2 गुणांमधून सरळ रेष समान करा. दोन दिलेल्या बिंदूंमधून जाणार्\u200dया सरळ रेषेचे समीकरण: उदाहरणे, निराकरणे

दोन बिंदूतून जाणा a्या सरळ रेषेचे समीकरण. लेख" " मी तुम्हाला वचन दिले की व्युत्पन्न शोधण्याच्या सादर केलेल्या समस्यांचे निराकरण करण्याच्या दुस method्या पद्धतीचे विश्लेषण करण्यासाठी, एखाद्या कार्याचा दिलेला ग्राफ आणि या आलेखाला स्पर्श करणारा स्पर्श. आम्ही या पद्धतीचे विश्लेषण करू , चुकवू नकोस! का पुढील मध्ये?

सरळ रेषेच्या समीकरणाचे सूत्र तिथे वापरले जाईल ही वस्तुस्थिती आहे. नक्कीच, आपण फक्त हे सूत्र दर्शवू शकाल आणि आपल्याला ते शिकण्याचा सल्ला देऊ शकता. परंतु हे स्पष्ट करणे अधिक चांगले आहे - ते कोठून येते (ते कसे घेतले जाते). ते आवश्यक आहे! आपण ते विसरल्यास, द्रुतपणे ते पुनर्संचयित करा कठीण होणार नाही. खाली सर्व काही तपशीलवार आहे. तर, समन्वय असलेल्या विमानात आपल्याकडे दोन बिंदू आहेत(x 1; y 1) आणि बी (x 2; y 2), निर्देशित बिंदूंमधून सरळ रेषा काढली जाते:

सरळ रेषेचे सूत्र येथे आहे:

* म्हणजेच जेव्हा बिंदूंचे विशिष्ट निर्देशांक बदलताना आपल्याला y \u003d kx + b या फॉर्मचे समीकरण मिळेल.

** जर दिलेला फॉर्म्युला फक्त "दांडा" असेल तर येथे निर्देशांकांमध्ये गोंधळ होण्याची उच्च शक्यता आहे x... याव्यतिरिक्त, निर्देशांक भिन्न प्रकारे दर्शविले जाऊ शकतात, उदाहरणार्थः

म्हणूनच त्याचा अर्थ समजणे आवश्यक आहे.

आता या सूत्राचा निष्कर्ष. सर्व काही अगदी सोपे आहे!

त्रिकोण एबीई आणि एसीएफ तीव्र कोनात समान आहेत (उजव्या कोनात त्रिकोणाच्या समानतेचे पहिले चिन्ह). यातूनच संबंधित घटकांचे संबंध समान आहेत, म्हणजेः

पॉईंट्सच्या निर्देशांकाच्या फरकाच्या दृष्टीने आम्ही आता हे विभाग केवळ व्यक्त करतोः

जर आपण घटकांचे नाते भिन्न क्रमाने लिहिले तर कोणतीही चूक होणार नाही (मुख्य गोष्ट म्हणजे पत्रव्यवहार ठेवणे):

परिणाम सरळ रेषेचे समान समीकरण असेल. हे सर्व आहे!

म्हणजेच पॉईंट्स स्वतः (आणि त्यांचे निर्देशांक) कसे नियुक्त केले गेले याची पर्वा नाही, हे सूत्र समजून घेतल्यास आपल्याला नेहमी सरळ रेषांचे समीकरण मिळेल.

वेक्टरच्या गुणधर्मांचा वापर करून हे सूत्र काढले जाऊ शकते, परंतु अनुमानाचे तत्व समान असेल कारण आम्ही त्यांच्या निर्देशांकांच्या प्रमाणानुसार चर्चा करू. या प्रकरणात, समान कोन त्रिकोणाचे समान कार्य करते. माझ्या मते, वर वर्णन केलेले आउटपुट स्पष्ट आहे)).

