वजा चिन्ह एक वजा चिन्ह देते. वजा क्रिया

"माझ्या शत्रूचा शत्रू माझा मित्र आहे."

वजा व गणित ही गणितातील नकारात्मक व सकारात्मक संख्याची चिन्हे आहेत. ते स्वत: शी वेगवेगळ्या प्रकारे संवाद साधतात, म्हणून संख्यांसह कोणतीही क्रिया करताना, उदाहरणार्थ विभागणे, गुणाकार, वजाबाकी, जोडणे इत्यादी आपण खात्यात घेणे आवश्यक आहे चिन्हे नियम... या नियमांशिवाय आपण कधीही सोपी बीजगणित किंवा भौमितीय समस्या सोडवू शकणार नाही. हे नियम जाणून घेतल्याशिवाय आपण केवळ गणितच नाही तर भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, जीवशास्त्र आणि भूगोल देखील शिकू शकणार नाही.

चला चिन्हे करण्याच्या मूलभूत नियमांवर बारकाईने नजर टाकूया.

विभागणी.

जर आपण "वजा" ला "वजा" ने विभाजित केले तर आपल्याला नेहमीच "वजा" मिळेल. जर आपण "वजा" ने "अधिक" ने विभाजित केले तर आपल्याला नेहमीच "वजा" देखील मिळते. जर आपण प्लस बाय प्लस विभाजित केले तर आपल्याला अधिक मिळते. जर आपण "वजा" ला "वजा" विभाजीत केले तर आपल्याला विलक्षण गोष्ट देखील "अधिक" मिळेल.

गुणाकार.

जर आपण वजाबाकी वजा केल्यास आपण नेहमी वजा मिळवितो. जर आपण "वजा" ला "वजा" ने गुणाकार केले तर आपल्याला नेहमी "वजा" देखील मिळते. जर आपण "अधिक" "गुणाकार" ने गुणाकार केले तर आपल्याला एक सकारात्मक संख्या मिळेल म्हणजेच "अधिक". दोन नकारात्मक संख्या समान आहे. जर आपण वजा वजा वजा केल्यास गुणाकार होईल.

वजाबाकी आणि जोड

ते आधीपासूनच इतर तत्त्वांवर आधारित आहेत. Positiveणात्मक संख्या आपल्या सकारात्मकपेक्षा परिपूर्ण मूल्यात जास्त असेल तर त्याचा परिणाम नक्कीच नकारात्मक असेल. नक्कीच, आपण विचार करीत आहात की मॉड्यूल म्हणजे काय आणि ते येथे का आहे. सर्व काही अगदी सोपे आहे. मॉड्यूलस हे एका संख्येचे मूल्य आहे, परंतु स्वाक्षरीकृत नाही. उदाहरणार्थ -7 आणि Mod. मॉड्युलो -7 फक्त be असेल, आणि will राहतील result. परिणामी, आपण पाहतो की greater अधिक आहे, म्हणजेच आपली नकारात्मक संख्या जास्त असल्याचे दिसून आले. तर ते बाहेर येईल -7 + 3 \u003d -4. हे आणखी सुलभ केले जाऊ शकते. फक्त प्रथम स्थानावर सकारात्मक संख्या ठेवा आणि ती 3-7 \u003d -4 बाहेर येईल, कदाचित एखाद्यास हे अधिक समजू शकेल. वजाबाकी समान तत्त्वावर पूर्णपणे कार्य करते.

दोन नकारात्मक एक होकारार्थी करतात- हा नियम आहे जो आम्ही शाळेत शिकला आहे आणि आमचे आयुष्य लागू करतो. आपल्यातील कोणाला आश्चर्य वाटले की का? अर्थात, अनावश्यक प्रश्नांशिवाय हे विधान लक्षात ठेवणे आणि समस्येच्या सारांशात खोलवर लक्ष न ठेवणे सोपे आहे. आता, आणि त्याशिवाय, पुरेशी माहिती आहे ज्यास "पचविणे" आवश्यक आहे. परंतु ज्यांना अद्याप या प्रश्नाची आवड आहे त्यांच्यासाठी आम्ही या गणिताच्या घटनेचे स्पष्टीकरण देण्याचा प्रयत्न करू.

प्राचीन काळापासून, लोक सकारात्मक नैसर्गिक संख्या वापरत आहेत: 1, 2, 3, 4, 5, ... संख्या पशुधन, पिके, शत्रू इ. मोजण्यासाठी वापरली जात असे. दोन सकारात्मक संख्या जोडताना आणि गुणाकार करताना, एक सकारात्मक संख्या नेहमीच प्राप्त केली जाते, जेव्हा इतरांद्वारे काही मूल्ये विभाजित केली जातात तेव्हा नैसर्गिक संख्या नेहमीच प्राप्त केली जात नव्हती - अशा प्रकारे अपूर्णांक आढळले. वजाबाकीचे काय? लहानपणापासूनच आम्हाला माहित आहे की मोठ्यामध्ये कमी जोडणे आणि मोठ्यापासून लहान वजा करणे चांगले आहे, तर पुन्हा आम्ही नकारात्मक संख्या वापरत नाही. असे दिसून आले आहे की जर माझ्याकडे 10 सफरचंद असतील तर मी कोणाला फक्त 10 किंवा 10 पेक्षा कमी देऊ शकतो. मी 13 सफरचंद देऊ शकत नाही कारण माझ्याकडे ते नाही. बर्\u200dयाच काळापासून नकारात्मक संख्यांची आवश्यकता नाही.

फक्त 7 व्या शतकापासून ए.डी. नकारात्मक संख्या काही मोजणी प्रणालींमध्ये सहाय्यक मूल्य म्हणून वापरली गेली ज्यामुळे आपल्याला उत्तरात सकारात्मक संख्या मिळू शकेल.

चला एक उदाहरण विचारात घेऊ या, 6x - 30 \u003d 3x - 9. उत्तर शोधण्यासाठी, अज्ञात असलेल्या अटी डाव्या बाजूला सोडणे आवश्यक आहे आणि उर्वरित - उजवीकडे: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d This. हे समीकरण सोडवताना, आम्हाला अगदी नकारात्मक संख्या आल्या नाहीत. आम्ही अज्ञात असलेल्या शब्द उजव्या बाजूला आणि अज्ञात नसलेल्या - डावीकडे हलवू शकतो: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Aणात्मक संख्येला negativeणानुसार विभाजीत करताना, आपल्याला सकारात्मक उत्तर मिळते: x \u003d 7.

आपण काय पाहू?

नकारात्मक संख्या वापरल्या गेलेल्या कृतींमुळे आम्हाला फक्त सकारात्मक संख्या वापरण्यासारख्याच उत्तराकडे नेले पाहिजे. आम्ही यापुढे व्यावहारिक निरुपयोगी आणि क्रियांच्या अर्थपूर्णतेबद्दल विचार करू शकत नाही - केवळ सकारात्मक संख्या असलेल्या फॉर्मचे समीकरण कमी केल्याशिवाय ते समस्या अधिक जलद सोडविण्यात आम्हाला मदत करतात. आमच्या उदाहरणात, आम्ही जटिल गणना वापरत नाही, परंतु मोठ्या संख्येने नकारात्मक संख्येसह गणना केल्यास आपले कार्य सुलभ होते.

कालांतराने, दीर्घकालीन प्रयोग आणि गणनेनंतर, त्यांच्यावरील सर्व संख्या आणि कृतींचे पालन करणारे नियम ओळखणे शक्य झाले (गणितामध्ये, त्यांना अ\u200dॅक्सिओम्स म्हटले जाते). येथून आले एक axiom असे सांगते की जेव्हा दोन नकारात्मक संख्या गुणाकार होतात तेव्हा आपण सकारात्मक होतो.

www.site, सामग्रीची पूर्ण किंवा आंशिक कॉपी करून, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.

