचार करूया. α = 165°, β = 75° समजा. चला या कोनांच्या साइन्समधील फरक मोजू.

उदाहरण 2. सायन्स फॉर्म्युलाच्या फरकाचा वापर

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° 7 ° + sin = 2 sin ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

साइन्स आणि कोसाइनच्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्रे वापरून, तुम्ही बेरीज किंवा फरकावरून त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या गुणाकाराकडे जाऊ शकता. अनेकदा या सूत्रांना बेरीजमधून उत्पादनाकडे जाण्यासाठी सूत्रे म्हणतात. सायन्स आणि कोसाइनची बेरीज आणि फरक यांची सूत्रे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी आणि त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तींचे रूपांतर करण्यासाठी मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

हे इलेक्ट्रॉनिक संसाधन आधुनिक शाळांमध्ये परस्परसंवादी शिक्षण आयोजित करण्यासाठी एक उत्कृष्ट सामग्री आहे. हे योग्यरित्या लिहिलेले आहे, त्याची स्पष्ट रचना आहे आणि शालेय अभ्यासक्रमाशी सुसंगत आहे. तपशीलवार स्पष्टीकरणाबद्दल धन्यवाद, व्हिडिओ धड्यात सादर केलेला विषय वर्गातील जास्तीत जास्त विद्यार्थ्यांना स्पष्ट होईल. शिक्षकांनी हे लक्षात ठेवले पाहिजे की सर्व विद्यार्थ्यांची समज, समजण्याची गती किंवा पाया सारखा नसतो. अशी सामग्री तुम्हाला अडचणींना तोंड देण्यास आणि तुमच्या समवयस्कांशी संपर्क साधण्यास मदत करेल, तुमची शैक्षणिक कामगिरी सुधारेल. त्यांच्या मदतीने, शांत घरातील वातावरणात, स्वतंत्रपणे किंवा शिक्षकासह, विद्यार्थी एखादा विशिष्ट विषय समजू शकतो, सिद्धांताचा अभ्यास करू शकतो आणि विशिष्ट सूत्राच्या व्यावहारिक उपयोगाची उदाहरणे पाहू शकतो.

हा व्हिडिओ धडा "वितर्कांच्या फरकाचा साइन आणि कोसाइन" या विषयाला वाहिलेला आहे. असे गृहीत धरले जाते की विद्यार्थ्यांनी त्रिकोणमितीच्या मूलभूत गोष्टी आधीच शिकल्या आहेत, मूलभूत कार्ये आणि त्यांचे गुणधर्म, भूत सूत्रे आणि त्रिकोणमितीय मूल्यांच्या सारण्यांशी परिचित आहेत.

तसेच, या विषयाचा अभ्यास करण्याआधी, तुम्हाला वितर्कांच्या बेरजेची साइन आणि कोसाइन समजून घेणे आवश्यक आहे, दोन मूलभूत सूत्रे जाणून घेणे आणि ते वापरण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

व्हिडिओ धड्याच्या सुरुवातीला, उद्घोषक विद्यार्थ्यांना या दोन सूत्रांची आठवण करून देतो. पुढे, पहिले सूत्र प्रदर्शित केले आहे - वितर्कांच्या फरकाची साइन. सूत्र स्वतः कसे व्युत्पन्न केले जाते या व्यतिरिक्त, ते दुसर्‍यापासून कसे साधले जाते हे देखील दर्शविले आहे. अशा प्रकारे, विद्यार्थ्याला नवीन सूत्र समजून घेतल्याशिवाय लक्षात ठेवावे लागणार नाही, ही एक सामान्य चूक आहे. या वर्गातील विद्यार्थ्यांसाठी हे खूप महत्वाचे आहे. तुम्ही नेहमी लक्षात ठेवले पाहिजे की तुम्ही वजा चिन्हासमोर + चिन्ह जोडू शकता आणि अधिक चिन्हावरील वजा शेवटी वजा मध्ये बदलेल. या सोप्या पायरीसह, तुम्ही बेरीजच्या साइनसाठी सूत्र वापरू शकता आणि वितर्कांच्या फरकाच्या साइनसाठी सूत्र मिळवू शकता.

फरकाच्या कोसाइनचे सूत्र वितर्कांच्या बेरजेच्या कोसाइनच्या सूत्रापासून समान प्रकारे घेतले जाते.

स्पीकर प्रत्येक गोष्ट टप्प्याटप्प्याने समजावून सांगतो, आणि परिणामी, वितर्क आणि साइन यांच्या बेरजेच्या आणि फरकाच्या कोसाइनसाठी सामान्य सूत्र तयार केले जाते.