वेक्टर निर्देशांक \u003e\u003e\u003e द्वारे आउटपुट पहा

दोन दिलेल्या बिंदू A (x 1; y 1) आणि B (x 2; y 2) वरून जाणा-या समन्वय प्लेनवर एक सरळ रेषा बांधा. सरळ रेषेवर समन्वयांसह एक अनियंत्रित बिंदू सी चिन्हांकित करू. x; y). आम्ही दोन व्हेक्टर दर्शवितो:

हे ज्ञात आहे की समांतर रेषांवर (किंवा एका सरळ रेषेत) पडून असलेल्या वेक्टरसाठी त्यांचे संबंधित समन्वय प्रमाणित असतात, म्हणजेः

- आम्ही संबंधित निर्देशांकांच्या गुणोत्तरांची समानता लिहितो:

चला एक उदाहरण विचारात घेऊ या:

निर्देशांक (2; 5) आणि (7: 3) सह दोन बिंदूंमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा.

आपल्याला स्वतःस सरळ रेषाही तयार करण्याची गरज नाही. आम्ही सूत्र लागू करतोः

गुणोत्तर काढताना आपण पत्रव्यवहार पकडणे महत्वाचे आहे. आपण लिहिले तर आपण चुकीचे होऊ शकत नाही:

उत्तरः y \u003d -2 / 5x + 29/5 जा y \u003d -0.4x + 5.8

प्राप्त केलेले समीकरण योग्य प्रकारे सापडले आहे याची खात्री करण्यासाठी, तपासणी करण्याचा प्रयत्न करा - त्यातील बिंदूंच्या स्थितीत डेटाचे निर्देशांक ठेवा. तुम्हाला योग्य समानता मिळायला हवी.

एवढेच. मला आशा आहे की ही सामग्री आपल्यासाठी उपयुक्त ठरली.

विनम्र, अलेक्झांडर.

पी.एस .: सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल आपण आम्हाला सांगू शकले तर मी कृतज्ञ आहे.

समीकरण पॅराबोलास चौरस फंक्शन आहे. हे समीकरण तयार करण्यासाठी अनेक पर्याय आहेत. हे सर्व समस्येच्या विधानात कोणती पॅरामीटर्स सादर केली जाते यावर अवलंबून असते.

सूचना

पॅराबोला ही एक वक्र आहे जी कमानीसारखी असते आणि पॉवर फंक्शनचा ग्राफ आहे. पॅराबोलाची वैशिष्ट्ये विचारात न घेता, हे समान आहे. अशा फंक्शनला सम म्हणतात; व्याख्या पासून युक्तिवादाच्या सर्व मूल्यांसाठी जेव्हा युक्तिवादाचे चिन्ह बदलते तेव्हा मूल्य बदलत नाही: f (-x) \u003d f (x) सोप्या कार्यासह प्रारंभ करा: y \u003d x ^ 2. त्याच्या स्वरूपावरुन आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की हे दोन्ही अर्ग्युमेंटसच्या सकारात्मक आणि नकारात्मक मूल्यांसाठी आहे. ज्या बिंदूवर x \u003d 0 आणि त्याच वेळी, y \u003d 0 बिंदू मानला जाईल.

खाली हे कार्य आणि ते तयार करण्यासाठी सर्व मुख्य पर्याय आहेत. पहिले उदाहरण म्हणून, खाली आपण फॉर्मचे फंक्शन विचारात घेत आहोत: f (x) \u003d x ^ 2 + a, जेथे a पूर्णांक आहे, फंक्शनचा आलेख प्लॉट करण्यासाठी फंक्शनचा आलेख बदलणे आवश्यक आहे. f (x) युनिट्सद्वारे Y \u003d x ^ 2 + 3 हे फंक्शनचे एक उदाहरण आहे, जेथे फंक्शन y-axis सह दोन युनिटद्वारे हलवले गेले आहे. जर उलट चिन्हासह एखादे फंक्शन दिले गेले असेल, उदाहरणार्थ y \u003d x ^ 2-3, तर त्याचा आलेख y- अक्षासह खाली सरकला जाईल.

परबोला दिल्या जाणार्\u200dया दुसर्\u200dया प्रकारचे फंक्शन म्हणजे एफ (एक्स) \u003d (एक्स + ए) ^ 2. अशा प्रकरणांमध्ये, आलेख, त्याउलट, एक युनिट्सद्वारे abबस्किस्सा (एक्स-अक्ष) सह हलविला जातो. उदाहरणार्थ, कार्ये विचारात घ्या: y \u003d (x +4) ^ 2 आणि y \u003d (x-4) ^ 2. पहिल्या प्रकरणात, जेथे प्लस चिन्हासह फंक्शन असते तेथे आलेख एक्स-अक्षसह डावीकडे आणि दुसर्\u200dया बाबतीत उजवीकडे हलविला जातो. ही सर्व प्रकरणे आकृतीत दाखविली आहेत.