गणिताच्या शिक्षकाचे ऐकत असताना, बहुतेक विद्यार्थी ही सामग्री एक रूढी म्हणून घेतात. त्याच वेळी, काही लोक तळाशी पोहोचण्याचा प्रयत्न करतात आणि "वजा" द्वारा "वजा" एक "वजा" चिन्ह का देते हे शोधून काढतात आणि जेव्हा दोन नकारात्मक संख्या वाढविली जातात तेव्हा ते सकारात्मक होते.

गणिताचे कायदे

बहुतेक प्रौढ लोक स्वत: ला किंवा त्यांच्या मुलांना असे का घडवून आणतात हे सांगण्यास असमर्थ असतात. त्यांनी ही सामग्री शाळेत दृढपणे शिकली, परंतु हे नियम कोठून आले आहेत हे शोधण्याचा प्रयत्न केला नाही. पण व्यर्थ. बर्\u200dयाचदा, आधुनिक मुले इतका विश्वास ठेवत नाहीत, त्यांना या गोष्टीच्या तळाशी जाऊन समजणे आवश्यक आहे, म्हणा, "वजा" साठी "अधिक" का "वजा" का देते. जेव्हा कधीकधी प्रौढांना सुगम उत्तर देता येत नाही तेव्हा त्या क्षणाचा आनंद घेण्यासाठी टंबोय विशेषतः अवघड प्रश्न विचारतात. जर एखादा तरुण शिक्षक अडचणीत आला तर ही खरोखरच आपत्ती आहे ...

तसे, हे नोंद घ्यावे की वरील नियम गुणाकार आणि भागाकार दोन्हीसाठी वैध आहे. Negativeणात्मक आणि सकारात्मक संख्येचे उत्पादन केवळ "वजा" देईल. जर आपण "-" चिन्हासह दोन अंकांबद्दल बोलत असाल तर त्याचा परिणाम सकारात्मक संख्या असेल. प्रभाग समान. जर संख्यांपैकी एक नकारात्मक असेल तर भागफल "-" चिन्हासह देखील असेल.

या गणिताच्या कायद्याची शुद्धता स्पष्ट करण्यासाठी, अंगठीचे स्वरूपाचे सूत्र तयार करणे आवश्यक आहे. परंतु प्रथम आपण ते काय आहे ते समजून घेणे आवश्यक आहे. गणितामध्ये, एक रिंग सामान्यत: सेट असे म्हणतात ज्यामध्ये दोन घटकांसह दोन ऑपरेशन्स गुंतलेली असतात. परंतु एखाद्या उदाहरणासह याचा सामना करणे चांगले.

रिंग अ\u200dॅक्सिओम

अनेक गणिती कायदे आहेत.

• त्यापैकी पहिले विस्थापनीय आहे, त्यांच्या मते, सी + व्ही \u003d व्ही + सी.
• दुसर्\u200dयास संयोजन (व्ही + सी) + डी \u003d व्ही (सी + डी) म्हणतात.

ते गुणाकार (व्ही एक्स सी सी) एक्स डी \u003d व्ही एक्स (सी एक्स डी) च्या अधीन आहेत.

ज्या नियमांद्वारे कंस उघडतात (V + C) x D \u003d V x D + C x D, तो नियम कोणी रद्द केला नाही, हे देखील खरे आहे की C x (V + D) \u003d C x V + C x D.

याव्यतिरिक्त, हे स्थापित केले गेले होते की अंगठीमध्ये एक विशेष, व्यतिरिक्त तटस्थ घटक सादर केला जाऊ शकतो, ज्याचा वापर करून खालील सत्य असतील: सी + 0 \u003d सी. याव्यतिरिक्त, प्रत्येक सीसाठी एक वेगळा घटक आहे, जो असू शकतो (-C) म्हणून दर्शविले. या प्रकरणात, सी + (-सी) \u003d 0.

Negativeणात्मक संख्येसाठी अक्षरे काढणे

वरील विधाने स्वीकारल्यानंतर कोणीही या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकतोः "वजा" साठी "अधिक" चे चिन्ह काय आहे? " Negativeणात्मक संख्येच्या गुणाकारांबद्दल स्वभाव जाणून घेणे, खरंच (-C) x V \u003d - (C x V) याची पुष्टी करणे आवश्यक आहे. आणि ही देखील समानता सत्य आहे की: (- (- - सी)) \u003d सी.

हे करण्यासाठी, आपल्याला प्रथम हे सिद्ध करावे लागेल की प्रत्येक घटकामध्ये फक्त एकच भाऊ “भाऊ” आहे. पुरावा खालील उदाहरणे विचार करा. चला कल्पना करूया की सी साठी दोन संख्या विरुद्ध आहेत - व्ही आणि डी. त्यानंतर सी + व्ही \u003d 0 आणि सी + डी \u003d 0, म्हणजे सी + व्ही \u003d 0 \u003d सी + डी. विस्थापन कायदे आणि त्याबद्दल लक्षात ठेवणे संख्या 0 चे गुणधर्म, आम्ही सर्व तिन्ही संख्येच्या बेरीज विचारात घेऊ शकतो: सी, व्ही आणि डी. चला व्ही चे मूल्य शोधण्याचा प्रयत्न करू. व्ही \u003d व्ही + 0 \u003d व्ही (सी + डी) तर्कसंगत आहे \u003d व्ही + सी + डी, कारण वरील प्रमाणे स्वीकारले गेलेले सी + डी चे मूल्य ० ० आहे. म्हणून, व्ही \u003d व्ही + सी + डी.

डी साठी मूल्य त्याच प्रकारे दर्शविले जाते: डी \u003d व्ही + सी + डी \u003d (व्ही + सी) + डी \u003d ० + डी \u003d डी याच्या आधारे, हे स्पष्ट होते की व्ही \u003d डी.

तथापि, "वजा" साठी "अधिक" "वजा" का देते हे समजून घेण्यासाठी खालील गोष्टी समजून घेणे आवश्यक आहे. तर, घटक (-C) साठी, सी आणि (- (- - सी)) उलट आहेत, म्हणजे ते एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत.

तर हे स्पष्ट आहे की 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. याचा अर्थ असा होतो की C x V (-) C x V च्या विरुद्ध आहे, म्हणून (- सी) x व्ही \u003d - (सी एक्स व्ही).

संपूर्ण गणिताच्या कठोरतेसाठी, कोणत्याही घटकासाठी 0 x V \u003d 0 ची पुष्टी करणे देखील आवश्यक आहे. आपण युक्तिवादाचे अनुसरण केल्यास 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. याचा अर्थ असा आहे की उत्पाद 0 x V ची जोड कोणत्याही प्रकारे सेट रक्कम बदलत नाही. तथापि, हे उत्पादन शून्य आहे.

या सर्व मुर्ख गोष्टी जाणून घेतल्यामुळे एखादी व्यक्ती "वजा" वर किती "अधिक" देते एवढेच नव्हे तर नकारात्मक संख्येच्या गुणाकाराने देखील प्राप्त केले जाऊ शकते.

"-" सह दोन संख्यांचे गुणाकार आणि विभागणी

जर आपण गणिताची बारीक बारीक बारीक बारीक नसावी तर नकारात्मक संख्येसह कृतीचे नियम स्पष्ट करण्यासाठी आपण सोप्या पद्धतीने प्रयत्न करू शकता.

समजा की सी - (-व्ही) \u003d डी, यावर आधारित, सी \u003d डी + (-व्ही), म्हणजेच, सी \u003d डी - व्ही. आम्ही व्ही हस्तांतरित करतो आणि आपल्याला सी + व्ही \u003d डी म्हणजेच सी मिळते. + व्ही \u003d सी - (-व्ही). हे उदाहरण स्पष्ट करते की जिथे एका ओळीत सलग दोन "मिनिटे" असतात तेथे उल्लेखित चिन्हे "प्लस" मध्ये बदलली पाहिजेत. आता गुणाकार हाताळू.