या व्हिडिओ धड्याच्या व्यावहारिक भागातील पहिले उदाहरण Pi/12 चे कोसाइन शोधण्याचे सुचवते. हे मूल्य एका विशिष्ट फरकाच्या रूपात सादर करण्याचा प्रस्ताव आहे, ज्यामध्ये minuend आणि subtrahend ही सारणी मूल्ये असतील. पुढे, वितर्कांच्या फरकासाठी कोसाइन सूत्र लागू केले जाईल. अभिव्यक्ती बदलून, तुम्ही परिणामी मूल्ये बदलू शकता आणि उत्तर मिळवू शकता. उद्घोषक उत्तर वाचतो, जे उदाहरणाच्या शेवटी प्रदर्शित केले जाते.

दुसरे उदाहरण म्हणजे समीकरण. उजव्या आणि डाव्या दोन्ही बाजूंना आपण वितर्कांच्या फरकांची कोसाइन पाहतो. स्पीकर कास्टिंग सूत्रांसारखे दिसते, जे या अभिव्यक्ती बदलण्यासाठी आणि सोपे करण्यासाठी वापरले जातात. ही सूत्रे उजव्या बाजूला लिहिली आहेत जेणेकरून काही बदल कुठून येतात हे विद्यार्थ्यांना समजेल.

दुसरे उदाहरण, तिसरे, एक विशिष्ट अपूर्णांक आहे, जेथे अंश आणि भाजक दोन्हीमध्ये आपल्याकडे त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ती आहेत, म्हणजे, उत्पादनांमधील फरक.

येथे देखील, सोडवताना, घट सूत्रे वापरली जातात. अशाप्रकारे, शाळकरी मुले पाहू शकतात की जर त्यांना त्रिकोणमितीतील एक विषय चुकला तर उर्वरित समजून घेणे कठीण होईल.

आणि शेवटी, चौथे उदाहरण. हे देखील एक समीकरण आहे ज्यामध्ये ते सोडवताना नवीन शिकलेले आणि जुने सूत्र वापरणे आवश्यक आहे.

तुम्ही व्हिडिओ ट्यूटोरियलमध्ये दिलेली उदाहरणे अधिक तपशीलवार पाहू शकता आणि ते स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करू शकता. ते शाळेतील मुलांना गृहपाठ म्हणून नियुक्त केले जाऊ शकतात.

मजकूर डीकोडिंग:

धड्याचा विषय आहे "वितर्कांच्या फरकाची साइन आणि कोसाइन."

मागील कोर्समध्ये, आम्हाला दोन त्रिकोणमितीय सूत्रांची ओळख करून दिली होती: वितर्कांच्या बेरीजचे साइन आणि कोसाइन.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

दोन कोनांच्या बेरीजचे साइन हे पहिल्या कोनाच्या साइन आणि दुसऱ्या कोनाच्या कोसाइनच्या गुणाकार आणि पहिल्या कोनाच्या कोसाइनच्या गुणाकार आणि दुसऱ्या कोनाच्या साइन यांच्यातील बेरजेइतके असते;

दोन कोनांच्या बेरजेचा कोसाइन हा या कोनांच्या कोसाइनच्या गुणाकार आणि या कोनांच्या बेरीजच्या गुणाकारातील फरकाइतका असतो.

ही सूत्रे वापरून, आपण वितर्कांच्या फरकाची Sine आणि cosine ही सूत्रे काढू.

वितर्कांच्या फरकाची साइन sin(x-y)

दोन सूत्रे (बेरजेची साइन आणि फरकाची साइन) असे लिहिले जाऊ शकतात:

पाप (xy) = sin x cos ycos x पाप y.

त्याचप्रमाणे, आम्ही फरकाच्या कोसाइनसाठी सूत्र काढतो:

वितर्कांमधील फरकाची कोसाइन बेरीज म्हणून पुन्हा लिहू आणि बेरीजच्या कोसाइनसाठी आधीच ज्ञात सूत्र लागू करू: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

फक्त x आणि -y वितर्कांसाठी. या युक्तिवादांना सूत्रामध्ये बदलून, आपल्याला cosxcos(- y) - sinxsin(- y) मिळेल.

sin(- y) = - पापी). आणि आम्हाला cosxcosy + sinxsiny ही अंतिम अभिव्यक्ती मिळते.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y) = cosx cos y + sin xsin y.

याचा अर्थ cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

दोन कोनांच्या फरकाचा कोसाइन या कोनांच्या कोसाइनच्या गुणाकार आणि या कोनांच्या साइन्सच्या गुणाकाराच्या बेरजेइतका असतो.

दोन सूत्रे (बेरजेची कोसाइन आणि फरकाची कोसाइन) एकत्र करून, आम्ही लिहितो

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

आपण लक्षात ठेवूया की सरावातील सूत्रे डावीकडून उजवीकडे आणि उलट दोन्ही लागू करता येतात.

चला उदाहरणे पाहू.

उदाहरण 1. cos (pi चा कोसाइन भागिले बारा) मोजा.