दोन गुण दिले एम(एक्स1 ,आहे1) आणि एन(एक्स2, y2). या बिंदूतून जाणा the्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधू.

ही ओळ बिंदूमधून जात असल्याने एम, नंतर सूत्रानुसार (1.13) त्याचे समीकरण फॉर्म आहे

आहे – वाय1 = के(एक्स - एक्स1),

कोठे के - अज्ञात उतार.

या गुणकाचे मूल्य त्या स्थितीतून निश्चित केले जाते की इच्छित सरळ रेषा बिंदूमधून जाईल एनआणि म्हणूनच त्याचे समन्वय समीकरण पूर्ण करतात (1.13)

वाय2 – वाय1 = के(एक्स2 – एक्स1),

येथून आपल्याला या सरळ रेषेवरील उतार सापडेल:

,

किंवा धर्मांतर नंतर

(1.14)

फॉर्म्युला (1.14) निर्धारित करते दोन बिंदूतून जाणा a्या सरळ रेषेचे समीकरण एम(एक्स1, वाय1) आणि एन(एक्स2, वाय2).

विशेष बाबतीत जेव्हा गुण एम(ए, 0), एन(0, बी), आणि ¹ 0, बी ¹ 0, समन्वय अक्षावर ठेवा, समीकरण (1.14) सोपे फॉर्म घेते

समीकरण (1.15) म्हणतात विभागांमधील सरळ रेषेच्या समीकरणाद्वारे, येथे आणि आणि बी अक्षांवर सरळ रेषाने खंडित केलेले विभाग दर्शवा (आकृती 1.6).

आकृती 1.6

उदाहरण 1.10. गुणांद्वारे सरळ रेष समान करा एम(1, 2) आणि बी(3, –1).

. (1.14) च्या मते, मागलेल्या ओळीचे समीकरण फॉर्म आहे

2(वाय – 2) = -3(एक्स – 1).

सर्व अटी डाव्या बाजुला हस्तांतरित करीत असताना, आम्हाला शेवटी इच्छित समीकरण प्राप्त होते

3एक्स + 2वाय – 7 = 0.

उदाहरण 1.11. एका बिंदूमधून सरळ रेषा समान करा एम(2, 1) आणि रेषांचे छेदनबिंदू एक्स+ वाय -1 = 0, एक्स - वाय+ 2 = 0.

. आम्हाला दिलेली समीकरणे एकत्रितपणे सोडवून सरळ रेषांच्या छेदनबिंदूचे समन्वय सापडतात

जर आपण ही समीकरणे टर्मनुसार जोडली तर आपल्याला 2 मिळतात एक्स + 1 \u003d 0, कोठून. कोणत्याही समीकरणामध्ये आढळलेले मूल्य बदलून, आपल्याला ऑर्डिनेटचे मूल्य सापडते आहे:

आता आपण बिंदू (2, 1) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण लिहू आणि:

किंवा .

म्हणून, किंवा –5 ( वाय – 1) = एक्स – 2.

शेवटी, आम्हाला फॉर्ममध्ये इच्छित सरळ रेषांचे समीकरण मिळेल एक्स + 5वाय – 7 = 0.

उदाहरण 1.12. बिंदूतून जाणा the्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा एम(2,1) आणि एन(2,3).

सूत्र (१.१14) वापरुन आपल्याला समीकरण प्राप्त होते

दुसरा अर्थ शून्य असल्याने काही अर्थ नाही. दोन्ही पॉईंट्सच्या scबस्किस्सला समान मूल्य आहे हे समस्येच्या विधानातून दिसून येते. म्हणूनच, शोधलेली रेषा अक्षाशी समांतर आहे ओय आणि त्याचे समीकरण आहे: x = 2.