(-C) x (-V) \u003d डी, आपण अभिव्यक्तीमध्ये दोन समान उत्पादने जोडू आणि वजा करू शकता, ज्याचे मूल्य बदलणार नाही: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) व्ही) \u003d डी.

कंसात काम करण्याचे नियम लक्षात ठेवून आम्हाला मिळते:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-सी) x ((-व्ही) + व्ही) + सी एक्स व्ही \u003d डी;

3) (-सी) x 0 + सी एक्स व्ही \u003d डी;

हे यातून पुढे येते सी एक्स व्ही \u003d (-सी) एक्स (-व्ही).

त्याचप्रमाणे, आपण हे सिद्ध करू शकता की दोन नकारात्मक संख्येचे विभाजन केल्याने सकारात्मकता मिळेल.

सामान्य गणिताचे नियम

अर्थात, असे स्पष्टीकरण प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी कार्य करणार नाही जे नुकतेच अमूर्त नकारात्मक संख्या शिकू लागले आहेत. त्यांच्यासाठी दृश्यास्पद वस्तूंवर स्पष्टीकरण देणे, शोधण्याच्या काचेच्या माध्यमातून परिचित संज्ञा हाताळणे अधिक चांगले आहे. उदाहरणार्थ, शोध लावला आहे, परंतु अस्तित्त्वात नाही खेळणी तेथे आहेत. ते "-" चिन्हाद्वारे प्रदर्शित केले जाऊ शकतात. दोन आरशाप्रमाणे वस्तूंचे गुणाकार केल्यामुळे त्यांना दुसर्\u200dया जगात स्थानांतरित केले जाते, जे सध्याच्या समतुल्य आहे, म्हणजेच आपल्याकडे सकारात्मक संख्या आहे. परंतु एका अमूर्त नकारात्मक संख्येचे पॉझिटिव्हद्वारे गुणाकार केल्यानेच परिणाम प्रत्येकास परिचित होतो. "वजा" ने "वजा" केल्यास "वजा" मिळेल. हे खरे आहे की सर्व गणिती बारकाईने आकलन करण्यासाठी मुले खूप प्रयत्न करीत नाहीत.

जरी, जरी आपण सत्याचा सामना केला असेल तर, बर्\u200dयाच लोकांसाठी, उच्च शिक्षणासहही, बरेच नियम रहस्यमय राहतात. शिक्षक जे काही शिकवतात ते प्रत्येकजण मान्य करतो, गणिताने भरलेल्या सर्व अडचणींचा अभ्यास करण्यास मागेपुढे पाहत नाही. “वजा” साठी “वजा” देते “अधिक” - प्रत्येकास अपवाद न करता त्याबद्दल माहिती आहे. संपूर्ण आणि अपूर्णांक दोन्हीसाठी हे सत्य आहे.

गणिताच्या शिक्षकाचे ऐकत असताना, बहुतेक विद्यार्थी ही सामग्री एक रूढी म्हणून घेतात. त्याच वेळी, काही लोक तळाशी पोहोचण्याचा प्रयत्न करतात आणि "वजा" द्वारा "वजा" एक "वजा" चिन्ह का देते हे शोधून काढतात आणि जेव्हा दोन नकारात्मक संख्या वाढविली जातात तेव्हा ते सकारात्मक होते.

गणिताचे कायदे

बहुतेक प्रौढ लोक स्वत: ला किंवा त्यांच्या मुलांना असे का घडवून आणतात हे सांगण्यास असमर्थ असतात. त्यांनी ही सामग्री शाळेत दृढपणे शिकली, परंतु हे नियम कोठून आले आहेत हे शोधण्याचा प्रयत्न केला नाही. पण व्यर्थ. बर्\u200dयाचदा, आधुनिक मुले इतका विश्वास ठेवत नाहीत, त्यांना या गोष्टीच्या तळाशी जाऊन समजणे आवश्यक आहे, म्हणा, "वजा" साठी "अधिक" का "वजा" का देते. जेव्हा कधीकधी प्रौढांना सुगम उत्तर देता येत नाही तेव्हा त्या क्षणाचा आनंद घेण्यासाठी टंबोय विशेषतः अवघड प्रश्न विचारतात. जर एखादा तरुण शिक्षक अडचणीत आला तर ही खरोखरच आपत्ती आहे ...

तसे, हे नोंद घ्यावे की वरील नियम गुणाकार आणि भागाकार दोन्हीसाठी वैध आहे. Negativeणात्मक आणि सकारात्मक संख्येचे उत्पादन केवळ "वजा" देईल. जर आपण "-" चिन्हासह दोन अंकांबद्दल बोलत असाल तर त्याचा परिणाम सकारात्मक संख्या असेल. प्रभाग समान. जर संख्यांपैकी एक नकारात्मक असेल तर भागफल "-" चिन्हासह देखील असेल.

या गणिताच्या कायद्याची शुद्धता स्पष्ट करण्यासाठी, अंगठीचे स्वरूपाचे सूत्र तयार करणे आवश्यक आहे. परंतु प्रथम आपण ते काय आहे ते समजून घेणे आवश्यक आहे. गणितामध्ये, एक रिंग सामान्यत: सेट असे म्हणतात ज्यामध्ये दोन घटकांसह दोन ऑपरेशन्स गुंतलेली असतात. परंतु एखाद्या उदाहरणासह याचा सामना करणे चांगले.

रिंग अ\u200dॅक्सिओम

अनेक गणिती कायदे आहेत.

• त्यापैकी पहिले विस्थापनीय आहे, त्यांच्या मते, सी + व्ही \u003d व्ही + सी.
• दुसर्\u200dयास संयोजन (व्ही + सी) + डी \u003d व्ही (सी + डी) म्हणतात.

ते गुणाकार (व्ही एक्स सी सी) एक्स डी \u003d व्ही एक्स (सी एक्स डी) च्या अधीन आहेत.

ज्या नियमांद्वारे कंस उघडतात (V + C) x D \u003d V x D + C x D, तो नियम कोणी रद्द केला नाही, हे देखील खरे आहे की C x (V + D) \u003d C x V + C x D.

याव्यतिरिक्त, हे स्थापित केले गेले होते की अंगठीमध्ये एक विशेष, व्यतिरिक्त तटस्थ घटक सादर केला जाऊ शकतो, ज्याचा वापर करून खालील सत्य असतील: सी + 0 \u003d सी. याव्यतिरिक्त, प्रत्येक सीसाठी एक वेगळा घटक आहे, जो असू शकतो (-C) म्हणून दर्शविले. या प्रकरणात, सी + (-सी) \u003d 0.

Negativeणात्मक संख्येसाठी अक्षरे काढणे

वरील विधाने स्वीकारल्यानंतर कोणीही या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकतोः "वजा" साठी "अधिक" चे चिन्ह काय आहे? " Negativeणात्मक संख्येच्या गुणाकारांबद्दल स्वभाव जाणून घेणे, खरंच (-C) x V \u003d - (C x V) याची पुष्टी करणे आवश्यक आहे. आणि ही देखील समानता सत्य आहे की: (- (- - सी)) \u003d सी.

हे करण्यासाठी, आपल्याला प्रथम हे सिद्ध करावे लागेल की प्रत्येक घटकामध्ये फक्त एकच भाऊ “भाऊ” आहे. पुरावा खालील उदाहरणे विचार करा. चला कल्पना करूया की सी साठी दोन संख्या विरुद्ध आहेत - व्ही आणि डी. त्यानंतर सी + व्ही \u003d 0 आणि सी + डी \u003d 0, म्हणजे सी + व्ही \u003d 0 \u003d सी + डी. विस्थापन कायदे आणि त्याबद्दल लक्षात ठेवणे संख्या 0 चे गुणधर्म, आम्ही सर्व तिन्ही संख्येच्या बेरीज विचारात घेऊ शकतो: सी, व्ही आणि डी. चला व्ही चे मूल्य शोधण्याचा प्रयत्न करू. व्ही \u003d व्ही + 0 \u003d व्ही (सी + डी) तर्कसंगत आहे \u003d व्ही + सी + डी, कारण वरील प्रमाणे स्वीकारले गेलेले सी + डी चे मूल्य ० ० आहे. म्हणून, व्ही \u003d व्ही + सी + डी.