उपाय. पाईला बारा ने भागले तर pi चा तीन ने आणि पाईला चार ने भागले असा फरक लिहू: = - .

चला फरक कोसाइन सूत्रामध्ये मूल्ये बदलू: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, अशा प्रकारे cos = cos (-) = cos cos + sin sin

आपल्याला माहित आहे की cos = , cos = sin = , sin = . मूल्यांची सारणी दर्शवा.

आम्ही साइन आणि कोसाइनचे मूल्य संख्यात्मक मूल्यांसह बदलतो आणि ∙ + ∙ मिळवतो जेव्हा अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करतो, तेव्हा आपण अंश आणि भाजकांचा गुणाकार करतो, आपल्याला मिळते

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

उत्तर: cos =.

उदाहरण 2. cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (दोन pi वजा पाच x चा कोसाइन पाई च्या कोसाइन बरोबर दोन वजा पाच x) हे समीकरण सोडवा.

उपाय. समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना आपण cos(2π - cos (दोन pi वजा अल्फाचा कोसाइन अल्फाच्या कोसाइनच्या बरोबरीचा असतो) आणि cos(- = sin (pi चा कोसाइन बाय दोन वजा अल्फा समान असतो) ही घट सूत्रे लागू करतो. साइन ऑफ अल्फा), आपल्याला cos 5x = sin 5x मिळते, आपण ते पहिल्या अंशाच्या एकसंध समीकरणाच्या रूपात देतो आणि आपल्याला cos 5x - sin 5x = 0 प्राप्त होतो. हे पहिल्या अंशाचे एकसंध समीकरण आहे. चला समीकरण पदाच्या दोन्ही बाजूंना cos 5x ने विभाजित करा. आमच्याकडे आहे:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, कारण cos 5x: cos 5x = 1, आणि sin 5x: cos 5x = tan 5x, तर आपल्याला मिळेल:

tgt = a चे समाधान t = arctga + πn आहे हे आपल्याला आधीच माहित असल्याने आणि आपल्याकडे t = 5x, a = 1 असल्याने, आपल्याला मिळते

5x = आर्कटान 1 + πn,

आणि arctg चे मूल्य 1 आहे, नंतर tg 1= टेबल दाखवा

समीकरणामध्ये मूल्य बदला आणि ते सोडवा:

उत्तरः x = +.

उदाहरण 3. अपूर्णांकाचे मूल्य शोधा. (अंशात पंचाहत्तर अंश आणि पासष्ट अंशांच्या कोसाइनच्या गुणाकाराचा फरक आहे आणि पंचाहत्तर अंश आणि पासष्ट अंशांच्या सायन्सच्या गुणाकाराचा फरक आहे आणि भाजकात साइनच्या गुणाकाराचा फरक आहे. पंचेऐंशी अंशांचा आणि कोसाइन पस्तीस अंशांचा आणि कोसाइनचा गुणाकार पंचासी अंशांचा आणि सायनचा पस्तीस अंश) .

उपाय. या अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये, फरक 75° आणि 65° वितर्कांच्या बेरीजच्या कोसाइनमध्ये "संकुचित" केला जाऊ शकतो आणि भाजकामध्ये, फरक वितर्कांमधील फरकाच्या साइनमध्ये "संकुचित" केला जाऊ शकतो. 85° आणि 35°. आम्हाला मिळते

उत्तर:- १.

उदाहरण 4. समीकरण सोडवा: cos(-x) + sin(-x) = 1(pi च्या फरकाचा cosine by four आणि x अधिक pi च्या फरकाची sine by चार आणि x समान आहे).

उपाय. कोसाइन फरक आणि साइन फरक ही सूत्रे लागू करू.

सामान्य फरक कोसाइन सूत्र दाखवा

नंतर cos (-x) = cos cos x + sinsinх

साइन फरकासाठी सामान्य सूत्र दाखवा

आणि sin (-х)= sin cosх - cos sinх

या अभिव्यक्तींना cos(-x) + sin(-x) = 1 मध्ये बदला आणि मिळवा:

cos cos x + sinin x + sin cos x - cos sin x = 1,

cos= आणि sin = sine आणि cosine चा अर्थ टेबल दाखवा

आम्हाला मिळते ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

दुसरी आणि चौथी संज्ञा विरुद्ध आहेत, म्हणून ते एकमेकांना रद्द करतात, सोडून देतात:

∙ cos + ∙ cos = 1,

चला हे समीकरण सोडवू आणि ते मिळवू

2∙ ∙ cos x= 1,

कारण cos = a ला एक उपाय आहे हे आपल्याला आधीच माहित आहे ट = arcosa+ 2πk, आणि आपल्याकडे t=x, a = असल्याने आपल्याला मिळते

x = arccos + 2πn,

आणि मूल्य arccos असल्याने, cos =