टिप्पणी . सूत्रानुसार (१.१14) सरळ रेषेचे समीकरण लिहिताना, प्रत्येक संज्ञा शून्याच्या बरोबर असल्याचे दिसून आले तर संबंधित समीकरणास शून्य असे बरोबरीने इच्छित समीकरण प्राप्त केले जाऊ शकते.

विमानात सरळ रेषा निश्चित करण्यासाठी इतर मार्गांवर विचार करा.

1. नॉनझेरो वेक्टर दिलेल्या लाइनवर लंब असू द्या एलआणि बिंदू एम0(एक्स0, वाय0) या सरळ रेषेत आहे (आकृती 1.7).

आकृती 1.7

आम्ही दर्शवितो एम(एक्स, वाय) ओळीवर एक अनियंत्रित बिंदू एल... वेक्टर आणि ऑर्थोगोनल. या वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनॅलिटी अटी वापरुन, आम्हाला एकतर प्राप्त होते आणि(एक्स – एक्स0) + बी(वाय – वाय0) = 0.

आपल्याला एका बिंदूतून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण मिळाले एम0 वेक्टरचे लंब. या वेक्टरला म्हणतात सामान्य वेक्टर सरळ करण्यासाठी एल... परिणामी समीकरण पुन्हा लिहीले जाऊ शकते

अरे + वू + कडून \u003d 0, कुठे कडून = –(आणिएक्स0 + द्वारा0), (1.16),

कोठे आणि आणि IN- सामान्य वेक्टरचे समन्वय.

आम्ही पॅरामीट्रिक स्वरूपात सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण प्राप्त करतो.

२. विमानात सरळ रेषा खालीलप्रमाणे दर्शविता येईल: नॉनझेरो वेक्टर दिलेल्या सरळ रेषेशी समांतर होऊ द्या. एल आणि बिंदू एम0(एक्स0, वाय0) या सरळ रेषेत आहे. चला पुन्हा एक अनियंत्रित मुद्दा घेऊ एम(एक्स, y) सरळ रेषेत (आकृती 1.8).

आकृती 1.8

वेक्टर आणि कॉलिनियर

या व्हॅक्टर्ससाठी कोलिनेएरिटी अट लिहू:, कुठे ट - एक अनियंत्रित संख्या ज्याला पॅरामीटर म्हटले जाते. समन्वयात ही समानता लिहा:

ही समीकरणे म्हणतात पॅरामीट्रिक समीकरण सरळ... आम्ही या समीकरणांमधून मापदंड वगळतो ट:

ही समीकरणे अन्यथा फॉर्ममध्ये लिहिता येतील

. (1.18)

परिणामी समीकरण म्हणतात सरळ रेषेचे प्रमाणिक समीकरण... वेक्टर म्हणतात सरळ रेषेचा दिशा वेक्टर .

टिप्पणी . हे पाहणे सोपे आहे की जर लाइन मधील सामान्य वेक्टर असेल तर एल, नंतर त्याचा दिशा वेक्टर एक सदिश असू शकतो, म्हणजेच, म्हणजे.

उदाहरण 1.13. त्या बिंदूतून जाणा the्या सरळ रेषेचे समीकरण लिहा एम0 (1, 1) सरळ रेषा 3 च्या समांतर एक्स + 2आहे– 8 = 0.

निर्णय . व्हेक्टर हा दिलेला व इच्छित सरळ रेषांकरिता सामान्य वेक्टर आहे. आपण बिंदूमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण वापरू एम0 दिलेल्या सामान्य वेक्टर 3 सह ( एक्स –1) + 2(आहे - 1) \u003d 0 किंवा 3 एक्स + 2 वा - 5 \u003d 0. इच्छित सरळ रेषेचे समीकरण प्राप्त झाले.

बिंदू के मधून जाणारी सरळ रेषा (x 0; y 0) आणि सरळ रेषाच्या समांतर y \u003d kx + a सूत्रानुसार आढळलीः

y - y 0 \u003d के (x - x 0) (1)

जिथे के सरळ रेषेचा उतार आहे.