डी साठी मूल्य त्याच प्रकारे दर्शविले जाते: डी \u003d व्ही + सी + डी \u003d (व्ही + सी) + डी \u003d ० + डी \u003d डी याच्या आधारे, हे स्पष्ट होते की व्ही \u003d डी.

तथापि, "वजा" साठी "अधिक" "वजा" का देते हे समजून घेण्यासाठी खालील गोष्टी समजून घेणे आवश्यक आहे. तर, घटक (-C) साठी, सी आणि (- (- - सी)) उलट आहेत, म्हणजे ते एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत.

तर हे स्पष्ट आहे की 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. याचा अर्थ असा होतो की C x V (-) C x V च्या विरुद्ध आहे, म्हणून (- सी) x व्ही \u003d - (सी एक्स व्ही).

संपूर्ण गणिताच्या कठोरतेसाठी, कोणत्याही घटकासाठी 0 x V \u003d 0 ची पुष्टी करणे देखील आवश्यक आहे. आपण युक्तिवादाचे अनुसरण केल्यास 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. याचा अर्थ असा आहे की उत्पाद 0 x V ची जोड कोणत्याही प्रकारे सेट रक्कम बदलत नाही. तथापि, हे उत्पादन शून्य आहे.

या सर्व मुर्ख गोष्टी जाणून घेतल्यामुळे एखादी व्यक्ती "वजा" वर किती "अधिक" देते एवढेच नव्हे तर नकारात्मक संख्येच्या गुणाकाराने देखील प्राप्त केले जाऊ शकते.

"-" सह दोन संख्यांचे गुणाकार आणि विभागणी

जर आपण गणिताची बारीक बारीक बारीक बारीक नसावी तर नकारात्मक संख्येसह कृतीचे नियम स्पष्ट करण्यासाठी आपण सोप्या पद्धतीने प्रयत्न करू शकता.

समजा की सी - (-व्ही) \u003d डी, यावर आधारित, सी \u003d डी + (-व्ही), म्हणजेच, सी \u003d डी - व्ही. आम्ही व्ही हस्तांतरित करतो आणि आपल्याला सी + व्ही \u003d डी म्हणजेच सी मिळते. + व्ही \u003d सी - (-व्ही). हे उदाहरण स्पष्ट करते की जिथे एका ओळीत सलग दोन "मिनिटे" असतात तेथे उल्लेखित चिन्हे "प्लस" मध्ये बदलली पाहिजेत. आता गुणाकार हाताळू.

(-C) x (-V) \u003d डी, आपण अभिव्यक्तीमध्ये दोन समान उत्पादने जोडू आणि वजा करू शकता, ज्याचे मूल्य बदलणार नाही: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) व्ही) \u003d डी.

कंसात काम करण्याचे नियम लक्षात ठेवून आम्हाला मिळते:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-सी) x ((-व्ही) + व्ही) + सी एक्स व्ही \u003d डी;

3) (-सी) x 0 + सी एक्स व्ही \u003d डी;

हे यातून पुढे येते सी एक्स व्ही \u003d (-सी) एक्स (-व्ही).

त्याचप्रमाणे, आपण हे सिद्ध करू शकता की दोन नकारात्मक संख्येचे विभाजन केल्याने सकारात्मकता मिळेल.

सामान्य गणिताचे नियम

अर्थात, असे स्पष्टीकरण प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी कार्य करणार नाही जे नुकतेच अमूर्त नकारात्मक संख्या शिकू लागले आहेत. त्यांच्यासाठी दृश्यास्पद वस्तूंवर स्पष्टीकरण देणे, शोधण्याच्या काचेच्या माध्यमातून परिचित संज्ञा हाताळणे अधिक चांगले आहे. उदाहरणार्थ, शोध लावला आहे, परंतु अस्तित्त्वात नाही खेळणी तेथे आहेत. ते "-" चिन्हाद्वारे प्रदर्शित केले जाऊ शकतात. दोन दिसणार्\u200dया-काचेच्या वस्तूंचे गुणाकार केल्यामुळे त्यांना दुसर्\u200dया जगात स्थानांतरित केले जाते, जे सध्याच्या समतेचे आहे, म्हणजेच, आपल्याकडे सकारात्मक संख्या आहे. परंतु एका अमूर्त नकारात्मक संख्येचे पॉझिटिव्हद्वारे गुणाकार केल्यानेच परिणाम प्रत्येकास परिचित होतो. "वजा" ने "वजा" केल्यास "वजा" मिळेल. हे खरे आहे की सर्व गणिती बारकाईने आकलन करण्यासाठी मुले खूप प्रयत्न करीत नाहीत.

जरी, जरी आपण सत्याचा सामना केला असेल तर, बर्\u200dयाच लोकांसाठी, उच्च शिक्षणासहही, बरेच नियम रहस्यमय राहतात. शिक्षक जे काही शिकवतात ते प्रत्येकजण मान्य करतो, गणिताने भरलेल्या सर्व अडचणींचा अभ्यास करण्यास मागेपुढे पाहत नाही. “वजा” साठी “वजा” देते “अधिक” - प्रत्येकास अपवाद न करता त्याबद्दल माहिती आहे. संपूर्ण आणि अपूर्णांक दोन्हीसाठी हे सत्य आहे.

आम्हाला गुणाकार योग्य प्रकारे समजला आहे?

"- ए आणि बी पाईपवर बसले. एक पडला, बी गायब झाला, पाईपवर काय उरले?"
- तुझे पत्र मी राहिले. "

("युनिव्हर्स मधील टीन" या चित्रपटातून)

शून्याला गुणाकार करताना ते शून्य का आहे?

7 * 0 = 0

दोन नकारात्मक संख्या गुणाकार करताना ते सकारात्मक का आहे?

7 * (-3) = + 21

या दोन प्रश्नांची उत्तरे देण्यासाठी शिक्षक काय घेऊन येत नाहीत.

पण गुणाकाराच्या स्वरुपात तीन अर्थपूर्ण चुका आहेत हे कबूल करण्याचे धैर्य कोणाकडेही नाही!

मूलभूत अंकगणितातील त्रुटी शक्य आहेत काय? तथापि, गणित स्वतःला अचूक विज्ञान म्हणून स्थान देते ...

शालेय गणिताची पाठ्यपुस्तके या प्रश्नांची उत्तरे देत नाहीत, स्पष्टीकरणांची पूर्तता नियमांच्या संचासह ठेवली जातात. कदाचित त्यांना हा विषय मध्यम शाळेत स्पष्ट करणे कठीण वाटेल? चला या समस्या समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया.

7 - गुणाकार. 3 एक घटक आहे. 21- काम.

अधिकृत शब्दानुसारः

• एका संख्येस दुसर्\u200dया संख्येने गुणाकार करणे म्हणजे गुणाकारांनी ठरवलेल्या संख्येइतके गुणाकार जोडणे.

स्वीकारलेल्या फॉर्म्युलेशननुसार घटक 3 आपल्याला सांगते की समानतेच्या उजवीकडे तीन सेव्हन्स असावेत.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

परंतु गुणाकाराचे हे सूत्र वरील प्रश्नांचे स्पष्टीकरण देऊ शकत नाही.

गुणाकाराचे शब्द दुरुस्त करा

सहसा गणितामध्ये त्यांचा अर्थ खूप असतो, परंतु ते त्याबद्दल बोलत नाहीत किंवा ते लिहित नाहीत.