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदू M 1 (x 1; y 1) वरून सरळ रेषा Ax + By + C \u003d 0 या सरळ रेषेच्या समांतर समीकरणाद्वारे दर्शविली जाते

ए (x-x 1) + बी (y-y 1) \u003d 0. (२)

उदाहरण # 2. सरळ रेषेचे समीकरण सरळ रेषा 2x + 5y \u003d 0 च्या समांतर लिहा आणि समांतर अक्षांसह एकत्रित त्रिकोण तयार करा ज्याचे क्षेत्रफळ 5 आहे.
निर्णय ... सरळ रेषा समांतर असल्याने, इच्छित सरळ रेषेचे समीकरण 2x + 5y + C \u003d 0. आहे. उजव्या कोनात त्रिकोणाचे क्षेत्र, जेथे अ आणि बी त्याचे पाय आहेत. निर्देशांक अक्षांसह इच्छित सरळ रेषेचे छेदनबिंदू शोधा:
;
.
तर A (-C / 2.0), बी (0, -C / 5) क्षेत्राच्या सूत्रात पर्यायः ... आम्हाला दोन निराकरणे मिळतातः 2x + 5y + 10 \u003d 0 आणि 2x + 5y - 10 \u003d 0.

उदाहरण क्रमांक 3. बिंदू (-2; 5) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण आणि सरळ रेष 5x-7y-4 \u003d 0 समांतर बनवा.
निर्णय. ही सरळ रेषा y \u003d 5/7 x - 4/7 (येथे a \u003d 5/7) समीकरण द्वारे दर्शविली जाऊ शकते. आवश्यक सरळ रेषेचे समीकरण y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)) आहे, म्हणजे. 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) किंवा 5x-7y + 45 \u003d 0.

उदाहरण क्रमांक 4. सूत्र (२) वापरून उदाहरण सोडवणे ((ए \u003d,, बी \u003d-Sol), आम्हाला ((एक्स + २) -7 (वाई-5) \u003d ० आढळतात.

उदाहरण क्रमांक 5. बिंदू (-2; 5) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण आणि सरळ रेष 7x + 10 \u003d 0 समांतर बनवा.
निर्णय. येथे ए \u003d 7, बी \u003d 0. फॉर्म्युला (2) 7 (x + 2) \u003d 0 देते, म्हणजे. x + 2 \u003d 0. फॉर्म्युला (१) लागू नाही, कारण हे समीकरण y च्या संदर्भात सोडवता येत नाही (ही ओळ समक्रमित अक्षांशी समांतर आहे).

युक्लिडियन भूमितीमध्ये सरळ रेषांचे गुणधर्म.

आपण कोणत्याही बिंदूद्वारे असीम अनेक सरळ रेषा काढू शकता.

कोणत्याही दोन नॉन-कॉइन्डायडिंग पॉईंट्समधून एकच सरळ रेषा काढली जाऊ शकते.

विमानात दोन न जुळणार्\u200dया सरळ रेषा एकतर एका बिंदूत छेदतात किंवा आहेत

समांतर (मागील एक पासून अनुसरण).

त्रिमितीय जागेमध्ये दोन सरळ रेषांच्या सापेक्ष स्थितीसाठी तीन पर्याय आहेत:

• सरळ रेषा छेदतात;

• सरळ रेषा समांतर असतात;

• सरळ रेषा छेदतात.

सरळ ओळ - पहिल्या ऑर्डरची बीजगणित वक्र: कार्तेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये, सरळ रेषा

प्रथम डिग्री (रेखीय समीकरण) च्या समीकरणाद्वारे विमानात दिले जाते.

सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण.

व्याख्या... विमानात कोणतीही सरळ रेषा प्रथम-ऑर्डर समीकरणाद्वारे दिली जाऊ शकते

अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d ०,

स्थिर सह ए, बी एकाच वेळी शून्य नसतात. हे प्रथम-क्रम समीकरण म्हणतात सामान्य

सरळ रेषेचे समीकरण. स्थिरांच्या मूल्यांवर अवलंबून ए, बी आणि कडून पुढील विशेष प्रकरणे शक्य आहेतः

. सी \u003d 0, ए ≠ 0, बी ≠ 0 - सरळ रेषा मूळमधून जाते

. ए \u003d 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0 (+ सी \u003d 0 द्वारे)- अक्षाला समांतर सरळ रेषा अरे