हे समानतेच्या उजव्या बाजूला पहिल्या सातसमोर असलेल्या प्लस चिन्हाचा संदर्भ देते. हे प्लस लिहू.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

पण ज्यामध्ये पहिले सात जोडले गेले आहेत. अर्थात अर्थात शून्य. चला खाली लिहू आणि शून्य.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

जर आपण तीन वजा सात ने गुणाकार केला तर?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

आम्ही गुणक -7 ची \u200b\u200bबेरीज लिहित आहोत, खरं तर आपण शून्यातून अनेक वजाबाकी करत आहोत. कंस विस्तृत करू.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

आता आपण गुणाकाराचे अधिक सूक्ष्म सूत्र देऊ शकतो.

• गुणाकार म्हणजे गुणक (-7) च्या शून्य (किंवा शून्यापासून वजाबाकी) पर्यंत अनेक वेळा गुणक दर्शविते. फॅक्टर ()) आणि त्याचे चिन्ह (+ किंवा -) शून्यात जोडण्यांची संख्या किंवा शून्यातून वजाबाकी दर्शविते.

गुणाकाराचे हे परिष्कृत आणि काही प्रमाणात सुधारित फॉर्म्युलेशन गुणक नकारात्मक असेल तेव्हा गुणाकारात "चिन्हेचे नियम" सहजपणे स्पष्ट करते.

7 * (-3) - शून्य \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21 नंतर तीन वजा चिन्हे असणे आवश्यक आहे

7 * (-3) - शून्य \u003d नंतर पुन्हा तीन वजा चिन्हे असावी

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

शून्याने गुणाकार

7 * 0 \u003d 0 + ... शून्य व्यतिरिक्त ऑपरेशन्स नाहीत.

जर गुणाकार शून्यावर जोडत असेल आणि गुणक शून्यात भरण्यासाठी ऑपरेशन्सची संख्या दर्शवित असेल तर गुणक शून्य दर्शवितो की शून्यात काहीही जोडले जात नाही. म्हणून, शून्य राहिले.

तर, गुणाकाराच्या विद्यमान सूत्रामध्ये, आम्हाला तीन अर्थपूर्ण त्रुटी आढळल्या ज्या दोन "चिन्हे नियम" (जेव्हा घटक नकारात्मक असतात) आणि शून्याद्वारे संख्येचे गुणाकार रोखतात.

1. आपल्याला गुणक जोडण्याची आवश्यकता नाही, परंतु ते शून्यावर जोडा.
2. गुणाकार केवळ शून्यावर जोडत नाही तर शून्यातून वजा करीत आहे.
3. घटक आणि त्याचे चिन्ह अटींची संख्या दर्शवित नाहीत, परंतु पदांमधील (किंवा वजाबाकी) गुणाकाराच्या विस्तारामध्ये प्लस किंवा वजा चिन्हांची संख्या.

फॉर्म्युलेशनचे काहीसे स्पष्टीकरण दिल्यानंतर, आम्ही गुणांच्या विस्थापन कायद्याच्या मदतीशिवाय, वितरण कायद्याशिवाय, संख्यांसह रेषांसारखे रेखांकन न करता, समीकरणे न घेता, शून्याद्वारे संख्येचे गुणाकार आणि गुणाकार करण्याचे चिन्हांचे नियम स्पष्ट करण्यास सक्षम होतो, विरूद्ध पुरावा न इ. इ.

गुणाकाराच्या परिष्कृत सूत्रासाठीचे नियम मिळविणे खूप सोपे आहे.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

गुणक आणि त्याचे चिन्ह (+3 किंवा -3) समानतेच्या उजव्या बाजूला "+" किंवा "-" चिन्हे दर्शवितात.

गुणाकाराचे सुधारित सूत्रीकरण संख्येस शक्ती वाढविण्याच्या कार्याशी संबंधित आहे.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (1 कोणत्याही गोष्टीद्वारे गुणाकार किंवा विभाज्य नाही, म्हणून ते 1 राहिले)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

गणितातील शास्त्रज्ञ सहमत आहेत की एका संख्येस सकारात्मक शक्तीसाठी वाढवणे हे एकापेक्षा जास्त वेळा वाढवित आहे. आणि नकारात्मक शक्तीवर संख्या वाढवणे हे एकाचे अनेक विभाग आहेत.

गुणाकार ऑपरेशन एक्सपोन्शनेशन ऑपरेशनसारखेच असावे.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

२ * ० \u003d ० (शून्यात काहीही जोडले जात नाही आणि शून्यातून काहीही वजा केले जात नाही)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

गुणाकाराचे सुधारित फॉर्म्युलेशन गणितामध्ये काहीही बदलत नाही, परंतु गुणाकार ऑपरेशनचा मूळ अर्थ परत करते, "चिन्हेचे नियम" स्पष्ट करते, शून्याद्वारे संख्येचे गुणाकार, एक्सपोनेशनसह गुणाकार समन्वयित करते.

आमचे गुणाकार विभागणी ऑपरेशनशी सुसंगत आहे का ते तपासू.

15: 5 \u003d 3 (व्यस्त गुणाकार 5 * 3 \u003d 15)

भागफल (3) गुणाकारात शून्य (+3) च्या अतिरिक्त ऑपरेशन्सच्या संख्येशी संबंधित आहे.

15 बाय 5 विभाजित करणे म्हणजे 15 पैकी 5 वेळा तुम्हाला किती वेळा वजा करणे आवश्यक आहे ते शोधणे. शून्य निकाल येईपर्यंत हे सलग वजाबाकीद्वारे केले जाते.

प्रभागाचा निकाल शोधण्यासाठी आपल्याला उणे चिन्हांची संख्या मोजणे आवश्यक आहे. त्यापैकी तीन आहेत.

15: 5 \u003d 3 शून्य मिळविण्यासाठी 15 वरून पाच वजाबाकीचे ऑपरेशन्स.

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (विभाग 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (गुणाकार 5 * 3)

उर्वरित भाग.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 आणि 2 उर्वरित

उर्वरित भागामध्ये भाग असल्यास, परिशिष्टासह गुणाकार का नाही?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

कॅल्क्युलेटरवर शब्दरचनात फरक पहा

विद्यमान गुणाकार तयार करणे (तीन अटी)

10 + 10 + 10 = 30

गुणाकार शब्द दुरुस्त केले (शून्य जोडण्याचे तीन कार्य)

0 + 10 = = = 30

(तीन वेळा "बरोबरी" दाबा.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 चे गुणक दर्शविते की गुणक 10 शून्यावर तीन वेळा जोडणे आवश्यक आहे.

(-10) * (-3) तीन वेळा (-10) वजा करून गुणाकार प्रयत्न करा!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

उणे चिन्हाचा अर्थ तिन्हीसाठी काय आहे? कदाचित म्हणून?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ऑप्स ... मी (-10) अटींच्या बेरीज (किंवा फरक) मध्ये उत्पादनाचे विघटन करू शकत नाही.

सुधारित शब्दांसह, हे योग्यरित्या केले गेले आहे.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

गुणक (-3) असे दर्शवितो की गुणक (-10) शून्य वरून तीन वेळा वजा करणे आवश्यक आहे.

जोड आणि वजाबाकीसाठी नियमांवर सही करा

वरील गुणाकाराच्या सूत्राचा अर्थ बदलून गुणाकारातील चिन्हे नियम मिळविण्याचा सोपा मार्ग दर्शविला गेला.

परंतु व्युत्पत्तीसाठी, आम्ही जोड आणि वजाबाकीसाठी चिन्हांचे नियम वापरले. ते बहुतेक गुणाकार सारखेच आहेत. चला जोड आणि वजाबाकीसाठी चिन्हांच्या नियमांचे व्हिज्युअलायझेशन तयार करू जेणेकरुन प्रथम ग्रेडर समजू शकेल.

"वजा", "नकारात्मक" म्हणजे काय?

निसर्गात नकारात्मक काहीही नाही. कोणतेही नकारात्मक तापमान नाही, नकारात्मक दिशा नाही, नकारात्मक वस्तुमान नाही, नकारात्मक शुल्क नाही ... अगदी स्वभावाचे एक साइन केवळ सकारात्मक असू शकते.

पण गणितज्ञ नकारात्मक संख्या घेऊन आले आहेत. कशासाठी? "वजा" म्हणजे काय?

वजा म्हणजे उलट दिशेने. डाव्या उजव्या. शीर्षस्थानी तळाशी. घड्याळाच्या दिशेने - घड्याळाच्या दिशेने. मागे आणि पुढे थंड गरम. हलके भारी. हळू हळू - वेगवान. जर आपण याबद्दल विचार केला तर इतरही बरीच उदाहरणे आहेत जिथे नकारात्मक मूल्ये सोयीस्कर आहेत.

आपल्यास माहित असलेल्या जगात, अनंतता शून्यापासून सुरू होते आणि अधिक अनंततेपर्यंत जाते.

वास्तविक जगात "वजा अनंत" अस्तित्त्वात नाही. हे उणे गणिताच्या संकल्पनेसारखेच वजा आहे.

तर, "वजा" म्हणजे उलट दिशेने: हालचाल, रोटेशन, प्रक्रिया, गुणाकार, जोड. सकारात्मक आणि नकारात्मक (इतर दिशेने वाढणारी) संख्या जोडताना व वजा करताना वेगवेगळ्या दिशानिर्देशांचे विश्लेषण करूया.

जोड आणि वजाबाकीसाठी चिन्हांचे नियम समजून घेण्याची जटिलता ही सहसा क्रमांक रेषेवरील नियमांचे स्पष्टीकरण देण्याचा प्रयत्न केल्यामुळे होते. नंबर लाइनवर, तीन भिन्न घटक मिसळले जातात, ज्यामधून नियम साधित केले जातात. आणि मिसळण्यामुळे, वेगवेगळ्या संकल्पनांना एका ढीगमध्ये ढेकून दिल्यामुळे, समजून घेण्यास अडचणी निर्माण होतात.

नियम समजण्यासाठी, आम्हाला वेगळे करणे आवश्यक आहे:

• प्रथम पद आणि बेरीज (ते क्षैतिज अक्षांवर असतील);
• दुसरी टर्म (ही उभ्या अक्षावर असेल);
• जोड आणि वजाबाकी ऑपरेशन्सची दिशा.

ही विभागणी आकृतीमध्ये स्पष्टपणे दर्शविली आहे. अशी कल्पना करा की उभ्या अक्ष क्षैतिज अक्षांसह आच्छादित फिरवू शकतात.

जोड ऑपरेशन नेहमी अनुलंब अक्ष घड्याळाच्या दिशेने (अधिक चिन्ह) फिरवून केले जाते. उभ्या अक्षाच्या दक्षिणेकडे (वजा चिन्ह) फिरवून नेहमी वजाबाकी केली जाते.

उदाहरण. खालच्या उजव्या कोपर्यात रेखाचित्र.

हे पाहिले जाऊ शकते की दोन जवळील वजा चिन्हे (वजाबाकी ऑपरेशनचे चिन्ह आणि 3 क्रमांकाचे चिन्ह) चे भिन्न अर्थ आहेत. पहिला वजा वजाबाकीची दिशा दर्शवितो. दुसरा वजा अनुलंब अक्षांवरील संख्येचे चिन्ह आहे.

क्षैतिज अक्ष वर प्रथम पद (-2) शोधा. उभ्या अक्षावर दुसरी पद (-3) शोधा. क्षैतिज अक्ष वर (+1) संख्येसह (-3) संरेखित होईपर्यंत अनुलंब दिशेने घड्याळाच्या दिशेने मानसिकपणे फिरवा. संख्या (+1) जोडण्याचा परिणाम आहे.

वजाबाकी ऑपरेशन

वरच्या उजव्या कोपर्यात रेखाचित्रात अतिरिक्त ऑपरेशन म्हणून समान परिणाम देते.

म्हणून, दोन जवळील वजा चिन्हे एका प्लस चिन्हासह बदलली जाऊ शकतात.

आपल्या सर्वांचा अर्थ विचारात न घेता अंकगणित नियमांचे तयार नियम वापरण्याची आपल्याला सवय आहे. म्हणूनच, बहुतेकदा (भागाकार) चिन्हे करण्याचे नियम गुणाकार (भाग) साठीच्या नियमांपेक्षा वेगळे कसे असतात हे देखील आपल्या लक्षात येत नाही. ते सारखे दिसत आहेत? जवळजवळ ... खालील वर्णनात थोडा फरक दिसून येतो.

आमच्याकडे आता गुणाकाराचे चिन्ह नियम वजा करण्यासाठी आपल्याकडे सर्वकाही आहे. आउटपुट क्रम खालीलप्रमाणे आहे.

1. जोड आणि वजाबाकीच्या चिन्हे नियम कसे प्राप्त केले जातात हे आम्ही स्पष्टपणे दर्शवितो.
2. अस्तित्वातील गुणाकार तयार करण्यासाठी आम्ही अर्थपूर्ण बदल करतो.
3. गुणाकाराचे सुधारित फॉर्म्युलेशन आणि त्यासंदर्भातील चिन्हेच्या नियमांच्या आधारे, आम्ही गुणाकाराच्या चिन्हेचे नियम काढतो.

टीप.

खाली एन लिहिले आहेत जोड आणि वजाबाकीसाठी नियमांवर सही कराव्हिज्युअलायझेशनमधून प्राप्त केले. आणि लाल रंगात, तुलनासाठी, गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील चिन्हे समान नियम. कंसातील ग्रे प्लस हे एक अदृश्य प्लस आहे, जे सकारात्मक संख्येसाठी लिहिलेले नाही.

अटींमध्ये नेहमीच दोन चिन्हे असतात: ऑपरेशनचे चिन्ह आणि संख्येचे चिन्ह (आम्ही प्लस लिहित नाही, परंतु आमचा अर्थ आहे). चिन्ह नियम जोड (परिणाम वजाबाकी) न बदलता दुसर्\u200dया जोडीसाठी चिन्हाच्या जोड्या बदलण्याची शक्यता लिहून देतात. खरं तर, फक्त दोन नियम आहेत.

नियम १ आणि ((व्हिज्युअलायझेशनद्वारे) - डुप्लिकेट नियम and आणि २ .. शाळेच्या स्पष्टीकरणातील नियम १ आणि हे व्हिज्युअल योजनेशी जुळत नाहीत, म्हणून, जोडताना ते नियमांच्या नियमांवर लागू होत नाहीत. हे इतर काही नियम आहेत ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) ठीक आहे

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ठीक आहे

शालेय नियम 1 (लाल) सलग दोन प्लस एका प्लससह पुनर्स्थित करण्यास अनुमती देते. व्यतिरिक्त आणि वजाबाकीच्या चिन्हे बदलण्यासाठी नियम लागू होत नाही.

शाळेचा नियम (. (लाल) वजाबाकी ऑपरेशननंतर सकारात्मक क्रमांकावर प्लस चिन्ह लिहिण्याची परवानगी देत \u200b\u200bनाही. व्यतिरिक्त आणि वजाबाकीच्या चिन्हे बदलण्यासाठी नियम लागू होत नाही.

जोडण्या दरम्यान चिन्हांच्या नियमांचा अर्थ म्हणजे जोडांचे परिणाम न बदलता चिन्हेच्या एक जोडीला दुसर्\u200dया चिन्हाच्या जोडीने बदलणे.

शालेय पद्धतीशास्त्रज्ञांनी एका नियमात दोन नियम एकत्र केले आहेत:

सकारात्मक आणि नकारात्मक संख्या जोडताना व वजाबाकी करताना चिन्हांचे दोन नियम (वर्णांच्या जोड्याऐवजी दुसर्\u200dया अक्षराच्या जोड्या);

दोन नियम ज्याद्वारे आपण सकारात्मक संख्येसाठी अधिक चिन्ह लिहू शकत नाही.