. बी \u003d 0, ए ≠ 0, सी ≠ 0 (अ\u200dॅक्स + सी \u003d 0) - अक्षाला समांतर सरळ रेषा ओयू

. बी \u003d सी \u003d 0, ए ≠ 0 - सरळ रेषा अक्षाशी एकरूप होते ओयू

. ए \u003d सी \u003d 0, बी ≠ 0 - सरळ रेषा अक्षाशी एकरूप होते अरे

दिलेल्या निर्देशानुसार सरळ रेषेचे समीकरण वेगवेगळ्या स्वरूपात सादर केले जाऊ शकते

प्रारंभिक परिस्थिती

बिंदू आणि सामान्य वेक्टरसह सरळ रेषेचे समीकरण.

व्याख्या... कार्टेशियन आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये घटक (ए, बी) असलेले वेक्टर

समीकरणाने दिलेली सरळ रेषा लंब

अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d 0.

उदाहरण... बिंदूतून जाणा passing्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा ए (1, 2) वेक्टरला लंब (3, -1).

निर्णय... A \u003d 3 आणि B \u003d -1 वर, आपण सरळ रेषेचे समीकरण लिहितो: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक सी शोधण्यासाठी

दिलेल्या बिंदू अ च्या समन्वयांना परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये स्थान द्या, म्हणून आम्हाला मिळेल: 3 - 2 + सी \u003d 0, म्हणून

सी \u003d -1. एकूण: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0.

दोन बिंदूतून जाणा a्या सरळ रेषेचे समीकरण.

दोन बिंदू अंतराळात द्या एम 1 (x 1, वाई 1, झेड 1)आणि एम 2 (x 2, वाई 2, झेड 2), मग सरळ रेषेचे समीकरण,

या मुद्द्यांमधून जात:

जर प्रत्येक मूल्य शून्य असेल तर संबंधित अंश शून्य असावे. चालू

विमान, वर लिहिलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण सुलभ केले आहे:

तर ए x 1 ≠ x 2 आणि x \u003d x 1 , तर ए x 1 \u003d x 2 .

अपूर्णांक \u003d के म्हणतात उतार सरळ.

उदाहरण... बिंदू अ (1, 2) आणि बी (3, 4) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा.

निर्णय... उपरोक्त सूत्र लागू केल्यामुळे आम्हाला मिळते:

बिंदू आणि उतारानुसार सरळ रेषेचे समीकरण.

सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण असल्यास अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d 0 फॉर्मकडे नेणे:

आणि नियुक्त , नंतर परिणामी समीकरण म्हणतात

उतार के सह सरळ रेषेचे समीकरण.

बिंदू आणि दिशेने वेक्टरच्या सरळ रेषेचे समीकरण.

सामान्य वेक्टरद्वारे सरळ रेषेचे समीकरण विचारात घेऊन परिच्छेदाशी साधर्म्य साधून आपण कार्य प्रविष्ट करू शकता

बिंदूतून एक सरळ रेषा आणि सरळ रेषेचा दिग्दर्शक वेक्टर.

व्याख्या... प्रत्येक नॉनझेरो वेक्टर (α 1, α 2)ज्यांचे घटक अट पूर्ण करतात

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 म्हणतात सरळ रेषेचा वेक्टर निर्देशित करणे.

अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d 0.

उदाहरण... दिशा वेक्टर (1, -1) आणि बिंदू A (1, 2) वरून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा.

निर्णय... इच्छित सरळ रेषेचे समीकरण फॉर्ममध्ये शोधले जाईल: अ\u200dॅक्स + बाय + सी \u003d ०. व्याख्येनुसार,

गुणांकांनी अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत:

1 * ए + (-1) * बी \u003d 0, म्हणजे. ए \u003d बी

तर सरळ रेषेच्या समीकरणात फॉर्म आहेः अ\u200dॅक्स + आय + सी \u003d ०, किंवा x + y + C / A \u003d 0.

येथे x \u003d 1, y \u003d 2आम्ही मिळवा सी / ए \u003d -3, म्हणजे आवश्यक समीकरण:

x + y - 3 \u003d 0

विभागांमधील सरळ रेषेचे समीकरण.