एकामध्ये मिसळलेले दोन भिन्न नियम गुणाकाराच्या चिन्हाच्या नियमांसारखे असतात, जेथे दोन चिन्हे तिसर्\u200dया नंतर असतात. एक सारखे एक.

खूप गोंधळलेले! पुन्हा त्याच गोष्टी, अधिक चांगल्या उकलण्याकरिता. ऑर्डरच्या चिन्हेंपासून वेगळे करण्यासाठी ऑपरेशन्सची चिन्हे लाल रंगात ठळक करू या.

1. जोड आणि वजाबाकी. चिन्हेचे दोन नियम, त्यानुसार पदांमधील चिन्हेचे जोडे अदलाबदल करतात. ऑपरेशन चिन्ह आणि क्रमांक चिन्ह.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

२. दोन नियम ज्यानुसार सकारात्मक संख्येसाठी प्लस चिन्ह लिहिण्याची परवानगी नाही. हे प्रवेश फॉर्मचे नियम आहेत. जोड लागू होत नाही. सकारात्मक संख्येसाठी, केवळ ऑपरेशनचे चिन्ह नोंदविले जाते.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. गुणाकार्यासाठी चिन्हेचे चार नियम. जेव्हा उत्पादनाच्या तिसर्\u200dया चिन्हात गुणकांच्या दोन चिन्हे आढळतात. गुणाकाराच्या चिन्हेच्या नियमांमध्ये केवळ संख्यांची चिन्हे.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

आता आम्ही चिन्हांकन नियम वेगळे केले आहेत, हे स्पष्ट केले पाहिजे की जोड आणि वजाबाकीसाठीचे चिन्ह नियम गुणाकाराच्या चिन्हे नियमांसारखे अजिबात नाहीत.

व्ही.कोझेरेन्को

खरंच, का? सर्वात सोपा उत्तर आहे: "कारण नकारात्मक संख्या हाताळण्यासाठी हे नियम आहेत." आम्ही शाळेत शिकवणारे नियम आणि आयुष्यभर लागू होतात. तथापि नियम नेमके असे का आहेत हे पाठ्यपुस्तकांमध्ये स्पष्ट केले नाही. आम्हाला आठवत आहे की यापुढे आम्ही स्वतःला प्रश्न विचारत नाही.

चला स्वतःला विचारू ...

फार पूर्वी, फक्त नैसर्गिक संख्या लोकांना ज्ञात होती: 1, 2, 3, ... ती भांडी, शिकार, शत्रू इ. मोजण्यासाठी वापरल्या जात असत परंतु स्वत: हून संख्या बर्\u200dयापैकी आहे - आपल्याला कसे हाताळायचे हे आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे त्यांना. जोड स्पष्ट आणि समजण्याजोगी आहे, त्याशिवाय, दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज देखील एक नैसर्गिक संख्या आहे (एक गणितज्ञ असे म्हणतील की जोडलेल्या ऑपरेशनच्या संदर्भात नैसर्गिक संख्यांचा संच बंद आहे). जर आपण नैसर्गिक संख्येबद्दल बोलत असाल तर गुणाकार मूलतः समान जोडला जातो. जीवनात, आम्ही बर्\u200dयाचदा या दोन ऑपरेशन्सशी संबंधित क्रिया करतो (उदाहरणार्थ खरेदी करताना, आम्ही जोडतो आणि गुणाकार करतो) आणि हे समजणे विचित्र आहे की आपल्या पूर्वजांनी त्यांच्याशी कमी वेळा सामना केला - जोड आणि गुणाकार मानवजातीकडून बराच काळ यशस्वी झाला पूर्वी. बर्\u200dयाचदा इतरांद्वारे काही प्रमाणात विभाजन करणे आवश्यक असते, परंतु येथे परिणाम नेहमीच एक नैसर्गिक संख्या म्हणून व्यक्त केला जात नाही - अशाप्रकारे अपूर्णांक देखील दिसू लागले.

वजाबाकी अर्थातच अपरिहार्य देखील आहे. परंतु प्रत्यक्ष व्यवहारात, आम्ही मोठ्या संख्येने लहान वजा करण्याचा कल करतो आणि नकारात्मक संख्या वापरण्याची आवश्यकता नाही. (जर माझ्याकडे 5 कॅंडी आहेत आणि माझ्या बहिणीला 3 दिले तर माझ्याकडे 5 - 3 \u003d 2 कँडी असतील, परंतु मी माझ्या सर्व इच्छेने तिला 7 कॅंडी देऊ शकत नाही.) हे स्पष्ट करू शकते की लोकांनी नकारात्मक संख्या का वापरली नाही? बराच वेळ


भारतीय कागदपत्रांमध्ये ए.डी. 7 व्या शतकापासून नकारात्मक संख्या दिसून येते; चिनी लोकांनी त्यांचा वापर थोड्या वेळापूर्वी सुरू केला होता. ते कर्जांच्या लेखासाठी किंवा समीकरणाच्या समाधानास सुलभ करण्यासाठी दरम्यानच्या गणनांमध्ये वापरले गेले होते - हे फक्त एक सकारात्मक उत्तर मिळविण्याचे साधन होते. नकारात्मक संख्या, सकारात्मक व्यक्तींपेक्षा, कोणत्याही घटकाची उपस्थिती दर्शवित नाहीत, यावर जोरदार अविश्वास वाढला हे तथ्य. या शब्दाच्या शाब्दिक अर्थाने लोकांनी नकारात्मक संख्या टाळली: जर एखाद्या समस्येस नकारात्मक उत्तर मिळाले तर त्यांचे उत्तर आहे की काहीच नाही. हा अविश्वास बराच काळ टिकून राहिला आणि डेस्कार्ट्स - अगदी आधुनिक गणितातील "संस्थापक "ांपैकी एक - त्यांना" खोटे "म्हटले गेले (17 व्या शतकात!).

उदाहरणार्थ, 7x - 17 \u003d 2x - 2. समीकरण विचारात घ्या. हे खालीलप्रमाणे सोडवले जाऊ शकते: अज्ञात असलेल्या अटी डाव्या बाजूला हलवा आणि उर्वरित उजवीकडे, आपण 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x मिळवा \u003d १,, x \u003d this. या सोल्यूशनसह, आम्हाला नकारात्मक संख्या देखील आढळली नाहीत.

परंतु चुकून हे वेगळ्या पद्धतीने करणे शक्य होते: अज्ञात असलेल्या अटी उजव्या बाजूला हस्तांतरित करा आणि 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x मिळवा. अज्ञात शोधण्यासाठी, आपल्याला एक नकारात्मक संख्या दुसर्\u200dयाने विभाजित करणे आवश्यक आहे: x \u003d (-15) / (- 5). परंतु योग्य उत्तर ज्ञात आहे आणि (-15) / (- - 5) \u003d 3 असा निष्कर्ष काढणे बाकी आहे.

या साध्या उदाहरणावरून काय दिसून येते? प्रथम, हे नकारात्मक संख्या असलेल्या क्रियांचे नियम परिभाषित करणारे तर्कशास्त्र स्पष्ट होते: या क्रियांचे परिणाम नकारात्मक संख्यांशिवाय भिन्न प्रकारे प्राप्त झालेल्या उत्तराशी जुळले पाहिजेत. दुसरे म्हणजे, नकारात्मक संख्या वापरण्याची परवानगी देऊन, आम्ही कंटाळवाण्यापासून मुक्त होतो (जर समीकरण अधिक अटींसह मोठ्या संख्येने असेल तर) एक सोल्यूशन मार्ग शोधा ज्यामध्ये सर्व क्रिया केवळ नैसर्गिक संख्येवरच केल्या जातात. शिवाय, आम्ही यापुढे प्रत्येक वेळी रूपांतरित मूल्यांच्या अर्थपूर्णतेबद्दल विचार करू शकत नाही - आणि हे आधीपासूनच एका अमूर्त विज्ञानामध्ये गणिताचे रूपांतर होण्याच्या दिशेने एक पाऊल आहे.

नकारात्मक संख्यांवर कृती करण्याचे नियम त्वरित तयार केले गेले नाहीत, परंतु लागू केलेल्या समस्यांचे निराकरण करताना उद्भवलेल्या असंख्य उदाहरणांचे सामान्यीकरण झाले. सर्वसाधारणपणे, गणिताचा विकास सशर्त टप्प्यात विभागला जाऊ शकतो: प्रत्येक पुढील चरण ऑब्जेक्ट्सच्या अभ्यासाच्या अमूर्ततेच्या नवीन स्तरापेक्षा मागील एकापेक्षा भिन्न असतो. तर, १ thव्या शतकात गणितज्ञांना हे समजले की त्यांच्या सर्व बाह्य भिन्नतेसाठी, पूर्णांक आणि बहुवार्षिक गोष्टींमध्ये बरेच साम्य आहे: दोन्ही जोडले जाऊ शकतात, वजा आणि गुणाकार केले जाऊ शकतात. ही ऑपरेशन्स समान कायद्यांचे पालन करतात - दोन्ही संख्येच्या बाबतीत आणि बहुपदीच्या बाबतीत. परंतु एकमेकांद्वारे पूर्णांक विभाजित करणे, जेणेकरून परिणाम पुन्हा पूर्णांक होईल, कदाचित नेहमीच नाही. बहुपदांच्या बाबतीतही तेच आहे.

मग गणितीय वस्तूंचे इतर संच सापडले, ज्यावर अशी ऑपरेशन्स करता येतील: औपचारिक उर्जा मालिका, सतत कार्ये ... शेवटी, हे स्पष्ट झाले की जर आपण स्वतः ऑपरेशनच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केला तर त्याचे परिणाम नंतर लागू केले जाऊ शकतात हे सर्व ऑब्जेक्ट्सचे संच (सर्व आधुनिक गणितांसाठी हा दृष्टीकोन वैशिष्ट्यपूर्ण आहे).

परिणामी, एक नवीन संकल्पना आली: एक अंगठी. हा केवळ घटकांचा आणि त्यांच्यावर केल्या जाणार्\u200dया क्रियांचा एक संचा आहे. मूलभूत फक्त नियम आहेत (त्यांना अ\u200dॅक्सिओम्स म्हणतात), जे कृतींचे पालन करतात, आणि संचाच्या घटकांचे स्वरूप नाहीत (येथे ते एक नवे स्तर अमूर्त आहेत!). अक्षीयांच्या परिचयानंतर उद्भवणारी ही रचना महत्त्वाची आहे यावर जोर देण्याची इच्छा व्यक्त करताना गणितज्ञ म्हणतात: पूर्णांकांची अंगठी, बहुपदांची अंगठी इत्यादीपासून प्रारंभ होण्यापासून, रिंग्जचे इतर गुणधर्म मिळविणे शक्य आहे.

आम्ही अंगठीचे मूळ रूपरेखा तयार करू (जे अर्थातच पूर्णांकांशी वागण्याचे नियमांसारखेच आहे) आणि मग आम्ही हे सिद्ध करू की कोणत्याही रिंगमध्ये वजाबाकी वजा केल्यास गुणाकार गुणाकार होतो.

एक रिंग दोन बायनरी ऑपरेशन्ससह एक संच आहे (म्हणजे प्रत्येक ऑपरेशनमध्ये रिंगचे दोन घटक असतात), ज्यास पारंपारिकरित्या जोड आणि गुणाकार म्हणतात आणि पुढील अक्षरे म्हणतात:

रिंग घटकांची भरती विस्थापनाचे पालन करते (A + B \u003d B + A कोणत्याही घटक A आणि B साठी) आणि संयोजन (A + (B + C) \u003d (A + B) + C) कायदे; अंगठीमध्ये एक विशिष्ट घटक 0 (जोडण्यासाठी तटस्थ घटक) असतो जसे की ए + 0 \u003d ए आणि कोणत्याही घटक एसाठी एक विरुद्ध घटक ((-ए) द्वारे दर्शविला जातो) जसे की ए + (-ए) \u003d 0;
- गुणाकार संयोजन कायद्याचे पालन करतो: ए · (बी · से) \u003d (ए · बी) · से;
जोड आणि गुणाकार खालील कंसांच्या विस्तार नियमांशी संबंधित आहेत: (ए + बी) सी \u003d ए सी + बी सी आणि ए (बी + सी) \u003d ए बी + ए सी.

लक्षात घ्या की रिंग्ज, त्यांच्या बहुतेक सामान्य बांधकामात, न तो गुणाकार करण्याची परवानगी आवश्यक असते, किंवा तिची उलट क्षमता (म्हणजेच विभाजित करणे नेहमीच शक्य नसते), किंवा युनिटचे अस्तित्व - गुणाकार मध्ये एक तटस्थ घटक. जर आपण या अभिजात गोष्टींचा परिचय करून दिला तर आपल्याला इतर बीजगणित रचना मिळतील, परंतु त्यामध्ये रिंग्जसाठी सिद्ध केलेले सर्व प्रमेय खरे असतील.

आता हे सिद्ध करूया की कोणत्याही अनियंत्रित रिंगच्या ए आणि बी घटकांसाठी प्रथम, (-ए) बी \u003d - (ए बी) आणि दुसरे, (- (- ए)) \u003d ए. हे सहजपणे युनिट्सबद्दलचे विधान दर्शवते: ( -1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 आणि (-1) (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- - 1) \u003d 1.

यासाठी आम्हाला काही तथ्य स्थापित करण्याची आवश्यकता आहे. प्रथम आपण हे सिद्ध करूया की प्रत्येक घटकाला एकच विरोध असू शकतो. खरंच, ए घटकांना दोन विरुद्धपद्धती द्या: बी आणि सी, म्हणजे ए + बी \u003d ० \u003d ए + सी, अ + बी + सी आणि योग आणि ट्रान्सपोजिशन कायदे आणि शून्य मालमत्ता वापरुन बेरीज लक्षात घ्या. , एकीकडे, बेरीज B: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C आणि दुसरीकडे, C: A + B + च्या बरोबरीची असेल. सी \u003d (ए + बी) + सी \u003d ० + से \u003d सी. बी बी. सी.

आता लक्षात घ्या की ए आणि (- (- - ए)) दोन्ही समान घटक (-ए) च्या विरुद्ध आहेत, म्हणून ते समान असले पाहिजेत.

प्रथम तथ्य खालीलप्रमाणे प्राप्त केले आहे: 0 \u003d 0 बी \u003d (ए + (-ए)) बी \u003d ए बी + (-ए) बी, म्हणजेच (-ए) बी ए बीच्या विरुद्ध आहे, म्हणून ते समान आहे - (एबी)

गणितातील कठोर होण्यासाठी, कोणत्याही घटकासाठी 0 · बी \u003d 0 का समजावून सांगा बी खरंच, 0 · बी \u003d (0 + 0) बी \u003d 0 · बी + 0 · बी. म्हणजेच 0 · बी जोडल्यास रक्कम बदलत नाही. म्हणून, हे उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे आहे.

आणि अंगठीत अगदी एक शून्य आहे ही वस्तुस्थिती आहे (सर्व काही नंतर, अभिज्ञेने असे म्हटले आहे की असा घटक अस्तित्त्वात आहे, परंतु त्याच्या विशिष्टतेबद्दल काहीही सांगितले जात नाही!) आम्ही वाचकांकडे सोपा व्यायाम म्हणून सोडतो.

इव्हगेनी एपिफॅनोव्ह