अ\u200dॅक्स + व्ही + सी \u003d ० सी ≠ ० या सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणात, तर -C ने भाग घेतल्यास, आपल्याला मिळेल:

किंवा कुठे

गुणांकांचा भौमितीय अर्थ असा आहे की गुणांक अ छेदनबिंदूचे समन्वय आहे

सरळ अक्ष सह अरे, आणि बी - अक्षासह सरळ रेषेच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूचे समन्वय ओयू.

उदाहरण... सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण दिले आहे x - y + 1 \u003d 0.विभागांमध्ये या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा.

सी \u003d 1, अ \u003d -1, बी \u003d 1.

सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजू असल्यास अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d 0 संख्येनुसार विभाजित करा ज्यास म्हंटले जाते

सामान्यीकरण घटक, मग आम्हाला मिळेल

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -रेषेचे सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरणाच्या घटकाचे चिन्ह निवडले पाहिजे जेणेकरुन μ * सी< 0.

आर - लंबांची लांबी मूळपासून सरळ रेषेत सोडली,

आणि φ - अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने या लंबाने कोन तयार केले जाते अरे

उदाहरण... सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण दिले आहे 12x - 5 ए - 65 \u003d 0... विविध प्रकारची समीकरणे लिहिणे आवश्यक आहे

ही सरळ रेष

विभागांमधील या ओळीचे समीकरण:

उतार असलेल्या या रेषेचे समीकरण: (5 ने भाग घ्या)

सरळ रेषेचे समीकरण:

कॉस φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; पी \u003d 5.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की प्रत्येक सरळ रेषा विभागांमधील समीकरणाद्वारे दर्शविली जाऊ शकत नाही, उदाहरणार्थ, सरळ रेषा,

अक्षांशी समांतर किंवा मूळमधून जात.

विमानात सरळ रेषांमधील कोन.

व्याख्या... दोन ओळी दिल्या तर y \u003d के 1 एक्स + बी 1, वाई \u003d के 2 एक्स + बी 2 , नंतर या ओळींमधील एक तीव्र कोन

म्हणून परिभाषित केले जाईल

दोन सरळ रेषा समांतर आहेत के 1 \u003d के 2... दोन सरळ रेषा लंब आहेत.

तर ए के 1 \u003d -1 / के 2 .

प्रमेय.

थेट अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d 0आणि ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 \u003d 0 जेव्हा गुणांक प्रमाणित असतात तेव्हा समांतर असतात

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... तरसुद्धा С 1 \u003d λС, तर सरळ रेष एकत्र होतात. दोन ओळींच्या छेदनबिंदूचे समन्वय

या सरळ रेषांच्या समीकरणाच्या प्रणालीवर उपाय म्हणून आढळतात.

दिलेल्या बिंदूवर लंब दिलेली सरळ रेषेचे सरळ रेषेचे समीकरण.

व्याख्या... बिंदू माध्यमातून ओळ एम 1 (x 1, वाई 1) आणि सरळ रेषेवरील लंब y \u003d केएक्स + बी

हे समीकरण दर्शवते:

बिंदू ते ओळीपर्यंत अंतर.

प्रमेय... एक बिंदू दिल्यास एम (x 0, y 0), सरळ रेषेचे अंतर अ\u200dॅक्स + वू + सी \u003d 0म्हणून परिभाषित:

पुरावा... मुद्दा सांगा एम 1 (x 1, वाई 1) - लंबचा आधार बिंदूपासून खाली आला एमदिलेल्या साठी

सरळ रेषा. मग बिंदूंमधील अंतर एमआणि एम 1:

(1)

समन्वयक x 1 आणि 1 वाजता समीकरणांच्या सिस्टमवर उपाय म्हणून शोधले जाऊ शकते:

सिस्टीमचे दुसरे समीकरण दिलेल्या बिंदू एम 0 लंब पर्यंत जाणा .्या सरळ रेषेचे समीकरण आहे

दिलेली सरळ रेषा. जर आपण सिस्टमचे पहिले समीकरण फॉर्ममध्ये रूपांतरित केले तर:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 + C \u003d 0,

तर, सोडवणे, आम्हाला मिळते:

या अभिव्यक्तीचे समीकरण (1) मध्ये बदल केल्यास आपल्याला आढळेलः

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.